أمثلة على نظرية الجذر التربيعي استخراج الجذر التربيعي

ما هو الجذر التربيعي؟

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذا المفهوم بسيط جدا. طبيعي، أود أن أقول. يحاول علماء الرياضيات إيجاد رد فعل لكل فعل. هناك إضافة - وهناك أيضًا طرح. هناك الضرب، وهناك أيضًا القسمة. هناك تربيع... إذن هناك أيضًا اِستِخلاص الجذر التربيعي! هذا كل شئ. هذا الفعل ( الجذر التربيعي) في الرياضيات يُشار إليه بهذا الرمز:

الأيقونة نفسها تسمى كلمة جميلة "متطرف".

كيفية استخراج الجذر؟من الأفضل أن ننظر أمثلة.

ما هو الجذر التربيعي للعدد 9؟ ما العدد التربيعي الذي سيعطينا 9؟ 3 تربيع يعطينا 9! أولئك:

ولكن ما هو الجذر التربيعي للصفر؟ لا مشكلة! ما العدد التربيعي الذي يشكله الصفر؟ نعم يعطي صفر! وسائل:

فهمتها، ما هو الجذر التربيعي؟ثم نعتبر أمثلة:

الإجابات (في حالة من الفوضى): 6؛ 1؛ 4؛ 9؛ 5.

مقرر؟ حقا، كم هو أسهل من ذلك؟!

ولكن... ماذا يفعل الإنسان عندما يرى مهمة ذات جذور؟

يبدأ الإنسان بالحزن... ولا يؤمن ببساطة وخفة جذوره. على الرغم من أنه يبدو أنه يعرف ما هو الجذر التربيعي...

وذلك لأن الشخص تجاهل عدة نقاط مهمة عند دراسة الجذور. ثم تقوم هذه البدع بالانتقام القاسي من الاختبارات والامتحانات...

النقطة الأولى. تحتاج إلى التعرف على الجذور عن طريق البصر!

ما هو الجذر التربيعي لـ 49؟ سبعة؟ يمين! كيف عرفت أنها السابعة؟ تربيع سبعة وحصلت على 49؟ يمين! يرجى ملاحظة ذلك استخراج الجذرمن أصل 49 كان علينا القيام بالعملية العكسية - المربع 7! وتأكد من أننا لا نفوت. أو ربما غابوا...

هذه هي الصعوبة استخراج الجذر. مربعيمكنك استخدام أي رقم دون أي مشاكل. اضرب الرقم في نفسه بعمود - هذا كل شيء. ولكن ل استخراج الجذرلا توجد مثل هذه التكنولوجيا البسيطة والآمنة من الفشل. علينا أن يلتقطأجب وتحقق مما إذا كان صحيحًا عن طريق تربيعه.

هذه العملية الإبداعية المعقدة - اختيار الإجابة - تم تبسيطها إلى حد كبير إذا كنت يتذكرمربعات الأرقام الشعبية. مثل جدول الضرب. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى ضرب 4 في 6، فلن تقوم بإضافة أربعة 6 مرات، أليس كذلك؟ تظهر الإجابة رقم 24 على الفور، رغم أن الجميع لا يحصلون عليها، نعم...

للعمل بحرية ونجاح مع الجذور، يكفي معرفة مربعات الأرقام من 1 إلى 20. علاوة على ذلك هناكو خلف.أولئك. يجب أن تكون قادرًا على قراءة كل من 11 تربيع والجذر التربيعي لـ 121 بسهولة. هناك طريقتان لتحقيق هذا الحفظ. الأول هو تعلم جدول المربعات. سيكون هذا مساعدة كبيرة في حل الأمثلة. والثاني هو حل المزيد من الأمثلة. سيساعدك هذا كثيرًا على تذكر جدول المربعات.

ولا الآلات الحاسبة! لأغراض الاختبار فقط. وإلا فسوف تبطئ بلا رحمة أثناء الامتحان ...

لذا، ما هو الجذر التربيعيوكيف استخراج الجذور- أعتقد أن الأمر واضح. الآن دعونا نكتشف ما الذي يمكننا استخراجها منه.

النقطة الثانية. الجذر، أنا لا أعرفك!

ما هي الأرقام التي يمكنك أخذ الجذور التربيعية منها؟ نعم، أي واحد منهم تقريبا. من الأسهل أن نفهم ما هو منه ممنوعاستخرجهم.

دعونا نحاول حساب هذا الجذر:

للقيام بذلك، علينا أن نختار رقمًا مربعًا سيعطينا -4. نحن نختار.

ماذا، أنها لا تناسب؟ 2 2 يعطي +4. (-2) 2 يعطي مرة أخرى +4! هذا كل شيء... لا توجد أرقام ستعطينا عند تربيعها رقم سلبي! على الرغم من أنني أعرف هذه الأرقام. لكنني لن أخبرك). اذهب إلى الكلية وستكتشف ذلك بنفسك.

نفس القصة ستحدث مع أي رقم سالب. ومن هنا الاستنتاج:

تعبير يوجد فيه رقم سالب تحت علامة الجذر التربيعي - لا معنى له! هذه عملية محظورة. وهي حرام كالقسمة على صفر. تذكر هذه الحقيقة بحزم!أو بمعنى آخر:

لا يمكنك استخراج الجذور التربيعية من الأعداد السالبة!

ولكن من بين جميع الآخرين، فمن الممكن. على سبيل المثال، فمن الممكن تماما لحساب

للوهلة الأولى، هذا صعب للغاية. اختيار الكسور وتربيعها... لا تقلق. عندما نفهم خصائص الجذور، سيتم اختصار هذه الأمثلة إلى نفس جدول المربعات. سوف تصبح الحياة أسهل!

حسنا، الكسور. لكننا لا نزال نواجه تعبيرات مثل:

لا بأس. كل نفس. الجذر التربيعي لاثنين هو العدد الذي عند تربيعه يعطينا اثنين. فقط هذا الرقم غير متساوٍ تمامًا... وها هو:

المثير للاهتمام هو أن هذا الكسر لا ينتهي أبدًا... تسمى هذه الأرقام غير منطقية. في الجذور التربيعية، هذا هو الشيء الأكثر شيوعًا. بالمناسبة، هذا هو سبب تسمية التعبيرات ذات الجذور غير منطقي. من الواضح أن كتابة مثل هذا الكسر اللانهائي طوال الوقت أمر غير مريح. لذلك، بدلًا من الكسر اللانهائي، يتركونه على النحو التالي:

إذا انتهى بك الأمر عند حل أحد الأمثلة إلى شيء لا يمكن استخراجه، مثل:

ثم نتركها هكذا. سيكون هذا هو الجواب.

