In questa lezione impareremo come applicare formule e regole di differenziazione.

Esempi. Trova le derivate delle funzioni.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Applicazione della Regola IO, formule 4, 2 e 1. Noi abbiamo:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Risolviamo in modo simile, usando le stesse formule e la formula 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Applicazione della Regola IO, formule 3, 5 E 6 E 1.

Applicazione della Regola IV, formule 5 E 1 .

Nel quinto esempio, secondo la regola IO la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate, e abbiamo appena trovato la derivata del 1° termine (esempio 4 ), quindi, troveremo derivati 2° E 3° termini, e per 1° termine, possiamo scrivere immediatamente il risultato.

Differenziare 2° E 3° termini secondo la formula 4 . Per fare ciò, trasformiamo le radici di terzo e quarto grado in denominatori in potenze con esponente negativo, e poi, secondo 4 formula, troviamo le derivate delle potenze.

Guarda questo esempio e il risultato. Hai preso lo schema? Bene. Ciò significa che abbiamo una nuova formula e possiamo aggiungerla alla nostra tabella delle derivate.

Risolviamo il sesto esempio e ricaviamo un'altra formula.

Usiamo la regola IV e formula 4 . Riduciamo le frazioni risultanti.

Osserviamo questa funzione e la sua derivata. Ovviamente hai capito lo schema e sei pronto a nominare la formula:

Imparare nuove formule!

Esempi.

1. Trova l'incremento dell'argomento e l'incremento della funzione y= x2 se il valore iniziale dell'argomento era 4 , e il nuovo 4,01 .

Soluzione.

Nuovo valore argomento x \u003d x 0 + Δx. Sostituisci i dati: 4.01=4+Δx, da qui l'incremento dell'argomento Δх=4.01-4=0.01. L'incremento di una funzione, per definizione, è uguale alla differenza tra il nuovo e il precedente valore della funzione, cioè Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Poiché abbiamo una funzione y=x2, Quello Sì\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Risposta: incremento argomento Δх=0,01; incremento della funzione Sì=0,0801.

È stato possibile trovare la funzione incremento in un altro modo: Sì\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Trova l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione y=f(x) al punto x 0, Se f "(x 0) \u003d 1.

Soluzione.

Il valore della derivata nel punto di contatto x 0 ed è il valore della tangente della pendenza della tangente ( senso geometrico derivato). Abbiamo: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, Perché tg45°=1.

Risposta: la tangente al grafico di questa funzione forma un angolo con la direzione positiva dell'asse Ox, pari a 45°.

3. Deriva la formula per la derivata di una funzione y=xn.

Differenziazioneè l'atto di trovare la derivata di una funzione.

Quando si trovano i derivati, vengono utilizzate formule derivate sulla base della definizione del derivato, nello stesso modo in cui abbiamo derivato la formula per il grado derivato: (x n)" = nx n-1.

Ecco le formule.

Tavola derivata sarà più facile memorizzare pronunciando formulazioni verbali:

1. La derivata di un valore costante è zero.

2. La corsa X è uguale a uno.

3. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata.

4. La derivata di un grado è uguale al prodotto dell'esponente di questo grado per il grado con la stessa base, ma l'esponente è uno in meno.

5. La derivata della radice è uguale a uno diviso per due delle stesse radici.

6. La derivata dell'unità divisa per x è meno uno divisa per x al quadrato.

7. La derivata del seno è uguale al coseno.

8. La derivata del coseno è uguale a meno seno.

9. La derivata della tangente è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno.

10. La derivata della cotangente è meno uno divisa per il quadrato del seno.

Insegniamo regole di differenziazione.

1. La derivata della somma algebrica è uguale alla somma algebrica dei termini derivati.

2. La derivata del prodotto è uguale al prodotto della derivata del primo fattore per il secondo più il prodotto del primo fattore per la derivata del secondo.

3. La derivata di "y" divisa per "ve" è uguale a una frazione, nel cui numeratore "y è un tratto moltiplicato per "ve" meno "y, moltiplicato per un tratto", e nel denominatore - "ve al quadrato ”.

4. Un caso particolare della formula 3.

Impariamo insieme!

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Nel derivare la primissima formula della tabella, procederemo dalla definizione della derivata di una funzione in un punto. Prendiamo dove X- qualsiasi numero reale, cioè X– qualsiasi numero dall'area di definizione della funzione . Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento in:

Si noti che sotto il segno del limite si ottiene un'espressione che non è l'incertezza dello zero diviso zero, poiché il numeratore non contiene un valore infinitesimale, ma appunto lo zero. In altre parole, l'incremento di una funzione costante è sempre zero.

Così, derivata di una funzione costanteè uguale a zero sull'intero dominio di definizione.

Derivata di una funzione di potenza.

La formula per la derivata di una funzione di potenza ha la forma , dove l'esponente Pè un qualsiasi numero reale.

Dimostriamo prima la formula per l'esponente naturale, cioè per p = 1, 2, 3, ...

Useremo la definizione di derivata. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione di potenza e l'incremento dell'argomento:

Per semplificare l'espressione al numeratore, ci rivolgiamo alla formula binomiale di Newton:

Quindi,

Questo dimostra la formula per la derivata di una funzione di potenza per un esponente naturale.

Derivata della funzione esponenziale.

Deriviamo la formula derivata in base alla definizione:

È venuto all'incertezza. Per espanderlo, introduciamo una nuova variabile , e for . Poi . Nell'ultima transizione, abbiamo utilizzato la formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo.

Eseguiamo una sostituzione nel limite originale:

Se ricordiamo il secondo limite notevole, arriviamo alla formula per la derivata della funzione esponenziale:

Derivata di una funzione logaritmica.

