Oscillazione armonica meccanica- si tratta di un movimento rettilineo irregolare in cui le coordinate di un corpo oscillante (punto materiale) cambiano secondo la legge del coseno o del seno a seconda del tempo.
Secondo questa definizione, la legge del cambiamento delle coordinate in funzione del tempo ha la forma:
Dove wt è la quantità sotto il segno coseno o seno; w- coefficiente, il cui significato fisico verrà svelato di seguito; A è l'ampiezza delle vibrazioni armoniche meccaniche.
Le equazioni (4.1) sono le equazioni cinematiche di base delle vibrazioni armoniche meccaniche.
Considera il seguente esempio. Prendiamo l'asse del Bue (Fig. 64). Dal punto 0 disegniamo un cerchio con raggio R = A. Lasciamo che il punto M dalla posizione 1 inizi a muoversi attorno al cerchio a velocità costante v(o con velocità angolare costante w, v = wА). Dopo un po' di tempo t il raggio ruoterà di un angolo f: f=peso.
Con un tale movimento circolare del punto M, la sua proiezione sull'asse x M x si sposterà lungo l'asse x, la cui coordinata x sarà uguale a x = A cos f = = A cos peso. Pertanto, se un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio A, il cui centro coincide con l'origine delle coordinate, la proiezione di questo punto sull'asse x (e sull'asse y) produrrà vibrazioni meccaniche armoniche.
Se si conoscono il valore wt, che è sotto il segno del coseno, e l'ampiezza A, allora x può essere determinato anche nell'equazione (4.1).
La quantità w, che sta sotto il segno del coseno (o seno), che determina in modo univoco la coordinata del punto oscillante ad una data ampiezza, è chiamata fase di oscillazione. Per un punto M che si muove lungo una circonferenza, il valore w indica la sua velocità angolare. Qual è il significato fisico del valore w per un punto M x che compie oscillazioni armoniche meccaniche? Le coordinate del punto oscillante M x sono le stesse in un certo punto nel tempo t e (T +1) (dalla definizione di periodo T), cioè A cos peso = A cos w (t + T), il che significa che w(t + T) - peso = 2 PI(dalla proprietà della periodicità della funzione coseno). Ne consegue che
Di conseguenza, per un punto materiale che effettua oscillazioni meccaniche armoniche, il valore di w può essere interpretato come il numero di oscillazioni per un certo ciclo tempo uguale 2l. Quindi il valore w chiamato ciclico(O circolare) frequenza.
Se il punto M inizia il suo movimento non dal punto 1 ma dal punto 2, l’equazione (4.1) assumerà la forma:
Misurare f0 chiamato fase iniziale.
Troviamo la velocità del punto M x come derivata della coordinata rispetto al tempo:
Definiamo l'accelerazione di un punto che oscilla secondo una legge armonica come la derivata della velocità:
Dalla formula (4.4) è chiaro che anche la velocità di un punto che compie oscillazioni armoniche cambia secondo la legge del coseno. Ma la velocità di fase è in anticipo rispetto alla coordinata PI/2. L'accelerazione durante un'oscillazione armonica varia secondo la legge del coseno, ma è in anticipo rispetto alla coordinata in fase P. L'equazione (4.5) può essere scritta in termini della coordinata x:
L'accelerazione durante le vibrazioni armoniche è proporzionale allo spostamento con segno opposto. Moltiplichiamo i lati destro e sinistro dell'equazione (4.5) per la massa del punto materiale oscillante m, otteniamo le seguenti relazioni:
Secondo la seconda legge di Newton, il significato fisico del membro destro dell’espressione (4.6) è la proiezione della forza F x, che fornisce un movimento meccanico armonico:
Il valore di F x è proporzionale allo spostamento x ed è diretto in senso opposto ad esso. Un esempio di tale forza è la forza elastica, la cui grandezza è proporzionale alla deformazione e diretta in modo opposto ad essa (legge di Hooke).
