یک تابع زوج (فرد) اگر برای هر و برابری نامیده می شود 
.
نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است 
.
نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.
مثال 6.2. زوج یا فرد بودن یک تابع را بررسی کنید
1)
;
2)
;
3)
.
راه حل.
1) تابع زمانی تعریف می شود 
. پیدا خواهیم کرد 
.
آن ها 
. یعنی این تابع یکنواخت است.
2) تابع زمانی تعریف می شود 
آن ها 
. بنابراین، این تابع فرد است.
3) تابع برای تعریف شده است، یعنی. برای
,
. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد. بیایید آن را تابعی از فرم کلی بنامیم.
تابع 
در صورتی که در این بازه هر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر (کوچکتر) تابع مطابقت داشته باشد، در یک بازه معین افزایش (کاهش) نامیده می شود.
به توابع افزایش (کاهش) در یک بازه زمانی معین، یکنواخت می گویند.
اگر تابع 
قابل تفکیک در بازه 
و مشتق مثبت (منفی) دارد 
، سپس تابع 
در این فاصله افزایش (کاهش) می یابد.
مثال 6.3. فواصل یکنواختی توابع را بیابید
1)
;
3)
.
راه حل.
1) این تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. بیایید مشتق را پیدا کنیم.
مشتق برابر با صفر است اگر 
و 
. دامنه تعریف، محور اعداد است که بر نقطه تقسیم می شود 
,
در فواصل زمانی اجازه دهید علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنیم.
در فاصله زمانی 
مشتق منفی است، تابع در این بازه کاهش می یابد.
در فاصله زمانی 
مشتق مثبت است، بنابراین، تابع در این بازه افزایش می یابد.
2) این تابع اگر تعریف می شود 
یا
.
علامت سه جمله درجه دوم را در هر بازه تعیین می کنیم.
بنابراین، دامنه تعریف تابع
بیایید مشتق را پیدا کنیم 
,
، اگر 
، یعنی 
، ولی 
. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم 
.
در فاصله زمانی 
مشتق منفی است، بنابراین، تابع در بازه کاهش می یابد 
. در فاصله زمانی 
مشتق مثبت است، تابع در طول بازه افزایش می یابد 
.
نقطه 
حداکثر (حداقل) نقطه تابع نامیده می شود 
، اگر چنین همسایگی نقطه وجود دارد 
این برای همه است 
از این محله نابرابری وجود دارد 
.
نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط انتهایی می نامند.
اگر تابع 
در نقطه 
دارای یک اکسترموم است، پس مشتق تابع در این نقطه برابر با صفر است یا وجود ندارد (شرط لازم برای وجود اکستروم).
نقاطی که مشتق در آنها صفر است یا وجود ندارد بحرانی نامیده می شوند.
5. شرایط کافی برای وجود افراط.قانون 1. اگر در حین انتقال (از چپ به راست) از نقطه بحرانی 
مشتق 
علامت "+" را به "-" و سپس در نقطه تغییر می دهد 
تابع 
دارای حداکثر؛ اگر از "-" به "+"، سپس حداقل. اگر 
علامت تغییر نمی کند، پس افراطی وجود ندارد.
قانون 2. اجازه دهید در نقطه 
اولین مشتق از یک تابع 
برابر با صفر 
و مشتق دوم وجود دارد و با صفر متفاوت است. اگر 
، آن 
- حداکثر امتیاز، اگر 
، آن 
- حداقل نقطه تابع
مثال 6.4. توابع حداکثر و حداقل را کاوش کنید:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
راه حل.
1) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است 
.
بیایید مشتق را پیدا کنیم 
و معادله را حل کنید 
، یعنی 
.از اینجا 
- نقاط بحرانی.
اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم، 
.
هنگام عبور از نقاط 
و 
مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین، طبق قانون 1 
- حداقل امتیاز
هنگام عبور از یک نقطه 
مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین 
- حداکثر امتیاز
,
.
2) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است 
. بیایید مشتق را پیدا کنیم 
.
با حل معادله 
، پیدا خواهیم کرد 
و 
- نقاط بحرانی. اگر مخرج 
، یعنی 
، پس مشتق وجود ندارد. بنابراین، 
- نقطه حساس سوم اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم.
بنابراین، تابع در نقطه حداقل دارد 
، حداکثر در امتیاز 
و 
.
3) یک تابع تعریف شده و پیوسته است اگر 
، یعنی در 
.