Dimostriamo la formula per la derivata della funzione logaritmica per tutti X dall'ambito e tutti i valori di base validi UN logaritmo. Per definizione della derivata si ha:

Come hai notato, nella dimostrazione, le trasformazioni sono state effettuate utilizzando le proprietà del logaritmo. Uguaglianza è valido per il secondo limite notevole.

Derivate di funzioni trigonometriche.

Per ricavare formule per derivate di funzioni trigonometriche, dovremo richiamare alcune formule trigonometriche, oltre al primo limite notevole.

Per definizione della derivata per la funzione seno, abbiamo .

Usiamo la formula per la differenza dei seni:

Resta da passare al primo notevole limite:

Quindi la derivata della funzione peccato x C'è cosx.

La formula per la derivata del coseno si dimostra esattamente nello stesso modo.

Pertanto, la derivata della funzione cosx C'è –peccato x.

La derivazione delle formule per la tavola delle derivate per la tangente e la cotangente sarà effettuata utilizzando le collaudate regole di derivazione (derivata di una frazione).

Derivate di funzioni iperboliche.

Le regole di derivazione e la formula per la derivata della funzione esponenziale dalla tabella delle derivate ci permettono di ricavare formule per le derivate del seno iperbolico, del coseno, della tangente e della cotangente.

Derivata della funzione inversa.

In modo che non ci sia confusione nella presentazione, indichiamo nell'indice inferiore l'argomento della funzione con cui viene eseguita la differenziazione, cioè è la derivata della funzione f(x) Di X.

Ora formuliamo regola per trovare la derivata della funzione inversa.

Lasciamo le funzioni y = f(x) E x = g(y) mutuamente inverso, definito sugli intervalli e rispettivamente. Se in un punto esiste una derivata finita diversa da zero della funzione f(x), allora nel punto esiste una derivata finita della funzione inversa g(y), E . In un'altra voce .

Questa regola può essere riformulata per qualsiasi X dall'intervallo , quindi otteniamo .

Controlliamo la validità di queste formule.

Troviamo la funzione inversa per il logaritmo naturale (Qui siè una funzione, e X- discussione). Risolvendo questa equazione per X, otteniamo (qui Xè una funzione, e si la sua argomentazione). Questo è, e funzioni mutuamente inverse.

Dalla tabella delle derivate, lo vediamo E .

Assicuriamoci che le formule per trovare le derivate della funzione inversa ci portino agli stessi risultati:

Primo livello

Derivata di funzioni. Guida completa (2019)

Immagina una strada diritta che attraversa una zona collinare. Cioè, va su e giù, ma non gira a destra oa sinistra. Se l'asse è diretto orizzontalmente lungo la strada e verticalmente, la linea della strada sarà molto simile al grafico di una funzione continua:

L'asse è un certo livello di altezza zero, nella vita usiamo il livello del mare come esso.

Andando avanti lungo una strada del genere, ci stiamo anche muovendo verso l'alto o verso il basso. Possiamo anche dire: quando cambia l'argomento (spostandosi lungo l'asse delle ascisse), cambia il valore della funzione (spostandosi lungo l'asse delle ordinate). Ora pensiamo a come determinare la "ripidezza" della nostra strada? Quale potrebbe essere questo valore? Molto semplice: quanto cambierà l'altezza quando ci si sposta in avanti di una certa distanza. Infatti, su diversi tratti di strada, avanzando (lungo l'asse delle ascisse) per un chilometro, saliremo o scenderemo di importo diverso metri rispetto al livello del mare (lungo l'asse y).

Indichiamo progresso in avanti (leggi "delta x").

La lettera greca (delta) è comunemente usata in matematica come prefisso che significa "cambiamento". Cioè - questo è un cambiamento di grandezza, - un cambiamento; allora cos'è? Esatto, un cambiamento di dimensioni.

Importante: l'espressione è una singola entità, una variabile. Non dovresti mai strappare il "delta" dalla "x" o da qualsiasi altra lettera! Cioè, ad esempio, .

Quindi, siamo andati avanti, orizzontalmente, avanti. Se confrontiamo la linea della strada con il grafico di una funzione, allora come denotiamo l'aumento? Certamente, . Cioè, quando andiamo avanti saliamo più in alto.

È facile calcolare il valore: se all'inizio eravamo in quota, e dopo esserci spostati eravamo in quota, allora. Se il punto finale risulta essere inferiore al punto iniziale, sarà negativo: ciò significa che non stiamo salendo, ma scendendo.

Torniamo a "ripidezza": questo è un valore che indica di quanto (ripidamente) aumenta l'altezza quando ci si sposta in avanti per unità di distanza:

Supponiamo che in qualche tratto del sentiero, avanzando di km, la strada salga di km. Quindi la pendenza in questo luogo è uguale. E se la strada, avanzando di m, sprofondasse di km? Allora la pendenza è uguale.

Consideriamo ora la cima di una collina. Se prendi l'inizio della sezione mezzo chilometro verso l'alto e la fine - mezzo chilometro dopo, puoi vedere che l'altezza è quasi la stessa.

Cioè, secondo la nostra logica, risulta che la pendenza qui è quasi uguale a zero, il che chiaramente non è vero. Molte cose possono cambiare a pochi chilometri di distanza. Aree più piccole devono essere considerate per una stima più adeguata e accurata della pendenza. Ad esempio, se misuri la variazione di altezza quando ti sposti di un metro, il risultato sarà molto più preciso. Ma anche questa precisione potrebbe non essere sufficiente per noi: dopotutto, se c'è un palo in mezzo alla strada, possiamo semplicemente attraversarlo. Quale distanza dovremmo scegliere allora? Centimetro? Millimetro? Meno è meglio!