Lo schema di accelerazione rispetto allo spostamento, che segue dall'equazione (4.6), che abbiamo considerato per le oscillazioni armoniche meccaniche, può essere generalizzato e applicato quando si considerano oscillazioni di diversa natura fisica (ad esempio, una variazione di corrente in un circuito oscillatorio, un variazione di carica, tensione, induzione campo magnetico eccetera.). Pertanto, l'equazione (4.8) è chiamata equazione principale dinamica armonica.
Consideriamo il movimento di una molla e un pendolo matematico.
Sia una molla (Fig. 63), disposta orizzontalmente e fissata nel punto 0, fissata ad un'estremità a un corpo di massa m, che può muoversi lungo l'asse x senza attrito. Sia il coefficiente di rigidezza della molla uguale a k. Rimuoviamo il corpo m mediante una forza esterna dalla posizione di equilibrio e liberiamolo. Allora lungo l’asse x sul corpo agirà solo una forza elastica che, secondo la legge di Hooke, sarà pari a: F yпp = -kx.
L'equazione del moto di questo corpo sarà:
Confrontando le equazioni (4.6) e (4.9), traiamo due conclusioni:
Dalle formule (4.2) e (4.10) si ricava la formula per il periodo di oscillazione del carico sulla molla:
Un pendolo matematico è un corpo di massa m sospeso su un lungo filo inestensibile di massa trascurabile. Nella posizione di equilibrio, su questo corpo agiranno la forza di gravità e la forza elastica del filo. Queste forze si bilanceranno a vicenda.
Se il filo è inclinato ad angolo UN dalla posizione di equilibrio, quindi le stesse forze agiscono sul corpo, ma non si bilanciano più e il corpo inizia a muoversi lungo un arco sotto l'influenza della componente di gravità diretta lungo la tangente all'arco e pari a mg sin UN.
L’equazione del moto del pendolo assume la forma:
Il segno meno a destra significa che la forza F x = mg sin a è diretta contro lo spostamento. Oscillazione armonica avverrà a piccoli angoli di deflessione, cioè forniti un 2* peccato UN.
Sostituiamo il peccato e dentro equazione (4.12), otteniamo la seguente equazione.
Le oscillazioni armoniche sono oscillazioni eseguite secondo le leggi del seno e del coseno. La figura seguente mostra un grafico delle variazioni delle coordinate di un punto nel tempo secondo la legge del coseno.
immagine
Ampiezza di oscillazione
Si chiama l'ampiezza di un'oscillazione armonica valore più alto spostamento di un corpo dalla sua posizione di equilibrio. L'ampiezza può assumere valori diversi. Dipenderà da quanto sposteremo il corpo momento iniziale tempo dalla posizione di equilibrio.
L'ampiezza è determinata condizioni iniziali, cioè l'energia impartita al corpo nell'istante iniziale. Poiché seno e coseno possono assumere valori compresi tra -1 e 1, l'equazione deve contenere un fattore Xm, che esprime l'ampiezza delle oscillazioni. Equazione del moto per le vibrazioni armoniche:
x = Xm*cos(ω0*t).
Periodo di oscillazione
Il periodo di oscillazione è il tempo necessario per completare un'oscillazione completa. Il periodo di oscillazione è indicato con la lettera T. Le unità di misura del periodo corrispondono alle unità di tempo. Cioè, in SI questi sono secondi.
La frequenza di oscillazione è il numero di oscillazioni eseguite per unità di tempo. La frequenza di oscillazione è indicata dalla lettera ν. La frequenza di oscillazione può essere espressa in termini di periodo di oscillazione.
ν = 1/T.
Le unità di frequenza sono in SI 1/sec. Questa unità di misura si chiama Hertz. Il numero di oscillazioni in un tempo di 2*pi secondi sarà pari a:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
Frequenza di oscillazione
Questa quantità è chiamata frequenza ciclica delle oscillazioni. In alcune pubblicazioni appare il nome frequenza circolare. La frequenza naturale di un sistema oscillatorio è la frequenza delle oscillazioni libere.
