A scuola, molte persone non riescono a risolvere gli integrali o hanno difficoltà con essi. Questo articolo ti aiuterà a capirlo, poiché troverai tutto al suo interno. tabelle integrali.
Integranteè uno dei calcoli e dei concetti principali dell'analisi matematica. Il suo aspetto è il risultato di due scopi:
Primo gol- ripristinare una funzione utilizzando la sua derivata.
Secondo gol- calcolo dell'area situata alla distanza del grafico dalla funzione f(x) sulla retta dove a è maggiore o uguale a x maggiore o uguale a be l'asse x.
Questi obiettivi ci portano a integrali definiti e indefiniti. La connessione tra questi integrali sta nella ricerca di proprietà e nel calcolo. Ma tutto scorre e tutto cambia nel tempo, si sono trovate nuove soluzioni, si sono individuate integrazioni, portando così integrali definiti e indefiniti ad altre forme di integrazione.
Che è successo integrale indefinito tu chiedi. Questa è una funzione antiderivativa F(x) di una variabile x nell'intervallo a maggiore di x maggiore di b. è chiamata qualsiasi funzione F(x), in un dato intervallo per qualsiasi designazione x, la derivata è uguale a F(x). È chiaro che F(x) è antiderivativa per f(x) nell'intervallo a è maggiore di x è maggiore di b. Ciò significa che F1(x) = F(x) + C. C - è una qualsiasi costante e antiderivativa per f(x) in un dato intervallo. Questa dichiarazione invertibile, per la funzione f(x) - 2 le antiderivative differiscono solo nella costante. In base al teorema del calcolo integrale risulta che ogni continuo nell'intervallo a
Integrale definito è inteso come limite in somme intere, o nella situazione di una data funzione f(x) definita su una qualche linea (a,b) avente su di sé un'antiderivativa F, cioè la differenza delle sue espressioni agli estremi di una data linea F(b) - F(a).
Per illustrare lo studio di questo argomento, suggerisco la visione del video. Racconta in dettaglio e mostra come trovare gli integrali.
Ogni tabella di integrali di per sé è molto utile, poiché aiuta a risolvere un tipo specifico di integrale.
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Formule fondamentali e metodi di integrazione. La regola per integrare una somma o una differenza. Spostamento della costante fuori dal segno di integrale. Metodo di sostituzione variabile. Formula di integrazione per parti. Un esempio di risoluzione di un problema.
Di seguito sono elencati i quattro principali metodi di integrazione.
1)
La regola per integrare una somma o una differenza.
.
Qui e sotto u, v, w sono funzioni della variabile di integrazione x.
2)
Spostamento della costante fuori dal segno di integrale.
Sia c una costante indipendente da x. Quindi può essere tolto dal segno integrale.
3)
Metodo di sostituzione variabile.
Consideriamo l'integrale indefinito.
Se riusciamo a trovare una tale funzione φ (X) da x, quindi
,
allora, sostituendo la variabile t = φ(x) , abbiamo
.
4)
Formula di integrazione per parti.
,
dove u e v sono funzioni della variabile di integrazione.
L'obiettivo finale del calcolo integrali indefiniti- si tratta, attraverso trasformazioni, di ridurre un integrale dato agli integrali più semplici, che sono detti integrali tabulari. Gli integrali di tabella sono espressi tramite funzioni elementari utilizzando formule note.
Vedi Tabella degli integrali >>>
Esempio
Calcolare l'integrale indefinito
Soluzione
Notiamo che l’integrando è la somma e la differenza di tre termini:
, E .
Applicazione del metodo 1
.
Successivamente, notiamo che gli integrandi dei nuovi integrali vengono moltiplicati per le costanti 5, 4,
E 2
, rispettivamente. Applicazione del metodo 2
.
Nella tabella degli integrali troviamo la formula
.
Supponendo n = 2
, troviamo il primo integrale.
Riscriviamo il secondo integrale nella forma
.
Lo notiamo. Poi
Usiamo il terzo metodo. Cambiamo la variabile t = φ (x) = logaritmo x.
.
Nella tabella degli integrali troviamo la formula
Poiché la variabile di integrazione può essere denotata da qualsiasi lettera, allora
Riscriviamo il terzo integrale nella forma
.
Applichiamo la formula di integrazione per parti.
Mettiamolo.
Poi
;
;
;
;
.
