Aşağıda sunulan materyal, EKOK - en küçük ortak kat, tanım, örnekler, EKOK ile OBEB arasındaki ilişki başlıklı makaledeki teorinin mantıksal bir devamıdır. Burada hakkında konuşacağız en küçük ortak katı bulma (EKOK) ve örnekleri çözmeye özellikle dikkat edin. Önce iki sayının EKOK'sinin bu sayıların OBEB'i cinsinden nasıl hesaplandığını gösterelim. Ardından, sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmayı düşünün. Bundan sonra, üç veya daha fazla sayının EKOK'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların EKOK'sinin hesaplanmasına da dikkat edeceğiz.
Sayfa gezintisi.
gcd aracılığıyla en küçük ortak katın (LCM) hesaplanması
En küçük ortak katı bulmanın bir yolu, EKOK ile OBEB arasındaki ilişkiye dayanır. EKOK ile OBEB arasındaki mevcut ilişki, bilinen en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tamsayının en küçük ortak katını hesaplamanıza olanak tanır. Karşılık gelen formül şu şekildedir: EKOK(a, b)=a b: EKOK(a, b) . Yukarıdaki formüle göre LCM'yi bulma örneklerini düşünün.
Örnek.
126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.
Çözüm.
Bu örnekte a=126 , b=70 . Formülle ifade edilen LCM ve OBEB arasındaki ilişkiyi kullanalım. EKOK(a, b)=a b: EKOK(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmalıyız, sonra bu sayıların EKOK'sini yazılı formüle göre hesaplayabiliriz.
Öklid'in algoritmasını kullanarak gcd(126, 70)'yi bulun: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dolayısıyla gcd(126, 70)=14 .
Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: EKOK(126, 70)=126 70: EKOK(126, 70)= 126 70:14=630 .
Cevap:
EKOK(126, 70)=630 .
Örnek.
LCM(68, 34) nedir?
Çözüm.
Çünkü 68, 34 ile eşit olarak bölünebilir, bu durumda ebob(68, 34)=34 . Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: EKOK(68, 34)=68 34: EKOK(68, 34)= 68 34:34=68 .
Cevap:
EKOK(68, 34)=68 .
Önceki örneğin a ve b pozitif tamsayıları için EKOK'yi bulmak için şu kurala uyduğuna dikkat edin: a sayısı b'ye bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.
Sayıları Asal Faktörlere Ayırarak LCM'yi Bulma
En küçük ortak katı bulmanın başka bir yolu da sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Bu sayıların tüm asal çarpanlarının bir çarpımını yaparsak ve ardından bu sayıların açılımlarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsak, ortaya çıkan ürün bu sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır.
LCM'yi bulmak için ilan edilen kural eşitlikten çıkar. EKOK(a, b)=a b: EKOK(a, b). Aslında, a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin ürününe eşittir. Buna karşılık, ebob(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir (bu, sayıların asal çarpanlara ayrışması kullanılarak ebob bulma bölümünde açıklanmıştır) ).
Bir örnek alalım. 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 olduğunu bilelim. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturun: 2 3 3 5 5 5 7 . Şimdi hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında bulunan tüm faktörleri bu çarpımdan hariç tutuyoruz (bunlar 3 ve 5'tir), o zaman çarpım 2 3 5 5 7 şeklini alacaktır. Bu çarpımın değeri 75 ve 210 sayılarının en küçük ortak katına eşittir, yani, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Örnek.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayırdıktan sonra bu sayıların en küçük ortak katını bulun.
Çözüm.
441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
441=3 3 7 7 ve 700=2 2 5 5 7 elde ederiz.
Şimdi 2 2 3 3 5 5 7 7 7 sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin bir çarpımını yapalım. Her iki genişletmede aynı anda bulunan tüm faktörleri bu çarpımdan çıkaralım (böyle bir faktör vardır - bu sayı 7'dir): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Böylece, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Cevap:
EKOK(441, 700)= 44 100 .