عليك أن تفهم بوضوح ما تعنيه الرموز

بالطبع، إذا تم أخذ جذر الرقم سلس، يجب عليك فعل ذلك. الجواب على المهمة في النموذج، على سبيل المثال

إجابة كاملة تماما.

وبطبيعة الحال، تحتاج إلى معرفة القيم التقريبية من الذاكرة:

تساعد هذه المعرفة بشكل كبير في تقييم الوضع في المهام المعقدة.

النقطة الثالثة. الأكثر الماكرة.

سبب الارتباك الرئيسي في العمل مع الجذور هو هذه النقطة. هو الذي يمنح الثقة بقدراته... فلنتعامل مع هذه النقطة بشكل صحيح!

أولًا، لنأخذ الجذر التربيعي لأربعة منها مرة أخرى. هل أزعجتك بالفعل بهذا الجذر؟) لا يهم، الآن سيكون الأمر مثيرًا للاهتمام!

ما العدد الذي يربعه 4؟ حسنًا، اثنان، اثنان - أسمع إجابات غير راضية...

يمين. اثنين. لكن أيضا ناقص اثنينسيعطي 4 تربيع... وفي الوقت نفسه، الجواب

الصحيح والجواب

خطأ فادح. مثله.

إذن ما هو الاتفاق؟

وبالفعل (-2) 2 = 4. وتحت تعريف الجذر التربيعي لأربعة ناقص اثنينمناسب تمامًا... وهذا أيضًا هو الجذر التربيعي لأربعة.

لكن! في دورة الرياضيات المدرسية، من المعتاد أن تأخذ في الاعتبار الجذور التربيعية أرقام غير سلبية فقط!أي صفر وكلها إيجابية. حتى أنه تم اختراع مصطلح خاص: من الرقم أ- هذا غير سلبيالرقم الذي مربعه أ. يتم ببساطة تجاهل النتائج السلبية عند استخراج الجذر التربيعي الحسابي. في المدرسة، كل شيء له جذور تربيعية - علم الحساب. على الرغم من أن هذا لم يذكر بشكل خاص.

حسنًا، هذا أمر مفهوم. إنه أفضل - لا تهتم به نتائج سلبية... هذا ليس ارتباكا بعد.

يبدأ الارتباك عند حل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال، تحتاج إلى حل المعادلة التالية.

المعادلة بسيطة نكتب الجواب (كما علمنا):

هذه الإجابة (صحيحة تمامًا بالمناسبة) هي مجرد نسخة مختصرة اثنينالإجابات:

قف قف! كتبت أعلاه أن الجذر التربيعي هو رقم دائماًغير سلبي! وهنا أحد الإجابات - سلبي! اضطراب. هذه هي المشكلة الأولى (وليست الأخيرة) التي تسبب عدم الثقة في الجذور... فلنحل هذه المشكلة. دعونا نكتب الإجابات (فقط للفهم!) مثل هذا:

الأقواس لا تغير جوهر الإجابة. لقد فصلته للتو بين قوسين علاماتمن جذر. الآن يمكنك أن ترى بوضوح أن الجذر نفسه (بين قوسين) لا يزال رقمًا غير سالب! والعلامات هي نتيجة حل المعادلة. بعد كل شيء، عند حل أي معادلة يجب علينا أن نكتب الجميع Xs التي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ستعطي النتيجة الصحيحة. جذر خمسة (موجب!) مع موجب وسالب يناسب معادلتنا.

مثله. اذا أنت فقط خذ الجذر التربيعيمن أي شيء أنت دائماًلقد حصلت واحد غير سلبينتيجة. على سبيل المثال:

لأنه - الجذر التربيعي الحسابي.

ولكن إذا قررت شيئا معادلة من الدرجة الثانية، يكتب:

الذي - التي دائماًاتضح اثنينالجواب (مع زائد وناقص):

لأن هذا هو حل المعادلة

يأمل، ما هو الجذر التربيعيلقد حصلت على نقاطك واضحة. الآن يبقى معرفة ما يمكن فعله بالجذور وما هي خصائصها. وما هي النقاط والعثرات... آسف يا حجارة!)

كل هذا في الدروس التالية

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

الحقيقة 1.
\(\bullet\) لنأخذ عددًا غير سالب \(a\) (أي \(a\geqslant 0\) ). ثم (الحسابية) الجذر التربيعيمن الرقم \(a\) يسمى هذا الرقم غير السالب \(b\) ، عند التربيع نحصل على الرقم \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(نفس )\quad a=b^2\]ويترتب على ذلك من التعريف \(a\geqslant 0، b\geqslant 0\). هذه القيود شرط مهموجود الجذر التربيعي ويجب أن نتذكر!
تذكر أن أي رقم عند تربيعه يعطي نتيجة غير سلبية. أي \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ما الذي يساوي \(\sqrt(25)\)؟ نحن نعلم أن \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . نظرًا لأنه يجب علينا العثور على رقم غير سالب بحكم التعريف، فإن \(-5\) غير مناسب، لذلك \(\sqrt(25)=5\) (بما أن \(25=5^2\) ).
يُطلق على إيجاد قيمة \(\sqrt a\) أخذ الجذر التربيعي للرقم \(a\) ، ويسمى الرقم \(a\) بالتعبير الجذري.
\(\bullet\) استنادًا إلى التعريف والتعبير \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\)، وما إلى ذلك. لا معنى له.

