6.1. CONCETTI DI BASE E DEFINIZIONI

Quando si risolvono vari problemi di matematica e fisica, biologia e medicina, molto spesso non è possibile stabilire immediatamente una dipendenza funzionale sotto forma di una formula che colleghi le variabili che descrivono il processo in esame. Solitamente si devono usare equazioni che contengono, oltre alla variabile indipendente e alla funzione incognita, anche le sue derivate.

Definizione. Viene chiamata un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta e le sue derivate di vari ordini differenziale.

La funzione sconosciuta è solitamente indicata y(x) o semplicemente si, e i suoi derivati ​​sono si", si" eccetera.

Sono possibili anche altre notazioni, ad esempio: if si= x(t), quindi x"(t), x""(t) sono i suoi derivati, e Tè una variabile indipendente.

Definizione. Se la funzione dipende da una variabile, allora l'equazione differenziale è chiamata ordinaria. Forma generale equazione differenziale ordinaria:

O

Funzioni F E F può non contenere alcuni argomenti, ma affinché le equazioni siano differenziali è essenziale la presenza di una derivata.

Definizione.L'ordine dell'equazione differenzialeè l'ordine della derivata più alta inclusa in esso.

Per esempio, x 2 y"- si= 0, y" + peccato X= 0 sono equazioni del primo ordine, e si"+ 2 si"+ 5 si= Xè un'equazione del secondo ordine.

Al momento di decidere equazioni differenziali viene utilizzata l'operazione di integrazione, che è associata alla comparsa di una costante arbitraria. Se viene applicata l'azione di integrazione N volte, quindi, ovviamente, la soluzione conterrà N costanti arbitrarie.

6.2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Forma generale equazione differenziale del primo ordineè definito dall'espressione

L'equazione potrebbe non contenere esplicitamente X E si, ma contiene necessariamente y".

Se l'equazione può essere scritta come

quindi otteniamo un'equazione differenziale del primo ordine risolta rispetto alla derivata.

Definizione. La soluzione generale dell'equazione differenziale del primo ordine (6.3) (o (6.4)) è l'insieme delle soluzioni , Dove CONè una costante arbitraria.

Viene chiamato il grafico per risolvere un'equazione differenziale curva integrale.

Dare una costante arbitraria CON valori diversi, è possibile ottenere soluzioni particolari. In superficie xOy la soluzione generale è una famiglia di curve integrali corrispondenti a ciascuna soluzione particolare.

Se imposti un punto A(x0, y0), attraverso il quale deve passare la curva integrale, quindi, di regola, dall'insieme delle funzioni se ne può individuare uno: una soluzione particolare.

Definizione.Decisione privata di un'equazione differenziale è la sua soluzione che non contiene costanti arbitrarie.

Se è una soluzione generale, quindi dalla condizione

puoi trovare un permanente CON. La condizione è chiamata condizione iniziale.

Il problema di trovare una particolare soluzione di un'equazione differenziale (6.3) o (6.4) che soddisfi la condizione iniziale A chiamato il problema di Cauchy. Questo problema ha sempre una soluzione? La risposta è contenuta nel seguente teorema.

Teorema di Cauchy(teorema di esistenza e unicità della soluzione). Lascia entrare l'equazione differenziale si"= f(x,y) funzione f(x,y) e lei

derivata parziale definito e continuo in alcuni

le zone D, contenente un punto Poi in zona D esiste

l'unica soluzione dell'equazione che soddisfa la condizione iniziale A

Il teorema di Cauchy afferma che in determinate condizioni esiste un'unica curva integrale si= f(x), passante per un punto Punti in cui le condizioni del teorema non sono soddisfatte

I gatti sono chiamati speciale. Si rompe in questi punti F(x, y) o.

O più curve integrali passano per un punto singolare o nessuna.

Definizione. Se la soluzione (6.3), (6.4) si trova nella forma F(x, y, C)= 0 non consentito rispetto a y, allora viene chiamato integrale comune equazione differenziale.

Il teorema di Cauchy garantisce solo l'esistenza di una soluzione. Poiché non esiste un unico metodo per trovare una soluzione, considereremo solo alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine integrabili in piazze.

Definizione. L'equazione differenziale è chiamata integrabile in quadratura, se la ricerca della sua soluzione si riduce all'integrazione delle funzioni.

6.2.1. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili

Definizione. Un'equazione differenziale del primo ordine è chiamata equazione con variabili separabili,

Il lato destro dell'equazione (6.5) è il prodotto di due funzioni, ciascuna delle quali dipende da una sola variabile.

Ad esempio, l'equazione è un'equazione con separazione

variabili di passaggio
e l'equazione

non può essere rappresentato nella forma (6.5).

Dato che , riscriviamo (6.5) come

Da questa equazione si ottiene un'equazione differenziale a variabili separate, in cui i differenziali contengono funzioni che dipendono solo dalla variabile corrispondente:

Integrando termine per termine, abbiamo

dove C= C 2 - C 1 è una costante arbitraria. L'espressione (6.6) è l'integrale generale dell'equazione (6.5).

Dividendo entrambe le parti dell'equazione (6.5) per , possiamo perdere quelle soluzioni per le quali, Infatti, se A

Quello è ovviamente una soluzione dell'equazione (6.5).

Esempio 1 Trova una soluzione all'equazione soddisfacente

condizione: si= 6 a X= 2 (y(2) = 6).

Soluzione. Sostituiamo A" per allora . Moltiplica entrambi i lati per

DX, poiché in ulteriore integrazione è impossibile partire dx al denominatore:

e poi dividendo entrambe le parti per otteniamo l'equazione,

che può essere integrato. Integriamo:

Poi ; potenziando, otteniamo y = C . (x + 1) - ob-

soluzione.

Sulla base dei dati iniziali, determiniamo una costante arbitraria sostituendoli nella soluzione generale

Finalmente otteniamo si= 2(x + 1) è una soluzione particolare. Considera alcuni altri esempi di risoluzione di equazioni con variabili separabili.

Esempio 2 Trova una soluzione all'equazione

Soluzione. Dato che , noi abbiamo .

Integrando entrambi i lati dell'equazione, abbiamo

Dove

Esempio 3 Trova una soluzione all'equazione Soluzione. Dividiamo entrambe le parti dell'equazione per quei fattori che dipendono da una variabile che non coincide con la variabile sotto il segno differenziale, cioè per e integrare. Quindi otteniamo

e infine

Esempio 4 Trova una soluzione all'equazione

Soluzione. Sapendo cosa otterremo. Sezione-

variabili lim. Poi

Integrando, otteniamo

Commento. Negli esempi 1 e 2, la funzione desiderata si espresso esplicitamente (soluzione generale). Negli esempi 3 e 4 - implicitamente (integrale generale). In futuro, la forma della decisione non sarà specificata.

Esempio 5 Trova una soluzione all'equazione Soluzione.

Esempio 6 Trova una soluzione all'equazione soddisfacente

condizione voi)= 1.

Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma

Moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per dx e avanti, otteniamo

Integrando entrambi i lati dell'equazione (l'integrale sul lato destro è preso per parti), otteniamo

Ma per condizione si= 1 a X= e. Poi

Sostituisci i valori trovati CON in una soluzione generale:

L'espressione risultante è chiamata soluzione particolare dell'equazione differenziale.

