Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Çelyabinsk bölgesi

Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi

Makale, ITAKA+ Otel Kompleksi'nin desteğiyle yayınlandı. Gemi yapımcıları Severodvinsk şehrinde kalmak, geçici konut bulma sorunuyla karşılaşmayacaksınız. , "ITAKA +" otel kompleksinin web sitesinde http://itakaplus.ru, günlük ödeme ile herhangi bir süre için şehirde bir daireyi kolayca ve hızlı bir şekilde kiralayabilirsiniz.

Açık şimdiki aşama eğitimin ana görevlerinden biri olarak geliştirilmesi, yaratıcı düşünen bir kişiliğin oluşturulmasıdır. Öğrencilerde yaratıcılık yeteneği, ancak sistematik olarak araştırma faaliyetlerinin temellerine dahil edilirlerse geliştirilebilir. Öğrencilerin yaratıcı güçlerini, yeteneklerini ve yeteneklerini kullanmalarının temeli, tam teşekküllü bilgi ve becerilerden oluşur. Bu bağlamda, okul matematik dersinin her konusu için bir temel bilgi ve beceri sistemi oluşturma sorunu hiç de azımsanmayacak bir öneme sahiptir. Aynı zamanda, tam teşekküllü beceriler, bireysel görevlerin değil, dikkatlice düşünülmüş sistemlerinin didaktik hedefi olmalıdır. En geniş anlamda, bir sistem, bütünlük ve kararlı bir yapıya sahip, birbiriyle ilişkili, etkileşimli öğeler kümesi olarak anlaşılmaktadır.

Öğrencilere bir teğet denkleminin bir fonksiyon grafiğine nasıl çizileceğini öğretmek için bir metodoloji düşünün. Temelde, teğet denklemi bulmaya yönelik tüm görevler, belirli bir gereksinimi karşılayan satırlar kümesinden (demet, aile) seçim yapma ihtiyacına indirgenir - bunlar belirli bir fonksiyonun grafiğine teğettir. Bu durumda, seçimin gerçekleştirildiği satır seti iki şekilde belirtilebilir:

a) xOy düzleminde uzanan bir nokta (merkezi çizgi kalemi);
b) açısal katsayı (paralel hat demeti).

Bu bağlamda, sistemin öğelerini izole etmek için "Bir fonksiyonun grafiğine teğet" konusunu incelerken, iki tür görev belirledik:

1) içinden geçtiği bir nokta tarafından verilen bir teğet üzerindeki görevler;
2) eğimi tarafından verilen bir teğet üzerindeki görevler.

Bir teğet üzerindeki sorunları çözmeyi öğrenmek, A.G. tarafından önerilen algoritma kullanılarak gerçekleştirildi. Mordkoviç. Halihazırda bilinenlerden temel farkı, teğet noktasının apsisinin, teğet denkleminin şeklini aldığı bağlantılı olarak a harfiyle (x0 yerine) gösterilmesidir.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0) ile karşılaştırın). Bize göre bu metodolojik teknik, öğrencilerin mevcut noktanın koordinatlarının nerede yazıldığını hızlı ve kolay bir şekilde anlamalarını sağlar. genel teğet denkleminde ve temas noktaları nerede.

Teğet denklemini y = f(x) fonksiyonunun grafiğine derlemek için algoritma

1. a harfi ile temas noktasının apsisini belirleyin.
2. f(a)'yı bulun.
3. f "(x) ve f "(a)'yı bulun.
4. Bulunan a, f (a), f "(a) sayılarını y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) teğetinin genel denkleminde değiştirin.

Bu algoritma, öğrencilerin bağımsız işlem seçimi ve yürütme sırasına göre derlenebilir.

Uygulama, algoritmayı kullanarak temel görevlerin her birinin tutarlı çözümünün, teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine aşamalı olarak yazma yeteneğini oluşturmanıza izin verdiğini ve algoritmanın adımlarının eylemler için güçlü noktalar olarak hizmet ettiğini göstermiştir. . Bu yaklaşım, P.Ya. tarafından geliştirilen zihinsel eylemlerin kademeli oluşumu teorisine karşılık gelir. Galperin ve N.F. Talizina.

İlk görev türünde, iki temel görev belirlendi:

• teğet eğri üzerinde bulunan bir noktadan geçer (problem 1);
• teğet eğri üzerinde olmayan bir noktadan geçer (Problem 2).

Görev 1. Teğeti fonksiyonun grafiğine eşitleyin M(3; – 2) noktasında.

Çözüm. M(3; – 2) noktası temas noktasıdır, çünkü

1. a = 3 - temas noktasının apsisi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 teğet denklemdir.

Görev 2. M(- 3; 6) noktasından geçen y = - x 2 - 4x + 2 fonksiyonunun grafiğine tüm teğetlerin denklemlerini yazın.

Çözüm. M(– 3; 6) noktası bir teğet noktası değildir, çünkü f(– 3) 6 (Şek. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - teğet denklem.

Teğet M(– 3; 6) noktasından geçer, dolayısıyla koordinatları teğet denklemini sağlar.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
2 + 6a + 8 = 0^ bir 1 = - 4, bir 2 = - 2.

a = – 4 ise teğet denklem y = 4x + 18'dir.

a \u003d - 2 ise, teğet denklem y \u003d 6 biçimine sahiptir.

İkinci tipte, temel görevler aşağıdakiler olacaktır:

• teğet bir düz çizgiye paraleldir (sorun 3);
• teğet belirli bir açıyla verilen doğruya geçer (Problem 4).

Görev 3. Tüm teğetlerin denklemlerini y \u003d 9x + 1 çizgisine paralel olarak y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 fonksiyonunun grafiğine yazın.

Çözüm.

1. a - temas noktasının apsisi.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ancak öte yandan, f "(a) \u003d 9 (paralellik koşulu). Öyleyse, 3a 2 - 6a \u003d 9 denklemini çözmemiz gerekiyor. Kökleri a \u003d - 1, a \u003d 3 (Şek. 3).

4. 1) bir = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = - 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 teğet denklemidir;

1) bir = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 teğet denklemidir.

Görev 4. Teğet denklemini y = 0.5x 2 - 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine yazın, 45 ° 'lik bir açıyla y = 0 düz çizgisine geçin (Şekil 4).

Çözüm. F "(a) \u003d tg 45 ° koşulundan a: a - 3 \u003d 1 buluruz^a=4.

1. a = 4 - temas noktasının apsisi.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - teğetin denklemi.

Başka herhangi bir sorunun çözümünün bir veya daha fazla kilit sorunun çözümüne indirgendiğini göstermek kolaydır. Aşağıdaki iki problemi örnek olarak ele alalım.

1. Teğetlerin denklemlerini y = 2x 2 - 5x - 2 parabolüne yazın, eğer teğetler dik açıyla kesişiyorsa ve bunlardan biri apsis 3 ile noktada parabole dokunuyorsa (Şekil 5).

Çözüm. Temas noktasının apsisi verildiği için çözümün ilk kısmı anahtar problem 1'e indirgenmiştir.

1. a \u003d 3 - dik açının kenarlarından birinin temas noktasının apsisi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ilk teğetin denklemi.

izin ver birinci teğetin eğim açısıdır. Teğetler dik olduğu için ikinci teğetin eğim açısıdır. İlk teğetin y = 7x – 20 denkleminden tg'ye sahibiz a = 7. Bul

Bu, ikinci teğetin eğiminin olduğu anlamına gelir.

Diğer çözüm, temel görev 3'e indirgenmiştir.

B(c; f(c)) ikinci doğrunun teğet noktası olsun, o zaman

1. - ikinci temas noktasının apsisi.
2.
3.
4.
ikinci teğetin denklemidir.

Not. Öğrenciler dik doğruların katsayılarının oranını k 1 k 2 = - 1 bilirlerse teğetin açısal katsayısı daha kolay bulunabilir.

2. Tüm ortak teğetlerin denklemlerini fonksiyon grafiklerine yazın

Çözüm. Görev, ortak teğetlerin temas noktalarının apsislerini bulmaya, yani anahtar problem 1'i genel bir biçimde çözmeye, bir denklem sistemi derlemeye ve sonra onu çözmeye indirgenmiştir (Şekil 6).

1. y = x 2 + x + 1 fonksiyonunun grafiğinde bulunan temas noktasının apsisi a olsun.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Fonksiyonun grafiğinde yatan teğet noktasının apsisi c olsun
2.
3. f "(c) = c.
4.

Teğetler ortak olduğuna göre,

Yani y = x + 1 ve y = - 3x - 3 ortak teğetlerdir.

Ele alınan görevlerin temel amacı, öğrencileri belirli araştırma becerileri (analiz etme, karşılaştırma, genelleme yapma, bir hipotez öne sürme vb.) Bu tür görevler, anahtar görevin bir bileşen olarak dahil edildiği herhangi bir görevi içerir. Teğet ailesinden bir fonksiyon bulma problemini (problem 1'in tersi) örnek olarak ele alalım.

3. Hangi b ve c için y \u003d x ve y \u003d - 2x çizgileri y \u003d x 2 + bx + c fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Çözüm.

t, y = x doğrusu ile y = x 2 + bx + c parabolü arasındaki temas noktasının apsisi olsun; p, y = - 2x doğrusu ile y = x 2 + bx + c parabolü arasındaki temas noktasının apsisidir. O zaman y = x teğet denklemi y = (2t + b)x + c - t 2 şeklini alır ve y = - 2x teğet denklemi y = (2p + b)x + c - p 2 şeklini alır .

Denklem sistemi oluşturma ve çözme

Cevap:

Bağımsız çözüm için görevler

1. y = 2x 2 - 4x + 3 fonksiyonunun grafiğine çizilen teğetlerin denklemlerini grafiğin y = x + 3 doğrusuyla kesiştiği noktalara yazınız.

Cevap: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5.

2. A'nın hangi değerleri için y \u003d x 2 - ax fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet x 0 \u003d 1 apsisi ile grafiğin noktasında M (2; 3) noktasından geçer. ?

Cevap: a = 0.5.

3. y = px - 5 doğrusu y = 3x 2 - 4x - 2 eğrisine p'nin hangi değerleri için dokunur?

Cevap: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. y = 3x - x 3 fonksiyonunun grafiğinin tüm ortak noktalarını ve bu grafiğe P(0; 16) noktasından geçen teğeti bulun.

Cevap: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 parabolü ile doğru arasındaki en kısa mesafeyi bulun

Cevap:

6. y \u003d x 2 - x + 1 eğrisinde, grafiğin teğetinin y - 3x + 1 \u003d 0 çizgisine paralel olduğu noktayı bulun.

Cevap: M(2; 3).

7. Teğetin denklemini y = x 2 + 2x - | fonksiyonunun grafiğine yazın. 4x | bu ona iki noktada dokunuyor. Çizim yapmak.

Cevap: y = 2x - 4.

8. y = 2x – 1 doğrusunun y = x 4 + 3x 2 + 2x eğrisini kesmediğini kanıtlayın. En yakın noktaları arasındaki mesafeyi bulun.

Cevap:

9. y \u003d x 2 parabolünde x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3 apsisli iki nokta alınır, bu noktalardan bir sekant çizilir. Parabolün hangi noktasında ona teğet çizilen sekant ile paralel olacaktır? Sekant ve teğet denklemlerini yazınız.

Cevap: y \u003d 4x - 3 - sekant denklemi; y = 4x – 4 teğet denklemidir.

10. q açısını bulun apsis 0 ve 1 noktalarında çizilmiş y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1 fonksiyonunun grafiğine teğetler arasında.

Cevap: q = 45°.

11. Fonksiyon grafiğine teğet hangi noktalarda Öküz ekseni ile 135°'lik bir açı oluşturur?

Cevap: A(0; - 1), B(4; 3).

12. Eğriye A(1; 8) noktasında bir teğet çizilir. Koordinat eksenleri arasına alınmış teğet parçasının uzunluğunu bulun.

Cevap:

13. Tüm ortak teğetlerin denklemini y \u003d x 2 - x + 1 ve y \u003d 2x 2 - x + 0.5 fonksiyonlarının grafiklerine yazın.

Cevap: y = - 3x ve y = x.

14. x eksenine paralel fonksiyon grafiğine teğetler arasındaki mesafeyi bulun.

Cevap:

15. y \u003d x 2 + 2x - 8 parabolünün x eksenini hangi açılarda kestiğini belirleyin.

Cevap: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Fonksiyon grafiğinde bu grafiğin her birinde teğeti koordinatların pozitif yarı eksenleriyle kesişen ve onlardan eşit parçalar kesen tüm noktaları bulun.

Cevap: A(-3; 11).

17. y = 2x + 7 doğrusu ile y = x 2 – 1 parabolü M ve N noktalarında kesişiyor. Parabole teğet doğruların M ve N noktalarında kesiştiği K noktasını bulun.

Cevap: K(1; - 9).

18. Hangi b değerleri için y \u003d 9x + b çizgisi y \u003d x 3 - 3x + 15 fonksiyonunun grafiğine teğettir?

Cevap 1; 31.

19. k'nin hangi değerleri için y = kx – 10 doğrusu ile y = 2x 2 + 3x – 2 fonksiyonunun grafiğinin tek bir ortak noktası vardır? Bulunan k değerleri için noktanın koordinatlarını belirleyiniz.

Cevap: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. y = bx 3 – 2x 2 – 4 fonksiyonunun grafiğine apsis x 0 = 2 noktasında çizilen teğet b'nin hangi değerleri için M(1; 8) noktasından geçer?

Cevap: b = - 3.

21. Köşesi x ekseni üzerinde olan bir parabol, A(1; 2) ve B(2; 4) noktalarından geçen doğruya B noktasında teğettir. Parabolün denklemini bulunuz.

Cevap:

22. y \u003d x 2 + kx + 1 parabolü k katsayısının hangi değerinde Öküz eksenine dokunur?

Cevap: k = q 2.

23. y = x + 2 doğrusu ile y = 2x 2 + 4x - 3 eğrisi arasındaki açıları bulun.

29. Öküz ekseninin pozitif yönü 45° açıda olan fonksiyon üreteçlerinin grafiğine teğetleri arasındaki mesafeyi bulunuz.

Cevap:

30. y = x 2 + ax + b şeklindeki tüm parabollerin y = 4x - 1 doğrusuna değen köşelerinin yerini bulun.

Cevap: düz çizgi y = 4x + 3.

Edebiyat

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Cebir ve Analizin Başlangıcı: Okul Çocukları ve Üniversiteye Başvuranlar için 3600 Problem. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Genç öğretmenler için dördüncü seminer. Konu "Türev Uygulamalar" dır. - M., "Matematik", Sayı 21/94.
3. Zihinsel eylemlerin kademeli olarak özümsenmesi teorisine dayanan bilgi ve becerilerin oluşumu. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talizina. - M., Moskova Devlet Üniversitesi, 1968.

Bir x 0 noktasında sonlu bir f (x 0) türevi olan bir f fonksiyonu verilsin. Daha sonra eğimi f '(x 0) olan (x 0; f (x 0)) noktasından geçen doğruya teğet denir.

Peki x 0 noktasındaki türev yoksa ne olur? İki seçenek vardır:

1. Grafiğin teğeti de mevcut değil. Klasik örnek, y = |x | (0; 0) noktasında.
2. Teğet dikey hale gelir. Bu, örneğin, (1; π /2) noktasındaki y = arksin x fonksiyonu için doğrudur.

teğet denklem

Dikey olmayan herhangi bir düz çizgi, k'nin eğim olduğu y = kx + b biçimindeki bir denklemle verilir. Teğet bir istisna değildir ve denklemini x 0 noktasında oluşturmak için fonksiyonun değerini ve bu noktadaki türevi bilmek yeterlidir.

Öyleyse, segmentte y \u003d f '(x) türevi olan y \u003d f (x) bir fonksiyon verilsin. Daha sonra, herhangi bir x 0 ∈ (a; b) noktasında, bu fonksiyonun denklemle verilen grafiğine bir teğet çizilebilir:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Burada f '(x 0), x 0 noktasındaki türevin değeridir ve f (x 0), fonksiyonun kendisinin değeridir.

Görev. Bir fonksiyon verildiğinde y = x 3 . Bu fonksiyonun grafiğine x 0 = 2 noktasındaki teğet için bir denklem yazın.

Teğet denklem: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Bize x 0 = 2 noktası verilir, ancak f (x 0) ve f '(x 0) değerlerinin hesaplanması gerekecektir.

Öncelikle fonksiyonun değerini bulalım. Burada her şey kolay: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Şimdi türevi bulalım: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
x 0 = 2 türevinde yerine koyun: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Böylece şunu elde ederiz: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Bu teğet denklemidir.

Görev. x 0 \u003d π / 2 noktasında f (x) \u003d 2sin x + 5 fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini oluşturun.

Bu sefer her eylemi ayrıntılı olarak açıklamayacağız - yalnızca temel adımları belirteceğiz. Sahibiz:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Teğet denklemi:

y = 0 (x - π /2) + 7 ⇒ y = 7

İkinci durumda, çizginin yatay olduğu ortaya çıktı, çünkü eğimi k = 0. Bunda yanlış bir şey yok - sadece bir uç noktaya rastladık.

Y \u003d f (x) ve bu noktada fonksiyon grafiğine x eksenine dik olmayan bir teğet çizilebilirse, teğetin eğimi f "(a) olur. Bunu zaten birkaç kez kullandık. Örneğin, § 33'te, orijindeki y \u003d sin x (sinüsoid) fonksiyonunun grafiğinin apsis ekseni ile 45 ° 'lik bir açı oluşturduğu (daha doğrusu, grafiğe teğet olduğu) tespit edilmiştir. orijin, x ekseninin pozitif yönü ile 45°'lik bir açı yapar) ve örnek 5'te § 33 nokta verilen çizelgede bulundu fonksiyonlar teğetin x eksenine paralel olduğu. Örnek 2 § 33'te, x \u003d 1 noktasında (daha doğrusu, (1; 1) noktasında) y \u003d x 2 fonksiyonunun grafiğine teğet için bir denklem hazırlandı, ancak daha sıklıkla yalnızca apsisin değeri, apsisin değeri biliniyorsa ordinatın değerinin y = f(x)) denkleminden bulunabileceği varsayılarak belirtilir. Bu bölümde, teğetin denklemini herhangi bir fonksiyonun grafiğine derlemek için bir algoritma geliştireceğiz.

Y \u003d f (x) işlevi ve M (a; f (a)) noktası verilsin ve f "(a)'nın var olduğu da biliniyor. Teğetin denklemini grafiğine oluşturalım. verilen bir noktada verilen fonksiyon Bu denklem, y eksenine paralel olmayan herhangi bir düz çizginin denklemi gibidir, y = kx + m şeklindedir, bu nedenle problem k katsayılarının değerlerini bulmaktır. ve M.

Eğim k ile ilgili herhangi bir sorun yok: k \u003d f "(a) olduğunu biliyoruz. M'nin değerini hesaplamak için, istenen çizginin M (a; f (a)) noktasından geçtiği gerçeğini kullanırız. Bu, M koordinat noktalarını düz bir çizgi denkleminde değiştirirsek, doğru eşitliği elde ettiğimiz anlamına gelir: f (a) \u003d ka + m, m \u003d f (a) - ka'yı bulduğumuz yerden.
Balina katsayılarının bulunan değerlerini yerine koymak kalır. denklem dümdüz:

x \u003d a noktasında y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini elde ettik.
eğer, söyle
(1) denkleminde bulunan değerleri a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2'ye koyarak, şunu elde ederiz: y \u003d 1 + 2 (x-f), yani. y \u003d 2x -1.
Bu sonucu § 33 Örnek 2'de elde edilen sonuçla karşılaştırın. Doğal olarak aynı şey oldu.
Orijindeki y \u003d tg x fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini oluşturalım. Sahibiz: dolayısıyla cos x f "(0) = 1. Bulunan a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 değerlerini denklem (1) ile değiştirerek, şunu elde ederiz: y \u003d x .
Bu nedenle § 15'te (bkz. Şekil 62) tanjantoidi koordinatların orijininden apsis eksenine 45 ° açıyla çizdik.
Bu oldukça basit örnekleri çözerek, aslında formül (1)'e gömülü belirli bir algoritma kullandık. Bu algoritmayı açık hale getirelim.

GRAFİĞE Teğet FONKSİYONUN DENKLEMİNİ OLUŞTURMAK İÇİN ALGORİTMA y \u003d f (x)

1) Temas noktasının apsisini a harfi ile belirleyin.
2) 1(a)'yı hesaplayın.
3) f "(x)'i bulun ve f" (a)'yı hesaplayın.
4) Bulunan a, f(a), (a) sayılarını formül (1)'de değiştirin.

örnek 1 Fonksiyonun x = 1 noktasındaki grafiğine teğet için bir denklem yazın.
Bu örnekte dikkate alarak algoritmayı kullanalım

Şek. 126 bir hiperbolü gösterir, düz bir çizgi y \u003d 2x oluşturulur.
Çizim, yukarıdaki hesaplamaları doğrular: aslında, y \u003d 2-x çizgisi hiperbole (1; 1) noktasında dokunur.

Cevap: y \u003d 2-x.
Örnek 2 Fonksiyonun grafiğine, y \u003d 4x - 5 düz çizgisine paralel olacak şekilde bir teğet çizin.
Sorunun formülasyonunu geliştirelim. "Bir teğet çizmek" gerekliliği genellikle "teğet için bir denklem yapmak" anlamına gelir. Bu mantıklıdır, çünkü bir kişi bir teğet için bir denklem oluşturabilseydi, denklemine göre koordinat düzleminde düz bir çizgi oluşturmakta zorluk çekmesi pek olası değildir.
Bu örnekte, teğet denklemini derlemek için algoritmayı kullanalım, Ancak, önceki örnekten farklı olarak, burada bir belirsizlik vardır: teğet noktasının apsisi açıkça belirtilmemiştir.
Şöyle konuşmaya başlayalım. İstenen teğet, y \u003d 4x-5 düz çizgisine paralel olmalıdır. İki doğru ancak ve ancak eğimleri eşitse paraleldir. Bu, teğetin eğiminin verilen düz çizginin eğimine eşit olması gerektiği anlamına gelir: Böylece a'nın değerini f "(a) \u003d 4 denkleminden bulabiliriz.
Sahibiz:
So denkleminden, problemin koşullarını karşılayan iki teğet vardır: biri apsis 2 noktasında, diğeri apsis -2 noktasında.
Artık algoritmaya göre hareket edebilirsiniz.

Örnek 3(0; 1) noktasından fonksiyonun grafiğine bir teğet çizin
Teğet denklemini derlemek için algoritmayı kullanalım. Yine de algoritmaya göre hareket ediyoruz.

Koşullu olarak, teğet (0; 1) noktasından geçer. Denklemde (2) x = 0, y = 1 değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz:
Gördüğünüz gibi, bu örnekte, algoritmanın yalnızca dördüncü adımında temas noktasının apsisini bulmayı başardık. a \u003d 4 değerini denklem (2) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

Şek. 127, dikkate alınan örneğin geometrik bir gösterimini gösterir: fonksiyonun bir grafiği

§ 32'de, sabit bir x noktasında türevi olan bir y = f(x) fonksiyonu için yaklaşık eşitliğin geçerli olduğunu belirtmiştik:

Daha fazla akıl yürütme kolaylığı için gösterimi değiştiriyoruz: x yerine a yazacağız, bunun yerine x yazacağız ve buna göre x-a yazacağız. O zaman yukarıda yazılan yaklaşık eşitlik şu şekli alacaktır:

Şimdi şek. 128. M (a; f (a)) noktasında y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine bir teğet çizilir. a'ya yakın x ekseninde işaretli x noktası. Açıktır ki, f(x) fonksiyonun grafiğinin belirtilen x noktasındaki ordinatıdır. Ve f (a) + f "(a) (x-a) nedir? Bu, aynı x noktasına karşılık gelen teğetin ordinatıdır - formül (1)'e bakın. Yaklaşık eşitliğin (3) anlamı nedir? fonksiyonun yaklaşık değerini hesaplarken, teğet ordinat değeri alınır.

Örnek 4 Sayısal ifadenin yaklaşık değerini bulun 1.02 7 .
x \u003d 1.02 noktasında y \u003d x 7 fonksiyonunun değerini bulmaktan bahsediyoruz. Bu örnekte dikkate alarak formül (3) kullanıyoruz
Sonuç olarak, şunu elde ederiz:

Bir hesap makinesi kullanırsak şunu elde ederiz: 1.02 7 = 1.148685667...
Gördüğünüz gibi, yaklaşık doğruluk oldukça kabul edilebilir.
Cevap: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Cebir 10. Sınıf

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda matematik indir

ders içeriği ders özeti destek çerçevesi ders sunumu hızlandırıcı yöntemler etkileşimli teknolojiler Pratik görevler ve alıştırmalar kendi kendine inceleme atölye çalışmaları, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışma soruları öğrencilerden retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler grafikler, tablolar, şemalar mizah, anekdotlar, fıkralar, çizgi roman benzetmeler, özdeyişler, çapraz bulmacalar, alıntılar eklentiler özetler makaleler meraklı kopya kağıtları için çipler ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesiders kitabındaki hataları düzeltme ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi, dersteki yenilik unsurlarının eskimiş bilgilerin yenileriyle değiştirilmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler takvim planı Bir yıllığına yönergeler tartışma programları Entegre Dersler

Makale, tanımların ayrıntılı bir açıklamasını, türevin geometrik anlamını grafik gösterimle verir. Teğet doğrunun denklemi örneklerle ele alınacak, 2. mertebeden eğrilere teğetin denklemleri bulunacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1

Düz çizginin eğim açısı y \u003d k x + b, x ekseninin pozitif yönünden pozitif yönde y \u003d k x + b düz çizgisine ölçülen α açısı olarak adlandırılır.

Şekilde öküz yönü yeşil ok ve yeşil yay ile, eğim açısı ise kırmızı yay ile gösterilmiştir. Mavi çizgi düz bir çizgiyi ifade eder.

Tanım 2

Düz çizginin eğimi y \u003d k x + b sayısal katsayı k olarak adlandırılır.

Eğim düz çizginin eğimine eşittir, diğer bir deyişle k = t g α .

• Düz çizginin eğimi yalnızca o x paralel olduğunda ve eğim sıfıra eşit olduğunda 0'dır, çünkü sıfırın tanjantı 0'dır. Yani, denklemin formu y = b olacaktır.
• y = k x + b doğrusunun eğim açısı keskin ise, o zaman koşullar 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается pozitif sayı, çünkü teğetin değeri t g α > 0 koşulunu sağlıyor ve grafikte bir artış var.
• α \u003d π 2 ise, çizginin konumu x'e diktir. Eşitlik, x = c eşitliği ile belirtilir ve c değeri bir gerçek sayıdır.
• Düz çizginin eğim açısı y = k x + b genişse, o zaman π 2 koşullarına karşılık gelir< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает olumsuz anlam, ve grafik azalıyor.

Tanım 3

Kesen, f (x) fonksiyonunun 2 noktasından geçen düz bir çizgidir. Başka bir deyişle, bir sekant, belirli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki noktadan geçen düz bir çizgidir.

Şekil, AB'nin bir sekant olduğunu ve f(x)'in siyah bir eğri olduğunu, α'nın sekantın eğim açısını gösteren kırmızı bir yay olduğunu göstermektedir.

Düz bir çizginin eğimi, eğim açısının teğetine eşit olduğunda, bir A B C dik üçgeninin teğetinin bitişik olanın karşı bacağa göre bulunabileceği açıktır.

Tanım 4

Formun sekantını bulmak için formülü alıyoruz:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , burada A ve B noktalarının apsisleri x A , x B , ve f (x A) , f (x B) bu noktalardaki değer fonksiyonlarıdır.

Açıkçası, sekantın eğimi, k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A veya k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x eşitliği kullanılarak tanımlanır. B ve denklem y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) şeklinde yazılmalıdır veya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant, grafiği görsel olarak 3 kısma ayırır: A noktasının solunda, A'dan B'ye, B'nin sağında. Aşağıdaki şekil, aynı olduğu düşünülen üç sekant olduğunu göstermektedir, yani bunlar benzer bir denklem kullanarak ayarlayın.

Tanım olarak, bu durumda çizginin ve onun sekantının çakıştığı açıktır.

Bir sekant, belirli bir fonksiyonun grafiğini birden çok kez kesebilir. Sekant için y \u003d 0 şeklinde bir denklem varsa, sinüsoid ile kesişme noktalarının sayısı sonsuzdur.

Tanım 5

x 0 noktasında f(x) fonksiyonunun grafiğine teğet; f (x 0), belirli bir x 0 noktasından geçen düz bir çizgi olarak adlandırılır; f(x 0) , x 0'a yakın birçok x değerine sahip bir segmentin varlığı ile.

örnek 1

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım. O zaman y = x + 1 fonksiyonunun verdiği doğrunun (1 ; 2) koordinatlı noktada y = 2 x'e teğet olduğu görülür. Netlik için, (1; 2) 'ye yakın değerlere sahip grafikleri dikkate almak gerekir. y = 2 x fonksiyonu siyahla işaretlenmiştir, mavi çizgi teğettir, kırmızı nokta kesişme noktasıdır.

Açıkçası, y \u003d 2 x, y \u003d x + 1 satırıyla birleşiyor.

Teğeti belirlemek için, B noktası A noktasına sonsuz yaklaşırken AB teğetinin davranışı dikkate alınmalıdır.Açıklık için bir şekil sunuyoruz.

Mavi çizgiyle gösterilen sekant AB, teğetin kendisinin konumuna eğilimlidir ve α sekantının eğim açısı teğetin kendisinin αx eğim açısına yaklaşmaya başlayacaktır.

Tanım 6

A noktasında y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet, B'deki sekant AB'nin A'ya, yani B → A'ya eğilimli sınırlayıcı konumudur.

Şimdi bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamının ele alınmasına dönüyoruz.

x 0, f (x 0) ve x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ve ∆ koordinatlarına sahip A ve B'nin olduğu f (x) işlevi için AB sekantının değerlendirilmesine geçelim x, bağımsız değişkenin artışı olarak gösterilir. Şimdi fonksiyon ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) şeklini alacaktır. Netlik için, örnek olarak bir resim çekelim.

Sonucu düşünün sağ üçgen A B C. Çözüm için teğetin tanımını kullanırız, yani ∆ y ∆ x = t g α oranını elde ederiz. Bir teğetin tanımından, lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x olduğu sonucu çıkar. Bir noktadaki türev kuralına göre, x 0 noktasındaki f (x) türevine, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir, burada ∆ x → 0, o zaman f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x olarak gösterilir.

Buradan f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, burada k x teğetin eğimi olarak gösterilir.

Yani, f '(x)'in x 0 noktasında var olabileceğini ve ayrıca x 0 , f 0 (x 0)'a eşit temas noktasında fonksiyonun verilen grafiğine teğet olduğunu elde ederiz, burada noktadaki teğetin eğiminin değeri, x 0 noktasındaki türevi eşittir. Sonra şunu elde ederiz k x = f "(x 0) .

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik anlamı, grafiğe aynı noktada teğet varlığı kavramının verilmiş olmasıdır.

Düzlemdeki herhangi bir düz çizginin denklemini yazmak için, içinden geçtiği nokta ile bir eğimin olması gerekir. Kavşakta gösterimi x 0 olarak alınır.

x 0, f 0 (x 0) noktasında y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemi y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x) şeklini alır 0) .

Bu, f "(x 0) türevinin nihai değerinin teğetin konumunu, yani dikey olarak lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ve lim x → x 0 koşulu altında belirleyebileceği anlamına gelir. - 0 f "(x ) = ∞ veya lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Teğetin konumu eğiminin değerine bağlıdır k x \u003d f "(x 0). x eksenine paralel olduğunda, yaklaşık y - k x \u003d ∞'ye paralel olduğunda k k \u003d 0 elde ederiz ve tanjant denkleminin formu x \u003d x 0, k x > 0 ile artar, k x olarak azalır< 0 .

Örnek 2

Teğet denklemini, açısının tanımı ile koordinatlara (1; 3) sahip bir noktada y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 fonksiyonunun grafiğine derleyin. eğim.

Çözüm

Varsayım olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar için tanımlı olduğunu biliyoruz. (1 ; 3) koşulu tarafından belirtilen koordinatlara sahip noktanın temas noktası olduğunu, ardından x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 olduğunu anlıyoruz.

-1 değeri olan noktadaki türevi bulmak gerekir. anladık

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Temas noktasındaki f ’(x) değeri, eğimin tanjantına eşit olan teğetin eğimidir.

O zaman k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cevap: teğet denklemi şeklini alır

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Netlik için, grafik çizimde bir örnek veriyoruz.

Orijinal işlevin çizimi için siyah renk kullanılır, Mavi renk- teğetin görüntüsü, kırmızı nokta - temas noktası. Sağdaki şekil büyütülmüş bir görünümü göstermektedir.

Örnek 3

Belirli bir fonksiyonun grafiğine bir teğetin varlığını bulun
y = 3 x - 1 5 + 1 koordinatlı noktada (1 ; 1) . Bir denklem yazın ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Varsayım olarak, verilen fonksiyonun tanım kümesinin tüm gerçek sayıların kümesi olduğunu biliyoruz.

türevi bulmaya geçelim

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 ise f ' (x) tanımlı değildir, ancak limitler lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 şeklinde yazılır. 5 1 + 0 = + ∞ ve lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ nokta (1 ; 1) .

Cevap: denklem x \u003d 1 şeklini alacaktır, burada eğim açısı π 2'ye eşit olacaktır.

Anlaşılır olması için grafiğini çizelim.

Örnek 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 fonksiyon grafiğinin noktalarını bulun, burada

1. Teğet yoktur;
2. Teğet x'e paraleldir;
3. Teğet, y = 8 5 x + 4 doğrusuna paraleldir.

Çözüm

Tanımlama alanına dikkat etmek gerekir. Varsayım olarak, fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlı olduğunu biliyoruz. Modülü genişletin ve sistemi x ∈ - ∞ aralıklarıyla çözün; 2 ve [ - 2 ; +∞) . anladık

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

İşlevin farklılaştırılması gerekir. biz buna sahibiz

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

x = - 2 olduğunda, o noktada tek taraflı limitler eşit olmadığı için türev yoktur:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Fonksiyonun değerini x \u003d - 2 noktasında hesaplıyoruz, burada bunu alıyoruz

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, yani teğet nokta (- 2; - 2) olmayacaktır.
2. Eğim sıfır olduğunda teğet x'e paraleldir. Sonra k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Yani, fonksiyonun türevi onu sıfıra çevirdiğinde böyle bir x'in değerlerini bulmak gerekir. Yani değerler f '(x) ve teğetin x hakkında paralel olduğu temas noktaları olacaktır.

x ∈ - ∞ olduğunda; - 2 , sonra - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , ve x ∈ (- 2 ; + ∞) için 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 elde ederiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Fonksiyonun karşılık gelen değerlerini hesaplıyoruz

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dolayısıyla - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 fonksiyonun grafiğinin istenen noktaları olarak kabul edilir.

Dikkate almak grafik görüntüçözümler.

Siyah çizgi, fonksiyonun grafiğidir, kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

1. Doğrular paralel olduğunda eğimler eşittir. Daha sonra fonksiyonun grafiğinde eğimin 8 5 değerine eşit olacağı noktaları aramak gerekir. Bunu yapmak için, y "(x) = 8 5 biçimindeki bir denklemi çözmeniz gerekir. O zaman, x ∈ - ∞; - 2 ise, - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 elde ederiz. 5 ve eğer x ∈ ( - 2 ; + ∞) , o zaman 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

İlk denklemin kökleri yoktur çünkü diskriminant Sıfırdan daha az. bunu yazalım

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başka bir denklemin iki gerçek kökü vardır, o zaman

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Fonksiyonun değerlerini bulmaya geçelim. anladık

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Değerleri olan puanlar - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3, y = 8 5 x + 4 doğrusuna teğetlerin paralel olduğu noktalardır.

Cevap: siyah çizgi - fonksiyonun grafiği, kırmızı çizgi - grafik y \u003d 8 5 x + 4, mavi çizgi - noktalardaki teğetler - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Verilen fonksiyonlar için sonsuz sayıda teğetin varlığı mümkündür.

Örnek 5

y = - 2 x + 1 2 doğrusuna dik olan y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 fonksiyonunun mevcut tüm teğetlerinin denklemlerini yazın.

Çözüm

Teğet denklemini oluşturmak için, çizgilerin dik olma durumuna bağlı olarak temas noktasının katsayısını ve koordinatlarını bulmak gerekir. Tanım şöyle geliyor: Düz çizgilere dik olan eğimlerin çarpımı - 1'e eşittir, yani k x · k ⊥ = - 1 olarak yazılır. Eğimin düz çizgiye dik olması ve k ⊥ = - 2'ye eşit olması koşulundan k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Şimdi temas noktalarının koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Belirli bir işlev için değerini, ardından x'i bulmanız gerekir. Noktadaki türevin geometrik anlamından
x 0 bunu alıyoruz k x \u003d y "(x 0) . Bu eşitlikten, temas noktaları için x değerlerini buluyoruz.

anladık

y "(x 0) = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - günah 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ günah 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Bu trigonometrik denklem temas noktalarının ordinatlarını hesaplamak için kullanılacaktır.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - bir r c günah 1 9 + 2 πk veya x 0 = 2 3 5 π 4 + bir r c günah 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z, tamsayılar kümesidir.

X irtibat noktası bulundu. Şimdi y değerlerini aramaya gitmeniz gerekiyor:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - günah 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - günah 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 veya y 0 = - 4 5 + 1 3

Buradan 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 temas noktalarıdır.

Cevap: gerekli denklemler şu şekilde yazılacaktır:

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Görsel bir temsil için, işlevi ve koordinat doğrusundaki teğeti göz önünde bulundurun.

Şekil, işlevin konumunun [-10; 10 ] , burada siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, mavi çizgiler y = - 2 x + 1 2 formunda verilen çizgiye dik olan teğetlerdir. Kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

2. dereceden eğrilerin kanonik denklemleri tek değerli fonksiyonlar değildir. Onlar için teğet denklemler, iyi bilinen şemalara göre derlenir.

çembere teğet

Merkezi x merkezli bir daire ayarlamak için; y c e n t e r ve yarıçap R, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formülü kullanılır.

Bu eşitlik iki fonksiyonun birleşimi olarak yazılabilir:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Şekilde gösterildiği gibi, birinci işlev üstte ve ikinci işlev alttadır.

x 0 noktasındaki bir çemberin denklemini çizmek için; üst veya alt yarım daire içinde bulunan y 0 , y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r veya y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + biçimindeki fonksiyon grafiğinin denklemini bulmalısınız belirtilen noktada y c e n t e r.

x c e n t e r noktalarında olduğunda; y c e n t e r + R ve x c ​​e n t e r ; y c e n t e r - R teğetleri, y = y c e n t e r + R ve y = y c e n t e r - R denklemleriyle ve x c ​​e n t e r + R noktalarında verilebilir; y merkezi ve
x c e n t e r - R ; y c e n t e r, y'ye paralel olacak, o zaman x = x c e n t e r + R ve x = x c e n t e r - R şeklinde denklemler elde edeceğiz.

Elips Teğet

Elips x merkezde ortalandığında; a ve b yarı eksenli y c e n t e r , o zaman x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 denklemi kullanılarak verilebilir .

Bir elips ve bir daire, üst ve alt yarı elips olmak üzere iki işlevi birleştirerek gösterilebilir. O zaman bunu anladık

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Teğetler elipsin köşelerinde bulunuyorsa, x veya y civarında paraleldirler. Açıklık için aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun.

Örnek 6

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 elipsine x değerleri x = 2'ye eşit olan noktalarda teğetin denklemini yazın.

Çözüm

x = 2 değerine karşılık gelen temas noktalarını bulmak gerekir. Mevcut elips denkleminde bir ikame yaparız ve şunu elde ederiz:

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2; 5 3 2 + 5 ve 2 ; - 5 3 2 + 5 üst ve alt yarı elipse ait teğet noktalardır.

Bir elipsin y'ye göre denklemini bulmaya ve çözmeye geçelim. anladık

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Üstteki yarı elipsin y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ve alttaki y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 biçimindeki bir fonksiyon kullanılarak belirlendiği açıktır.

Bir noktadaki bir fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini formüle etmek için standart algoritmayı uyguluyoruz. 2 noktasındaki birinci teğetin denklemini yazıyoruz; 5 3 2 + 5 gibi görünecek

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Noktadaki değerle ikinci teğetin denklemini elde ederiz.
2; - 5 3 2 + 5 olur

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafik olarak, teğetler aşağıdaki gibi gösterilir:

abartmaya teğet

Hiperbolün merkezi x merkezi olduğunda; y c e n t e r ve köşeler x c e n t e r + α ; y c e n t e r ve x c ​​e n t e r - α ; y c e n t e r , x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 eşitsizliği, x c e n t e r köşeleriyle verilir; y c e n t e r + b ve x c ​​e n t e r ; y c e n t e r - b, x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 eşitsizliği tarafından verilir.

Bir hiperbol, formun iki birleşik fonksiyonu olarak temsil edilebilir.

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r veya y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

İlk durumda, teğetler y'ye paraleldir ve ikinci durumda x'e paraleldir.

Bir hiperbole teğetin denklemini bulmak için teğet noktasının hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir. Bunu belirlemek için, denklemlerde bir ikame yapmak ve özdeşliklerini kontrol etmek gerekir.

Örnek 7

7 noktasındaki x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolüne teğetin denklemini yazın; - 3 3 - 3 .

Çözüm

Hiperbolü bulmanın çözüm kaydını 2 fonksiyon kullanarak dönüştürmek gerekiyor. anladık

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 veya y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Koordinatları 7 olan verilen noktanın hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir; - 3 3 - 3 .

Açıkçası, ilk işlevi kontrol etmek için ihtiyacınız var y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , o zaman nokta grafiğe ait değildir, çünkü eşitlik sağlanmaz.

İkinci fonksiyon için y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , bu da noktanın verilen grafiğe ait olduğu anlamına gelir. Buradan eğim katsayısını bulmalısınız.

anladık

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cevap: teğet denklem şu şekilde temsil edilebilir:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Aşağıdaki gibi görselleştirilir:

parabole teğet

x 0, y (x 0) noktasında y \u003d a x 2 + b x + c parabolüne teğet denklemini oluşturmak için standart algoritmayı kullanmalısınız, ardından denklem y \u003d y " şeklini alacaktır. (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Tepe noktasında böyle bir teğet x'e paraleldir.

x = a y 2 + b y + c parabolü iki fonksiyonun birleşimi olarak tanımlanmalıdır. Bu nedenle, y için denklemi çözmemiz gerekiyor. anladık

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 bir (c - x) 2 bir

grafiğini şu şekilde çizelim:

Bir x 0 , y (x 0) noktasının bir fonksiyona ait olup olmadığını bulmak için standart algoritmayı yavaşça izleyin. Böyle bir teğet, parabole göre y'ye paralel olacaktır.

Örnek 8

Teğet eğimimiz 150° olduğunda x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafiğine teğetin denklemini yazın.

Çözüm

Parabolü iki fonksiyon olarak temsil ederek çözüme başlıyoruz. anladık

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x-4

Eğimin değeri, bu fonksiyonun x 0 noktasındaki türevinin değerine ve eğimin tanjantına eşittir.

Biz:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Buradan temas noktaları için x değerini belirliyoruz.

İlk fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Açıkçası, negatif bir değer aldığımız için gerçek kökler yok. Böyle bir fonksiyon için 150 ° 'lik açıya sahip bir teğet olmadığı sonucuna varıyoruz.

İkinci fonksiyon şu şekilde yazılacaktır:

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temas noktalarına sahibiz - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Cevap: teğet denklemi şeklini alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Bunun grafiğini şu şekilde çizelim:

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.