La regola per scomporre un numero in fattori primi. Numeri primi e compositi

Cosa significa fattorizzare? Come farlo? Cosa si può imparare scomponendo un numero in fattori primi? Le risposte a queste domande sono illustrate con esempi concreti.

Definizioni:

Un numero primo è un numero che ha esattamente due distinti divisori.

Un numero composto è un numero che ha più di due divisori.

Fattorizzare un numero naturale significa rappresentarlo come un prodotto di numeri naturali.

Scomporre un numero naturale in fattori primi significa rappresentarlo come un prodotto di numeri primi.

Appunti:

• Nell'espansione di un numero primo, uno dei fattori uguale a uno e l'altro - a questo numero stesso.
• Non ha senso parlare di scomposizione dell'unità in fattori.
• Un numero composto può essere scomposto in fattori, ognuno dei quali è diverso da 1.

	Fattorizziamo il numero 150. Ad esempio, 150 è 15 volte 10. 15 è un numero composto. Può essere scomposto in fattori primi di 5 e 3. 10 è un numero composto. Può essere scomposto in fattori primi di 5 e 2. Dopo aver scritto le loro espansioni in fattori primi invece di 15 e 10, abbiamo ottenuto una scomposizione del numero 150.
	Il numero 150 può essere scomposto in un altro modo. Ad esempio, 150 è il prodotto dei numeri 5 e 30. 5 è un numero primo. 30 è un numero composto. Può essere rappresentato come il prodotto di 10 e 3. 10 è un numero composto. Può essere scomposto in fattori primi di 5 e 2. Abbiamo ottenuto la scomposizione del numero 150 in fattori primi in un modo diverso.
	Nota che la prima e la seconda espansione sono le stesse. Differiscono solo nell'ordine dei moltiplicatori. È consuetudine scrivere i fattori in ordine crescente.
Qualsiasi numero composto può essere scomposto in fattori primi in modo univoco fino all'ordine dei fattori.

Quando decomposto grandi numeri per i fattori primi usa la notazione di colonna:

	Il numero primo più piccolo per cui 216 è divisibile è 2. Dividi 216 per 2. Otteniamo 108.
	Il numero risultante 108 è divisibile per 2. Facciamo la divisione. Otteniamo 54 come risultato.
	Secondo il test di divisibilità per 2, il numero 54 è divisibile per 2. Dopo aver diviso, otteniamo 27.
	Il numero 27 termina con un numero dispari 7. Esso Non divisibile per 2. Il numero primo successivo è 3. Dividi 27 per 3. Otteniamo 9. Il primo più piccolo Il numero per cui 9 è divisibile è 3. Tre è se stesso numero primo, è divisibile per sé e per uno. Dividiamo 3 per noi stessi. Di conseguenza, abbiamo ottenuto 1.

• Un numero è divisibile solo per quei numeri primi che fanno parte della sua scomposizione.
• Un numero è divisibile solo per quei numeri composti, la cui scomposizione in fattori primi è completamente contenuta in esso.

Considera esempi:

	4900 è divisibile per i numeri primi 2, 5 e 7 (sono inclusi nell'espansione del numero 4900), ma non è divisibile, ad esempio, per 13.
	11 550 75. Questo perché l'espansione del numero 75 è completamente contenuta nell'espansione del numero 11550. Il risultato della divisione sarà il prodotto dei fattori 2, 7 e 11. 11550 non è divisibile per 4 perché c'è un 2 in più nell'espansione di 4.

Trova il quoziente di divisione del numero a per il numero b, se questi numeri sono scomposti in fattori primi come segue a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	La scomposizione del numero b è completamente contenuta nella scomposizione del numero a.
	Il risultato della divisione di a per b è il prodotto dei tre numeri rimasti nell'espansione di a. Quindi la risposta è: 30.

Bibliografia

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Compiti a casa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov AS, Shvartburd S.I. Matematica 6. - M.: Mnemozina, 2012. N. 127, N. 129, N. 141.
2. Altri compiti: n. 133, n. 144.