6.2.2. Equazioni differenziali omogenee del primo ordine

Definizione. Viene chiamata l'equazione differenziale del primo ordine omogeneo se può essere rappresentato come

Presentiamo un algoritmo per risolvere un'equazione omogenea.

1. Invece si introdurre una nuova funzione Quindi e quindi

2. In termini di funzionalità tu l'equazione (6.7) assume la forma

cioè, la sostituzione riduce l'equazione omogenea a un'equazione con variabili separabili.

3. Risolvendo l'equazione (6.8), troviamo prima u, e poi si= ux.

Esempio 1 risolvere l'equazione Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma

Facciamo una sostituzione:
Poi

Sostituiamo

Moltiplica per dx: Dividi per X e via Poi

Integrando entrambe le parti dell'equazione rispetto alle variabili corrispondenti, abbiamo

oppure, tornando alle vecchie variabili, finalmente otteniamo

Esempio 2risolvere l'equazione Soluzione.Permettere Poi

Dividi entrambi i lati dell'equazione per x2: Apriamo le parentesi e riordiniamo i termini:

Passando alle vecchie variabili, arriviamo al risultato finale:

Esempio 3Trova una soluzione all'equazione dato che

Soluzione.Esecuzione di una sostituzione standard noi abbiamo

O

O

Quindi la soluzione particolare ha la forma Esempio 4 Trova una soluzione all'equazione

Soluzione.

Esempio 5Trova una soluzione all'equazione Soluzione.

Lavoro indipendente

Trova una soluzione alle equazioni differenziali con variabili separabili (1-9).

Trova una soluzione per equazioni differenziali omogenee (9-18).

6.2.3. Alcune applicazioni delle equazioni differenziali del primo ordine

Il problema del decadimento radioattivo

Il tasso di decadimento di Ra (radio) in ogni momento del tempo è proporzionale alla sua massa disponibile. Trova la legge del decadimento radioattivo di Ra se sai che al momento iniziale c'era Ra e l'emivita di Ra è di 1590 anni.

Soluzione. Sia al momento la massa Ra X= x(t) g, e Allora il tasso di decadimento di Ra è

Secondo il compito

Dove K

Separando le variabili nell'ultima equazione e integrando, otteniamo

Dove

Per determinare C usiamo la condizione iniziale: .

Poi e quindi,

Fattore di proporzionalità K determinato dalla condizione aggiuntiva:

Abbiamo

Da qui e la formula desiderata

Il problema del tasso di riproduzione dei batteri

Il tasso di riproduzione dei batteri è proporzionale al loro numero. Al momento iniziale c'erano 100 batteri. Entro 3 ore il loro numero è raddoppiato. Trova la dipendenza del numero di batteri dal tempo. Quante volte il numero di batteri aumenterà entro 9 ore?

Soluzione. Permettere X- il numero di batteri al momento T. Allora, secondo la condizione,

Dove K- coefficiente di proporzionalità.

Da qui È noto dalla condizione che . Significa,

Dalla condizione aggiuntiva . Poi

Funzione richiesta:

Quindi, a T= 9 X= 800, cioè entro 9 ore il numero di batteri è aumentato di 8 volte.

Il compito di aumentare la quantità dell'enzima

Nella coltura del lievito di birra, il tasso di crescita dell'enzima attivo è proporzionale alla sua quantità iniziale. X. Quantità iniziale di enzima UN raddoppiato in un'ora. Trova la dipendenza

x(t).

Soluzione. Per condizione, l'equazione differenziale del processo ha la forma

da qui

Ma . Significa, C= UN poi

È anche noto che

Quindi,

6.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

6.3.1. Concetti basilari

Definizione.Equazione differenziale del secondo ordineè chiamata la relazione che collega la variabile indipendente, la funzione desiderata e le sue derivate prima e seconda.

In casi speciali, x può essere assente nell'equazione, A o y". Tuttavia, l'equazione di secondo ordine deve necessariamente contenere y". Nel caso generale, l'equazione differenziale del secondo ordine è scritta come:

o, se possibile, nella forma consentita per la derivata seconda:

Come nel caso di un'equazione del primo ordine, un'equazione del secondo ordine può avere una soluzione generale e una particolare. La soluzione generale è simile a:

Trovare una soluzione privata

in condizioni iniziali - dato

numero) viene chiamato il problema di Cauchy. Geometricamente, ciò significa che è necessario trovare la curva integrale A= y(x), passante per un dato punto e avere una tangente in questo punto, che è circa

forche con direzione dell'asse positiva Bue dato angolo. e. (figura 6.1). Il problema di Cauchy ha una soluzione unica se il lato destro dell'equazione (6.10), impre-

è discontinuo e ha derivate parziali continue rispetto a tu, tu" in qualche quartiere del punto di partenza

Per trovare costante incluso in una soluzione particolare, è necessario consentire il sistema

Riso. 6.1. curva integrale

In alcuni problemi di fisica non è possibile stabilire una connessione diretta tra le quantità che descrivono il processo. Ma c'è la possibilità di ottenere un'uguaglianza contenente le derivate delle funzioni studiate. Nascono così le equazioni differenziali e la necessità di risolverle per trovare una funzione sconosciuta.

Questo articolo è destinato a coloro che si trovano di fronte al problema di risolvere un'equazione differenziale in cui la funzione incognita è una funzione di una variabile. La teoria è costruita in modo tale che con una comprensione pari a zero delle equazioni differenziali, puoi fare il tuo lavoro.

Ogni tipo di equazioni differenziali è associato a un metodo di soluzione con spiegazioni dettagliate e soluzioni di esempi e problemi tipici. Devi solo determinare il tipo di equazione differenziale del tuo problema, trovare un esempio analizzato simile ed eseguire azioni simili.

Per risolvere con successo equazioni differenziali, avrai anche bisogno della capacità di trovare insiemi di antiderivate (integrali indefiniti) di varie funzioni. Se necessario, si consiglia di fare riferimento alla sezione.

Innanzitutto, consideriamo i tipi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine che possono essere risolte rispetto alla derivata, quindi passeremo alle ODE del secondo ordine, quindi ci soffermeremo sulle equazioni di ordine superiore e finiremo con i sistemi di equazioni differenziali.

Ricordiamo che se y è una funzione dell'argomento x .

Equazioni differenziali del primo ordine.

Le più semplici equazioni differenziali del primo ordine della forma .

Scriviamo diversi esempi di tale DE .

Equazioni differenziali può essere risolto rispetto alla derivata dividendo entrambi i lati dell'uguaglianza per f(x) . In questo caso arriviamo all'equazione , che sarà equivalente a quella originaria per f(x) ≠ 0 . Esempi di tali ODE sono .

Se ci sono valori dell'argomento x per i quali le funzioni f(x) e g(x) svaniscono contemporaneamente, compaiono soluzioni aggiuntive. Soluzioni aggiuntive all'equazione data x sono tutte le funzioni definite per quei valori di argomento. Esempi di tali equazioni differenziali sono .

Equazioni differenziali del secondo ordine.

Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

LODE a coefficienti costanti è un tipo molto comune di equazioni differenziali. La loro soluzione non è particolarmente difficile. Innanzitutto, si trovano le radici dell'equazione caratteristica . Per p e q diversi sono possibili tre casi: le radici dell'equazione caratteristica possono essere reali e diverse, reali e coincidenti o complesso coniugato. A seconda dei valori delle radici dell'equazione caratteristica, la soluzione generale dell'equazione differenziale è scritta come , O , o rispettivamente.