IN vita reale misurare la distanza al millimetro più vicino è più che sufficiente. Ma i matematici cercano sempre la perfezione. Pertanto, il concetto era infinitesimale, cioè, il valore del modulo è minore di qualsiasi numero che possiamo nominare. Ad esempio, dici: un trilionesimo! Quanto meno? E dividi questo numero per - e sarà ancora meno. E così via. Se vogliamo scrivere che il valore è infinitamente piccolo, scriviamo così: (si legge “x tende a zero”). È molto importante capire che questo numero non è uguale a zero! Ma molto vicino ad esso. Ciò significa che può essere suddiviso in.

Il concetto opposto a infinitamente piccolo è infinitamente grande (). Probabilmente l'hai già incontrato quando stavi lavorando sulle disuguaglianze: questo numero è maggiore in modulo di qualsiasi numero tu possa pensare. Se trovi il numero più grande possibile, basta moltiplicarlo per due e ottieni ancora di più. E l'infinito è anche più di ciò che accade. Infatti, infinitamente grande e infinitamente piccolo sono l'uno inverso all'altro, cioè at, e viceversa: at.

Ora torniamo alla nostra strada. La pendenza idealmente calcolata è la pendenza calcolata per un segmento infinitamente piccolo del percorso, ovvero:

Noto che con uno spostamento infinitamente piccolo, anche il cambiamento di altezza sarà infinitamente piccolo. Ma lascia che ti ricordi che infinitamente piccolo non significa uguale a zero. Se dividi i numeri infinitesimi l'uno per l'altro, puoi ottenere abbastanza numero comune, Per esempio, . Cioè, un piccolo valore può essere esattamente il doppio di un altro.

Perché tutto questo? La strada, la pendenza... Non andiamo a una manifestazione, ma impariamo la matematica. E in matematica tutto è esattamente uguale, solo chiamato in modo diverso.

Il concetto di derivato

La derivata di una funzione è il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento a un incremento infinitesimale dell'argomento.

Incremento in matematica si chiama cambiamento. Quanto è cambiato l'argomento () quando viene chiamato lo spostamento lungo l'asse incremento argomento e indicato da Quanto è cambiata la funzione (altezza) quando si sposta in avanti lungo l'asse di una distanza incremento della funzione ed è segnato.

Quindi, la derivata di una funzione è la relazione con quando. Indichiamo la derivata con la stessa lettera della funzione, solo con un tratto dall'alto a destra: o semplicemente. Quindi, scriviamo la formula derivata usando queste notazioni:

Come nell'analogia con la strada, qui, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva, e quando diminuisce, è negativa.

Ma la derivata è uguale a zero? Certamente. Ad esempio, se stiamo guidando su una strada orizzontale piana, la pendenza è zero. In effetti, l'altezza non cambia affatto. Quindi con la derivata: la derivata di una funzione costante (costante) è uguale a zero:

poiché l'incremento di tale funzione è zero per qualsiasi.

Prendiamo l'esempio della collina. Si è scoperto che era possibile disporre le estremità del segmento sui lati opposti del vertice in modo tale che l'altezza alle estremità fosse la stessa, cioè il segmento fosse parallelo all'asse:

Ma i segmenti di grandi dimensioni sono un segno di misurazione imprecisa. Alzeremo il nostro segmento parallelamente a se stesso, quindi la sua lunghezza diminuirà.

Alla fine, quando saremo infinitamente vicini alla sommità, la lunghezza del segmento diventerà infinitamente piccola. Ma allo stesso tempo è rimasto parallelo all'asse, cioè il dislivello alle sue estremità è uguale a zero (non tende, ma è uguale a). Quindi la derivata

Questo può essere inteso come segue: quando ci troviamo in cima, un piccolo spostamento a sinistra oa destra cambia la nostra altezza in modo trascurabile.

C'è anche una spiegazione puramente algebrica: a sinistra del top la funzione aumenta ea destra diminuisce. Come abbiamo già scoperto in precedenza, quando la funzione aumenta, la derivata è positiva e quando diminuisce è negativa. Ma cambia dolcemente, senza salti (perché la strada non cambia bruscamente la sua pendenza da nessuna parte). Pertanto, ci deve essere tra valori negativi e positivi. Sarà dove la funzione non aumenta né diminuisce - nel punto del vertice.

Lo stesso vale per la valle (l'area in cui la funzione diminuisce a sinistra e aumenta a destra):

Un po 'di più sugli incrementi.

Quindi cambiamo l'argomento in un valore. Cambiamo da quale valore? Cosa è diventato lui (argomento) ora? Possiamo scegliere qualsiasi punto e ora balleremo da esso.

Considera un punto con una coordinata. Il valore della funzione in esso è uguale. Quindi facciamo lo stesso incremento: aumentiamo la coordinata di. Qual è l'argomento adesso? Molto facile: . Qual è ora il valore della funzione? Dove va l'argomento, la funzione va lì: . E l'incremento della funzione? Niente di nuovo: questo è ancora l'importo di cui è cambiata la funzione:

Esercitati a trovare gli incrementi:

1. Trova l'incremento della funzione in un punto con un incremento dell'argomento uguale a.
2. Lo stesso per una funzione in un punto.

Soluzioni:

IN punti diversi con lo stesso incremento dell'argomento, l'incremento della funzione sarà diverso. Ciò significa che la derivata in ogni punto ha la sua (ne abbiamo discusso all'inizio - la pendenza della strada in punti diversi è diversa). Pertanto, quando scriviamo una derivata, dobbiamo indicare in che punto:

Funzione di potenza.

Una funzione di potenza è chiamata funzione in cui l'argomento è in una certa misura (logico, giusto?).

E - in qualsiasi misura: .

Il caso più semplice è quando l'esponente è:

Troviamo la sua derivata in un punto. Ricorda la definizione di derivato:

Quindi l'argomento cambia da a. Qual è la funzione incremento?

L'incremento è. Ma la funzione in ogni punto è uguale al suo argomento. Ecco perché:

La derivata è:

La derivata di è:

b) Consideriamo ora funzione quadratica (): .

