Bölmenin tersi. Ters sayılar, tersini bulma

İçerik:

Her tür cebirsel denklemi çözerken karşılıklı sayılara ihtiyaç vardır. Örneğin, bir kesirli sayıyı diğerine bölmeniz gerekiyorsa, ilk sayıyı ikinci sayının tersi ile çarparsınız. Ayrıca, bir doğrunun denklemini bulurken karşılıklılar kullanılır.

Adımlar

1 Bir kesrin veya tam sayının tersini bulma

1. 1 Bir kesirli sayının tersini çevirerek bulun."Karşılıklı sayı" çok basit bir şekilde tanımlanır. Bunu hesaplamak için "1 ÷ (orijinal sayı)" ifadesinin değerini hesaplamanız yeterlidir. Kesirli bir sayı için, karşılıklı, basitçe kesrin "ters çevrilmesi" (pay ve paydanın ters çevrilmesi) ile hesaplanabilen başka bir kesirli sayıdır.
   • Örneğin, 3/4'ün karşılığı 4 / 3 .
2. 2 Bir tam sayının tersini kesir olarak yazınız. Ve bu durumda, tersi 1 ÷ (orijinal sayı) olarak hesaplanır. Bir tamsayı için, tersini kesir olarak yazın, hesaplamaya ve olarak yazmaya gerek yok ondalık kesir.
   • Örneğin, 2'nin tersi 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Karışık kesrin tersini bulma

1. 1 Ne " karışık kesir". Karışık kesir, tam sayı ve basit kesir olarak yazılan bir sayıdır, örneğin 2 4 / 5. Karışık bir kesrin tersini bulmak, aşağıda açıklanan iki adımda yapılır.
2. 2 Karışık kesri bileşik kesir olarak yazınız. Elbette, birimin (sayı) / (aynı sayı) şeklinde yazılabileceğini ve kesirlerin aynı paydalar(satırın altındaki sayı) birbirine eklenebilir. 2 4 / 5 kesri için şu şekilde yapılabilir:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Kesri çevirin. Karışık bir kesir bileşik bir kesir olarak yazıldığında, basitçe pay ve paydayı değiştirerek tersini kolayca bulabiliriz.
   • Yukarıdaki örnek için karşılıklı 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Ondalık sayının tersini bulma

1. 1 Mümkünse, ondalığı kesir olarak ifade edin. Birçok ondalık sayının kolayca dönüştürülebileceğini bilmeniz gerekir. basit kesirler. Örneğin, 0,5 = 1/2 ve 0,25 = 1/4. Bir sayıyı basit bir kesir olarak yazdığınızda, kesrin tersini çevirerek kolayca tersini bulabilirsiniz.
   • Örneğin, 0,5'in tersi 2 / 1 = 2'dir.
2. 2 Bölme işlemini kullanarak problemi çözün. Ondalık sayıyı kesir olarak yazamıyorsanız, ters sayıyı şuna bölerek çözerek hesaplayın: 1 ÷ (ondalık). Bunu çözmek için bir hesap makinesi kullanabilir veya değeri manuel olarak hesaplamak istiyorsanız bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
   • Örneğin, 0,4'ün karşılığı 1 ÷ 0,4 olarak hesaplanır.
3. 3 Tamsayılarla çalışmak için ifadeyi değiştirin. Ondalık bölmedeki ilk adım, ifadedeki tüm sayılar tamsayı olana kadar konum noktasını hareket ettirmektir. Konumsal virgülü hem bölende hem de bölende aynı sayıda basamak hareket ettirdiğiniz için doğru cevabı alırsınız.
4. 4 Örneğin, 1 ÷ 0.4 ifadesini alıp 10 ÷ 4 olarak yazıyorsunuz. Bu durumda, virgülü bir basamak sağa kaydırdınız; bu, her sayıyı on ile çarpmakla aynı şeydir.
5. 5 Sayıları bir sütuna bölerek sorunu çözün. Bir sütuna bölmeyi kullanarak, bir sayının tersini hesaplayabilirsiniz. 10'u 4'e bölerseniz, 0,4'ün tersi olan 2,5'i elde etmelisiniz.