La frequenza delle oscillazioni naturali viene calcolata utilizzando la formula:
La frequenza delle vibrazioni naturali dipende dalle proprietà del materiale e dalla massa del carico. Maggiore è la rigidità della molla, maggiore è la frequenza delle sue stesse vibrazioni. Maggiore è la massa del carico, minore è la frequenza delle oscillazioni naturali.
Queste due conclusioni sono ovvie. Più rigida è la molla, maggiore sarà l'accelerazione che impartirà al corpo quando il sistema viene sbilanciato. Quanto maggiore è la massa di un corpo, tanto più lenta cambierà la velocità di questo corpo.
Periodo di oscillazione libera:
T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)
È interessante notare che a piccoli angoli di deflessione il periodo di oscillazione del corpo sulla molla e il periodo di oscillazione del pendolo non dipenderanno dall'ampiezza delle oscillazioni.
Scriviamo le formule per il periodo e la frequenza delle oscillazioni libere di un pendolo matematico.
allora il periodo sarà uguale
T = 2*pi*√(l/g).
Questa formula sarà valida solo per piccoli angoli di deflessione. Dalla formula vediamo che il periodo di oscillazione aumenta con l'aumentare della lunghezza del filo del pendolo. Maggiore è la lunghezza, più corpo più lento oscillerà.
Il periodo di oscillazione non dipende affatto dalla massa del carico. Ma dipende dall'accelerazione caduta libera. Al diminuire di g, il periodo di oscillazione aumenterà. Questa proprietà è ampiamente utilizzata nella pratica. Ad esempio, per misurare valore esatto accelerazione libera.
Vibrazioni armoniche
Grafici di funzioni F(X) = peccato( X) E G(X) = cos( X) sul piano cartesiano.
Oscillazione armonica- oscillazioni in cui una grandezza fisica (o qualsiasi altra) cambia nel tempo secondo una legge sinusoidale o coseno. L'equazione cinematica delle oscillazioni armoniche ha la forma
,Dove X- spostamento (deviazione) del punto oscillante dalla posizione di equilibrio al tempo t; UN- ampiezza delle oscillazioni, è il valore che determina la massima deviazione del punto oscillante dalla posizione di equilibrio; ω - frequenza ciclica, valore che indica il numero di oscillazioni complete che si verificano entro 2π secondi - fase completa delle oscillazioni, - fase iniziale delle oscillazioni.
Oscillazione armonica generalizzata in forma differenziale
(Qualsiasi soluzione non banale a questa equazione differenziale è un'oscillazione armonica con frequenza ciclica)
Tipi di vibrazioni
Evoluzione temporale di spostamento, velocità e accelerazione nel moto armonico
- Vibrazioni libere vengono effettuate sotto l'influenza delle forze interne del sistema dopo che il sistema è stato rimosso dalla sua posizione di equilibrio. Affinché le oscillazioni libere siano armoniche, è necessario che il sistema oscillatorio sia lineare (descritto da equazioni lineari del moto), e non vi sia in esso alcuna dissipazione di energia (quest'ultima causerebbe attenuazione).
- Vibrazioni forzate vengono eseguiti sotto l'influenza di una forza periodica esterna. Perché siano armonici, è sufficiente che il sistema oscillatorio sia lineare (descritto da equazioni lineari del moto) e che la forza esterna stessa cambi nel tempo come un'oscillazione armonica (cioè che la dipendenza dal tempo di questa forza sia sinusoidale) .
Applicazione
Le vibrazioni armoniche si distinguono da tutti gli altri tipi di vibrazioni per i seguenti motivi:
Guarda anche
Appunti
Letteratura
- Fisica. Libro di testo elementare Fisica / Ed. GS Lansberg. - 3a ed. - M., 1962. - T. 3.