الحقيقة 2.
لإجراء حسابات سريعة، سيكون من المفيد تعلم جدول مربعات الأعداد الطبيعية من \(1\) إلى \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

الحقيقة 3.
ما هي العمليات التي يمكنك القيام بها مع الجذور التربيعية؟
\(\رصاصة\) المجموع أو الفرق الجذور التربيعيةلا يساوي الجذر التربيعي للمجموع أو الفرق، أي \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى حساب، على سبيل المثال، \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ، فيجب عليك في البداية العثور على قيم \(\sqrt(25)\) و \(\ sqrt(49)\ ) ثم قم بطيها. لذلك، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] إذا تعذر العثور على القيم \(\sqrt a\) أو \(\sqrt b\) عند إضافة \(\sqrt a+\sqrt b\)، فلن يتم تحويل هذا التعبير بشكل أكبر ويبقى كما هو. على سبيل المثال، في المجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) يمكننا أن نجد \(\sqrt(49)\) هو \(7\) ، لكن \(\sqrt 2\) لا يمكن تحويله إلى بأي شكل من الأشكال، لهذا السبب \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). لسوء الحظ، لا يمكن تبسيط هذا التعبير أكثر\(\bullet\) حاصل ضرب/حاصل الجذور التربيعية يساوي الجذر التربيعي لحاصل الضرب/حاصل القسمة، أي \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (بشرط أن يكون كلا طرفي المساواة منطقيين)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) باستخدام هذه الخصائص، من السهل إيجاد الجذور التربيعية لـ أعداد كبيرةعن طريق التخصيم لهم.
لنلقي نظرة على مثال. لنجد \(\sqrt(44100)\) . منذ \(44100:100=441\) ، ثم \(44100=100\cdot 441\) . وفقاً لمعيار قابلية القسمة، فإن الرقم \(441\) يقبل القسمة على \(9\) (حيث أن مجموع أرقامه هو 9 وهو يقبل القسمة على 9)، وبالتالي \(441:9=49\)، أي \(441=9\ cdot 49\) .
وهكذا حصلنا على: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]دعونا ننظر إلى مثال آخر: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\دفرك(56)3\]
\(\bullet\) لنوضح كيفية إدخال الأرقام تحت علامة الجذر التربيعي باستخدام مثال التعبير \(5\sqrt2\) (تدوين قصير للتعبير \(5\cdot \sqrt2\)). منذ \(5=\sqrt(25)\) إذن \ لاحظ أيضًا أنه على سبيل المثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

لماذا هذا؟ دعونا نشرح باستخدام المثال 1). كما تعلم، لا يمكننا بطريقة أو بأخرى تحويل الرقم \(\sqrt2\). لنتخيل أن \(\sqrt2\) هو رقم \(a\) . وبناء على ذلك، فإن التعبير \(\sqrt2+3\sqrt2\) ليس أكثر من \(a+3a\) (رقم واحد \(a\) بالإضافة إلى ثلاثة أرقام أخرى من نفس \(a\)). ونحن نعلم أن هذا يساوي أربعة أرقام من هذا القبيل \(a\) ، أي \(4\sqrt2\) .

الحقيقة 4.
\(\bullet\) غالبًا ما يقولون "لا يمكنك استخراج الجذر" عندما لا تتمكن من التخلص من علامة \(\sqrt () \ \) للجذر (الجذر) عند إيجاد قيمة الرقم . على سبيل المثال، يمكنك أخذ جذر الرقم \(16\) لأن \(16=4^2\) ، وبالتالي \(\sqrt(16)=4\) . لكن من المستحيل استخراج جذر الرقم \(3\)، أي العثور على \(\sqrt3\)، لأنه لا يوجد رقم مربع سيعطي \(3\) .
هذه الأرقام (أو التعبيرات التي تحتوي على هذه الأرقام) غير منطقية. على سبيل المثال، الأرقام \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)وما إلى ذلك وهلم جرا. غير عقلانية.
ومن غير المنطقي أيضًا الأرقام \(\pi\) (الرقم "pi"، يساوي تقريبًا \(3.14\))، \(e\) (يُسمى هذا الرقم رقم أويلر، وهو يساوي تقريبًا \(2.7) \)) إلخ.
\(\bullet\) يرجى ملاحظة أن أي رقم سيكون إما نسبيًا أو غير نسبي. وتشكل جميع الأعداد النسبية وغير المنطقية معًا مجموعة تسمى مجموعة من الأعداد الحقيقيةيُشار إلى هذه المجموعة بالحرف \(\mathbb(R)\) .
وهذا يعني أن جميع الأرقام الموجودة هذه اللحظةنحن نعلم أنها تسمى الأعداد الحقيقية.

الحقيقة 5.
\(\bullet\) معامل الرقم الحقيقي \(a\) هو عدد غير سالب \(|a|\) يساوي المسافة من النقطة \(a\) إلى \(0\) على النقطة خط حقيقي. على سبيل المثال، \(|3|\) و \(|-3|\) تساوي 3، نظرًا لأن المسافات من النقطتين \(3\) و \(-3\) إلى \(0\) هي نفسه ويساوي \(3 \) .
\(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا غير سالب، فإن \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فإن \(|a|=-a\) .
مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
يقولون أنه بالنسبة للأرقام السالبة، فإن المعامل "يأكل" الطرح، في حين أن الأرقام الموجبة، وكذلك الرقم \(0\)، تبقى دون تغيير بواسطة المعامل.
لكنتنطبق هذه القاعدة على الأرقام فقط. إذا كان هناك تحت علامة المعامل الخاص بك مجهول \(x\) (أو بعض المجهول الآخر)، على سبيل المثال، \(|x|\) ، والذي لا نعرف عنه ما إذا كان موجبًا أم صفرًا أم سالبًا، فتخلص منه من المعامل لا نستطيع. في هذه الحالة، يبقى هذا التعبير كما هو: \(|x|\) . \(\bullet\) تحتوي الصيغ التالية على: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\كبير((\sqrt(a))^2=a)))، \text(متوفر ) a\geqslant 0\]في كثير من الأحيان يتم ارتكاب الخطأ التالي: يقولون أن \(\sqrt(a^2)\) و \(\sqrt a)^2\) هما نفس الشيء. يكون هذا صحيحًا فقط إذا كان \(a\) رقمًا موجبًا أو صفرًا. ولكن إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فهذا غير صحيح. ويكفي النظر في هذا المثال. لنأخذ بدلاً من \(a\) الرقم \(-1\) . إذن \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) ، لكن التعبير \(\sqrt (-1))^2\) غير موجود على الإطلاق (بعد كل شيء، من المستحيل استخدام علامة الجذر لوضع أرقام سالبة!).
لذلك نلفت انتباهكم إلى أن \(\sqrt(a^2)\) لا يساوي \(\sqrt a)^2\) !مثال 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)، لأن \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) منذ \(\sqrt(a^2)=|a|\) ، ثم \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (يشير التعبير \(2n\) إلى رقم زوجي)
أي أنه عند أخذ جذر عدد يكون بدرجة ما، تنخفض هذه الدرجة إلى النصف.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (لاحظ أنه إذا لم يتم توفير الوحدة، فسيتبين أن جذر الرقم يساوي \(-25\ ) ؛ ولكننا نتذكر أنه بحكم تعريف الجذر، لا يمكن أن يحدث هذا: عند استخراج الجذر، يجب أن نحصل دائمًا على رقم موجب أو صفر)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (نظرًا لأن أي رقم بقوة زوجية ليس سالبًا)

