In questa pagina troverai:
1. In realtà, la tabella degli antiderivati - può essere scaricata in Formato PDF e stampare;
2. Video su come utilizzare questa tabella;
3. Una serie di esempi di calcolo dell'antiderivata da vari libri di testo e test.
Nel video stesso analizzeremo molti compiti in cui è necessario calcolare funzioni antiderivate, spesso piuttosto complesse, ma soprattutto non sono leggi di potenza. Tutte le funzioni riassunte nella tabella sopra proposta devono essere conosciute a memoria, come le derivate. Senza di essi, è impossibile approfondire lo studio degli integrali e la loro applicazione per risolvere problemi pratici.
Oggi continuiamo a occuparci dei primitivi e passiamo ad altro ancora argomento difficile. Se la volta scorsa abbiamo considerato le primitive solo da funzioni di potenza e strutture leggermente più complesse, oggi analizzeremo la trigonometria e molto altro.
Come ho detto nell'ultima lezione, le primitive, a differenza delle derivate, non vengono mai risolte "in bianco" usando regole standard. Inoltre, la cattiva notizia è che, a differenza della derivata, l'antiderivata potrebbe non essere affatto considerata. Se scriviamo una funzione completamente casuale e proviamo a trovarne la derivata, ci riusciremo con una probabilità molto alta, ma in questo caso l'antiderivata non verrà quasi mai calcolata. Ma c'è anche una buona notizia: esiste una classe piuttosto ampia di funzioni chiamate funzioni elementari, le cui primitive sono molto facili da calcolare. E tutte le altre costruzioni più complesse che vengono date a vari controlli, indipendenti ed esami, infatti, sono costituite da queste funzioni elementari aggiungendo, sottraendo e altre semplici azioni. Le primitive di tali funzioni sono state a lungo calcolate e riassunte in apposite tabelle. È con tali funzioni e tabelle che lavoreremo oggi.
Ma inizieremo, come sempre, con una ripetizione: ricorda cos'è un'antiderivata, perché ce ne sono infinitamente tante e come determinarle. forma generale. Per fare questo, ho raccolto due semplici compiti.
Risoluzione di semplici esempi
Esempio 1
Nota subito che $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ e la presenza di $\text( )\!\!\pi\!\! \ text()$ ci suggerisce immediatamente che l'antiderivata richiesta della funzione è correlata alla trigonometria. E, infatti, se guardiamo la tabella, troviamo che $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ non è altro che $\text(arctg)x$. Quindi scriviamo:
Per trovare, devi scrivere quanto segue:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Esempio #2
Anche qui si parla funzioni trigonometriche. Se guardiamo al tavolo, allora, in effetti, risulterà così:
Dobbiamo trovare tra l'intero insieme di primitive quella che passa per il punto specificato:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Scriviamolo finalmente:
È così semplice. L'unico problema è, per contare i primitivi funzioni semplici, devi imparare la tavola delle primitive. Tuttavia, dopo aver appreso la tabella delle derivate per te, immagino che questo non sarà un problema.
Risoluzione di problemi contenenti una funzione esponenziale
Iniziamo scrivendo le seguenti formule:
\[((e)^(x))\a ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Vediamo come funziona tutto questo in pratica.
Esempio 1
Se osserviamo il contenuto delle parentesi, noteremo che nella tabella delle primitive non esiste un'espressione tale che $((e)^(x))$ sia in un quadrato, quindi questo quadrato deve essere aperto. Per fare ciò, usiamo le formule di moltiplicazione abbreviate:
Troviamo l'antiderivata per ciascuno dei termini:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
E ora raccogliamo tutti i termini in un'unica espressione e otteniamo un'antiderivata comune:
Esempio #2
Questa volta l'esponente è già più grande, quindi la formula di moltiplicazione abbreviata sarà piuttosto complicata. Allarghiamo le parentesi:
Ora proviamo a prendere l'antiderivata della nostra formula da questa costruzione:
Come puoi vedere, in primitivo funzione esponenziale non c'è niente di complicato e soprannaturale. Tutto è calcolato tramite tabelle, tuttavia, gli studenti attenti noteranno sicuramente che l'antiderivata $((e)^(2x))$ è molto più vicina a $((e)^(x))$ che a $((a )^(x ))$. Quindi, forse c'è qualche regola più speciale che permette, conoscendo l'antiderivata $((e)^(x))$, di trovare $((e)^(2x))$? Sì, esiste una regola del genere. E, inoltre, è parte integrante del lavoro con la tavola delle primitive. Lo analizzeremo ora utilizzando le stesse espressioni con cui abbiamo appena lavorato come esempio.