• Negatif bir ters değerin değeri, sayının -1 ile çarpımının tersi olacaktır. Örneğin, 3/4'ün negatif karşılığı -4/3'tür.
• Bir sayının tersi bazen "karşılıklı" veya "karşılıklı" olarak adlandırılır.
• 1 sayısı kendi karşılığıdır çünkü 1 ÷ 1 = 1.
• 1 ÷ 0 ifadesinin çözümü olmadığı için sıfırın karşılığı yoktur.

Vikipedi, özgür ansiklopedi

karşılıklı sayı(karşılıklı, karşılıklı) belirli bir sayıya x ile çarpımı olan sayıdır x, bir verir. Kabul edilen giriş: $\backslash frac(1)x$ veya $x^(-1)$. Çarpımları bire eşit olan iki sayıya ne ad verilir? karşılıklı ters. Bir sayının tersi, bir fonksiyonun tersi ile karıştırılmamalıdır. Örneğin, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ ters kosinüs fonksiyonunun değerinden farklı - gösterilen arkkosin $\backslash cos^(-1)x$ veya $\backslash arccos\; x$.

Gerçek sayının tersi

Karmaşık sayı formları	Sayı $(z)$	Tersi $\backslash sol\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash sağ)$
Cebirsel	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometrik	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Gösteri	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Kanıt:
Cebirsel ve trigonometrik formlar için, pay ve paydayı karmaşık eşlenikle çarparak kesrin temel özelliğini kullanırız:

• cebirsel form:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrik form:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Gösterge formu:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Bu nedenle, bir karmaşık sayının tersini bulurken üstel biçimini kullanmak daha uygundur.

Örnek:

Karmaşık sayı formları	Sayı $(z)$	Tersi $\backslash sol\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash sağ)$
Cebirsel	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometrik	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash sağ)$ veya $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash sağ)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash sağ)$ veya $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash sağ)$
Gösteri	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Hayali birimin tersi

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Böylece, elde ederiz

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ veya__ $ben^(-1)=-i$

Benzer şekilde $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ veya __ $-i^(-1)=i$

