آیا فکر می کنید که هنوز تا آزمون یکپارچه دولتی زمان باقی است و برای آماده شدن زمان خواهید داشت؟ شاید اینطور باشد. اما در هر صورت، هر چه دانش آموز زودتر آماده سازی را آغاز کند، امتحانات را با موفقیت بیشتری پشت سر می گذارد. امروز تصمیم گرفتیم مقاله ای را به نابرابری های لگاریتمی اختصاص دهیم. این یکی از وظایف است که به معنای فرصتی برای دریافت اعتبار اضافی است.
آیا می دانید لگاریتم چیست؟ ما واقعا امیدواریم. اما حتی اگر پاسخی برای این سوال ندارید، مشکلی نیست. درک اینکه لگاریتم چیست بسیار ساده است.
چرا 4؟ برای بدست آوردن 81 باید عدد 3 را به این توان برسانید. پس از درک اصل، می توانید محاسبات پیچیده تری را انجام دهید.
شما چند سال پیش نابرابری را پشت سر گذاشتید. و از آن زمان شما دائماً در ریاضیات با آنها روبرو شده اید. اگر در حل نابرابری ها مشکل دارید، بخش مربوطه را بررسی کنید.
اکنون که به صورت جداگانه با مفاهیم آشنا شدیم، به بررسی کلی آنها می پردازیم.
ساده ترین نابرابری لگاریتمی
ساده‌ترین نابرابری‌های لگاریتمی به این مثال محدود نمی‌شوند، فقط سه علامت مختلف وجود دارد. چرا این لازم است؟ برای درک بهتر نحوه حل نابرابری ها با لگاریتم. اکنون بیایید یک مثال کاربردی تر ارائه دهیم، هنوز هم کاملاً ساده است.
چگونه این را حل کنیم؟ همه چیز با ODZ شروع می شود. اگر می خواهید همیشه هر نابرابری را به راحتی حل کنید، ارزش دانستن بیشتر در مورد آن را دارد.
ODZ چیست؟ ODZ برای نابرابری های لگاریتمی
مخفف عبارت area است ارزش های قابل قبول. این فرمول اغلب در وظایف آزمون یکپارچه دولتی مطرح می شود. ODZ نه تنها در این مورد برای شما مفید خواهد بود نابرابری های لگاریتمی.
دوباره به مثال بالا نگاه کنید. ما ODZ را بر اساس آن در نظر می گیریم تا اصل را بفهمید و حل نابرابری های لگاریتمی سوالی ایجاد نمی کند. از تعریف لگاریتم به دست می آید که 2x+4 باید بزرگتر از صفر باشد. در مورد ما این به معنای زیر است.
این عدد طبق تعریف باید مثبت باشد. نابرابری ارائه شده در بالا را حل کنید. در اینجا مشخص است که X نمی تواند کمتر از 2 باشد. راه حل این نابرابری، تعریف محدوده مقادیر قابل قبول خواهد بود.
حالا بیایید به حل ساده ترین نابرابری لگاریتمی برویم.
ما خود لگاریتم ها را از هر دو طرف نابرابری کنار می گذاریم. در نتیجه چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ نابرابری ساده
حلش سخت نیست X باید بزرگتر از -0.5 باشد. اکنون دو مقدار بدست آمده را در یک سیستم ترکیب می کنیم. بدین ترتیب،
این محدوده مقادیر قابل قبول برای نابرابری لگاریتمی مورد بررسی خواهد بود.
چرا اصلاً به ODZ نیاز داریم؟ این فرصتی است برای از بین بردن پاسخ های نادرست و غیرممکن. اگر پاسخ در محدوده مقادیر قابل قبول نباشد، پاسخ به سادگی معنا ندارد. این ارزش را برای مدت طولانی به یاد داشته باشید، زیرا در آزمون یکپارچه دولتی اغلب نیاز به جستجوی ODZ وجود دارد، و این نه تنها به نابرابری های لگاریتمی مربوط می شود.
الگوریتم حل نابرابری لگاریتمی
راه حل شامل چندین مرحله است. ابتدا باید محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کنید. دو مقدار در ODZ وجود خواهد داشت که در بالا در مورد آن صحبت کردیم. بعد، باید خود نابرابری را حل کنید. روش های حل به شرح زیر است:
- روش جایگزینی چند برابر؛
- تجزیه؛
- روش منطقی سازی
بسته به موقعیت، ارزش استفاده از یکی از روش های فوق را دارد. بیایید مستقیماً به سراغ راه حل برویم. بیایید محبوب ترین روش را نشان دهیم که تقریباً در همه موارد برای حل وظایف آزمون یکپارچه ایالت مناسب است. در ادامه به بررسی روش تجزیه خواهیم پرداخت. اگر با یک نابرابری خاص مواجه شدید، می تواند کمک کند. بنابراین، یک الگوریتم برای حل نابرابری لگاریتمی.