Regole per lavorare con la tavola delle antiderivate
Riscriviamo la nostra funzione:
Nel caso precedente, abbiamo utilizzato la seguente formula per risolvere:
\[((a)^(x))\a \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Ma ora facciamo qualcosa di diverso: ricorda su quale base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Come già detto, poiché la derivata di $((e)^(x))$ non è altro che $((e)^(x))$, allora la sua antiderivata sarà uguale alla stessa $((e) ^( x))$. Ma il problema è che abbiamo $((e)^(2x))$ e $((e)^(-2x))$. Ora proviamo a trovare la derivata $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Riscriviamo di nuovo la nostra costruzione:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
E questo significa che quando si trova l'antiderivata $((e)^(2x))$, si ottiene quanto segue:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Come puoi vedere, abbiamo ottenuto lo stesso risultato di prima, ma non abbiamo utilizzato la formula per trovare $((a)^(x))$. Ora questo può sembrare stupido: perché complicare i calcoli quando c'è una formula standard? Tuttavia, in espressioni leggermente più complesse, vedrai che questa tecnica è molto efficace, ad es. usare le derivate per trovare le antiderivate.
Come riscaldamento, troviamo l'antiderivata di $((e)^(2x))$ in modo simile:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Durante il calcolo, la nostra costruzione sarà scritta come segue:
\[((e)^(-2x))\a -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Abbiamo ottenuto esattamente lo stesso risultato, ma siamo andati dall'altra parte. È questo modo, che ora ci sembra un po' più complicato, in futuro sarà più efficiente per il calcolo di antiderivate più complesse e l'utilizzo di tabelle.
Nota! Questo è molto punto importante: Gli antiderivati, come i derivati, possono essere contati in molti modi diversi. Tuttavia, se tutti i calcoli e i calcoli sono uguali, la risposta sarà la stessa. Lo abbiamo appena visto nell'esempio di $((e)^(-2x))$ - da un lato, abbiamo calcolato questa antiderivata "in tutto", usando la definizione e calcolandola con l'aiuto di trasformazioni, dall'altro d'altra parte, abbiamo ricordato che $ ((e)^(-2x))$ può essere rappresentato come $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ e poi usa l'antiderivata per la funzione $( (a)^(x))$. Tuttavia, dopo tutte le trasformazioni, il risultato è lo stesso previsto.
E ora che abbiamo capito tutto questo, è tempo di passare a qualcosa di più sostanzioso. Ora analizzeremo due semplici costruzioni, tuttavia, la tecnica che verrà stabilita per risolverle è uno strumento più potente e utile di una semplice "corsa" tra antiderivate vicine dal tavolo.
Problem solving: trovare l'antiderivata di una funzione
Esempio 1
Dare l'importo che è nei numeratori, scomporre in tre frazioni separate:
Questa è una transizione abbastanza naturale e comprensibile: la maggior parte degli studenti non ha problemi con essa. Riscriviamo la nostra espressione come segue:
Ora ricordiamo questa formula:
Nel nostro caso otterremo quanto segue:
Per eliminare tutte queste frazioni a tre piani, suggerisco di fare quanto segue:
Esempio #2
A differenza della frazione precedente, il denominatore non è il prodotto, ma la somma. In questo caso, non possiamo più dividere la nostra frazione per la somma di diversi frazioni semplici, ma devi in qualche modo provare a fare in modo che il numeratore abbia approssimativamente la stessa espressione del denominatore. In questo caso, è abbastanza facile da fare:
Tale notazione, che nel linguaggio della matematica si chiama "addizione zero", ci permetterà di dividere nuovamente la frazione in due pezzi:
Ora troviamo quello che stavamo cercando:
Questi sono tutti i calcoli. Nonostante l'apparente maggiore complessità rispetto al problema precedente, la quantità di calcoli si è rivelata ancora più piccola.
Sfumature della soluzione
Ed è qui che risiede la principale difficoltà nel lavorare con le primitive tabulari, questo è particolarmente evidente nel secondo compito. Il fatto è che per selezionare alcuni elementi facilmente conteggiabili attraverso la tabella, dobbiamo sapere cosa stiamo cercando esattamente, ed è nella ricerca di questi elementi che consiste l'intero calcolo delle primitive.
In altre parole, non è sufficiente solo memorizzare la tabella degli antiderivati: devi essere in grado di vedere qualcosa che non è ancora lì, ma cosa intendeva l'autore e il compilatore di questo problema. Questo è il motivo per cui molti matematici, insegnanti e professori sostengono costantemente: "Cosa sta prendendo antiderivati o integrazione - è solo uno strumento o è vera arte?" In effetti, a mio parere personale, l'integrazione non è affatto un'arte: non c'è niente di sublime in essa, è solo pratica e pratica ancora. E per esercitarci, risolviamo altri tre esempi più seri.
