Çevrimiçi olarak trigonometrik formda temsil edin. Karmaşık sayıların trigonometrik formu. Trigonometrik formda karmaşık sayılar

2.3. Karmaşık sayıların trigonometrik formu

Vektör karmaşık düzlemde sayı ile verilsin.

Pozitif yarı eksen Öküz ile vektör arasındaki açıyı φ ile belirtin (φ açısı saat yönünün tersine sayılırsa pozitif, aksi takdirde negatif olarak kabul edilir).

Vektörün uzunluğunu r ile belirtin. Daha sonra . Biz de belirtiyoruz

Sıfır olmayan bir karmaşık sayı z'yi şu şekilde yazmak

z karmaşık sayısının trigonometrik formu denir. r sayısına z karmaşık sayısının modülü denir ve φ sayısına bu karmaşık sayının argümanı denir ve Arg z ile gösterilir.

Karmaşık sayı yazmanın trigonometrik biçimi - (Euler'in formülü) - karmaşık sayı yazmanın üstel biçimi:

Z karmaşık sayısının sonsuz sayıda bağımsız değişkeni vardır: φ0, z sayısının herhangi bir bağımsız değişkeniyse, diğerleri aşağıdaki formülle bulunabilir.

Karmaşık bir sayı için bağımsız değişken ve trigonometrik form tanımlanmamıştır.

Dolayısıyla, sıfır olmayan bir karmaşık sayının argümanı, denklem sisteminin herhangi bir çözümüdür:

(3)

Eşitsizlikleri sağlayan z karmaşık sayısının bağımsız değişkeninin φ değerine ana değer denir ve arg z ile gösterilir.

Arg z ve arg z bağımsız değişkenleri eşitlikle ilişkilidir

, (4)

Formül (5), sistem (3)'ün bir sonucudur, dolayısıyla karmaşık sayının tüm bağımsız değişkenleri eşitliği (5) sağlar, ancak denklemin (5) tüm çözümleri φ, z sayısının bağımsız değişkenleri değildir.

Sıfır olmayan bir karmaşık sayının bağımsız değişkeninin ana değeri aşağıdaki formüllerle bulunur:

Karmaşık sayıların trigonometrik formda çarpma ve bölme formülleri aşağıdaki gibidir:

. (7)

Karmaşık bir sayıyı doğal bir güce yükseltirken, de Moivre'nin formülü kullanılır:

Karmaşık bir sayıdan kök çıkarırken aşağıdaki formül kullanılır:

, (9)

burada k=0, 1, 2, …, n-1.

Problem 54. Nerede olduğunu hesaplayın.

Bu ifadenin çözümünü karmaşık sayı yazmanın üstel biçiminde gösterelim: .

Eğer , o zaman .

Daha sonra , . Bu nedenle, o zaman Ve , Nerede .

Cevap: , de .

Problem 55. Karmaşık sayıları trigonometrik formda yazın:

A) ; B) ; v) ; G) ; e) ; e) ; Ve) .

Bir karmaşık sayının trigonometrik formu , olduğundan, o zaman:

a) Bir karmaşık sayıda: .

Bu yüzden

B) , Nerede ,

G) , Nerede ,

e) .

Ve) , A , O .

Bu yüzden

Cevap: ; 4; ; ; ; ; .

Problem 56. Bir karmaşık sayının trigonometrik formunu bulun

İzin vermek , .

Daha sonra , , .

çünkü ve , , sonra , ve

bu nedenle, bu nedenle

Cevap: , Nerede .

Problem 57. Bir karmaşık sayının trigonometrik formunu kullanarak aşağıdaki işlemleri gerçekleştirin: .

Sayıları hayal edin ve trigonometrik formda.

1) , nerede Daha sonra

Ana bağımsız değişkenin değerini bulma:

Değerleri ve ifadeyi değiştirin, elde ederiz

2) Nerede o zaman

Daha sonra

3) Bölümü bulun

k=0, 1, 2 varsayarsak, istenen kökün üç farklı değerini elde ederiz:

eğer , o zaman

eğer , o zaman .