نمونه هایی از راه حل ها :
بیخود نیست که ما دقیقاً این نابرابری را گرفتیم! به پایه توجه کنید. به یاد داشته باشید: اگر بزرگتر از یک باشد، هنگام یافتن محدوده مقادیر قابل قبول، علامت ثابت می ماند. در غیر این صورت، باید علامت نابرابری را تغییر دهید.
در نتیجه، نابرابری را دریافت می کنیم:
اکنون ارائه می دهیم سمت چپبه شکل معادله برابر با صفر. به جای علامت «کمتر از»، «برابر» قرار می دهیم و معادله را حل می کنیم. بنابراین، ما ODZ را پیدا خواهیم کرد. ما امیدواریم که با یک راه حل برای این معادله سادههیچ مشکلی نخواهی داشت پاسخ ها -4 و -2 هستند. این همش نیست. باید این نقاط را با قرار دادن «+» و «-» روی نمودار نمایش دهید. برای این کار چه باید کرد؟ اعداد را از فواصل در عبارت جایگزین کنید. در جایی که مقادیر مثبت هستند، "+" را در آنجا قرار می دهیم.
پاسخ: x نمی تواند بزرگتر از -4 و کوچکتر از -2 باشد.
ما محدوده مقادیر قابل قبول را فقط برای سمت چپ پیدا کرده ایم، اکنون باید محدوده مقادیر قابل قبول را برای سمت راست پیدا کنیم. این خیلی راحت تر است. پاسخ: -2. هر دو ناحیه حاصل را قطع می کنیم.
و تنها اکنون ما شروع به پرداختن به خود نابرابری می کنیم.
بیایید آن را تا حد امکان ساده کنیم تا حل آن آسان تر شود.
ما دوباره از روش فاصله در محلول استفاده می کنیم. بیایید از محاسبات بگذریم. پاسخ.
اما این روش در صورتی مناسب است که نابرابری لگاریتمی دارای پایه های یکسان باشد.
حل معادلات لگاریتمی و نامساوی با پایه های مختلف نیاز به کاهش اولیه به یک پایه دارد. در مرحله بعد از روشی که در بالا توضیح داده شد استفاده کنید. اما بیشتر وجود دارد مورد دشوار. بیایید یکی از مهمترین آنها را در نظر بگیریم انواع پیچیدهنابرابری های لگاریتمی
نابرابری های لگاریتمی با پایه متغیر
چگونه می توان نابرابری ها را با چنین ویژگی هایی حل کرد؟ بله، و چنین افرادی را می توان در آزمون یکپارچه دولتی یافت. حل نابرابری ها به روش زیر نیز تاثیر مفیدی در روند آموزشی شما خواهد داشت. بیایید با جزئیات به موضوع نگاه کنیم. بیایید تئوری را کنار بگذاریم و مستقیماً به سراغ عمل برویم. برای حل نابرابری های لگاریتمی کافی است یک بار با مثال آشنا شوید.
برای حل یک نابرابری لگاریتمی شکل ارائه شده، لازم است سمت راست را به لگاریتمی با پایه یکسان کاهش دهیم. این اصل شبیه انتقال های معادل است. در نتیجه، نابرابری به این شکل خواهد بود.
در واقع، تنها چیزی که باقی می‌ماند ایجاد سیستمی از نابرابری‌ها بدون لگاریتم است. با استفاده از روش منطقی سازی، به سیستم معادلی از نابرابری ها می رویم. وقتی مقادیر مناسب را جایگزین کنید و تغییرات آنها را دنبال کنید، خود قانون را درک خواهید کرد. این سیستم دارای نابرابری های زیر خواهد بود.
هنگام استفاده از روش منطقی سازی هنگام حل نابرابری ها، باید موارد زیر را به خاطر بسپارید: یکی باید از پایه کم شود، x، با تعریف لگاریتم، از هر دو طرف نابرابری (راست از چپ) کم می شود، دو عبارت ضرب می شود. و در زیر علامت اصلی نسبت به صفر قرار دهید.
راه حل بیشتر با استفاده از روش فاصله انجام می شود، همه چیز در اینجا ساده است. برای شما مهم است که تفاوت در روش های راه حل را درک کنید، سپس همه چیز به راحتی شروع به کار می کند.