Sayıların asal çarpanlara ayrışmasını kullanarak EKOK'yi bulma kuralı biraz farklı formüle edilebilir. b sayısının açılımındaki eksik çarpanları a sayısının açılımındaki çarpanlara eklersek, elde edilen çarpım değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..
Örneğin, 75 ve 210 aynı sayılarını alalım, bunların asal çarpanlara açılımı şu şekildedir: 75=3 5 5 ve 210=2 3 5 7 . 75 sayısının ayrıştırılmasından 3, 5 ve 5 çarpanlarına, 210 sayısının ayrıştırılmasından eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını ekleriz, değeri LCM(75) olan 2 3 5 5 7 ürününü elde ederiz. , 210) .
Örnek.
84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.
Çözüm.
İlk önce 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrışmasını elde ederiz. 84=2 2 3 7 ve 648=2 2 2 3 3 3 3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının ayrıştırılmasından 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına, 648 sayısının ayrıştırılmasından eksik olan 2 , 3 , 3 ve 3 çarpanlarını ekleriz , 2 2 2 3 3 3 3 7 sonucunu elde ederiz, 4 536'ya eşittir. Böylece, 84 ve 648 sayılarının istenen en küçük ortak katı 4,536'dır.
Cevap:
LCM(84, 648)=4 536 .
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma
Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının EKOK'sini art arda bularak bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının EKOK'sini bulmanın bir yolunu veren karşılık gelen teoremi hatırlayın.
teorem.
Tam sayılar verilsin pozitif sayılar a 1 , a 2 , …, ak , bu sayıların en küçük ortak katı mk sıralı hesaplama ile bulunur m 2 = EKOK (a 1 , a 2) , m 3 = EKOK (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .
Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğinde bu teoremin uygulamasını düşünün.
Örnek.
140, 9, 54 ve 250 gibi dört sayının EKOK'sini bulun.
Çözüm.
Bu örnekte a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
ilk biz buluruz m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak gcd(140, 9) , 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dolayısıyla gcd( 140, 9)=1 , buradan EKOK(140, 9)=140 9: EKOK(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yani, m 2 = 1 260 .
şimdi bulduk m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Öklid algoritması tarafından da belirlenen gcd(1 260, 54) aracılığıyla hesaplayalım: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . O zaman aşem(1 260, 54)=18 , dolayısıyla LCM(1 260, 54)= 1 260 54:bükey(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Yani, m 3 \u003d 3 780.
Bulmak için sola m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(3 780, 250)'yi buluruz: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Bu nedenle, ebob(3 780, 250)=10 , dolayısıyla ebob(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Yani, m 4 \u003d 94 500.
Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.
Cevap:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
Çoğu durumda, üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların asal çarpanları kullanılarak kolayca bulunur. Bu durumda aşağıdaki kurala uyulmalıdır. Birkaç sayının en küçük ortak katı, aşağıdaki gibi oluşan çarpıma eşittir: ikinci sayının açılımındaki eksik çarpanlar, birinci sayının açılımındaki tüm çarpanlara eklenir; üçüncü sayı elde edilen faktörlere eklenir ve böyle devam eder.
Sayıların asal çarpanlara ayrıştırılmasını kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğini ele alalım.
Örnek.
Beş sayının en küçük ortak katını bulun 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Çözüm.
İlk olarak, bu sayıların asal çarpanlara açılımını elde ederiz: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 asal çarpan) ve 143=11 13 .
