Allpool esitatud materjal on loogiline jätk teooriale, mis pärineb artiklist pealkirjaga LCM - vähim ühiskordaja, definitsioon, näited, seos LCM-i ja GCD vahel. Siin me räägime vähima ühiskordse (LCM) leidmine, ja pöörata erilist tähelepanu näidete lahendamisele. Esmalt näitame, kuidas arvutatakse kahe arvu LCM nende arvude GCD järgi. Järgmiseks kaaluge vähima ühiskordse leidmist arvude algteguriteks faktorina. Pärast seda keskendume kolme või enama arvu LCM-i leidmisele ja pöörame tähelepanu ka negatiivsete arvude LCM-i arvutamisele.
Leheküljel navigeerimine.
Vähima ühiskordse (LCM) arvutamine läbi gcd
Üks viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb LCM-i ja GCD vahelisel suhetel. Olemasolev seos LCM-i ja GCD vahel võimaldab teadaoleva suurima ühisjagaja kaudu arvutada kahe positiivse täisarvu väikseima ühiskordse. Vastaval valemil on vorm LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Vaadake näiteid LCM-i leidmiseks ülaltoodud valemi järgi.
Näide.
Leidke kahe arvu 126 ja 70 vähim ühiskordne.
Lahendus.
Selles näites a=126, b=70. Kasutame valemiga väljendatud seost LCM-i ja GCD vahel LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). See tähendab, et kõigepealt tuleb leida arvude 70 ja 126 suurim ühisjagaja, mille järel saame kirjutatud valemi järgi arvutada nende arvude LCM.
Leia gcd(126, 70), kasutades Eukleidese algoritmi: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , seega gcd(126, 70)=14 .
Nüüd leiame nõutava vähima ühiskordse: LCM (126, 70) = 126 70: GCM (126, 70) = 126 70:14=630 .
Vastus:
LCM(126,70)=630.
Näide.
Mis on LCM(68, 34)?
Lahendus.
Sest 68 jagub võrdselt 34-ga, siis gcd(68, 34)=34 . Nüüd arvutame väikseima ühiskordse: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .
Vastus:
LCM(68,34)=68.
Pange tähele, et eelmine näide sobib järgmise reegliga positiivsete täisarvude a ja b LCM-i leidmiseks: kui arv a jagub b-ga, siis on nende arvude vähim ühiskordne a.
LCM-i leidmine arvude algfaktoriteks arvutamise teel
Teine viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb arvude arvutamisel algteguriteks. Kui teeme nende arvude kõigi algtegurite korrutise, mille järel jätame sellest korrutisest välja kõik levinud algtegurid, mis esinevad nende arvude laiendustes, siis on saadud korrutis võrdne nende arvude vähima ühiskordsega.
Väljakuulutatud reegel LCM-i leidmiseks tuleneb võrdsusest LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tõepoolest, arvude a ja b korrutis on võrdne kõigi arvude a ja b laienemisega seotud tegurite korrutisega. Omakorda gcd(a, b) võrdub kõigi arvude a ja b laiendustes samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega (mida kirjeldatakse peatükis gcd leidmine, kasutades arvude algteguriteks jaotamist ).
Võtame näite. Anname teada, et 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Koostage nende laienduste kõigi tegurite korrutis: 2 3 3 5 5 5 7 . Nüüd jätame sellest tootest välja kõik tegurid, mis esinevad nii arvu 75 kui ka arvu 210 laienemisel (sellised tegurid on 3 ja 5), siis saab korrutis kuju 2 3 5 5 7 . Selle korrutise väärtus on võrdne arvude 75 ja 210 vähima ühiskordsega, st LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.
Näide.
Pärast arvude 441 ja 700 arvestamist algteguriteks leidke nende arvude vähim ühiskordne.
Lahendus.
Jagame arvud 441 ja 700 algteguriteks:
Saame 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .
Nüüd teeme kõigi nende arvude laienemisega seotud tegurite korrutise: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad samaaegselt mõlemas laienduses (selline tegur on ainult üks – see on arv 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Sellel viisil, LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Vastus:
LCM(441; 700) = 44 100.
LCM-i leidmise reegli, kasutades arvude algteguriteks jaotamist, saab sõnastada veidi teisiti. Kui liidame arvu b laienemisest puuduvad tegurid arvu a laienemise teguritele, siis on saadud korrutise väärtus võrdne arvude a ja b vähima ühiskordsega.
Näiteks võtame kõik samad arvud 75 ja 210, nende laiendused algteguriteks on järgmised: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Teguritele 3, 5 ja 5 arvu 75 lagunemisest liidame arvu 210 dekomponeerimisest puuduvad tegurid 2 ja 7, saame korrutise 2 3 5 5 7 , mille väärtus on LCM(75 , 210) .
Näide.
Leidke 84 ja 648 vähim ühiskordne.
Lahendus.
Esmalt saame arvude 84 ja 648 lagunemise algteguriteks. Need näevad välja nagu 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 84 dekompositsioonist liidame arvu 648 dekomponeerimisest puuduvad tegurid 2 , 3 , 3 ja 3 , saame korrutise 2 2 2 3 3 3 3 7 , mis võrdub 4 536 . Seega on arvude 84 ja 648 soovitud vähim ühiskordne 4536.
Vastus:
LCM(84,648)=4536.
Kolme või enama numbri LCM-i leidmine
Kolme või enama arvu väikseima ühiskordse saab leida, leides järjestikku kahe arvu LCM-i. Tuletage meelde vastav teoreem, mis annab võimaluse leida kolme või enama arvu LCM.
Teoreem.
Olgu antud täisarvud positiivsed numbrid a 1 , a 2 , …, a k , nende arvude vähim ühiskordne m k leitakse järjestikuse arvutuse teel m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .
Mõelge selle teoreemi rakendamisele nelja arvu vähima ühiskordse leidmise näitel.
Näide.
Leidke nelja arvu 140, 9, 54 ja 250 LCM.
Lahendus.
Selles näites a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Kõigepealt leiame m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Selleks määrame eukleidilise algoritmi abil gcd(140, 9) , meil on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , seega gcd( 140, 9) = 1 , kust LCM(140,9)=1409: LCM(140,9)= 140 9:1 = 1 260 . See tähendab, et m 2 = 1 260 .
Nüüd leiame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Arvutame selle läbi gcd(1 260, 54) , mille määrab samuti Eukleidese algoritm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Siis gcd(1 260, 54) = 18, kust LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. See tähendab, m 3 \u003d 3 780.
Vasak leida m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Selleks leiame Eukleidese algoritmi kasutades GCD(3 780, 250): 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Seetõttu gcd(3 780, 250)=10, kust gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . See tähendab, m 4 \u003d 94 500.
Seega on algse nelja arvu vähim ühiskordne 94 500.
Vastus:
LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.
Paljudel juhtudel leitakse kolme või enama arvu vähim ühiskordne, kasutades antud arvude algfaktoriseerimist. Sel juhul tuleks järgida järgmist reeglit. Mitme arvu vähim ühiskordne on võrdne korrutisega, mis koosneb järgmiselt: teise arvu laiendamisel puuduvad tegurid liidetakse kõikidele esimese arvu laienemise teguritele, puuduvad tegurid esimese arvu laienemisest. saadud teguritele liidetakse kolmas arv jne.
Vaatleme näidet vähima ühiskordse leidmiseks, kasutades arvude algteguriteks jaotamist.
Näide.
Leidke viie arvu 84, 6, 48, 7, 143 vähim ühiskordne.
Lahendus.
Esiteks saame nende arvude laiendused algteguriteks: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 algtegurit) ja 143=11 13 .
Nende arvude LCM-i leidmiseks tuleb esimese arvu 84 teguritele (need on 2 , 2 , 3 ja 7 ) lisada teise arvu 6 laiendist puuduvad tegurid. Arvu 6 laiendus ei sisalda puuduvaid tegureid, kuna nii 2 kui 3 on juba esimese arvu 84 laiendamisel olemas. Edasi teguritele 2, 2, 3 ja 7 liidame kolmanda arvu 48 laiendist puuduvad tegurid 2 ja 2, saame tegurite 2, 2, 2, 2, 3 ja 7 hulga. Järgmises etapis ei ole vaja sellele komplektile faktoreid lisada, kuna 7 on selles juba sisaldunud. Lõpuks lisame teguritele 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 143 laiendist puuduvad tegurid 11 ja 13 . Saame korrutise 2 2 2 2 3 7 11 13 , mis võrdub 48 048 .
Lancinova Aisa
Lae alla:
Eelvaade:
Esitluste eelvaate kasutamiseks looge Google'i konto (konto) ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidide pealdised:
Ülesanded arvude GCD ja LCM jaoks MKOU "Kamyshovskaya OOSh" 6. klassi õpilase töö Lantsinova Aisa Juhendaja Gorjajeva Zoja Erdnigorjajevna, matemaatika õpetaja lk. Kamõšovo, 2013
Näide arvude 50, 75 ja 325 GCD leidmisest. 1) Jagame arvud 50, 75 ja 325 algteguriteks. 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5 75 = 3 ∙ 5 5 325 = 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 jagage ilma jäägita arve a ja b nimetatakse nende arvude suurimaks ühisjagajaks.
Näide arvude 72, 99 ja 117 LCM-i leidmisest. 1) Tegutseme arvud 72, 99 ja 117. Kirjutage välja tegurid, mis sisalduvad ühe arvude 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 laienduses. ∙ 3 ja lisage neile ülejäänud arvude puuduvad tegurid. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Leidke saadud tegurite korrutis. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Vastus: LCM (72, 99 ja 117) = 10296 Naturaalarvude a ja b vähim ühiskordne on väikseim naturaalarv, mis on arvu a kordne ja b.
Pappleht on ristküliku kujuga, mille pikkus on 48 cm ja laius 40 cm. See leht tuleb lõigata ilma jäätmeteta võrdseteks ruutudeks. Millised on suurimad ruudud, mida sellelt lehelt saada saab ja kui palju? Lahendus: 1) S = a ∙ b on ristküliku pindala. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². on papi pindala. 2) a - ruudu külg 48: a - ruutude arv, mida saab kartongi pikkuses laduda. 40: a - ruutude arv, mida saab kartongi laiusele asetada. 3) GCD (40 ja 48) \u003d 8 (cm) - ruudu külg. 4) S \u003d a² - ühe ruudu pindala. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - ühe ruudu pindala. 5) 1960: 64 = 30 (ruutude arv). Vastus: 30 ruutu küljepikkusega 8 cm. GCD ülesanded
Ruumi kamin tuleb laotada ruudukujuliste viimistlusplaatidega. Mitu plaati läheb vaja 195 ͯ 156 cm kamina jaoks ja millised need on suurimad mõõtmed plaadid? Lahendus: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - kamina pinna S. 2) GCD (195 ja 156) = 39 (cm) - plaadi külg. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - 1 plaadi pindala. 4) 30420: = 20 (tk). Vastus: 20 plaati mõõtmetega 39 ͯ 39 (cm). GCD ülesanded
Aia krunt mõõtmetega 54 ͯ 48 m ümber perimeetri tuleb aiaga piirata, selleks tuleb kindlate ajavahemike järel asetada betoonsambad. Mitu posti tuleb platsile tuua ja millisel maksimaalsel kaugusel üksteisest postid seisavad? Lahendus: 1) P = 2(a + b) – ala perimeeter. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 ja 48) \u003d 6 (m) - sammaste vaheline kaugus. 3) 204: 6 = 34 (sambad). Vastus: 34 sammast, 6 m kaugusel GCD ülesanded
210 bordoopunasest roosist koguti 126 valget, 294 punast roosi kimpu ja igas kimbus on sama värvi rooside arv võrdne. Milline suurim arv nendest roosidest tehtud kimbud ja mitu igat värvi roosi on ühes kimbus? Lahendus: 1) GCD (210, 126 ja 294) = 42 (kimbud). 2) 210: 42 = 5 (burgundia roosid). 3) 126:42 = 3 (valged roosid). 4) 294: 42 = 7 (punased roosid). Vastus: 42 kimpu: 5 bordoopunast, 3 valget, 7 punast roosi igas kimbus. GCD ülesanded
Tanya ja Masha ostsid sama palju postkaste. Tanya maksis 90 rubla ja Maša 5 rubla. rohkem. Kui palju üks komplekt maksab? Mitu komplekti igaüks ostis? Lahendus: 1) Maša maksis 90 + 5 = 95 (rubla). 2) GCD (90 ja 95) = 5 (rubla) - 1 komplekti hind. 3) 980: 5 = 18 (komplekti) - ostis Tanya. 4) 95: 5 = 19 (komplekti) - Masha ostis. Vastus: 5 rubla, 18 komplekti, 19 komplekti. GCD ülesanded
Sadamalinnas algab kolm turistide laevareisi, millest esimene kestab 15 päeva, teine - 20 ja kolmas - 12 päeva. Sadamasse naastes lähevad laevad samal päeval taas reisile. Kõigil kolmel liinil väljusid täna sadamast mootorlaevad. Mitme päeva pärast nad esimest korda koos purjetavad? Mitu reisi iga laev teeb? Lahendus: 1) NOC (15.20 ja 12) = 60 (päeva) – kohtumise aeg. 2) 60: 15 = 4 (reisid) - 1 laev. 3) 60: 20 = 3 (reisid) – 2 mootorlaeva. 4) 60: 12 = 5 (reisid) - 3 mootorlaeva. Vastus: 60 päeva, 4 lendu, 3 lendu, 5 lendu. Ülesanded NOC-le
Maša ostis Karule poest mune. Teel metsa sai ta aru, et munade arv jagub 2,3,5,10 ja 15-ga. Mitu muna Maša ostis? Lahendus: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (muna) Vastus: Maša ostis 30 muna. Ülesanded NOC-le
Vaja on teha kandilise põhjaga kast 16 × 20 cm suuruste kastide virnastamiseks Mis peaks olema kandilise põhja lühim külg, et kastid tihedalt kasti sisse mahuksid? Lahendus: 1) NOC (16 ja 20) = 80 (kastid). 2) S = a ∙ b on 1 kasti pindala. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - 1 kasti põhja pindala. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - ruudukujuline põhjapind. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - kasti mõõtmed. Vastus: 160 cm on kandilise põhja külg. Ülesanded NOC-le
Tee ääres punktist K on elektripostid iga 45 m järel. Need postid otsustati asendada teistega, paigutades need üksteisest 60 m kaugusele. Mitu posti seal oli ja kui palju need püsti jäävad? Lahendus: 1) NOK (45 ja 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - seal olid sambad. 3) 180: 60 = 3 - seal olid sambad. Vastus: 4 sammast, 3 sammast. Ülesanded NOC-le
Kui palju sõdureid marsib paraadiväljakul, kui nad marsivad rivis 12-liikmelises koosseisus ja muutuvad rivis 18-liikmeliseks kolonniks? Lahendus: 1) NOC (12 ja 18) = 36 (inimesed) – marss. Vastus: 36 inimest. Ülesanded NOC-le
Definitsioon. Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega arvud a ja b jaguvad ilma jäägita suurim ühisjagaja (gcd) need numbrid.
Leiame arvude 24 ja 35 suurima ühisjagaja.
24 jagajad on arvud 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ja 35 jagajad numbrid 1, 5, 7, 35.
Näeme, et arvudel 24 ja 35 on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse koprime.
Definitsioon. Naturaalarvudeks nimetatakse koprime kui nende suurim ühisjagaja (gcd) on 1.
Suurim ühine jagaja (GCD) võib leida ilma kõiki antud arvude jagajaid välja kirjutamata.
Arvestades arvud 48 ja 36, saame:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nende arvude esimese laiendamises sisalduvate tegurite hulgast kustutame need, mis ei sisaldu teise numbri laiendamises (st kaks kahekümnend).
Alles jäävad tegurid 2 * 2 * 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja. Leitakse ka kolme või enama arvu suurim ühisjagaja.
Leidma suurim ühine jagaja
2) ühe nende arvude laiendamisel sisalduvate tegurite hulgast kriipsutada maha need, mis ei kuulu teiste arvude laiendamisse;
3) leida ülejäänud tegurite korrutis.
Kui kõik antud arvud jaguvad ühega neist, siis see arv on suurim ühine jagaja antud numbrid.
Näiteks arvude 15, 45, 75 ja 180 suurim ühisjagaja on 15, kuna see jagab kõik ülejäänud arvud: 45, 75 ja 180.
Vähim levinud kordne (LCM)
Definitsioon. Vähim levinud kordne (LCM) naturaalarvud a ja b on väikseimad naturaalarvud, mis on arvu a ja b kordne. Arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne (LCM) on leitav ilma nende arvude kordajaid järjest välja kirjutamata. Selleks jagame 75 ja 60 lihtsateks teguriteks: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjutame välja nendest arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 2 (st ühendame tegurid).
Saame viis tegurit 2 * 2 * 3 * 5 * 5, mille korrutis on 300. See arv on arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne.
Leidke ka kolme või enama arvu vähim ühiskordne.
To leida vähim ühiskordne mitu naturaalarvu, vajate:
1) lagundada need algteguriteks;
2) kirjutab välja ühe arvu laiendamises sisalduvad tegurid;
3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;
4) leida saadud tegurite korrutis.
Pange tähele, et kui üks neist arvudest jagub kõigi teiste arvudega, on see arv nende arvude väikseim ühiskordne.
Näiteks arvude 12, 15, 20 ja 60 vähim ühiskordne oleks 60, kuna see jagub kõigi antud arvudega.
Pythagoras (VI sajand eKr) uuris koos õpilastega arvude jagatavuse küsimust. Arv, mis võrdub kõigi selle jagajate summaga (ilma arvu endata), nimetasid nad täiuslikuks arvuks. Näiteks numbrid 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) on täiuslikud. Järgmised täiuslikud arvud on 496, 8128, 33 550 336. Pythagoraslased teadsid ainult kolme esimest täiuslikku arvu. Neljas – 8128 – sai tuntuks 1. sajandil. n. e. Viies – 33 550 336 – leiti 15. sajandil. 1983. aastaks oli teada juba 27 täiuslikku numbrit. Kuid siiani ei tea teadlased, kas on paarituid täiuslikke numbreid, kas on olemas suurim täiuslik arv.
Muistsete matemaatikute huvi algarvude vastu tuleneb asjaolust, et iga arv on kas algarv või seda saab esitada korrutisena algarvud, st algarvud on justkui tellised, millest on ehitatud ülejäänud naturaalarvud.
Tõenäoliselt märkasite, et naturaalarvude reas esinevad algarvud ebaühtlaselt - mõnes rea osas on neid rohkem, teistes - vähem. Aga mida edasi me läheme numbriline seeria, seda haruldasemad on algarvud. Tekib küsimus: kas viimane (suurim) algarv on olemas? Vana-Kreeka matemaatik Euclid (3. sajand eKr) tõestas oma raamatus “Algused”, mis oli kaks tuhat aastat matemaatika põhiõpik, et algarve on lõpmatult palju, st iga algarvu taga on paarisarv. suurem algarv.
Algarvude leidmiseks tuli sellise meetodi välja teine samaaegne Kreeka matemaatik Eratosthenes. Ta kirjutas üles kõik numbrid 1-st mõne arvuni ja seejärel kriipsutas läbi ühiku, mis ei ole alg- ega liitarv, seejärel kriipsutage läbi ühe kõik arvud pärast 2 (arvud, mis on 2-kordsed, st 4, 6, 8 jne). Esimene järelejäänud arv pärast 2 oli 3. Seejärel tõmmati pärast kahte maha kõik numbrid pärast 3 (arvud, mis on 3-kordsed, st 6, 9, 12 jne). lõpuks jäid läbi kriipsutamata vaid algarvud.
Mõelge kolmele võimalusele vähima ühiskordse leidmiseks.
Faktooringuga leidmine
Esimene võimalus on leida vähim ühiskordne, arvutades antud arvud algteguriteks.
Oletame, et peame leidma arvude 99, 30 ja 28 LCM-i. Selleks jagame kõik need arvud algteguriteks:
Soovitud arvu jagumiseks 99, 30 ja 28-ga on vajalik ja piisav, et see hõlmaks kõiki nende jagajate algtegureid. Selleks peame võtma kõik nende arvude algtegurid suurima esinemisastmeni ja korrutama need kokku:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Seega LCM (99, 30, 28) = 13 860. Ükski teine arv, mis on väiksem kui 13 860, ei jagu ühtlaselt 99, 30 või 28-ga.
Antud arvude vähima ühiskordse leidmiseks peate arvutama need algteguriteks ja seejärel võtma iga algteguri kõrgeim näitaja selle esinemise määr ja korrutage need tegurid omavahel.
Kuna koalgarvudel pole ühiseid algtegureid, on nende vähim ühiskordne võrdne nende arvude korrutisega. Näiteks kolm arvu: 20, 49 ja 33 on algarvud. Sellepärast
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Sama tuleks teha ka erinevate algarvude vähima ühiskordse otsimisel. Näiteks LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Valiku järgi leidmine
Teine võimalus on leida sobitamise teel vähim ühiskordne.
Näide 1. Kui suurim antud arvudest jagub võrdselt teiste antud arvudega, siis nende arvude LCM on võrdne neist suuremaga. Näiteks antud neli numbrit: 60, 30, 10 ja 6. Igaüks neist jagub 60-ga, seega:
NOC(60; 30; 10; 6) = 60
Muudel juhtudel kasutatakse vähima ühiskordse leidmiseks järgmist protseduuri:
- Määrake antud arvudest suurim arv.
- Järgmiseks leiame arvud, mis on suurima arvu kordsed, korrutades selle kasvavas järjekorras naturaalarvudega ja kontrollides, kas ülejäänud antud arvud jaguvad saadud korrutisega.
Näide 2. Antud on kolm arvu 24, 3 ja 18. Määrake neist suurim – see on arv 24. Järgmiseks leidke 24 kordsed, kontrollides, kas igaüks neist jagub 18 ja 3-ga:
24 1 = 24 jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.
24 2 = 48 - jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.
24 3 \u003d 72 - jagub 3 ja 18-ga.
Seega LCM(24; 3; 18) = 72.
Otsimine järjestikuse leidmise LCM abil
Kolmas viis on LCM-i järjestikuse leidmise teel leida vähim ühiskordne.
Kahe antud arvu LCM võrdub nende arvude korrutisega, mis on jagatud nende suurima ühisjagajaga.
Näide 1. Leidke kahe antud arvu LCM: 12 ja 8. Määrake nende suurim ühisjagaja: GCD (12, 8) = 4. Korrutage need arvud:
Jagame toote nende GCD-ks:
Seega LCM(12, 8) = 24.
Kolme või enama numbri LCM-i leidmiseks kasutatakse järgmist protseduuri.
- Esiteks leitakse mis tahes kahe antud numbri LCM.
- Seejärel leitud vähima ühiskordse ja kolmanda antud arvu LCM.
- Seejärel saadud vähima ühiskordse ja neljanda arvu LCM jne.
- Seega LCM-i otsing jätkub seni, kuni on numbreid.
Näide 2. Leiame kolme antud arvu LCM-i: 12, 8 ja 9. Oleme juba leidnud eelmises näites arvude 12 ja 8 LCM-i (see on arv 24). Jääb üle leida arvu 24 vähim ühiskordne ja kolmas antud arv - 9. Määrake nende suurim ühisjagaja: gcd (24, 9) = 3. Korrutage LCM arvuga 9:
Jagame toote nende GCD-ks:
Seega LCM(12, 8, 9) = 72.
LCM-i arvutamise mõistmiseks peaksite esmalt määrama mõiste "mitu" tähenduse.
A kordne on naturaalarv, mis jagub A-ga ilma jäägita. Seega võib 15, 20, 25 jne lugeda arvu 5 kordajatena.
Konkreetse arvu jagajad võivad olla piiratud kogus, kuid kordusi on lõpmatu arv.
Naturaalarvude ühiskordne on arv, mis jagub nendega ilma jäägita.
Kuidas leida arvude vähim ühiskordne
Arvude vähim ühiskordne (LCM) (kaks, kolm või enam) on väikseim naturaalarv, mis jagub kõigi nende arvudega võrdselt.
NOC leidmiseks võite kasutada mitut meetodit.
Väikeste arvude puhul on mugav kirjutada reale kõik nende arvude kordsed, kuni nende hulgast leitakse ühine. Kordsed on kirjes tähistatud suure K-tähega.
Näiteks saab 4 kordajaid kirjutada järgmiselt:
K(4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Seega näete, et arvude 4 ja 6 vähim ühiskordne on arv 24. See kirje tehakse järgmiselt:
LCM(4, 6) = 24
Kui arvud on suured, leidke kolme või enama arvu ühiskordne, siis on parem kasutada LCM-i arvutamiseks teist viisi.
Ülesande täitmiseks on vaja pakutud arvud algteguriteks lagundada.
Kõigepealt peate välja kirjutama rea suurima arvu laiendused ja selle alla ülejäänud.
Iga numbri laiendamisel võib olla erinev arv tegureid.
Näiteks arvutame arvud 50 ja 20 algteguriteks.
Väiksema arvu laiendamisel tuleks rõhutada tegureid, mis esimese laiendamisel puuduvad. suur hulk ja seejärel lisage need sellele. Esitatud näites on puudu kaks.
Nüüd saame arvutada 20 ja 50 vähima ühiskordse.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Seega on suurema arvu algtegurite ja teise arvu tegurite korrutis, mida suurema arvu dekomponeerimisel ei arvestata, vähim ühiskordne.
Kolme või enama arvu LCM-i leidmiseks tuleks need kõik jagada algteguriteks, nagu eelmisel juhul.
Näiteks võite leida arvude 16, 24, 36 vähima ühiskordse.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Seega ei kaasatud suurema arvu faktorisatsiooni ainult kaks kaheteistkümnendikku kuueteistkümnest (üks on kahekümne nelja dekomponeerimises).
Seega tuleb need lisada suurema arvu lagunemisse.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Vähima ühiskordaja määramisel on erijuhud. Seega, kui ühe arvu saab ilma jäägita jagada teisega, siis neist arvudest suurem on väikseim ühiskordne.
Näiteks kaheteistkümne ja kahekümne nelja liikmelised NOC-d oleksid kakskümmend neli.
Kui on vaja leida koaprarvude vähim ühiskordne, millel ei ole samad jagajad, siis on nende LCM võrdne nende korrutisega.
Näiteks LCM(10, 11) = 110.