Pratica l'integrazione nella pratica
Compito n. 1
Scriviamo le seguenti formule:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\a \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Scriviamo quanto segue:
Compito n. 2
Riscriviamolo come segue:
L'antiderivata totale sarà pari a:
Compito n. 3
La complessità di questo compito sta nel fatto che, a differenza delle funzioni precedenti, non esiste alcuna variabile $x$ sopra, cioè non ci è chiaro cosa aggiungere, sottrarre per ottenere almeno qualcosa di simile a quanto sta sotto. Tuttavia, in realtà, questa espressione è considerata ancora più semplice di qualsiasi espressione dei costrutti precedenti, perché questa funzione può essere riscritta come segue:
Ora potresti chiederti: perché queste funzioni sono uguali? Controlliamo:
Riscriviamo ancora:
Cambiamo un po' la nostra espressione:
E quando spiego tutto questo ai miei studenti, si pone quasi sempre lo stesso problema: con la prima funzione è tutto più o meno chiaro, con la seconda puoi anche capirlo con la fortuna o con la pratica, ma che tipo di coscienza alternativa fa devi avere per risolvere il terzo esempio? In realtà, non aver paura. La tecnica che abbiamo usato per calcolare l'ultima primitiva si chiama "scomposizione di una funzione nella più semplice", e questa è una tecnica molto seria, e ad essa sarà dedicata una lezione video separata.
Nel frattempo, propongo di tornare a ciò che abbiamo appena studiato, ovvero alle funzioni esponenziali e complicare in qualche modo i compiti con il loro contenuto.
Problemi più complessi per la risoluzione di funzioni esponenziali antiderivate
Compito n. 1
Notare quanto segue:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Per trovare l'antiderivata di questa espressione, usa semplicemente la formula standard $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
Nel nostro caso, la primitiva sarà così:
Ovviamente, sullo sfondo della costruzione che abbiamo appena risolto, questa sembra più semplice.
Compito n. 2
Di nuovo, è facile vedere che questa funzione è facile da dividere in due termini separati - due frazioni separate. Riscriviamo:
Resta da trovare l'antiderivata di ciascuno di questi termini secondo la formula precedente:
Nonostante l'apparente maggiore complessità delle funzioni esponenziali rispetto alle funzioni di potenza, la quantità totale di calcoli e calcoli si è rivelata molto più semplice.
Naturalmente, per gli studenti ben informati, ciò di cui abbiamo appena parlato (soprattutto sullo sfondo di ciò di cui abbiamo parlato prima) può sembrare espressioni elementari. Tuttavia, scegliendo questi due compiti per il video tutorial di oggi, non mi sono prefissato l'obiettivo di raccontarti un altro trucco complesso e complicato: tutto quello che volevo mostrarti è che non dovresti aver paura di usare trucchi di algebra standard per trasformare le funzioni originali .
Usando la tecnica "segreta".
In conclusione, vorrei analizzare un'altra tecnica interessante, che, da un lato, va al di là di quanto abbiamo principalmente analizzato oggi, ma, dall'altro, è, in primo luogo, per nulla complicata, ovvero anche gli studenti alle prime armi possono padroneggiarlo e, in secondo luogo, si trova abbastanza spesso in tutti i tipi di controllo e lavoro indipendente, ad es. conoscerlo sarà molto utile oltre a conoscere la tabella degli antiderivati.
Compito n. 1
Ovviamente, abbiamo qualcosa di molto simile a funzione di potenza. Come dobbiamo procedere in questo caso? Pensiamoci: $x-5$ differisce da $x$ non tanto - ha solo aggiunto $-5$. Scriviamolo così:
\[((x)^(4))\a \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Proviamo a trovare la derivata di $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Ciò implica:
\[((\sinistra(x-5 \destra))^(4))=((\sinistra(\frac(((\sinistra(x-5 \destra))^(5)))(5) \ destra))^(\prime ))\]
Non esiste un tale valore nella tabella, quindi ora abbiamo derivato noi stessi questa formula, utilizzando la formula antiderivata standard per una funzione di potenza. Scriviamo la risposta in questo modo:
Compito n. 2
A molti studenti che guardano alla prima soluzione, può sembrare che tutto sia molto semplice: è sufficiente sostituire $x$ nella funzione di potenza con un'espressione lineare e tutto andrà a posto. Sfortunatamente, non tutto è così semplice, e ora lo vedremo.
Per analogia con la prima espressione, scriviamo quanto segue:
\[((x)^(9))\a \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Tornando alla nostra derivata, possiamo scrivere:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\sinistra(4-3x \destra))^(9))=((\sinistra(\frac(((\sinistra(4-3x \destra))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]
Da qui segue immediatamente:
Sfumature della soluzione
Nota: se l'ultima volta sostanzialmente non è cambiato nulla, nel secondo caso sono comparsi $-30$ invece di $-10$. Qual è la differenza tra $-10$ e $-30$? Ovviamente, di un fattore di $-3$. Domanda: da dove viene? Guardando da vicino, puoi vedere che è stato preso come risultato del calcolo della derivata di una funzione complessa: il coefficiente che si trovava a $x$ appare nell'antiderivata qui sotto. Questo è molto regola importante, che inizialmente non avevo intenzione di analizzare affatto nel video tutorial di oggi, ma senza di esso la presentazione delle primitive tabulari sarebbe incompleta.