الحقيقة 6.
كيفية المقارنة بين جذرين تربيعيين؟
\(\bullet\) بالنسبة للجذور التربيعية، يكون الأمر صحيحًا: إذا كان \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aمثال:
1) قارن \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) . أولاً، دعونا نحول التعبير الثاني إلى \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). وهكذا، منذ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) بين ما الأعداد الصحيحة يقع \(\sqrt(50)\)؟
بما أن \(\sqrt(49)=7\) و \(\sqrt(64)=8\) و \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) دعونا نقارن \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) . لنفترض أن \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(محاذاة) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((أضف واحدًا إلى كلا الجانبين))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((تربيع كلا الجانبين))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(محاذاة)\]نرى أننا حصلنا على متباينة غير صحيحة. لذلك، كان افتراضنا غير صحيح و\(\sqrt 2-1<0,5\) .
لاحظ أن إضافة عدد معين إلى طرفي المتراجحة لا يؤثر على إشارتها. ضرب/قسمة طرفي المتراجحة على رقم موجب لا يؤثر أيضًا على إشارتها، لكن الضرب/القسمة على رقم سالب يعكس إشارة المتراجحة!
لا يمكنك تربيع طرفي المعادلة/عدم المساواة إلا إذا كان كلا الطرفين غير سالب. على سبيل المثال، في المتباينة من المثال السابق يمكنك تربيع الطرفين، في المتباينة \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) يجب أن نتذكر ذلك \[\begin(محاذاة) &\sqrt 2\Approx 1.4\\ &\sqrt 3\Approx 1.7 \end(محاذاة)\]معرفة المعنى التقريبي لهذه الأرقام سيساعدك عند المقارنة بين الأرقام! \(\bullet\) من أجل استخراج الجذر (إذا كان من الممكن استخلاصه) من عدد كبير غير موجود في جدول المربعات، يجب عليك أولاً تحديد "المئات" التي يقع بينها، ثم - بين أي " عشرات"، ثم حدد الرقم الأخير من هذا الرقم. دعونا نظهر كيف يعمل هذا مع مثال.
لنأخذ \(\sqrt(28224)\) . نحن نعلم أن \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\)، وما إلى ذلك. لاحظ أن \(28224\) يقع بين \(10\,000\) و \(40\,000\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(100\) و \(200\) .
الآن دعونا نحدد بين أي "عشرات" يقع رقمنا (أي، على سبيل المثال، بين \(120\) و \(130\)). ومن جدول المربعات أيضًا نعلم أن \(11^2=121\) ، \(12^2=144\) وما إلى ذلك، ثم \(110^2=12100\) ، \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . لذلك نرى أن \(28224\) يقع بين \(160^2\) و \(170^2\) . ولذلك فإن الرقم \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(160\) و \(170\) .
دعونا نحاول تحديد الرقم الأخير. دعونا نتذكر ما هي الأعداد المكونة من رقم واحد، عند تربيعها، تعطي \(4\) في النهاية؟ وهما \(2^2\) و \(8^2\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) سينتهي إما بالرقم 2 أو 8. دعونا نتحقق من ذلك. لنجد \(162^2\) و \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ولذلك، \(\sqrt(28224)=168\) . هاهو!

من أجل حل امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بشكل مناسب، تحتاج أولاً إلى دراسة المواد النظرية، والتي تعرفك على العديد من النظريات والصيغ والخوارزميات وما إلى ذلك. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذا بسيط للغاية. ومع ذلك، فإن العثور على مصدر يتم فيه تقديم نظرية امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بطريقة سهلة ومفهومة للطلاب الذين لديهم أي مستوى من التدريب هو في الواقع مهمة صعبة إلى حد ما. لا يمكن دائمًا الاحتفاظ بالكتب المدرسية في متناول اليد. وقد يكون العثور على الصيغ الأساسية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات أمرًا صعبًا حتى على الإنترنت.

لماذا من المهم جدًا دراسة النظرية في الرياضيات ليس فقط لأولئك الذين يتقدمون لامتحان الدولة الموحدة؟

لأنه يوسع آفاقك. تعد دراسة المواد النظرية في الرياضيات مفيدة لأي شخص يرغب في الحصول على إجابات لمجموعة واسعة من الأسئلة المتعلقة بمعرفة العالم من حوله. كل شيء في الطبيعة منظم وله منطق واضح. وهذا بالضبط ما ينعكس في العلم، الذي من خلاله يمكن فهم العالم.
لأنه ينمي الذكاء. من خلال دراسة المواد المرجعية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، وكذلك حل المهام المختلفة، يتعلم الشخص التفكير والتفكير المنطقي، وصياغة الأفكار بكفاءة ووضوح. ينمي لديه القدرة على التحليل والتعميم واستخلاص النتائج.

نحن ندعوك إلى إجراء تقييم شخصي لجميع مزايا نهجنا في تنظيم وعرض المواد التعليمية.

حان الوقت لفرزها طرق استخراج الجذور. وهي تعتمد على خصائص الجذور، وعلى وجه الخصوص، على المساواة، وهو ما ينطبق على أي عدد غير سالب ب.

أدناه سنلقي نظرة على الطرق الرئيسية لاستخراج الجذور واحدة تلو الأخرى.

لنبدأ بأبسط حالة - استخراج جذور الأعداد الطبيعية باستخدام جدول المربعات، وجدول المكعبات، وما إلى ذلك.

إذا كانت جداول المربعات والمكعبات وما إلى ذلك. إذا لم يكن لديك في متناول اليد، فمن المنطقي استخدام طريقة استخراج الجذر، والتي تنطوي على تحليل الرقم الجذري إلى عوامل أولية.

تجدر الإشارة بشكل خاص إلى ما هو ممكن للجذور ذات الأسس الفردية.

أخيرًا، دعونا نفكر في طريقة تسمح لنا بالعثور على أرقام القيمة الجذرية بالتسلسل.

هيا بنا نبدأ.

باستخدام جدول المربعات، وجدول المكعبات، وما إلى ذلك.