Questo articolo fornisce le risposte alla domanda sulla fattorizzazione di un numero in fogli. Ritenere idea generale sulla decomposizione con esempi. Analizziamo la forma canonica della decomposizione e il suo algoritmo. Tutti i metodi alternativi saranno presi in considerazione utilizzando i segni di divisibilità e la tavola pitagorica.

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Cosa significa scomporre un numero in fattori primi?

Diamo un'occhiata al concetto di fattori primi. È noto che ogni fattore primo è un numero primo. In un prodotto della forma 2 7 7 23 abbiamo 4 fattori primi nella forma 2 , 7 , 7 , 23 .

Il factoring implica la sua rappresentazione come prodotti di numeri primi. Se devi scomporre il numero 30, otteniamo 2, 3, 5. La voce assumerà la forma 30 = 2 3 5 . È possibile che i moltiplicatori possano essere ripetuti. Un numero come 144 ha 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Non tutti i numeri sono inclini alla decomposizione. I numeri che sono maggiori di 1 e sono interi possono essere fattorizzati. I numeri primi sono divisibili solo per 1 e per se stessi quando sono scomposti, quindi è impossibile rappresentare questi numeri come un prodotto.

Quando z si riferisce a numeri interi, è rappresentato come un prodotto di aeb, dove z è diviso per aeb. I numeri composti sono scomposti in fattori primi usando il teorema di base dell'aritmetica. Se il numero è maggiore di 1, allora la sua fattorizzazione p 1 , p 2 , … , p n assume la forma a = p 1 , p 2 , … , p n . La decomposizione è assunta in un'unica variante.

Scomposizione canonica di un numero in fattori primi

I fattori possono essere ripetuti durante la decomposizione. Sono scritti in modo compatto usando una laurea. Se, decomponendo il numero a, abbiamo un fattore p 1 , che ricorre s 1 volte e così via p n - s n volte. Pertanto, la decomposizione assume la forma a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Questa voce è chiamata scomposizione canonica di un numero in fattori primi.

Scomponendo il numero 609840, otteniamo che 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 , la sua forma canonica sarà 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . Usando l'espansione canonica, puoi trovare tutti i divisori di un numero e il loro numero.

Per fattorizzare correttamente, è necessario avere una comprensione dei numeri primi e composti. Il punto è ottenere un numero consecutivo di divisori della forma p 1 , p 2 , … , p n numeri a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, questo permette di ottenere a = p 1 a 1, dove a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, dove a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n , dove un n = un n - 1: p n. Al ricevimento un n = 1, quindi l'uguaglianza a = p 1 p 2 … p n otteniamo la scomposizione richiesta del numero a in fattori primi. notare che p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Per trovare i divisori meno comuni, è necessario utilizzare la tabella dei numeri primi. Questo viene fatto usando l'esempio di trovare il più piccolo divisore primo del numero z. Quando prendiamo i numeri primi 2, 3, 5, 11 e così via, dividiamo il numero z per loro. Poiché z non è un numero primo, tieni presente che il più piccolo primo divisore non sarà maggiore di z . Si può vedere che non ci sono divisori di z , allora è chiaro che z è un numero primo.

Esempio 1

Considera l'esempio del numero 87. Quando è diviso per 2, abbiamo 87: 2 \u003d 43 con resto di 1. Ne consegue che 2 non può essere un divisore, la divisione va fatta interamente. Diviso per 3, otteniamo 87: 3 = 29. Da qui la conclusione: 3 è il più piccolo divisore primo del numero 87.

Quando si scompone in fattori primi, è necessario utilizzare una tabella di numeri primi, dove a. Quando si decompone 95, dovrebbero essere usati circa 10 numeri primi e quando si decompone 846653, circa 1000.

