Dimostrazione e derivazione delle formule per la derivata dell'esponenziale (e elevato a x) e funzione esponenziale(a alla x). Esempi di calcolo delle derivate di e^2x, e^3x ed e^nx. Formule per le derivate di ordine superiore.
La derivata di un esponente è uguale all'esponente stesso (la derivata di e alla x è uguale a e alla x):
(1)
(e x )′ = e x.
La derivata di una funzione esponenziale con base di grado a è uguale alla funzione stessa moltiplicata per il logaritmo naturale di a:
(2)
.
Derivazione della formula per la derivata dell'esponenziale, e elevato alla x
Un esponenziale è una funzione esponenziale la cui base è uguale al numero e, che è il seguente limite:
.
Qui può essere un numero naturale o un numero reale. Successivamente, ricaviamo la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.
Derivazione della formula della derivata esponenziale
Considera l'esponenziale, e alla potenza x:
y = e x .
Questa funzione è definita per tutti. Troviamo la sua derivata rispetto alla variabile x. Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3)
.
Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche conosciute. Per fare ciò abbiamo bisogno dei seguenti fatti:
UN) Proprietà dell'esponente:
(4)
;
B) Proprietà del logaritmo:
(5)
;
IN) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(6)
.
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
G) Il significato del secondo limite notevole:
(7)
.
Applichiamo questi fatti al nostro limite (3). Usiamo la proprietà (4):
;
.
Facciamo una sostituzione. Poi ; .
Data la continuità dell’esponenziale,
.
Pertanto, quando , . Di conseguenza otteniamo:
.
Facciamo una sostituzione. Poi . A , . E noi abbiamo:
.
Applichiamo la proprietà del logaritmo (5):
. Poi
.
Applichiamo la proprietà (6). Poiché esiste un limite positivo e il logaritmo è continuo, allora:
.
Anche qui abbiamo utilizzato il secondo limite notevole (7). Poi
.
Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (1) per la derivata dell'esponenziale.
Derivazione della formula per la derivata di una funzione esponenziale
Ora ricaviamo la formula (2) per la derivata della funzione esponenziale con base di grado a. Lo crediamo e. Quindi la funzione esponenziale
(8)
Definito per tutti.
Trasformiamo la formula (8). Per questo useremo proprietà della funzione esponenziale e logaritmo.
;
.
Quindi, abbiamo trasformato la formula (8) nella seguente forma:
.
Derivate di ordine superiore di e alla x
Cerchiamo ora le derivate di ordine superiore. Consideriamo prima l'esponente:
(14)
.
(1)
.
Vediamo che la derivata della funzione (14) è uguale alla funzione (14) stessa. Differenziando la (1), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.
Ciò dimostra che anche la derivata di ordine n è uguale alla funzione originale:
.
Derivate degli ordini superiori della funzione esponenziale
Consideriamo ora una funzione esponenziale con base di grado a:
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(15)
.
Differenziando la (15), otteniamo le derivate del secondo e del terzo ordine:
;
.
Vediamo che ogni differenziazione porta alla moltiplicazione della funzione originaria per . Pertanto la derivata di ordine n ha la seguente forma:
.
Derivati complessi. Derivata logaritmica.
Derivata di una funzione esponenziale potenza
Continuiamo a migliorare la nostra tecnica di differenziazione. In questa lezione consolideremo il materiale trattato, esamineremo le derivate più complesse e conosceremo anche nuove tecniche e trucchi per trovare una derivata, in particolare, con la derivata logaritmica.
A quei lettori che hanno basso livello preparazione, è necessario fare riferimento all'articolo Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni, che ti permetterà di affinare le tue competenze quasi da zero. Successivamente, è necessario studiare attentamente la pagina Derivata di una funzione complessa, comprendere e risolvere Tutto gli esempi che ho fatto. Questa lezione è logicamente la terza e dopo averla padroneggiata differenzierai con sicurezza funzioni abbastanza complesse. Non è auspicabile assumere la posizione di “Dove altro? Sì, basta!”, poiché tutti gli esempi e le soluzioni sono presi dalla realtà test e si incontrano spesso nella pratica.
Cominciamo con la ripetizione. Alla lezione Derivata di una funzione complessa Abbiamo esaminato una serie di esempi con commenti dettagliati. Nel corso dello studio del calcolo differenziale e di altri rami dell'analisi matematica, dovrai differenziare molto spesso, e non è sempre conveniente (e non sempre necessario) descrivere gli esempi in grande dettaglio. Pertanto, ci eserciteremo a trovare i derivati oralmente. I “candidati” più adatti a questo scopo sono i derivati della più semplice delle funzioni complesse, ad esempio:
Secondo la regola della differenziazione delle funzioni complesse 
:
Quando si studieranno altri argomenti matan in futuro, molto spesso non è richiesta una registrazione così dettagliata, si presume che lo studente sappia come trovare tali derivati con il pilota automatico; Immaginiamo che alle 3 del mattino ci fosse un telefonata, e una voce gradevole chiese: “Qual è la derivata della tangente di due X?” Questo dovrebbe essere seguito da una risposta quasi istantanea ed educata: 
.
Il primo esempio sarà immediatamente destinato a una soluzione indipendente.
Esempio 1
Trova oralmente, in un'unica azione, i seguenti derivati, ad esempio: . Per completare l'attività è sufficiente utilizzare tavola delle derivate delle funzioni elementari(se non te lo sei ancora ricordato). In caso di difficoltà, consiglio di rileggere la lezione Derivata di una funzione complessa.