- Khaikin S.E. Fondamenti fisici della meccanica. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Fondamenti fisici della meccanica. -Ed. MSTU im. Baumann, 2006.
- Gorelik G.S. Oscillazioni e onde. Introduzione all'acustica, alla radiofisica e all'ottica. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 p.
Fondazione Wikimedia. 2010.
Scopri cosa sono le "oscillazioni armoniche" in altri dizionari:
Enciclopedia moderna
Vibrazioni armoniche- VIBRAZIONI ARMONICHE, variazioni periodiche di una grandezza fisica che avvengono secondo la legge del seno. Graficamente, le oscillazioni armoniche sono rappresentate da una curva sinusoidale. Vibrazioni armoniche la forma più semplice movimenti periodici, caratterizzati da... Dizionario enciclopedico illustrato
Oscillazioni in cui una grandezza fisica cambia nel tempo secondo la legge del seno o del coseno. Graficamente, i GK sono rappresentati da un'onda sinusoidale curva o onda coseno (vedi figura); possono essere scritti nella forma: x = Asin (ωt + φ) oppure x... Grande Enciclopedia Sovietica
VIBRAZIONI ARMONICHE, moto periodico come il moto di un PENDOLO, vibrazioni atomiche o vibrazioni in circuito elettrico. Un corpo compie oscillazioni armoniche non smorzate quando oscilla lungo una linea, muovendo la stessa... ... Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico
Oscillazioni, con quali fisiche (o qualsiasi altra) quantità cambia nel tempo secondo una legge sinusoidale: x=Asin(wt+j), dove x è il valore della quantità fluttuante in un dato momento. momento del tempo t (per G.K. meccanico, ad esempio, spostamento o velocità, per ... ... Enciclopedia fisica
vibrazioni armoniche- Oscillazioni meccaniche, in cui la coordinata generalizzata e (o) la velocità generalizzata cambiano in proporzione al seno con un argomento linearmente dipendente dal tempo. [Raccolta di termini consigliati. Numero 106. Vibrazioni meccaniche. Accademia delle Scienze… Guida del traduttore tecnico
Oscillazioni, con quali fisiche (o qualsiasi altra) quantità cambia nel tempo secondo una legge sinusoidale, dove x è il valore della quantità oscillante al tempo t (per i sistemi idraulici meccanici, ad esempio, spostamento e velocità, per tensione elettrica e intensità di corrente) ... Enciclopedia fisica
VIBRAZIONI ARMONICHE- (vedi), in cui fisico. una quantità cambia nel tempo secondo la legge del seno o del coseno (ad esempio, cambia (vedi) e la velocità durante l'oscillazione (vedi) o cambia (vedi) e l'intensità della corrente durante i circuiti elettrici) ... Grande Enciclopedia del Politecnico
Sono caratterizzati da una variazione del valore oscillante x (ad esempio, la deviazione del pendolo dalla posizione di equilibrio, la tensione nel circuito di corrente alternata, ecc.) nel tempo t secondo la legge: x = Asin (?t + ?), dove A è l'ampiezza delle oscillazioni armoniche, ? angolo... ... Grande dizionario enciclopedico
Vibrazioni armoniche- 19. Oscillazioni armoniche Oscillazioni in cui i valori della grandezza oscillante cambiano nel tempo secondo la legge Fonte ... Dizionario-libro di consultazione dei termini della documentazione normativa e tecnica
Periodico fluttuazioni, in cui i cambiamenti nel tempo fisico. le quantità si verificano secondo la legge del seno o coseno (vedi figura): s = Аsin(wt+ф0), dove s è la deviazione della quantità oscillante dalla sua media. valore (di equilibrio), A=cost ampiezza, w= cost circolare... Grande Dizionario Enciclopedico Politecnico
I cambiamenti di qualsiasi quantità sono descritti utilizzando le leggi del seno o del coseno, quindi tali oscillazioni sono chiamate armoniche. Consideriamo un circuito costituito da un condensatore (che veniva caricato prima di essere inserito nel circuito) e un induttore (Fig. 1).