Ad esempio, si consideri un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine con coefficienti costanti. Le radici della sua equazione caratteristica sono k 1 = -3 e k 2 = 0. Le radici sono reali e diverse, quindi la soluzione generale all'LDE con coefficienti costanti è


Equazioni differenziali lineari non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti.

La soluzione generale della LIDE di secondo ordine a coefficienti y costanti viene cercata come somma della soluzione generale della corrispondente LODE e una soluzione particolare dell'equazione disomogenea originale, cioè . Il paragrafo precedente è dedicato alla ricerca di una soluzione generale per un'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti. E una particolare soluzione è determinata o dal metodo dei coefficienti indefiniti per una certa forma della funzione f (x) , che si trova sul lato destro dell'equazione originale, o dal metodo di variazione delle costanti arbitrarie.

Come esempi di LIDE di secondo ordine con coefficienti costanti, presentiamo


Per comprendere la teoria e conoscere le soluzioni dettagliate degli esempi, ti offriamo sulla pagina equazioni differenziali disomogenee lineari del secondo ordine con coefficienti costanti.

Equazioni differenziali omogenee lineari (LODE) ed equazioni differenziali disomogenee lineari del secondo ordine (LNDE).

Un caso particolare di equazioni differenziali di questo tipo sono LODE e LODE a coefficienti costanti.

La soluzione generale del LODE su un certo intervallo è rappresentata da una combinazione lineare di due soluzioni particolari linearmente indipendenti y 1 e y 2 di questa equazione, cioè, .

La difficoltà principale sta proprio nel trovare soluzioni parziali linearmente indipendenti di questo tipo di equazioni differenziali. Di solito, soluzioni particolari sono scelte dai seguenti sistemi di funzioni linearmente indipendenti:


Tuttavia, soluzioni particolari non sono sempre presentate in questa forma.

Un esempio di LODU è .

La soluzione generale della LIDE si cerca nella forma , dove è la soluzione generale della LODE corrispondente, ed è una soluzione particolare dell'equazione differenziale originaria. Abbiamo appena parlato di trovare, ma può essere determinato usando il metodo di variazione delle costanti arbitrarie.

Un esempio di LNDE è .

Equazioni differenziali di ordine superiore.

Equazioni differenziali che ammettono la riduzione d'ordine.

Ordine delle equazioni differenziali , che non contiene la funzione desiderata e le sue derivate fino all'ordine k-1, può essere ridotta a n-k sostituendo .

In questo caso, e l'equazione differenziale originale si riduce a . Dopo aver trovato la sua soluzione p(x), resta da tornare alla sostituzione e determinare la funzione sconosciuta y .

Ad esempio, l'equazione differenziale dopo la sostituzione diventa un'equazione separabile, e il suo ordine si riduce dalla terza alla prima.

Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni.
Equazioni differenziali a variabili separabili

Equazioni differenziali (DE). Queste due parole di solito terrorizzano il profano medio. Le equazioni differenziali sembrano essere qualcosa di oltraggioso e difficile da padroneggiare per molti studenti. Uuuuuu… equazioni differenziali, come sopravviverei a tutto questo?!

Una tale opinione e un tale atteggiamento sono fondamentalmente sbagliati, perché in effetti LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI SONO SEMPLICI E ANCHE DIVERTENTI. Cosa devi sapere ed essere in grado di imparare a risolvere equazioni differenziali? Per studiare con successo le differenze, devi essere bravo a integrare e differenziare. Migliori sono gli argomenti studiati Derivata di una funzione di una variabile E Integrale indefinito, più facile sarà capire le equazioni differenziali. Dirò di più, se hai capacità di integrazione più o meno decenti, allora l'argomento è praticamente padroneggiato! Più integrali vari tipi sai come decidere - meglio è. Perché? Devi integrare molto. E differenziare. Anche altamente raccomandato impara a trovare.

Nel 95% dei casi in lavoro di controllo esistono 3 tipi di equazioni differenziali del primo ordine: equazioni separabili, che tratteremo in questa lezione; equazioni omogenee E equazioni lineari disomogenee. Per i principianti che studiano i diffusori, ti consiglio di leggere le lezioni in questa sequenza e, dopo aver studiato i primi due articoli, non farà male consolidare le tue abilità in un seminario aggiuntivo - equazioni che si riducono a omogenee.

Esistono tipi ancora più rari di equazioni differenziali: equazioni in differenziali totali, equazioni di Bernoulli e alcune altre. Degli ultimi due tipi, i più importanti sono le equazioni nei differenziali totali, poiché, oltre a questo DE, considero nuovo materiale – parziale integrazione.

Se ti restano solo un giorno o due, Quello per una preparazione ultrarapida C'è corso lampo in formato pdf.

Quindi, i punti di riferimento sono fissati - andiamo:

Ricordiamo prima le solite equazioni algebriche. Contengono variabili e numeri. L'esempio più semplice: . Cosa significa risolvere un'equazione ordinaria? Questo significa trovare insieme di numeri che soddisfano questa equazione. È facile vedere che l'equazione dei bambini ha un'unica radice: . Per divertimento, facciamo un controllo, sostituiamo la radice trovata nella nostra equazione:

- si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione è stata trovata correttamente.

I diffusori sono disposti più o meno allo stesso modo!

Equazione differenziale primo ordine generalmente contiene:
1) variabile indipendente;
2) variabile dipendente (funzione);
3) la derivata prima della funzione: .

In alcune equazioni del primo ordine, potrebbe non esserci "x" o (e) "y", ma questo non è essenziale - importante così che in DU era derivata prima, e non aveva derivati ​​di ordine superiore - , ecc.

Cosa significa ? Risolvere un'equazione differenziale significa trovare insieme di tutte le funzioni che soddisfano questa equazione. Un tale insieme di funzioni ha spesso la forma ( è una costante arbitraria), che viene chiamata soluzione generale dell'equazione differenziale.

Esempio 1

Risolvi l'equazione differenziale

Munizioni complete. Da dove cominciare soluzione?

Prima di tutto, devi riscrivere la derivata in una forma leggermente diversa. Ricordiamo l'ingombrante notazione, che molti di voi probabilmente hanno ritenuto ridicola e inutile. È lei che regna nei diffusori!

Nella seconda fase, vediamo se è possibile dividere le variabili? Cosa significa separare le variabili? In parole povere, sul lato sinistro dobbiamo partire solo "giochi", UN dal lato giusto organizzare solo x. La separazione delle variabili viene eseguita con l'ausilio di manipolazioni "scolastiche": parentesi, trasferimento di termini da parte a parte con cambio di segno, trasferimento di fattori da parte a parte secondo la regola della proporzione, ecc.

Differenziali e sono moltiplicatori completi e partecipanti attivi alle ostilità. In questo esempio, le variabili sono facilmente separate invertendo i fattori secondo la regola della proporzione:

Le variabili sono separate. Sul lato sinistro - solo "Gioco", sul lato destro - solo "X".

Prossima fase - integrazione di equazioni differenziali. È semplice, appendiamo integrali su entrambe le parti:

Naturalmente, gli integrali devono essere presi. In questo caso, sono tabulari:

Come ricordiamo, una costante è assegnata a qualsiasi primitiva. Ci sono due integrali qui, ma è sufficiente scrivere la costante una volta (perché una costante + una costante è ancora uguale a un'altra costante). Nella maggior parte dei casi, è posizionato sul lato destro.