Cevap: :

: .

Problem 58. , , , farklı karmaşık sayılar olsun ve . Kanıtla

bir sayı geçerlidir pozitif sayı;

b) eşitlik gerçekleşir:

a) Bu karmaşık sayıları trigonometrik formda gösterelim:

Çünkü .

Öyleymiş gibi yapalım. Daha sonra

Sinüs işaretleri altındaki aralıktan sayılar olduğu için son ifade pozitif bir sayıdır.

çünkü sayı gerçek ve olumlu. Aslında, a ve b karmaşık sayılarsa ve gerçek ve sıfırdan büyükse, o zaman .

Ayrıca,

dolayısıyla gerekli eşitlik kanıtlanmıştır.

Problem 59. Sayıyı cebirsel biçimde yazın .

Sayıyı trigonometrik formda temsil ediyoruz ve ardından cebirsel formunu buluyoruz. Sahibiz . İçin sistemi alıyoruz:

Bundan eşitlik gelir: .

De Moivre formülünü uygulamak:

alırız

Verilen sayının trigonometrik formu bulunur.

Şimdi bu sayıyı cebirsel biçimde yazıyoruz:

Cevap: .

Problem 60. Toplamı bulun , ,

Toplamı düşünün

De Moivre formülünü uygulayarak, buluruz

Bu toplam n terimin toplamıdır geometrik ilerleme payda ile ve ilk üye .

Böyle bir ilerlemenin terimlerinin toplamı için formülü uygularsak,

Son ifadedeki sanal kısmı ayırarak buluruz

Gerçek kısmı ayırarak, aşağıdaki formülü de elde ederiz: , , .

Problem 61. Toplamı bulun:

A) ; B) .

Newton'un bir kuvvete yükseltme formülüne göre, elimizde

De Moivre'nin formülüne göre şunu buluruz:

için elde edilen ifadelerin gerçek ve sanal kısımlarını eşitleyerek, şunu elde ederiz:

Ve .

Bu formüller kompakt formda aşağıdaki gibi yazılabilir:

, a sayısının tamsayı kısmı nerede.

Sorun 62. Tümünü bulun hangisi için .

Çünkü , ardından formülü uygulayarak

, Kökleri çıkarmak için, ,

Buradan, , ,

, .

Sayılara karşılık gelen noktalar, (0;0) noktasında ortalanmış 2 yarıçaplı bir daire içine çizilmiş bir karenin köşelerinde bulunur (Şekil 30).

Cevap: , ,

, .

Problem 63. Denklemi çözün , .

Koşula göre; bu nedenle, bu denklemin kökü yoktur ve bu nedenle denkleme eşdeğerdir.

z sayısının bu denklemin kökü olabilmesi için sayının olması gerekir. n'inci kök 1 derece.

Dolayısıyla, orijinal denklemin eşitliklerden belirlenen kökleri olduğu sonucuna varıyoruz.

Böylece,

yani ,

Cevap: .

Problem 64. Denklemi karmaşık sayılar kümesinde çözün.

Sayı bu denklemin kökü olmadığından, o zaman bu denklem için denkleme eşdeğerdir.

Yani denklem.

Bu denklemin tüm kökleri aşağıdaki formülden elde edilir (bkz. problem 62):

; ; ; ; .

Problem 65. Karmaşık düzlemde eşitsizlikleri sağlayan bir dizi nokta çizin: . (45. sorunu çözmenin 2. yolu)

İzin vermek .