Considera l'algoritmo di fattorizzazione primo:

• trovare il fattore più piccolo con un divisore p 1 di un numero un dalla formula a 1 \u003d a: p 1, quando a 1 \u003d 1, allora a è un numero primo ed è incluso nella fattorizzazione, quando non è uguale a 1, quindi a \u003d p 1 a 1 e seguire al punto seguente;
• trovare un divisore primo p 2 di a 1 per enumerazione sequenziale di numeri primi, usando a 2 = a 1: p 2 , quando a 2 = 1 , allora l'espansione assume la forma a = p 1 p 2 , quando a 2 \u003d 1, quindi a \u003d p 1 p 2 a 2 , e facciamo il passaggio al passaggio successivo;
• iterare sui numeri primi e trovare un divisore primo p 3 numeri un 2 secondo la formula a 3 \u003d a 2: p 3 quando a 3 \u003d 1 , allora otteniamo che a = p 1 p 2 p 3 , quando non è uguale a 1 allora a = p 1 p 2 p 3 a 3 e procedere al passaggio successivo;
• trova un divisore primo p n numeri una n - 1 per enumerazione di numeri primi con p n - 1, così come un n = un n - 1: p n, dove a n = 1 , il passo è finale, di conseguenza otteniamo che a = p 1 p 2 … p n .

Il risultato dell'algoritmo viene scritto sotto forma di una tabella con fattori scomposti con una barra verticale in sequenza in una colonna. Considera la figura seguente.

L'algoritmo risultante può essere applicato scomponendo i numeri in fattori primi.

Quando si tiene conto dei fattori primi, è necessario seguire l'algoritmo di base.

Esempio 2

Scomponi il numero 78 in fattori primi.

Soluzione

Per trovare il più piccolo divisore primo, è necessario enumerare tutti i numeri primi in 78 . Cioè, 78: 2 = 39. Divisione senza resto, quindi questo è il primo divisore primo, che indichiamo come p 1. Otteniamo che a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Siamo giunti a un'uguaglianza della forma a = p 1 a 1 , dove 78 = 2 39 . Quindi a 1 = 39 , ovvero dovresti andare al passaggio successivo.

Concentriamoci sulla ricerca di un divisore primo p2 numeri a 1 = 39. Dovresti ordinare i numeri primi, cioè 39: 2 = 19 (1 rimanente). Poiché la divisione ha resto, 2 non è un divisore. Quando scegliamo il numero 3, otteniamo quel 39: 3 = 13. Ciò significa che p 2 = 3 è il più piccolo divisore primo di 39 per a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Otteniamo un'uguaglianza della forma a = p 1 p 2 a 2 nella forma 78 = 2 3 13 . Abbiamo che a 2 = 13 non è uguale a 1 , allora dovremmo andare avanti.

Il più piccolo primo divisore del numero a 2 = 13 si trova dall'enumerazione dei numeri, a partire da 3 . Otteniamo quel 13: 3 = 4 (rest. 1). Questo mostra che 13 non è divisibile per 5, 7, 11, perché 13: 5 = 2 (rest. 3), 13: 7 = 1 (rest. 6) e 13: 11 = 1 (rest. 2). Si può notare che 13 è un numero primo. La formula è simile alla seguente: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Abbiamo ottenuto che a 3 = 1 , che significa la fine dell'algoritmo. Ora i fattori sono scritti come 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

Risposta: 78 = 2 3 13 .

Esempio 3

Scomponi il numero 83.006 in fattori primi.

Soluzione

Il primo passo riguarda il factoring p 1 = 2 e a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, dove 83 006 = 2 41 503 .

Il secondo passaggio presuppone che 2 , 3 e 5 non siano divisori primi per un 1 = 41503 ma 7 sia un divisore primo perché 41503: 7 = 5929 . Otteniamo che p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. Ovviamente, 83 006 = 2 7 5 929 .

Trovare il più piccolo primo divisore p 4 per il numero a 3 = 847 è 7 . Si può vedere che a 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, quindi 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Per trovare il primo divisore del numero a 4 = 121, utilizziamo il numero 11, ovvero p 5 = 11. Quindi otteniamo un'espressione della forma a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11 e 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

Per numero un 5 = 11 numero p6 = 11è il più piccolo divisore primo. Quindi a 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Allora un 6 = 1 . Questo indica la fine dell'algoritmo. I moltiplicatori verranno scritti come 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

La notazione canonica della risposta assumerà la forma 83 006 = 2 7 3 11 2 .