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Risposte alla fine della lezione
Derivati complessi
Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 nidificazioni di funzioni faranno meno paura. I seguenti due esempi possono sembrare complicati ad alcuni, ma se li capisci (qualcuno soffrirà), quasi tutto il resto del calcolo differenziale sembrerà uno scherzo di un bambino.
Esempio 2
Trova la derivata di una funzione 
Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto COMPRENDI i tuoi investimenti. Nei casi in cui ci sono dubbi, te lo ricordo trucco utile: prendiamo ad esempio il significato sperimentale di “x” e proviamo (mentalmente o in una bozza) a sostituire questo significato nell'“espressione terribile”.
1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, il che significa che la somma è l'incorporamento più profondo.
2) Quindi devi calcolare il logaritmo:
4) Quindi fai il cubo del coseno:
5) Al quinto passaggio la differenza:
6) E infine, la funzione più esterna è Radice quadrata: 
Formula per differenziare una funzione complessa 
vengono applicati in ordine inverso, dalla funzione più esterna a quella più interna. Noi decidiamo:
Sembra che non ci siano errori...
(1) Calcola la derivata della radice quadrata.
(2) Prendiamo la derivata della differenza usando la regola 
(3) La derivata della tripla è zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).
(4) Prendiamo la derivata del coseno.
(5) Prendiamo la derivata del logaritmo.
(6) E infine, prendiamo la derivata dell'immersione più profonda.
Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l’esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutta la bellezza e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile in un esame per verificare se uno studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa o non capisce.
L'esempio seguente deve essere risolto da solo.
Esempio 3
Trova la derivata di una funzione
Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto
Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.
È ora di passare a qualcosa di più piccolo e più carino.
Non è raro che un esempio mostri il prodotto non di due, ma di tre funzioni. Come trovare la derivata di prodotti di tre moltiplicatori?
Esempio 4
Trova la derivata di una funzione
Per prima cosa vediamo se è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni nel prodotto di due funzioni? Ad esempio, se nel prodotto avessimo due polinomi, potremmo aprire le parentesi. Ma nell'esempio in esame tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.
In questi casi è necessario in sequenza applicare la regola della differenziazione del prodotto 
due volte
Il trucco è che con “y” indichiamo il prodotto di due funzioni: , e con “ve” indichiamo il logaritmo: . Perché è possibile farlo? È possibile 
– questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:
Ora resta da applicare la norma una seconda volta 
tra parentesi:
Puoi anche distorcerti e mettere qualcosa tra parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta esattamente in questo modulo: sarà più facile da controllare.
L’esempio considerato può essere risolto nel secondo modo: 
Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.
Esempio 5
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio di soluzione indipendente; nell'esempio viene risolta utilizzando il primo metodo.
Diamo un'occhiata ad esempi simili con le frazioni.
Esempio 6
Trova la derivata di una funzione 
Puoi andare qui in diversi modi:
O così:
Ma la soluzione sarà scritta in modo più compatto se utilizziamo prima la regola di differenziazione del quoziente 
, prendendo per l'intero numeratore:
In linea di principio l'esempio è risolto e, se lasciato così com'è, non sarà un errore. Ma se si ha tempo, è sempre consigliabile verificare una bozza per vedere se la risposta può essere semplificata? Riduciamo l'espressione del numeratore a un denominatore comune e liberiamoci della frazione di tre piani:
Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova la derivata, ma durante banali trasformazioni scolastiche. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di “ricordargli” il derivato.
Un esempio più semplice da risolvere da solo:
Esempio 7
Trova la derivata di una funzione
Continuiamo a padroneggiare i metodi per trovare la derivata e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto un logaritmo “terribile” per la differenziazione
Esempio 8
Trova la derivata di una funzione
Qui puoi andare oltre, usando la regola per differenziare una funzione complessa:
Ma il primo passo ti getta immediatamente nello sconforto: devi prendere la derivata spiacevole dalla potenza frazionaria, e poi anche dalla frazione.
Ecco perché Prima come derivare un logaritmo “sofisticato”, viene prima semplificato utilizzando proprietà scolastiche ben note:
! Se hai un quaderno di esercizi a portata di mano, copia queste formule direttamente lì. Se non hai un quaderno, copiali su un foglio di carta, poiché i restanti esempi della lezione ruoteranno attorno a queste formule.
La soluzione stessa può essere scritta in questo modo:
Trasformiamo la funzione:
Trovare la derivata: 
La preconversione della funzione stessa ha notevolmente semplificato la soluzione. Pertanto, quando si propone per la differenziazione un logaritmo simile, è sempre consigliabile “scomponerlo”.
E ora un paio di semplici esempi da risolvere da solo:
Esempio 9
Trova la derivata di una funzione 
Esempio 10
Trova la derivata di una funzione
Tutte le trasformazioni e le risposte sono alla fine della lezione.
Derivata logaritmica
Se la derivata dei logaritmi è una musica così dolce, allora sorge la domanda: in alcuni casi è possibile organizzare artificialmente il logaritmo? Potere! E perfino necessario.
Esempio 11
Trova la derivata di una funzione 
Recentemente abbiamo esaminato esempi simili. Cosa fare? È possibile applicare in sequenza la regola di differenziazione del quoziente, e poi la regola di differenziazione del prodotto. Lo svantaggio di questo metodo è che ti ritroverai con un'enorme frazione di tre piani, con la quale non vuoi assolutamente occuparti.
Ma in teoria e in pratica esiste una cosa meravigliosa come la derivata logaritmica. I logaritmi possono essere organizzati artificialmente “appendendoli” su entrambi i lati:
Ora devi “disintegrare” il più possibile il logaritmo della parte destra (formule davanti ai tuoi occhi?). Descriverò questo processo in grande dettaglio:
Cominciamo con la differenziazione.