Ora ricordiamolo. Ciò significa che il valore dell'incremento può essere trascurato, poiché è infinitamente piccolo e quindi insignificante sullo sfondo di un altro termine:

Quindi, abbiamo un'altra regola:

c) Continuiamo la serie logica: .

Questa espressione può essere semplificata in diversi modi: apri la prima parentesi usando la formula per la moltiplicazione abbreviata del cubo della somma, oppure scomponi l'intera espressione in fattori usando la formula per la differenza dei cubi. Prova a farlo da solo in uno dei modi suggeriti.

Quindi, ho ottenuto quanto segue:

E ricordiamocelo ancora. Ciò significa che possiamo trascurare tutti i termini che contengono:

Noi abbiamo: .

d) Regole analoghe si ottengono per le grandi potenze:

e) Risulta che questa regola può essere generalizzata a una funzione di potenza con indicatore arbitrario, nemmeno un numero intero:

(2)

Puoi formulare la regola con le parole: "il grado viene anticipato come coefficiente, quindi diminuisce di".

Dimostreremo questa regola più avanti (quasi alla fine). Ora diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Trova la derivata delle funzioni:

1. (in due modi: con la formula e usando la definizione della derivata - contando l'incremento della funzione);

1. . Che tu ci creda o no, questa è una funzione di potere. Se hai domande come “Com'è? E dov'è la laurea? ”, Ricorda l'argomento“ ”!
   Sì, sì, anche la radice è un grado, solo frazionario:.
   Quindi la nostra radice quadrata è solo una potenza con un esponente:
   .
   Stiamo cercando la derivata usando la formula appresa di recente:

   Se a questo punto diventa di nuovo poco chiaro, ripeti l'argomento "" !!! (circa un grado con indicatore negativo)

2. . Ora l'esponente:

   E ora attraverso la definizione (hai già dimenticato?):
   ;
   .
   Ora, come al solito, trascuriamo il termine che contiene:
   .

3. . Combinazione di casi precedenti: .

funzioni trigonometriche.

Qui useremo un fatto della matematica superiore:

Quando l'espressione.

Imparerai la prova al primo anno di istituto (e per arrivarci devi superare bene l'esame). Ora lo mostrerò solo graficamente:

Vediamo che quando la funzione non esiste, il punto sul grafico è perforato. Ma più vicino al valore, più vicina è la funzione: questo è il vero "sforzo".

Inoltre, puoi controllare questa regola con una calcolatrice. Sì, sì, non essere timido, prendi una calcolatrice, non siamo ancora all'esame.

Dunque proviamo: ;

Non dimenticare di impostare la calcolatrice in modalità Radianti!

eccetera. Vediamo che più piccolo è, più vicino è il valore del rapporto a.

a) Consideriamo una funzione. Come al solito, troviamo il suo incremento:

Trasformiamo la differenza dei seni in un prodotto. Per fare ciò, usiamo la formula (ricorda l'argomento ""):.

Ora la derivata:

Facciamo una sostituzione: . Allora, per infinitamente piccolo, è anche infinitamente piccolo: . L'espressione per assume la forma:

E ora lo ricordiamo con l'espressione. E inoltre, cosa succede se un valore infinitamente piccolo può essere trascurato nella somma (cioè at).

Quindi otteniamo la seguente regola: la derivata del seno è uguale al coseno:

Questi sono derivati ​​​​di base ("tabella"). Eccoli in un elenco:

Successivamente ne aggiungeremo altri, ma questi sono i più importanti, poiché vengono utilizzati più spesso.

Pratica:

1. Trova la derivata di una funzione in un punto;
2. Trova la derivata della funzione.

Soluzioni:

1. Per prima cosa troviamo la derivata in vista generale, e quindi sostituirlo con il suo valore:
   ;
   .
2. Qui abbiamo qualcosa di simile a funzione di potenza. Proviamo a riportarla a
   aspetto normale:
   .
   Ok, ora puoi usare la formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Cos'è????

Ok, hai ragione, non sappiamo ancora come trovare tali derivati. Qui abbiamo una combinazione di diversi tipi di funzioni. Per lavorare con loro, devi imparare alcune altre regole:

Esponente e logaritmo naturale.

Esiste una tale funzione in matematica, la cui derivata per qualsiasi è uguale al valore della funzione stessa per lo stesso. Si chiama "esponente", ed è una funzione esponenziale

La base di questa funzione - una costante - è una frazione decimale infinita, cioè un numero irrazionale (come). Si chiama "numero di Eulero", motivo per cui è indicato da una lettera.

Quindi la regola è:

È molto facile da ricordare.

Ebbene, non andremo lontano, considereremo subito la funzione inversa. Quale funzione è l'inverso di funzione esponenziale? Logaritmo:

Nel nostro caso, la base è un numero:

Tale logaritmo (cioè un logaritmo con una base) è chiamato "naturale" e per esso usiamo una notazione speciale: scriviamo invece.

A cosa è uguale? Ovviamente, .

Anche la derivata del logaritmo naturale è molto semplice:

Esempi:

1. Trova la derivata della funzione.
2. Qual è la derivata della funzione?

Risposte: L'esponente e il logaritmo naturale sono funzioni che sono unicamente semplici in termini di derivata. Le funzioni esponenziali e logaritmiche con qualsiasi altra base avranno una derivata diversa, che analizzeremo in seguito, dopo aver esaminato le regole di derivazione.

Regole di differenziazione

Quali regole? Un altro nuovo termine, ancora?!...

Differenziazioneè il processo per trovare la derivata.

Solo e tutto. Qual è un'altra parola per questo processo? Non proizvodnovanie... Il differenziale della matematica è chiamato l'incremento stesso della funzione a. Questo termine deriva dal latino differentia - differenza. Qui.