Immagine 1.
L’equazione della vibrazione armonica può essere scritta come segue:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
dove $t$ è il tempo; Addebito $q$, $q_0$-- deviazione massima dell'addebito dal suo valore medio (zero) durante le modifiche; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fase di oscillazione; $(\alpha )_0$- fase iniziale; $(\omega )_0$ - frequenza ciclica. Durante il periodo, la fase cambia di $2\pi $.
Equazione della forma:
equazione delle oscillazioni armoniche in forma differenziale per un circuito oscillatorio che non conterrà resistenza attiva.
Qualsiasi tipo di oscillazioni periodiche può essere rappresentato accuratamente come una somma di oscillazioni armoniche, le cosiddette serie armoniche.
Per il periodo di oscillazione di un circuito costituito da una bobina e un condensatore si ottiene la formula di Thomson:
Se differenziamo l'espressione (1) rispetto al tempo, possiamo ottenere la formula per la funzione $I(t)$:
La tensione ai capi del condensatore può essere trovata come:
Dalle formule (5) e (6) segue che l'intensità della corrente è superiore alla tensione sul condensatore di $\frac(\pi )(2).$
Le oscillazioni armoniche possono essere rappresentate sia sotto forma di equazioni, funzioni e diagrammi vettoriali.
L'equazione (1) rappresenta oscillazioni libere non smorzate.
Equazione dell'oscillazione smorzata
La variazione di carica ($q$) sulle piastre del condensatore nel circuito, tenendo conto della resistenza (Fig. 2), sarà descritta da un'equazione differenziale della forma:
Figura 2.
Se la resistenza che fa parte del circuito $R\
dove $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ è la frequenza di oscillazione ciclica. $\beta =\frac(R)(2L)-$coefficiente di smorzamento. L’ampiezza delle oscillazioni smorzate è espressa come:
Se per $t=0$ la carica sul condensatore è pari a $q=q_0$ e non c'è corrente nel circuito, allora per $A_0$ possiamo scrivere:
La fase delle oscillazioni nell'istante iniziale ($(\alpha )_0$) è pari a:
Quando $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ la variazione di carica non è un'oscillazione, la scarica del condensatore si dice aperiodica.
Esempio 1
Esercizio: Valore massimo la carica è pari a $q_0=10\ C$. Varia armonicamente con un periodo di $T= 5 s$. Determinare la corrente massima possibile.
Soluzione:
Come base per risolvere il problema utilizziamo:
Per trovare l'intensità attuale, l'espressione (1.1) deve essere differenziata rispetto al tempo:
dove il massimo (valore di ampiezza) della forza attuale è l'espressione:
Dalle condizioni del problema conosciamo il valore dell'ampiezza della carica ($q_0=10\ C$). Dovresti trovare la frequenza naturale delle oscillazioni. Esprimiamolo come:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\sinistra(1.4\destra).\]
In questo caso, il valore desiderato verrà trovato utilizzando le equazioni (1.3) e (1.2) come:
Poiché tutte le quantità nelle condizioni problematiche sono presentate nel sistema SI, eseguiremo i calcoli:
Risposta:$I_0=12.56\A.$
Esempio 2
Esercizio: Qual è il periodo di oscillazione in un circuito che contiene un induttore $L=1$H e un condensatore, se l'intensità della corrente nel circuito cambia secondo la legge: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Qual è la capacità del condensatore?
Soluzione:
Dall'equazione delle fluttuazioni attuali, che è data nelle condizioni del problema:
vediamo che $(\omega )_0=20\pi $, quindi possiamo calcolare il periodo di oscillazione utilizzando la formula:
\ \
Secondo la formula di Thomson per un circuito che contiene un induttore e un condensatore, abbiamo:
Calcoliamo la capacità:
Risposta:$T=0,1$ c, $C=2,5\cpunto (10)^(-4)F.$
Insieme ai movimenti di traslazione e rotazione dei corpi in meccanica, di notevole interesse sono anche i movimenti oscillatori. Vibrazioni meccaniche sono movimenti di corpi che si ripetono esattamente (o approssimativamente) a intervalli di tempo uguali. La legge del moto di un corpo oscillante viene specificata utilizzando un certo funzione periodica tempo X = F (T). Immagine grafica Questa funzione fornisce una rappresentazione visiva dell'andamento del processo oscillatorio nel tempo.
Esempi di sistemi oscillatori semplici sono un carico su una molla o un pendolo matematico (Fig. 2.1.1).
Le vibrazioni meccaniche, come i processi oscillatori di qualsiasi altra natura fisica, possono esserlo gratuito E costretto. Vibrazioni libere sono commessi sotto l'influenza forze interne sistema dopo che il sistema è stato portato fuori dall’equilibrio. Le oscillazioni di un peso su una molla o le oscillazioni di un pendolo sono oscillazioni libere. Vibrazioni che si verificano sotto l'influenza esterno vengono chiamate forze che cambiano periodicamente costretto .
Il tipo più semplice di processo oscillatorio è semplice vibrazioni armoniche , che sono descritti dall'equazione
|
X = X mcos(ω T + φ 0). |
Qui X- spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio, X m - ampiezza delle oscillazioni, ad es. spostamento massimo dalla posizione di equilibrio, ω - frequenza ciclica o circolare esitazione, T- tempo. La quantità sotto il segno del coseno φ = ω T+ φ 0 viene chiamato fase processo armonico. A T= 0 φ = φ 0, quindi si chiama φ 0 fase iniziale. Viene chiamato l'intervallo di tempo minimo attraverso il quale si ripete un movimento del corpo periodo di oscillazione T. Quantità fisica, si chiama il reciproco del periodo di oscillazione frequenza di vibrazione:
Frequenza di oscillazione F mostra quante oscillazioni si verificano in 1 s. Unità di frequenza - hertz(Hz). Frequenza di oscillazione F legato alla frequenza ciclica ω e al periodo di oscillazione T rapporti:
Nella fig. 2.1.2 mostra le posizioni del corpo a intervalli di tempo uguali durante le vibrazioni armoniche. Tale immagine può essere ottenuta sperimentalmente illuminando un corpo oscillante con brevi lampi di luce periodici ( illuminazione stroboscopica). Le frecce rappresentano i vettori di velocità del corpo in momenti diversi.
Riso. 2.1.3 illustra i cambiamenti che si verificano sul grafico di un processo armonico se cambia l'ampiezza delle oscillazioni X m, o periodo T(o frequenza F), ovvero la fase iniziale φ 0.
Quando un corpo oscilla lungo una linea retta (asse BUE) il vettore velocità è sempre diretto lungo questa retta. Velocità υ = υ X il movimento del corpo è determinato dall'espressione
In matematica, la procedura per trovare il limite di un rapporto in Δ T→ 0 si dice calcolare la derivata della funzione X (T) col tempo T ed è indicato come o come X"(T) o, infine, come . Per la legge armonica del moto, il calcolo della derivata porta al seguente risultato:
La comparsa del termine + π/2 nell'argomento coseno indica un cambiamento nella fase iniziale. Valori massimi assoluti di velocità υ = ω X m si ottengono in quei momenti in cui il corpo passa attraverso posizioni di equilibrio ( X= 0). L'accelerazione è determinata in modo simile UN = UNX corpi durante le vibrazioni armoniche:
quindi l'accelerazione UNè uguale alla derivata della funzione υ ( T) col tempo T, o la derivata seconda della funzione X (T). I calcoli danno:
Il segno meno in questa espressione indica l'accelerazione UN (T) ha sempre il segno opposto a quello dello spostamento X (T), e quindi, secondo la seconda legge di Newton, la forza che fa compiere al corpo oscillazioni armoniche è sempre diretta verso la posizione di equilibrio ( X = 0).