"Ters numara" makalesi hakkında bir inceleme yazın

notlar

Ayrıca bakınız

Karşılıklı sayıyı karakterize eden bir alıntı

Hikayeler böyle söylüyor ve konunun özüne inmek isteyen herkesin kolayca ikna olacağı için tüm bunlar tamamen haksızlık.
Ruslar daha iyi bir konum aramadılar; ama tam tersine, geri çekilmelerinde Borodino'dan daha iyi olan birçok pozisyonu geçtiler. Bu pozisyonların hiçbirinde durmadılar: hem Kutuzov, kendisi tarafından seçilmeyen bir pozisyonu kabul etmek istemediği için, hem de bir halk savaşı talebi henüz yeterince güçlü bir şekilde ifade edilmediği için ve Miloradovich henüz yaklaşmadığı için. milislerle ve ayrıca sayısız diğer nedenlerle. Gerçek şu ki, önceki pozisyonlar daha güçlüydü ve Borodino pozisyonu (savaşın verildiği pozisyon) sadece güçlü değil, aynı zamanda nedense herhangi bir pozisyondan daha fazla değil. Rus imparatorluğu, tahminen haritada bir raptiye ile belirtilir.
Ruslar, Borodino sahasının konumunu yoldan dik açıyla (yani savaşın gerçekleştiği yer) sola doğru güçlendirmekle kalmadı, aynı zamanda 25 Ağustos 1812'den önce asla savaşın olabileceğini düşünmediler. bu yerde gerçekleşir. Bu, ilk olarak, bu yerde sadece 25'inde tahkimat olmaması değil, aynı zamanda 25'inde başlayıp 26'sında tamamlanmamış olmasıyla kanıtlanıyor; ikincisi, Shevardinsky tabyasının konumu kanıt görevi görüyor: Savaşın yapıldığı pozisyonun önündeki Shevardinsky tabyası hiçbir anlam ifade etmiyor. Bu tabya neden diğer tüm noktalardan daha güçlüydü? Ve neden ayın 24'ünde gece geç saatlere kadar savunurken tüm çabalar tükendi ve altı bin kişi kaybedildi? Düşmanı gözlemlemek için bir Kazak devriyesi yeterliydi. Üçüncüsü, savaşın gerçekleştiği pozisyonun öngörülmediğinin ve Shevardinsky tabyasının bu pozisyonun ileri noktası olmadığının kanıtı, Barclay de Tolly ve Bagration'ın 25'ine kadar Shevardinsky tabyasının sol olduğuna ikna olmuş olmalarıdır. pozisyonun kanadı ve Kutuzov'un kendisi, savaştan sonra aceleyle yazdığı raporunda, Shevardinsky tabyasını pozisyonun sol kanadı olarak adlandırıyor. Çok daha sonra, Borodino savaşıyla ilgili raporlar açık bir şekilde yazıldığında, (muhtemelen yanılmaz olması gereken başkomutanın hatalarını haklı çıkarmak için), Shevardinsky tabyasının hizmet ettiği haksız ve garip tanıklık icat edildi. gelişmiş mevzi (oysa sol kanadın sadece müstahkem bir noktasıydı) ve sanki Borodino savaşı bizim tarafımızdan müstahkem ve önceden seçilmiş bir pozisyonda kabul edilmişken, tamamen beklenmedik ve neredeyse tahkim edilmemiş bir yerde gerçekleşti.
Açıkçası, durum şuydu: konum, ana yolu düz bir çizgide değil, keskin bir açıyla geçen Kolocha Nehri boyunca seçildi, böylece sol kanat Shevardin'de, sağ kanat yakındı. Novy köyü ve merkez, Kolocha ve Vo nehirlerinin birleştiği yerde Borodino'daydı.yn. Amacı, Moskova'ya giden Smolensk yolu boyunca hareket eden düşmanı durdurmak olan ordu için Kolocha Nehri'nin örtüsü altındaki bu konum, savaşın nasıl gerçekleştiğini unutarak Borodino sahasına bakan herkes için açıktır.
24'ünde Valuev'e giden Napolyon, (hikayelerin dediği gibi) Rusların Utitsa'dan Borodin'e konumunu görmedi (orada olmadığı için bu konumu göremedi) ve ileri karakolunu görmedi. Rus ordusu, ancak Rusların pozisyonunun sol kanadında, Shevardinsky tabyasında Rus arka muhafızlarının peşinde tökezledi ve Ruslar için beklenmedik bir şekilde Kolocha üzerinden asker transfer etti. Ve genel bir savaşa girecek vakti olmayan Ruslar, sol kanatlarıyla almak istedikleri pozisyondan geri çekildiler ve öngörülemeyen ve tahkim edilmeyen yeni bir pozisyon aldılar. Gidiyor Sol Taraf Kolochi, yolun solunda, Napolyon gelecekteki tüm savaşı sağdan sola (Rusların yanından) taşıdı ve Utitsa, Semenovsky ve Borodin arasındaki alana (bu alanda, daha avantajlı hiçbir şeyi olmayan) aktardı. Rusya'daki diğer tüm alanlardan daha konum) ve bu alanda tüm savaş 26'sında gerçekleşti. Kabaca, önerilen savaş planı ve gerçekleşen savaş aşağıdaki gibi olacaktır:

Napolyon 24'ünün akşamı Kolocha'ya gitmemiş olsaydı ve akşam hemen tabyaya saldırı emri vermemiş olsaydı, ancak ertesi gün sabah saldırıya başlamış olsaydı, o zaman hiç kimse Shevardinsky tabyasının olduğundan şüphe etmezdi. mevziimizin sol kanadı; ve savaş beklediğimiz gibi gerçekleşecekti. Bu durumda, muhtemelen sol kanadımız olan Shevardino tabyasını daha da inatla savunurduk; Napolyon'a merkezden veya sağdan saldıracaklardı ve 24'ünde, güçlendirilmiş ve öngörülen pozisyonda genel bir savaş olacaktı. Ancak sol kanadımıza yapılan saldırı, arka korumamızın geri çekilmesinin ardından akşam saatlerinde, yani Gridneva savaşından hemen sonra ve Rus askeri liderlerinin genel bir savaş başlatmak istemedikleri veya zamanları olmadığı için gerçekleştiği için. 24. akşam, Borodinsky'nin ilk ve ana eylemi, savaş 24'ünde kaybedildi ve açıkçası, 26'sında verilenin kaybına yol açtı.
Shevardinsky tabyasının kaybından sonra, 25'inin sabahı kendimizi sol kanatta konumsuz bulduk ve sol kanadımızı geri bükmek ve aceleyle herhangi bir yerde güçlendirmek zorunda kaldık.
Ancak, Rus birlikleri yalnızca 26 Ağustos'ta zayıf, tamamlanmamış tahkimatların koruması altında durmakla kalmadı, bu durumun dezavantajı, Rus askeri liderlerinin tamamen tamamlanmış bir gerçeği (bir mevzi kaybı) tanımaması gerçeğiyle daha da arttı. sol kanatta ve gelecekteki tüm savaş alanının sağdan sola aktarılması ), Novy köyünden Utitsa'ya kadar gergin konumlarında kaldılar ve sonuç olarak, savaş sırasında birliklerini sağdan sola hareket ettirmek zorunda kaldılar. Böylece, tüm savaş boyunca Ruslar, sol kanadımıza yönelik tüm Fransız ordusuna karşı en zayıf kuvvetlerin iki katına sahipti. (Poniatowski'nin Fransızların sağ kanadında Utitsa ve Uvarov'a karşı eylemleri, savaşın gidişatından ayrı eylemler oluşturuyordu.)
Yani Borodino savaşı, (askeri liderlerimizin hatalarını gizlemeye çalışmak ve sonuç olarak Rus ordusunun ve halkının ihtişamını küçümsemek) tarif ettiği gibi olmadı. Borodino savaşı, Rusların yalnızca en zayıf kuvvetleriyle seçilmiş ve güçlendirilmiş bir pozisyonda gerçekleşmedi ve Borodino savaşı, Shevardino tabyasının kaybı nedeniyle Ruslar tarafından açıkta alındı. Fransızlara karşı en zayıf kuvvetlerin iki katı olan neredeyse müstahkem bir bölge, yani, on saat boyunca savaşmanın ve savaşı kararsız hale getirmenin sadece düşünülemez olmadığı, aynı zamanda orduyu tam bir yenilgiden ve kaçıştan alıkoymanın düşünülemez olduğu koşullar altında. üç saat için.

25'inde sabah Pierre Mozhaisk'ten ayrıldı. Şehrin dışına çıkan devasa dik ve eğri büğrü dağdan inerken, sağdaki dağda duran, içinde bir ayin ve müjdenin olduğu katedrali geçtikten sonra, Pierre arabadan indi ve yaya olarak gitti. Arkasında, önünde peselnikler olan bir tür süvari alayı dağa indi. Dünkü olayda yaralananların olduğu bir vagon treni ona doğru geliyordu. Atlara bağıran ve onları kırbaçlayan köylü sürücüler, bir taraftan diğerine koştu. Üç ve dört yaralı askerin üzerine yatıp oturduğu arabalar, dik bir yokuşta kaldırım şeklinde atılan taşların üzerinden atladı. Paçavralara sarılı, solgun, dudakları büzülmüş ve kaşları çatılmış yaralılar, yataklara tutunarak zıpladı ve arabalara itildi. Herkes neredeyse saf, çocuksu bir merakla Pierre'in beyaz şapkasına ve yeşil pardösüsüne baktı.

Karşılıklı sayılara bir tanım ve örnekler veriyoruz. Bir doğal sayının tersini ve sıradan bir kesrin tersini nasıl bulacağınızı düşünün. Ek olarak, karşılıklı sayıların toplamının özelliğini yansıtan bir eşitsizliği yazıp ispatlıyoruz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Karşılıklı sayılar Tanım

Tanım. karşılıklı sayılar

Karşılıklı sayılar, çarpımı bir veren sayılardır.

a · b = 1 ise, o zaman a sayısının b sayısının tersi olduğunu söyleyebiliriz, tıpkı b sayısının a sayısının tersi olduğu gibi.

Karşılıklı sayıların en basit örneği iki birdir. Aslında, 1 1 = 1, yani a = 1 ve b = 1 karşılıklı olarak ters sayılardır. Başka bir örnek 3 ve 1 3 , - 2 3 ve - 3 2 , 6 13 ve 13 6 , log 3 17 ve log 17 3 sayılarıdır . Yukarıdaki sayıların herhangi bir çiftinin ürünü bire eşittir. Örneğin 2 ve 2 3 sayılarında olduğu gibi bu koşul karşılanmazsa, sayılar karşılıklı olarak ters değildir.