Risposta: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

Esempio 4

Fattorizzare il numero 897 924 289.

Soluzione

Per trovare il primo fattore primo, scorrere i numeri primi, iniziando con 2. La fine dell'enumerazione cade sul numero 937 . Allora p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 e 897 924 289 = 937 958 297.

Il secondo passo dell'algoritmo è enumerare numeri primi più piccoli. Cioè, iniziamo con il numero 937. Il numero 967 può essere considerato primo, perché è un divisore primo del numero a 1 = 958 297. Da qui otteniamo che p 2 \u003d 967, quindi a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 e 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Il terzo passaggio dice che 991 è un numero primo, poiché non ha un divisore primo minore o uguale a 991 . Il valore approssimativo dell'espressione radicale è 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Da questo si può vedere che p 3 \u003d 991 e a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. Otteniamo che la scomposizione del numero 897 924 289 in fattori primi si ottiene come 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Risposta: 897 924 289 = 937 967 991 .

Utilizzo dei test di divisibilità per la fattorizzazione dei primi

Per scomporre un numero in fattori primi, devi seguire l'algoritmo. Quando ci sono numeri piccoli, è consentito utilizzare la tabellina e i segni di divisibilità. Diamo un'occhiata a questo con esempi.

Esempio 5

Se è necessario fattorizzare 10, la tabella mostra: 2 5 \u003d 10. I numeri risultanti 2 e 5 sono primi, quindi sono fattori primi per il numero 10.

Esempio 6

Se è necessario scomporre il numero 48, la tabella mostra: 48 \u003d 6 8. Ma 6 e 8 non sono fattori primi, poiché possono anche essere scomposti come 6 = 2 3 e 8 = 2 4 . Quindi la scomposizione completa da qui si ottiene come 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . La notazione canonica assumerà la forma 48 = 2 4 3 .

Esempio 7

Quando scomponi il numero 3400, puoi usare i segni di divisibilità. In questo caso sono rilevanti i segni di divisibilità per 10 e per 100. Da qui otteniamo quel 3400 \u003d 34 100, dove 100 può essere diviso per 10, cioè scritto come 100 \u003d 10 10, il che significa che 3400 \u003d 34 10 10. Basandoci sul segno di divisibilità, otteniamo che 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Tutti i fattori sono semplici. L'espansione canonica assume la forma 3400 = 2 3 5 2 17.

Quando troviamo i fattori primi, è necessario utilizzare i segni di divisibilità e la tavola pitagorica. Se rappresenti il ​​numero 75 come prodotto di fattori, devi tenere conto della regola di divisibilità per 5. Otteniamo che 75 = 5 15 e 15 = 3 5 . Cioè, la scomposizione desiderata è un esempio della forma del prodotto 75 = 5 · 3 · 5 .

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Il calcolatrice online scompone i numeri in fattori primi mediante l'enumerazione dei divisori primi. Se il numero è grande, utilizzare un separatore di cifre per facilitare la presentazione.

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Fattorizzazione di un numero in fattori primi: teoria, algoritmo, esempi e soluzioni

Uno dei modi più semplici per fattorizzare un numero è controllare se il numero dato è divisibile per 2, 3, 5,... ecc., cioè controlla se un numero è divisibile per una serie di numeri primi. Se numero n non è divisibile per nessun numero primo fino a , allora questo numero è primo, perché se il numero è composto, allora ha almeno due fattori ed entrambi non possono essere maggiori di .

Immaginiamo l'algoritmo di scomposizione dei numeri n a fattori primi. Preparare in anticipo una tabella di numeri primi S=. Denotiamo una serie di numeri primi attraverso p 1 , p 2 , p 3 , ...

Algoritmo per scomporre un numero in divisori primi:

Esempio 1. Scomponi il numero 153 in fattori primi.

Soluzione. Ci basta avere una tabella di numeri primi fino a , cioè. 2, 3, 5, 7, 11.