Quindi facciamolo di nuovo. Sia la nostra principale funzione di potenza:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
E ora invece di $x$ sostituiamo l'espressione $kx+b$. Cosa succederà allora? Dobbiamo trovare quanto segue:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \destra)\cdot k)\]
Su quali basi lo affermiamo? Molto semplice. Troviamo la derivata della costruzione scritta sopra:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\sinistra(kx+b \destra))^(n))\]
Questa è la stessa espressione che era originariamente. Pertanto, anche questa formula è corretta e può essere utilizzata per integrare la tabella degli antiderivati, ma è meglio ricordare solo l'intera tabella.
Conclusioni dal "segreto: accoglienza:
- Entrambe le funzioni che abbiamo appena considerato, infatti, possono essere ridotte agli antiderivati indicati nella tabella aprendo i gradi, ma se possiamo più o meno in qualche modo far fronte al quarto grado, allora non farei affatto il nono grado azzardò a rivelare.
- Se dovessimo aprire i gradi, otterremmo un tale volume di calcoli che compito semplice ci prenderebbe in modo inadeguato un gran numero di tempo.
- Ecco perché tali compiti, all'interno dei quali sono presenti espressioni lineari, non devono essere risolti "in bianco". Non appena incontri un'antiderivata, che differisce da quella della tabella solo per la presenza dell'espressione $kx+b$ all'interno, ricordati subito della formula scritta sopra, sostituiscila nella tua antiderivata tabulare, e tutto risulterà molto più veloce e più facile.
Naturalmente, vista la complessità e la serietà di questa tecnica, torneremo più volte a prenderla in considerazione nei futuri video tutorial, ma per oggi ho tutto. Spero che questa lezione possa davvero aiutare quegli studenti che vogliono comprendere le primitive e l'integrazione.
Integrali principali che ogni studente dovrebbe conoscere
Gli integrali elencati sono la base, la base delle fondamenta. Queste formule, ovviamente, dovrebbero essere ricordate. Quando calcoli integrali più complessi, dovrai usarli costantemente.
Prestare particolare attenzione alle formule (5), (7), (9), (12), (13), (17) e (19). Non dimenticare di aggiungere una costante C arbitraria alla risposta durante l'integrazione!
Integrale di una costante
∫ LA d x = LA x + DO (1)Integrazione delle funzioni di potenza
In effetti, ci si potrebbe limitare alle formule (5) e (7), ma il resto degli integrali di questo gruppo sono così comuni che vale la pena prestare loro un po' di attenzione.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ceppo | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integrali della funzione esponenziale e delle funzioni iperboliche
Naturalmente la formula (8) (forse la più comoda da ricordare) può essere considerata come un caso particolare della formula (9). Le formule (10) e (11) per gli integrali del seno iperbolico e del coseno iperbolico sono facilmente derivate dalla formula (8), ma è meglio ricordare solo queste relazioni.
∫ e x d x = e x + do (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Integrali di base delle funzioni trigonometriche
Un errore che fanno spesso gli studenti: confondono i segni nelle formule (12) e (13). Ricordando che la derivata del seno è uguale al coseno, per qualche ragione molte persone credono che l'integrale della funzione sinx sia uguale a cosx. Questo non è vero! L'integrale di seno è "meno coseno", ma l'integrale di cosx è "solo seno":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integrali Riducenti a Funzioni Trigonometriche Inverse
La formula (16), che porta all'arcotangente, è naturalmente un caso particolare della formula (17) per a=1. Allo stesso modo, (18) è un caso speciale di (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = un r c t g x + C = − un r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Integrali più complessi
Queste formule sono anche desiderabili da ricordare. Sono anche usati abbastanza spesso e il loro output è piuttosto noioso.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ un 2 − x 2 d x = x 2 un 2 − x 2 + un 2 2 arcsin x un + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + DO (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + DO (a > 0) (24)
Regole generali di integrazione
1) L'integrale della somma di due funzioni è uguale alla somma degli integrali corrispondenti: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) L'integrale della differenza di due funzioni è uguale alla differenza degli integrali corrispondenti: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) La costante può essere estratta dal segno integrale: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
È facile vedere che la proprietà (26) è semplicemente una combinazione delle proprietà (25) e (27).
4) L'integrale di una funzione complessa, se funzione internaè lineare: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Qui F(x) è l'antiderivata per la funzione f(x). Nota che questa formula funziona solo quando la funzione interna è Ax + B.
Importante: non esiste una formula universale per l'integrale del prodotto di due funzioni, così come per l'integrale di una frazione:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trenta)
Ciò non significa, ovviamente, che una frazione o un prodotto non possano essere integrati. È solo che ogni volta che vedi un integrale come (30), devi inventare un modo per "combatterlo". In alcuni casi, l'integrazione per parti ti aiuterà, da qualche parte dovrai cambiare variabile, e talvolta anche le formule "scolastiche" di algebra o trigonometria possono aiutarti.
