ما هو الجذر التربيعي؟
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")
هذا المفهوم بسيط جدا. طبيعي، أود أن أقول. يحاول علماء الرياضيات إيجاد رد فعل لكل فعل. هناك إضافة - وهناك أيضًا طرح. هناك الضرب، وهناك أيضًا القسمة. هناك تربيع... إذن هناك أيضًا اِستِخلاص الجذر التربيعي! هذا كل شئ. هذا الفعل ( الجذر التربيعي) في الرياضيات يُشار إليه بهذا الرمز:
الأيقونة نفسها تسمى كلمة جميلة "متطرف".
كيفية استخراج الجذر؟من الأفضل أن ننظر أمثلة.
ما هو الجذر التربيعي للعدد 9؟ ما العدد التربيعي الذي سيعطينا 9؟ 3 تربيع يعطينا 9! أولئك:
ولكن ما هو الجذر التربيعي للصفر؟ لا مشكلة! ما العدد التربيعي الذي يشكله الصفر؟ نعم يعطي صفر! وسائل:
فهمتها، ما هو الجذر التربيعي؟ثم نعتبر أمثلة:
الإجابات (في حالة من الفوضى): 6؛ 1؛ 4؛ 9؛ 5.
مقرر؟ حقا، كم هو أسهل من ذلك؟!
ولكن... ماذا يفعل الإنسان عندما يرى مهمة ذات جذور؟
يبدأ الإنسان بالحزن... ولا يؤمن ببساطة وخفة جذوره. على الرغم من أنه يبدو أنه يعرف ما هو الجذر التربيعي...
وذلك لأن الشخص تجاهل عدة نقاط مهمة عند دراسة الجذور. ثم تقوم هذه البدع بالانتقام القاسي من الاختبارات والامتحانات...
النقطة الأولى. تحتاج إلى التعرف على الجذور عن طريق البصر!
ما هو الجذر التربيعي لـ 49؟ سبعة؟ يمين! كيف عرفت أنها السابعة؟ تربيع سبعة وحصلت على 49؟ يمين! يرجى ملاحظة ذلك استخراج الجذرمن أصل 49 كان علينا القيام بالعملية العكسية - المربع 7! وتأكد من أننا لا نفوت. أو ربما غابوا...
هذه هي الصعوبة استخراج الجذر. مربعيمكنك استخدام أي رقم دون أي مشاكل. اضرب الرقم في نفسه بعمود - هذا كل شيء. ولكن ل استخراج الجذرلا توجد مثل هذه التكنولوجيا البسيطة والآمنة من الفشل. علينا أن يلتقطأجب وتحقق مما إذا كان صحيحًا عن طريق تربيعه.
هذه العملية الإبداعية المعقدة - اختيار الإجابة - تم تبسيطها إلى حد كبير إذا كنت يتذكرمربعات الأرقام الشعبية. مثل جدول الضرب. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى ضرب 4 في 6، فلن تقوم بإضافة أربعة 6 مرات، أليس كذلك؟ تظهر الإجابة رقم 24 على الفور، رغم أن الجميع لا يحصلون عليها، نعم...
للعمل بحرية ونجاح مع الجذور، يكفي معرفة مربعات الأرقام من 1 إلى 20. علاوة على ذلك هناكو خلف.أولئك. يجب أن تكون قادرًا على قراءة كل من 11 تربيع والجذر التربيعي لـ 121 بسهولة. هناك طريقتان لتحقيق هذا الحفظ. الأول هو تعلم جدول المربعات. سيكون هذا مساعدة كبيرة في حل الأمثلة. والثاني هو حل المزيد من الأمثلة. سيساعدك هذا كثيرًا على تذكر جدول المربعات.
ولا الآلات الحاسبة! لأغراض الاختبار فقط. وإلا فإنك سوف تبطئ بلا رحمة أثناء الامتحان ...
لذا، ما هو الجذر التربيعيوكيف استخراج الجذور- أعتقد أن الأمر واضح. الآن دعونا نكتشف ما يمكننا استخراجها منه.
النقطة الثانية. الجذر، أنا لا أعرفك!
ما هي الأرقام التي يمكنك أخذ الجذور التربيعية منها؟ نعم، أي واحد منهم تقريبا. من الأسهل أن نفهم ما هو منه ممنوعاستخرجهم.
دعونا نحاول حساب هذا الجذر:
للقيام بذلك، علينا أن نختار رقمًا مربعًا سيعطينا -4. نحن نختار.