في أبسط الحالات، تسمح لك جداول المربعات والمكعبات وما إلى ذلك باستخراج الجذور. ما هي هذه الجداول؟

يتكون جدول مربعات الأعداد الصحيحة من 0 إلى 99 (كما هو موضح أدناه) من منطقتين. تقع المنطقة الأولى من الجدول على خلفية رمادية، ومن خلال تحديد صف معين وعمود محدد، يسمح لك بتكوين رقم من 0 إلى 99. على سبيل المثال، لنختار صفًا مكونًا من 8 عشرات وعمودًا مكونًا من 3 وحدات، وبذلك ثبتنا الرقم 83. المنطقة الثانية تحتل بقية الجدول. تقع كل خلية عند تقاطع صف معين وعمود معين، وتحتوي على مربع الرقم المقابل من 0 إلى 99. عند تقاطع الصف الذي اخترناه المكون من 8 عشرات والعمود 3 من الآحاد، توجد خلية تحمل الرقم 6889، وهو مربع الرقم 83.

جداول المكعبات، وجداول القوى الرابعة للأرقام من 0 إلى 99، وما إلى ذلك تشبه جدول المربعات، إلا أنها تحتوي على مكعبات، والقوى الرابعة، وما إلى ذلك في المنطقة الثانية. الأرقام المقابلة.

جداول المربعات والمكعبات والقوى الرابعة وما إلى ذلك. تسمح لك باستخراج الجذور التربيعية، والجذور التكعيبية، والجذور الرابعة، وما إلى ذلك. وذلك من خلال الأرقام الموجودة في هذه الجداول. دعونا نشرح مبدأ استخدامها عند استخراج الجذور.

لنفترض أننا بحاجة إلى استخراج الجذر النوني للرقم a، بينما الرقم a موجود في جدول القوى n. باستخدام هذا الجدول نجد الرقم b بحيث يكون a=b n. ثم وبالتالي فإن الرقم b سيكون الجذر المطلوب للدرجة n.

على سبيل المثال، دعونا نوضح كيفية استخدام جدول المكعب لاستخراج الجذر التكعيبي للرقم 19,683. نجد الرقم 19,683 في جدول المكعبات، ومنه نجد أن هذا الرقم هو مكعب الرقم 27، لذلك، .

من الواضح أن جداول القوى n ملائمة جدًا لاستخراج الجذور. ومع ذلك، فهي غالبًا ما لا تكون في متناول اليد، ويتطلب تجميعها بعض الوقت. علاوة على ذلك، غالبًا ما يكون من الضروري استخراج الجذور من الأرقام غير الواردة في الجداول المقابلة. في هذه الحالات عليك اللجوء إلى طرق أخرى لاستخراج الجذر.

تحليل عدد جذري إلى عوامل أولية

هناك طريقة ملائمة إلى حد ما لاستخراج جذر الرقم الطبيعي (إذا تم استخراج الجذر بالطبع) وهي تحليل الرقم الجذري إلى عوامل أولية. له النقطة هي هذا: بعد ذلك من السهل جدًا تمثيلها كقوة بالأس المطلوب، مما يسمح لك بالحصول على قيمة الجذر. دعونا نوضح هذه النقطة.

لنأخذ الجذر النوني لعدد طبيعي a وقيمته تساوي b. في هذه الحالة، المساواة a=b n صحيحة. يمكن تمثيل الرقم b، مثل أي عدد طبيعي، كحاصل ضرب جميع عوامله الأولية p 1 , p 2 , …, p m في الصورة p 1 ·p 2 ·…·p m ، والرقم الجذري a في هذه الحالة يتم تمثيلها كـ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . نظرًا لأن تحلل العدد إلى عوامل أولية هو أمر فريد، فإن تحلل العدد الجذري a إلى عوامل أولية سيكون له الشكل (p 1 ·p 2 ·…·p m) n، مما يجعل من الممكن حساب قيمة الجذر مثل .

لاحظ أنه إذا كان التحلل إلى عوامل أولية لعدد جذري a لا يمكن تمثيله بالشكل (p 1 ·p 2 ·…·p m) n، فلن يتم استخراج الجذر النوني لمثل هذا الرقم a بالكامل.

دعونا نكتشف ذلك عند حل الأمثلة.

مثال.

خذ الجذر التربيعي لـ 144.

حل.

إذا نظرت إلى جدول المربعات الوارد في الفقرة السابقة، يمكنك أن ترى بوضوح أن 144 = 2 12، ومنه يتضح أن الجذر التربيعي لـ 144 يساوي 12.

لكن في ضوء هذه النقطة نحن مهتمون بكيفية استخلاص الجذر من خلال تحليل العدد الجذري 144 إلى عوامل أولية. دعونا ننظر إلى هذا الحل.

دعونا تتحلل 144 إلى العوامل الأولية:

أي 144=2·2·2·2·3·3. وبناء على التحلل الناتج يمكن إجراء التحولات التالية: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. لذلك، .

باستخدام خصائص الدرجة وخصائص الجذور، يمكن صياغة الحل بشكل مختلف قليلاً: .

إجابة:

لتوحيد المادة، فكر في حلول مثالين آخرين.

مثال.

احسب قيمة الجذر.

حل.

التحليل الأولي للعدد الجذري 243 له الصورة 243=3 5 . هكذا، .

إجابة:

مثال.

هل القيمة الجذرية عدد صحيح؟

حل.

للإجابة على هذا السؤال، دعونا نحلل العدد الجذري إلى عوامل أولية ونرى ما إذا كان من الممكن تمثيله على شكل مكعب لعدد صحيح.

لدينا 285768=2 3 ·3 6 ·7 2. لا يمكن تمثيل التوسع الناتج كمكعب لعدد صحيح، لأن قوة العامل الأولي 7 ليست من مضاعفات الثلاثة. ولذلك، لا يمكن استخراج الجذر التكعيبي لـ 285,768 بشكل كامل.

إجابة:

لا.

استخراج الجذور من الأعداد الكسرية

حان الوقت لمعرفة كيفية استخراج جذر الرقم الكسري. دع الرقم الجذري الكسري يُكتب بالشكل p/q. وفقا لخاصية جذر خارج القسمة، فإن المساواة التالية صحيحة. ويترتب على هذه المساواة قاعدة استخراج جذر الكسر: جذر الكسر يساوي حاصل قسمة جذر البسط على جذر المقام.

دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخراج جذر من الكسر.

مثال.

ما هو الجذر التربيعي للكسر المشترك 25/169؟

حل.

وباستخدام جدول المربعات نجد أن الجذر التربيعي لبسط الكسر الأصلي يساوي 5، والجذر التربيعي للمقام يساوي 13. ثم . وبهذا يكتمل استخراج جذر الكسر المشترك 25/169.

إجابة:

يتم استخراج جذر الكسر العشري أو العدد المختلط بعد استبدال الأعداد الجذرية بالكسور العادية.