Un semplice esempio per il calcolo dell'integrale indefinito
Esempio 1. Trova l'integrale: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xUsiamo le formule (25) e (26) (l'integrale della somma o differenza di funzioni è uguale alla somma o differenza degli integrali corrispondenti. Otteniamo: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12dx
Ricordiamo che la costante può essere estratta dal segno integrale (formula (27)). L'espressione viene convertita nella forma
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
Ora usiamo solo la tabella degli integrali di base. Dovremo applicare le formule (3), (12), (8) e (1). Integriamo la funzione potenza, seno, esponente e costante 1. Non dimenticare di aggiungere una costante C arbitraria alla fine:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
Dopo trasformazioni elementari, otteniamo la risposta finale:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Mettiti alla prova con la differenziazione: prendi la derivata della funzione risultante e assicurati che sia uguale all'integranda originale.
Tabella riassuntiva degli integrali
| ∫ LA d x = LA x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ceppo | x | + c |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e X d X = e X + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = un r c t g x + C = − un r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + c |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + c |
| ∫ un 2 − x 2 d x = x 2 un 2 − x 2 + un 2 2 arcsin x un + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + DO (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + DO (a > 0) |
Scarica la tavola degli integrali (parte II) da questo link
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A scuola, molti non riescono a risolvere gli integrali o hanno difficoltà con essi. Questo articolo ti aiuterà a capirlo, poiché troverai tutto in esso. tabelle di integrali.
Integranteè uno dei principali calcoli e concetti nel calcolo. La sua apparizione è avvenuta per due scopi:
Primo obiettivo- ripristinare la funzione utilizzando la sua derivata.
Secondo gol- calcolo dell'area situata a una distanza dal grafico dalla funzione f (x) su una retta in cui a è maggiore o uguale a x è maggiore o uguale a be l'asse delle ascisse.
Questi obiettivi ci portano a integrali definiti e indefiniti. La connessione tra questi integrali sta nella ricerca di proprietà e calcolo. Ma tutto scorre e tutto cambia nel tempo, sono state trovate nuove soluzioni, sono state rivelate aggiunte, portando così integrali definiti e indefiniti ad altre forme di integrazione.
Che è successo integrale indefinito tu chiedi. Questa è la funzione primitiva F(x) di una variabile x nell'intervallo a maggiore di x maggiore di b. si chiama qualsiasi funzione F(x), nell'intervallo dato per qualsiasi notazione x, la derivata è uguale a F(x). È chiaro che F(x) è un'antiderivata per f(x) nell'intervallo a maggiore di x maggiore di b. Quindi F1(x) = F(x) + C. C - è qualsiasi costante e antiderivata per f(x) nell'intervallo dato. Questa dichiarazione reversibilmente, per la funzione f(x) - 2 le primitive differiscono solo per una costante. Sulla base del teorema del calcolo integrale, risulta che ogni continua nell'intervallo a
Integrale definito è inteso come un limite in somme intere, o in una situazione di una data funzione f(x) definita su qualche retta (a, b) avente su di essa l'antiderivata F, che significa la differenza delle sue espressioni alle estremità di questa retta F(b) - F(a).
Per chiarezza, lo studio di questo argomento, suggerisco di guardare il video. Spiega in dettaglio e mostra come trovare gli integrali.
Ogni tabella di integrali è molto utile in sé, in quanto aiuta a risolvere un particolare tipo di integrale.
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Elenchiamo gli integrali delle funzioni elementari, che a volte vengono chiamate tabulari:
Una qualsiasi delle formule di cui sopra può essere dimostrata prendendo la derivata del lato destro (di conseguenza, si otterrà l'integrando).
Metodi di integrazione
Consideriamo alcuni metodi di base di integrazione. Questi includono:
1. Metodo di decomposizione(integrazione diretta).
Questo metodo si basa sull'applicazione diretta di integrali tabulari, nonché sull'applicazione delle proprietà 4 e 5 dell'integrale indefinito (ovvero, estraendo il fattore costante dalla parentesi e / o rappresentando l'integrando come somma di funzioni - espandere l'integranda in termini).
Esempio 1 Ad esempio, per trovare (dx/x 4) è possibile utilizzare direttamente l'integrale di tabella per x n dx. Infatti, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Diamo un'occhiata a qualche altro esempio.
Esempio 2 Per trovare, usiamo lo stesso integrale:
Esempio 3 Per trovare devi prendere
Esempio 4 Per trovare, rappresentiamo l'integranda nella forma 
e usa l'integrale di tabella per la funzione esponenziale:
Si consideri l'uso del bracketing del fattore costante.