A rigor di termini, dopo aver preso gli integrali, l'equazione differenziale è considerata risolta. L'unica cosa è che la nostra "y" non è espressa attraverso "x", cioè viene presentata la soluzione nell'implicito modulo. Si chiama la soluzione implicita di un'equazione differenziale integrale generale dell'equazione differenziale. Cioè, è l'integrale generale.

Una risposta in questa forma è abbastanza accettabile, ma esiste un'opzione migliore? Proviamo a ottenere decisione comune.

Per favore, ricorda la prima tecnica, è molto comune e spesso utilizzato in compiti pratici: se dopo l'integrazione compare un logaritmo a destra, allora in molti casi (ma non sempre!) è consigliabile scrivere anche la costante sotto il logaritmo.

Questo è, INVECE DI i record sono solitamente scritti .

Perché è necessario? E per rendere più facile esprimere "y". Usiamo la proprietà dei logaritmi . In questo caso:

Ora logaritmi e moduli possono essere rimossi:

La funzione è presentata in modo esplicito. Questa è la soluzione generale.

Risposta: decisione comune: .

Le risposte a molte equazioni differenziali sono abbastanza facili da controllare. Nel nostro caso, questo è fatto abbastanza semplicemente, prendiamo la soluzione trovata e la differenziamo:

Quindi sostituiamo la derivata nell'equazione originale:

- si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la soluzione generale soddisfa l'equazione , che doveva essere verificata.

Assegnando una costante a valori diversi, puoi ottenere un numero infinito di decisioni private equazione differenziale. È chiaro che qualsiasi funzione , , ecc. soddisfa l'equazione differenziale .

A volte viene chiamata la soluzione generale famiglia di funzioni. In questo esempio, la soluzione generale - questa è una famiglia funzioni lineari, o meglio, una famiglia di proporzionalità dirette.

Dopo una discussione dettagliata del primo esempio, è opportuno rispondere ad alcune domande ingenue sulle equazioni differenziali:

1)In questo esempio, siamo riusciti a separare le variabili. È sempre possibile farlo? No non sempre. E ancora più spesso le variabili non possono essere separate. Ad esempio, dentro equazioni omogenee del primo ordine deve essere prima sostituito. In altri tipi di equazioni, ad esempio in un'equazione disomogenea lineare del primo ordine, si deve usare vari trucchi e metodi per trovare una soluzione generale. Le equazioni variabili separabili che stiamo guardando nella prima lezione sono - tipo più semplice equazioni differenziali.

2) È sempre possibile integrare un'equazione differenziale? No non sempre. È molto facile trovare un'equazione "fantasiosa" che non può essere integrata, inoltre ci sono integrali che non possono essere presi. Ma tali DE possono essere risolti approssimativamente usando metodi speciali. D'Alembert e Cauchy garantiscono... ...ugh, lurkmore. Ho letto molto poco fa, ho quasi aggiunto "dall'altro mondo".

3) In questo esempio, abbiamo ottenuto una soluzione sotto forma di integrale generale . È sempre possibile trovare una soluzione generale dall'integrale generale, cioè esprimere "y" in forma esplicita? No non sempre. Per esempio: . Ebbene, come posso esprimere "y" qui ?! In tali casi, la risposta dovrebbe essere scritta come un integrale generale. Inoltre, a volte si può trovare una soluzione generale, ma è scritta in modo così ingombrante e goffo che è meglio lasciare la risposta sotto forma di integrale generale

4) ...forse abbastanza per ora. Nel primo esempio, ci siamo incontrati Un altro punto importante , ma per non coprire i "manichini" con una valanga di nuove informazioni, lo lascerò alla prossima lezione.

Non affrettiamoci. Altro semplice telecomando e altra soluzione tipica:

Esempio 2

Trova una particolare soluzione dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale

Soluzione: secondo la condizione che è necessario trovare soluzione privata DE che soddisfa una data condizione iniziale. Questo tipo di interrogatorio è anche chiamato Problema di Cauchy.

Innanzitutto, troviamo una soluzione generale. Non c'è una variabile "x" nell'equazione, ma questo non dovrebbe essere imbarazzante, l'importante è che abbia la derivata prima.

Riscriviamo la derivata nella forma richiesta:

Ovviamente le variabili si possono dividere, ragazzi a sinistra, ragazze a destra:

Integriamo l'equazione:

Si ottiene l'integrale generale. Qui ho disegnato una costante con una stella accentata, fatto sta che molto presto si trasformerà in un'altra costante.

Ora stiamo cercando di convertire l'integrale generale in una soluzione generale (esprimere "y" esplicitamente). Ricordiamo la vecchia, buona, scuola: . In questo caso:

La costante nell'indicatore sembra in qualche modo non kosher, quindi di solito è abbassata dal cielo alla terra. Nel dettaglio, succede così. Usando la proprietà dei gradi, riscriviamo la funzione come segue:

Se è una costante, allora è anche una costante, ridisegnala con la lettera:

Ricorda la "demolizione" di una costante è seconda tecnica, che viene spesso utilizzato nel corso della risoluzione di equazioni differenziali.

Quindi la soluzione generale è: Una così bella famiglia di funzioni esponenziali.

Nella fase finale, è necessario trovare una soluzione particolare che soddisfi la data condizione iniziale. È anche semplice.

Qual è il compito? Bisogno di raccogliere come il valore della costante per soddisfare la condizione .

Puoi organizzarlo in diversi modi, ma il più comprensibile, forse, sarà così. Nella soluzione generale, invece di "x", sostituiamo zero, e invece di "y", due:



Questo è,

Versione modello standard:

Ora sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale:
– questa è la soluzione particolare di cui abbiamo bisogno.

Risposta: soluzione privata:

Facciamo un controllo. La verifica di una particolare soluzione comprende due fasi:

Innanzitutto, è necessario verificare se la particolare soluzione trovata soddisfa realmente la condizione iniziale ? Invece di "x" sostituiamo zero e vediamo cosa succede:
- sì, in effetti, è stato ottenuto un due, il che significa che la condizione iniziale è soddisfatta.

La seconda fase è già familiare. Prendiamo la soluzione particolare risultante e troviamo la derivata:

Sostituisci nell'equazione originale:

- si ottiene l'uguaglianza corretta.

Conclusione: la soluzione particolare è trovata correttamente.

Passiamo ad esempi più significativi.

Esempio 3

Risolvi l'equazione differenziale

Soluzione: Riscriviamo la derivata nella forma di cui abbiamo bisogno:

Valutare se le variabili possono essere separate? Potere. Trasferiamo il secondo termine a destra con un cambio di segno:

E capovolgiamo i fattori secondo la regola della proporzione:

Le variabili sono separate, integriamo entrambe le parti:

Devo avvertirti, il giorno del giudizio sta arrivando. Se non hai imparato bene integrali indefiniti, risolto alcuni esempi, quindi non c'è nessun posto dove andare: devi padroneggiarli ora.

L'integrale del lato sinistro è facile da trovare, con l'integrale della cotangente ci occupiamo della tecnica standard che abbiamo considerato nella lezione Integrazione di funzioni trigonometriche l'anno scorso:

Sul lato destro abbiamo un logaritmo e, secondo la mia prima raccomandazione tecnica, anche la costante dovrebbe essere scritta sotto il logaritmo.