Nel materiale precedente è stato considerato il problema di trovare la derivata e sono state mostrate le sue varie applicazioni: calcolo della pendenza di una tangente a un grafico, risoluzione di problemi di ottimizzazione, studio di funzioni per la monotonicità e gli estremi. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
Immagine 1.
È stato inoltre considerato il problema di trovare la velocità istantanea $v(t)$ mediante la derivata lungo un percorso percorso precedentemente noto, espressa dalla funzione $s(t)$.
Figura 2.
Molto comune è anche il problema inverso, quando occorre trovare il percorso $s(t)$ percorso da un punto nel tempo $t$, conoscendo la velocità del punto $v(t)$. Se ricordiamo, la velocità istantanea $v(t)$ si trova come derivata della funzione cammino $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Ciò significa che per risolvere il problema inverso, cioè calcolare il percorso, è necessario trovare una funzione la cui derivata sarà uguale alla funzione velocità. Ma sappiamo che la derivata del percorso è la velocità, cioè: $s’(t) = v(t)$. La velocità è uguale all'accelerazione per il tempo: $v=at$. È facile determinare che la funzione del percorso desiderata avrà la forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ma questa non è una soluzione del tutto completa. La soluzione completa avrà la forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, dove $C$ è una costante. Il motivo per cui è così verrà discusso ulteriormente. Per ora controlliamo la correttezza della soluzione trovata: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.
Vale la pena notare che trovare un percorso basato sulla velocità è il significato fisico di un'antiderivativa.
La funzione risultante $s(t)$ è chiamata antiderivativa della funzione $v(t)$. Un nome piuttosto interessante e insolito, non è vero? Contiene un grande significato che spiega l'essenza di questo concetto e porta alla sua comprensione. Noterai che contiene due parole "first" e "image". Parlano da soli. Cioè, questa è la funzione iniziale della derivata che abbiamo. E usando questa derivata cerchiamo la funzione che era all'inizio, era “prima”, “prima immagine”, cioè antiderivativa. A volte viene anche chiamata funzione primitiva o antiderivativa.
Come già sappiamo, il processo per trovare la derivata si chiama differenziazione. E il processo per trovare l'antiderivativa si chiama integrazione. L’operazione di integrazione è l’inverso dell’operazione di differenziazione. È vero anche il contrario.
Definizione. Un'antiderivativa per una funzione $f(x)$ su un certo intervallo è una funzione $F(x)$ la cui derivata è uguale a questa funzione $f(x)$ per tutti gli $x$ dell'intervallo specificato: $F' (x)=f (x)$.
Qualcuno potrebbe avere una domanda: da dove vengono $F(x)$ e $f(x)$ nella definizione, se inizialmente parlavamo di $s(t)$ e $v(t)$. Il fatto è che $s(t)$ e $v(t)$ sono casi speciali di designazione di funzioni che in questo caso hanno un significato specifico, cioè sono rispettivamente una funzione del tempo e una funzione della velocità. È lo stesso con la variabile $t$: denota il tempo. E $f$ e $x$ sono rispettivamente la variante tradizionale della designazione generale di una funzione e di una variabile. Vale la pena prestare particolare attenzione alla notazione dell'antiderivativa $F(x)$. Prima di tutto, $F$ è capitale. Gli antiderivativi sono indicati in maiuscolo. In secondo luogo, le lettere sono le stesse: $F$ e $f$. Cioè, per la funzione $g(x)$ l'antiderivativa sarà indicata con $G(x)$, per $z(x)$ - con $Z(x)$. Indipendentemente dalla notazione, le regole per trovare una funzione antiderivativa sono sempre le stesse.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempio 1. Dimostrare che la funzione $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ è un'antiderivativa della funzione $f(x)=\cos5x$.
Per dimostrarlo useremo la definizione, e più precisamente il fatto che $F'(x)=f(x)$, e trova la derivata della funzione $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)'= \frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Ciò significa che $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ è l'antiderivativa di $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Esempio 2. Trovare quali funzioni corrispondono alle seguenti antiderivative: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Per trovare le funzioni richieste, calcoliamo le loro derivate:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.
Esempio 3. Quale sarà la primitiva per $f(x)=0$?
Usiamo la definizione. Pensiamo a quale funzione può avere una derivata pari a $0$. Ricordando la tabella delle derivate, troviamo che qualsiasi costante avrà una tale derivata. Troviamo che la primitiva che stiamo cercando è: $F(x)= C$.