Esempio 5
Troviamo, per esempio 
. Considerando ciò, otteniamo
Esempio 6 Cerchiamo. Perché il 
, usiamo l'integrale di tabella 
Ottenere
È inoltre possibile utilizzare parentesi e integrali di tabella nei seguenti due esempi:
Esempio 7
(usiamo e 
);
Esempio 8
(noi usiamo 
E 
).
Diamo un'occhiata a esempi più complessi che utilizzano l'integrale somma.
Esempio 9 Ad esempio, troviamo 
. Per applicare il metodo di espansione al numeratore, usiamo la formula del cubo somma , quindi dividiamo il termine polinomiale risultante per termine per il denominatore.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Va notato che alla fine della soluzione viene scritta una costante C comune (e non separate quando si integra ogni termine). In futuro, si propone anche di omettere le costanti dall'integrazione dei singoli termini nel processo di risoluzione purché l'espressione contenga almeno un integrale indefinito (scriveremo una costante alla fine della soluzione).
Esempio 10 Cerchiamo 
. Per risolvere questo problema, fattorizziamo il numeratore (dopodiché, possiamo ridurre il denominatore).
Esempio 11. Cerchiamo. Le identità trigonometriche possono essere utilizzate qui.
A volte, per scomporre un'espressione in termini, devi usare tecniche più complesse.
Esempio 12. Cerchiamo 
. Nell'integrando, selezioniamo la parte intera della frazione 
. Poi
Esempio 13 Cerchiamo
2. Metodo di sostituzione delle variabili (metodo di sostituzione)
Il metodo si basa sulla seguente formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, dove x =(t) è una funzione differenziabile sull'intervallo considerato.
Prova. Troviamo le derivate rispetto alla variabile t dalle parti sinistra e destra della formula.
Si noti che sul lato sinistro c'è una funzione complessa il cui argomento intermedio è x = (t). Pertanto, per differenziarlo rispetto a t, differenziamo prima l'integrale rispetto a x, e poi prendiamo la derivata dell'argomento intermedio rispetto a t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivata del lato destro:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Poiché queste derivate sono uguali, per un corollario del teorema di Lagrange, le parti sinistra e destra della formula dimostrata differiscono di qualche costante. Poiché gli stessi integrali indefiniti sono definiti fino a un termine costante indefinito, questa costante può essere omessa nella notazione finale. Provato.
Un cambio di variabile riuscito ci consente di semplificare l'integrale originale e, nei casi più semplici, di ridurlo a uno tabulare. Nell'applicazione di questo metodo si distinguono i metodi di sostituzione lineare e non lineare.
a) Metodo di sostituzione lineare diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio 1
. Lett= 1 – 2x, quindi
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Va notato che la nuova variabile non deve essere scritta esplicitamente. In tali casi si parla di trasformazione di una funzione sotto il segno del differenziale, oppure di introduzione di costanti e variabili sotto il segno del differenziale, cioè O sostituzione di variabili implicite.
Esempio 2 Ad esempio, troviamo cos(3x + 2)dx. Per le proprietà del differenziale dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), alloracos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
In entrambi gli esempi considerati, la sostituzione lineare t=kx+b(k0) è stata utilizzata per trovare gli integrali.
Nel caso generale vale il seguente teorema.
Teorema di sostituzione lineare. Sia F(x) una primitiva per la funzione f(x). Alloraf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, dove k e b sono delle costanti,k0.
Prova.
Per definizione dell'integrale f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Togliamo il fattore costante k per il segno integrale: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ora possiamo dividere le parti sinistra e destra dell'uguaglianza per k e ottenere l'asserzione da dimostrare fino alla notazione di un termine costante.
Questo teorema afferma che se l'espressione (kx+b) viene sostituita nella definizione dell'integrale f(x)dx= F(x) + C, allora questo porterà alla comparsa di un ulteriore fattore 1/k davanti dell'antiderivato.
Usando il teorema dimostrato, risolviamo i seguenti esempi.
Esempio 3
Cerchiamo 
. Qui kx+b= 3 –x, cioè k= -1,b= 3. Allora
Esempio 4
Cerchiamo. Qui kx+b= 4x+ 3, cioè k= 4,b= 3. Allora
Esempio 5
Cerchiamo 
. Qui kx+b= -2x+ 7, cioè k= -2,b= 7. Allora
.
Esempio 6 Cerchiamo 
. Qui kx+b= 2x+ 0, cioè k= 2,b= 0.
.
Confrontiamo il risultato ottenuto con l'esempio 8, che è stato risolto con il metodo della decomposizione. Risolvendo lo stesso problema con un altro metodo, abbiamo ottenuto la risposta 
. Confrontiamo i risultati: Pertanto, queste espressioni differiscono l'una dall'altra per un termine costante 
, cioè. le risposte ricevute non si contraddicono a vicenda.
Esempio 7 Cerchiamo 
. Selezioniamo un quadrato pieno nel denominatore.