Karşılıklı sayıların tanımı, herhangi bir sayı için geçerlidir - doğal, tamsayı, gerçek ve karmaşık.

Belirli bir sayının tersi nasıl bulunur

Genel durumu ele alalım. Orijinal sayı a'ya eşitse, ters sayısı 1a veya a-1 olarak yazılır. Gerçekten de, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Doğal sayılar için ve sıradan kesirler Karşılığını bulmak oldukça kolaydır. Hatta bariz olduğu bile söylenebilir. İrrasyonel veya karmaşık bir sayının tersi olan bir sayının bulunması durumunda bir takım hesaplamalar yapılması gerekecektir.

Karşılıklı bulma pratiğinde en yaygın vakaları düşünün.

Adi kesrin tersi

Açıkçası, a b ortak kesrinin tersi, b a kesridir. Yani, bir kesrin tersini bulmak için kesri çevirmeniz yeterlidir. Yani, pay ve paydayı değiştirin.

Bu kurala göre, herhangi bir adi kesrin tersini neredeyse anında yazabilirsiniz. Dolayısıyla, 28 57 kesri için karşılıklı, 57 28 kesri ve 789 256 kesri için - 256 789 sayısı olacaktır.

Bir doğal sayının tersi

Herhangi bir doğal sayının tersini, bir kesrin tersi ile aynı şekilde bulabilirsiniz. Bir doğal sayı a'yı sıradan bir kesir a 1 olarak temsil etmek yeterlidir. O zaman tersi 1 a olacaktır. 3 doğal sayısı için karşılığı 1 3'tür, 666 sayısı için karşılığı 1 666'dır, vb.

Üniteye özel dikkat gösterilmelidir, çünkü tekil, tersi kendisine eşit olan.

Her iki bileşenin de eşit olduğu başka bir karşılıklı sayı çifti yoktur.

Karışık bir sayının tersi

Karışık sayı a b c biçimindedir. Tersini bulmak için, karışık sayıyı yanlış kesrin çekirdeğinde göstermeniz ve elde edilen kesrin karşılığını seçmeniz gerekir.

Örneğin, 7 2 5'in tersini bulalım. Öncelikle 7 2 5'i bir bileşik kesir olarak gösterelim: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Uygunsuz kesir 37 5 için karşılıklı 5 37'dir.

ondalık sayının tersi

Bir ondalık kesir, ortak bir kesir olarak da gösterilebilir. Bir sayının ondalık kesrinin tersini bulmak, ondalık kesri ortak bir kesir olarak temsil etmeye ve onun karşılığını bulmaya gelir.

Örneğin, 5, 128 kesri vardır. Karşılığını bulalım. Önce ondalığı ortak bir kesre çeviriyoruz: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Ortaya çıkan kesir için karşılıklı, kesir 125641 olacaktır.

Bir örnek daha ele alalım.

Örnek. ondalık sayının tersini bulma

Periyodik ondalık kesrin tersini bulun 2 , (18) .

Ondalık sayıyı normal sayıya dönüştür:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Çeviriden sonra 24 11 kesrinin tersini rahatlıkla yazabiliriz. Bu sayı belli ki 11 24 olacak.

Sonsuz ve tekrarlanmayan bir ondalık kesir için, karşılıklı, payda bir birim ve paydada kesrin kendisi olan bir kesir olarak yazılır. Örneğin, sonsuz kesir 3 , 6025635789 için. . . karşılıklı 1 3 , 6025635789 olacaktır. . . .

Benzer şekilde, periyodik olmayan sonsuz kesirlere karşılık gelen irrasyonel sayılar için tersler kesirli ifadeler olarak yazılır.

Örneğin, π + 3 3 80'in tersi 80 π + 3 3'tür ve 8 + e 2 + e'nin tersi 1 8 + e 2 + e'dir.

Köklü karşılıklı sayılar

İki sayının biçimi a ve 1 a'dan farklıysa, sayıların karşılıklı olarak ters olup olmadığını belirlemek her zaman kolay değildir. Bu, özellikle gösterimlerinde kök işareti olan sayılar için geçerlidir, çünkü genellikle paydadaki kökten kurtulmak alışılmış bir durumdur.

Uygulamaya dönelim.

Soruyu cevaplayalım: 4 - 2 3 ve 1 + 3 2 sayıları karşılıklı mıdır?