بیایید مشتق را پیدا کنیم 
.
بیایید نکات مهم را پیدا کنیم: 
همسایگی نقاط 
به حوزه تعریف تعلق ندارند، بنابراین افراطی نیستند. بنابراین، اجازه دهید نکات مهم را بررسی کنیم 
و 
.
4) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است 
. بیایید از قانون 2 استفاده کنیم. مشتق را پیدا کنید 
.
بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:
بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم 
و علامت آن را در نقاط مشخص کنید 
در نقاط 
تابع دارای حداقل است.
در نقاط 
تابع دارای حداکثر است.
تعریف 1. تابع فراخوانی می شود زوج(فرد، اگر همراه با هر مقدار متغیر باشد 
معنی - ایکسنیز متعلق است 
و برابری برقرار است
بنابراین، یک تابع تنها در صورتی می تواند زوج یا فرد باشد که دامنه تعریف آن با مبدا مختصات روی خط اعداد متقارن باشد (عدد) ایکسو - ایکسدر همان زمان تعلق دارند 
). به عنوان مثال، تابع 
نه زوج است و نه فرد، زیرا محدوده تعریف آن است 
در مورد منشا متقارن نیست.
تابع 
حتی، زیرا 
متقارن در مورد مبدا و.
تابع 
عجیب است، زیرا 
و 
.
تابع 
زوج و فرد نیست، زیرا اگرچه 
و با توجه به مبدا متقارن است، برابری های (11.1) برآورده نمی شود. مثلا،.
نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است OU، زیرا اگر نقطه 
همچنین متعلق به برنامه است. نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است، زیرا اگر 
متعلق به نمودار، سپس نقطه است 
همچنین متعلق به برنامه است.
هنگام اثبات زوج یا فرد بودن یک تابع، عبارات زیر مفید هستند.
قضیه 1. الف) مجموع دو تابع زوج (فرد) یک تابع زوج (فرد) است.
ب) حاصل ضرب دو تابع زوج (فرد) یک تابع زوج است.
ج) حاصلضرب تابع زوج و فرد، تابع فرد است.
د) اگر f- عملکرد یکنواخت روی مجموعه ایکس، و عملکرد g
در مجموعه تعریف شده است 
، سپس تابع 
- زوج.
د) اگر f- تابع فرد در مجموعه ایکس، و عملکرد g
در مجموعه تعریف شده است 
و زوج (فرد)، سپس تابع 
- زوج فرد).
اثبات. برای مثال، ب) و د) را ثابت کنیم.
ب) اجازه دهید 
و 
- حتی توابع. سپس، بنابراین. مورد توابع فرد نیز به طور مشابه رفتار می شود 
و 
.
د) اجازه دهید f یک تابع زوج است. سپس.
گزاره های باقی مانده از قضیه را می توان به روشی مشابه اثبات کرد. قضیه ثابت شده است.
قضیه 2. هر عملکرد 
، در مجموعه تعریف شده است ایکس، متقارن در مورد مبدا، می تواند به عنوان مجموع توابع زوج و فرد نمایش داده شود.
اثبات. تابع 
را می توان در قالب نوشت
.
تابع 
- حتی، زیرا 
، و عملکرد 
- عجیب است، زیرا بدین ترتیب، 
، جایی که 
- حتی، و 
- توابع فرد قضیه ثابت شده است.
تعریف 2. عملکرد 
تماس گرفت تناوبی، اگر عددی وجود دارد 
، به طوری که برای هر 
شماره 
و 
همچنین به حوزه تعریف تعلق دارند 
و برابری ها برآورده می شود
چنین عددی تیتماس گرفت دوره زمانیکارکرد 
.
از تعریف 1 چنین بر می آید که اگر تی- دوره عملکرد 
، سپس شماره - تییکسان
دوره عملکرد است
(از زمان تعویض تیبر - تیبرابری حفظ می شود). با استفاده از روش استقراء ریاضی می توان نشان داد که اگر تی- دوره عملکرد f، سپس 
، همچنین یک دوره است. نتیجه این است که اگر تابعی دارای دوره باشد، دوره های بی نهایت زیادی دارد.
تعریف 3. کوچکترین دوره های مثبت یک تابع را آن می نامند اصلیدوره زمانی.
قضیه 3. اگر تی- دوره اصلی عملکرد f، سپس دوره های باقیمانده مضرب آن هستند.
