Hiç kesirli ifade(madde 48), olarak yazılabilir, burada P ve Q rasyonel ifadelerdir ve Q zorunlu olarak değişkenleri içerir. Böyle bir kesre rasyonel kesir denir.
Rasyonel kesir örnekleri:
Bir kesrin ana özelliği, buradaki koşullar altında geçerli olan bir özdeşlik ile ifade edilir - tam bir rasyonel ifade. Bu, rasyonel bir kesrin pay ve paydasının aynı sıfır olmayan sayı, monom veya polinom ile çarpılabileceği veya bölünebileceği anlamına gelir.
Örneğin, bir kesrin özelliği, bir kesrin üyelerinin işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir. Bir kesrin pay ve paydası -1 ile çarpılırsa elde edilir. Böylece pay ve paydanın işaretleri aynı anda değiştirilirse kesrin değeri değişmez. Yalnızca payın veya yalnızca paydanın işaretini değiştirirseniz, kesrin işareti değişir:
Örneğin,
60. Rasyonel kesirlerin indirgenmesi.
Bir kesri azaltmak, bir kesrin payını ve paydasını ortak bir çarpana bölmek demektir. Böyle bir azalma olasılığı, kesrin ana özelliğinden kaynaklanmaktadır.
Rasyonel bir kesri azaltmak için pay ve paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir. Pay ve paydanın ortak çarpanları olduğu ortaya çıkarsa, kesir azaltılabilir. Ortak faktörler yoksa, kesrin indirgeme yoluyla dönüşümü imkansızdır.
Örnek. Kesri azalt
Çözüm. Sahibiz
Fraksiyonun indirgenmesi, koşulu altında gerçekleştirilir.
61. Rasyonel kesirleri ortak bir paydaya getirmek.
Birkaç rasyonel kesrin ortak paydası, her kesrin paydasına bölünen tüm rasyonel ifadedir (bkz. madde 54).
Örneğin, bir polinom, kesirlerin ortak paydası olarak hizmet eder, çünkü bir polinom ve bir polinom ve bir polinom vb. Yankılandı. Bu en basit payda bazen en küçük ortak payda olarak adlandırılır.
Yukarıdaki örnekte, ortak payda Biz sahibiz
Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgemek, birinci kesrin payını ve paydasını 2 ile çarparak elde edilir. İkinci kesrin payına ve paydasına Polinomlarla sırasıyla birinci ve ikinci kesirler için ek çarpanlar denir. Belirli bir kesrin ek çarpanı, ortak paydanın verilen kesrin paydasına bölünmesinin bölümüne eşittir.
Birkaç rasyonel kesri ortak bir paydaya indirgemek için şunlara ihtiyacınız vardır:
1) her fraksiyonun paydasını faktörlere ayırın;
2) genişlemelerin 1) paragrafında elde edilen tüm faktörleri faktörler olarak içeren ortak bir payda yapmak; birkaç genişletmede belirli bir faktör varsa, mevcut olanların en büyüğüne eşit bir üs ile alınır;
3) kesirlerin her biri için ek faktörler bulmak (bunun için ortak payda, kesrin paydasına bölünür);
4) her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarparak, kesri ortak bir paydaya getirin.
Örnek. Bir kesrin ortak paydasına azaltın
Çözüm. Paydaları çarpanlara ayıralım:
Aşağıdaki çarpanlar ortak paydaya dahil edilmelidir: ve sayıların en küçük ortak katı 12, 18, 24, yani . Yani ortak payda
Ek çarpanlar: ilk kesir için ikinci için üçüncü için O halde şunu elde ederiz:
62. Rasyonel kesirlerde toplama ve çıkarma.
Aynı paydalara sahip iki (ve genel olarak herhangi bir sonlu sayıda) rasyonel kesrin toplamı, aynı paydaya ve eklenen kesirlerin paylarının toplamına eşit bir paya sahip bir kesre özdeş olarak eşittir:
Aynı paydalara sahip kesirler çıkarılırken durum benzerdir:
Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme
Çözüm.
Rasyonel kesirler ile toplama veya çıkarma farklı paydalar her şeyden önce, kesirleri ortak bir paydaya indirmeniz ve ardından aynı paydalara sahip elde edilen kesirler üzerinde işlemler yapmanız gerekir.
Örnek 2: Bir ifadeyi basitleştirme
Çözüm. Sahibiz
63. Rasyonel kesirlerde çarpma ve bölme.
İki (ve genel olarak herhangi bir sonlu sayıda) rasyonel kesrin ürünü, payı payların ürününe eşit olan bir kesre eşittir ve payda, çarpan kesirlerin paydalarının çarpımıdır:
İki rasyonel kesri bölme bölümü, payı birinci kesrin payının ikinci kesrin paydasıyla çarpımına eşit olan ve paydası birinci kesrin paydasının çarpımına eşit olan bir kesre eşittir. ikinci kesrin payı:
Çarpma ve bölme için formüle edilmiş kurallar, bir polinomla çarpma veya bölme durumunda da geçerlidir: bu polinomu paydası 1 olan bir kesir olarak yazmak yeterlidir.
Rasyonel kesirler çarpılarak veya bölünerek elde edilen rasyonel kesrin indirgenme olasılığı göz önüne alındığında, bu işlemler yapılmadan önce genellikle orijinal kesirlerin pay ve paydalarının çarpanlara ayrılmasına çalışılır.
Örnek 1. Çarp
Çözüm. Sahibiz
Kesirlerin çarpma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 2: Bölme işlemini gerçekleştirin
Çözüm. Sahibiz
Bölme kuralını kullanarak şunu elde ederiz:
64. Rasyonel bir kesri bir tamsayı kuvvetine yükseltmek.
Rasyonel bir kesri - doğal bir güce yükseltmek için, kesrin payını ve paydasını ayrı ayrı bu güce yükseltmeniz gerekir; ilk ifade sonucun payını ve ikinci ifade sonucun paydasını gösterir:
Örnek 1. 3'ün kuvvetini kesre dönüştürün.
Çözüm Çözüm.
Bir kesri negatif bir tamsayı gücüne yükseltirken, değişkenlerin tüm değerleri için geçerli olan bir özdeşlik kullanılır.
Örnek 2. İfadeyi kesre dönüştürün
65. Rasyonel ifadelerin dönüşümü.
Herhangi bir rasyonel ifadenin dönüşümü, rasyonel kesirleri toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin yanı sıra bir kesri doğal bir kuvvete yükseltmeye indirgenir. Herhangi bir rasyonel ifade, payı ve paydası tamsayı rasyonel ifadeler olan bir kesre dönüştürülebilir; bu, kural olarak, rasyonel ifadelerin özdeş dönüşümlerinin amacıdır.
Örnek. İfadeyi Basitleştir
66. Aritmetik köklerin (köklüler) en basit dönüşümleri.
Aritmetik coria dönüştürülürken, özellikleri kullanılır (bkz. madde 35).
Özelliklerin kullanımına ilişkin birkaç örnek düşünün aritmetik kökler radikallerin en basit dönüşümleri için. Bu durumda, tüm değişkenler yalnızca negatif olmayan değerler alıyor olarak kabul edilecektir.
Örnek 1. Ürünün kökünü çıkarın
Çözüm. 1° özelliğini uygularsak şunu elde ederiz:
Örnek 2. Kök işaretinin altındaki çarpanı çıkarın
Çözüm.
Böyle bir dönüşüme kök işaretinin altından çarpanlara ayırma denir. Dönüşümün amacı, radikal ifadeyi basitleştirmektir.
Örnek 3: Basitleştirin.
Çözüm. 3° özelliğine göre, genellikle taban işaretinin ötesinde çarpanları aldıkları radikal ifadeyi basitleştirmeye çalışırız. Sahibiz
Örnek 4: Basitleştirin
Çözüm. Kökün işareti altına bir çarpan ekleyerek ifadeyi dönüştürüyoruz: 4° özelliğine göre,
Örnek 5: Basitleştirin
Çözüm. 5° özelliği gereği, kökün üssünü ve kök ifadesinin üssünü aynı doğal sayıya bölme hakkına sahibiz. İncelenen örnekte belirtilen göstergeleri 3'e bölersek, o zaman elde ederiz.
Örnek 6. İfadeleri basitleştirin:
Çözüm, a) 1° özelliğinden, aynı dereceden kökleri çarpmak için, kök ifadelerini çarpmanın ve elde edilen sonuçtan aynı dereceden kökü çıkarmanın yeterli olduğunu elde ederiz. Anlamına geliyor,
b) Her şeyden önce, radikalleri bir dizine indirmeliyiz. 5° özelliğine göre, kökün üssünü aynı doğal sayı ile çarpabiliriz. Bu nedenle, Sırada, artık kök göstergelerini ve kök ifadesinin derecesini 3'e bölerek elde ettiğimiz sonucu elde ederiz, elde ederiz.
Bu makale hakkında rasyonel ifadelerin dönüşümü, çoğunlukla kesirli rasyonel, 8. sınıflar için cebir dersinin anahtar sorularından biridir. İlk olarak, ne tür ifadelerin rasyonel olarak adlandırıldığını hatırlıyoruz. Daha sonra, terimleri gruplamak, ortak çarpanları parantezden çıkarmak, benzer terimleri azaltmak gibi rasyonel ifadelerle standart dönüşümler yapmaya odaklanacağız. Son olarak, kesirli rasyonel ifadeleri rasyonel kesirler olarak nasıl temsil edeceğimizi öğreneceğiz.
Sayfa gezintisi.
Rasyonel ifadelerin tanımı ve örnekleri
Rasyonel ifadeler, okullarda cebir derslerinde işlenen ifade türlerinden biridir. Bir tanım verelim.
Tanım.
Sayılar, değişkenler, köşeli parantezler, tam sayı üslü derecelerden oluşan, işaretlerle bağlanan ifadeler Aritmetik işlemler Bölmenin bir kesir çubuğuyla gösterilebildiği +, - ve: rasyonel ifadeler.
İşte bazı rasyonel ifade örnekleri: .
Rasyonel ifadeler 7. sınıfta amaçlı olarak çalışılmaya başlanır. Ayrıca 7. sınıfta sözde ile çalışmanın temelleri tüm rasyonel ifadeler, yani değişkenli ifadelere bölünme içermeyen rasyonel ifadelerle. Bunu yapmak için, monomlar ve polinomlar ve onlarla eylem gerçekleştirme ilkeleri tutarlı bir şekilde incelenir. Tüm bu bilgiler sonunda tamsayı ifadelerinin dönüşümünü gerçekleştirmenize izin verir.
8. sınıfta, değişkenleri olan bir ifadeyle bölmeyi içeren rasyonel ifadeleri incelemeye geçerler. kesirli rasyonel ifadeler. Aynı zamanda, sözde özel dikkat gösterilmektedir. rasyonel kesirler(olarak da adlandırılır cebirsel kesirler), yani payı ve paydası polinom içeren kesirler. Bu, nihayetinde rasyonel kesirlerin dönüşümünü gerçekleştirmeyi mümkün kılar.
Edinilen beceriler, keyfi bir formun rasyonel ifadelerinin dönüşümüne devam etmemizi sağlar. Bu, herhangi bir rasyonel ifadenin, aritmetik işlemlerin işaretleriyle birbirine bağlanan rasyonel kesirler ve tamsayı ifadelerinden oluşan bir ifade olarak kabul edilebileceği gerçeğiyle açıklanmaktadır. Tamsayı ifadeleri ve cebirsel kesirler ile nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz.
Rasyonel ifadelerin ana dönüşüm türleri
Rasyonel ifadeler ile terimlerin veya çarpanların gruplanması, benzer terimlerin indirgenmesi, sayılarla işlem yapılması vb. temel özdeşlik dönüşümlerinden istediğinizi gerçekleştirebilirsiniz. Tipik olarak, bu dönüşümlerin amacı rasyonel ifade sadeleştirme.
Örnek.
.
Çözüm.
Açıktır ki bu rasyonel ifade iki ifadenin farkıdır ve , ve bu ifadeler aynı değişmez kısma sahip oldukları için benzerdir. Böylece, benzer terimlerin bir indirgemesini yapabiliriz:
Cevap:
.
Diğer tüm ifadelerde olduğu gibi, rasyonel ifadelerle dönüşümler gerçekleştirirken, kişinin kabul edilen eylem sırası çerçevesinde kalması gerektiği açıktır.
Örnek.
Rasyonel ifadeyi dönüştürün.
Çözüm.
Parantez içindeki eylemlerin önce yürütüldüğünü biliyoruz. Bu nedenle öncelikle parantez içindeki ifadeyi dönüştürüyoruz: 3 x − x=2 x .
Artık sonucu orijinal rasyonel ifadede değiştirebilirsiniz: . Böylece tek aşamalı toplama ve çarpma işlemlerini içeren bir ifadeye ulaştık.
Çarpımlara göre bölme özelliğini uygulayarak ifadenin sonundaki parantezlerden kurtulalım: .
Son olarak, sayısal çarpanları ve x çarpanlarını gruplandırabilir ve ardından sayılar üzerinde karşılık gelen işlemleri gerçekleştirebilir ve uygulayabiliriz : .
Bu, rasyonel ifadenin dönüşümünü tamamlar ve sonuç olarak bir tek terimli elde ederiz.
Cevap:
Örnek.
Rasyonel İfadeyi Dönüştür 
.
Çözüm.
Önce pay ve paydayı çeviriyoruz. Kesirlerin bu dönüşüm sırası, bir kesrin vuruşunun esasen başka bir bölme ataması olması ve orijinal rasyonel ifadenin esasen belirli bir biçim olması gerçeğiyle açıklanır. 
ve parantez içindeki işlemler önce yürütülür.
Böylece, payda polinomlarla, önce çarpma, sonra çıkarma işlemleri yaparız ve paydada sayısal faktörleri gruplandırır ve çarpımını hesaplarız: 
.
Ortaya çıkan kesrin payını ve paydasını da bir çarpım olarak düşünelim: cebirsel kesri aniden azaltmak mümkündür. Bunu yapmak için, kullandığımız payda kareler farkı formülü, ve paydada parantez içindeki ikiliyi alırız, 
.
Cevap:
.
Dolayısıyla, rasyonel ifadelerin dönüşümü ile ilk tanışma tamamlanmış sayılabilir. Tabiri caizse en tatlıya geçiyoruz.
Rasyonel bir kesir olarak temsil
İfadeleri dönüştürmenin en yaygın nihai amacı, biçimlerini basitleştirmektir. Bu açıdan en basit görünüm kesirli rasyonel bir ifadenin dönüştürülebileceği, rasyonel (cebirsel) bir kesirdir ve belirli bir durumda bir polinom, tek terimli veya bir sayıdır.
Herhangi bir rasyonel ifadeyi rasyonel bir kesir olarak temsil etmek mümkün müdür? Cevap Evet. Bunun neden böyle olduğunu açıklayalım.
Daha önce de söylediğimiz gibi, herhangi bir rasyonel ifade, artı, eksi işaretleri, çarpma ve bölme ile birbirine bağlanan polinomlar ve rasyonel kesirler olarak kabul edilebilir. Polinomlarla ilgili tüm işlemler, bir polinom veya rasyonel bir kesir verir. Buna karşılık, herhangi bir polinom, payda 1 ile yazılarak cebirsel bir kesre dönüştürülebilir. Ve rasyonel kesirlerin toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi yeni bir rasyonel kesirle sonuçlanır. Bu nedenle, rasyonel bir ifadede polinomlar ve rasyonel kesirler ile tüm işlemleri yaptıktan sonra rasyonel bir kesir elde ederiz.
Örnek.
İfadeyi rasyonel bir kesir olarak ifade edin 
.
Çözüm.
Orijinal rasyonel ifade, bir kesir ile formun kesirlerinin çarpımı arasındaki farktır. 
. İşlem sırasına göre önce çarpmayı sonra toplamayı yapmalıyız.
Cebirsel kesirleri çarparak başlıyoruz:
Elde edilen sonucu orijinal rasyonel ifadede yerine koyarız: .
Farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin çıkarılmasına geldik: 
Böylece, orijinal rasyonel ifadeyi oluşturan rasyonel kesirler ile eylemler gerçekleştirdikten sonra, onu rasyonel bir kesir olarak sunduk.
Cevap:
.
Malzemeyi pekiştirmek için başka bir örneğin çözümünü inceleyeceğiz.
Örnek.
Bir rasyonel ifadeyi rasyonel bir kesir olarak ifade edin.
Önemli notlar!
1. Formüller yerine abrakadabra görüyorsanız, önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynak için
Çoğu zaman şu hoş olmayan cümleyi duyarız: "Ifadeyi basitleştir." Genellikle, bu durumda, bunun gibi bir çeşit canavarımız olur:
“Evet, çok daha kolay” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.
Şimdi size bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim.
Dahası, dersin sonunda, bu örneği (sadece!) Sıradan bir sayıya (evet, bu harflerin canı cehenneme) kadar basitleştireceksiniz.
Ancak bu derse başlamadan önce, kesirler ile uğraşmak ve polinomları çarpanlara ayırın.
Bu nedenle, bunu daha önce yapmadıysanız, "" ve "" konularına hakim olduğunuzdan emin olun.
Okumak? Cevabınız evet ise, o zaman hazırsınız.
Hadi gidelim, hadi gidelim!)
Temel İfade Sadeleştirme İşlemleri
Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan ana teknikleri inceleyeceğiz.
Bunların en basiti
1. Benzerini getirmek
Benzer olan nedir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine ilk kez harfler göründüğünde yaşadınız.
Benzer aynı harf kısmına sahip terimlerdir (tek terimliler).
Örneğin, toplamda benzer terimler ve'dir.
Hatırladı?
benzer getir- birkaç benzer terimi birbiriyle toplayıp bir terim elde etmek anlamına gelir.
Ama harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.
Harflerin bir tür nesne olduğunu hayal ederseniz, bunu anlamak çok kolaydır.
Örneğin, mektup bir sandalyedir. O halde ifade nedir?
İki sandalye artı üç sandalye, ne kadar olur? Bu doğru, sandalyeler: .
Şimdi şu ifadeyi deneyin:
Kafanız karışmasın diye farklı harfler farklı şeyleri temsil eder.
Örneğin, - bu (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bu bir masa.
sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler masalar
Bu tür terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir. katsayılar.
Örneğin, tek terimlide katsayı eşittir. Ve o eşittir.
Yani, benzer getirme kuralı:
Örnekler:
benzer getir:
Yanıtlar:
2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).
2. Faktoring
Bu genellikle en çok Ana bölüm ifadeleri basitleştirmede.
Benzerlerini verdikten sonra, çoğu zaman ortaya çıkan ifadeye ihtiyaç duyulur. çarpanlara ayırmak, yani bir ürün olarak temsil edin.
özellikle bu kesirlerde önemlidir:çünkü kesri azaltmak için, pay ve payda çarpım olarak ifade edilmelidir.
"" konusundaki ayrıntılı çarpanlara ayırma yöntemlerini incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli.
Bunu yapmak için birkaç örnek çözün (faktörlere ayırmanız gerekir)
Örnekler:
Çözümler:
3. Kesir azaltma.
Peki, payın ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmak kadar güzel ne olabilir?
Kısaltmanın güzelliği budur.
Basit:
Pay ve payda aynı çarpanları içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.
Bu kural, bir kesrin temel özelliğinden çıkar:
Yani, indirgeme işleminin özü şudur: Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.
Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) pay ve payda içeriyorsa Ortak etkenler, silinebilirler.
Örnekler:
Bence prensip açık mı?
birine dikkat çekmek istiyorum tipik hata azaltırken. Bu konu basit olmasına rağmen, birçok insan bunun farkında olmadan her şeyi yanlış yapıyor. kesmek- bu şu anlama gelir bölmek pay ve payda aynı sayı ile.
Pay veya payda toplam ise kısaltma yapılmaz.
Örneğin: basitleştirmeniz gerekiyor.
Bazıları bunu yapar: bu kesinlikle yanlıştır.
Başka bir örnek: azaltın.
"En akıllı" bunu yapacak:
Bana burada neyin yanlış olduğunu söyle? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltabilirsiniz.
Ancak hayır: - bu, payda yalnızca bir terimin bir faktörüdür, ancak payın kendisi bir bütün olarak faktörlere ayrılmaz.
İşte başka bir örnek: .
Bu ifade çarpanlara ayrıştırılır, yani azaltabileceğiniz, yani pay ve paydayı şuna ve sonra şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:
Hemen şuna bölebilirsiniz:
Bu tür hatalardan kaçınmak için unutmayın kolay yol bir ifadenin çarpanlarına ayrılıp ayrılmadığı nasıl belirlenir:
İfadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem "ana"dır.
Yani, harfler yerine (herhangi bir) sayı koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, o zaman son işlem çarpma ise, o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrıştırılır).
Son işlem toplama veya çıkarma ise, bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla indirgenemeyeceği) anlamına gelir.
Kendiniz düzeltmek için birkaç örnek:
Örnekler:
Çözümler:
4. Kesirlerde toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak bir paydaya getirmek.
Toplama ve çıkarma sıradan kesirler- işlem iyi biliniyor: ortak bir payda arıyoruz, her kesri eksik faktörle çarpıyoruz ve payları toplayıp / çıkarıyoruz.
Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve asaldır, yani ortak bölenleri yoktur. Bu nedenle, bu sayıların LCM'si çarpımına eşittir. Bu ortak payda olacak:
2. Burada ortak payda şudur:
3. Buradaki ilk şey karışık kesirler onları yanlış olanlara çevirin ve sonra - olağan şemaya göre:
Kesirlerin harf içermesi başka bir konudur, örneğin:
Basit başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan sayısal kesirler ile aynıdır: ortak bir payda buluruz, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları toplar / çıkarırız:
şimdi payda varsa benzerlerini getirebilir ve çarpanlarına ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
Yanıtlar:
b) Paydalar harf içerir
Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;
Sonra tüm ortak çarpanları bir kez yazıyoruz;
ve onları ortak olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için önce bunları basit çarpanlara ayırırız:
Ortak faktörleri vurguluyoruz:
Şimdi ortak faktörleri bir kez yazıyoruz ve bunlara tüm ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri ekliyoruz:
Bu ortak paydadır.
Harflere geri dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:
Paydaları çarpanlarına ayırıyoruz;
ortak (özdeş) çarpanları belirleyin;
tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
Bunları ortak olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpıyoruz.
Yani, sırayla:
1) paydaları faktörlere ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani ortak payda burada. İlk kesir, ikincisi ile çarpılmalıdır:
Bu arada, bir numara var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, sadece hepsi farklı göstergelerle. Ortak payda şöyle olacaktır:
ölçüde
ölçüde
ölçüde
derece olarak.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?
Bir kesrin temel özelliğini hatırlayalım:
Bir kesrin payından ve paydasından aynı sayının çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) hiçbir yerde söylenmez. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesri alın ve paya ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrenildi?
Yani, başka bir sarsılmaz kural:
Kesirleri ortak bir paydaya getirdiğinizde, yalnızca çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
Burada ve çoğaltın. Ve şununla çarp:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere "temel faktörler" adı verilir.
Örneğin, temel bir faktördür. - fazla. Ama - hayır: faktörlere ayrılır.
Peki ya ifade? Temel mi?
Hayır, çünkü çarpanlarına ayrılabilir:
("" konusunda zaten çarpanlara ayırma hakkında okudunuz).
Dolayısıyla, ifadeyi harflerle ayrıştırdığınız temel faktörler bir analogdur. asal çarpanlar sayıları ayrıştırdığınız yer. Biz de onlarla aynı şeyi yapacağız.
Her iki paydanın da çarpanı olduğunu görüyoruz. İktidardaki ortak paydaya gidecek (nedenini unuttun mu?).
Çarpan temeldir ve ortak noktaları yoktur, bu da ilk kesrin basitçe onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce, onları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. Her ikisi de şunları temsil eder:
Harika! O zamanlar:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayırıyoruz. İlk paydayı parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:
Görünüşe göre ortak bir faktör yok. Ama yakından bakarsanız, zaten çok benzerler ... Ve gerçek şu ki:
Öyleyse yazalım:
Yani şöyle oldu: köşeli ayraç içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesrin önündeki işaret tersi olarak değişti. Dikkat edin, bunu sık sık yapmanız gerekecek.
Şimdi ortak bir paydaya geliyoruz:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Pekala, en zor kısım artık bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:
prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Böyle bir ifadenin değerini göz önünde bulundurarak unutmayın:
saydın mı
İşe yaramalı.
Bu yüzden sana hatırlatırım.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birkaç çarpma ve bölme varsa, bunları herhangi bir sırayla yapabilirsiniz.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemini yapıyoruz. Yine, herhangi bir sırada.
Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi değerlendirir, sonra bunları çarpar veya böleriz.
Köşeli parantezlerin içinde başka parantezler varsa ne olur? Pekala, düşünelim: köşeli parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi değerlendirirken yapılacak ilk şey nedir? Bu doğru, parantez hesaplayın. Pekala, anladık: önce iç parantezleri, sonra diğer her şeyi hesaplıyoruz.
Dolayısıyla, yukarıdaki ifade için eylemlerin sırası aşağıdaki gibidir (mevcut eylem kırmızı ile vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirmekte olduğum eylem):
Tamam, hepsi basit.
Ama bu, harflerle ifade ile aynı şey değil, değil mi?
Hayır, aynı! Sadece aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemler, yani önceki bölümde açıklanan işlemler yapılmalıdır: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma eylemi olacaktır (bunu genellikle kesirlerle çalışırken kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırma için i'yi kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerden çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız bir ifadeyi çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Önce parantez içindeki ifadeyi sadeleştirelim. Burada kesirlerin farkını görüyoruz ve amacımız onu bir çarpım veya bölüm olarak göstermek. Böylece, kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır, buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hala hatırlıyor musunuz?).
2) Şunu elde ederiz:
Kesirlerin çarpımı: daha kolay ne olabilir?
3) Şimdi kısaltabilirsiniz:
Tamam, şimdi her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Önce kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Çözüm:
Her şeyden önce, prosedürü tanımlayalım.
İlk önce kesirleri parantez içinde ekleyelim, iki kesir yerine bir tane çıkacak.
Daha sonra kesirlerde bölme işlemlerini yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekliyoruz.
Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Son olarak, size iki yararlı ipucu vereceğim:
1. Benzerleri varsa hemen getirilmelidir. Hangi anda benzerlerimiz olursa olsun, hemen getirmeniz tavsiye edilir.
2. Aynısı kesirleri azaltmak için de geçerlidir: azaltmak için bir fırsat doğar doğmaz kullanılmalıdır. İstisna, topladığınız veya çıkardığınız kesirler: aynı paydalar, o zaman azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözmeniz için bazı görevler:
Ve en başında söz verdi:
Yanıtlar:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, o zaman konuya hakim olduğunuzu düşünün.
Şimdi öğrenmeye!
İFADE DÖNÜŞÜMÜ. ÖZET VE TEMEL FORMÜL
Temel sadeleştirme işlemleri:
- benzer getirmek: gibi terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- çarpanlara ayırma: parantez içindeki ortak çarpanı çıkarma, uygulama vb.
- Kesir azaltma: bir kesrin payı ve paydası, kesrin değerinin değişmediği aynı sıfır olmayan sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) payda ve paydada ortak çarpanlar varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: sadece çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerin toplanması ve çıkarılması:
; - Kesirlerde çarpma ve bölme:
;
neyse konu kapandı Bu satırları okuyorsanız, çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların sadece %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, o zaman% 5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu ... bu sadece süper! Akranlarınızın büyük çoğunluğundan zaten daha iyisiniz.
Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...
Ne için?
başarılı için sınavı geçmek, bütçeyle enstitüye kabul için ve EN ÖNEMLİ OLARAK ömür boyu.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...
alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.
Ama asıl mesele bu değil.
Asıl mesele, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle araştırmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? bilmiyorum...
Ama kendin için düşün...
Sınavda diğerlerinden daha iyi olacağından ve nihayetinde ... daha mutlu olacağından emin olmak için ne gerekiyor?
ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONU İLE İLGİLİ SORUNLARI ÇÖZÜN.
Sınavda size teori sorulmayacaktır.
İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.
Ve onları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanında yapamayacaksınız.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.
İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun çözümlerle mutlaka detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değil) ve kesinlikle tavsiye ediyoruz.
Görevlerimizden yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek vardır:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
- Öğreticideki 99 makalenin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 ruble
Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere erişim ve bunlardaki tüm gizli metinler anında açılabilir.
Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm kullanım ömrü boyunca sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmediyseniz, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.
“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
Bu derste rasyonel ifadeler ve dönüşümleri ile ilgili temel bilgilerin yanı sıra rasyonel ifadelerin dönüşümüne ilişkin örnekler işlenecektir. Bu konuşimdiye kadar incelediğimiz konuları özetler gibi. Rasyonel ifadelerin dönüşümleri toplama, çıkarma, çarpma, bölme, cebirsel kesirlerin üssünü çıkarma, azaltma, çarpanlara ayırma vb. içerir. .
Başlık:cebirsel kesirler. Cebirsel kesirler üzerinde aritmetik işlemler
Ders:Rasyonel ifadeler ve dönüşümleri hakkında temel bilgiler
Tanım
rasyonel ifade sayılar, değişkenler, aritmetik işlemler ve üslerden oluşan bir ifadedir.
Bir rasyonel ifade örneğini ele alalım:
Rasyonel ifadelerin özel durumları:
1. derece: 
;
2. tek terimli: ;
3. kesir: .
Rasyonel İfade Dönüşümü rasyonel bir ifadenin basitleştirilmiş halidir. Rasyonel ifadeleri dönüştürürken işlemlerin sırası: önce parantez içinde işlemler, ardından çarpma (bölme) işlemleri ve ardından toplama (çıkarma) işlemleri vardır.
Rasyonel ifadelerin dönüşümü ile ilgili bazı örneklere bakalım.
örnek 1
Çözüm:
Bu örneği adım adım çözelim. Parantez içindeki işlem önce yapılır.
Cevap:
Örnek 2
Çözüm:
Cevap:
Örnek 3
Çözüm:
Cevap: .
Not: belki de bu örneği görünce aklınıza bir fikir geldi: ortak bir paydaya indirmeden önce kesri azaltın. Aslında, kesinlikle doğrudur: önce, ifadeyi olabildiğince basitleştirmek ve sonra onu dönüştürmek istenir. Aynı örneği ikinci şekilde çözmeye çalışalım.
Gördüğünüz gibi, cevap kesinlikle benzer çıktı, ancak çözüm biraz daha basit çıktı.
Bu derste inceledik rasyonel ifadeler ve dönüşümleri, yanı sıra birkaç somut örnekler dönüşüm verileri.
Kaynakça
1. Bashmakov M.I. Cebir 8. sınıf. - M.: Aydınlanma, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir 8. - 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.