Dividi 153 per 2. 153 non è divisibile per 2 senza resto. Successivamente, dividiamo 153 per l'elemento successivo della tabella dei numeri primi, cioè per 3. 153:3=51. Compila la tabella:

Successivamente, controlliamo se il numero 17 è divisibile per 3. Il numero 17 non è divisibile per 3. Non è nemmeno divisibile per i numeri 5, 7, 11. Il prossimo divisore è maggiore . Quindi 17 è un numero primo divisibile solo per se stesso: 17:17=1. La procedura è stata interrotta. compila la tabella:

Selezioniamo quei divisori su cui i numeri 153, 51, 17 sono stati divisi senza resto, cioè tutti i numeri da lato destro tavoli. Questi sono i divisori 3, 3, 17. Ora il numero 153 può essere rappresentato come un prodotto di numeri primi: 153=3 3 17.

Esempio 2. Scomponi il numero 137 in fattori primi.

Soluzione. Calcolare . Quindi dobbiamo verificare la divisibilità del numero 137 per numeri primi fino a 11: 2,3,5,7,11. Dividendo alternativamente il numero 137 per questi numeri, scopriamo che il numero 137 non è divisibile per nessuno dei numeri 2,3,5,7,11. Quindi 137 è un numero primo.

Ogni numero naturale diverso da uno ha due o più divisori. Ad esempio, il numero 7 è divisibile solo per 1 e 7 senza resto, cioè ha due divisori. E il numero 8 ha divisori 1, 2, 4, 8, cioè fino a 4 divisori contemporaneamente.

Qual è la differenza tra numeri primi e composti

I numeri che hanno più di due fattori sono detti numeri composti. I numeri che hanno solo due divisori, uno e il numero stesso, sono detti numeri primi.

Il numero 1 ha solo una divisione, ovvero il numero stesso. L'unità non si applica ai numeri primi o composti.

• Ad esempio, il numero 7 è primo e il numero 8 è composto.

Primi 10 numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Il numero 2 è l'unico numero primo pari, tutti gli altri numeri primi sono dispari.

Il numero 78 è composto, perché oltre a 1 e se stesso, è anche divisibile per 2. Se diviso per 2, otteniamo 39. Cioè, 78 = 2 * 39. In questi casi, si dice che il numero sia stato scomposto per 2 e 39.

Qualsiasi numero composto può essere scomposto in due fattori, ciascuno dei quali è maggiore di 1. Con un numero primo, un tale trucco non funzionerà. Così è andata.

Scomporre un numero in fattori primi

Come notato sopra, qualsiasi numero composto può essere scomposto in due fattori. Prendi, ad esempio, il numero 210. Questo numero può essere scomposto in due fattori 21 e 10. Ma anche i numeri 21 e 10 sono composti, scomponiamoli in due fattori. Otteniamo 10 = 2*5, 21=3*7. E di conseguenza, il numero 210 si è già scomposto in 4 fattori: 2,3,5,7. Questi numeri sono già primi e non possono essere scomposti. Cioè, abbiamo scomposto il numero 210 in fattori primi.

Quando si scompongono i numeri composti in fattori primi, di solito vengono scritti in ordine crescente.

Va ricordato che qualsiasi numero composto può essere scomposto in fattori primi e inoltre in modo univoco, fino ad una permutazione.

• Di solito, quando si scompone un numero in fattori primi, vengono utilizzati i segni di divisibilità.

Scomponiamo il numero 378 in fattori primi

Scriveremo i numeri, separandoli con una barra verticale. Il numero 378 è divisibile per 2, poiché termina in 8. Dividendo, otteniamo il numero 189. La somma delle cifre del numero 189 è divisibile per 3, il che significa che il numero 189 stesso è divisibile per 3. Come come risultato, otteniamo 63.

Il numero 63 è anche divisibile per 3, in base alla divisibilità. Otteniamo 21, il numero 21 può essere nuovamente diviso per 3, otteniamo 7. Il sette è divisibile solo per se stesso, otteniamo uno. Questo completa la divisione. A destra dopo la riga, abbiamo i fattori primi in cui viene scomposto il numero 378.

378|2
189|3
63|3
21|3