Proviamo ora a semplificare l'integrale generale. Poiché abbiamo solo logaritmi, è del tutto possibile (e necessario) eliminarli. Usando proprietà note al massimo "impacchettare" i logaritmi. Scriverò in modo molto dettagliato:

La confezione è completa per essere barbaramente sbrindellata:

È possibile esprimere "y"? Potere. Entrambe le parti devono essere squadrate.

Ma non devi.

Terzo consiglio tecnico: se per ottenere una soluzione generale bisogna elevarsi a potenza o mettere radici, allora Nella maggior parte dei casi dovresti astenerti da queste azioni e lasciare la risposta sotto forma di un integrale generale. Il fatto è che la soluzione generale sembrerà semplicemente orribile, con grandi radici, segni e altra spazzatura.

Pertanto, scriviamo la risposta come integrale generale. È considerata buona forma presentarlo nella forma, cioè sul lato destro, se possibile, lasciare solo una costante. Non è necessario farlo, ma è sempre utile accontentare il professore ;-)

Risposta: integrale generale:

! Nota: l'integrale generale di qualsiasi equazione può essere scritto in più di un modo. Pertanto, se il tuo risultato non coincide con una risposta precedentemente nota, ciò non significa che hai risolto l'equazione in modo errato.

Anche l'integrale generale viene controllato abbastanza facilmente, l'importante è riuscire a trovarlo derivata di una funzione definita implicitamente. Differenziamo la risposta:

Moltiplichiamo entrambi i termini per:

E dividiamo per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta esattamente, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 4

Trova una particolare soluzione dell'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale. Fai un controllo.

Questo è un esempio fai da te.

Ti ricordo che l'algoritmo si compone di due fasi:
1) trovare una soluzione generale;
2) trovare la soluzione particolare richiesta.

Anche il controllo viene effettuato in due passaggi (vedi il campione nell'esempio n. 2), è necessario:
1) assicurarsi che la particolare soluzione trovata soddisfi la condizione iniziale;
2) verificare che una particolare soluzione soddisfi generalmente l'equazione differenziale.

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Esempio 5

Trova una soluzione particolare di un'equazione differenziale , soddisfacendo la condizione iniziale . Fai un controllo.

Soluzione: Per prima cosa, troviamo una soluzione generale... Questa equazione contiene già differenziali già pronti e , il che significa che la soluzione è semplificata. Variabili di separazione:

Integriamo l'equazione:

L'integrale a sinistra è tabulare, l'integrale a destra è preso il metodo di sommare la funzione sotto il segno del differenziale:

L'integrale generale è stato ottenuto, è possibile esprimere con successo la soluzione generale? Potere. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati. Poiché sono positivi, i segni modulo sono ridondanti:

(Spero che tutti capiscano la trasformazione, queste cose dovrebbero già essere conosciute)

Quindi la soluzione generale è:

Troviamo una soluzione particolare corrispondente alla data condizione iniziale .
Nella soluzione generale, invece di "x", sostituiamo zero, e invece di "y", il logaritmo di due:

Design più familiare:

Sostituiamo il valore trovato della costante nella soluzione generale.

Risposta: soluzione privata:

Verifica: in primo luogo, controlla se la condizione iniziale è soddisfatta:
- va tutto bene.

Ora controlliamo se la particolare soluzione trovata soddisfa l'equazione differenziale. Troviamo la derivata:

Diamo un'occhiata all'equazione originale: – è presentato in differenziali. Ci sono due modi per controllare. È possibile esprimere il differenziale dalla derivata trovata:

Sostituiamo la particolare soluzione trovata e il differenziale risultante nell'equazione originale :

Usiamo l'identità logaritmica di base:

Si ottiene l'uguaglianza corretta, il che significa che la particolare soluzione è trovata correttamente.

Il secondo modo di verifica è speculare e più familiare: dall'equazione esprimere la derivata, per questo dividiamo tutti i pezzi per:

E nella DE trasformata sostituiamo la soluzione particolare ottenuta e la derivata trovata . Come risultato delle semplificazioni, dovrebbe essere ottenuta anche la corretta uguaglianza.

Esempio 6

Risolvi l'equazione differenziale. Esprimi la risposta come integrale generale.

Questo è un esempio di auto-soluzione, soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Quali difficoltà attendono nella risoluzione di equazioni differenziali con variabili separabili?

1) Non è sempre ovvio (soprattutto per una teiera) che le variabili possono essere separate. Prendere in considerazione esempio condizionale: . Qui devi togliere i fattori dalle parentesi: e separare le radici:. Come procedere è chiaro.

2) Difficoltà nell'integrazione stessa. Gli integrali spesso sorgono non il più semplice, e se ci sono difetti nelle capacità di trovare integrale indefinito, allora sarà difficile con molti diffusori. Inoltre, i compilatori di raccolte e manuali sono popolari con la logica "poiché l'equazione differenziale è semplice, almeno gli integrali saranno più complicati".

3) Trasformazioni con una costante. Come tutti hanno notato, una costante nelle equazioni differenziali può essere gestita abbastanza liberamente e alcune trasformazioni non sono sempre chiare a un principiante. Facciamo un altro esempio ipotetico: . In esso, è consigliabile moltiplicare tutti i termini per 2: . La costante risultante è anche una sorta di costante, che può essere denotata da: . Sì, e poiché c'è un logaritmo sul lato destro, è consigliabile riscrivere la costante come un'altra costante: .

Il guaio è che spesso non si preoccupano degli indici e usano la stessa lettera. Di conseguenza, il record di decisione assume la seguente forma:

Quale eresia? Ecco gli errori! A rigor di termini, sì. Tuttavia, dal punto di vista sostanziale, non ci sono errori, perché per effetto della trasformazione di una variabile costante si ottiene comunque una variabile costante.

O un altro esempio, supponiamo che nel corso della risoluzione dell'equazione si ottenga un integrale generale. Questa risposta sembra brutta, quindi è consigliabile cambiare il segno di ogni termine: . Formalmente, c'è di nuovo un errore: a destra dovrebbe essere scritto . Ma è informalmente implicito che "meno ce" è ancora una costante ( che pure assume qualunque valore!), quindi mettere un "meno" non ha senso e puoi usare la stessa lettera.

Cercherò di evitare un approccio negligente e di inserire comunque indici diversi per le costanti durante la conversione.

Esempio 7

Risolvi l'equazione differenziale. Fai un controllo.

Soluzione: Questa equazione ammette la separazione delle variabili. Variabili di separazione:

Integriamo:

La costante qui non deve essere definita sotto il logaritmo, poiché non ne verrà fuori nulla di buono.

Risposta: integrale generale:

Verifica: Differenziare la risposta (funzione implicita):

Ci liberiamo delle frazioni, per questo moltiplichiamo entrambi i termini per:

L'equazione differenziale originale è stata ottenuta, il che significa che l'integrale generale è stato trovato correttamente.