Bu sayıların EKOK'sini bulmak için, ilk sayı olan 84'ün çarpanlarına (bunlar 2, 2, 3 ve 7'dir), ikinci sayı 6'nın açılımından eksik çarpanları eklemeniz gerekir. 6 sayısının açılımı eksik çarpanları içermez, çünkü hem 2 hem de 3 ilk sayının açılımında zaten mevcuttur 84 . 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına ek olarak , üçüncü sayı 48'in açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekliyoruz , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarını elde ediyoruz . Bir sonraki adımda bu kümeye çarpan eklemeye gerek yoktur, çünkü içinde zaten 7 vardır. Son olarak, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ve 7 çarpanlarına 143 sayısının açılımından eksik olan 11 ve 13 çarpanlarını ekliyoruz. 48 048'e eşit olan 2 2 2 2 3 7 11 13 çarpımını elde ederiz.
Lancinova Aisa
İndirmek:
Ön izleme:
Sunuların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesabı) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com
Slayt altyazıları:
Sayıların GCD ve LCM görevleri MKOU "Kamyshovskaya OOSh" 6. sınıf öğrencisinin çalışması Lantsinova Aisa Danışman Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, matematik öğretmeni s. Kamyshovo, 2013
50, 75 ve 325 sayılarının OBEB bulma örneği. 1) 50, 75 ve 325 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 a ve b sayılarına bu sayıların en büyük ortak böleni denir.
72, 99 ve 117 sayılarının EKOK'sini bulma örneği. 1) 72, 99 ve 117 sayılarını çarpanlarına ayıralım. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 sayılarından birinin açılımında yer alan çarpanları yazınız. ∙ 3 ve onlara kalan sayıların eksik çarpanlarını ekleyin. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Cevap: EKOK (72, 99 ve 117) = 10296 a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı, a'nın katı olan en küçük doğal sayıdır. ve B.
Uzunluğu 48 cm ve genişliği 40 cm olan bir dikdörtgen şeklinde bir karton levha israf edilmeden eşit kareler halinde kesilmelidir. Bu sayfadan elde edilebilecek en büyük kareler nelerdir ve kaç tanedir? Çözüm: 1) S = a ∙ b dikdörtgenin alanıdır. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². kartonun alanıdır. 2) a - karenin kenarı 48: a - kartonun uzunluğu boyunca döşenebilecek karelerin sayısı. 40: a - kartonun genişliği boyunca döşenebilecek kare sayısı. 3) GCD (40 ve 48) \u003d 8 (cm) - karenin kenarı. 4) S \u003d a² - bir karenin alanı. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - bir karenin alanı. 5) 1960: 64 = 30 (kare sayısı). Cevap: Bir kenarı 8 cm olan 30 kare GCD için görevler
Odadaki şömine, kare şeklinde bitirme karoları ile döşenmelidir. 195 º 156 cm'lik bir şömine için kaç karoya ihtiyaç duyulacak ve bunlar nelerdir? en büyük boyutlar fayans? Çözüm: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - Şömine yüzeyinin S'si. 2) OBEB (195 ve 156) = 39 (cm) - kiremitin yanı. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 karo alanı. 4) 30420: = 20 (adet). Cevap: 39 ְ 39 (cm) ölçülerinde 20 karo. GCD için görevler
54 NIC 48 m ölçülerindeki bir bahçe arsasının çevresi çitle çevrilmeli, bunun için belirli aralıklarla beton direkler konulmalıdır. Saha için kaç direk getirilmeli ve direkler birbirinden maksimum ne kadar uzaklıkta duracak? Çözüm: 1) P = 2(a + b) – site çevresi. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m.2) GCD (54 ve 48) \u003d 6 (m) - sütunlar arasındaki mesafe. 3) 204: 6 = 34 (sütun). Cevap: 6 m mesafede 34 sütun GCD için görevler
210 adet bordo, 126 adet beyaz, 294 adet kırmızı gülden buketler toplandı ve her bukette aynı renkteki gül sayısı eşittir. Hangi en büyük sayı Bu güllerden yapılan buketler ve bir bukette her renkten kaç tane gül vardır? Çözüm: 1) OBEB (210, 126 ve 294) = 42 (buket). 2) 210: 42 = 5 (bordo güller). 3) 126: 42 = 3 (beyaz güller). 4) 294: 42 = 7 (kırmızı güller). Cevap: 42 buket: Her bukette 5 bordo, 3 beyaz, 7 kırmızı gül. GCD için görevler
Tanya ve Masha aynı sayıda posta kutusu satın aldı. Tanya 90 ruble ve Masha 5 ruble ödedi. daha fazla. Bir setin maliyeti ne kadar? Her biri kaç set satın aldı? Çözüm: 1) Masha 90 + 5 = 95 (ruble) ödedi. 2) GCD (90 ve 95) = 5 (ruble) - 1 setin fiyatı. 3) 980: 5 = 18 (set) - Tanya tarafından satın alındı. 4) 95: 5 = 19 (setler) - Maşa satın aldı. Cevap: 5 ruble, 18 set, 19 set. GCD için görevler
Liman kentinde, ilki 15 gün, ikincisi - 20 ve üçüncüsü - 12 gün süren üç turist tekne gezisi başlıyor. Limana dönen gemiler aynı gün tekrar sefere çıkar. Motorlu gemiler bugün üç güzergahta da limandan ayrıldı. İlk kez birlikte kaç gün sonra denize açılırlar? Her gemi kaç sefer yapacak? Çözüm: 1) NOC (15.20 ve 12) = 60 (gün) - toplantı zamanı. 2) 60: 15 = 4 (sefer) - 1 gemi. 3) 60: 20 = 3 (sefer) - 2 motorlu gemi. 4) 60: 12 = 5 (sefer) - 3 motorlu gemi. Cevap: 60 gün, 4 uçuş, 3 uçuş, 5 uçuş. NOC için görevler
Masha, mağazada Ayı için yumurta satın aldı. Ormana giderken yumurta sayısının 2,3,5,10 ve 15'e bölünebileceğini fark etti.Maşa kaç tane yumurta aldı? Çözüm: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (yumurta) Cevap: Masha 30 yumurta aldı. NOC için görevler
16 º 20 cm ölçülerindeki kutuların istiflenmesi için tabanı kare olan bir kutu yapılması gerekmektedir.Kutuların kutuya sıkıca oturması için kare tabanın en kısa kenarı ne olmalıdır? Çözüm: 1) NOC (16 ve 20) = 80 (kutu). 2) S = a ∙ b 1 kutunun alanıdır. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - 1 kutunun altındaki alan. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - kare alt alan. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - kutunun boyutları. Cevap: 160 cm kare tabanın kenarıdır. NOC için görevler
Yol boyunca K noktasından itibaren her 45 m'de bir elektrik direkleri bulunmakta olup, bu direklerin 60 m mesafeye yerleştirilerek yenileri ile değiştirilmesine karar verilmiştir. Orada kaç direk vardı ve kaç tanesi ayakta kalacak? Çözüm: 1) NOK (45 ve 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - sütunlar vardı. 3) 180:60=3 - Sütunlar vardı. Cevap: 4 sütun, 3 sütun. NOC için görevler
12 kişilik bir sıra halinde yürüyen ve 18 kişilik bir sıra halindeki bir sütuna dönüşen kaç asker geçit töreninde yürüyor? Çözüm: 1) NOC (12 ve 18) = 36 (kişi) - yürüyüş. Cevap: 36 kişi. NOC için görevler
Tanım. a ve b sayılarının kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıya ne ad verilir? en büyük ortak bölen (gcd) bu sayılar
24 ve 35 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
24'ün bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35'in bölenleri ise 1, 5, 7, 35 sayıları olacaktır.
24 ve 35 sayılarının yalnızca bir ortak böleni olduğunu görüyoruz - 1 sayısı. eş asal.
Tanım. doğal sayılara denir eş asal en büyük ortak bölenleri (gcd) 1 ise.
En Büyük Ortak Bölen (OBEB) Verilen sayıların tüm bölenleri yazılmadan bulunabilir.
48 ve 36 sayılarını çarpanlarına ayırarak şunu elde ederiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Bu sayılardan birincisinin açılımına dahil olan faktörlerden, ikinci sayının açılımına dahil olmayanları (yani iki ikili) sileriz.
2*2*3'ün çarpanları kalır, çarpımları 12'dir.Bu sayı 48 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.Üç ve daha fazla sayının en büyük ortak böleni de bulunur.
Bulmak en büyük ortak böleni
2) bu sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörlerden, diğer sayıların açılımına dahil olmayanların üzerini çizin;
3) kalan faktörlerin çarpımını bulun.
Verilen tüm sayılar bunlardan birine bölünebiliyorsa, bu sayı en büyük ortak böleni verilen numaralar
Örneğin, 15, 45, 75 ve 180'in en büyük ortak böleni 15'tir, çünkü diğer tüm sayıları böler: 45, 75 ve 180.
En küçük ortak kat (EKOK)
Tanım. En küçük ortak kat (EKOK) a ve b doğal sayıları, hem a hem de b'nin katı olan en küçük doğal sayıdır. 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların katları arka arkaya yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı basit çarpanlara ayırıyoruz: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ve 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Bu sayılardan birincisinin açılımında yer alan çarpanları yazıyoruz ve onlara ikinci sayının açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını ekliyoruz (yani çarpanları birleştiriyoruz).
Çarpımı 300 olan beş çarpan 2 * 2 * 3 * 5 * 5 elde ederiz. Bu sayı, 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katıdır.
Ayrıca üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulun.
İle en küçük ortak katı bulun birkaç doğal sayı için ihtiyacınız olan:
1) bunları asal çarpanlara ayırın;
2) sayılardan birinin açılımına dahil olan faktörleri yazın;
3) onlara kalan sayıların açılımlarından eksik faktörleri ekleyin;
4) Ortaya çıkan faktörlerin çarpımını bulun.
Bu sayılardan biri diğer tüm sayılarla bölünebiliyorsa, bu sayının bu sayıların en küçük ortak katı olduğuna dikkat edin.
Örneğin, 12, 15, 20 ve 60'ın en küçük ortak katı, verilen tüm sayılara bölünebildiği için 60 olacaktır.
Pisagor (MÖ VI. Yüzyıl) ve öğrencileri sayıların bölünebilirliği konusunu incelediler. Tüm bölenlerinin toplamına eşit bir sayıya (sayının kendisi hariç) mükemmel sayı adını verdiler. Örneğin 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sayıları mükemmeldir. Sonraki mükemmel sayılar 496, 8128, 33,550,336 Pisagorcular sadece ilk üç mükemmel sayıyı biliyorlardı. Dördüncü - 8128 - 1. yüzyılda tanındı. n. e. Beşinci - 33 550 336 - 15. yüzyılda bulundu. 1983'te 27 mükemmel sayı zaten biliniyordu. Ancak şimdiye kadar bilim adamları, tek mükemmel sayıların olup olmadığını, en büyük mükemmel sayının olup olmadığını bilmiyorlar.
Eski matematikçilerin asal sayılara olan ilgisi, herhangi bir sayının ya asal olması ya da bir çarpım olarak temsil edilebilmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır. asal sayılar, yani asal sayılar, olduğu gibi, diğer doğal sayıların inşa edildiği tuğlalardır.