Nel derivare tutte queste regole, useremo due funzioni, ad esempio, e. Avremo anche bisogno di formule per i loro incrementi:

Ci sono 5 regole in totale.

La costante viene tolta dal segno della derivata.

Se - un numero costante (costante), allora.

Ovviamente, questa regola funziona anche per la differenza: .

Dimostriamolo. Lascia, o più facile.

Esempi.

Trova le derivate delle funzioni:

1. al punto;
2. al punto;
3. al punto;
4. al punto.

Soluzioni:

1. (la derivata è la stessa in tutti i punti, poiché lo è funzione lineare, Ricordare?);

Derivata di un prodotto

Qui è tutto uguale: presentiamo nuova caratteristica e trova il suo incremento:

Derivato:

Esempi:

1. Trova derivate di funzioni e;
2. Trova la derivata di una funzione in un punto.

Soluzioni:

Derivata della funzione esponenziale

Ora le tue conoscenze sono sufficienti per imparare a trovare la derivata di qualsiasi funzione esponenziale, e non solo l'esponente (hai già dimenticato cos'è?).

Allora, dov'è un numero?

Conosciamo già la derivata della funzione, quindi proviamo a portare la nostra funzione su una nuova base:

Per questo usiamo regola semplice: . Poi:

Bene, ha funzionato. Ora prova a trovare la derivata e non dimenticare che questa funzione è complessa.

Accaduto?

Qui, controlla tu stesso:

La formula si è rivelata molto simile alla derivata dell'esponente: com'era, rimane, è apparso solo un fattore, che è solo un numero, ma non una variabile.

Esempi:
Trova le derivate delle funzioni:

Risposte:

Questo è solo un numero che non può essere calcolato senza una calcolatrice, cioè non c'è modo di scriverlo di più forma semplice. Pertanto, nella risposta è lasciato in questa forma.

Derivata di una funzione logaritmica

Qui è simile: conosci già la derivata del logaritmo naturale:

Pertanto, per trovare un arbitrario dal logaritmo con una base diversa, ad esempio:

Dobbiamo portare questo logaritmo alla base. Come si cambia la base di un logaritmo? Spero ti ricordi questa formula:

Solo ora invece di scriveremo:

Il denominatore si è rivelato essere solo una costante (un numero costante, senza una variabile). La derivata è molto semplice:

Le derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche non si trovano quasi mai nell'esame, ma non sarà superfluo conoscerle.

Derivata di una funzione complessa.

Cos'è una "funzione complessa"? No, questo non è un logaritmo e non un arcotangente. Queste funzioni possono essere difficili da capire (anche se se il logaritmo ti sembra difficile, leggi l'argomento "Logaritmi" e tutto funzionerà), ma in matematica la parola "complesso" non significa "difficile".

Immagina un piccolo nastro trasportatore: due persone sono sedute e compiono alcune azioni con alcuni oggetti. Ad esempio, il primo avvolge una barretta di cioccolato in un involucro e il secondo la lega con un nastro. Si scopre un oggetto così composito: una barretta di cioccolato avvolta e legata con un nastro. Per mangiare una barretta di cioccolato, devi fare i passaggi opposti in ordine inverso.

Creiamo una pipeline matematica simile: prima troveremo il coseno di un numero, quindi quadratiamo il numero risultante. Quindi, ci danno un numero (cioccolato), trovo il suo coseno (involucro), e poi fai il quadrato di quello che ho ottenuto (legalo con un nastro). Quello che è successo? Funzione. Questo è un esempio di funzione complessa: quando, per trovarne il valore, facciamo la prima azione direttamente con la variabile, e poi un'altra seconda azione con quello che è successo come risultato della prima.

Potremmo benissimo fare le stesse azioni in ordine inverso: prima elevi il quadrato e poi cerco il coseno del numero risultante:. È facile intuire che il risultato sarà quasi sempre diverso. Caratteristica importante funzioni complesse: quando cambi l'ordine delle azioni, la funzione cambia.

In altre parole, Una funzione complessa è una funzione il cui argomento è un'altra funzione: .

Per il primo esempio, .

Secondo esempio: (uguale). .

L'ultima azione che faremo sarà chiamata funzione "esterna". e l'azione eseguita per prima, rispettivamente funzione "interna".(questi sono nomi informali, li uso solo per spiegare il materiale in un linguaggio semplice).

Prova a determinare da solo quale funzione è esterna e quale è interna:

Risposte: La separazione delle funzioni interne ed esterne è molto simile alla modifica delle variabili: ad esempio, nella funzione

1. Quale azione intraprenderemo per prima? Per prima cosa calcoliamo il seno e solo allora lo eleviamo a un cubo. Quindi è una funzione interna, non esterna.
   E la funzione originaria è la loro composizione: .
2. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
3. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
4. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .
5. Interno: ; esterno: .
   Visita medica: .

cambiamo variabili e otteniamo una funzione.

Bene, ora estrarremo il nostro cioccolato - cerca il derivato. La procedura è sempre inversa: prima cerchiamo la derivata della funzione esterna, poi moltiplichiamo il risultato per la derivata della funzione interna. Per l'esempio originale, assomiglia a questo:

Un altro esempio:

Quindi, formuliamo finalmente la regola ufficiale:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

Tutto sembra essere semplice, giusto?

Verifichiamo con esempi:

Soluzioni:

1) Interno: ;

Esterno: ;

2) Interno: ;

(ma non provare a ridurre ormai! Nulla viene tolto da sotto il coseno, ricordi?)

3) Interno: ;

Esterno: ;

È subito chiaro che qui esiste una funzione complessa a tre livelli: dopotutto, questa è già una funzione complessa in sé, e ne estraiamo ancora la radice, cioè eseguiamo la terza azione (mettiamo il cioccolato in un involucro e con un nastro in una valigetta). Ma non c'è motivo di aver paura: comunque, "scompacchettamo" questa funzione nello stesso ordine del solito: dalla fine.