In alcuni casi, il cambio di variabile non riduce l'integrale direttamente ad uno tabulare, ma può semplificare la soluzione rendendo possibile l'applicazione del metodo di decomposizione al passo successivo.
Esempio 8 Ad esempio, troviamo 
. Sostituire t=x+ 2, quindi dt=d(x+ 2) =dx. Poi
,
dove C \u003d C 1 - 6 (sostituendo invece di t l'espressione (x + 2), invece dei primi due termini, otteniamo ½x 2 -2x - 6).
Esempio 9 Cerchiamo 
. Sia t= 2x+ 1, allora dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Sostituiamo l'espressione (2x + 1) invece di t, apriamo le parentesi e diamo quelle simili.
Si noti che nel processo di trasformazione siamo passati a un altro termine costante, perché il gruppo dei termini costanti nel processo di trasformazione potrebbe essere omesso.
b) Metodo di sostituzione non lineare diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio 1
. Sia t= -x 2 . Inoltre, si potrebbe esprimere x in termini di t, quindi trovare un'espressione per dx e implementare un cambio di variabile nell'integrale desiderato. Ma in questo caso è più facile fare altrimenti. Trova dt=d(-x 2) = -2xdx. Si noti che l'espressione xdx è un fattore dell'integrando dell'integrale desiderato. Lo esprimiamo dalla risultante uguaglianza xdx= - ½dt. Poi
In un materiale precedente è stato considerato il problema di trovare la derivata e sono state mostrate le sue varie applicazioni: calcolo della pendenza della tangente al grafico, risoluzione di problemi di ottimizzazione, studio di funzioni per monotonicità ed estremi. $\nuovocomando(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\nuovocomando(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\nuovocomando(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
Immagine 1.
È stato anche considerato il problema di trovare la velocità istantanea $v(t)$ utilizzando la derivata rispetto ad una distanza percorsa precedentemente nota, espressa dalla funzione $s(t)$.
Figura 2.
Anche il problema inverso è molto comune, quando occorre trovare il percorso $s(t)$ percorso da un punto nel tempo $t$, conoscendo la velocità del punto $v(t)$. Se ricordi, la velocità istantanea $v(t)$ si trova come derivata della funzione percorso $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Ciò significa che per risolvere il problema inverso, cioè per calcolare il percorso, è necessario trovare una funzione la cui derivata sarà uguale alla funzione di velocità. Ma sappiamo che la derivata del cammino è la velocità, cioè: $s'(t) = v(t)$. La velocità è uguale al prodotto dell'accelerazione e del tempo: $v=at$. È facile determinare che la funzione percorso desiderata avrà la forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ma questa non è una soluzione del tutto completa. La soluzione completa sarà simile a: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, dove $C$ è una costante. Perché è così sarà discusso in seguito. Nel frattempo, controlliamo la correttezza della soluzione trovata: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.
Vale la pena notare che trovare il percorso in base alla velocità è il significato fisico dell'antiderivato.
La funzione risultante $s(t)$ è chiamata l'antiderivata di $v(t)$. Un nome piuttosto interessante e insolito, non è vero? C'è un grande significato in esso, che spiega l'essenza di questo concetto e porta alla sua comprensione. Puoi vedere che contiene due parole "first" e "image". Parlano da soli. Cioè, questa è la funzione che è l'originale per la derivata che abbiamo. E con questa derivata stiamo cercando la funzione che era all'inizio, era la “prima”, “prima immagine”, cioè l'antiderivata. A volte è anche chiamata funzione primitiva o antiderivata.
Come già sappiamo, il processo di ricerca della derivata si chiama differenziazione. E il processo per trovare l'antiderivata si chiama integrazione. L'operazione di integrazione è l'inverso dell'operazione di derivazione. È vero anche il contrario.
Definizione. Un'antiderivata per una funzione $f(x)$ su qualche intervallo è una funzione $F(x)$ la cui derivata è uguale a questa funzione $f(x)$ per ogni $x$ dall'intervallo specificato: $F'( x)=f(x)$.
Qualcuno potrebbe avere una domanda: da dove vengono $F(x)$ e $f(x)$ nella definizione, se inizialmente si trattava di $s(t)$ e $v(t)$. Il fatto è che $s(t)$ e $v(t)$ sono casi speciali di designazione di funzioni che hanno un significato specifico in questo caso, cioè sono rispettivamente una funzione del tempo e una funzione della velocità. Lo stesso vale per la variabile $t$: rappresenta il tempo. E $f$ e $x$ sono rispettivamente la variante tradizionale della designazione generale di una funzione e di una variabile. Vale la pena prestare particolare attenzione alla notazione dell'antiderivata $F(x)$. Primo, $F$ è capitale. Le primitive sono indicate con lettere maiuscole. Secondo, le lettere sono le stesse: $F$ e $f$. Cioè, per la funzione $g(x)$ l'antiderivata sarà indicata con $G(x)$, per $z(x)$ - con $Z(x)$. Indipendentemente dalla notazione, le regole per trovare la funzione primitiva sono sempre le stesse.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempio 1 Dimostrare che la funzione $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ è l'antiderivata della funzione $f(x)=\cos5x$.