Concludiamo entrambe le parti sotto il primo:
La derivata del secondo membro è abbastanza semplice; non la commenterò, perché se stai leggendo questo testo dovresti essere in grado di gestirla con sicurezza.
E il lato sinistro?
Sul lato sinistro abbiamo funzione complessa. Prevedo la domanda: "Perché, c'è una lettera "Y" sotto il logaritmo?"
Il fatto è che questo "gioco di una lettera" - È STESSO UNA FUNZIONE(se non è molto chiaro fare riferimento all'articolo Derivata di una funzione specificata implicitamente). Pertanto, il logaritmo è una funzione esterna e la “y” è una funzione interna. E usiamo la regola per differenziare una funzione complessa 
:
Sul lato sinistro, come per magia, abbiamo un derivato. Successivamente, secondo la regola delle proporzioni, trasferiamo la “y” dal denominatore del lato sinistro alla parte superiore del lato destro:
E ora ricordiamo di che tipo di funzione “giocatore” abbiamo parlato durante la differenziazione? Consideriamo la condizione: 
Risposta finale: 
Esempio 12
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Alla fine della lezione si trova un disegno di esempio di questo tipo.
Utilizzando la derivata logaritmica è stato possibile risolvere qualsiasi degli esempi n. 4-7, un'altra cosa è che le funzioni sono più semplici e, forse, l'uso della derivata logaritmica non è molto giustificato.
Derivata di una funzione esponenziale potenza
Non abbiamo ancora considerato questa funzione. Una funzione esponenziale di potenza è una funzione per la quale sia il grado che la base dipendono dalla “x”. Un classico esempio che ti verrà fornito in qualsiasi libro di testo o lezione:
Come trovare la derivata di una funzione esponenziale potenza?
È necessario utilizzare la tecnica appena discussa: la derivata logaritmica. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati:
Di norma, sul lato destro il grado viene tolto da sotto il logaritmo:
Di conseguenza, sul lato destro avremo il prodotto di due funzioni, che verrà differenziato secondo la formula standard 
.
Troviamo la derivata; per fare ciò racchiudiamo entrambe le parti sotto i tratti:
Ulteriori azioni sono semplici:
Finalmente: 
Se qualche conversione non è del tutto chiara, rileggi attentamente le spiegazioni dell'Esempio n. 11.
Nei compiti pratici, la funzione esponenziale della potenza sarà sempre più complessa rispetto all'esempio della lezione discusso.
Esempio 13
Trova la derivata di una funzione
Usiamo la derivata logaritmica. 
Sul lato destro abbiamo una costante e il prodotto di due fattori: "x" e "logaritmo del logaritmo x" (un altro logaritmo è annidato sotto il logaritmo). Quando si differenzia, come ricordiamo, è meglio spostare immediatamente la costante fuori dal segno della derivata in modo che non sia d'intralcio; e, naturalmente, applichiamo la regola familiare 
:
Come puoi vedere, l'algoritmo per l'utilizzo della derivata logaritmica non contiene trucchi o trucchi speciali e la ricerca della derivata di una funzione esponenziale di potenza di solito non è associata al "tormento".
Nel derivare la primissima formula della tabella, procederemo dalla definizione della funzione derivativa in un punto. Portiamo dove X– qualsiasi numero reale, cioè X– qualsiasi numero del dominio di definizione della funzione. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento in: 
È da notare che sotto il segno limite si ottiene l'espressione che non è l'incertezza dello zero diviso zero, poiché il numeratore non contiene un valore infinitesimo, ma appunto zero. In altre parole, l'incremento di una funzione costante è sempre zero.
Così, derivata di una funzione costanteè uguale a zero in tutto il dominio di definizione.
Derivata di una funzione di potenza.
La formula per la derivata di una funzione di potenza ha la forma 
, dove l'esponente P– qualsiasi numero reale.
Dimostriamo prima la formula per l'esponente naturale, cioè per p = 1, 2, 3, …
Utilizzeremo la definizione di derivata. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione di potenza e l'incremento dell'argomento: 
Per semplificare l'espressione al numeratore, ricorriamo alla formula binomiale di Newton: 
Quindi, 
Ciò dimostra la formula per la derivata di una funzione di potenza per un esponente naturale.
Derivata di una funzione esponenziale.
Presentiamo la derivazione della formula della derivata in base alla definizione:
Siamo arrivati all’incertezza. Per espanderlo, introduciamo una nuova variabile e in . Poi . Nell'ultima transizione abbiamo utilizzato la formula per passare a una nuova base logaritmica.
Sostituiamo nel limite originale: 
Se ricordiamo il secondo limite notevole, arriviamo alla formula per la derivata della funzione esponenziale: 
Derivata di una funzione logaritmica.
Dimostriamo la formula per la derivata di una funzione logaritmica per tutti X dal dominio di definizione e tutti i valori validi della base UN logaritmo Per definizione di derivata abbiamo: 
Come hai notato, durante la dimostrazione le trasformazioni sono state effettuate sfruttando le proprietà del logaritmo. Uguaglianza 
è vero a causa del secondo limite notevole.
Derivate di funzioni trigonometriche.
Per derivare le formule per le derivate delle funzioni trigonometriche, dovremo ricordare alcune formule di trigonometria, nonché il primo limite notevole.
Per definizione della derivata della funzione seno che abbiamo 
.
Usiamo la formula della differenza dei seni: 
Resta da passare al primo limite notevole: 
Quindi, la derivata della funzione peccato x C'è cos x.
La formula per la derivata del coseno si dimostra esattamente allo stesso modo. 
Pertanto, la derivata della funzione cos x C'è –peccato x.