Sayıların karşılıklı olarak ters olup olmadığını öğrenmek için çarpımını hesaplarız.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Çarpım bire eşittir, yani sayılar karşılıklı olarak terstir.

Bir örnek daha ele alalım.

Örnek. Köklü karşılıklı sayılar

5 3 + 1'in tersini yazınız.

Tersinin 1 5 3 + 1 kesrine eşit olduğunu hemen yazabilirsiniz. Ancak, daha önce de söylediğimiz gibi, paydadaki kökten kurtulmak adettendir. Bunu yapmak için pay ve paydayı 25 3 - 5 3 + 1 ile çarpın. Biz:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Kuvvetli karşılıklı sayılar

a sayısının bazı kuvvetlerine eşit bir sayı olduğunu varsayalım. Başka bir deyişle, a sayısının n üssüne yükseltilmiş halidir. Bir n'nin karşılığı bir - n'dir. Hadi kontrol edelim. Gerçekten: bir n a - n = bir n 1 1 bir n = 1 .

Örnek. Kuvvetli karşılıklı sayılar

5 - 3 + 4'ün tersini bulun.

Yukarıdakilere göre istenen sayı 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4'tür.

logaritma ile karşılıklı

a sayısının b tabanına göre logaritması için, tersi sayıdır, logaritmaya eşittir a tabanına göre b sayıları.

log a b ve log b a karşılıklı olarak karşılıklı sayılardır.

Hadi kontrol edelim. Logaritmanın özelliklerinden log a b = 1 log b a olduğu sonucu çıkar, bu da log a b · log b a anlamına gelir.

Örnek. logaritma ile karşılıklı

Log 3 5 - 2 3'ün tersini bulun.

3'ün 3 5 - 2 tabanına göre logaritmasının tersi, 3 5 - 2'nin 3 tabanına göre logaritmasıdır.

Bir karmaşık sayının tersi

Daha önce de belirtildiği gibi, karşılıklı sayıların tanımı sadece gerçek sayılar için değil, karmaşık sayılar için de geçerlidir.

Genellikle karmaşık sayılar şu şekilde temsil edilir: cebirsel biçim z = x + ben y . Bunun tersi bir kesir olacak

1 x + ben y . Kolaylık sağlamak için, bu ifade pay ve payda x - i y ile çarpılarak kısaltılabilir.

Örnek. Bir karmaşık sayının tersi

Z = 4 + i karmaşık sayısı olsun. Bunun tersini bulalım.

z = 4 + i'nin tersi, 1 4 + i'ye eşit olacaktır.

Pay ve paydayı 4 - i ile çarpın ve şunu elde edin:

1 4 + ben \u003d 4 - ben 4 + ben 4 - ben \u003d 4 - ben 4 2 - ben 2 \u003d 4 - ben 16 - (- 1) \u003d 4 - ben 17.

Karmaşık bir sayı, cebirsel biçimine ek olarak, trigonometrik veya üstel biçimde şu şekilde temsil edilebilir:

z = r cos φ + ben sin φ

z = r e ben φ

Buna göre, karşılıklı sayı şöyle görünecektir:

1 r cos (- φ) + ben günah (- φ)

Şundan emin olalım:

r çünkü φ + ben günah φ 1 r çünkü (- φ) + ben günah (- φ) = r r çünkü 2 φ + günah 2 φ = 1 r e ben φ 1 r e ben (- φ) = r r e 0 = 1

Temsili örnekleri düşünün Karışık sayılar trigonometrik ve üstel biçimde.

2 3 cos π 6 + i · sin π 6'nın tersini bulun.

r = 2 3 , φ = π 6 olduğuna göre ters sayıyı yazarız

3 2 cos - π 6 + i günah - π 6

Örnek. Bir karmaşık sayının tersini bulma

2 · e i · - 2 π 5'in tersi nedir?

Cevap: 1 2 e ben 2 π 5

Karşılıklı sayıların toplamı. eşitsizlik

İki karşılıklı sayının toplamı ile ilgili bir teorem vardır.

Karşılıklı karşılıklı sayıların toplamı

İki pozitif ve karşılıklı sayının toplamı her zaman 2'den büyük veya ona eşittir.