Esempio 8

Trova una soluzione particolare di DE.
,

Questo è un esempio fai da te. L'unico suggerimento è che qui ottieni un integrale generale e, più correttamente, devi escogitare per trovare non una soluzione particolare, ma integrale privato. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Applicazione

Risoluzione di equazioni differenziali online sul sito per consentire agli studenti di consolidare il materiale che hanno studiato. E pratica le tue abilità pratiche. Equazioni differenziali online. Difuras online, soluzione matematica online. Soluzione passo dopo passo di problemi matematici online. L'ordine, o grado, di un'equazione differenziale è l'ordine più alto delle derivate incluse in essa. Equazioni differenziali online. Il processo di risoluzione di un'equazione differenziale si chiama integrazione. Il problema dell'integrazione di un'equazione differenziale si considera risolto se la funzione incognita può essere quadrata, indipendentemente dal fatto che l'integrale risultante sia espresso o meno nella forma finale in termini di funzioni note. Soluzione passo dopo passo di equazioni differenziali online. Tutte le equazioni differenziali possono essere suddivise in equazioni differenziali ordinarie (EDE), che includono solo funzioni (e le loro derivate) di un argomento, ed equazioni alle derivate parziali (EDP), in cui le funzioni di input dipendono da molte variabili. Equazioni differenziali online. Esistono anche equazioni differenziali stocastiche (SDE) che coinvolgono processi casuali. Soluzione passo dopo passo di equazioni differenziali online. A seconda delle combinazioni di derivate, funzioni, variabili indipendenti, le equazioni differenziali si dividono in lineari e non lineari, a coefficienti costanti o variabili, omogenee o non omogenee. A causa dell'importanza delle applicazioni, le equazioni alle derivate parziali quasilineari (lineari rispetto alle derivate superiori) sono individuate in una classe separata. Le soluzioni delle equazioni differenziali si dividono in generali e particolari. Equazioni differenziali online. Le soluzioni generali includono costanti indeterminate e, per le equazioni alle derivate parziali, funzioni arbitrarie di variabili indipendenti da cui è possibile raffinare condizioni supplementari integrazione (condizioni iniziali per equazioni alle derivate ordinarie, condizioni iniziali e al contorno per equazioni alle derivate parziali). Soluzione passo dopo passo di equazioni differenziali online. Dopo aver determinato la forma di queste costanti e funzioni indefinite le decisioni diventano private. La ricerca di soluzioni alle equazioni differenziali ordinarie ha portato alla creazione di una classe di funzioni speciali - funzioni spesso incontrate in applicazioni che non sono espresse in termini di funzioni elementari note. Equazioni differenziali online. Le loro proprietà sono state studiate in dettaglio, sono state compilate tabelle di valori, sono state determinate le interconnessioni, ecc. L'insieme dei numeri enumerati può essere esplorato. La migliore risposta al problema dato. Come trovare in prima approssimazione il vettore uscente alla regione di convergenza su Equazioni differenziali senza chiarire il limite superiore trovato. La scelta è ovvia per le funzioni matematiche crescenti. C'è un metodo progressivo al di sopra del livello della ricerca. Per allinearsi con la condizione iniziale del problema, la soluzione del differenziale aiuterà a trovare un valore scelto a valore singolo. Può darsi che possa determinare immediatamente l'ignoto. Come nell'esempio precedente di indicazione di una soluzione a un problema matematico, le equazioni differenziali lineari sono la risposta a un problema specifico in un periodo di tempo specificato. Il mantenimento della procedura dello studio non è definito a livello locale. Sarà così che ci sia un esempio per ogni studente e la soluzione delle equazioni differenziali sarà determinata dalla persona assegnata all'esecutore responsabile da almeno due valori. Prendi una funzione di valore generale su un certo segmento e avvisa lungo quale asse ci sarà un gap. Dopo aver studiato le equazioni differenziali online, è possibile mostrare in modo inequivocabile quanto sia importante il risultato, se fornito dalle condizioni iniziali. Tagliare una regione da una definizione di funzione è impossibile, poiché non esiste alcuna definizione di attività a livello locale. Trovata da un sistema di equazioni, la risposta contiene una variabile calcolata in senso generale, ma sarà naturalmente possibile risolvere l'equazione differenziale in linea senza questa azione per determinare la suddetta condizione. In prossimità dell'intervallo del segmento, si può vedere come la soluzione di equazioni differenziali online sia in grado di far avanzare il risultato della ricerca in una direzione positiva al momento del taglio delle conoscenze degli studenti. Il meglio non è sempre ottenuto dall'approccio generalmente accettato al business. A livello 2x, si possono visualizzare utilmente tutte le equazioni differenziali lineari naturali necessarie, ma la capacità di calcolare un valore numerico porterà ad un aumento della conoscenza. Secondo qualsiasi tecnica in matematica, ci sono equazioni differenziali che sono presentate in espressioni essenzialmente diverse, come omogenee o complesse. Dopo aver speso analisi generale Dallo studio della funzione, risulta evidente che la decisione del differenziale come insieme di possibilità rappresenta un evidente errore nei valori. La verità in esso sta nello spazio sopra le linee dell'ascissa. Da qualche parte nel dominio di una funzione complessa, a un certo punto della sua definizione, le equazioni differenziali lineari potranno rappresentare la risposta in forma analitica. cioè dentro vista generale come l'essenza. Nulla cambierà quando si cambia la variabile. Tuttavia, è necessario scrutare la risposta con particolare interesse. Infatti, il calcolatore alla fine cambia il rapporto, cioè come viene indicata la soluzione delle equazioni differenziali rispetto al valore globale all'interno della soluzione desiderata. In alcuni casi, un avviso di errore di massa è inevitabile. Implementazione online di equazioni differenziali idea generale sul compito, ma alla fine è necessario provvedere il prima possibile lati positivi prodotto vettoriale. In matematica, i casi di errore nella teoria dei numeri non sono rari. Assolutamente da controllare. Naturalmente, è meglio dare questo diritto ai professionisti nel loro campo e sono loro che aiuteranno a risolvere l'equazione differenziale online, poiché la loro esperienza è colossale e positiva. La differenza sulle superfici delle figure e dell'area è tale che non è la soluzione di equazioni differenziali online che ti permetterà di vedere, ma l'insieme di oggetti non intersecanti è tale che la linea è parallela all'asse. Di conseguenza, puoi ottenere il doppio dei valori. Essendo implicita, la nostra nozione di correttezza della notazione formale prevede equazioni differenziali lineari sia nell'area di visualizzazione che in relazione alla deliberata sovrastima della qualità del risultato. Una discussione su un argomento interessante per tutti gli studenti viene pubblicata più volte nella rivista. Durante lo studio dell'intero corso di lezioni, focalizzeremo la nostra attenzione sulle equazioni differenziali e sui relativi campi di studio della scienza, se non per contraddire la verità. Molte tappe possono essere evitate all'inizio del viaggio. Se la soluzione dei differenziali è ancora fondamentalmente qualcosa di nuovo per gli studenti, allora il vecchio non è affatto dimenticato, ma progredisce nel futuro con ad alta velocità sviluppo. Inizialmente, le condizioni per un problema in matematica divergono, ma questo è indicato nel paragrafo a destra. Dopo la scadenza del tempo specificato per definizione, non è esclusa la possibilità di un esito dipendente proporzionale su diversi piani di moto del vettore. Un caso così semplice viene corretto nello stesso modo in cui le equazioni differenziali lineari sono descritte su una calcolatrice in una forma generale, quindi sarà più veloce e l'offset dei calcoli non porterà a un'opinione errata. Solo cinque casi nominati secondo la teoria possono spingere i confini di ciò che sta accadendo. La nostra soluzione di equazioni differenziali aiuterà a calcolare manualmente il valore in numeri già nelle prime fasi della decomposizione dello spazio funzionale. Nei posti giusti, è necessario rappresentare il punto di contatto delle quattro linee in significato generale. Ma se devi forzare il compito, sarà facile equiparare la complessità. I dati iniziali sono sufficienti per la registrazione gamba adiacente e le equazioni differenziali in linea sembrano allineate a sinistra e la superficie unilaterale è diretta verso l'arricciatura del vettore. Al di sopra del limite superiore sono possibili valori numerici superiori alla condizione indicata. È possibile tenere conto della formula matematica e risolvere online l'equazione differenziale dovuta a tre incognite nel valore generale della proporzione. Il metodo locale di calcolo è riconosciuto come valido. Il sistema di coordinate è rettangolare nel moto relativo del piano. La soluzione generale in linea delle equazioni differenziali consente di trarre inequivocabilmente una conclusione a favore di uno sweep computazionale attraverso le definizioni di matrice sull'intera linea retta situata sopra il grafico di una funzione esplicitamente specificata. La soluzione si vede se si applica il vettore moto al punto di contatto dei tre emisferi. Il cilindro si ottiene ruotando il rettangolo attorno al lato e le equazioni differenziali lineari possono mostrare la direzione del moto del punto secondo le espressioni date della sua legge del moto. I dati iniziali sono corretti e il problema in matematica è intercambiabile sotto una semplice condizione. Tuttavia, a causa delle circostanze, in considerazione della complessità del sottoproblema di impostazione, le equazioni differenziali semplificano il processo di spazi numerici calcolati a livello di spazio tridimensionale. È facile dimostrare il contrario, ma è possibile evitarlo, come nell'esempio sopra. In matematica superiore sono previsti i seguenti punti: quando un problema viene ridotto a una forma semplificata, ad esso va esteso il massimo sforzo possibile da parte degli studenti. Le linee sovrapposte l'una all'altra cadono nell'offset. La soluzione Pro differenziale riprende ancora il vantaggio di detto metodo su una linea curva. Se all'inizio non si riconosce ciò che è necessario, allora formula matematica costituisce il nuovo valore dell'espressione. L'obiettivo è l'approccio ottimale alla risoluzione dei compiti fissati dal professore. Non dovresti presumere che le equazioni differenziali lineari in una forma semplificata supereranno il risultato atteso. Posizioniamo tre vettori su una superficie finitamente composta. ortogonali tra loro. Calcoliamo il prodotto. Eseguiamo l'addizione Di più caratteri e scrivere dall'espressione risultante all variabili di funzione. C'è una proporzione. Diverse azioni che precedono la fine del calcolo non daranno immediatamente una risposta univoca alla soluzione delle equazioni differenziali, ma solo dopo che il tempo assegnato è trascorso lungo l'asse y. A sinistra del punto di discontinuità, dato implicitamente dalla funzione, si disegna un asse ortogonale al miglior vettore crescente e si posizionano le equazioni differenziali in linea lungo il minimo valore limite dell'estremo inferiore dell'oggetto matematico. Aggiungiamo un argomento in più nell'area di interruzione della funzione. A destra dei punti della linea curva, le formule scritte da noi per ridurre a un denominatore comune aiuteranno a risolvere l'equazione differenziale online. L'unico approccio corretto è quello che farà luce sui problemi irrisolti dalla teoria alla pratica, nel caso generale senza ambiguità. Le linee nella direzione delle coordinate dei punti dati non hanno mai chiuso la posizione estrema del quadrato, tuttavia, la soluzione di equazioni differenziali online aiuterà sia gli studenti che noi, e solo i principianti in questo campo, a studiare matematica. Stiamo parlando della possibilità di sostituire l'argomento del valore in tutte le sottolinee significative di un campo. In linea di principio, come ci si aspetterebbe, le nostre equazioni differenziali lineari sono qualcosa di isolato in un unico concetto di significato ridotto. Per aiutare gli studenti, uno dei migliori tra servizi simili è una calcolatrice. Passa attraverso tutti i corsi e scegli quello migliore per te.