مثال.

خذ الجذر التكعيبي للكسر العشري 474.552.

حل.

لنتخيل الكسر العشري الأصلي ككسر عادي: 474.552=474552/1000. ثم . يبقى استخراج الجذور التكعيبية الموجودة في البسط والمقام للكسر الناتج. لأن 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 و 1000 = 10 3، إذن و . كل ما تبقى هو استكمال الحسابات .

إجابة:

أخذ جذر الرقم السالب

من المفيد الخوض في مسألة استخراج الجذور من الأعداد السالبة. عند دراسة الجذور، قلنا أنه عندما يكون الأس الجذر عددًا فرديًا، فمن الممكن أن يكون هناك عدد سالب تحت علامة الجذر. لقد أعطينا هذه الإدخالات المعنى التالي: بالنسبة للرقم السالب −a والأس الفردي للجذر 2 n−1، . هذه المساواة تعطي قاعدة استخراج الجذور الفردية من الأعداد السالبة: لاستخراج جذر الرقم السالب، عليك أن تأخذ جذر الرقم الموجب المعاكس، وتضع علامة الطرح أمام النتيجة.

دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال.

أوجد قيمة الجذر.

حل.

لنقم بتحويل التعبير الأصلي بحيث يكون هناك رقم موجب تحت علامة الجذر: . الآن استبدل الرقم المختلط بكسر عادي: . نطبق قاعدة استخراج جذر الكسر العادي: . يبقى حساب الجذور في البسط والمقام للكسر الناتج: .

فيما يلي ملخص قصير للحل: .

إجابة:

تحديد اتجاه البت لقيمة الجذر

في الحالة العامة، يوجد تحت الجذر رقم، باستخدام التقنيات التي تمت مناقشتها أعلاه، لا يمكن تمثيله على أنه القوة n لأي رقم. لكن في هذه الحالة هناك حاجة لمعرفة معنى جذر معين، على الأقل حتى علامة معينة. في هذه الحالة، لاستخراج الجذر، يمكنك استخدام خوارزمية تسمح لك بالحصول على عدد كاف من القيم الرقمية للرقم المطلوب بشكل متسلسل.

الخطوة الأولى في هذه الخوارزمية هي معرفة الجزء الأكثر أهمية من قيمة الجذر. وللقيام بذلك، يتم رفع الأرقام 0، 10، 100، ... بشكل تسلسلي إلى القوة n حتى يتم الحصول على اللحظة التي يتجاوز فيها الرقم الرقم الجذري. ثم سيشير الرقم الذي رفعناه إلى القوة n في المرحلة السابقة إلى الرقم الأكثر أهمية.

على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار هذه الخطوة من الخوارزمية عند استخراج الجذر التربيعي لخمسة. خذ الأرقام 0، 10، 100، ... وقم بتربيعها حتى نحصل على رقم أكبر من 5. لدينا 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5، مما يعني أن الرقم الأكثر أهمية هو رقم الآحاد. سيتم العثور على قيمة هذا البت، بالإضافة إلى القيم السفلية، في الخطوات التالية لخوارزمية استخراج الجذر.

تهدف جميع الخطوات اللاحقة للخوارزمية إلى توضيح قيمة الجذر بشكل تسلسلي من خلال إيجاد قيم البتات التالية للقيمة المطلوبة للجذر، بدءًا من القيمة الأعلى والانتقال إلى البتات الأدنى. على سبيل المثال، قيمة الجذر في الخطوة الأولى هي 2، في الثانية – 2.2، في الثالثة – 2.23، وهكذا 2.236067977…. دعونا نصف كيفية العثور على قيم الأرقام.

يتم العثور على الأرقام من خلال البحث في قيمها المحتملة 0، 1، 2، ...، 9. في هذه الحالة، يتم حساب القوى النونية للأعداد المتناظرة على التوازي، ومقارنتها بالرقم الجذري. إذا تجاوزت قيمة الدرجة في مرحلة ما الرقم الجذري، فسيتم اعتبار قيمة الرقم المقابل للقيمة السابقة موجودة، ويتم الانتقال إلى الخطوة التالية من خوارزمية استخراج الجذر؛ إذا لم يحدث ذلك، فإن قيمة هذا الرقم تساوي 9.

دعونا نشرح هذه النقاط باستخدام نفس مثال استخراج الجذر التربيعي لخمسة.

أولًا، نوجد قيمة رقم الآحاد. سنمر عبر القيم 0، 1، 2، ...، 9، نحسب 0 2، 1 2، ...، 9 2 على التوالي، حتى نحصل على قيمة أكبر من الرقم الجذري 5. من الملائم تقديم كل هذه الحسابات في شكل جدول:

وبالتالي فإن قيمة رقم الوحدات هي 2 (حيث أن 2 2<5 , а 2 3 >5). لننتقل الآن إلى إيجاد قيمة الخانة من عشرة. في هذه الحالة، سنقوم بتربيع الأرقام 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9، ومقارنة القيم الناتجة مع الرقم الجذري 5:

منذ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5، فإن قيمة خانة العشرة هي 2. يمكنك المتابعة لإيجاد قيمة خانة الأجزاء من المائة:

هذه هي الطريقة التي تم بها إيجاد القيمة التالية لجذر خمسة، وهي تساوي 2.23. وهكذا يمكنك الاستمرار في العثور على القيم: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

لتوحيد المادة، سنقوم بتحليل استخراج الجذر بدقة تصل إلى أجزاء من المئات باستخدام الخوارزمية المدروسة.

أولاً نحدد الرقم الأكثر أهمية. للقيام بذلك، نقوم بتجميع الأرقام 0، 10، 100، إلخ. حتى نحصل على رقم أكبر من 2,151,186. لدينا 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186، لذا فإن الرقم الأكثر أهمية هو رقم العشرات.

دعونا نحدد قيمتها.

منذ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186، فإن قيمة خانة العشرات هي 1. دعنا ننتقل إلى الوحدات.

وبالتالي فإن قيمة الرقم الآحاد هي 2. دعنا ننتقل إلى أعشار.

وبما أن 12.9 3 أقل من العدد الجذري 2 151.186، فإن قيمة الخانة العشرية هي 9. يبقى تنفيذ الخطوة الأخيرة من الخوارزمية، وهي ستعطينا قيمة الجذر بالدقة المطلوبة.

في هذه المرحلة، يتم العثور على قيمة الجذر بدقة تصل إلى أجزاء من المئات: .