Teoremin ispatını sunuyoruz. Bilindiği gibi herhangi bir pozitif sayılar a ve b aritmetik ortalama, geometrik ortalamadan büyük veya ona eşittir. Bu bir eşitsizlik olarak yazılabilir:

a + b 2 ≥ a b

b sayısı yerine a'nın tersini alırsak, eşitsizlik şu şekli alır:

bir + 1 bir 2 ≥ bir 1 bir bir + 1 bir ≥ 2

Q.E.D.

Bu özelliği gösteren pratik bir örnek verelim.

Örnek. Karşılıklı sayıların toplamını bulun

2 3 sayılarının toplamını ve tersini hesaplayalım.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Teoremin dediği gibi, elde edilen sayı ikiden büyüktür.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Çarpımları bire eşit olan sayı çiftlerine ne ad verilir? karşılıklı ters.

Örnekler: 5 ve 1/5, -6/7 ve -7/6 ve

Sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayı için, bir ters 1/a vardır.

Sıfırın karşılığı sonsuzdur.

ters kesirler- bunlar ürünü 1 olan iki kesirdir. Örneğin, 3/7 ve 7/3; 5/8 ve 8/5 vb.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010

Diğer sözlüklerde "Ters numara" nın ne olduğuna bakın:

Belirli bir sayının çarpımı bire eşit olan sayı. Bu tür iki sayıya karşılıklı denir. Örneğin, 5 ve 1/5, 2/3 ve 3/2, vb. Büyük Ansiklopedik Sözlük

karşılıklı sayı- - [Goldberg GİBİ. İngilizce Rusça Enerji Sözlüğü. 2006] Konular genel olarak enerji EN ters sayıkarşılıklı sayı … Teknik Tercümanın El Kitabı

Belirli bir sayının çarpımı bire eşit olan sayı. Bu tür iki sayıya karşılıklı denir. Bunlar, örneğin, 5 ve 1/5, 2/3 ve 3/2, vb. * * * TERS SAYI TERS SAYI, çarpımı belirli bir sayı olan bir sayı ... ansiklopedik sözlük

Belirli bir sayı ile çarpımı bire eşit olan bir sayı. Bu tür iki sayıya karşılıklı denir. Bunlar, örneğin, 5 ve a, sıfıra eşit değil, tersi var ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Sayı, k ve belirli bir sayının çarpımı bire eşittir. Bu tür iki numara denir karşılıklı ters Bunlar, örneğin, 5 ve 1/5'tir. 2/3 ve 3/2 vb... Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Sayı (anlamları). Sayı, nesnelerin nicel özellikleri, karşılaştırılması ve numaralandırılması için kullanılan matematiğin temel kavramıdır. İlkel toplumda ihtiyaçlardan ortaya çıkan ... ... Wikipedia

Ayrıca bakınız: Sayı (dil bilimi) Sayı, nesneleri ölçmek için kullanılan bir soyutlamadır. İlkel toplumda sayma ihtiyaçlarından ortaya çıkan sayı kavramı değişti, zenginleşti ve en önemli matematiğe dönüştü ... Wikipedia

Akış sırasında suyun ters dönmesi, Coriolis etkisinin, bir lavabonun veya küvetin drenaj deliğine boşaldığında oluşan bir girdaptaki suyun hareketine yanlış uygulanmasına dayanan neredeyse bilimsel bir efsanedir. Efsanenin özü şu ki su ... ... Wikipedia

SAYI, İRRASİYONEL, kesir olarak ifade edilemeyen bir sayı. Örnekler arasında C2 ve p numarası bulunur. Bu nedenle irrasyonel sayılar, sonsuz sayı(periyodik olmayan) ondalık basamaklar. (Ancak, tersi … … Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Laplace dönüşümü, karmaşık bir değişkenin (görüntü) bir işlevini gerçek bir değişkenin (orijinal) bir işleviyle ilişkilendiren bir integral dönüşümdür. Özellikleri keşfetmek için kullanılır. dinamik sistemler ve diferansiyel ve ... Wikipedia

Kitabın

• Mutlu Eşler Kulübü, Weaver Fon. Dünyanın farklı yerlerinden birbirini tanımayan 27 kadın, farklı kader. Tek bir şey dışında ortak hiçbir noktaları yok - 25 yılı aşkın bir süredir evliliklerinde delicesine mutlular çünkü Sırrı biliyorlar ... Ne zaman ...