Aynı modüllere sahip karmaşık sayılar, orijinde merkezli bir daire üzerinde uzanan düzlemin noktalarına karşılık gelir, bu nedenle eşitsizlik ile daireler tarafından sınırlanan açık bir halkanın tüm noktalarını tatmin eder. ortak merkez orijinde ve yarıçaplarda ve (Şek. 31). Karmaşık düzlemin bazı noktalarının w0 sayısına karşılık gelmesine izin verin. Sayı , w0 bağımsız değişkeninden daha büyük bir bağımsız değişken olan w0 modülünden daha küçük bir katsayı değerine sahiptir. İLE geometrik nokta w1'e karşılık gelen bakış açısı, orijinde ve katsayı merkezli bir homoteti ve ayrıca orijine göre saat yönünün tersine döndürme kullanılarak elde edilebilir. Bu iki dönüşümün halkanın noktalarına uygulanması sonucunda (Şekil 31), halka aynı merkeze ve yarıçap 1 ve 2'ye sahip dairelerle sınırlanan bir halkaya dönüşecektir (Şekil 32).

dönüşüm vektör üzerinde paralel çeviri kullanılarak uygulanır. Bir noktada ortalanan halkayı belirtilen vektöre aktararak, bir noktada ortalanmış aynı boyutta bir halka elde ederiz (Şekil 22).

Düzlemin geometrik dönüşümleri fikrini kullanan önerilen yöntem, açıklama açısından muhtemelen daha az uygundur, ancak çok zarif ve etkilidir.

Problem 66. .

Let , o zaman ve . Orijinal eşitlik şu şekli alacaktır . İki karmaşık sayının eşitlik koşulundan , , buradan , elde ederiz. Böylece, .

z sayısını trigonometrik formda yazalım:

, Nerede , . De Moivre'nin formülüne göre .

Cevap: - 64.

Problem 67. Bir karmaşık sayı için, , ve gibi tüm karmaşık sayıları bulun. .

Sayıyı trigonometrik formda gösterelim:

. Buradan , . Aldığımız bir sayı için, herhangi birine eşit olabilir.

İlk durumda , saniyede

Cevap: , .

Problem 68. Öyle ki sayıların toplamını bulun. Bu numaralardan birini belirtin.

Problemin formülasyonundan, denklemin köklerinin toplamının, köklerin kendileri hesaplanmadan bulunabileceği anlaşılabileceğine dikkat edin. Aslında, denklemin köklerinin toplamı katsayısıdır, ters işaretle alınır (genelleştirilmiş Vieta teoremi), yani

Öğrenciler, okul belgeleri, bu kavramın asimilasyon derecesi hakkında sonuçlar çıkarırlar. Matematiksel düşünmenin özelliklerini ve karmaşık sayı kavramını oluşturma sürecini özetler. Yöntemlerin açıklaması. Teşhis: Aşama yapıyorum. Görüşme 10. sınıfta cebir ve geometri dersi veren bir matematik öğretmeni ile yapılmıştır. Görüşme bir süre sonra gerçekleşti...

Kişinin kendi davranışının bir değerlendirmesini de içeren rezonans" (!). 4. Kişinin durumu anlayışının eleştirel değerlendirmesi (şüpheler). 5. Son olarak, tavsiyelerin kullanımı hukuk psikolojisi(bir avukat tarafından muhasebe psikolojik yönler gerçekleştirilen profesyonel eylemler - profesyonel ve psikolojik hazırlık). Şimdi hukuki gerçeklerin psikolojik analizini ele alalım. ...

Trigonometrik ikame matematiği ve geliştirilen öğretim metodolojisinin etkinliğinin doğrulanması. Çalışma aşamaları: 1. Derinlemesine matematik çalışması olan sınıflarda öğrencilerle "Cebirsel problemleri çözmek için trigonometrik ikame uygulaması" konulu isteğe bağlı bir dersin geliştirilmesi. 2. Gelişmiş bir seçmeli ders yürütmek. 3. Teşhis kontrolünün gerçekleştirilmesi...

Bilişsel görevler yalnızca tamamlama amaçlıdır mevcut fonlar eğitim ve eğitim sürecinin tüm geleneksel araçları ve unsurları ile uygun bir kombinasyon içinde olmalıdır. Öğretimde öğrenme hedefleri arasındaki fark beşeri bilimler Kesin, matematiksel problemlerden, yalnızca tarihsel problemlerde çözümlerini zorlaştıran formüller, katı algoritmalar vb. ...