Deriveremo le formule per la tabella delle derivate per tangente e cotangente utilizzando regole comprovate di differenziazione (derivata di una frazione). 
Derivate di funzioni iperboliche.
Le regole di derivazione e la formula per la derivata della funzione esponenziale dalla tabella delle derivate ci permettono di ricavare formule per le derivate del seno iperbolico, coseno, tangente e cotangente. 
Derivata della funzione inversa.
Per evitare confusione durante la presentazione, indichiamo in pedice l'argomento della funzione con cui viene eseguita la differenziazione, cioè è la derivata della funzione f(x) Di X.
Ora formuliamo regola per trovare la derivata di una funzione inversa.
Passiamo alle funzioni y = f(x) E x = g(y) reciprocamente inverse, definite sugli intervalli e rispettivamente. Se in un punto esiste una derivata finita diversa da zero della funzione f(x), allora nel punto esiste una derivata finita della funzione inversa g(y), E 
. In un altro post 
.
Questa regola può essere riformulata per qualsiasi X dall'intervallo , quindi otteniamo 
.
Verifichiamo la validità di queste formule.
Troviamo la funzione inversa per il logaritmo naturale 
(Qui sìè una funzione e X- discussione). Avendo risolto questa equazione per X, otteniamo (qui Xè una funzione e sì– la sua argomentazione). Questo è, 
e funzioni reciprocamente inverse.
Dalla tabella dei derivati lo vediamo 
E 
.
Assicuriamoci che le formule per trovare le derivate della funzione inversa ci portino agli stessi risultati: 
Primo livello
Derivata di una funzione. La guida definitiva (2019)
Immaginiamo una strada diritta che attraversa una zona collinare. Cioè va su e giù, ma non gira né a destra né a sinistra. Se l'asse è diretto orizzontalmente lungo la strada e verticalmente, la linea stradale sarà molto simile al grafico di una funzione continua:
L'asse è un certo livello di altitudine zero; nella vita usiamo come tale il livello del mare.
Man mano che avanziamo lungo tale strada, ci muoviamo anche verso l'alto o verso il basso. Possiamo anche dire: quando cambia l'argomento (spostamento lungo l'asse delle ascisse), cambia il valore della funzione (spostamento lungo l'asse delle ordinate). Ora pensiamo a come determinare la “ripidezza” della nostra strada? Che tipo di valore potrebbe essere? È molto semplice: quanto cambierà l'altezza quando si avanza di una certa distanza. Infatti, su diversi tratti di strada, avanzando (lungo l'asse x) di un chilometro, saliremo o scenderemo di quantità diverse metri rispetto al livello del mare (lungo l'asse delle ordinate).
Indichiamo il progresso (leggi "delta x").
La lettera greca (delta) è comunemente usata in matematica come prefisso che significa "cambiamento". Cioè - questo è un cambiamento nella quantità, - un cambiamento; allora di cosa si tratta? Esatto, un cambiamento di grandezza.
Importante: un'espressione è un tutto unico, una variabile. Non separare mai il “delta” dalla “x” o da qualsiasi altra lettera! Cioè, ad esempio, .
Quindi, siamo andati avanti, orizzontalmente, di. Se confrontiamo la linea della strada con il grafico di una funzione, come denotiamo l'aumento? Certamente, . Cioè, mentre andiamo avanti, saliamo più in alto.
Il valore è facile da calcolare: se all'inizio eravamo in quota, e dopo esserci spostati ci ritrovavamo in quota, allora. Se il punto finale è inferiore al punto iniziale, sarà negativo: ciò significa che non stiamo ascendendo, ma discendendo.
Torniamo alla "pendenza": questo è un valore che mostra quanto (in modo ripido) aumenta l'altezza quando si avanza di un'unità di distanza:
Supponiamo che su qualche tratto della strada, avanzando di un chilometro, la strada si alzi di un chilometro. Quindi la pendenza in questo punto è uguale. E se la strada, pur avanzando di m, scendesse di km? Allora la pendenza è uguale.
Ora guardiamo la cima di una collina. Se si prende l'inizio del tratto mezzo chilometro prima della vetta e la fine mezzo chilometro dopo, si vede che l'altezza è quasi la stessa.
Cioè, secondo la nostra logica, risulta che la pendenza qui è quasi uguale a zero, il che chiaramente non è vero. Anche a distanza di pochi chilometri possono cambiare molte cose. È necessario considerare aree più piccole per una valutazione più adeguata e accurata della pendenza. Ad esempio, se misuri la variazione di altezza mentre ti sposti di un metro, il risultato sarà molto più preciso. Ma anche questa precisione potrebbe non essere sufficiente per noi: se c'è un palo in mezzo alla strada, possiamo semplicemente oltrepassarlo. Quale distanza dovremmo scegliere allora? Centimetro? Millimetro? Meno è meglio!
IN vita reale Misurare le distanze con una precisione millimetrica è più che sufficiente. Ma i matematici aspirano sempre alla perfezione. Pertanto, il concetto è stato inventato infinitesimale, cioè il valore assoluto è inferiore a qualsiasi numero che possiamo nominare. Ad esempio, dici: un trilionesimo! Quanto meno? E dividi questo numero per - e sarà ancora meno. E così via. Se vogliamo scrivere che una quantità è infinitesima, scriviamo così: (leggiamo “x tende a zero”). È molto importante capire che questo numero non è zero! Ma molto vicino ad esso. Ciò significa che puoi dividere per esso.