Ters - veya karşılıklı - sayılar, çarpıldığında 1 veren bir sayı çifti olarak adlandırılır. Genel görünüm sayılar tersine çevrilir. Karşılıklı sayıların karakteristik bir özel durumu bir çifttir. Tersler, diyelim ki sayılardır; .

karşılıklı nasıl bulunur

Kural: 1'i (bir) verilen sayıya bölmeniz gerekir.

Örnek 1.

8 sayısı verilir, tersi 1:8 veya (ikinci seçenek tercih edilir, çünkü böyle bir notasyon matematiksel olarak daha doğrudur).

Sıradan bir kesrin tersini ararken, onu 1'e bölmek pek uygun değildir, çünkü kayıt zahmetli hale gelir. Bu durumda, aksini yapmak çok daha kolaydır: kesir, pay ve paydayı değiştirerek basitçe ters çevrilir. Doğru bir kesir verilirse, ters çevrildikten sonra uygun olmayan bir kesir elde edilir, yani. bütün bir parçanın çıkarılabileceği bir şey. Bunu yapmak ya da yapmamak için duruma göre karar vermeniz gerekir. Bu nedenle, elde edilen ters kesirle (örneğin, çarpma veya bölme) bazı eylemler gerçekleştirmeniz gerekiyorsa, o zaman tüm parçayı seçmemelisiniz. Ortaya çıkan kesir nihai sonuçsa, o zaman belki de tamsayı kısmının seçilmesi arzu edilir.

Örnek 2.

Bir kesir verildi. Tersine:.

Bir ondalık kesrin tersini bulmak istiyorsanız, ilk kuralı (1'i bir sayıya bölmek) kullanmalısınız. Bu durumda 2 yoldan biriyle hareket edebilirsiniz. Birincisi, 1'i bu sayıya göre bir sütuna bölmek. İkincisi, payda 1 ve paydada ondalık sayılardan bir kesir oluşturmak ve ardından pay ve paydayı 10, 100 veya 1 ve gerektiği kadar sıfırdan oluşan başka bir sayı ile ondalık noktadan kurtulmak için çarpmak. paydada. Sonuç, sonuç olan sıradan bir kesir olacaktır. Gerekirse, kısaltmanız, tamsayı kısmını çıkarmanız veya ondalık forma dönüştürmeniz gerekebilir.

Örnek 3.

Verilen sayı 0.82'dir. Karşılığı şudur: . Şimdi kesri azaltalım ve tamsayı kısmını seçelim: .

İki sayının karşılıklı olup olmadığı nasıl kontrol edilir

Doğrulama ilkesi, karşılıkların tanımına dayanmaktadır. Yani sayıların birbirine ters olduğundan emin olmak için onları çarpmanız gerekir. Sonuç bir ise, sayılar karşılıklı olarak terstir.

4 numaralı örnek.

0.125 ve 8 sayıları verildiğinde. Karşılıklı mı?

Muayene 0,125 ile 8'in çarpımını bulmak gerekir. Anlaşılır olması için bu sayıları adi kesirler olarak gösteriyoruz: (1. kesri 125 azaltalım). Sonuç: 0.125 ve 8 sayıları terstir.

karşılıklı özellikleri

Mülk #1

Tersi, 0'dan başka herhangi bir sayı için mevcuttur.

Bu sınırlama, 0'a bölmenin imkansız olmasından kaynaklanmaktadır ve sıfırın karşılığını belirlerken, sadece paydaya taşınması gerekecektir, yani. aslında ona bölün.

Mülk #2

Bir çift karşılıklı sayının toplamı asla 2'den az olamaz.

Matematiksel olarak, bu özellik şu eşitsizlikle ifade edilebilir: .

Mülk #3

Bir sayıyı iki karşılıklı sayı ile çarpmak, bir ile çarpmaya eşdeğerdir. Bu özelliği matematiksel olarak ifade edelim: .

5 numaralı örnek.

İfadenin değerini bulun: 3.4 0.125 8. 0,125 ve 8 sayıları birbirinin tersi olduğundan (Örnek 4'e bakın), 3,4'ü 0,125 ve ardından 8 ile çarpmanıza gerek yoktur. Yani buradaki cevap 3.4.