وفي ختام هذا المقال أود أن أقول إن هناك العديد من الطرق الأخرى لاستخراج الجذور. لكن بالنسبة لمعظم المهام، فإن تلك التي درسناها أعلاه كافية.

فهرس.

ماكاريتشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي.، نيشكوف كي.آي.، سوفوروفا إس.بي. الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن. المؤسسات التعليمية.
Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 بمؤسسات التعليم العام.
جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).

مساحة قطعة الأرض المربعة 81 متر مربع. ابحث عن جانبه. لنفترض أن طول ضلع المربع هو Xديسيمترات. ثم مساحة المؤامرة هي X² ديسيمترات مربعة. وبما أن هذه المساحة، وفقًا للشرط، تساوي 81 dm²، إذن X² = 81. طول ضلع المربع هو عدد موجب. الرقم الموجب الذي مربعه 81 هو الرقم 9. عند حل المسألة كان لا بد من إيجاد الرقم x الذي مربعه 81، أي حل المعادلة X² = 81. هذه المعادلة لها جذرين: س 1 = 9 و س 2 = - 9، بما أن 9² = 81 و(- 9)² = 81. يُطلق على كلا الرقمين 9 و- 9 الجذور التربيعية للعدد 81.

لاحظ أن أحد الجذور التربيعية X= 9 هو رقم موجب. ويسمى بالجذر التربيعي الحسابي للعدد 81 ويرمز له بـ √81، وبالتالي فإن √81 = 9.

الجذر التربيعي الحسابي لعدد أهو عدد غير سالب مربعه يساوي أ.

على سبيل المثال، الرقمان 6 و- 6 هما جذر تربيعي للرقم 36. ومع ذلك، فإن الرقم 6 هو جذر تربيعي حسابي للعدد 36، حيث أن 6 هو رقم غير سالب و6² = 36. الرقم - 6 ليس عددًا الجذر الحسابي.

الجذر التربيعي الحسابي لعدد أيشار إليها على النحو التالي: √ أ.

تسمى العلامة بعلامة الجذر التربيعي الحسابي؛ أ- يسمى تعبير جذري. التعبير √ أيقرأ مثل هذا: الجذر التربيعي الحسابي لعدد أ.على سبيل المثال، √36 = 6، √0 = 0، √0.49 = 0.7. وفي الحالات التي يتضح فيها أننا نتحدث عن جذر حسابي، يقولون بإيجاز: "الجذر التربيعي لـ أ«.

تسمى عملية إيجاد الجذر التربيعي لعدد ما بالجذر التربيعي. هذا الإجراء هو عكس التربيع.

يمكنك تربيع أي رقم، لكن لا يمكنك استخراج الجذور التربيعية من أي رقم. على سبيل المثال، من المستحيل استخراج الجذر التربيعي للرقم - 4. إذا كان هذا الجذر موجودا، فسيتم الإشارة إليه بالحرف X، فسنحصل على المساواة غير الصحيحة x² = - 4، نظرًا لوجود رقم غير سالب على اليسار وعدد سالب على اليمين.

التعبير √ أمن المنطقي فقط عندما أ ≥ 0. يمكن كتابة تعريف الجذر التربيعي باختصار على النحو التالي: √ أ ≥ 0, (√أ)² = أ. المساواة (√ أ)² = أصالحة ل أ ≥ 0. وبالتالي، للتأكد من أن الجذر التربيعي لعدد غير سالب أيساوي ب، أي في حقيقة أن √ أ =ب، يجب عليك التحقق من استيفاء الشرطين التاليين: ب ≥ 0, ب² = أ.

الجذر التربيعي للكسر

دعونا نحسب. لاحظ أن √25 = 5، √36 = 6، ولنتحقق من صحة المساواة.

لأن ومن ثم فإن المساواة صحيحة. لذا، .

نظرية:لو أ≥ 0 و ب> 0، أي أن جذر الكسر يساوي جذر البسط مقسومًا على جذر المقام. ويشترط إثبات ذلك: و .

منذ √ أ≥0 و √ ب> 0 ثم .

حول خاصية رفع الكسر إلى قوة وتعريف الجذر التربيعي تم إثبات النظرية. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

احسب باستخدام النظرية المثبتة .

المثال الثاني: اثبت ذلك ، لو أ ≤ 0, ب < 0. .

مثال آخر: احسب.

تحويل الجذر التربيعي

إزالة المضاعف من تحت علامة الجذر. دع التعبير يعطى. لو أ≥ 0 و ب≥ 0، ثم باستخدام نظرية جذر المنتج يمكننا أن نكتب:

يسمى هذا التحويل إزالة العامل من علامة الجذر. لنلقي نظرة على مثال؛

احسب عند X= 2. الاستبدال المباشر X= 2 في التعبير الجذري يؤدي إلى حسابات معقدة. يمكن تبسيط هذه الحسابات إذا قمت أولاً بإزالة العوامل من تحت علامة الجذر: . وبالتعويض الآن x = 2 نحصل على:.

لذلك، عند إزالة العامل من تحت علامة الجذر، يتم تمثيل التعبير الجذري على شكل منتج يكون فيه عامل أو أكثر عبارة عن مربعات من الأعداد غير السالبة. ثم طبق نظرية جذر حاصل الضرب وخذ جذر كل عامل. لنأخذ مثالاً: بتبسيط التعبير A = √8 + √18 - 4√2 عن طريق إخراج العوامل الموجودة في الحدين الأولين من تحت علامة الجذر، نحصل على:. ونحن نؤكد على تلك المساواة صالحة فقط عندما أ≥ 0 و ب≥ 0. إذا أ < 0, то .

في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات، نواجه أعدادًا كبيرة نحتاج إلى استخراجها منها الجذر التربيعي. يقرر العديد من الطلاب أن هذا خطأ ويبدأون في إعادة حل المثال بأكمله. لا ينبغي عليك القيام بذلك تحت أي ظرف من الظروف! هناك سببان لهذا:

تظهر جذور الأعداد الكبيرة في المسائل. خاصة في النصوص؛
هناك خوارزمية يتم من خلالها حساب هذه الجذور شفهيًا تقريبًا.

سننظر في هذه الخوارزمية اليوم. ربما تبدو بعض الأشياء غير مفهومة بالنسبة لك. ولكن إذا انتبهت لهذا الدرس، فسوف تحصل على سلاح قوي ضدك الجذور التربيعية.