3.1. kutupsal koordinatlar

Genellikle uçakta kullanılır kutupsal koordinat sistemi . Bir O noktası verilirse tanımlanır, denir kutup ve direkten çıkan bir ışın (bizim için bu eksen Öküz) kutup eksenidir. M noktasının konumu iki sayı ile sabitlenir: yarıçap (veya yarıçap vektörü) ve kutup ekseni ile vektör arasındaki φ açısı.φ açısı denir kutup açısı; Radyan cinsinden ölçülür ve kutup ekseninden saat yönünün tersine sayılır.

Kutupsal koordinat sistemindeki bir noktanın konumu, sıralı bir sayı çifti (r; φ) ile verilir. kutupta r = 0 ve φ tanımlı değil. Diğer tüm noktalar için r > 0 ve φ, 2π'nin katına kadar tanımlanır. Bu durumda, (r; φ) ve (r 1 ; φ 1) sayı çiftlerine eğer .

Dikdörtgen bir koordinat sistemi için xOy bir noktanın Kartezyen koordinatları, kutupsal koordinatları cinsinden aşağıdaki gibi kolayca ifade edilir:

3.2. Karmaşık bir sayının geometrik yorumu

Uçakta Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini düşünün xOy.

Herhangi bir z=(a, b) karmaşık sayısına, ( x, y), Nerede koordinat x = a, yani karmaşık sayının gerçek kısmı, y = bi koordinatı sanal kısımdır.

Noktaları karmaşık sayılar olan bir düzlem, karmaşık bir düzlemdir.

Şekilde, karmaşık sayı z = (bir, b) maç noktası M(x, y).

Egzersiz yapmak.Koordinat düzleminde karmaşık sayılar çizin:

3.3. Karmaşık bir sayının trigonometrik formu

Düzlemdeki bir karmaşık sayı, bir noktanın koordinatlarına sahiptir. M(x; y). burada:

karmaşık sayı yazma - Karmaşık bir sayının trigonometrik formu.

r sayısı denir modül karmaşık sayı z ve belirtilir. Modül, negatif olmayan bir gerçek sayıdır. İçin .

Modül sıfırdır, ancak ve ancak şu durumlarda z = 0, yani a=b=0.

φ sayısı denir argüman z ve belirtilen. Z bağımsız değişkeni, kutupsal koordinat sistemindeki kutupsal açı gibi, yani 2π'nin katına kadar belirsiz bir şekilde tanımlanır.

O zaman şunu kabul ederiz: , burada φ en küçük değer argüman. açık ki

Konunun daha derinlemesine incelenmesiyle, yardımcı bir argüman φ* tanıtılır, öyle ki

örnek 1. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulun.

Çözüm. 1) modülü ele alıyoruz: ;

2) φ'yi aramak: ;

3) trigonometrik form:

Örnek 2 Karmaşık bir sayının cebirsel biçimini bulun .

Burada değerleri yerine koymak yeterlidir. trigonometrik fonksiyonlar ve ifadeyi dönüştürün:

Örnek 3 Karmaşık bir sayının modülünü ve bağımsız değişkenini bulun;

1) ;

2) ; φ - 4 çeyrekte:

3.4. Trigonometrik formda karmaşık sayılarla işlemler

· Toplama ve çıkarma karmaşık sayılarla cebirsel biçimde gerçekleştirmek daha uygundur:

· Çarpma işlemi– basit trigonometrik dönüşümler yardımıyla gösterilebilir ki çarparken, sayı modülleri çarpılır ve bağımsız değişkenler eklenir: ;

Bu bölümde, bir karmaşık sayının trigonometrik formuna daha fazla odaklanacağız. Pratik görevlerde üstel biçim çok daha az yaygındır. Mümkünse lütfen indirin ve yazdırın. trigonometrik tablolar, metodolojik materyal Matematiksel formüller ve tablolar sayfasında bulunabilir. Masalar olmadan uzağa gidemezsin.