La soluzione risultante può essere spiegata geometricamente e fisicamente. Geometricamente significa che la tangente al grafico $y=F(x)$ è orizzontale in ogni punto di questo grafico e, quindi, coincide con l'asse $Ox$. Fisicamente si spiega con il fatto che un punto con velocità pari a zero rimane al suo posto, cioè il percorso che ha percorso rimane invariato. Sulla base di ciò possiamo formulare il seguente teorema.
Teorema. (Segno di costanza delle funzioni). Se su un intervallo $F’(x) = 0$, allora la funzione $F(x)$ su questo intervallo è costante.
Esempio 4. Determina quali funzioni sono antiderivative di a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, dove $a$ è un numero.
Usando la definizione di antiderivativa, concludiamo che per risolvere questo problema dobbiamo calcolare le derivate delle funzioni antiderivative che ci vengono date. Quando calcoli, ricorda che la derivata di una costante, cioè di qualsiasi numero, è uguale a zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\sinistra(\frac(x^7)(7) – 3\destra)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
Cosa vediamo? Diverse funzioni diverse sono primitive della stessa funzione. Ciò suggerisce che qualsiasi funzione ha infinite antiderivative e hanno la forma $F(x) + C$, dove $C$ è una costante arbitraria. Cioè, l’operazione di integrazione è multivalore, a differenza dell’operazione di differenziazione. Sulla base di ciò, formuliamo un teorema che descrive la proprietà principale degli antiderivativi.
Teorema. (La proprietà principale degli antiderivativi). Lasciamo che le funzioni $F_1$ e $F_2$ siano antiderivative della funzione $f(x)$ su un certo intervallo. Quindi per tutti i valori di questo intervallo è vera la seguente uguaglianza: $F_2=F_1+C$, dove $C$ è una costante.
Il fatto della presenza di un numero infinito di antiderivativi può essere interpretato geometricamente. Usando la traslazione parallela lungo l'asse $Oy$, si possono ottenere l'uno dall'altro i grafici di due qualsiasi antiderivative per $f(x)$. Questo è significato geometrico antiderivativo.
È molto importante prestare attenzione al fatto che scegliendo la costante $C$ si può garantire che il grafico dell'antiderivativa passi per un certo punto.
Figura 3.
Esempio 5. Trovare l'antiderivativa della funzione $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, il cui grafico passa per il punto $(3; 1)$.
Troviamo prima tutte le antiderivative di $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Successivamente troveremo un numero C per il quale il grafico $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ passerà per il punto $(3; 1)$. Per fare ciò, sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione del grafico e risolviamola per $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Abbiamo ottenuto un grafo $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, che corrisponde all'antiderivativa $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabella degli antiderivativi
Una tabella di formule per trovare gli antiderivati può essere compilata utilizzando le formule per trovare i derivati.
| Funzioni | Antiderivativi |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\peccato x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\peccato x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcoseno x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arco x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
Puoi verificare la correttezza della tabella nel modo seguente: per ogni insieme di antiderivative situate nella colonna di destra, trova la derivata, che risulterà nelle funzioni corrispondenti nella colonna di sinistra.
Alcune regole per la ricerca degli antiderivativi
Come sai, molte funzioni ne hanno di più aspetto complesso, piuttosto che quelli indicati nella tabella delle antiderivative, e possono rappresentare qualsiasi combinazione arbitraria di somme e prodotti di funzioni da questa tabella. E qui sorge la domanda: come calcolare le antiderivative di tali funzioni. Ad esempio, dalla tabella sappiamo come calcolare le antiderivative di $x^3$, $\sin x$ e $10$. Come si può, ad esempio, calcolare l'antiderivativa $x^3-10\sin x$? Guardando al futuro, vale la pena notare che sarà uguale a $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Se $F(x)$ è l'antiderivativa per $f(x)$, $G(x)$ per $g(x)$, allora per $f(x)+g(x)$ l'antiderivativa sarà uguale a $ F(x)+G(x)$.
2. Se $F(x)$ è un'antiderivativa per $f(x)$ e $a$ è una costante, allora per $af(x)$ l'antiderivativa è $aF(x)$.
3. Se per $f(x)$ l'antiderivativa è $F(x)$, $a$ e $b$ sono costanti, allora $\frac(1)(a) F(ax+b)$ è l'antiderivativa per $f (ax+b)$.
Utilizzando le regole ottenute possiamo espandere la tabella delle antiderivative.
| Funzioni | Antiderivativi |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Esempio 5. Trova gli antiderivati per:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
In questa pagina troverai:
1. In realtà, la tabella degli antiderivati può essere scaricata da Formato PDF e stampare;
2. Video su come utilizzare questa tabella;
3. Una serie di esempi di calcolo dell'antiderivativo da vari libri di testo e test.
Nel video stesso analizzeremo molti problemi in cui è necessario calcolare le antiderivative di funzioni, spesso piuttosto complesse, ma soprattutto non sono funzioni di potenza. Tutte le funzioni riassunte nella tabella proposta sopra devono essere conosciute a memoria, come le derivate. Senza di essi, è impossibile un ulteriore studio degli integrali e della loro applicazione per risolvere problemi pratici.
Oggi continuiamo a studiare gli antiderivativi e passiamo a qualcosa di più argomento complesso. Se l'ultima volta abbiamo considerato le antiderivative solo di funzioni di potenza e costruzioni leggermente più complesse, oggi esamineremo la trigonometria e molto altro.
Come ho detto nell’ultima lezione, gli antiderivativi, a differenza dei derivati, non vengono mai risolti “immediatamente” utilizzando regole standard. Inoltre, la cattiva notizia è che, a differenza del derivato, l’antiderivativo potrebbe non essere affatto considerato. Se scriviamo una funzione completamente casuale e proviamo a trovarne la derivata, allora con una probabilità molto alta ci riusciremo, ma in questo caso l'antiderivativa non verrà quasi mai calcolata. Ma c'è una buona notizia: esiste una classe abbastanza ampia di funzioni chiamate funzioni elementari, le cui antiderivative sono molto facili da calcolare. E tutte le altre strutture più complesse che vengono fornite in tutti i tipi di test, test indipendenti ed esami, infatti, sono costituite da queste funzioni elementari attraverso addizioni, sottrazioni e altre semplici azioni. I prototipi di tali funzioni sono stati a lungo calcolati e compilati in tabelle speciali. Sono queste funzioni e tabelle con cui lavoreremo oggi.
Ma inizieremo, come sempre, con una ripetizione: ricordiamo cos’è un’antiderivativa, perché ne esistono infiniti e come definirli forma generale. Per fare questo, ho raccolto due semplici problemi.
Risolvere semplici esempi
Esempio 1
Notiamo subito che $\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(6)$ e in generale la presenza di $\text()\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ci suggerisce immediatamente che l'antiderivativa richiesta della funzione è correlata alla trigonometria. E infatti, se guardiamo la tabella, scopriremo che $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ non è altro che $\text(arctg)x$. Quindi scriviamolo:
Per trovarlo è necessario scrivere quanto segue:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text()) (3)+C\]
Esempio n.2
Anche qui parliamo di funzioni trigonometriche. Se guardiamo la tabella, ecco cosa succede:
Dobbiamo trovare tra l'intero insieme degli antiderivativi quello che passa per il punto indicato:
\[\text()\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\testo()\!\!\pi\!\!\testo( )=\frac(\testo( )\!\!\pi\!\!\testo( ))(6)+C\]
Infine scriviamolo:
È così semplice. L'unico problema è quello di contare gli antiderivativi funzioni semplici, devi imparare la tabella degli antiderivativi. Tuttavia, dopo aver studiato per te la tabella delle derivate, penso che questo non sarà un problema.
Risoluzione di problemi contenenti una funzione esponenziale
Per cominciare, scriviamo le seguenti formule:
\[((e)^(x))\a ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Vediamo come funziona tutto questo nella pratica.
Esempio 1
Se osserviamo il contenuto delle parentesi, noteremo che nella tabella delle derivate non esiste un'espressione del genere per far sì che $((e)^(x))$ sia in un quadrato, quindi questo quadrato deve essere espanso. Per fare ciò, utilizziamo le formule di moltiplicazione abbreviate:
Troviamo la primitiva per ciascuno dei termini:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Ora raccogliamo tutti i termini in un'unica espressione e otteniamo l'antiderivativa generale:
Esempio n.2
Questa volta il grado è maggiore, quindi la formula di moltiplicazione abbreviata sarà piuttosto complessa. Allora apriamo le parentesi:
Ora proviamo a prendere la primitiva della nostra formula da questa costruzione:
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato o di soprannaturale nelle antiderivative della funzione esponenziale. Tutti sono calcolati tramite tabelle, ma gli studenti più attenti noteranno probabilmente che l'antiderivativa $((e)^(2x))$ è molto più vicina semplicemente a $((e)^(x))$ che a $((a )^(x ))$. Quindi, forse esiste qualche regola più speciale che permette, conoscendo l'antiderivativa $((e)^(x))$, di trovare $((e)^(2x))$? Sì, esiste una regola del genere. E, inoltre, è parte integrante del lavoro con la tabella delle antiderivative. Lo analizzeremo ora utilizzando come esempio le stesse espressioni con cui abbiamo appena lavorato.
Regole per lavorare con la tabella delle antiderivative
Scriviamo di nuovo la nostra funzione:
Nel caso precedente abbiamo utilizzato la seguente formula per risolvere:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Ma ora facciamolo in modo leggermente diverso: ricordiamo su quale base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Come ho già detto, poiché la derivata $((e)^(x))$ non è altro che $((e)^(x))$, quindi la sua antiderivativa sarà uguale alla stessa $((e) ^ (x))$. Ma il problema è che abbiamo $((e)^(2x))$ e $((e)^(-2x))$. Ora proviamo a trovare la derivata di $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Riscriviamo nuovamente la nostra costruzione:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Ciò significa che quando troviamo l'antiderivativa $((e)^(2x))$ otteniamo quanto segue:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Come puoi vedere, abbiamo ottenuto lo stesso risultato di prima, ma non abbiamo utilizzato la formula per trovare $((a)^(x))$. Ora, questo può sembrare stupido: perché complicare i calcoli quando esiste una formula standard? Tuttavia, nelle espressioni leggermente più complesse scoprirai che questa tecnica è molto efficace, ad es. utilizzare i derivati per trovare gli antiderivativi.
Come riscaldamento, troviamo l'antiderivativa di $((e)^(2x))$ in modo simile:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Durante il calcolo, la nostra costruzione verrà scritta come segue:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Abbiamo ottenuto esattamente lo stesso risultato, ma abbiamo preso una strada diversa. È questo percorso, che ora ci sembra un po' più complicato, che in futuro si rivelerà più efficace per il calcolo delle antiderivative più complesse e l'utilizzo delle tabelle.
Nota! Questo è molto punto importante: Gli antiderivativi, come i derivati, possono essere contati in molti modi diversi. Tuttavia, se tutti i calcoli e i calcoli sono uguali, la risposta sarà la stessa. Lo abbiamo appena visto con l'esempio di $((e)^(-2x))$ - da un lato, abbiamo calcolato questa antiderivativa "fino in fondo", utilizzando la definizione e calcolandola utilizzando trasformazioni, dall'altro, ci siamo ricordati che $ ((e)^(-2x))$ può essere rappresentato come $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ e solo allora abbiamo utilizzato l'antiderivativa per la funzione $( (a)^(x))$. Tuttavia, dopo tutte le trasformazioni, il risultato è stato lo stesso, come previsto.
E ora che abbiamo capito tutto questo, è tempo di passare a qualcosa di più significativo. Ora analizzeremo due semplici costruzioni, ma la tecnica che verrà utilizzata per risolverle è uno strumento più potente e utile della semplice “corsa” tra antiderivative vicine dalla tabella.
Risoluzione di problemi: trovare l'antiderivativa di una funzione
Esempio 1
Suddividiamo l'importo presente nei numeratori in tre frazioni separate:
Questa è una transizione abbastanza naturale e comprensibile: la maggior parte degli studenti non ha problemi con essa. Riscriviamo la nostra espressione come segue:
Ora ricordiamo questa formula:
Nel nostro caso otterremo quanto segue:
Per eliminare tutte queste frazioni a tre piani, suggerisco di fare quanto segue:
Esempio n.2
A differenza della frazione precedente, il denominatore non è un prodotto, ma una somma. In questo caso non possiamo più dividere la nostra frazione nella somma di più frazioni frazioni semplici, ma devi in qualche modo cercare di assicurarti che il numeratore contenga approssimativamente la stessa espressione del denominatore. In questo caso, è abbastanza semplice farlo:
Questa notazione, che in linguaggio matematico si chiama “addizione di zero”, ci permetterà di dividere nuovamente la frazione in due parti:
Ora troviamo quello che cercavamo:
Questi sono tutti i calcoli. Nonostante l'apparente maggiore complessità rispetto al problema precedente, la quantità di calcoli si è rivelata ancora minore.
Sfumature della soluzione
Ed è qui che risiede la principale difficoltà nel lavorare con gli antiderivativi tabulari, ciò è particolarmente evidente nel secondo compito. Il fatto è che per selezionare alcuni elementi facilmente calcolabili tramite la tabella, dobbiamo sapere cosa stiamo cercando esattamente, ed è nella ricerca di questi elementi che consiste l'intero calcolo delle antiderivative.
In altre parole, non è sufficiente memorizzare la tabella degli antiderivativi: è necessario essere in grado di vedere qualcosa che ancora non esiste, ma cosa intendeva l'autore e compilatore di questo problema. Questo è il motivo per cui molti matematici, insegnanti e professori sostengono costantemente: "Cosa significa prendere gli antiderivati o l'integrazione: è solo uno strumento o è una vera arte?" In effetti, secondo la mia opinione personale, l'integrazione non è affatto un'arte: non c'è nulla di sublime in essa, è solo pratica e ancora pratica. E per esercitarci, risolviamo tre esempi più seri.
Ci alleniamo all'integrazione nella pratica
Compito n. 1
Scriviamo le seguenti formule:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Scriviamo quanto segue:
Problema n.2
Riscriviamolo così:
L'antiderivativa totale sarà pari a:
Problema n.3
La difficoltà di questo compito è che, a differenza delle funzioni precedenti, non esiste alcuna variabile $x$, cioè non ci è chiaro cosa aggiungere o sottrarre per ottenere almeno qualcosa di simile a quanto riportato di seguito. Tuttavia, in realtà, questa espressione è considerata ancora più semplice di qualsiasi espressione precedente, perché questa funzione può essere riscritta come segue:
Ora potresti chiederti: perché queste funzioni sono uguali? Controlliamo:
Riscriviamolo ancora:
Trasformiamo un po' la nostra espressione:
E quando spiego tutto questo ai miei studenti, quasi sempre si pone lo stesso problema: con la prima funzione è tutto più o meno chiaro, con la seconda puoi anche capirlo con fortuna o con la pratica, ma che razza di coscienza alternativa fai? è necessario avere per risolvere il terzo esempio? In realtà, non aver paura. La tecnica che abbiamo utilizzato per calcolare l'ultima antiderivativa si chiama "scomposizione di una funzione nella sua forma più semplice", e questa è una tecnica molto seria, alla quale sarà dedicata una lezione video separata.
Nel frattempo, propongo di tornare a ciò che abbiamo appena studiato, vale a dire alle funzioni esponenziali e di complicare in qualche modo i problemi con il loro contenuto.
Problemi più complessi per la risoluzione di funzioni esponenziali antiderivative
Compito n. 1
Notiamo quanto segue:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Per trovare l'antiderivativa di questa espressione, usa semplicemente la formula standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Nel nostro caso, l'antiderivativa sarà così:
Naturalmente, rispetto al progetto che abbiamo appena risolto, questo sembra più semplice.
Problema n.2
Ancora una volta, è facile vedere che questa funzione può essere facilmente divisa in due termini separati: due frazioni separate. Riscriviamo:
Resta da trovare l'antiderivativo di ciascuno di questi termini utilizzando la formula sopra descritta:
Nonostante l'apparente grande complessità funzioni esponenziali Rispetto a quelli potenti, il volume complessivo di calcoli e calcoli si è rivelato molto più semplice.
Naturalmente, per gli studenti esperti, ciò di cui abbiamo appena discusso (soprattutto alla luce di ciò che abbiamo discusso in precedenza) può sembrare un'espressione elementare. Tuttavia, scegliendo questi due problemi per la videolezione di oggi, non mi sono prefissato l'obiettivo di raccontarvi un'altra tecnica complessa e sofisticata: tutto quello che volevo mostrarvi è che non dovreste aver paura di utilizzare le tecniche di algebra standard per trasformare le funzioni originali .
Usando una tecnica "segreta".
In conclusione, vorrei considerare un'altra tecnica interessante, che, da un lato, va oltre ciò di cui abbiamo discusso principalmente oggi, ma, dall'altro, non è affatto complicata, ad es. Anche gli studenti principianti possono padroneggiarlo e, in secondo luogo, si trova abbastanza spesso in tutti i tipi di test e lavoro indipendente, ad es. la sua conoscenza sarà molto utile oltre alla conoscenza della tavola degli antiderivativi.
Compito n. 1
Ovviamente abbiamo qualcosa di molto simile a una funzione di potenza. Cosa dovremmo fare in questo caso? Pensiamoci: $x-5$ non è molto diverso da $x$: hanno semplicemente aggiunto $-5$. Scriviamolo così:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Proviamo a trovare la derivata di $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Ciò implica:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ destra))^(\prime ))\]
Non esiste un valore simile nella tabella, quindi ora abbiamo derivato noi stessi questa formula utilizzando la formula antiderivativa standard per funzione di potenza. Scriviamo la risposta in questo modo:
Problema n.2
Molti studenti che guardano la prima soluzione potrebbero pensare che tutto sia molto semplice: basta sostituire $x$ nella funzione potenza con un'espressione lineare e tutto andrà a posto. Sfortunatamente, tutto non è così semplice, e ora lo vedremo.
Per analogia con la prima espressione, scriviamo quanto segue:
\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Ritornando alla nostra derivata possiamo scrivere:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Questo segue immediatamente:
Sfumature della soluzione
Nota: se l'ultima volta non è cambiato sostanzialmente nulla, nel secondo caso invece di $ -10$ sono comparsi $ -30$. Qual è la differenza tra $-10$ e $-30$? Ovviamente, di un fattore di $-3$. Domanda: da dove viene? Se guardi da vicino, puoi vedere che è stato preso come risultato del calcolo della derivata di una funzione complessa: il coefficiente che era pari a $x$ appare nell'antiderivativa di seguito. Questo è molto regola importante, di cui inizialmente non avevo intenzione di parlare affatto nel video tutorial di oggi, ma senza di esso la presentazione degli antiderivativi tabulari sarebbe incompleta.
Quindi facciamolo di nuovo. Lascia che ci sia la nostra funzione di alimentazione principale:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Ora, invece di $x$, sostituiamo l'espressione $kx+b$. Cosa accadrà allora? Dobbiamo trovare quanto segue:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \destra)\cpunto k)\]
Su quale base affermiamo questo? Molto semplice. Troviamo la derivata della costruzione scritta sopra:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\sinistra(kx+b \destra))^(n))\]
Questa è la stessa espressione che esisteva originariamente. Quindi anche questa formula è corretta e può essere utilizzata per integrare la tabella degli antiderivati, oppure è meglio semplicemente memorizzare l'intera tabella.
Conclusioni dal “segreto: tecnica:
- Entrambe le funzioni che abbiamo appena visto si possono infatti ridurre alle antiderivative indicate nella tabella espandendo i gradi, ma se riusciamo più o meno in qualche modo a far fronte al quarto grado, allora non farei il nono grado a tutti hanno osato rivelare.
- Se dovessimo espandere i poteri, otterremmo un tale volume di calcoli che compito semplice prenderebbe in prestito da noi in modo inadeguato un gran numero di tempo.
- Ecco perché tali problemi, che contengono espressioni lineari, non hanno bisogno di essere risolti “a capofitto”. Non appena trovi un'antiderivativa che differisce da quella della tabella solo per la presenza dell'espressione $kx+b$ al suo interno, ricorda immediatamente la formula scritta sopra, sostituiscila nella tua tabella antiderivativa e tutto verrà molto bene più veloce e più facile.
Naturalmente, vista la complessità e la serietà di questa tecnica, torneremo più volte sulla sua considerazione nelle future videolezioni, ma per oggi è tutto. Spero che questa lezione possa davvero aiutare gli studenti che vogliono comprendere le antiderivative e l'integrazione.
L'integrazione non è difficile da imparare. Per fare questo, devi solo imparare un certo insieme di regole abbastanza piccolo e sviluppare una sorta di istinto. Naturalmente è facile apprendere regole e formule, ma è abbastanza difficile capire dove e quando applicare questa o quella regola di integrazione o differenziazione. Questa, infatti, è la capacità di integrare.
1. Antiderivativo. Integrale indefinito.
Si presuppone che al momento della lettura di questo articolo il lettore abbia già alcune capacità di differenziazione (ad esempio, trovare derivati).
Definizione 1.1: Una funzione si dice antiderivativa di una funzione se vale l'uguaglianza:
Commenti:> L'enfasi nella parola “primordiale” può essere posta in due modi: primo O figurativo o prototipo UN sapere.
Proprietà 1: Se una funzione è un'antiderivativa di una funzione, allora anche la funzione è un'antiderivativa di una funzione.
Prova: Dimostriamolo partendo dalla definizione di antiderivativa. Troviamo la derivata della funzione:
Il primo termine in definizione 1.1è uguale a e il secondo termine è la derivata della costante, che è uguale a 0.
.
Riassumere. Scriviamo l'inizio e la fine della catena di uguaglianze: 
Pertanto, la derivata di una funzione è uguale a , e quindi, per definizione, è la sua antiderivativa. La proprietà è stata dimostrata.
Definizione 1.2: L'integrale indefinito di una funzione è l'intero insieme delle antiderivative di questa funzione. Ciò è indicato come segue: 
.
Diamo un'occhiata ai nomi di ciascuna parte del record in dettaglio:
— designazione generale dell'integrale,
— espressione integranda (integrale), funzione integrabile.
è un differenziale e l'espressione dopo la lettera , in questo caso è , verrà chiamata variabile di integrazione.
Commenti: Parole chiave in questa definizione – “l’intera moltitudine”. Quelli. Se in futuro lo stesso "più C" non sarà scritto nella risposta, l'esaminatore ha tutto il diritto di non contare questo compito, perché è necessario trovare l'intero insieme degli antiderivativi e, se manca C, ne viene trovato solo uno.
Conclusione: Per verificare se l'integrale è calcolato correttamente, è necessario trovare la derivata del risultato. Deve coincidere con l'integrando.
Esempio:
Esercizio: Calcolare l'integrale indefinito e verificare.
Soluzione:
Il modo in cui viene calcolato questo integrale non ha importanza in questo caso. Supponiamo che questa sia una rivelazione dall'alto. Il nostro compito è mostrare che la rivelazione non ci ha ingannato, e questo può essere fatto attraverso la verifica.
Visita medica:
Differenziando il risultato, abbiamo ottenuto un integrando, il che significa che l'integrale è stato calcolato correttamente.
2. Inizio. Tabella degli integrali.
Per integrare non è necessario ricordare ogni volta la funzione la cui derivata è uguale all'integrando dato (cioè utilizzare direttamente la definizione di integrale). Ogni raccolta di problemi o libro di testo sull'analisi matematica contiene un elenco di proprietà degli integrali e una tabella degli integrali più semplici.
Elenchiamo le proprietà.
Proprietà:
1.
L'integrale del differenziale è uguale alla variabile di integrazione.
2. , dove è una costante.
Il moltiplicatore costante può essere estratto dal segno integrale.
3.
L'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali (se il numero di termini è finito).
Tabella degli integrali:
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Molto spesso, il compito è ridurre l'integrale in studio a uno tabellare utilizzando proprietà e formule.
Esempio:
[Utilizziamo la terza proprietà degli integrali e scriviamola come somma di tre integrali.]
[Utilizziamo la seconda proprietà e spostiamo le costanti oltre il segno di integrazione.]
[ Nel primo integrale utilizzeremo l'integrale di tabella n. 1 (n=2), nel secondo utilizzeremo la stessa formula, ma n=1, e per il terzo integrale possiamo utilizzare lo stesso integrale di tabella, ma con n=0, o la prima proprietà.]
.
Controlliamo per differenziazione:
È stato ottenuto l'integrando originale, quindi l'integrazione è stata eseguita senza errori (e non è stata nemmeno dimenticata l'aggiunta di una costante arbitraria C).
Gli integrali delle tabelle devono essere imparati a memoria per un semplice motivo: per sapere a cosa tendere, ad es. conoscere lo scopo di trasformare una data espressione.
Ecco alcuni altri esempi:
1) 
2) 
3) 
Compiti per una soluzione indipendente:
Esercizio 1. Calcolare l'integrale indefinito:
+ Mostra/nascondi suggerimento n. 1.
1) Utilizza la terza proprietà e rappresenta questo integrale come la somma di tre integrali.
+ Mostra/nascondi suggerimento n. 2.
+ Mostra/nascondi suggerimento n. 3.
3) Per i primi due termini utilizzare il primo integrale tabulare e per il terzo il secondo integrale tabulare.
+ Mostra/nascondi soluzione e risposta.
4) Soluzione: 
Risposta: 