=

I. Equazioni differenziali ordinarie

1.1. Concetti e definizioni di base

Un'equazione differenziale è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente X, la funzione desiderata si e le sue derivate o differenziali.

Simbolicamente, l'equazione differenziale è scritta come segue:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Un'equazione differenziale è detta ordinaria se la funzione desiderata dipende da una variabile indipendente.

Risolvendo l'equazione differenzialeè chiamata tale funzione che trasforma questa equazione in un'identità.

L'ordine dell'equazione differenzialeè l'ordine della derivata più alta in questa equazione

Esempi.

1. Consideriamo l'equazione differenziale del primo ordine

La soluzione di questa equazione è la funzione y = 5 ln x. Anzi, sostituendo si" nell'equazione, otteniamo - un'identità.

E questo significa che la funzione y = 5 ln x– è la soluzione di questa equazione differenziale.

2. Consideriamo l'equazione differenziale del secondo ordine y" - 5y" + 6y = 0. La funzione è la soluzione di questa equazione.

Veramente, .

Sostituendo queste espressioni nell'equazione, otteniamo: , - identità.

E questo significa che la funzione è la soluzione di questa equazione differenziale.

Integrazione di equazioni differenzialiè il processo di trovare soluzioni alle equazioni differenziali.

Soluzione generale dell'equazione differenziale si chiama funzione della forma , che include tante costanti arbitrarie indipendenti quanto l'ordine dell'equazione.

Soluzione parziale dell'equazione differenzialeè chiamata la soluzione ottenuta dalla soluzione generale per diversi valori numerici di costanti arbitrarie. I valori delle costanti arbitrarie si trovano a determinati valori iniziali dell'argomento e della funzione.

Viene chiamato il grafico di una particolare soluzione di un'equazione differenziale curva integrale.

Esempi

1. Trovare una particolare soluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

xdx + ydy = 0, Se si= 4 a X = 3.

Soluzione. Integrando entrambi i lati dell'equazione, otteniamo

Commento. Una costante arbitraria C ottenuta come risultato dell'integrazione può essere rappresentata in qualsiasi forma conveniente per ulteriori trasformazioni. In questo caso, tenendo conto dell'equazione canonica del cerchio, conviene rappresentare una costante arbitraria С nella forma .

è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

Una particolare soluzione dell'equazione che soddisfa condizioni iniziali si = 4 a X = 3 si trova dal generale sostituendo le condizioni iniziali nella soluzione generale: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Sostituendo C=5 nella soluzione generale, otteniamo x2+y2 = 5 2 .

Questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale ottenuta dalla soluzione generale in date condizioni iniziali.

2. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale

La soluzione di questa equazione è qualsiasi funzione della forma , dove C è una costante arbitraria. Infatti, sostituendo nelle equazioni si ottiene: , .

Pertanto, questa equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni, poiché per diversi valori della costante C, l'uguaglianza determina diverse soluzioni dell'equazione.

Ad esempio, per sostituzione diretta, si può verificare che le funzioni sono soluzioni dell'equazione .

Un problema in cui è necessario trovare una particolare soluzione all'equazione y" = f(x, y) soddisfacendo la condizione iniziale y(x0) = y0, si chiama problema di Cauchy.

Soluzione dell'equazione y" = f(x, y), soddisfacendo la condizione iniziale, y(x0) = y0, è detta soluzione del problema di Cauchy.