ماذا، أنها لا تناسب؟ 2 2 يعطي +4. (-2) 2 يعطي مرة أخرى +4! هذا كل شيء... لا توجد أرقام عند تربيعها تعطينا رقماً سالباً! على الرغم من أنني أعرف هذه الأرقام. لكنني لن أخبرك). اذهب إلى الكلية وستكتشف ذلك بنفسك.
نفس القصة ستحدث مع أي رقم سالب. ومن هنا الاستنتاج:
تعبير يوجد فيه رقم سالب تحت علامة الجذر التربيعي - لا معنى له! هذه عملية محظورة. وهي حرام كالقسمة على صفر. تذكر هذه الحقيقة بحزم!أو بمعنى آخر:
لا يمكنك استخراج الجذور التربيعية من الأعداد السالبة!
ولكن من بين جميع الآخرين، فمن الممكن. على سبيل المثال، فمن الممكن تماما لحساب
للوهلة الأولى، هذا صعب للغاية. اختيار الكسور وتربيعها... لا تقلق. عندما نفهم خصائص الجذور، سيتم اختصار هذه الأمثلة إلى نفس جدول المربعات. سوف تصبح الحياة أسهل!
حسنا، الكسور. لكننا لا نزال نواجه تعبيرات مثل:
لا بأس. كل نفس. الجذر التربيعي لاثنين هو العدد الذي عند تربيعه يعطينا اثنين. فقط هذا الرقم غير متساوٍ تمامًا... وها هو:
المثير للاهتمام هو أن هذا الكسر لا ينتهي أبدًا... تسمى هذه الأرقام غير منطقية. في الجذور التربيعية، هذا هو الشيء الأكثر شيوعًا. بالمناسبة، هذا هو سبب تسمية التعبيرات ذات الجذور غير منطقي. من الواضح أن كتابة مثل هذا الكسر اللانهائي طوال الوقت أمر غير مريح. لذلك، بدلًا من الكسر اللانهائي، يتركونه على النحو التالي:
إذا انتهى بك الأمر عند حل أحد الأمثلة إلى شيء لا يمكن استخراجه، مثل:
ثم نتركها هكذا. سيكون هذا هو الجواب.
عليك أن تفهم بوضوح ما تعنيه الرموز
بالطبع، إذا تم أخذ جذر الرقم سلس، يجب عليك فعل ذلك. الجواب على المهمة في النموذج، على سبيل المثال
إجابة كاملة تماما.
وبطبيعة الحال، تحتاج إلى معرفة القيم التقريبية من الذاكرة:
تساعد هذه المعرفة بشكل كبير في تقييم الوضع في المهام المعقدة.
النقطة الثالثة. الأكثر الماكرة.
سبب الارتباك الرئيسي في العمل مع الجذور هو هذه النقطة. هو الذي يمنح الثقة بقدراته... فلنتعامل مع هذه النقطة بشكل صحيح!
أولًا، لنأخذ الجذر التربيعي لأربعة منها مرة أخرى. هل أزعجتك بالفعل بهذا الجذر؟) لا يهم، الآن سيكون الأمر مثيرًا للاهتمام!
ما العدد الذي يربعه 4؟ حسنًا، اثنان، اثنان - أسمع إجابات غير راضية...
يمين. اثنين. لكن أيضا ناقص اثنينسيعطي 4 تربيع... وفي الوقت نفسه، الجواب
الصحيح والجواب
خطأ فادح. مثله.
إذن ما هو الاتفاق؟
وبالفعل (-2) 2 = 4. وتحت تعريف الجذر التربيعي لأربعة ناقص اثنينمناسب تمامًا... وهذا أيضًا هو الجذر التربيعي لأربعة.
لكن! في دورة الرياضيات المدرسية، من المعتاد أن تأخذ في الاعتبار الجذور التربيعية أرقام غير سلبية فقط!أي صفر وكلها إيجابية. حتى أنه تم اختراع مصطلح خاص: من الرقم أ- هذا غير سلبيالرقم الذي مربعه أ. يتم ببساطة تجاهل النتائج السلبية عند استخراج الجذر التربيعي الحسابي. في المدرسة، كل شيء له جذور تربيعية - علم الحساب. على الرغم من أن هذا لم يذكر بشكل خاص.
حسنًا، هذا أمر مفهوم. إنه أفضل - لا تهتم به نتائج سلبية... هذا ليس ارتباكا بعد.
يبدأ الارتباك عند حل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال، تحتاج إلى حل المعادلة التالية.
المعادلة بسيطة نكتب الجواب (كما علمنا):
هذه الإجابة (صحيحة تمامًا بالمناسبة) هي مجرد نسخة مختصرة اثنينالإجابات:
قف قف! كتبت أعلاه أن الجذر التربيعي هو رقم دائماًغير سلبي! وهنا أحد الإجابات - سلبي! اضطراب. هذه هي المشكلة الأولى (وليست الأخيرة) التي تسبب عدم الثقة في الجذور... فلنحل هذه المشكلة. دعونا نكتب الإجابات (فقط للفهم!) مثل هذا:
الأقواس لا تغير جوهر الإجابة. لقد فصلته للتو بين قوسين علاماتمن جذر. الآن يمكنك أن ترى بوضوح أن الجذر نفسه (بين قوسين) لا يزال رقمًا غير سالب! والعلامات هي نتيجة حل المعادلة. بعد كل شيء، عند حل أي معادلة يجب علينا أن نكتب الجميع Xs التي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ستعطي النتيجة الصحيحة. جذر خمسة (موجب!) مع موجب وسالب يناسب معادلتنا.
مثله. اذا أنت فقط خذ الجذر التربيعيمن أي شيء أنت دائماًلقد حصلت واحد غير سلبينتيجة. على سبيل المثال:
لأنه - الجذر التربيعي الحسابي.
ولكن إذا قررت شيئا معادلة من الدرجة الثانية، يكتب:
الذي - التي دائماًاتضح اثنينالجواب (مع زائد وناقص):
لأن هذا هو حل المعادلة
يأمل، ما هو الجذر التربيعيلقد حصلت على نقاطك واضحة. الآن يبقى معرفة ما يمكن فعله بالجذور وما هي خصائصها. وما هي النقاط والعثرات... آسف يا حجارة!)
كل هذا في الدروس التالية
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
صيغ الجذر. خصائص الجذور التربيعية.
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")
في الدرس السابق عرفنا ما هو الجذر التربيعي. حان الوقت لمعرفة أي منها موجود صيغ للجذورماذا يكون خصائص الجذور، وما الذي يمكن فعله بكل هذا.
صيغ الجذور وخصائص الجذور وقواعد العمل مع الجذور- وهذا هو في الأساس نفس الشيء. الصيغ ل الجذور التربيعيةالقليل بشكل مدهش. مما يجعلني سعيدا بالتأكيد! أو بالأحرى، يمكنك كتابة الكثير من الصيغ المختلفة، ولكن للعمل العملي والواثق مع الجذور، ثلاثة فقط كافية. وكل شيء آخر ينبع من هؤلاء الثلاثة. على الرغم من أن الكثير من الناس يرتبكون في صيغ الجذور الثلاثة، نعم...
لنبدأ بأبسطها. ها هي:
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
حان الوقت لفرزها طرق استخراج الجذور. إنهم يعتمدون على خصائص الجذور، على وجه الخصوص، على المساواة، وهو أمر صحيح لأي شخص عدد السلبيب.
أدناه سنلقي نظرة على الطرق الرئيسية لاستخراج الجذور واحدة تلو الأخرى.
لنبدأ بأبسط حالة - استخراج جذور الأعداد الطبيعية باستخدام جدول المربعات، وجدول المكعبات، وما إلى ذلك.
إذا كانت جداول المربعات والمكعبات وما إلى ذلك. إذا لم يكن لديك في متناول اليد، فمن المنطقي استخدام طريقة استخراج الجذر، والتي تنطوي على تحليل الرقم الجذري إلى عوامل أولية.
تجدر الإشارة بشكل خاص إلى ما هو ممكن للجذور ذات الأسس الفردية.
أخيرًا، دعونا نفكر في طريقة تسمح لنا بالعثور على أرقام القيمة الجذرية بالتسلسل.
هيا بنا نبدأ.
باستخدام جدول المربعات، وجدول المكعبات، وما إلى ذلك.
في أبسط الحالات، تسمح لك جداول المربعات والمكعبات وما إلى ذلك باستخراج الجذور. ما هي هذه الجداول؟
يتكون جدول مربعات الأعداد الصحيحة من 0 إلى 99 (كما هو موضح أدناه) من منطقتين. تقع المنطقة الأولى من الجدول على خلفية رمادية، ومن خلال تحديد صف معين وعمود محدد، يسمح لك بتكوين رقم من 0 إلى 99. على سبيل المثال، لنختار صفًا مكونًا من 8 عشرات وعمودًا مكونًا من 3 وحدات، وبذلك ثبتنا الرقم 83. المنطقة الثانية تحتل بقية الجدول. تقع كل خلية عند تقاطع صف معين وعمود معين، وتحتوي على مربع الرقم المقابل من 0 إلى 99. عند تقاطع الصف الذي اخترناه المكون من 8 عشرات والعمود 3 من الآحاد، توجد خلية تحمل الرقم 6889، وهو مربع الرقم 83.
جداول المكعبات، وجداول القوى الرابعة للأرقام من 0 إلى 99، وما إلى ذلك تشبه جدول المربعات، إلا أنها تحتوي على مكعبات، والقوى الرابعة، وما إلى ذلك في المنطقة الثانية. الأرقام المقابلة.
جداول المربعات والمكعبات والقوى الرابعة وما إلى ذلك. تسمح لك باستخراج الجذور التربيعية، والجذور التكعيبية، والجذور الرابعة، وما إلى ذلك. وذلك من خلال الأرقام الموجودة في هذه الجداول. دعونا نشرح مبدأ استخدامها عند استخراج الجذور.
لنفترض أننا بحاجة إلى استخراج الجذر النوني للرقم a، بينما الرقم a موجود في جدول القوى n. باستخدام هذا الجدول نجد الرقم b بحيث يكون a=b n. ثم 
وبالتالي فإن الرقم b سيكون الجذر المطلوب للدرجة n.
على سبيل المثال، دعونا نوضح كيفية استخدام جدول المكعب لاستخراج الجذر التكعيبي للرقم 19,683. نجد الرقم 19,683 في جدول المكعبات، ومنه نجد أن هذا الرقم هو مكعب الرقم 27، لذلك، 
.
من الواضح أن جداول القوى n ملائمة جدًا لاستخراج الجذور. ومع ذلك، فهي غالبًا ما لا تكون في متناول اليد، ويتطلب تجميعها بعض الوقت. علاوة على ذلك، غالبًا ما يكون من الضروري استخراج الجذور من الأرقام غير الواردة في الجداول المقابلة. في هذه الحالات عليك اللجوء إلى طرق أخرى لاستخراج الجذر.
تحليل عدد جذري إلى عوامل أولية
هناك طريقة ملائمة إلى حد ما لاستخراج جذر الرقم الطبيعي (إذا تم استخراج الجذر بالطبع) وهي تحليل الرقم الجذري إلى عوامل أولية. له النقطة هي هذا: بعد ذلك من السهل جدًا تمثيلها كقوة بالأس المطلوب، مما يسمح لك بالحصول على قيمة الجذر. دعونا نوضح هذه النقطة.
لنأخذ الجذر النوني لعدد طبيعي a وقيمته تساوي b. في هذه الحالة، المساواة a=b n صحيحة. يمكن تمثيل الرقم b، مثل أي عدد طبيعي، كحاصل ضرب جميع عوامله الأولية p 1 , p 2 , …, p m في الصورة p 1 ·p 2 ·…·p m ، والرقم الجذري a في هذه الحالة يتم تمثيلها كـ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . نظرًا لأن تحلل العدد إلى عوامل أولية هو أمر فريد، فإن تحلل العدد الجذري a إلى عوامل أولية سيكون له الشكل (p 1 ·p 2 ·…·p m) n، مما يجعل من الممكن حساب قيمة الجذر مثل .
لاحظ أنه إذا كان التحلل إلى عوامل أولية لعدد جذري a لا يمكن تمثيله بالشكل (p 1 ·p 2 ·…·p m) n، فلن يتم استخراج الجذر النوني لمثل هذا الرقم a بالكامل.
دعونا نكتشف ذلك عند حل الأمثلة.
مثال.
خذ الجذر التربيعي لـ 144.
حل.
إذا نظرت إلى جدول المربعات الوارد في الفقرة السابقة، يمكنك أن ترى بوضوح أن 144 = 2 12، ومنه يتضح أن الجذر التربيعي لـ 144 يساوي 12.
لكن في ضوء هذه النقطة نحن مهتمون بكيفية استخلاص الجذر من خلال تحليل العدد الجذري 144 إلى عوامل أولية. دعونا ننظر إلى هذا الحل.
دعونا تتحلل 144 إلى العوامل الأولية:
أي 144=2·2·2·2·3·3. وبناء على التحلل الناتج يمكن إجراء التحولات التالية: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. لذلك، 
.
باستخدام خصائص الدرجة وخصائص الجذور، يمكن صياغة الحل بشكل مختلف قليلاً: .
إجابة:
لتوحيد المادة، فكر في حلول مثالين آخرين.
مثال.
احسب قيمة الجذر.
حل.
التحليل الأولي للعدد الجذري 243 له الصورة 243=3 5 . هكذا، 
.
إجابة:
مثال.
هل القيمة الجذرية عدد صحيح؟
حل.
للإجابة على هذا السؤال، دعونا نحلل العدد الجذري إلى عوامل أولية ونرى ما إذا كان من الممكن تمثيله على شكل مكعب لعدد صحيح.
لدينا 285768=2 3 ·3 6 ·7 2. لا يتم تمثيل التوسع الناتج كمكعب لعدد صحيح، منذ الدرجة العامل الرئيسي 7 ليس من مضاعفات الثلاثة. ولذلك، لا يمكن استخراج الجذر التكعيبي لـ 285,768 بشكل كامل.
إجابة:
لا.
استخراج الجذور من الأعداد الكسرية
حان الوقت لمعرفة كيفية استخراج جذر الرقم الكسري. دع الرقم الجذري الكسري يُكتب بالشكل p/q. وفقا لخاصية جذر خارج القسمة، فإن المساواة التالية صحيحة. ويترتب على هذه المساواة قاعدة استخراج جذر الكسر: جذر الكسر يساوي حاصل قسمة جذر البسط على جذر المقام.
دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخراج جذر من الكسر.
مثال.
ما هو الجذر التربيعي ل جزء مشترك 25/169 .
حل.
وباستخدام جدول المربعات نجد أن الجذر التربيعي لبسط الكسر الأصلي يساوي 5، والجذر التربيعي للمقام يساوي 13. ثم 
. وبهذا يكتمل استخراج جذر الكسر المشترك 25/169.
إجابة:
يتم استخراج جذر الكسر العشري أو العدد المختلط بعد استبدال الأعداد الجذرية بالكسور العادية.
مثال.
خذ الجذر التكعيبي للكسر العشري 474.552.
حل.
دعونا نتخيل الأصل عدد عشريككسر عادي: 474.552=474552/1000. ثم 
. يبقى استخراج الجذور التكعيبية الموجودة في البسط والمقام للكسر الناتج. لأن 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 و 1000 = 10 3، إذن 
و 
. كل ما تبقى هو استكمال الحسابات 
.
إجابة:
.
أخذ جذر الرقم السالب
من المفيد الخوض في مسألة استخراج الجذور من الأعداد السالبة. عند دراسة الجذور، قلنا أنه عندما يكون الأس الجذر عددًا فرديًا، فمن الممكن أن يكون هناك عدد سالب تحت علامة الجذر. لقد أعطينا هذه الإدخالات المعنى التالي: بالنسبة للرقم السالب −a والأس الفردي للجذر 2 n−1، 
. هذه المساواة تعطي قاعدة استخراج الجذور الفردية من الأعداد السالبة: لاستخراج جذر الرقم السالب، عليك أن تأخذ جذر الرقم الموجب المعاكس، وتضع علامة الطرح أمام النتيجة.
دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.
مثال.
أوجد قيمة الجذر.
حل.
لنقم بتحويل التعبير الأصلي بحيث يكون هناك رقم موجب تحت علامة الجذر: 
. الآن رقم مختلطاستبدله بكسر عادي: 
. نطبق قاعدة استخراج جذر الكسر العادي: 
. يبقى حساب الجذور في البسط والمقام للكسر الناتج: 
.
فيما يلي ملخص قصير للحل: 
.
إجابة:
.
تحديد اتجاه البت لقيمة الجذر
في الحالة العامة، يوجد تحت الجذر رقم، باستخدام التقنيات التي تمت مناقشتها أعلاه، لا يمكن تمثيله على أنه القوة n لأي رقم. لكن في هذه الحالة هناك حاجة لمعرفة معنى جذر معين، على الأقل حتى علامة معينة. في هذه الحالة، لاستخراج الجذر، يمكنك استخدام خوارزمية تسمح لك بالحصول على عدد كاف من القيم الرقمية للرقم المطلوب بشكل متسلسل.
في الخطوة الأولى من هذه الخوارزميةأنت بحاجة إلى معرفة الجزء الأكثر أهمية من القيمة الجذرية. وللقيام بذلك، يتم رفع الأرقام 0، 10، 100، ... بشكل تسلسلي إلى القوة n حتى يتم الحصول على اللحظة التي يتجاوز فيها الرقم الرقم الجذري. ثم سيشير الرقم الذي رفعناه إلى القوة n في المرحلة السابقة إلى الرقم الأكثر أهمية.
على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار هذه الخطوة من الخوارزمية عند استخراج الجذر التربيعي لخمسة. خذ الأرقام 0، 10، 100، ... وقم بتربيعها حتى نحصل على رقم أكبر من 5. لدينا 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5، مما يعني أن الرقم الأكثر أهمية هو رقم الآحاد. سيتم العثور على قيمة هذا البت، بالإضافة إلى القيم السفلية، في الخطوات التالية لخوارزمية استخراج الجذر.
تهدف جميع الخطوات اللاحقة للخوارزمية إلى توضيح قيمة الجذر بشكل تسلسلي من خلال إيجاد قيم البتات التالية للقيمة المطلوبة للجذر، بدءًا من القيمة الأعلى والانتقال إلى البتات الأدنى. على سبيل المثال، قيمة الجذر في الخطوة الأولى هي 2، في الثانية – 2.2، في الثالثة – 2.23، وهكذا 2.236067977…. دعونا نصف كيفية العثور على قيم الأرقام.
يتم العثور على الأرقام من خلال البحث فيها القيم الممكنة 0، 1، 2، …، 9. في هذه الحالة، يتم حساب القوى النونية للأعداد المتناظرة على التوازي، ومقارنتها بالرقم الجذري. إذا تجاوزت قيمة الدرجة في مرحلة ما الرقم الجذري، فسيتم اعتبار قيمة الرقم المقابل للقيمة السابقة موجودة، ويتم الانتقال إلى الخطوة التالية من خوارزمية استخراج الجذر؛ إذا لم يحدث ذلك، فإن قيمة هذا الرقم هي 9.
دعونا نشرح هذه النقاط باستخدام نفس مثال استخراج الجذر التربيعي لخمسة.
أولًا، نوجد قيمة رقم الآحاد. سنمر عبر القيم 0، 1، 2، ...، 9، نحسب 0 2، 1 2، ...، 9 2 على التوالي، حتى نحصل على قيمة أكبر من الرقم الجذري 5. من الملائم تقديم كل هذه الحسابات في شكل جدول: 
وبالتالي فإن قيمة رقم الوحدات هي 2 (حيث أن 2 2<5
, а 2 3 >5). لننتقل الآن إلى إيجاد قيمة الخانة من عشرة. في هذه الحالة، سنقوم بتربيع الأرقام 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9، ومقارنة القيم الناتجة مع الرقم الجذري 5: 
منذ 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5، فإن قيمة خانة العشرة هي 2. يمكنك المتابعة لإيجاد قيمة خانة الأجزاء من المائة: 
هذه هي الطريقة التي تم بها إيجاد القيمة التالية لجذر خمسة، وهي تساوي 2.23. وهكذا يمكنك الاستمرار في العثور على القيم: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
لتوحيد المادة، سنقوم بتحليل استخراج الجذر بدقة تصل إلى أجزاء من المئات باستخدام الخوارزمية المدروسة.
أولاً نحدد الرقم الأكثر أهمية. للقيام بذلك، نقوم بتجميع الأرقام 0، 10، 100، إلخ. حتى نحصل على رقم أكبر من 2,151,186. لدينا 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186، لذا فإن الرقم الأكثر أهمية هو رقم العشرات.
دعونا نحدد قيمتها. 
منذ 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186، فإن قيمة خانة العشرات هي 1. دعنا ننتقل إلى الوحدات. 
وبالتالي فإن قيمة الرقم الآحاد هي 2. دعنا ننتقل إلى أعشار. 
وبما أن 12.9 3 أقل من العدد الجذري 2 151.186، فإن قيمة الخانة العشرية هي 9. يبقى تنفيذ الخطوة الأخيرة من الخوارزمية، وهي ستعطينا قيمة الجذر بالدقة المطلوبة. 
في هذه المرحلة، يتم العثور على قيمة الجذر بدقة تصل إلى أجزاء من المئات: 
.
وفي ختام هذا المقال أود أن أقول إن هناك العديد من الطرق الأخرى لاستخراج الجذور. لكن بالنسبة لمعظم المهام، فإن تلك التي درسناها أعلاه كافية.
فهرس.
- ماكاريتشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي.، نيشكوف كي.آي.، سوفوروفا إس.بي. الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن. المؤسسات التعليمية.
- كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 بمؤسسات التعليم العام.
- جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).
يسمى الجذر التربيعي غير السالب لعدد موجب الجذر التربيعي الحسابيويشار إليه باستخدام العلامة الجذرية.
ارقام مركبة
يوجد دائمًا حلان في مجال الأعداد المركبة، يختلفان فقط في الإشارة (باستثناء الجذر التربيعي للصفر). غالبًا ما يُشار إلى جذر العدد المركب بـ ، ولكن يجب استخدام هذا الترميز بعناية. خطأ عام:
لاستخراج الجذر التربيعي لعدد مركب، من المناسب استخدام الصيغة الأسية لكتابة رقم مركب: if
,
,
حيث يُفهم جذر المعامل بمعنى قيمة حسابية، ويمكن أن تأخذ k القيمتين k=0 وk=1، وبذلك تنتهي الإجابة بنتيجتين مختلفتين.