Cioè, prima distinguiamo la radice, poi il coseno e solo allora l'espressione tra parentesi. E poi moltiplichiamo tutto.

In tali casi, è conveniente numerare le azioni. Cioè, immaginiamo quello che sappiamo. In quale ordine eseguiremo le azioni per calcolare il valore di questa espressione? Diamo un'occhiata a un esempio:

Più tardi viene eseguita l'azione, più "esterna" sarà la funzione corrispondente. La sequenza di azioni - come prima:

Qui l'annidamento è generalmente a 4 livelli. Determiniamo il corso dell'azione.

1. Espressione radicale. .

2. Radice. .

3. Seno. .

4. Quadrato. .

5. Mettendo tutto insieme:

DERIVATO. BREVEMENTE SUL PRINCIPALE

Derivata di funzioni- il rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento con un incremento infinitesimale dell'argomento:

Derivati ​​di base:

Regole di differenziazione:

La costante viene tolta dal segno della derivata:

Derivata di somma:

Prodotto derivato:

Derivata del quoziente:

Derivata di una funzione complessa:

Algoritmo per trovare la derivata di una funzione complessa:

1. Definiamo la funzione "interna", troviamo la sua derivata.
2. Definiamo la funzione "esterna", troviamo la sua derivata.
3. Moltiplichiamo i risultati del primo e del secondo punto.

L'operazione di trovare una derivata si chiama differenziazione.

Come risultato della risoluzione dei problemi di ricerca delle derivate delle funzioni più semplici (e non molto semplici) definendo la derivata come limite del rapporto tra incremento e incremento dell'argomento, è apparsa una tabella di derivate e regole di differenziazione definite con precisione . Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) furono i primi a lavorare nel campo della ricerca di derivati.

Pertanto, ai nostri tempi, per trovare la derivata di qualsiasi funzione, non è necessario calcolare il suddetto limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, ma è sufficiente utilizzare la tabella delle derivate e le regole di derivazione. Il seguente algoritmo è adatto per trovare la derivata.

Per trovare la derivata, è necessaria un'espressione sotto il segno del tratto scomporre semplici funzioni e determinare quali azioni (prodotto, somma, quoziente) queste funzioni sono correlate. Inoltre, troviamo le derivate delle funzioni elementari nella tabella delle derivate e le formule per le derivate del prodotto, somma e quoziente - nelle regole di differenziazione. La tabella delle derivate e le regole di differenziazione sono fornite dopo i primi due esempi.

Esempio 1 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dalle regole di differenziazione scopriamo che la derivata della somma delle funzioni è la somma delle derivate delle funzioni, cioè

Dalla tabella delle derivate, scopriamo che la derivata di "X" è uguale a uno e la derivata del seno è coseno. Sostituiamo questi valori nella somma delle derivate e troviamo la derivata richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 2 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Differenziare come derivata della somma, in cui il secondo termine con un fattore costante, può essere tolto dal segno della derivata:

Se ci sono ancora domande sulla provenienza di qualcosa, di norma diventano chiare dopo aver letto la tabella delle derivate e le più semplici regole di differenziazione. Stiamo andando da loro proprio ora.

Tabella delle derivate di funzioni semplici

1. Derivata di una costante (numero). Qualsiasi numero (1, 2, 5, 200...) presente nell'espressione della funzione. Sempre zero. Questo è molto importante da ricordare, poiché è richiesto molto spesso
2. Derivata della variabile indipendente. Molto spesso "x". Sempre uguale a uno. Anche questo è importante da ricordare
3. Derivata di laurea. Quando risolvi i problemi, devi convertire le radici non quadrate in una potenza.
4. Derivata di una variabile alla potenza di -1
5. Derivato radice quadrata
6. Derivata sinusoidale
7. Derivata del coseno
8. Derivata tangente
9. Derivata di cotangente
10. Derivata dell'arcoseno
11. Derivata dell'arco coseno
12. Derivata di arcotangente
13. Derivata dell'inversa tangente
14. Derivata del logaritmo naturale
15. Derivata di una funzione logaritmica
16. Derivata dell'esponente
17. Derivata di funzione esponenziale

Regole di differenziazione

1. Derivata della somma o della differenza
2. Derivata di un prodotto
2a. Derivata di un'espressione moltiplicata per un fattore costante
3. Derivata del quoziente
4. Derivata di una funzione complessa

Regola 1Se funzioni

sono differenziabili ad un certo punto, quindi nello stesso punto le funzioni

E

quelli. la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni.

Conseguenza. Se due funzioni differenziabili differiscono per una costante, le loro derivate lo sono, cioè.

Regola 2Se funzioni

sono differenziabili ad un certo punto, allora anche il loro prodotto è differenziabile nello stesso punto

E

quelli. la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra.

Conseguenza 1. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata:

Conseguenza 2. La derivata del prodotto di più funzioni differenziabili è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascuno dei fattori e di tutti gli altri.

Ad esempio, per tre moltiplicatori:

Regola 3Se funzioni

differenziabile ad un certo punto E , allora a questo punto anche il loro quoziente è differenziabile.u/v e

quelli. la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato dell'ex numeratore .

Dove cercare su altre pagine

Quando si trova la derivata del prodotto e il quoziente in problemi reali, è sempre necessario applicare più regole di differenziazione contemporaneamente, quindi nell'articolo sono presenti ulteriori esempi su queste derivate."La derivata di un prodotto e un quoziente".

Commento. Non bisogna confondere una costante (cioè un numero) con un termine nella somma e con un fattore costante! Nel caso di un termine, la sua derivata è uguale a zero e, nel caso di un fattore costante, viene tolto dal segno delle derivate. Questo errore tipico, che si verifica il stato iniziale studiando le derivate, ma mentre risolvi diversi esempi in due parti studente medio non commette più questo errore.

