O zaman a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Sıfır eklemek sayıyı değil toplamı değiştirir. zıt sayılar sıfıra eşittir.
Dolayısıyla, herhangi bir rasyonel sayı için: a + 0 = a, a + (- a) = 0'a sahibiz.
Rasyonel sayıların çarpımı aynı zamanda değişmeli ve ilişkisel özelliklere sahiptir. Diğer bir deyişle, a, b ve c herhangi bir rasyonel sayı ise, ab - ba, a(bc) - (ab)c olur.
1 ile çarpmak rasyonel sayıyı değiştirmez, ancak bir sayının ve onun tersinin çarpımı 1'dir.
Yani herhangi bir a rasyonel sayısı için elimizdeki:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12 + a -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.
1190. Uygun bir hesaplama sırası seçtikten sonra, ifadenin değerini bulun:
1191. ab = ba çarpmasının değişme özelliğini kelimelerle formüle edin ve şunları kontrol edin:
1192. a(bc)=(ab)c çarpma işleminin çağrışımsal özelliğini kelimelerle formüle edin ve şunları kontrol edin:
1193. Uygun bir hesaplama sırası seçerek, ifadenin değerini bulun:
1194. Çarparsanız sayı (pozitif veya negatif) ne olur:
a) bir negatif sayı ve iki pozitif sayı;
b) iki negatif ve bir pozitif sayı;
c) 7 negatif ve birkaç pozitif sayı;
d) 20 negatif ve birkaç pozitif? Bir sonuca varın.
1195. Ürünün işaretini belirleyin:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) Spor salonunda toplanan Vitya, Kolya, Petya, Seryozha ve Maxim (Şek. 91, a). Çocukların her birinin sadece iki kişiyi tanıdığı ortaya çıktı. Kim kimi biliyor? (Grafiğin kenarı "birbirimizi tanıyoruz" anlamına gelir.)
b) Aynı ailenin erkek ve kız kardeşleri bahçede dolaşıyor. Bu çocuklardan hangileri erkek, hangileri kızdır (Şekil 91, b)? (Grafikteki noktalı kenarlar - "Ben bir kız kardeşim" ve düz olanlar - "Ben bir erkek kardeşim" anlamına gelir.)
1205. Hesapla:
1206. Karşılaştırın:
a) 2 3 ve 3 2 ; b) (-2) 3 ve (-3) 2; c) 1 3 ve 1 2 ; d) (-1) 3 ve (-1) 2.
1207. 5.2853'ü binde bire yuvarlayın; önceki yüzlerce; onda birine kadar; birimlere kadar.
1208. Problemi çözün:
1) Motosikletçi bisikletçiye yetişir. Şimdi aralarında 23.4 km. Bir motosikletçinin hızı bisikletlinin 3,6 katıdır. Motosikletçinin bisikletçiyi saatler içinde geçeceği biliniyorsa, bisikletçinin ve motosikletçinin hızlarını bulun.
2) Bir araba bir otobüse yetişiyor. Şimdi aralarında 18 km. Otobüsün hızı arabanın hızıdır. Arabanın otobüsü saatte geçeceği biliniyorsa otobüsün ve arabanın hızlarını bulunuz.
1209. İfadenin değerini bulun:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
ile hesaplamalarınızı kontrol edin hesap makinesi.
1210. Uygun bir hesaplama sırası seçtikten sonra, ifadenin değerini bulun: 
1211. İfadeyi sadeleştirin:
1212. İfadenin değerini bulun:
1213. Aşağıdakileri yapın:
1214. Öğrencilere 2,5 ton hurda metal toplama görevi verildi. 3.2 ton hurda metal topladılar. Öğrenciler görevi yüzde kaç oranında tamamladılar ve yüzde kaç oranında görevi gereğinden fazla tamamladılar?
1215. Araba 240 km yol kat etti. Bunların 180 km'sini köy yolunda ve yolun geri kalanını otoyol boyunca yürüdü. Bir köy yolunun her 10 km'sinde benzin tüketimi 1,6 litre ve otoyolda -% 25 daha azdı. Her 10 km yolculuk için ortalama kaç litre benzin tüketildi?
1216. Köyden ayrılan bisikletçi, köprüde aynı istikamette yürüyen bir yaya fark etti ve 12 dakikada ona yetişti. Bisikletçinin hızı 15 km/h ve köyden köprüye olan mesafe 1 km 800 m ise yayanın hızını bulunuz?
1217. Aşağıdakileri yapın:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Bildiğiniz gibi, insanlar yavaş yavaş rasyonel sayılarla tanıştı. İlk başta nesneleri sayarken doğal sayılar ortaya çıktı. İlk başta, birkaç tane vardı. Bu nedenle, yakın zamana kadar Torres Boğazı'ndaki (Yeni Gine'yi Avustralya'dan ayıran) adaların yerlilerinin dillerinde yalnızca iki sayı vardı: "urapun" (bir) ve "okaza" (iki). Adalılar şöyle düşündüler: “okaza-urapun” (üç), “okaza-okaza” (dört), vb. Yerliler yediden başlayarak tüm sayıları “çok” anlamına gelen kelime olarak adlandırdılar.
Bilim adamları, yüz kelimesinin 7.000 yıldan daha önce, bin - 6.000 yıl önce ve 5.000 yıl önce ortaya çıktığına inanıyor. Antik Mısır ve eski Babil'de çok büyük sayıların adları görünüyor - bir milyona kadar. Ancak uzun bir süre, doğal sayı dizisinin sonlu olduğu kabul edildi: insanlar en çok sayının olduğunu düşündüler. Büyük sayı.
En büyük antik Yunan matematikçisi ve fizikçisi Arşimet (MÖ 287-212), devasa sayıları tanımlamanın bir yolunu buldu. Arşimet'in nasıl adlandıracağını bildiği en büyük sayı o kadar büyüktü ki, dijital kaydı Dünya ile Güneş arasındaki mesafeden iki bin kat daha uzun bir kaset gerektirecekti.
Ama yine de bu kadar büyük sayıları nasıl yazacaklarını bilmiyorlardı. Bu ancak 6. yüzyılda Hintli matematikçilerden sonra mümkün oldu. sıfır sayısı icat edildi ve bir sayının ondalık gösteriminin basamaklarında birimlerin bulunmadığını göstermeye başladı.
Ganimet bölüşülürken ve daha sonra değerleri ölçerken ve diğer benzer durumlarda, insanlar "kırık sayılar" getirme ihtiyacıyla karşılaştılar - ortak kesirler. Kesirler üzerindeki eylemler, Orta Çağ'da matematiğin en zor alanı olarak kabul edildi. Şimdiye kadar Almanlar, zor durumda olan bir kişi hakkında "parçalara ayrıldığını" söylüyor.
Kesirlerle çalışmayı kolaylaştırmak için ondalık sayılar icat edildi. kesirler. Avrupa'da X585'te Hollandalı matematikçi ve mühendis Simon Stevin tarafından tanıtıldı.
Negatif sayılar kesirlerden sonra ortaya çıktı. Uzun bir süre boyunca, bu tür sayılar, öncelikle kabul edilen yorumun olumlu olması nedeniyle "yok", "yanlış" olarak kabul edildi ve negatif sayılar"mülk - borç" şaşkınlığa yol açtı: "mülk" veya "borçlar" ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz, ancak iş veya özel "mülk" ve "borç" nasıl anlaşılır?
Bununla birlikte, bu tür şüphelere ve kafa karışıklıklarına rağmen, 3. yüzyılda pozitif ve negatif sayıları çarpma ve bölme kuralları önerildi. Yunan matematikçi Diophantus tarafından ("Çıkarılan, eklenenle çarpılır, çıkanı verir; çıkarılanla çıkarılan, ekleneni verir" şeklinde) ve daha sonra Hintli matematikçi Bhaskara (XII. Yüzyıl) aynı şeyi ifade etti. “mal”, “borç” (“İki malın veya iki borcun ürünü maldır; mal ile borcun ürünü borçtur.” Aynı kural taksim için de geçerlidir).
Negatif sayılar üzerindeki eylemlerin özelliklerinin pozitif sayılardakilerle aynı olduğu bulundu (örneğin, toplama ve çarpmanın değişmeli bir özelliği vardır). Ve son olarak, geçen yüzyılın başından beri negatif sayılar pozitif sayılara eşit hale geldi.
Daha sonra matematikte yeni sayılar ortaya çıktı - irrasyonel, karmaşık ve diğerleri. Bunları lisede öğreneceksin.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, 6. Sınıflar için Matematik, Ders Kitabı lise
Matematik 6. sınıf için takvim planına göre kitaplar ve ders kitapları indir, öğrenciye çevrimiçi yardım
Bu ders, rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini kapsar. Konu karmaşık olarak sınıflandırılmıştır. Burada önceden edinilmiş bilginin tüm cephaneliğini kullanmak gerekiyor.
Tam sayıları toplama ve çıkarma kuralları rasyonel sayılar için de geçerlidir. Rasyonel sayıların kesir olarak gösterilebilen sayılar olduğunu hatırlayın. a - bir kesrin payıdır b kesrin paydasıdır. nerede, b boş olmamalıdır.
Bu derste, kesirlerden ve karışık sayılardan tek bir ortak ifade olarak giderek daha fazla bahsedeceğiz - rasyonel sayılar.
Ders navigasyonu:örnek 1 Bir ifadenin değerini bulun:
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz. İfadede verilen artının işlemin işareti olduğunu ve kesirler için geçerli olmadığını dikkate alıyoruz. Bu kesrin, yazılmadığı için görünmeyen kendi artı işareti vardır. Ancak netlik için yazacağız:
Bu, rasyonel sayıların eklenmesidir. farklı işaretler. Farklı işaretli rasyonel sayıları toplamak için, daha küçük bir modülü daha büyük bir modülden çıkarmanız ve cevabın önüne modülü daha büyük olan rasyonel sayının işaretini koymanız gerekir. Ve hangi modülün daha büyük ve hangisinin daha az olduğunu anlamak için, bu kesirlerin modüllerini hesaplamadan önce karşılaştırabilmeniz gerekir:
Bir rasyonel sayının modülü, bir rasyonel sayının modülünden daha büyüktür. Bu nedenle, dan çıkardık. Bir cevabım var. Sonra bu kesri 2'ye indirerek nihai cevabı aldık.
Numaraları parantez içine almak ve modülleri bir yere koymak gibi bazı ilkel eylemler atlanabilir. Bu örnek daha kısa bir şekilde yazılabilir:
Örnek 2 Bir ifadenin değerini bulun:
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz. Rasyonel sayılar ile arasındaki eksinin işlemin işareti olduğunu ve kesirler için geçerli olmadığını dikkate alıyoruz. Bu kesrin, yazılmadığı için görünmeyen kendi artı işareti vardır. Ancak netlik için yazacağız:
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim. Bunun için eksilene, çıkarılanın karşısındaki sayıyı eklemeniz gerektiğini hatırlayın:
Negatif rasyonel sayıların eklenmesini elde ettik. Negatif rasyonel sayılar eklemek için modüllerini eklemeniz ve cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir:
Not. Her rasyonel sayıyı parantez içine almak gerekli değildir. Bu, rasyonel sayıların hangi işaretlere sahip olduğunu açıkça görmek için kolaylık sağlamak için yapılır.
Örnek 3 Bir ifadenin değerini bulun:
Bu ifadede kesirler farklı paydalar. İşimizi kolaylaştırmak için bu kesirleri ortak bir paydaya getirelim. Bunun nasıl yapılacağı konusunda ayrıntılara girmeyeceğiz. Zorluklarla karşılaşırsanız, dersi tekrar ettiğinizden emin olun.
Kesirleri ortak bir paydaya indirgedikten sonra, ifade aşağıdaki formu alacaktır:
Bu, farklı işaretli rasyonel sayıların toplanmasıdır. Küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve alınan yanıttan önce modülü daha büyük olan rasyonel sayının işaretini koyarız:
Bu örneğin çözümünü daha kısa bir şekilde yazalım:
Örnek 4 Bir ifadenin değerini bulun
Bu ifadeyi şu şekilde hesaplıyoruz: rasyonel sayıları toplarız ve elde edilen sonuçtan rasyonel sayıyı çıkarırız. 
İlk eylem:
İkinci eylem:
Örnek 5. Bir ifadenin değerini bulun:
−1 tamsayısını bir kesir olarak gösterelim ve karışık numara uygun olmayan bir kesre dönüştürmek:
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz:
Farklı işaretli rasyonel sayıların toplamını aldık. Küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve alınan yanıttan önce modülü daha büyük olan rasyonel sayının işaretini koyarız:
Bir cevabım var.
İkinci bir çözüm de var. Bütün parçaları ayrı ayrı bir araya getirmekten ibarettir.
Yani, orijinal ifadeye geri dönelim:
Her sayıyı parantez içine alın. Bu karışık sayı için geçici olarak:
Tamsayı kısımlarını hesaplayalım:
(−1) + (+2) = 1
Ana ifadede (−1) + (+2) yerine elde edilen birimi yazıyoruz:
Ortaya çıkan ifade. Bunu yapmak için, birimi ve kesri birlikte yazın:
Çözümü daha kısa bir şekilde şu şekilde yazalım:
Örnek 6 Bir ifadenin değerini bulun
Karışık sayıyı bileşik kesre dönüştürün. Gerisini değiştirmeden yeniden yazıyoruz:
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz:
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
Bu örneğin çözümünü daha kısa bir şekilde yazalım:
Örnek 7 Değer ifadesini bul
−5 tamsayısını bir kesir olarak gösterelim ve karışık sayıyı yanlış bir kesre çevirelim:
Bu kesirleri ortak bir paydaya getirelim. Bunları ortak bir paydaya getirdikten sonra aşağıdaki şekli alacaklardır:
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz:
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
Negatif rasyonel sayıların eklenmesini elde ettik. Bu sayıların modüllerini ekliyoruz ve alınan cevabın önüne bir eksi koyuyoruz:
Böylece, ifadenin değeri .
Bu örneği ikinci şekilde çözelim. Orijinal ifadeye geri dönelim:
Karışık sayıyı genişletilmiş biçimde yazalım. Gerisini değiştirmeden yeniden yazıyoruz:
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz:
Tamsayı kısımlarını hesaplayalım:
Ana ifadede, ortaya çıkan −7 sayısını yazmak yerine
İfade, karışık bir sayı yazmanın genişletilmiş bir biçimidir. Son cevabı oluşturan −7 sayısını ve kesri birlikte yazalım:
Bu çözümü kısaca yazalım:
Örnek 8 Bir ifadenin değerini bulun
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz:
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
Negatif rasyonel sayıların eklenmesini elde ettik. Bu sayıların modüllerini ekliyoruz ve alınan cevabın önüne bir eksi koyuyoruz:
Böylece, ifadenin değeri
Bu örnek ikinci şekilde çözülebilir. Bütün ve kesirli parçaların ayrı ayrı eklenmesinden oluşur. Orijinal ifadeye geri dönelim:
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz:
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
Negatif rasyonel sayıların eklenmesini elde ettik. Bu sayıların modüllerini ekliyoruz ve alınan cevabın önüne bir eksi koyuyoruz. Ancak bu sefer tamsayı kısımlarını (−1 ve -2) ayrı ayrı, kesirli ve
Bu çözümü kısaca yazalım:
Örnek 9İfade ifadelerini bulun 
Karışık sayıları bileşik kesre çevirmek:
Rasyonel sayıyı işaretiyle birlikte parantez içine alıyoruz. Bir rasyonel sayı zaten parantez içinde olduğu için parantez içine alınması gerekmez:
Negatif rasyonel sayıların eklenmesini elde ettik. Bu sayıların modüllerini ekliyoruz ve alınan cevabın önüne bir eksi koyuyoruz:
Böylece, ifadenin değeri
Şimdi aynı örneği ikinci yoldan yani tamsayı ve kesirli kısımları ayrı ayrı toplayarak çözmeye çalışalım.
Bu sefer kısa bir çözüm elde etmek için, karışık bir sayıyı genişletilmiş biçimde yazmak ve çıkarma yerine toplama koymak gibi bazı işlemleri atlamaya çalışalım:
Kesirli kısımların ortak bir paydaya indirgendiğine dikkat edin.
Örnek 10 Bir ifadenin değerini bulun 
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
Ortaya çıkan ifade, hataların ana nedeni olan negatif sayıları içermez. Ve negatif sayı olmadığı için, çıkanın önündeki artıyı kaldırabiliriz ve parantezleri de kaldırabiliriz:
Sonuç, hesaplanması kolay basit bir ifadedir. Bizim için uygun olan herhangi bir şekilde hesaplayalım:
Örnek 11. Bir ifadenin değerini bulun
Bu, farklı işaretli rasyonel sayıların toplanmasıdır. Küçük modülü büyük modülden çıkaralım ve gelen cevapların önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyalım:
Örnek 12. Bir ifadenin değerini bulun 
İfade birkaç rasyonel sayıdan oluşur. Buna göre öncelikle parantez içindeki işlemleri yapmanız gerekmektedir.
Önce ifadeyi hesaplıyoruz, ardından elde edilen sonucu ifadeye ekliyoruz.
İlk eylem:
İkinci eylem:
Üçüncü eylem:
Cevap: ifade değeri eşittir
Örnek 13 Bir ifadenin değerini bulun 
Karışık sayıları bileşik kesre çevirmek:
Rasyonel sayıyı işaretiyle birlikte parantez içine alıyoruz. Zaten parantez içinde olduğu için bir rasyonel sayının parantez içine alınması gerekmez:
Bu kesirleri ortak bir paydada verelim. Bunları ortak bir paydaya getirdikten sonra aşağıdaki şekli alacaklardır:
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
Farklı işaretli rasyonel sayıların toplamını aldık. Küçük modülü büyük modülden çıkaralım ve gelen cevapların önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyalım:
Böylece, ifadenin değeri eşittir
Aynı zamanda rasyonel sayılar olan ve hem pozitif hem de negatif olabilen ondalık kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerini düşünün.
Örnek 14−3.2 + 4.3 ifadesinin değerini bulun
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz. İfadede verilen artının işlemin işareti olduğunu ve ondalık kesir için geçerli olmadığını dikkate alıyoruz 4.3. Bu ondalık sayının, yazılmadığı için görünmeyen kendi artı işareti vardır. Ancak netlik için yazacağız:
(−3,2) + (+4,3)
Bu, farklı işaretli rasyonel sayıların toplanmasıdır. Farklı işaretli rasyonel sayıları toplamak için, daha büyük bir modülden daha küçük bir modül çıkarmanız ve modülü daha büyük olan rasyonel sayıyı cevabın önüne koymanız gerekir. Ve hangi modülün daha büyük ve hangisinin daha küçük olduğunu anlamak için, bu ondalık kesirlerin modüllerini hesaplamadan önce karşılaştırabilmeniz gerekir:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
4.3'ün modülü -3.2'nin modülünden daha büyük, bu yüzden 3.2'yi 4.3'ten çıkardık. Cevabı aldım 1.1. Cevap evet, çünkü cevaptan önce modülü büyük olan rasyonel sayının işareti gelmelidir. Ve 4.3 modülü −3.2 modülünden daha büyük
Böylece, −3,2 + (+4,3) ifadesinin değeri 1,1'dir.
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Örnek 15 3.5 + (−8.3) ifadesinin değerini bulun
Bu, farklı işaretli rasyonel sayıların toplanmasıdır. Önceki örnekte olduğu gibi, büyük modülden küçük olanı çıkarıyoruz ve cevabın önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyuyoruz:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Böylece, 3.5 + (−8.3) ifadesinin değeri -4.8'e eşittir
Bu örnek daha kısa yazılabilir:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Örnek 16−7.2 + (−3.11) ifadesinin değerini bulun
Bu, negatif rasyonel sayıların toplanmasıdır. Negatif rasyonel sayılar eklemek için modüllerini eklemeniz ve cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
İfadeyi karıştırmamak için girişi modüllerle atlayabilirsiniz:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Böylece −7.2 + (−3.11) ifadesinin değeri −10.31'e eşittir.
Bu örnek daha kısa yazılabilir:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Örnek 17.−0.48 + (−2.7) ifadesinin değerini bulun
Bu, negatif rasyonel sayıların toplanmasıdır. Modüllerini ekliyoruz ve alınan cevabın önüne bir eksi koyuyoruz. İfadeyi karıştırmamak için girişi modüllerle atlayabilirsiniz:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Örnek 18.−4,9 − 5,9 ifadesinin değerini bulun
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alıyoruz. −4.9 ve 5.9 rasyonel sayıları arasında yer alan eksi işaretinin işlemin işareti olduğunu ve 5.9 sayısı için geçerli olmadığını dikkate alıyoruz. Bu rasyonel sayının, yazılmadığı için görünmeyen kendi artı işareti vardır. Ancak netlik için yazacağız:
(−4,9) − (+5,9)
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
(−4,9) + (−5,9)
Negatif rasyonel sayıların eklenmesini elde ettik. Modüllerini ekliyoruz ve alınan yanıtın önüne bir eksi koyuyoruz:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Böylece, -4,9 - 5,9 ifadesinin değeri -10,8'e eşittir
−4,9 − 5,9 = −10,8
Örnek 19. 7 - 9.3 ifadesinin değerini bulun
Her sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alın
(+7) − (+9,3)
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Böylece, 7 − 9.3 ifadesinin değeri −2.3'tür.
Bu örneğin çözümünü daha kısa bir şekilde yazalım:
7 − 9,3 = −2,3
Örnek 20.−0,25 − (−1,2) ifadesinin değerini bulun
Çıkarmayı toplama ile değiştirelim:
−0,25 + (+1,2)
Farklı işaretli rasyonel sayıların toplamını aldık. Büyük modülden küçük modülü çıkarırız ve yanıttan önce modülü büyük olan sayının işaretini koyarız:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Bu örneğin çözümünü daha kısa bir şekilde yazalım:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Örnek 21.-3.5 + (4.1 - 7.1) ifadesinin değerini bulun
İşlemleri parantez içinde gerçekleştirin, ardından alınan yanıtı −3,5 sayısıyla ekleyin
İlk eylem:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
İkinci eylem:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Cevap:-3,5 + (4,1 - 7,1) ifadesinin değeri -6,5'tir.
Örnek 22.(3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) ifadesinin değerini bulun
Parantezleri yapalım. Ardından, ilk köşeli parantezlerin yürütülmesinden kaynaklanan sayıdan, ikinci parantezlerin yürütülmesinden kaynaklanan sayıyı çıkarın:
İlk eylem:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
İkinci eylem:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Üçüncü perde
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Cevap:(3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) ifadesinin değeri 6'dır.
Örnek 23. Bir ifadenin değerini bulun −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Her rasyonel sayıyı işaretleri ile birlikte parantez içine alın
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Çıkarmayı mümkün olduğunda toplama ile değiştirelim:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
İfade birkaç terimden oluşur. İlişkisel toplama yasasına göre, ifade birkaç terimden oluşuyorsa, toplam, eylemlerin sırasına bağlı olmayacaktır. Bu, terimlerin herhangi bir sırayla eklenebileceği anlamına gelir.
Tekerleği yeniden icat etmeyeceğiz, ancak tüm terimleri göründükleri sırayla soldan sağa ekleyeceğiz:
İlk eylem:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
İkinci eylem:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Üçüncü eylem:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Cevap:−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 ifadesinin değeri 1'e eşittir.
Örnek 24. Bir ifadenin değerini bulun
Ondalık kesri -1.8'i karışık bir sayıya çevirelim. Gerisini değiştirmeden yeniden yazacağız:
Ders 4
DOĞAL GÖSTERGELİ DERECE
Hedefler: hesaplama becerileri ve yeteneklerinin oluşumunu, hesaplama deneyimine dayalı dereceler hakkında bilgi birikimini teşvik etmek; 10'un kuvvetlerini kullanarak büyük ve küçük sayıları nasıl yazacağınızı öğrenin.
dersler sırasında
I. Temel bilginin gerçekleştirilmesi.
Öğretmen sonuçları analiz eder doğrulama çalışması, her öğrenci, hesaplama becerilerini ve yeteneklerini düzeltmek için bireysel bir plan geliştirmeye yönelik tavsiyeler alır.
Daha sonra öğrencilerden hesaplamalar yapmaları ve derece teorisinin inşasına katkıda bulunan ünlü matematikçilerin isimlerini okumaları istenir:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
Anahtar:
Bir bilgisayar veya epiprojektör yardımıyla bilim adamları Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin'in portreleri ekrana yansıtılıyor. Öğrenciler, dilerlerse bu matematikçilerin hayatı ve çalışmaları hakkında tarihi bilgiler hazırlamaya davet edilir.
II. Yeni kavramların ve eylem yöntemlerinin oluşturulması.
Öğrenciler aşağıdaki ifadeleri defterlerine yazarlar:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
aşartlar
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
nçarpanlar
5. a∙ a∙ … ∙ a;
nçarpanlar
Öğrenciler şu soruyu yanıtlamaya davet edilir: "Bu kayıtlar" görünür "olmaları için nasıl daha derli toplu bir şekilde sunulabilir?"
Daha sonra öğretmen yeni bir konu hakkında bir konuşma yapar, öğrencileri birinci derece sayı kavramıyla tanıştırır. Öğrenciler satrancın mucidi Seth ve Kral Sheram hakkında eski bir Hint efsanesinin dramatizasyonunu hazırlayabilirler. Sohbeti, büyük ve küçük miktarları yazarken 10'un güçlerinin kullanımı hakkında bir hikaye ile bitirmek ve öğrencilere bu tür miktarların örneklerini bulma fırsatı vermek için fizik, teknoloji, astronomi üzerine çeşitli referans kitapları sunarak bitirmek gerekir. kitaplarda.
III. Beceri ve yeteneklerin oluşumu.
1. Alıştırmaların çözümü No. 40 d), e), f); 51.
Çözüm sırasında, öğrenciler şunları hatırlamanın yararlı olduğu sonucuna varırlar: negatif tabanlı bir üs, üs çift ise pozitif, üs tek ise negatiftir.
2. 41, 47 numaralı alıştırmaların çözümü.
IV. Özetleme.
Öğretmen derste öğrencilerin çalışmalarını yorumlar ve değerlendirir.
Ev ödevi: madde 1.3, No. 42, 43, 52; isteğe bağlı: Diophantus, Descartes, Stevin hakkında mesajlar hazırlayın.
Diophantus- İskenderiyeli eski Yunan matematikçisi (III. yüzyıl). Matematiksel incelemesi "Aritmetik" in bir kısmı (13 kitaptan 6'sı) korunmuştur, burada problemlerin çözümünün verildiği, çoğu sözde "Diophantine denklemlerine" yol açar ve bunların çözümü rasyonel olarak aranır. pozitif sayılar (Diophantus'un negatif sayıları yoktur).
Bilinmeyeni ve derecelerini (altına kadar) belirtmek için eşittir işareti Diophantus, karşılık gelen kelimelerin kısaltılmış bir gösterimini kullandı. Bilim adamları ayrıca Diophantus'un Aritmetiği'nin 4 kitabının daha Arapça metnini keşfettiler. Diophantus'un yazıları, P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ve diğerlerinin araştırmalarının başlangıç noktasıydı.
Descartes René (31.03.159) 6 –11. 02. 1650) - Fransız filozof ve matematikçi, eski soylu bir aileden geliyordu. Anjou'daki Cizvit okulu La Flèche'de eğitim gördü. Otuz Yıl Savaşları'nın başında 1621'de ayrıldığı orduda görev yaptı; Birkaç yıllık seyahatin ardından, yirmi yılını tek başına bilimsel araştırmalarda geçirdiği Hollanda'ya taşındı (1629). 1649'da İsveç kraliçesinin daveti üzerine Stockholm'e taşındı, ancak kısa süre sonra öldü.
Descartes analitik geometrinin temellerini attı ve birçok modern cebirsel gösterimi tanıttı. Descartes, değişkenler için genel kabul görmüş işaretleri tanıtarak gösterimi büyük ölçüde geliştirdi.
(X, de,z…) ve katsayılar ( a, b, İle birlikte…) ve derece notasyonu ( X 4 , a 5…). Descartes'ın formüllerinin yazımı, modern olandan neredeyse hiç farklı değil.
Analitik geometride, Descartes'ın ana başarısı, yarattığı koordinat yöntemiydi.
Stevin Simon (1548–1620) hollandalı bilim adamı ve mühendistir. 1583'ten itibaren Leiden Üniversitesi'nde ders verdi, 1600'de Leiden Üniversitesi'nde matematik dersleri verdiği bir mühendislik okulu düzenledi. Stevin'in "Tithing" (1585) adlı çalışması ondalık ölçü sistemine ayrılmıştır ve ondalık kesirler Simon Stevin'in Avrupa'da kullanıma sunduğu.
Resim. Rasyonel sayılar üzerinde aritmetik işlemler.
Metin:
Rasyonel sayılarla işlem kuralları:
. aynı işaretli sayıları toplarken modüllerini topla ve toplamın önüne koy ortak işaret;
. büyük bir modüle sahip bir sayıdan farklı işaretlere sahip iki sayı toplanırken, daha küçük bir modüle sahip bir sayı çıkarılır ve daha büyük bir modüle sahip sayının işareti, ortaya çıkan farkın önüne yerleştirilir;
. bir sayıyı diğerinden çıkarırken, çıkarılan sayının tersini eklemeniz gerekir: a - b \u003d a + (-b)
. aynı işaretlere sahip iki sayıyı çarparken, modülleri çarpılır ve ortaya çıkan çarpımın önüne bir artı işareti konur;
. farklı işaretlere sahip iki sayıyı çarparken modülleri çarpılır ve elde edilen çarpımın önüne eksi işareti konur;
. aynı işaretli sayıları bölerken, bölünen katsayı bölen katsayıya bölünür ve elde edilen bölümün önüne bir artı işareti konur;
. farklı işaretlere sahip sayıları bölerken, bölen modülü bölen modülüne bölünür ve elde edilen bölümün önüne bir eksi işareti konur;
. Sıfırı sıfır olmayan herhangi bir sayı ile bölmek ve çarpmak sıfırla sonuçlanır:
. sıfıra bölemezsiniz.