التعميمات
يتم تقديم الجذور التربيعية كحلول لمعادلات النموذج لكائنات أخرى: المصفوفات، والوظائف، والمشغلين، وما إلى ذلك. يمكن استخدام العمليات الضربية التعسفية تمامًا كعملية، على سبيل المثال، التراكب.
الجذر التربيعي في علوم الكمبيوتر
في العديد من لغات البرمجة على مستوى الوظيفة (وكذلك اللغات الترميزية مثل LaTeX)، تتم كتابة دالة الجذر التربيعي بالشكل com.sqrt(من الانجليزية الجذر التربيعي"الجذر التربيعي").
خوارزميات للعثور على الجذر التربيعي
تسمى عملية إيجاد أو حساب الجذر التربيعي لعدد معين اِستِخلاص(الجذر التربيعي.
توسيع سلسلة تايلور
في .الجذر التربيعي الحسابي
بالنسبة لمربعات الأعداد تكون المساواة التالية صحيحة:
أي أنه يمكنك معرفة الجزء الصحيح من الجذر التربيعي لرقم ما عن طريق طرح جميع الأرقام الفردية منه بالترتيب حتى يصبح الباقي أقل من الرقم المطروح التالي أو يساوي الصفر، وحساب عدد الإجراءات المنجزة. على سبيل المثال، مثل هذا:
اكتملت 3 خطوات، الجذر التربيعي لـ 9 هو 3.
عيب هذه الطريقة هو أنه إذا لم يكن الجذر الذي يتم استخراجه عددًا صحيحًا، فيمكنك معرفة الجزء بأكمله فقط، ولكن ليس بشكل أكثر دقة. في الوقت نفسه، هذه الطريقة متاحة تمامًا للأطفال الذين يحلون المشكلات الرياضية البسيطة التي تتطلب استخراج الجذر التربيعي.
تقدير تقريبي
العديد من الخوارزميات لحساب الجذور التربيعية لعدد حقيقي موجب ستتطلب بعض القيمة الأولية. إذا كانت القيمة الأولية بعيدة جدًا عن القيمة الحقيقية للجذر، تصبح الحسابات أبطأ. لذلك، من المفيد أن يكون لديك تقدير تقريبي، والذي قد يكون غير دقيق للغاية، ولكن من السهل حسابه. لو س≥ 1، دع دسيكون عدد الأرقام سإلى يسار العلامة العشرية. لو س < 1, пусть دسيكون عدد الأصفار المتتالية على يمين العلامة العشرية، مأخوذة بعلامة الطرح. ثم يبدو التقدير التقريبي كما يلي:
لو دغريب، د = 2ن+1 ثم استخدم 
لو دحتى، د = 2ن+ 2، ثم استخدم 
يتم استخدام اثنين وستة لأن 
و
عند العمل في نظام ثنائي (كما هو الحال داخل أجهزة الكمبيوتر)، يجب استخدام تقييم مختلف (هنا دهو عدد الأرقام الثنائية).
الجذر التربيعي الهندسي
لاستخراج الجذر يدويًا، يتم استخدام تدوين مشابه للقسمة المطولة. يتم كتابة الرقم الذي نبحث عنه. على يمينه سنحصل تدريجياً على أرقام الجذر المطلوب. لنأخذ جذر رقم يحتوي على عدد محدود من المنازل العشرية. للبدء، عقليًا أو بالعلامات، نقسم الرقم N إلى مجموعات مكونة من رقمين على يسار الفاصلة العشرية وعلى يمينها. إذا لزم الأمر، يتم تعبئة المجموعات بالأصفار - يتم تعبئة الجزء الصحيح على اليسار، والجزء الكسري على اليمين. لذلك يمكن تمثيل 31234.567 بالرقم 03 12 34. 56 70. على عكس التقسيم، يتم الهدم في مثل هذه المجموعات المكونة من رقمين.
وصف مرئي للخوارزمية:
يسأل الطلاب دائمًا: "لماذا لا يمكنني استخدام الآلة الحاسبة في اختبار الرياضيات؟ كيفية استخراج الجذر التربيعي لعدد دون آلة حاسبة؟ دعونا نحاول الإجابة على هذا السؤال.
كيفية استخراج الجذر التربيعي لعدد دون مساعدة الآلة الحاسبة؟
فعل الجذر التربيعيعكس عمل التربيع.
√81= 9 9 2 =81
إذا أخذت الجذر التربيعي لعدد موجب وقمت بتربيع النتيجة، فستحصل على نفس الرقم.