La soluzione del problema di Cauchy ha un semplice significato geometrico. Anzi, secondo queste definizioni, per risolvere il problema di Cauchy y" = f(x, y) dato che y(x0) = y0, significa trovare la curva integrale dell'equazione y" = f(x, y) che passa per un dato punto M0 (x0,e 0).

II. Equazioni differenziali del primo ordine

2.1. Concetti basilari

Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione della forma F(x,y,y") = 0.

L'equazione differenziale del primo ordine include la derivata prima e non include le derivate di ordine superiore.

L'equazione y" = f(x, y)è chiamata equazione del primo ordine risolta rispetto alla derivata.

Una soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine è una funzione della forma , che contiene una costante arbitraria.

Esempio. Consideriamo un'equazione differenziale del primo ordine.

La soluzione di questa equazione è la funzione .

Infatti, sostituendo in questa equazione con il suo valore, otteniamo

questo è 3x=3x

Pertanto, la funzione è una soluzione generale dell'equazione per qualsiasi costante C.

Trova una particolare soluzione di questa equazione che soddisfi la condizione iniziale y(1)=1 Condizioni iniziali sostitutive x=1, y=1 nella soluzione generale dell'equazione , otteniamo donde C=0.

Quindi, otteniamo una soluzione particolare da quella generale sostituendo in questa equazione, il valore risultante C=0è una decisione privata

2.2. Equazioni differenziali a variabili separabili

Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma: y"=f(x)g(y) o attraverso differenziali , dove f(x) E g(y) sono assegnate funzioni.

Per coloro si, per cui , l'equazione y"=f(x)g(y)è equivalente all'equazione in cui la variabile siè presente solo sul lato sinistro e la variabile x è presente solo sul lato destro. Dicono, "nell'equazione y"=f(x)g(y separare le variabili

Digitare l'equazione è detta equazione a variabili separate.

Dopo aver integrato entrambe le parti dell'equazione Di X, noi abbiamo G(y) = F(x) + Cè la soluzione generale dell'equazione, dove Sol(y) E F(x) sono delle primitive, rispettivamente, delle funzioni e f(x), C costante arbitraria.

Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine con variabili separabili

Esempio 1

risolvere l'equazione y" = xy

Soluzione. Derivata di una funzione si" sostituirlo con

separiamo le variabili

Integriamo entrambe le parti dell'uguaglianza:

Esempio 2

2yy" = 1- 3x 2, Se y 0 = 3 A x0 = 1

Questa è un'equazione a variabile separata. Rappresentiamolo in differenziali. Per fare ciò, riscriviamo questa equazione nella forma Da qui

Integrando entrambe le parti dell'ultima uguaglianza, troviamo

Sostituzione dei valori iniziali x 0 = 1, y 0 = 3 Trovare CON 9=1-1+C, cioè. C = 9.

Pertanto, l'integrale parziale desiderato sarà O

Esempio 3

Scrivi un'equazione per una curva passante per un punto M(2;-3) e avendo una tangente con una pendenza

Soluzione. Secondo la condizione

Questa è un'equazione variabile separabile. Dividendo le variabili otteniamo:

Integrando le due parti dell'equazione, otteniamo:

Usando le condizioni iniziali, x=2 E y=-3 Trovare C:

Pertanto, l'equazione desiderata ha la forma

2.3. Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è un'equazione della forma y" = f(x)y + g(x)

Dove f(x) E g(x)- alcune funzioni date.

Se g(x)=0 allora l'equazione differenziale lineare si dice omogenea e ha la forma: y" = f(x)y

Se poi l'equazione y" = f(x)y + g(x) detto eterogeneo.

Soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea lineare y" = f(x)y data dalla formula: dove CONè una costante arbitraria.

In particolare, se C \u003d 0, allora la soluzione è y=0 Se l'equazione lineare omogenea ha la forma y" = ky Dove Kè una costante, allora la sua soluzione generale ha la forma: .

Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare disomogenea y" = f(x)y + g(x) data dalla formula ,

quelli. è uguale alla somma della soluzione generale della corrispondente equazione lineare omogenea e della soluzione particolare di questa equazione.

Per un'equazione lineare disomogenea della forma y" = kx + b,

Dove K E B- alcuni numeri e una particolare soluzione saranno una funzione costante. Pertanto, la soluzione generale ha la forma .

Esempio. risolvere l'equazione y" + 2y +3 = 0

Soluzione. Rappresentiamo l'equazione nella forma y" = -2y - 3 Dove k=-2, b=-3 La soluzione generale è data dalla formula .

Pertanto, dove C è una costante arbitraria.

2.4. Soluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine con il metodo di Bernoulli

Trovare una soluzione generale a un'equazione differenziale lineare di primo ordine y" = f(x)y + g(x) si riduce a risolvere due equazioni differenziali con variabili separate usando la sostituzione y=uv, Dove tu E v- funzioni sconosciute da X. Questo metodo di soluzione è chiamato metodo di Bernoulli.

Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine

y" = f(x)y + g(x)

1. Immettere una sostituzione y=uv.

2. Differenziare questa uguaglianza y"=u"v + uv"

3. Sostituto si E si" in questa equazione: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) O u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Raggruppa i termini dell'equazione in modo che tu toglilo dalle parentesi:

5. Dalla parentesi, equiparandolo a zero, trova la funzione

Questa è un'equazione separabile:

Dividi le variabili e ottieni:

Dove . .

6. Sostituire il valore ricevuto v nell'equazione (dal punto 4):

e trova la funzione Questa è un'equazione separabile:

7. Scrivi la soluzione generale nella forma: , cioè. .

Esempio 1

Trova una soluzione particolare dell'equazione y" = -2y +3 = 0 Se y=1 A x=0

Soluzione. Risolviamolo con la sostituzione y=uv,.y"=u"v + uv"

Sostituzione si E si" in questa equazione, otteniamo

Raggruppando il secondo e il terzo termine sul lato sinistro dell'equazione, eliminiamo il fattore comune tu fuori parentesi

Uguagliamo l'espressione tra parentesi a zero e, dopo aver risolto l'equazione risultante, troviamo la funzione v = v(x)

Abbiamo un'equazione con variabili separate. Integriamo entrambe le parti di questa equazione: trova la funzione v:

Sostituisci il valore risultante v nell'equazione Otteniamo:

Questa è un'equazione a variabile separata. Integriamo entrambe le parti dell'equazione: Troviamo la funzione u = u(x,c) Troviamo una soluzione generale: Troviamo una particolare soluzione dell'equazione che soddisfi le condizioni iniziali y=1 A x=0:

III. Equazioni differenziali di ordine superiore

3.1. Concetti e definizioni di base

Un'equazione differenziale del secondo ordine è un'equazione contenente derivate non superiori al secondo ordine. Nel caso generale, l'equazione differenziale del secondo ordine è scritta come: F(x,y,y",y") = 0

La soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine è una funzione della forma , che include due costanti arbitrarie C1 E C2.

Una soluzione particolare di un'equazione differenziale del secondo ordine è una soluzione ottenuta da quella generale per alcuni valori di costanti arbitrarie C1 E C2.

3.2. Equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine con rapporti costanti.

Equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine a coefficienti costanti si chiama equazione della forma y" + py" + qy = 0, Dove P E Q sono valori costanti.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

1. Scrivi l'equazione differenziale nella forma: y" + py" + qy = 0.

2. Componi la sua equazione caratteristica, denotando si" Attraverso r2, si" Attraverso R, si in 1: r2 + pr + q = 0