E se, differenziando un prodotto o un quoziente, hai un termine tu"v, in quale tu- un numero, ad esempio 2 o 5, cioè una costante, quindi la derivata di questo numero sarà uguale a zero e, quindi, l'intero termine sarà uguale a zero (tale caso viene analizzato nell'esempio 10) .

Altro errore comune- soluzione meccanica della derivata di una funzione complessa come derivata di una funzione semplice. Ecco perché derivata di una funzione complessa dedicato ad un articolo a parte. Ma prima impareremo a trovare i derivati funzioni semplici.

Lungo la strada, non puoi fare a meno delle trasformazioni delle espressioni. Per fare ciò, potrebbe essere necessario aprire i nuovi manuali di Windows Azioni con poteri e radici E Azioni con le frazioni .

Se stai cercando soluzioni a derivate con potenze e radici, cioè quando la funzione sembra , poi segui la lezione " Derivata della somma di frazioni con potenze e radici".

Se hai un compito come , allora sei nella lezione "Derivate di semplici funzioni trigonometriche".

Esempi passo passo - come trovare la derivata

Esempio 3 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Determiniamo le parti dell'espressione della funzione: l'intera espressione rappresenta il prodotto ei suoi fattori sono somme, nel secondo dei quali uno dei termini contiene un fattore costante. Applichiamo la regola di differenziazione del prodotto: la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di queste funzioni e della derivata dell'altra:

Successivamente, applichiamo la regola di differenziazione della somma: la derivata della somma algebrica delle funzioni è uguale alla somma algebrica delle derivate di queste funzioni. Nel nostro caso, in ogni somma, il secondo termine con segno meno. In ogni somma vediamo sia una variabile indipendente, la cui derivata è uguale a uno, sia una costante (numero), la cui derivata è uguale a zero. Quindi, "x" si trasforma in uno e meno 5 in zero. Nella seconda espressione, "x" è moltiplicato per 2, quindi moltiplichiamo due per la stessa unità della derivata di "x". Otteniamo i seguenti valori di derivate:

Sostituiamo le derivate trovate nella somma dei prodotti e otteniamo la derivata dell'intera funzione richiesta dalla condizione del problema:

Esempio 4 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. Dobbiamo trovare la derivata del quoziente. Applichiamo la formula per differenziare un quoziente: la derivata di un quoziente di due funzioni è uguale a una frazione il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore e la derivata del numeratore e il numeratore e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del precedente numeratore. Noi abbiamo:

Abbiamo già trovato la derivata dei fattori al numeratore nell'esempio 2. Non dimentichiamo inoltre che il prodotto, che è il secondo fattore al numeratore nell'esempio corrente, è preso con un segno meno:

Se stai cercando soluzioni a tali problemi in cui devi trovare la derivata di una funzione, dove c'è un mucchio continuo di radici e gradi, come, ad esempio, allora benvenuto in classe "La derivata della somma di frazioni con potenze e radici" .

Se hai bisogno di saperne di più sulle derivate di seno, coseno, tangente e altro funzioni trigonometriche, ovvero quando la funzione ha l'aspetto di , allora hai una lezione "Derivate di semplici funzioni trigonometriche" .

Esempio 5 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione vediamo un prodotto, uno dei cui fattori è la radice quadrata della variabile indipendente, con la derivata di cui ci siamo familiarizzati nella tabella delle derivate. Secondo la regola di differenziazione del prodotto e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Esempio 6 Trova la derivata di una funzione

Soluzione. In questa funzione, vediamo il quoziente, il cui dividendo è la radice quadrata della variabile indipendente. Secondo la regola di differenziazione del quoziente, che abbiamo ripetuto e applicato nell'esempio 4, e il valore tabulare della derivata della radice quadrata, otteniamo:

Per eliminare la frazione al numeratore, moltiplica numeratore e denominatore per .

Se seguiamo la definizione, allora la derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto di incremento della funzione Δ si all'incremento dell'argomento Δ X:

Tutto sembra essere chiaro. Ma prova a calcolare con questa formula, diciamo, la derivata della funzione F(X) = X 2 + (2X+3) · e X peccato X. Se fai tutto per definizione, dopo un paio di pagine di calcoli ti addormenterai semplicemente. Pertanto, ci sono modi più semplici ed efficaci.

Per cominciare, notiamo che le cosiddette funzioni elementari possono essere distinte dall'intera varietà di funzioni. Si tratta di espressioni relativamente semplici, le cui derivate sono state a lungo calcolate e inserite nella tabella. Tali funzioni sono abbastanza facili da ricordare, insieme alle loro derivate.

Derivate di funzioni elementari

Le funzioni elementari sono tutte elencate di seguito. Le derivate di queste funzioni devono essere conosciute a memoria. Inoltre, non è difficile memorizzarli, ecco perché sono elementari.

Quindi, le derivate delle funzioni elementari:

Nome	Funzione	Derivato
Costante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sì, sì, zero!)
Grado con esponente razionale	F(X) = X N	N · X N − 1
Seno	F(X) = peccato X	cos X
Coseno	F(X) = cos X	− peccato X(meno seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/peccato2 X
logaritmo naturale	F(X) = registro X	1/X
Logaritmo arbitrario	F(X) = registro UN X	1/(X ln UN)
Funzione esponenziale	F(X) = e X	e X(niente è cambiato)

Se una funzione elementare viene moltiplicata per una costante arbitraria, anche la derivata della nuova funzione viene facilmente calcolata:

(C · F)’ = C · F ’.

In generale, le costanti possono essere estratte dal segno della derivata. Per esempio:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Ovviamente le funzioni elementari possono essere sommate tra loro, moltiplicate, divise e molto altro. Appariranno così nuove funzioni, non più molto elementari, ma anch'esse differenziabili secondo determinate regole. Queste regole sono discusse di seguito.