من الأعداد الصغيرة التي هي عبارة عن مربعات دقيقة للأعداد الطبيعية، على سبيل المثال 1، 4، 9، 16، 25، ...، 100، يمكن استخلاص الجذور التربيعية شفوياً. عادة في المدرسة يقومون بتدريس جدول مربعات الأعداد الطبيعية حتى عشرين. بمعرفة هذا الجدول يسهل استخراج الجذور التربيعية من الأعداد 121,144، 169، 196، 225، 256، 289، 324، 361، 400. ومن الأعداد الأكبر من 400 يمكنك استخراجها بطريقة التحديد باستخدام بعض النصائح. دعونا نحاول إلقاء نظرة على هذه الطريقة بمثال.
مثال: استخرج جذر الرقم 676.
ونلاحظ أن 20 2 = 400، و 2 30 = 900 أي 20< √676 < 900.
المربعات الدقيقة للأعداد الطبيعية تنتهي بالرقم 0؛ 1؛ 4؛ 5؛ 6؛ 9.
يتم إعطاء الرقم 6 بواسطة 4 2 و 6 2.
وهذا يعني أنه إذا كان الجذر مأخوذًا من 676، فهو إما 24 أو 26.
يبقى التحقق: 24 2 = 576، 26 2 = 676.
إجابة: √676 = 26 .
أكثر مثال: √6889 .
بما أن 2 80 = 6400، و2 90 = 8100، إذن 80< √6889 < 90.
الرقم 9 يُعطى بواسطة 3 2 و7 2، إذن √6889 يساوي 83 أو 87.
دعونا نتحقق: 83 2 = 6889.
إجابة: √6889 = 83 .
إذا وجدت صعوبة في الحل باستخدام طريقة التحديد، فيمكنك تحليل التعبير الجذري.
على سبيل المثال، ابحث عن √893025.
دعونا نحلل الرقم 893025، تذكر أنك فعلت ذلك في الصف السادس.
نحصل على: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
أكثر مثال: √20736. لنحلل الرقم 20736 إلى عوامله:
نحصل على √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
وبطبيعة الحال، يتطلب التحليل معرفة علامات القسمة ومهارات التحليل.
وأخيرا، هناك قاعدة استخراج الجذور التربيعية. دعونا نتعرف على هذه القاعدة مع الأمثلة.
احسب √279841.
لاستخراج جذر عدد صحيح متعدد الأرقام، نقوم بتقسيمه من اليمين إلى اليسار إلى أوجه تحتوي على رقمين (قد تحتوي الحافة اليسرى على رقم واحد). نكتبها هكذا: 27'98'41
للحصول على الرقم الأول من الجذر (5)، نأخذ الجذر التربيعي لأكبر مربع كامل موجود في الوجه الأول على اليسار (27).
ثم يطرح مربع الرقم الأول من الجذر (25) من الوجه الأول ويضاف الوجه الذي يليه (98) إلى الفرق (مطرح).
على يسار الرقم الناتج 298، اكتب الرقم المزدوج للجذر (10)، واقسم عليه عدد كل عشرات الرقم الذي تم الحصول عليه مسبقًا (29/2 ≈ 2)، واختبر الناتج (102 ∙ 2 = 204 يجب ألا يزيد عن 298) واكتب (2) بعد الرقم الأول من الجذر.
ثم يتم طرح الحاصل الناتج 204 من 298 ويضاف الحافة التالية (41) إلى الفرق (94).
على يسار الرقم الناتج 9441، اكتب حاصل الضرب المزدوج لأرقام الجذر (52 ∙2 = 104)، واقسم عدد كل عشرات الرقم 9441 (944/104 ≈ 9) على هذا المنتج، واختبر يجب أن يكون حاصل القسمة (1049 ∙9 = 9441) 9441 واكتبه (9) بعد الرقم الثاني من الجذر.
لقد حصلنا على الجواب √279841 = 529.
استخراج بالمثل جذور الكسور العشرية. يجب تقسيم العدد الجذري فقط إلى وجوه بحيث تكون الفاصلة بين الوجوه.
مثال. أوجد القيمة √0.00956484.
فقط تذكر أنه إذا كان الكسر العشري يحتوي على عدد فردي من المنازل العشرية، فلا يمكن أخذ الجذر التربيعي منه.
لقد رأيت الآن ثلاث طرق لاستخراج الجذر. اختر ما يناسبك وتدرب عليه. لكي تتعلم كيفية حل المشكلات، عليك أن تحلها. وإذا كان لديك أي أسئلة، قم بالتسجيل في دروسي.
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.