Il concetto opposto all'infinitesimale è infinitamente grande (). Probabilmente te ne sei già accorto mentre lavoravi sulle disuguaglianze: questo numero è modulo maggiore di qualsiasi numero a cui puoi pensare. Se ottieni il numero più grande possibile, moltiplicalo per due e otterrai un numero ancora più grande. E l'infinito è ancora più grande di ciò che accade. Infatti l'infinitamente grande e l'infinitamente piccolo sono l'uno l'inverso dell'altro, cioè at, e viceversa: at.
Ora torniamo alla nostra strada. La pendenza idealmente calcolata è la pendenza calcolata per un segmento infinitesimo del percorso, ovvero:
Noto che con uno spostamento infinitesimale anche la variazione di altezza sarà infinitesima. Ma lascia che ti ricordi che infinitesimo non significa uguale a zero. Se dividi tra loro i numeri infinitesimi, puoi ottenere un numero completamente ordinario, ad esempio . Cioè, un valore piccolo può essere esattamente volte più grande di un altro.
A cosa serve tutto questo? La strada, la pendenza... Non andremo a un raduno automobilistico, ma insegneremo matematica. E in matematica tutto è esattamente uguale, solo chiamato diversamente.
Concetto di derivata
La derivata di una funzione è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento.
In modo incrementale in matematica lo chiamano cambiamento. Viene chiamata la misura in cui l'argomento () cambia mentre si muove lungo l'asse incremento dell'argomento ed è indicato quanto è cambiata la funzione (altezza) quando si sposta in avanti lungo l'asse di una distanza incremento della funzione ed è designato.
Quindi, la derivata di una funzione è il rapporto con quando. Indichiamo la derivata con la stessa lettera della funzione, solo con un primo in alto a destra: o semplicemente. Quindi, scriviamo la formula della derivata usando queste notazioni:
Come nell'analogia con la strada, qui quando la funzione aumenta la derivata è positiva, mentre quando diminuisce è negativa.
È possibile che la derivata sia uguale a zero? Certamente. Ad esempio, se stiamo guidando su una strada orizzontale pianeggiante, la pendenza è zero. Ed è vero, l’altezza non cambia affatto. Così è con la derivata: la derivata di una funzione costante (costante) è uguale a zero:
poiché l'incremento di tale funzione è uguale a zero per qualsiasi.
Ricordiamo l'esempio della collina. Si è scoperto che è possibile disporre le estremità del segmento sui lati opposti del vertice in modo tale che l'altezza alle estremità risulti essere la stessa, cioè il segmento sia parallelo all'asse:
Ma i segmenti grandi sono un segno di misurazione imprecisa. Alzeremo il nostro segmento parallelamente a se stesso, quindi la sua lunghezza diminuirà.
Alla fine, quando saremo infinitamente vicini alla cima, la lunghezza del segmento diventerà infinitesimale. Ma allo stesso tempo è rimasto parallelo all'asse, cioè la differenza di altezza alle sue estremità è uguale a zero (non tende, ma è uguale a). Quindi la derivata
Questo può essere inteso in questo modo: quando ci troviamo in cima, un piccolo spostamento a sinistra o a destra cambia in modo trascurabile la nostra altezza.
Esiste anche una spiegazione puramente algebrica: a sinistra del vertice la funzione aumenta e a destra diminuisce. Come abbiamo scoperto in precedenza, quando una funzione aumenta, la derivata è positiva, mentre quando diminuisce è negativa. Ma cambia dolcemente, senza salti (poiché la strada non cambia bruscamente pendenza da nessuna parte). Pertanto, devono esserci valori compresi tra negativi e positivi. Sarà dove la funzione non aumenta né diminuisce, nel punto di vertice.
Lo stesso vale per il trogolo (l'area in cui la funzione a sinistra diminuisce e a destra aumenta):
Qualcosa in più sugli incrementi.
Quindi cambiamo l'argomento in grandezza. Cambiamo da quale valore? Cos’è diventato (l’argomento) adesso? Possiamo scegliere qualsiasi punto e ora danzeremo partendo da quello.
Considera un punto con una coordinata. Il valore della funzione in esso è uguale. Quindi eseguiamo lo stesso incremento: aumentiamo la coordinata di. Qual è la discussione adesso? Molto facile: . Qual è il valore della funzione adesso? Dove va l'argomento, va anche la funzione: . E l'incremento della funzione? Niente di nuovo: questo è ancora l'importo di cui è cambiata la funzione:
Esercitati a trovare gli incrementi:
- Trova l'incremento della funzione nel punto in cui l'incremento dell'argomento è uguale a.
- Lo stesso vale per la funzione in un punto.
Soluzioni:
IN punti diversi con lo stesso argomento incremento, l'incremento della funzione sarà diverso. Ciò significa che la derivata in ogni punto è diversa (ne abbiamo discusso all'inizio: la pendenza della strada è diversa in punti diversi). Pertanto, quando scriviamo una derivata, dobbiamo indicare in quale punto:
Funzione di potenza.
Una funzione di potenza è una funzione in cui l'argomento è in una certa misura (logico, giusto?).
Inoltre - in qualsiasi misura: .
Il caso più semplice è quando l'esponente è:
Troviamo la sua derivata in un punto. Ricordiamo la definizione di derivata:
Quindi il discorso cambia da a. Qual è l'incremento della funzione?
L'incremento è questo. Ma una funzione in ogni punto è uguale al suo argomento. Ecco perché:
La derivata è uguale a:
La derivata di è uguale a:
b) Consideriamo ora funzione quadratica (): .
Ora ricordiamocelo. Ciò significa che il valore dell'incremento può essere trascurato, poiché è infinitesimo, e quindi insignificante rispetto all'altro termine:
Quindi abbiamo inventato un’altra regola:
c) Continuiamo la serie logica: .