Derivata di somma e differenza

Lasciamo le funzioni F(X) E G(X), i cui derivati ​​ci sono noti. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Per esempio, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

A rigor di termini, non esiste il concetto di "sottrazione" in algebra. C'è un concetto di "elemento negativo". Pertanto, la differenza F − G può essere riscritto come somma F+ (-1) G, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

F(X) = X 2 + sinx; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funzione F(X) è la somma di due funzioni elementari, quindi:

F ’(X) = (X 2+ peccato X)’ = (X 2)' + (peccato X)’ = 2X+ cosx;

Discutiamo allo stesso modo per la funzione G(X). Solo che ci sono già tre termini (dal punto di vista dell'algebra):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Risposta:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivata di un prodotto

La matematica è una scienza logica, quindi molte persone credono che se la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate, allora la derivata del prodotto sciopero"\u003e uguale al prodotto dei derivati. Ma fichi a te! La derivata del prodotto viene calcolata utilizzando una formula completamente diversa. Vale a dire:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

La formula è semplice, ma spesso dimenticata. E non solo scolari, ma anche studenti. Il risultato sono problemi risolti in modo errato.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X-7) · e X .

Funzione F(X) è un prodotto di due funzioni elementari, quindi tutto è semplice:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (-peccato X) = X 2 (3cos X − X peccato X)

Funzione G(X) il primo moltiplicatore è un po' più complicato, ma schema generale questo non cambia. Ovviamente, il primo moltiplicatore della funzione G(X) è un polinomio e la sua derivata è la derivata della somma. Abbiamo:

G ’(X) = ((X 2 + 7X-7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X-7) ( e X)’ = (2X+7) · e X + (X 2 + 7X-7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+9) · e X .

Risposta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X peccato X);
G ’(X) = X(X+9) · e X .

Si noti che nell'ultimo passaggio, la derivata viene fattorizzata. Formalmente, questo non è necessario, ma la maggior parte delle derivate non viene calcolata da sola, ma per esplorare la funzione. Ciò significa che ulteriormente la derivata sarà equiparata a zero, i suoi segni verranno scoperti e così via. In tal caso, è meglio avere un'espressione scomposta in fattori.

Se ci sono due funzioni F(X) E G(X), E G(X) ≠ 0 sull'insieme di nostro interesse, possiamo definire una nuova funzione H(X) = F(X)/G(X). Per tale funzione, puoi anche trovare la derivata:

Non debole, vero? Da dove viene il meno? Perché G 2? E così! Questa è una delle formule più complesse: non puoi capirla senza una bottiglia. Pertanto, è meglio studiarlo esempi concreti.

Compito. Trova le derivate delle funzioni:

Ci sono funzioni elementari nel numeratore e nel denominatore di ogni frazione, quindi tutto ciò di cui abbiamo bisogno è la formula per la derivata del quoziente:

Per tradizione, fattorizziamo il numeratore in fattori - questo semplificherà notevolmente la risposta:

Una funzione complessa non è necessariamente una formula lunga mezzo chilometro. Ad esempio, è sufficiente prendere la funzione F(X) = peccato X e sostituire la variabile X, diciamo, su X 2+ln X. Si scopre F(X) = peccato ( X 2+ln X) è una funzione complessa. Ha anche un derivato, ma non funzionerà per trovarlo secondo le regole discusse sopra.

Come essere? In tali casi, la sostituzione di una variabile e la formula per la derivata di una funzione complessa aiutano:

F ’(X) = F ’(T) · T', Se Xè sostituito da T(X).

Di norma, la situazione con la comprensione di questa formula è ancora più triste che con la derivata del quoziente. Pertanto, è anche meglio spiegarlo con esempi specifici, con descrizione dettagliata ogni passo.

Compito. Trova le derivate delle funzioni: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = peccato ( X 2+ln X)

Si noti che if nella funzione F(X) invece dell'espressione 2 X+ 3 sarà facile X, quindi otteniamo una funzione elementare F(X) = e X. Facciamo quindi una sostituzione: sia 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Stiamo cercando la derivata di una funzione complessa dalla formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

E ora - attenzione! Esecuzione di una sostituzione inversa: T = 2X+ 3. Otteniamo:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Ora diamo un'occhiata alla funzione G(X). Ovviamente da sostituire. X 2+ln X = T. Abbiamo:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (peccato T)’ · T' = cos T · T ’

Sostituzione inversa: T = X 2+ln X. Poi:

G ’(X) = così ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

È tutto! Come si vede dall'ultima espressione, l'intero problema è stato ridotto al calcolo della derivata della somma.

Risposta:
F ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) così ( X 2+ln X).

Molto spesso nelle mie lezioni, invece del termine “derivato”, uso la parola “colpo”. Ad esempio, il tratto della somma è uguale alla somma dei tratti. È più chiaro? Va bene.

Pertanto, il calcolo della derivata si riduce all'eliminazione di questi stessi tratti secondo le regole discusse sopra. Come ultimo esempio, torniamo alla potenza derivata con un esponente razionale:

(X N)’ = N · X N − 1

Pochi lo sanno nel ruolo N potrebbe essere un numero frazionario. Ad esempio, la radice è X 0,5 . Ma cosa succede se c'è qualcosa di complicato sotto la radice? Ancora una volta, si rivelerà una funzione complessa: a loro piace dare tali costruzioni lavoro di controllo ed esami.

Compito. Trova la derivata di una funzione:

Innanzitutto, riscriviamo la radice come una potenza con un esponente razionale:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ora facciamo una sostituzione: let X 2 + 8X − 7 = T. Troviamo la derivata dalla formula:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T-0,5 T ’.

Facciamo una sostituzione inversa: T = X 2 + 8X− 7. Abbiamo:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Infine, torniamo alle radici: