oscillazione armonica. Oscillazioni armoniche e loro caratteristiche

Movimento a pendolo negli orologi, terremoto, corrente alternata in circuito elettrico, i processi di trasmissione radio e ricezione radio sono processi completamente diversi e non correlati. Ognuno di loro ha le sue ragioni speciali, ma sono uniti da un segno: un segno della natura comune del cambiamento. quantità fisiche col tempo. Questi e molti altri processi di diversa natura fisica, in molti casi, risulta opportuno considerare come un tipo speciale. fenomeni fisici- fluttuazioni.

Una caratteristica comune dei fenomeni fisici, chiamati oscillazioni, è la loro ripetizione nel tempo. Con una diversa natura fisica, molte oscillazioni si verificano secondo le stesse leggi, il che rende possibile l'applicazione metodi comuni per la loro descrizione e analisi.

Vibrazioni armoniche. Da un largo numero varie oscillazioni in natura e tecnologia, le oscillazioni armoniche sono particolarmente comuni. Le oscillazioni armoniche sono quelle che si verificano secondo la legge del coseno o del seno:

dove è un valore che subisce fluttuazioni; - tempo; è un valore costante, il cui significato sarà chiarito in seguito.

Il valore massimo di una grandezza che varia secondo una legge armonica si chiama ampiezza delle oscillazioni. L'argomento del coseno o del seno per le oscillazioni armoniche è chiamato la fase dell'oscillazione

La fase di oscillazione nel momento iniziale del tempo è chiamata fase iniziale. La fase iniziale determina il valore della quantità nel momento iniziale del tempo

I valori della funzione seno o coseno vengono ripetuti quando l'argomento della funzione cambia in, quindi, con oscillazioni armoniche, i valori di grandezza vengono ripetuti quando la fase di oscillazione cambia in . Durante un'oscillazione armonica, invece, la grandezza deve assumere gli stessi valori in un intervallo di tempo detto periodo di oscillazione T. Pertanto, il cambiamento di fase avviene

attraverso il periodo di oscillazione T. Per il caso in cui otteniamo:

Dall'espressione (1.2) segue che la costante nell'equazione vibrazioni armonicheè il numero di oscillazioni che si verificano al secondo. Il valore è chiamato frequenza di oscillazione ciclica. Usando l'espressione (1.2), l'equazione (1.1) può essere espressa in termini di frequenza o periodo T di oscillazioni:

Insieme al metodo analitico per descrivere le oscillazioni armoniche, sono ampiamente utilizzati i metodi grafici della loro presentazione.

Il primo modo è impostare il grafico delle oscillazioni nel sistema di coordinate cartesiane. Il tempo I è tracciato lungo l'ascissa e il valore del valore variabile è tracciato lungo l'ordinata Per le oscillazioni armoniche, questo grafico è un'onda seno o coseno (Fig. 1).

Il secondo modo di rappresentare il processo oscillatorio è spettrale. L'ampiezza viene misurata lungo l'asse delle ordinate e la frequenza delle oscillazioni armoniche viene misurata lungo l'asse delle ascisse. Il processo oscillatorio armonico con frequenza e ampiezza è rappresentato in questo caso da un segmento verticale di tratto rettilineo tratto da un punto con una coordinata sull'asse delle ascisse (Fig. 2).

Il terzo modo per descrivere le oscillazioni armoniche è il metodo dei diagrammi vettoriali. In questo metodo, viene utilizzata la seguente tecnica puramente formale per trovare in qualsiasi momento il valore di una quantità che cambia secondo una legge armonica:

Scegliamo sul piano un asse di coordinate orientato arbitrariamente lungo il quale conteremo il valore che ci interessa Dall'origine delle coordinate lungo l'asse tracciamo un modulo vettoriale di cui è uguale all'ampiezza dell'oscillazione armonica xm. Se ora immaginiamo che il vettore ruoti attorno all'origine in un piano con una velocità angolare costante c in senso antiorario, allora l'angolo a tra il vettore rotante e l'asse in qualsiasi momento è determinato dall'espressione.

Abbiamo considerato diversi sistemi fisicamente completamente diversi e ci siamo assicurati che le equazioni del moto fossero ridotte alla stessa forma

Le differenze tra i sistemi fisici si manifestano solo in diverse definizioni della quantità e in un diverso senso fisico della variabile X: può essere una coordinata, un angolo, una carica, una corrente, ecc. Si noti che in questo caso, come risulta dalla struttura stessa dell'equazione (1.18), la quantità ha sempre la dimensione del tempo inverso.

L'equazione (1.18) descrive il cosiddetto vibrazioni armoniche.

L'equazione delle oscillazioni armoniche (1.18) è lineare equazione differenziale secondo ordine (perché contiene la derivata seconda della variabile X). La linearità dell'equazione significa che

se qualsiasi funzione x(t)è una soluzione di questa equazione, quindi la funzione Cx(t) sarà anche la sua soluzione ( Cè una costante arbitraria);

se funzioni x 1 (t) E x2 (t) sono soluzioni di questa equazione, quindi la loro somma x 1 (t) + x 2 (t) sarà anche una soluzione della stessa equazione.

Viene anche dimostrato un teorema matematico, secondo il quale un'equazione del secondo ordine ha due soluzioni indipendenti. Tutte le altre soluzioni, secondo le proprietà di linearità, possono essere ottenute come loro combinazioni lineari. È facile verificare per derivazione diretta che le funzioni indipendenti e soddisfano l'equazione (1.18). Quindi la soluzione generale di questa equazione è:

Dove C1,C2 sono costanti arbitrarie. Questa soluzione può essere presentata anche in un'altra forma. Introduciamo la quantità

e definire l'angolo come:

Allora la soluzione generale (1.19) si scrive come

Secondo le formule trigonometriche, l'espressione tra parentesi è

Finalmente arriviamo a soluzione generale dell'equazione delle oscillazioni armoniche COME:

Valore non negativo UN chiamato ampiezza di oscillazione, - la fase iniziale dell'oscillazione. Viene chiamato l'intero argomento del coseno - la combinazione fase di oscillazione.

Le espressioni (1.19) e (1.23) sono perfettamente equivalenti, quindi possiamo usarle entrambe per ragioni di semplicità. Entrambe le soluzioni sono funzioni periodiche del tempo. In effetti, il seno e il coseno sono periodici con un punto . Pertanto, vari stati di un sistema che esegue oscillazioni armoniche si ripetono dopo un certo periodo di tempo T*, per cui la fase di oscillazione riceve un incremento multiplo di :

Quindi ne consegue che

L'ultimo di questi tempi

chiamato periodo di oscillazione (Fig. 1.8), a - suo circolare (ciclico) frequenza.

Riso. 1.8.

Usano anche frequenza esitazione

Di conseguenza, la frequenza circolare è uguale al numero di oscillazioni per secondi.

Quindi, se il sistema al momento T caratterizzato dal valore della variabile x(t), poi, lo stesso valore, la variabile avrà dopo un periodo di tempo (Fig. 1.9), cioè

Lo stesso valore, ovviamente, verrà ripetuto dopo un po'. 2T, ZT eccetera.

Riso. 1.9. Periodo di oscillazione

La soluzione generale include due costanti arbitrarie ( Do1, Do2 O UN, UN), i cui valori dovrebbero essere determinati da due condizioni iniziali. Solitamente (anche se non necessariamente) il loro ruolo è svolto dai valori iniziali della variabile x(0) e la sua derivata.

Facciamo un esempio. Sia la soluzione (1.19) dell'equazione delle oscillazioni armoniche a descrivere il moto di un pendolo a molla. I valori delle costanti arbitrarie dipendono dal modo in cui abbiamo portato il pendolo fuori dall'equilibrio. Ad esempio, abbiamo allontanato la molla e ha rilasciato la palla senza velocità iniziale. In questo caso

Sostituzione t = 0 nella (1.19) troviamo il valore della costante Da 2

La soluzione quindi appare come:

La velocità del carico si trova per differenziazione rispetto al tempo

Sostituendo qui T = 0, trova la costante Da 1:

Finalmente

Confrontando con (1.23), lo troviamo è l'ampiezza dell'oscillazione e la sua fase iniziale è uguale a zero: .

Ora portiamo il pendolo fuori dall'equilibrio in un altro modo. Colpiamo il carico, in modo che acquisisca una velocità iniziale, ma praticamente non si muova durante l'impatto. Poi ne abbiamo altri condizioni iniziali:

la nostra soluzione sembra

La velocità del carico cambierà secondo la legge:

Mettiamolo qui:

Il tipo più semplice di vibrazioni sono vibrazioni armoniche- fluttuazioni in cui lo spostamento del punto oscillante dalla posizione di equilibrio cambia nel tempo secondo la legge del seno o del coseno.

Quindi, con una rotazione uniforme della sfera attorno alla circonferenza, la sua proiezione (ombra in raggi paralleli di luce) compie un moto oscillatorio armonico su uno schermo verticale (Fig. 1).

Lo spostamento dalla posizione di equilibrio durante le vibrazioni armoniche è descritto da un'equazione (è chiamata legge cinematica del moto armonico) della forma:

dove x - spostamento - un valore che caratterizza la posizione del punto oscillante all'istante t rispetto alla posizione di equilibrio e misurato dalla distanza dalla posizione di equilibrio alla posizione del punto in un dato momento; A - ampiezza di oscillazione - lo spostamento massimo del corpo dalla posizione di equilibrio; T - periodo di oscillazione - il tempo di un'oscillazione completa; quelli. il più piccolo periodo di tempo dopo il quale si ripetono i valori delle grandezze fisiche che caratterizzano l'oscillazione; - fase iniziale;

La fase dell'oscillazione al tempo t. La fase di oscillazione è l'argomento funzione periodica, che a una data ampiezza di oscillazione determina lo stato del sistema oscillatorio (spostamento, velocità, accelerazione) del corpo in qualsiasi momento.

Se nel momento iniziale il punto oscillante è spostato al massimo dalla posizione di equilibrio, allora , e lo spostamento del punto dalla posizione di equilibrio cambia secondo la legge

Se il punto oscillante a è in una posizione di equilibrio stabile, allora lo spostamento del punto dalla posizione di equilibrio cambia secondo la legge

Il valore di V, il reciproco del periodo e uguale al numero oscillazioni complete effettuate in 1 s è chiamata la frequenza delle oscillazioni:

Se nel tempo t il corpo compie N oscillazioni complete, allora

il valore , che mostra quante oscillazioni fa il corpo in s, si chiama frequenza ciclica (circolare)..

La legge cinematica del moto armonico può essere scritta come:

Graficamente, la dipendenza dello spostamento di un punto oscillante dal tempo è rappresentata da un coseno (o sinusoide).

La figura 2, a mostra la dipendenza dal tempo dello spostamento del punto oscillante dalla posizione di equilibrio per il caso .

Scopriamo come cambia la velocità di un punto oscillante nel tempo. Per fare ciò, troviamo la derivata temporale di questa espressione:

dove è l'ampiezza della proiezione della velocità sull'asse x.

Questa formula mostra che durante le oscillazioni armoniche, anche la proiezione della velocità del corpo sull'asse x cambia secondo la legge armonica con la stessa frequenza, con un'ampiezza diversa, ed è in anticipo rispetto alla fase di miscelazione di (Fig. 2, b) .

Per scoprire la dipendenza dell'accelerazione, troviamo la derivata temporale della proiezione della velocità:

dove è l'ampiezza della proiezione dell'accelerazione sull'asse x.

Per le oscillazioni armoniche, la proiezione dell'accelerazione guida lo sfasamento di k (Fig. 2, c).

Allo stesso modo, puoi costruire grafici delle dipendenze

Considerando che , la formula per l'accelerazione può essere scritta

quelli. per le oscillazioni armoniche, la proiezione dell'accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento e di segno opposto, cioè l'accelerazione è diretta nella direzione opposta allo spostamento.

Quindi, la proiezione dell'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento, quindi il rapporto risultante può essere scritto come:

Viene chiamata l'ultima uguaglianza equazione delle oscillazioni armoniche.

Viene chiamato un sistema fisico in cui possono esistere oscillazioni armoniche oscillatore armonico, e l'equazione delle oscillazioni armoniche - equazione dell'oscillatore armonico.

Variazioni nel tempo secondo una legge sinusoidale:

Dove X- il valore della grandezza fluttuante al momento T, UN- ampiezza , ω - frequenza circolare, φ è la fase iniziale delle oscillazioni, ( φt + φ ) è la fase totale delle oscillazioni . Allo stesso tempo, i valori UN, ω E φ - permanente.

Per vibrazioni meccaniche con valore oscillante X sono, in particolare, spostamento e velocità, per oscillazioni elettriche - tensione e intensità di corrente.

Le oscillazioni armoniche occupano un posto speciale tra tutti i tipi di oscillazioni, poiché questo è l'unico tipo di oscillazione la cui forma non viene distorta quando passa attraverso un mezzo omogeneo, cioè anche le onde che si propagano da una fonte di oscillazioni armoniche saranno armoniche. Qualsiasi vibrazione non armonica può essere rappresentata come somma (integrale) di varie vibrazioni armoniche (sotto forma di uno spettro di vibrazioni armoniche).

Trasformazioni di energia durante le vibrazioni armoniche.

Nel processo di oscillazione, c'è una transizione di energia potenziale Wp in cinetica Wk e viceversa. Nella posizione di massima deviazione dalla posizione di equilibrio, l'energia potenziale è massima, l'energia cinetica è zero. Tornando alla posizione di equilibrio, la velocità del corpo oscillante aumenta, e con essa aumenta anche l'energia cinetica, che raggiunge il massimo nella posizione di equilibrio. L'energia potenziale quindi scende a zero. Il movimento dell'ulteriore collo si verifica con una diminuzione della velocità, che scende a zero quando la deflessione raggiunge il suo secondo massimo. L'energia potenziale qui aumenta al suo valore iniziale (massimo) (in assenza di attrito). Pertanto, le oscillazioni delle energie cinetiche e potenziali si verificano con una frequenza doppia (rispetto alle oscillazioni del pendolo stesso) e sono in antifase (cioè, c'è uno sfasamento tra di loro pari a π ). Energia di vibrazione totale W Rimane invariato. Per un corpo che oscilla sotto l'azione di una forza elastica, è uguale a:

Dove v m — velocità massima corpo (in posizione di equilibrio), x m = UN- ampiezza.

A causa della presenza di attrito e resistenza del mezzo, le oscillazioni libere si smorzano: la loro energia e ampiezza diminuiscono nel tempo. Pertanto, in pratica, le oscillazioni non libere, ma forzate vengono utilizzate più spesso.

Questa è un'oscillazione periodica, in cui la coordinata, la velocità, l'accelerazione, che caratterizzano il movimento, cambiano secondo la legge del seno o del coseno. L'equazione dell'oscillazione armonica stabilisce la dipendenza delle coordinate del corpo dal tempo

Il grafico del coseno ha un valore massimo nel momento iniziale e il grafico del seno ha un valore zero nel momento iniziale. Se iniziamo a studiare l'oscillazione dalla posizione di equilibrio, allora l'oscillazione ripeterà la sinusoide. Se iniziamo a considerare l'oscillazione dalla posizione della massima deviazione, allora l'oscillazione descriverà il coseno. Oppure una tale oscillazione può essere descritta dalla formula del seno con una fase iniziale.

Pendolo matematico

Oscillazioni di un pendolo matematico.
Pendolo matematico è un punto materiale sospeso su un filo inestensibile privo di peso (modello fisico).
Considereremo il movimento del pendolo a condizione che l'angolo di deflessione sia piccolo, quindi, se misuriamo l'angolo in radianti, l'affermazione è vera: .
La forza di gravità e la tensione del filo agiscono sul corpo. La risultante di queste forze ha due componenti: una tangenziale, che cambia l'accelerazione in modulo, e una normale, che cambia l'accelerazione in direzione (accelerazione centripeta, il corpo si muove in un arco).
Perché l'angolo è piccolo, allora la componente tangenziale è uguale alla proiezione della gravità sulla tangente alla traiettoria: . L'angolo in radianti è uguale al rapporto tra la lunghezza dell'arco e il raggio (lunghezza del filamento) e la lunghezza dell'arco è approssimativamente uguale all'offset ( x ≈ s): .
Confrontiamo l'equazione risultante con l'equazione del moto oscillatorio. Si può vedere che o è una frequenza ciclica durante le oscillazioni di un pendolo matematico.
Periodo di oscillazione o (formula di Galileo).	Formula Galileo
La conclusione più importante: il periodo di oscillazione di un pendolo matematico non dipende dalla massa del corpo!
Calcoli simili possono essere fatti usando la legge di conservazione dell'energia. Prendiamo in considerazione che l'energia potenziale del corpo nel campo gravitazionale è uguale a e l'energia meccanica totale è uguale al massimo potenziale o cinetico:
Scriviamo la legge di conservazione dell'energia e prendiamo la derivata delle parti sinistra e destra dell'equazione: . Perché la derivata di un valore costante è uguale a zero, quindi . La derivata della somma è uguale alla somma delle derivate: e.
Quindi: , che significa.

Equazione di stato dei gas ideali (Equazione di Mendeleev-Clapeyron).
Un'equazione di stato è un'equazione che mette in relazione i parametri di un sistema fisico e ne determina univocamente lo stato. Nel 1834 il fisico francese B.Clapeyron, che ha lavorato a lungo a San Pietroburgo, ha derivato l'equazione di stato per un gas ideale per una massa costante di gas. Nel 1874 DI Mendeleev ha derivato un'equazione per un numero arbitrario di molecole.
Nella MKT e nella termodinamica dei gas ideali i parametri macroscopici sono: p, V, T, m. Lo sappiamo . Quindi,. Dato che , noi abbiamo:.
Il prodotto di valori costanti è un valore costante, quindi: - costante universale dei gas (universale, perché è la stessa per tutti i gas).
Quindi, abbiamo: Equazione di stato (equazione di Mendeleev-Clapeyron).
Altre forme di scrittura dell'equazione di stato di un gas ideale.
1. Equazione per 1 mole di una sostanza. Se n \u003d 1 mol, quindi, indicando il volume di una mole V m, otteniamo :. Per condizioni normali noi abbiamo:
2. Scrivi l'equazione in termini di densità: - La densità dipende dalla temperatura e dalla pressione!
3. Equazione di Clapeyron. Spesso è necessario indagare la situazione in cui lo stato del gas cambia con la sua quantità costante (m=const) e in assenza di reazioni chimiche (M=const). Ciò significa che la quantità di sostanza n=const. Poi:
Questa voce significa che per una data massa di un dato gas l'uguaglianza è vera:
Per una massa costante di un gas ideale, il rapporto tra il prodotto di pressione e volume e la temperatura assoluta in un dato stato è un valore costante: .
leggi sui gas.
1. Legge di Avogadro. In volumi uguali di gas diversi allo stesso condizioni esterne ci sono lo stesso numero di molecole (atomi). Condizione: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
Prova: Pertanto, nelle stesse condizioni (pressione, volume, temperatura), il numero di molecole non dipende dalla natura del gas ed è lo stesso.
2. Legge di Dalton. La pressione di una miscela di gas è uguale alla somma delle pressioni parziali (private) di ciascun gas. Dimostrare: p=p 1 +p 2 +…+p n Prova:
3. Legge di Pascal. La pressione prodotta su un liquido o gas viene trasmessa in tutte le direzioni senza variazioni.

L'equazione di stato per un gas ideale. leggi sui gas.

Numero di gradi di libertà: è il numero di variabili indipendenti (coordinate) che determinano completamente la posizione del sistema nello spazio. In alcuni problemi, una molecola di gas monoatomico (Fig. 1, a) è considerata un punto materiale, a cui sono dati tre gradi di libertà di movimento traslatorio. Questo non tiene conto dell'energia del moto rotatorio. In meccanica, una molecola di gas biatomico in prima approssimazione è considerata un insieme di due punti materiali, che sono rigidamente collegati da un legame indeformabile (Fig. 1, b). Questo sistema oltre a tre gradi di libertà del moto traslatorio, ha altri due gradi di libertà del moto rotatorio. La rotazione attorno al terzo asse passante per entrambi gli atomi non ha senso. Ciò significa che un gas biatomico ha cinque gradi di libertà ( io= 5). Una molecola non lineare triatomica (Fig. 1, c) e poliatomica ha sei gradi di libertà: tre traslazionali e tre rotazionali. È naturale presumere che non esista un legame rigido tra gli atomi. Pertanto, per le molecole reali, è necessario tenere conto anche dei gradi di libertà del moto vibrazionale.

Per qualsiasi numero di gradi di libertà di una data molecola, i tre gradi di libertà sono sempre traslazionali. Nessuno dei gradi di libertà traslazionali è avvantaggiato sugli altri, il che significa che ciascuno di essi ha in media la stessa energia pari a 1/3 del valore<ε 0 >(energia del moto traslatorio delle molecole): In fisica statistica, Legge di Boltzmann sulla distribuzione uniforme dell'energia sui gradi di libertà delle molecole: per un sistema statistico che si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, ogni grado di libertà traslazionale e rotazionale ha un'energia cinetica media pari a kT / 2, e ogni grado di libertà vibrazionale ha un'energia media pari a kT. Il grado vibrazionale ha il doppio dell'energia, perché tiene conto sia dell'energia cinetica (come nel caso dei moti traslatorio e rotatorio) che dell'energia potenziale, e i valori medi dell'energia potenziale e cinetica sono gli stessi. Quindi l'energia media della molecola Dove io- la somma del numero di traslazioni, il numero di rotazioni nel doppio del numero di gradi di libertà vibrazionali della molecola: io=io posta + io rotazione +2 io vibrazioni Nella teoria classica, le molecole sono considerate con un legame rigido tra gli atomi; per loro io coincide con il numero di gradi di libertà della molecola. Poiché in un gas ideale l'energia potenziale reciproca di interazione delle molecole è uguale a zero (le molecole non interagiscono tra loro), allora l'energia interna per una mole di gas sarà uguale alla somma delle energie cinetiche N A delle molecole: (1) Energia interna per una massa arbitraria m di gas. dove M - massa molare, ν - ammontare della sostanza.