تفاوت های ظریف زیادی در نابرابری های لگاریتمی وجود دارد. حل ساده ترین آنها بسیار آسان است. چگونه می توانید هر یک از آنها را بدون مشکل حل کنید؟ شما قبلا تمام پاسخ ها را در این مقاله دریافت کرده اید. اکنون تمرین طولانی در پیش رو دارید. به طور مداوم حل انواع مسائل را در امتحان تمرین کنید و خواهید توانست بالاترین امتیاز را کسب کنید. برای شما در کار دشوار خود موفق باشید!
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثناها:
- در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
نابرابری های لگاریتمی
در درس های قبلی با معادلات لگاریتمی آشنا شدیم و اکنون می دانیم که آنها چیست و چگونه آنها را حل کنیم. درس امروز به بررسی نابرابری های لگاریتمی اختصاص دارد. این نابرابری ها چیست و چه تفاوتی بین حل معادله لگاریتمی و نابرابری وجود دارد؟
نابرابری های لگاریتمی نابرابری هایی هستند که دارای متغیری هستند که در زیر علامت لگاریتم یا در پایه آن ظاهر می شود.
یا همچنین می توان گفت که نابرابری لگاریتمی نابرابری است که مقدار مجهول آن، مانند یک معادله لگاریتمی، در زیر علامت لگاریتم ظاهر می شود.
ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به شکل زیر است:
که در آن f(x) و g(x) عباراتی هستند که به x بستگی دارند.
بیایید با استفاده از این مثال به این موضوع نگاه کنیم: f(x)=1+2x+x2، g(x)=3x−1.
حل نابرابری های لگاریتمی
قبل از حل نابرابری های لگاریتمی، شایان ذکر است که هنگام حل آنها مشابه نامعادله های نمایی هستند، یعنی:
ابتدا، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، همچنین باید پایه لگاریتم را با یک مقایسه کنیم.
ثانیاً، هنگام حل یک نابرابری لگاریتمی با استفاده از تغییر متغیرها، باید نابرابری ها را با توجه به تغییر حل کنیم تا زمانی که ساده ترین نابرابری را بدست آوریم.
اما من و شما جنبه های مشابهی را برای حل نابرابری های لگاریتمی در نظر گرفته ایم. حالا بیایید به یک تفاوت نسبتاً مهم توجه کنیم. من و شما می دانیم که تابع لگاریتمی دامنه تعریف محدودی دارد، بنابراین، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، باید محدوده مقادیر مجاز (ADV) را در نظر بگیریم.
یعنی باید در نظر داشت که در حل معادله لگاریتمی، من و شما می توانیم ابتدا ریشه های معادله را پیدا کنیم و سپس این راه حل را بررسی کنیم. اما حل یک نابرابری لگاریتمی به این روش کار نخواهد کرد، زیرا حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، نوشتن ODZ نابرابری ضروری است.
علاوه بر این، لازم به یادآوری است که نظریه نابرابری ها از اعداد حقیقی تشکیل شده است که مثبت و اعداد منفیو همچنین عدد 0.
به عنوان مثال، وقتی عدد "a" مثبت است، باید از نماد زیر استفاده کنید: a >0. در این صورت هم جمع و هم حاصلضرب این اعداد نیز مثبت خواهند بود.
اصل اصلی برای حل یک نابرابری این است که آن را با یک نابرابری ساده تر جایگزین کنیم، اما نکته اصلی این است که معادل با داده شده باشد. علاوه بر این، ما نیز یک نابرابری به دست آوردیم و دوباره آن را با یکی که شکل ساده تری دارد و غیره جایگزین کردیم.
هنگام حل نابرابری ها با یک متغیر، باید تمام راه حل های آن را پیدا کنید. اگر دو نامعادله دارای متغیر x یکسانی باشند، آنگاه این نامعادله ها معادل هستند، مشروط بر اینکه جواب های آنها بر هم منطبق باشد.
هنگام انجام وظایف برای حل نابرابری های لگاریتمی، باید به خاطر داشته باشید که وقتی a> 1 باشد، تابع لگاریتمی افزایش می یابد و زمانی که 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
روش های حل نابرابری های لگاریتمی
حال بیایید به برخی از روش هایی که هنگام حل نامساوی لگاریتمی انجام می شود نگاه کنیم. برای درک بهتر و شبیه سازی، سعی می کنیم با استفاده از مثال های خاص آنها را درک کنیم.
همه ما می دانیم که ساده ترین نابرابری لگاریتمی به شکل زیر است:
در این نابرابری، V – یکی از علائم نابرابری زیر است:<,>، ≤ یا ≥.