Questa espressione può essere semplificata in diversi modi: aprire la prima parentesi utilizzando la formula per la moltiplicazione abbreviata del cubo della somma, oppure fattorizzare l'intera espressione utilizzando la formula della differenza di cubi. Prova a farlo da solo utilizzando uno dei metodi suggeriti.
Quindi, ho ottenuto quanto segue:
E ancora ricordiamolo. Ciò significa che possiamo trascurare tutti i termini contenenti:
Noi abbiamo: .
d) Regole simili si possono ottenere per grandi potenze:
e) Risulta che questa regola può essere generalizzata per una funzione di potenza con indicatore arbitrario, nemmeno intero:
| (2) |
La regola può essere formulata con le parole: “il grado viene portato avanti come coefficiente, e poi ridotto di ”.
Dimostreremo questa regola più tardi (quasi alla fine). Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Trova la derivata delle funzioni:
- (in due modi: tramite formula e utilizzando la definizione di derivata - calcolando l'incremento della funzione);
- . Che tu ci creda o no, questa è una funzione di potere. Se hai domande come “Com’è questo? Dov'è la laurea?”, ricordate l'argomento “”!
Sì, sì, anche la radice è un grado, solo frazionario: .
Ciò significa che la nostra radice quadrata è solo una potenza con un esponente:
.
Cerchiamo la derivata utilizzando la formula recentemente appresa:Se a questo punto tornasse poco chiaro, ripetere l'argomento “”!!! (circa un grado con esponente negativo)
- . Ora l'esponente:
E ora passiamo alla definizione (l'avete già dimenticato?):
;
.
Ora, come al solito, trascuriamo il termine contenente:
. - . Combinazione di casi precedenti: .
Funzioni trigonometriche.
Qui useremo un fatto della matematica superiore:
Con espressione.
La prova la imparerai nel primo anno di istituto (e per arrivarci devi superare bene l'Esame di Stato Unificato). Ora lo mostrerò solo graficamente:
Vediamo che quando la funzione non esiste, il punto sul grafico viene tagliato. Ma più si avvicina al valore, più la funzione è vicina a questo.
Inoltre, puoi verificare questa regola utilizzando una calcolatrice. Sì, sì, non essere timido, prendi una calcolatrice, non siamo ancora all'esame di Stato Unificato.
Dunque proviamo: ;
Non dimenticare di impostare la calcolatrice sulla modalità Radianti!
eccetera. Vediamo che più piccolo è, più vicino è il valore del rapporto.
a) Consideriamo la funzione. Come al solito, troviamo il suo incremento:
Trasformiamo la differenza dei seni in un prodotto. Per fare ciò, utilizziamo la formula (ricorda l'argomento “”): .
Ora la derivata:
Facciamo una sostituzione: . Allora per infinitesimo è anche infinitesimo: . L'espressione per assume la forma:
E ora lo ricordiamo con l'espressione. E anche, cosa succede se una quantità infinitesima può essere trascurata nella somma (cioè a).
Quindi, otteniamo la seguente regola: la derivata del seno è uguale al coseno:
Questi sono derivati di base (“tabulari”). Eccoli in un elenco:
Successivamente ne aggiungeremo alcuni altri, ma questi sono i più importanti, poiché vengono utilizzati più spesso.
Pratica:
- Trova la derivata della funzione in un punto;
- Trova la derivata della funzione.
Soluzioni:
- Per prima cosa troviamo la derivata in vista generale, quindi sostituisci il suo valore:
;
. - Qui abbiamo qualcosa di simile a una funzione di potenza. Proviamo a portarla qui
dall'aspetto normale:
.
Ottimo, ora puoi usare la formula:
.
. - . Eeeeeee….. Cos'è questo????
Ok, hai ragione, non sappiamo ancora come trovare tali derivati. Qui abbiamo una combinazione di diversi tipi di funzioni. Per lavorare con loro, devi imparare alcune regole in più:
Esponente e logaritmo naturale.
Esiste una funzione in matematica la cui derivata per qualsiasi valore è uguale al valore della funzione stessa allo stesso tempo. Si chiama “esponente” ed è una funzione esponenziale
La base di questa funzione è una costante: è infinita decimale, cioè un numero irrazionale (come). Si chiama “numero di Eulero”, motivo per cui è indicato con una lettera.
Quindi, la regola:
Molto facile da ricordare.
Ebbene, non andiamo lontano, consideriamo subito la funzione inversa. Quale funzione è l'inverso della funzione esponenziale? Logaritmo:
Nel nostro caso, la base è il numero:
Un logaritmo di questo tipo (cioè un logaritmo con base) si chiama “naturale” e per questo usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.
A cosa è uguale? Ovviamente, .
Derivato di logaritmo naturale anche molto semplice:
Esempi:
- Trova la derivata della funzione.
- Qual è la derivata della funzione?
Risposte: Il logaritmo esponenziale e naturale sono funzioni unicamente semplici dal punto di vista derivato. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo più avanti, dopo aver esaminato le regole di differenziazione.
Regole di differenziazione
Regole di cosa? Ancora un nuovo mandato, ancora?!...
Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.
È tutto. Cos'altro puoi chiamare questo processo in una parola? Non derivato... I matematici chiamano differenziale lo stesso incremento di una funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia – differenza. Qui.
Nel derivare tutte queste regole, utilizzeremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:
Ci sono 5 regole in totale.
La costante viene tolta dal segno della derivata.
Se - un numero costante (costante), allora.
Ovviamente questa regola vale anche per la differenza: .
Dimostriamolo. Lascia che sia, o più semplice.
Esempi.
Trova le derivate delle funzioni:
- ad un certo punto;
- ad un certo punto;
- ad un certo punto;
- al punto.
Soluzioni:
- (la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché this funzione lineare, Ricordare?);
Derivato del prodotto
Qui è tutto simile: entriamo nuova caratteristica e trova il suo incremento:
Derivato:
Esempi:
- Trova le derivate delle funzioni e;
- Trova la derivata della funzione in un punto.
Soluzioni:
Derivata di una funzione esponenziale
Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo degli esponenti (hai già dimenticato di cosa si tratta?).
Allora, dov'è qualche numero?
Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a portare la nostra funzione su una nuova base:
Per questo useremo regola semplice: . Poi:
Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.
Accaduto?
Ecco, controlla tu stesso:
La formula si è rivelata molto simile alla derivata di un esponente: così com'era, rimane la stessa, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.
Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:
Risposte:
Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non può più essere scritto in forma semplice. Pertanto, lo lasciamo in questa forma nella risposta.
Derivata di una funzione logaritmica
Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:
Pertanto, per trovare un logaritmo arbitrario con una base diversa, ad esempio:
Dobbiamo ridurre questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero che ricordi questa formula:
Solo adesso scriveremo invece:
Il denominatore è semplicemente una costante (un numero costante, senza variabile). La derivata si ottiene molto semplicemente:
I derivati delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'Esame di Stato Unificato, ma non sarà superfluo conoscerli.
Derivata di una funzione complessa.
Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e nemmeno un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se trovi difficile il logaritmo, leggi l'argomento “Logaritmi” e starai bene), ma da un punto di vista matematico la parola “complesso” non significa “difficile”.
Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e eseguono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Il risultato è un oggetto composito: una tavoletta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi eseguire i passaggi inversi in ordine inverso.
Creiamo una procedura matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi eleveremo il numero risultante al quadrato. Quindi, ci viene dato un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi quadra quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, eseguiamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi una seconda azione con ciò che risulta dalla prima.
Possiamo facilmente eseguire gli stessi passaggi in ordine inverso: prima lo elevi al quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante: . È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Caratteristica importante funzioni complesse: quando cambia l'ordine delle azioni, cambia la funzione.
In altre parole, una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .
Per il primo esempio, .
Secondo esempio: (stessa cosa). .
Verrà richiamata l'azione eseguita per ultima funzione "esterna". e l'azione viene eseguita per prima, di conseguenza funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).
Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale interna:
Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, in una funzione
- Quale azione eseguiremo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo dopo lo cubiamo. Ciò significa che è una funzione interna, ma esterna.
E la funzione originaria è la loro composizione: . - Interno: ; esterno: .
Visita medica: . - Interno: ; esterno: .
Visita medica: . - Interno: ; esterno: .
Visita medica: . - Interno: ; esterno: .
Visita medica: .
Cambiamo le variabili e otteniamo una funzione.
Bene, ora estraiamo la nostra tavoletta di cioccolato e cerchiamo il derivato. Il procedimento è sempre inverso: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. In relazione all'esempio originale, assomiglia a questo:
Un altro esempio:
Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:
Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:
Sembra semplice, vero?
Verifichiamo con degli esempi:
Soluzioni:
1) Interno: ;
Esterno: ;
2) Interno: ;
(Per ora non provare a tagliarlo! Non esce niente da sotto il coseno, ricordi?)
3) Interno: ;
Esterno: ;
È subito chiaro che si tratta di una funzione complessa a tre livelli: in fondo questa è già una funzione complessa di per sé, e da essa estraiamo anche la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettiamo il cioccolato in una involucro e con un nastro nella valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: “spaccheremo” comunque questa funzione nello stesso ordine di sempre: dalla fine.
Cioè, prima differenziamo la radice, poi il coseno e solo dopo l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo il tutto.
In questi casi è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata ad un esempio:
Più tardi verrà eseguita l'azione, più “esterna” risulterà la funzione corrispondente. La sequenza delle azioni è la stessa di prima:
Qui la nidificazione è generalmente su 4 livelli. Determiniamo l'ordine di azione.
1. Espressione radicale. .
2. Radice. .
3. Seno. .
4. Quadrato. .
5. Mettendo tutto insieme:
DERIVATO. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI
Derivata di una funzione- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento per un incremento infinitesimo dell'argomento:
Derivati di base:
Regole di differenziazione:
La costante viene tolta dal segno della derivata:
Derivata della somma:
Derivata del prodotto:
Derivata del quoziente:
Derivata di una funzione complessa:
Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:
- Definiamo la funzione “interna” e troviamo la sua derivata.
- Definiamo la funzione “esterna” e troviamo la sua derivata.
- Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.
Dimostrazione e derivazione di formule per la derivata del logaritmo naturale e del logaritmo in base a. Esempi di calcolo delle derivate di ln 2x, ln 3x e ln nx. Dimostrazione della formula per la derivata del logaritmo dell'ordine ennesimo utilizzando il metodo dell'induzione matematica.
Derivazione di formule per le derivate del logaritmo naturale e del logaritmo in base a
La derivata del logaritmo naturale di x è uguale a uno diviso per x:
(1)
(lnx)′ =.
La derivata del logaritmo in base a è uguale a uno diviso per la variabile x moltiplicata per il logaritmo naturale di a:
(2)
(log a x)′ =.
Prova
Lascia che ce ne siano alcuni numero positivo, Non uguale a uno. Consideriamo una funzione dipendente da una variabile x, che è un logaritmo in base:
.
Questa funzione è definita in . Troviamo la sua derivata rispetto alla variabile x. Per definizione, la derivata è il seguente limite:
(3)
.