لذلك، الخوارزمية:

حدد الجذر المطلوب أعلاه وأدناه بالأرقام التي هي من مضاعفات 10. وبالتالي، فإننا سوف نقلل نطاق البحث إلى 10 أرقام؛
من هذه الأرقام العشرة، استبعد تلك التي لا يمكن أن تكون جذورًا بالتأكيد. نتيجة لذلك، ستبقى أرقام 1-2؛
قم بتربيع هذه الأرقام 1-2. ومن يساوي مربعه العدد الأصلي سيكون هو الجذر.

قبل وضع هذه الخوارزمية موضع التنفيذ، دعونا نلقي نظرة على كل خطوة على حدة.

الحد من الجذر

أولًا، علينا معرفة أي الأعداد يقع جذرنا. من المرغوب فيه للغاية أن تكون الأرقام مضاعفات العشرة:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

نحصل على سلسلة من الأرقام:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ماذا تقول لنا هذه الارقام؟ الأمر بسيط: لدينا حدود. خذ على سبيل المثال الرقم 1296. وهو يقع بين 900 و1600. ولذلك لا يمكن أن يكون جذره أقل من 30 ولا يزيد عن 40:

[تعليق على الصورة]

الأمر نفسه ينطبق على أي رقم آخر يمكنك إيجاد الجذر التربيعي منه. على سبيل المثال 3364:

[تعليق على الصورة]

وبالتالي، بدلا من رقم غير مفهوم، نحصل على نطاق محدد للغاية يقع فيه الجذر الأصلي. لتضييق نطاق البحث بشكل أكبر، انتقل إلى الخطوة الثانية.

القضاء على الأرقام غير الضرورية بشكل واضح

إذن، لدينا 10 أرقام - مرشحة للجذر. لقد حصلنا عليها بسرعة كبيرة، دون التفكير المعقد والضرب في العمود. حان الوقت للتغيير حان الوقت للتغير حان الوقت للانتقال.

صدق أو لا تصدق، سنقوم الآن بتقليل عدد المرشحين إلى اثنين - مرة أخرى دون أي حسابات معقدة! ويكفي معرفة القاعدة الخاصة. ها هو:

الرقم الأخير من المربع يعتمد فقط على الرقم الأخير الرقم الأصلي.

بمعنى آخر، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرقم الأخير من المربع وسنفهم على الفور أين ينتهي الرقم الأصلي.

لا يوجد سوى 10 أرقام يمكن أن تأتي في المركز الأخير. دعونا نحاول معرفة ما تتحول إليه عند التربيع. ألق نظرة على الجدول:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

يعد هذا الجدول خطوة أخرى نحو حساب الجذر. كما ترون، تبين أن الأرقام الموجودة في السطر الثاني متناظرة بالنسبة إلى الرقم خمسة. على سبيل المثال:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

كما ترون، الرقم الأخير هو نفسه في كلتا الحالتين. وهذا يعني أنه، على سبيل المثال، يجب أن ينتهي جذر 3364 بالرقم 2 أو 8. ومن ناحية أخرى، نتذكر القيد من الفقرة السابقة. نحن نحصل:

[تعليق على الصورة]

تشير المربعات الحمراء إلى أننا لا نعرف هذا الرقم بعد. لكن الجذر يقع في النطاق من 50 إلى 60، حيث لا يوجد سوى رقمين ينتهيان بالرقم 2 و8:

[تعليق على الصورة]

هذا كل شئ! من بين كل الجذور الممكنة، لم نترك سوى خيارين! وهذا في أصعب الحالات، لأن الرقم الأخير يمكن أن يكون 5 أو 0. وبعد ذلك سيكون هناك مرشح واحد فقط للجذور!

الحسابات النهائية

لذلك، لدينا رقمين مرشحين متبقيين. كيف تعرف أي واحد هو الجذر؟ الجواب واضح: قم بتربيع كلا الرقمين. الرقم الذي يعطينا الرقم الأصلي سيكون هو الجذر.

على سبيل المثال، بالنسبة للرقم 3364، وجدنا رقمين مرشحين: 52 و58. فلنقم بتربيعهما:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704؛
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

هذا كل شئ! اتضح أن الجذر هو 58! في الوقت نفسه، لتبسيط الحسابات، استخدمت صيغة مربعات المجموع والفرق. وبفضل هذا، لم أضطر حتى إلى مضاعفة الأرقام في عمود! هذا مستوى آخر من تحسين العمليات الحسابية، ولكنه بالطبع اختياري تمامًا :)

أمثلة لحساب الجذور

النظرية بالطبع جيدة. لكن دعونا نتحقق من ذلك عمليًا.

[تعليق على الصورة]

أولاً، دعونا نكتشف بين الأرقام التي يقع فيها الرقم 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

الآن دعونا نلقي نظرة على الرقم الأخير. وهي تساوي 6. متى يحدث هذا؟ فقط إذا كان الجذر ينتهي بـ 4 أو 6. نحصل على رقمين:

كل ما تبقى هو تربيع كل رقم ومقارنته بالرقم الأصلي:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عظيم! تبين أن المربع الأول يساوي الرقم الأصلي. إذن هذا هو الجذر.

مهمة. احسب الجذر التربيعي:
[تعليق على الصورة]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:

1369 → 9;
33; 37.

قم بتربيعها:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

الجواب هنا: 37.

مهمة. احسب الجذر التربيعي:
[تعليق على الصورة]

نحن نحدد العدد:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:

2704 → 4;
52; 58.

قم بتربيعها:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704؛

لقد تلقينا الإجابة: 52. لن تكون هناك حاجة إلى تربيع الرقم الثاني.

مهمة. احسب الجذر التربيعي:
[تعليق على الصورة]

نحن نحدد العدد:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:

4225 → 5;
65.

كما ترون، بعد الخطوة الثانية لم يتبق سوى خيار واحد: 65. هذا هو الجذر المطلوب. ولكن دعونا لا نزال نقوم بتربيعها والتحقق من:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225؛

كل شيء صحيح. نكتب الجواب.

خاتمة

للأسف، ليس أفضل. دعونا ننظر إلى الأسباب. هناك اثنان منهم:

في أي اختبار عادي للرياضيات، سواء كان الامتحان الحكومي أو الامتحان الموحد، يُحظر استخدام الآلات الحاسبة. وإذا أحضرت آلة حاسبة إلى الفصل، فمن الممكن أن يتم طردك من الامتحان بسهولة.
لا تكن مثل الأمريكان الأغبياء. وهي ليست مثل الجذور، فلا يمكنها جمع عددين أوليين. وعندما يرون الكسور، يصبحون في حالة هستيرية بشكل عام.