هنگامی که پایه یک لگاریتم معین بزرگتر از یک باشد (a>1)، انتقال از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، در این نسخه علامت نابرابری حفظ می شود و نابرابری به شکل زیر خواهد بود:
که معادل این سیستم است:
در حالتی که پایه لگاریتم بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک باشد (0 معادل این سیستم است: بیایید نمونه های بیشتری از حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی نشان داده شده در تصویر زیر را بررسی کنیم: ورزش.بیایید سعی کنیم این نابرابری را حل کنیم: حل محدوده مقادیر قابل قبول. حالا بیایید سعی کنیم سمت راست آن را در ضرب کنیم: بیایید ببینیم چه چیزی می توانیم به دست آوریم: حالا بیایید به تبدیل عبارات زیر لگاریتمی بپردازیم. با توجه به اینکه پایه لگاریتم 0 است< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; و از این نتیجه می شود که فاصله ای که به دست آوردیم کاملاً متعلق به ODZ است و راه حلی برای چنین نابرابری است. پاسخی که گرفتیم این است: حال بیایید سعی کنیم آنچه را که برای حل موفقیت آمیز نابرابری های لگاریتمی نیاز داریم، تجزیه و تحلیل کنیم؟ ابتدا تمام توجه خود را متمرکز کنید و سعی کنید هنگام انجام دگرگونی هایی که در این نابرابری داده می شود اشتباه نکنید. همچنین، باید به خاطر داشت که هنگام حل این گونه نابرابری ها، باید از انبساط و انقباض نابرابری ها که می تواند منجر به از دست دادن یا دستیابی به راه حل های اضافی شود، اجتناب کرد. ثانیاً، هنگام حل نابرابری های لگاریتمی، باید یاد بگیرید که منطقی فکر کنید و تفاوت بین مفاهیمی مانند سیستم نابرابری ها و مجموعه ای از نابرابری ها را درک کنید، تا بتوانید به راحتی راه حل های نابرابری را انتخاب کنید، در حالی که توسط DL آن هدایت می شوید. ثالثاً، برای حل موفقیت آمیز چنین نابرابری ها، هر یک از شما باید تمام ویژگی های توابع ابتدایی را کاملاً بدانید و معنای آنها را به وضوح درک کنید. چنین توابعی نه تنها لگاریتمی، بلکه منطقی، توانی، مثلثاتی و غیره را نیز شامل می شود، در یک کلام، همه آنهایی که شما در سراسر آن مطالعه کرده اید. تحصیل در مدرسهجبر همانطور که می بینید با مطالعه مبحث نابرابری های لگاریتمی، حل این نابرابری ها مشکلی ندارد، مشروط بر اینکه در رسیدن به اهداف خود دقت و پشتکار داشته باشید. برای جلوگیری از هرگونه مشکل در حل نابرابری ها، باید تا حد امکان تمرین کنید، وظایف مختلف را حل کنید و در عین حال روش های اساسی حل این نابرابری ها و سیستم های آنها را به خاطر بسپارید. اگر نتوانستید نابرابری های لگاریتمی را حل کنید، باید اشتباهات خود را به دقت تجزیه و تحلیل کنید تا در آینده دوباره به آنها برنگردید. برای درک بهتر موضوع و ادغام مطالب مطرح شده، نابرابری های زیر را حل کنید: اگر نابرابری دارای تابع لگاریتمی باشد، لگاریتمی نامیده می شود. روش‌های حل نابرابری‌های لگاریتمی، به جز دو مورد، هیچ تفاوتی ندارند. اولاً، هنگام انتقال از نابرابری لگاریتمی به نامساوی توابع زیر لگاریتمی، باید علامت نابرابری حاصل را دنبال کنید. از قانون زیر پیروی می کند. اگر پایه تابع لگاریتمی بزرگتر از $1 باشد، هنگام انتقال از نابرابری لگاریتمی به نامساوی توابع زیر لگاریتمی، علامت نابرابری حفظ می شود، اما اگر کمتر از $1 باشد، به عکس تغییر می کند. . ثانیاً راه حل هر نابرابری یک بازه است و بنابراین در پایان حل نابرابری توابع زیر لگاریتمی باید یک سیستم دو نامساوی ایجاد کرد: اولین نامساوی این سیستم نابرابری توابع زیر لگاریتمی خواهد بود. و دومی بازه دامنه تعریف توابع لگاریتمی موجود در نابرابری لگاریتمی خواهد بود. بیایید نابرابری ها را حل کنیم: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ پایه لگاریتم $2>1$ است، بنابراین علامت تغییر نمی کند. با استفاده از تعریف لگاریتم، به دست می آوریم: $x+3 \geq 2^(3)،$ $x \in ) 
حل مثال ها
3x > 24;
x > 8. 
برای حل نابرابری های لگاریتمی چه چیزی لازم است؟
مشق شب
تمرین.