Trasformiamo questa espressione per ridurla a proprietà e regole matematiche conosciute. Per fare ciò dobbiamo conoscere i seguenti fatti:
UN) Proprietà del logaritmo. Avremo bisogno delle seguenti formule:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
B) Continuità del logaritmo e proprietà dei limiti per una funzione continua:
(7)
.
Ecco una funzione che ha un limite e questo limite è positivo.
IN) Il significato del secondo limite notevole:
(8)
.
Applichiamo questi fatti al nostro limite. Per prima cosa trasformiamo l'espressione algebrica
.
Per fare ciò applichiamo le proprietà (4) e (5).
.
Usiamo la proprietà (7) e il secondo limite notevole (8):
.
Infine applichiamo la proprietà (6):
.
Logaritmo in base e chiamato logaritmo naturale. È designato come segue:
.
Poi ;
.
Pertanto, abbiamo ottenuto la formula (2) per la derivata del logaritmo.
Derivato del logaritmo naturale
Ancora una volta scriviamo la formula per la derivata del logaritmo in base a:
.
Questa formula ha la forma più semplice per il logaritmo naturale, per cui , . Poi
(1)
.
A causa di questa semplicità, il logaritmo naturale è ampiamente utilizzato nell'analisi matematica e in altri rami della matematica legati al calcolo differenziale. Le funzioni logaritmiche con altre basi possono essere espresse in termini di logaritmo naturale utilizzando la proprietà (6):
.
La derivata del logaritmo rispetto alla base si trova dalla formula (1), togliendo la costante dal segno di differenziazione:
.
Altri modi per dimostrare la derivata di un logaritmo
Qui assumiamo di conoscere la formula per la derivata dell'esponenziale:
(9)
.
Quindi possiamo ricavare la formula per la derivata del logaritmo naturale, dato che il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
Dimostriamo la formula per la derivata del logaritmo naturale, applicando la formula per la derivata della funzione inversa:
.
Nel nostro caso . La funzione inversa al logaritmo naturale è l'esponenziale:
.
La sua derivata è determinata dalla formula (9). Le variabili possono essere designate con qualsiasi lettera. Nella formula (9), sostituisci la variabile x con y:
.
Da allora
.
Poi
.
La formula è provata.
Ora dimostriamo la formula per la derivata del logaritmo naturale utilizzando regole per differenziare funzioni complesse. Poiché le funzioni e sono tra loro inverse, allora
.
Differenziamo questa equazione rispetto alla variabile x:
(10)
.
La derivata di x è uguale a uno:
.
Applichiamo la regola di differenziazione delle funzioni complesse:
.
Qui . Sostituiamo nella (10):
.
Da qui
.
Esempio
Trova i derivati di ln 2x, ln 3x E lnnx.
Soluzione
Le funzioni originali hanno una forma simile. Troveremo quindi la derivata della funzione y = lognx. Quindi sostituiamo n = 2 e n = 3. E, così, otteniamo le formule per le derivate di ln 2x E ln 3x .
Quindi, stiamo cercando la derivata della funzione
y = lognx
.
Immaginiamo questa funzione come una funzione complessa composta da due funzioni:
1)
Funzioni dipendenti da una variabile: ;
2)
Funzioni dipendenti da una variabile: .
Quindi la funzione originale è composta dalle funzioni e :
.
Troviamo la derivata della funzione rispetto alla variabile x:
.
Troviamo la derivata della funzione rispetto alla variabile:
.
Applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa.
.
Qui lo impostiamo.
Quindi abbiamo trovato:
(11)
.
Vediamo che la derivata non dipende da n. Questo risultato è del tutto naturale se trasformiamo la funzione originale utilizzando la formula per il logaritmo del prodotto:
.
- questa è una costante. La sua derivata è zero. Allora, secondo la regola di differenziazione della somma, abbiamo:
.
Risposta
; ; .
Derivata del logaritmo di modulo x
Troviamo la derivata di un altro molto funzione importante- logaritmo naturale del modulo x:
(12)
.
Consideriamo il caso. Quindi la funzione è simile a:
.
La sua derivata è determinata dalla formula (1):
.
Consideriamo ora il caso. Quindi la funzione è simile a:
,
Dove .
Ma nell'esempio sopra abbiamo trovato anche la derivata di questa funzione. Non dipende da n ed è uguale a
.
Poi
.
Combiniamo questi due casi in un'unica formula:
.
Pertanto, per il logaritmo in base a, abbiamo:
.
Derivate degli ordini superiori del logaritmo naturale
Considera la funzione
.
Abbiamo trovato la sua derivata del primo ordine:
(13)
.
Troviamo la derivata del secondo ordine:
.
Troviamo la derivata del terzo ordine:
.
Troviamo la derivata del quarto ordine:
.
Puoi notare che la derivata di ordine n ha la forma:
(14)
.
Proviamolo per induzione matematica.
Prova
Sostituiamo il valore n = 1 nella formula (14):
.
Da , allora quando n = 1
, la formula (14) è valida.
Supponiamo che la formula (14) sia soddisfatta per n = k. Proviamo che questo implica che la formula è valida per n = k + 1 .
Infatti per n = k abbiamo:
.
Differenziare rispetto alla variabile x:
.
Quindi abbiamo:
.
Questa formula coincide con la formula (14) per n = k + 1
. Pertanto, dal presupposto che la formula (14) sia valida per n = k, ne consegue che la formula (14) è valida per n = k + 1
.
Pertanto, la formula (14), per la derivata di ordine n, è valida per qualsiasi n.
Derivate di ordini logaritmici superiori in base a
Per trovare la derivata di ordine ennesimo di un logaritmo in base a, è necessario esprimerla in termini di logaritmo naturale:
.
Applicando la formula (14), troviamo la derivata n-esima:
.