Herhangi bir karmaşık sayı (sıfır hariç) trigonometrik biçimde yazılabilir:

Nerede karmaşık sayı modülü, A - karmaşık sayı bağımsız değişkeni.

Karmaşık düzlemde bir sayı çizin. Açıklamaların kesinliği ve basitliği için, onu ilk koordinat çeyreğine yerleştireceğiz, yani. inanıyoruz ki:

Karmaşık bir sayının modülü koordinatların orijininden karmaşık düzlemin karşılık gelen noktasına olan mesafedir. Basit ifadeyle, modül uzunlukturçizimde kırmızı ile işaretlenmiş olan yarıçap vektörü.

Karmaşık bir sayının modülü genellikle şu şekilde gösterilir: veya

Pisagor teoremini kullanarak, bir karmaşık sayının modülünü bulmak için bir formül türetmek kolaydır: . Bu formül geçerlidir herhangi"a" ve "olmak" anlamına gelir.

Not : karmaşık bir sayının modülü, kavramın bir genellemesidir gerçek sayı modülü, noktadan orijine olan mesafe olarak.

karmaşık sayının argümanı isminde köşe arasında pozitif eksen orijinden karşılık gelen noktaya çizilen gerçek eksen ve yarıçap vektörü. Argüman tekil için tanımlanmadı:.

Ele alınan ilke aslında kutup yarıçapı ve kutup açısının benzersiz bir noktayı tanımladığı kutupsal koordinatlara benzer.

Karmaşık bir sayının argümanı genellikle şu şekilde gösterilir: veya

Geometrik değerlendirmelerden, argümanı bulmak için aşağıdaki formül elde edilir:

. Dikkat! Bu formül yalnızca sağ yarım düzlemde çalışır! Karmaşık sayı 1. veya 4. koordinat kadranında yer almıyorsa, formül biraz farklı olacaktır. Bu durumları da ele alacağız.

Ama önce, karmaşık sayıların koordinat eksenlerinde bulunduğu en basit örnekleri ele alalım.

Örnek 7

Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde ifade edin: ,,,. Çizimi çalıştıralım:

Aslında görev sözlüdür. Anlaşılır olması için, bir karmaşık sayının trigonometrik biçimini yeniden yazacağım:

Sıkıca hatırlayalım, modül - uzunluk(ki her zaman negatif olmayan), bağımsız değişken köşe

1) Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulun. Açıktır ki. Aşağıdaki formüle göre resmi hesaplama: Açıktır ki (sayı doğrudan gerçek pozitif yarı eksen üzerinde yer alır). Yani trigonometrik formdaki sayı:

Gün gibi temizle, ters kontrol eylemi:

2) Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulun. Açıktır ki. Aşağıdaki formüle göre resmi hesaplama: Açıkçası (veya 90 derece). Çizimde köşe kırmızı ile işaretlenmiştir. Yani trigonometrik formdaki sayı: .

kullanma , sayının cebirsel biçimini geri almak kolaydır (aynı zamanda kontrol ederek):

3) Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü bulun ve

argüman. Açıktır ki . Aşağıdaki formüle göre resmi hesaplama:

Açıkçası (veya 180 derece). Çizimde açı mavi renkle belirtilmiştir. Yani trigonometrik formdaki sayı:

Muayene:

4) Ve dördüncü ilginç durum. Açıktır ki. Aşağıdaki formüle göre resmi hesaplama:

Argüman iki şekilde yazılabilir: Birinci yol: (270 derece) ve buna göre: . Muayene:

Ancak, aşağıdaki kural daha standarttır: Açı 180 dereceden büyükse, daha sonra bir eksi işareti ve açının zıt yönü (“kaydırma”) ile yazılır: (eksi 90 derece), çizimde açı yeşil renkle işaretlenmiştir. Görmesi kolay

bu aynı açıdır.