Muhtemelen doğal sayılar dizisindeki asal sayıların düzensiz bir şekilde ortaya çıktığını fark etmişsinizdir - dizinin bazı kısımlarında daha fazla, diğerlerinde - daha az. Ama ne kadar ileri gidersek Sayısal Seriler, daha nadir asal sayılardır. Soru ortaya çıkıyor: son (en büyük) asal sayı var mı? Antik Yunan matematikçi Öklid (MÖ 3. yüzyıl), iki bin yıl boyunca matematiğin ana ders kitabı olan “Başlangıçlar” adlı kitabında sonsuz sayıda asal sayı olduğunu, yani her asal sayının arkasında bir çift olduğunu kanıtladı. daha büyük asal sayı
Aynı dönemin bir başka Yunan matematikçisi Eratosthenes asal sayıları bulmak için böyle bir yöntem bulmuştu. 1'den bir sayıya kadar tüm sayıları yazdı ve sonra ne asal ne de asal olan birimin üzerini çizdi. bileşik sayı, ardından 2'den sonraki tüm sayıların üzerini çizin (2'nin katı olan sayılar, yani 4, 6, 8, vb.). 2'den sonra kalan ilk sayı 3'tü. Ardından, ikiden sonra, 3'ten sonraki tüm sayıların üstü çizildi (3'ün katı olan sayılar, yani 6, 9, 12, vb.). sonunda, yalnızca asal sayılar üstü çizilmeden kaldı.
En küçük ortak katı bulmanın üç yolunu düşünün.
Faktoring ile Bulmak
Birinci yol, verilen sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaktır.
99, 30 ve 28 sayılarının EKOK'sini bulmamız gerektiğini varsayalım. Bunu yapmak için, bu sayıların her birini asal çarpanlara ayırıyoruz:
Bir sayının 99, 30 ve 28 ile tam bölünebilmesi için bu bölenlerin tüm asal çarpanlarını içermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak için, bu sayıların tüm asal çarpanlarını meydana gelen en yüksek güce almamız ve bunları birbiriyle çarpmamız gerekir:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Yani EKOK (99, 30, 28) = 13,860. 13,860'tan küçük hiçbir sayı 99, 30 veya 28'e eşit olarak bölünemez.
Verilen sayıların en küçük ortak katını bulmak için, onları asal çarpanlara ayırmanız, ardından her asal çarpanı en yüksek gösterge meydana gelme derecesini belirleyin ve bu faktörleri kendi aralarında çoğaltın.
Eş asal sayıların ortak asal çarpanları olmadığından, en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin, üç sayı: 20, 49 ve 33 aralarında asaldır. Bu yüzden
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Çeşitli asalların en küçük ortak katını ararken de aynı şey yapılmalıdır. Örneğin, EKOK (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Seçime göre bulma
İkinci yol, en küçük ortak katı uydurarak bulmaktır.
Örnek 1. Verilen sayıların en büyüğü diğer verilen sayılarla eşit olarak bölünebiliyorsa, bu sayıların EKOKEM'i onlardan büyük olanına eşittir. Örneğin, dört sayı verildi: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a bölünebilir, bu nedenle:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
Diğer durumlarda, en küçük ortak katı bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:
- Verilen sayılardan en büyüğünü bulunuz.
- Daha sonra, en büyük sayının katları olan sayıları buluruz, doğal sayılarla artan sırada çarparız ve kalan verilen sayıların elde edilen çarpıma bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz.
Örnek 2. Üç sayı 24, 3 ve 18 verildi. Bunların en büyüğünü belirleyin - bu 24 sayısıdır. Ardından, 24'ün katlarını bulun, her birinin 18'e ve 3'e bölünebilir olup olmadığını kontrol edin:
24 1 = 24 3'e tam bölünür ama 18'e tam bölünemez.
24 2 = 48 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.
24 3 \u003d 72 - 3 ve 18'e bölünebilir.
Yani EKOK(24, 3, 18) = 72.
Sıralı Bulma LCM ile Bulma
Üçüncü yol, art arda EKOK'yi bularak en küçük ortak katı bulmaktır.
Verilen iki sayının EKOK'si, bu sayıların çarpımının en büyük ortak bölenlerine bölünmesine eşittir.
Örnek 1. Verilen iki sayının EEKOK'sini bulun: 12 ve 8. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Şu sayıları çarpın:
Ürünü GCD'lerine ayırıyoruz:
Yani EKOK(12, 8) = 24.
Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:
- İlk olarak, verilen sayılardan herhangi ikisinin EKOK'u bulunur.
- Ardından, bulunan en küçük ortak katın ve verilen üçüncü sayının BKM'si.
- Ardından, elde edilen en küçük ortak katın ve dördüncü sayının BKM'si vb.
- Böylece, sayılar olduğu sürece LCM araması devam eder.
Örnek 2. Verilen üç sayının EKOK'sini bulalım: 12, 8 ve 9. 12 ve 8 sayılarının EKOK'sini bir önceki örnekte bulmuştuk (bu 24 sayısıdır). Geriye 24'ün en küçük ortak katını ve verilen üçüncü sayı olan 9'u bulmak kalır. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: ebob (24, 9) = 3. EKOK'yi 9 sayısıyla çarpın:
Ürünü GCD'lerine ayırıyoruz:
Yani EKOK(12, 8, 9) = 72.
LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için önce "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.
A'nın katı, A ile kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır.Bu nedenle, 15, 20, 25 vb. 5'in katı olarak kabul edilebilir.
Belirli bir sayının bölenleri olabilir sınırlı miktar, ancak sonsuz sayıda kat vardır.
Doğal sayıların ortak katı, onlara kalansız bölünebilen bir sayıdır.
Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur?
Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (EKOK), tüm bu sayılarla eşit olarak bölünebilen en küçük doğal sayıdır.
NOC'yi bulmak için birkaç yöntem kullanabilirsiniz.
Küçük sayılar için, aralarında ortak bir sayı bulunana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Katlar, kayıtta büyük K harfi ile gösterilir.
Örneğin, 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu giriş şu şekilde yapılır:
EKOK(4, 6) = 24
Sayılar büyükse, üç veya daha fazla sayının ortak katını bulun, o zaman EKOK'yi hesaplamak için başka bir yol kullanmak daha iyidir.
Görevi tamamlamak için önerilen sayıları asal çarpanlara ayırmak gerekir.
Öncelikle, sayıların en büyüğünün açılımını bir satırda ve altında - gerisini yazmanız gerekir.
Her sayının açılımında farklı sayıda çarpan olabilir.
Örneğin, 50 ve 20 sayılarını asal çarpanlara ayıralım.
Küçük sayının açılımında birinci sayının açılımında olmayan unsurlar vurgulanmalıdır. Büyük bir sayı ve sonra onları buna ekleyin. Sunulan örnekte, bir ikili eksik.
Şimdi 20 ve 50'nin en küçük ortak katını hesaplayabiliriz.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Böylece, büyük sayının ayrıştırılmasına dahil olmayan, büyük sayının asal çarpanları ile ikinci sayının çarpanlarının çarpımı en küçük ortak kat olacaktır.
Üç veya daha fazla sayının EKOK'sini bulmak için önceki durumda olduğu gibi hepsinin asal çarpanlara ayrıştırılması gerekir.
Örnek olarak 16, 24, 36 sayılarının en küçük ortak katını bulabilirsiniz.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Bu nedenle, on altının ayrıştırılmasından yalnızca iki ikili, daha büyük bir sayının çarpanlara ayrılmasına dahil edilmemiştir (biri yirmi dört ayrıştırmasındadır).
Bu nedenle, daha büyük bir sayının ayrıştırılmasına eklenmeleri gerekir.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
En küçük ortak katı belirlemenin özel durumları vardır. Yani, sayılardan biri diğerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayılardan büyük olanı en küçük ortak kat olacaktır.
Örneğin, on iki ve yirmi dört olan NOC'ler yirmi dört olacaktır.
Bölenleri aynı olmayan eş asal sayıların en küçük ortak katını bulmak gerekirse, EKOK'leri çarpımlarına eşit olacaktır.
Örneğin, EKOK(10, 11) = 110.