اثبات. برعکس فرض کنیم، یعنی دوره ای وجود دارد 
کارکرد f
(
> 0)، چندگانه نیست تی. سپس، تقسیم 
بر تیبا باقی مانده، می گیریم 
، جایی که 
. از همین رو
به این معنا که 
- دوره عملکرد f، و 
، و این با این واقعیت که تی- دوره اصلی عملکرد f. بیان قضیه از تناقض حاصل حاصل می شود. قضیه ثابت شده است.
به خوبی شناخته شده است که توابع مثلثاتی تناوبی هستند. دوره اصلی 
و 
برابر است 
,
و 
. بیایید دوره تابع را پیدا کنیم 
. اجازه دهید 
- دوره این تابع. سپس
(زیرا 
.
oror 
.
معنی تی، که از تساوی اول تعیین می شود، نمی تواند یک دوره باشد، زیرا به آن بستگی دارد ایکس، یعنی تابعی از ایکسو نه یک عدد ثابت. دوره از برابری دوم تعیین می شود: 
. دوره های بی نهایت زیادی وجود دارد، با 
کوچکترین دوره مثبت در به دست می آید 
:
. این دوره اصلی عملکرد است 
.
نمونه ای از تابع تناوبی پیچیده تر تابع دیریکله است
توجه داشته باشید که اگر تیپس یک عدد گویا است 
و 
اعداد گویا برای گویا هستند ایکسو غیرمنطقی وقتی غیر منطقی است ایکس. از همین رو
برای هر عدد گویا تی. بنابراین، هر عدد گویا تیدوره تابع دیریکله است. واضح است که این تابع دوره اصلی ندارد، زیرا موارد مثبت وجود دارد اعداد گویا، به طور دلخواه نزدیک به صفر (به عنوان مثال، یک عدد گویا را می توان انتخاب کرد nخودسرانه نزدیک به صفر).
قضیه 4. اگر تابع f
در مجموعه تعریف شده است ایکسو دوره دارد تی، و عملکرد g
در مجموعه تعریف شده است 
، سپس یک تابع پیچیده 
دوره هم دارد تی.
اثبات. بنابراین، ما داریم
یعنی بیان قضیه ثابت می شود.
به عنوان مثال، از زمانی که cos
ایکس
دوره دارد 
، سپس توابع 
پریود شدن 
.
تعریف 4. توابعی که تناوبی نیستند نامیده می شوند غیر دوره ای.
نحوه درج فرمول های ریاضیبه وب سایت؟
اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار می گیرند. . این روش جهانی علاوه بر سادگی، به بهبود دید سایت در موتورهای جستجو کمک خواهد کرد. برای مدت طولانی کار کرده است (و، من فکر می کنم، برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.
اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.
دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریعتر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از مثال من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.
می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:
یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.
ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.
هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.
الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی انتها، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.
مطالعه عملکرد.
1) D(y) – دامنه تعریف: مجموعه تمام آن مقادیر متغیر x. که برای آن عبارات جبری f(x) و g(x) معنی دارند.
اگر تابعی با فرمول داده شود، دامنه تعریف شامل تمام مقادیر متغیر مستقلی است که فرمول برای آن معنا دارد.
2) ویژگی های تابع: زوج/فرد، تناوب:
توابعی که نمودارهای آنها از نظر تغییر در علامت آرگومان متقارن است، فرد و زوج نامیده می شوند.
تابع فرد تابعی است که با تغییر علامت متغیر مستقل (متقارن نسبت به مرکز مختصات) مقدار خود را به عکس تغییر می دهد.
تابع زوج تابعی است که با تغییر علامت متغیر مستقل (متقارن نسبت به اردین) مقدار خود را تغییر نمی دهد.
نه تابع زوج و نه فرد (تابع نمای کلی) تابعی است که تقارن ندارد. این دسته شامل توابعی است که در 2 دسته قبلی قرار نمی گیرند.
توابعی که به هیچ یک از دسته های بالا تعلق ندارند نامیده می شوند نه زوج و نه فرد(یا توابع عمومی).
توابع فرد
توان فرد که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.
حتی توابع
حتی قدرت که در آن یک عدد صحیح دلخواه است.
تابع تناوبی تابعی است که مقادیر خود را پس از یک بازه آرگومان منظم معین تکرار می کند، یعنی وقتی مقدار ثابت غیر صفر (دوره تابع) را در کل دامنه به آرگومان اضافه می کند، مقدار خود را تغییر نمی دهد. تعریف.
3) صفر (ریشه) یک تابع نقاطی هستند که در آن ها صفر می شود.