Böylece, giriş şu hale gelir:

Dikkat! Hiçbir durumda kosinüsün düzgünlüğünü, sinüsün tuhaflığını kullanmamalı ve kaydı daha fazla "basitleştirme" yapmamalısınız:

Bu arada hatırlatmakta fayda var. dış görünüş ve trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri, referans malzemeleri, temel temel fonksiyonların Grafikler ve özellikleri sayfasının son paragraflarındadır. Ve karmaşık sayıları öğrenmek çok daha kolay!

En basit örneklerin tasarımında bu yazılmalıdır. : "Açıkçası modül... açıkça argüman...". Bu gerçekten açık ve sözlü olarak kolayca çözülebilir.

Daha yaygın vakalara geçelim. Modül ile ilgili herhangi bir sorun yoktur, her zaman formülü kullanmalısınız. Ancak argümanı bulma formülleri farklı olacaktır, bu, sayının hangi koordinat çeyreğinde olduğuna bağlıdır. Bu durumda üç seçenek mümkündür (bunları yeniden yazmakta fayda vardır):

1) Eğer (1. ve 4. koordinat çeyrekleri veya sağ yarım düzlem), argüman formülle bulunmalıdır.

2) Eğer (2. koordinat çeyreği), o zaman argüman formülle bulunmalıdır. .

3) Eğer (3. koordinat çeyreği), argüman formüle göre bulunmalıdır. .

Örnek 8

Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde ifade edin: ,,,.

Hazır formüller olur olmaz çizim gerekli değildir. Ancak bir nokta var: Sizden bir sayıyı trigonometrik formda göstermeniz istendiğinde, o zaman çizim yapmak her halükarda daha iyidir. Gerçek şu ki, öğretmenler genellikle çizim olmadan bir çözümü reddederler, çizimin olmaması ciddi bir eksi ve başarısızlık nedenidir.

Sayıları temsil ediyoruz ve karmaşık biçimde, birinci ve üçüncü sayılar bağımsız bir çözüm için olacak.

Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulun.

(durum 2) beri, o zaman

- burada ark teğetinin tuhaflığını kullanmanız gerekir. Ne yazık ki, tabloda herhangi bir değer yoktur, bu nedenle bu gibi durumlarda argüman hantal bir biçimde bırakılmalıdır: - trigonometrik formdaki sayılar.

Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulun.

(Durum 1) beri, o zaman (eksi 60 derece).

Böylece:

trigonometrik formda bir sayıdır.

Ve burada, daha önce de belirtildiği gibi, eksiler Dokunma.

Eğlenceli grafik doğrulama yöntemine ek olarak, Örnek 7'de halihazırda gerçekleştirilmiş olan bir analitik doğrulama da vardır. trigonometrik fonksiyonların değer tablosu, açının tam olarak tablo açısı (veya 300 derece) olduğu dikkate alındığında: - orijinal cebirsel formdaki sayılar.

Sayılar ve kendinizi trigonometrik formda temsil edin. Kısa çözüm ve cevap dersin sonunda.

Bölümün sonunda kısaca karmaşık sayının üstel şekli hakkında bilgi verilmiştir.

Herhangi bir karmaşık sayı (sıfır hariç) üstel biçimde yazılabilir:

Karmaşık sayının modülü nerede ve karmaşık sayının argümanı.

Karmaşık bir sayıyı üstel formda temsil etmek için ne yapılması gerekiyor? Hemen hemen aynı: çizimi yürütün, modülü ve argümanı bulun. Ve numarayı olarak yazın.

Örneğin, önceki örneğin numarası için modülü ve bağımsız değişkeni bulduk:,. Daha sonra bu sayı üstel formda aşağıdaki gibi yazılacaktır:

Üstel formdaki sayı şöyle görünür:

Sayı - Bu yüzden:

tek tavsiye göstergeye dokunmayınüsler, çarpanları yeniden düzenlemeye, parantezleri açmaya vb. gerek yoktur. Üstel biçimde karmaşık bir sayı yazılır kesinlikle bilgi vermek.

Cebirsel biçimde yazılmış karmaşık sayılarla ilgili işlemler

Z karmaşık sayısının cebirsel formu =(A,B), formun cebirsel ifadesi olarak adlandırılır.

z = A + bi.

Karmaşık sayılar üzerinde aritmetik işlemler z 1 = bir 1 +b 1 Ben Ve z 2 = bir 2 +b 2 Ben, cebirsel biçimde yazılır, aşağıdaki gibi gerçekleştirilir.

1. Karmaşık sayıların toplamı (farkı)

z 1 ±z 2 = (A 1 ± bir 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

onlar. toplama (çıkarma), benzer terimlerin indirgenmesi ile polinomların toplanması kuralına göre gerçekleştirilir.

2. Karmaşık sayıların çarpımı

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -B 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

onlar. çarpma işlemi, polinomların çarpılması için olağan kurala göre yapılır; Ben 2 = 1.

3. İki karmaşık sayının bölünmesi aşağıdaki kurala göre yapılır:

, (z 2 ≠ 0),

onlar. Bölme işlemi, bölünen ve bölen ile bölenin eşleniğinin çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

Karmaşık sayıların üssü şu şekilde tanımlanır:

bunu göstermek kolay

örnekler.

1. Karmaşık sayıların toplamını bulun z 1 = 2 – Ben Ve z 2 = – 4 + 3Ben.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Ben) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Ben = –2+2Ben.

2. Karmaşık sayıların çarpımını bulun z 1 = 2 – 3Ben Ve z 2 = –4 + 5Ben.

= (2 – 3Ben) ∙ (–4 + 5Ben) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Ben)+ 2∙5Ben– 3ben∙ 5ben = 7+22Ben.

3. Gizli bul z bölümden z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – Ben.

z= .

4. Denklemi çözün:, X Ve y Î R.

(2x+y) + (x+y)ben = 2 + 3Ben.

Karmaşık sayıların eşitliği sayesinde, şunu elde ederiz:

Neresi x=–1 , y= 4.

5. Hesapla: Ben 2 ,Ben 3 ,Ben 4 ,Ben 5 ,Ben 6 ,Ben -1 , Ben -2 .

6. ise hesaplayın.

7. Bir sayı hesaplayın sayının tersi z=3-Ben.

Trigonometrik formda karmaşık sayılar

karmaşık düzlem Kartezyen koordinatlara sahip bir düzlem denir ( x, y), eğer koordinatları olan her nokta ( bir, b) karmaşık bir sayı atanır z = bir + bi. Bu durumda apsis ekseni denir gerçek eksen ve y ekseni hayali. Sonra her karmaşık sayı a+bi bir düzlemde nokta olarak geometrik olarak temsil edilir bir (bir, b) veya vektör.

Bu nedenle, noktanın konumu A(ve dolayısıyla karmaşık sayı z) vektörün uzunluğuna göre ayarlanabilir | | = R ve açı J vektör tarafından oluşturulan | | gerçek eksenin pozitif yönü ile. Bir vektörün uzunluğuna denir karmaşık sayı modülü ve | ile gösterilir z|=r ve açı J isminde karmaşık sayı bağımsız değişkeni ve belirtilen j = argüman.

Açıktır ki | z| ³ 0 ve | z | = 0 Û z= 0.

Şek. 2 bunu gösteriyor.

Karmaşık bir sayının bağımsız değişkeni belirsiz bir şekilde tanımlanır ve 2'ye kadar pkkÎ Z.

Şek. 2 ayrıca eğer z=a+bi Ve j=argz, O

çünkü j =, günah j =, tg j = .

Eğer zОR Ve Z > 0 o zaman argüman = 0 +2pk;

Eğer z ОR Ve z< 0 o zaman argüman = p + 2pk;

Eğer z= 0,argz tanımsız

Bağımsız değişkenin ana değeri 0 aralığında belirlenir. £argz£2 P,

veya -P£ argüman z £ p.

Örnekler:

1. Karmaşık sayıların modülünü bulun z 1 = 4 – 3Ben Ve z 2 = –2–2Ben.