پیدا کردن نقطه تلاقی نمودار با محور اوه. برای این کار باید مقدار را محاسبه کنید f(0). همچنین نقاط تلاقی نمودار با محور را پیدا کنید گاو نر، چرا ریشه های معادله را پیدا کنید f(ایکس) = 0 (یا مطمئن شوید که ریشه وجود ندارد).
نقاطی که نمودار محور را قطع می کند، صفر تابع نامیده می شود. برای یافتن صفرهای یک تابع، باید معادله را حل کنید، یعنی آن مقادیر "x" را پیدا کنید که در آن تابع صفر می شود.
4) فواصل ثبات علائم، نشانه ها در آنها.
بازه هایی که تابع f(x) علامت را حفظ می کند.
بازه علامت ثابت فاصله ای است که در هر نقطه آن تابع مثبت یا منفی است.
بالای محور x.
زیر محور.
5) تداوم (نقاط انقطاع، ماهیت ناپیوستگی، مجانب).
یک تابع پیوسته تابعی است بدون "پرش"، یعنی تابعی که در آن تغییرات کوچک در آرگومان منجر به تغییرات کوچکی در مقدار تابع می شود.
نقاط شکست قابل جابجاییاگر حد تابع وجود دارد، اما تابع در این نقطه تعریف نشده است، یا حد با مقدار تابع در این نقطه منطبق نیست:
,
سپس نقطه فراخوانی می شود نقطه شکست قابل جابجاییتوابع (در تحلیل پیچیده، یک نقطه منفرد قابل جابجایی).
اگر تابع را در نقطه ناپیوستگی قابل جابجایی "تصحیح" کنیم و قرار دهیم 
، سپس تابعی دریافت می کنیم که در یک نقطه معین پیوسته است. این عملیات روی یک تابع نامیده می شود گسترش تابع به پیوستهیا تعریف مجدد تابع بر اساس پیوستگی، که نام نقطه را به عنوان یک نقطه توجیه می کند قابل جابجاییپارگی
نقاط ناپیوستگی نوع اول و دوم
اگر تابعی در یک نقطه معین ناپیوستگی داشته باشد (یعنی حد تابع در یک نقطه مشخص وجود نداشته باشد یا با مقدار تابع در یک نقطه مشخص منطبق نباشد)، برای توابع عددی دو گزینه ممکن وجود دارد. مرتبط با وجود توابع عددی محدودیت های یک طرفه:
اگر هر دو حد یک طرفه وجود داشته باشند و متناهی باشند، چنین نقطه ای را نقطه ناپیوستگی نوع اول می نامند. نقاط ناپیوستگی قابل جابجایی نقاط ناپیوستگی از نوع اول هستند.
اگر حداقل یکی از حدهای یک طرفه وجود نداشته باشد یا مقدار محدودی نباشد، چنین نقطه ای را نقطه ناپیوستگی نوع دوم می نامند.
مجانب - سر راست، که این خاصیت را دارد که فاصله یک نقطه از منحنی تا این سر راستبا دور شدن نقطه در امتداد شاخه به سمت بی نهایت به سمت صفر میل می کند.
عمودی
مجانب عمودی - خط حد 
.
به عنوان یک قاعده، هنگام تعیین مجانب عمودی، آنها نه یک حد، بلکه دو یک طرفه (چپ و راست) را جستجو می کنند. این کار به این منظور انجام می‌شود تا مشخص شود که تابع هنگام نزدیک شدن به مجانب عمودی از جهات مختلف چگونه رفتار می‌کند. مثلا:
افقیمجانب افقی - سر راستگونه ها، مشروط به وجود حد
.
مجانب مایل - سر راستگونه ها، مشروط به وجود محدودیت ها
نکته: یک تابع نمی تواند بیش از دو مجانب مورب (افقی) داشته باشد.
نکته: اگر حداقل یکی از دو حد ذکر شده در بالا وجود نداشته باشد (یا برابر باشد)، مجانب مایل در (یا) وجود ندارد.
اگر در مورد 2.)، سپس، و حد با استفاده از فرمول مجانب افقی پیدا می شود، 
.
6) یافتن فواصل یکنواختی. بازه های یکنواختی یک تابع را بیابید f(ایکس)(یعنی فواصل افزایش و کاهش). این کار با بررسی علامت مشتق انجام می شود f(ایکس). برای انجام این کار، مشتق را پیدا کنید f(ایکس) و نابرابری را حل کنید f(ایکس) 0. در فواصل زمانی که این نابرابری برقرار است، تابع f(ایکس)افزایش. جایی که نابرابری معکوس برقرار است f(ایکس)0، تابع f(ایکس) در حال کاهش است.
یافتن یک اکستریم موضعی با یافتن فواصل یکنواختی، می‌توانیم فوراً نقاط انتهایی محلی را تعیین کنیم که در آن افزایش با کاهش جایگزین می‌شود، حداکثرهای محلی قرار دارند و جایی که کاهش با افزایش جایگزین می‌شود، حداقل‌های محلی قرار دارند. مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنید. اگر یک تابع دارای نقاط بحرانی است که نقاط اکستروم محلی نیستند، محاسبه مقدار تابع در این نقاط نیز مفید است.
یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع y = f(x) در یک قطعه (ادامه)
|
1. مشتق تابع را بیابید: f(ایکس). 2. نقاطی که مشتق در آنها صفر است را بیابید: f(ایکس)=0ایکس 1, ایکس 2 ,... 3. وابستگی امتیازات را مشخص کنید ایکس 1 ,ایکس 2 , … بخش [ آ; ب]: اجازه دهید ایکس 1آ;ب، آ ایکس 2آ;ب . |
حتی اگر برای همه \(x\) از دامنه تعریف آن موارد زیر صادق باشد: \(f(-x)=f(x)\) .
نمودار یک تابع زوج متقارن با محور \(y\) است:
مثال: تابع \(f(x)=x^2+\cos x\) زوج است، زیرا \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) یک تابع \(f(x)\) فرد نامیده می شود اگر برای همه \(x\) از دامنه تعریف آن موارد زیر درست باشد: \(f(-x)=-f(x) \) .
نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است:
مثال: تابع \(f(x)=x^3+x\) فرد است زیرا \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) توابعی که نه زوج هستند و نه فرد، توابع شکل کلی نامیده می شوند. چنین تابعی را همیشه می توان به صورت یکتا به صورت مجموع یک تابع زوج و فرد نشان داد.
برای مثال، تابع \(f(x)=x^2-x\) مجموع تابع زوج \(f_1=x^2\) و فرد \(f_2=-x\) است.
\(\مثلث سیاه\) برخی از خواص:
1) حاصلضرب و ضریب دو تابع برابری یکسان یک تابع زوج است.
2) حاصل ضرب و ضریب دو تابع برابری های مختلف یک تابع فرد است.
3) مجموع و تفاضل توابع زوج - تابع زوج.
4) مجموع و تفاضل توابع فرد - تابع فرد.
5) اگر \(f(x)\) یک تابع زوج باشد، معادله \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) ریشه یکتا دارد اگر و فقط زمانی که \( x =0\).
6) اگر \(f(x)\) یک تابع زوج یا فرد باشد و معادله \(f(x)=0\) ریشه \(x=b\) داشته باشد، این معادله لزوما یک ثانیه خواهد داشت. ریشه \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) تابع \(f(x)\) در \(X\) دوره ای نامیده می شود اگر برای برخی از عدد \(T\ne 0\) موارد زیر برقرار باشد: \(f(x)=f( x+T) \) ، جایی که \(x، x+T\در X\). کوچکترین \(T\) که این برابری برای آن برآورده می شود دوره اصلی (اصلی) تابع نامیده می شود.
یک تابع تناوبی هر عددی به شکل \(nT\) دارد، که در آن \(n\in \mathbb(Z)\) نیز نقطه خواهد بود.
مثال: هر تابع مثلثاتیدوره ای است؛
برای توابع \(f(x)=\sin x\) و \(f(x)=\cos x\) دوره اصلی برابر است با \(2\pi\)، برای توابع \(f(x )=\mathrm(tg)\,x\) و \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) دوره اصلی برابر با \(\pi\) است.
برای ساختن نمودار یک تابع تناوبی، می توانید نمودار آن را بر روی هر قطعه ای از طول \(T\) (دوره اصلی) رسم کنید. سپس نمودار کل تابع با جابجایی قسمت ساخته شده با تعداد صحیح نقطه به راست و چپ تکمیل می شود:
\(\blacktriangleright\) دامنه \(D(f)\) تابع \(f(x)\) مجموعه‌ای از تمام مقادیر آرگومان \(x\) است که تابع برای آن معنا دارد. (تعریف شده است).
مثال: تابع \(f(x)=\sqrt x+1\) یک دامنه تعریف دارد: \(x\in
وظیفه 1 #6364
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
معادله در چه مقادیری از پارامتر \(a\) انجام می شود
یک راه حل واحد دارد؟
توجه داشته باشید که از آنجایی که \(x^2\) و \(\cos x\) توابع زوج هستند، اگر معادله ریشه \(x_0\) داشته باشد، ریشه \(-x_0\) نیز خواهد داشت.
در واقع، اجازه دهید \(x_0\) یک ریشه باشد، یعنی برابری \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) درست است. جایگزین \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .
بنابراین، اگر \(x_0\ne 0\) باشد، معادله از قبل حداقل دو ریشه خواهد داشت. بنابراین، \(x_0=0\) . سپس:
ما دو مقدار برای پارامتر \(a\) دریافت کردیم. توجه داشته باشید که ما از این واقعیت استفاده کردیم که \(x=0\) دقیقاً ریشه معادله اصلی است. اما ما هرگز از این واقعیت استفاده نکردیم که او تنها است. بنابراین، باید مقادیر حاصل از پارامتر \(a\) را در معادله اصلی جایگزین کنید و بررسی کنید که ریشه \(x=0\) در کدام \(a\) خاص منحصر به فرد خواهد بود.
1) اگر \(a=0\) باشد، معادله به شکل \(2x^2=0\) خواهد بود. بدیهی است که این معادله فقط یک ریشه \(x=0\) دارد. بنابراین، مقدار \(a=0\) برای ما مناسب است.
2) اگر \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , آنگاه معادله به شکل \ ما معادله را به شکل \از آنجایی که \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) بازنویسی می کنیم. ، سپس \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . در نتیجه، مقادیر سمت راست معادله (*) متعلق به بخش \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) است.
از آنجایی که \(x^2\geqslant 0\) پس سمت چپمعادله (*) بزرگتر یا مساوی \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) است.
بنابراین، تساوی (*) تنها زمانی می تواند صادق باشد که هر دو طرف معادله برابر با \(\mathrm(tg)^2\,1\) باشد. این بدان معناست که \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] بنابراین، مقدار \(a=-\mathrm(tg)\,1\) برای ما مناسب است.
پاسخ:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
وظیفه 2 #3923
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را پیدا کنید که برای هر کدام نمودار تابع \
متقارن در مورد مبدا
اگر نمودار یک تابع نسبت به مبدا متقارن باشد، چنین تابعی فرد است، یعنی \(f(-x)=-f(x)\) برای هر \(x\) از دامنه تعریف برقرار است. از تابع بنابراین، لازم است آن مقادیر پارامتر را پیدا کنید که برای آنها \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(تراز شده) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(تراز شده)\]
آخرین معادله باید برای همه \(x\) از دامنه تعریف \(f(x)\) برآورده شود، بنابراین، \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .
پاسخ:
\(\dfrac n2، n\in\mathbb(Z)\)
وظیفه 3 #3069
سطح وظیفه: برابر با آزمون یکپارچه دولتی
تمام مقادیر پارامتر \(a\) را بیابید که برای هر کدام معادله \ 4 راه حل دارد که \(f\) یک تابع تناوبی زوج با دوره \(T=\dfrac(16)3\) است. در کل خط عددی تعریف شده است، و \(f(x)=ax^2\) برای \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(تکلیف از مشترکین)
از آنجایی که \(f(x)\) یک تابع زوج است، نمودار آن با توجه به محور مختصات متقارن است، بنابراین، برای \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). بنابراین، برای \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) و این قطعه ای از طول \(\dfrac(16)3\ است)، تابع \(f(x)=ax^2\ است. ) .
1) اجازه دهید \(a>0\) . سپس نمودار تابع \(f(x)\) به شکل زیر خواهد بود: 
سپس برای اینکه معادله 4 جواب داشته باشد، لازم است نمودار \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) از نقطه \(A\) عبور کند: 
بنابراین، \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\پایان(تراز شده)\پایان(جمع آوری شده)\راست. \quad\فلش راست چپ\چهار \چپ[\شروع(جمع شده)\شروع(تراز شده) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(تراز شده) \end( جمع شده)\right.\] از آنجایی که \(a>0\) , پس \(a=\dfrac(18)(23)\) مناسب است.
2) اجازه دهید \(a0\)). اگر حاصل ضرب دو ریشه مثبت و مجموع آنها مثبت باشد، خود ریشه ها مثبت خواهند بود. بنابراین، شما نیاز دارید: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a