Per dimostrarlo, usiamo la definizione, e più precisamente quelli il fatto che $F'(x)=f(x)$, e trovare la derivata della funzione $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)' =\frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Quindi $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ è l'antiderivata di $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Esempio 2 Trova a quali funzioni corrispondono le seguenti primitive: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Per trovare le funzioni desiderate, calcoliamo le loro derivate:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Esempio 3 Quale sarà l'antiderivata per $f(x)=0$?
Usiamo la definizione. Pensiamo a quale funzione può avere una derivata uguale a $0$. Ricordando la tabella delle derivate, otteniamo che ogni costante avrà una tale derivata. Otteniamo l'antiderivata che stiamo cercando: $F(x)= C$.
La soluzione risultante può essere spiegata geometricamente e fisicamente. Geometricamente, significa che la tangente al grafico $y=F(x)$ è orizzontale in ogni punto di questo grafico e, quindi, coincide con l'asse $Ox$. Fisicamente spiegato dal fatto che un punto con velocità pari a zero rimane sul posto, cioè il percorso da esso percorso è invariato. Sulla base di ciò, possiamo formulare il seguente teorema.
Teorema. (Segno di costanza della funzione). Se $F'(x) = 0$ su qualche intervallo, allora la funzione $F(x)$ è costante su questo intervallo.
Esempio 4 Determina le primitive di quali funzioni sono le funzioni a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, dove $a$ è un numero.
Usando la definizione di antiderivata, concludiamo che per risolvere questo compito, dobbiamo calcolare le derivate delle funzioni antiderivate che ci sono state date. Durante il calcolo, ricorda che la derivata di una costante, ovvero qualsiasi numero, è uguale a zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\sinistra(\frac(x^7)(7) – 3\destra)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
Cosa vediamo? Diverse funzioni diverse sono antiderivate della stessa funzione. Ciò significa che ogni funzione ha infinite primitive e hanno la forma $F(x) + C$, dove $C$ è una costante arbitraria. Cioè, l'operazione di integrazione è multivalore, in contrasto con l'operazione di differenziazione. Sulla base di ciò, formuliamo un teorema che descrive la proprietà principale delle antiderivate.
Teorema. (La proprietà principale delle primitive). Siano le funzioni $F_1$ e $F_2$ funzioni antiderivate$f(x)$ su qualche intervallo. Quindi la seguente uguaglianza vale per tutti i valori di questo intervallo: $F_2=F_1+C$, dove $C$ è una costante.
Il fatto dell'esistenza di un insieme infinito di primitive può essere interpretato geometricamente. Con l'aiuto della traslazione parallela lungo l'asse $Oy$ si possono ottenere grafici di due qualsiasi antiderivate per $f(x)$ l'una dall'altra. Questo è senso geometrico primitivo.
E' molto importante prestare attenzione al fatto che scegliendo la costante $C$ è possibile far passare il grafico dell'antiderivata per un certo punto.
Figura 3
Esempio 5 Trova l'antiderivata per la funzione $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ il cui grafico passa per il punto $(3; 1)$.
Troviamo prima tutte le primitive per $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Successivamente, troviamo un numero C per il quale il grafico $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ passerà per il punto $(3; 1)$. Per fare ciò, sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione del grafico e lo risolviamo rispetto a $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + DO$, $DO=-5$.
Abbiamo ottenuto il grafico $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, che corrisponde all'antiderivata $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabella delle antiderivate
Una tabella di formule per trovare le primitive può essere compilata usando le formule per trovare le derivate.
| Funzioni | antiderivati |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cosx$ | $\sinx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsinx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcox+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcox+C$ |
Puoi verificare la correttezza della tabella come segue: per ogni serie di antiderivate situata nella colonna di destra, trova la derivata, a seguito della quale si otterranno le funzioni corrispondenti nella colonna di sinistra.
Alcune regole per trovare le primitive
Come sai, molte funzioni ne hanno di più visione complessa di quelli indicati nella tabella delle primitive, e può essere qualsiasi combinazione arbitraria di somme e prodotti di funzioni da questa tabella. E qui sorge la domanda, come calcolare gli antiderivati di funzioni simili. Ad esempio, dalla tabella sappiamo come calcolare le antiderivate $x^3$, $\sin x$ e $10$. Ma come, ad esempio, calcolare l'antiderivata $x^3-10\sin x$? Guardando avanti, vale la pena notare che sarà uguale a $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Se $F(x)$ è una primitiva per $f(x)$, $G(x)$ è per $g(x)$, allora per $f(x)+g(x)$ la primitiva sarà uguale a $ F(x)+G(x)$.
2. Se $F(x)$ è un'antiderivata per $f(x)$ e $a$ è una costante, allora per $af(x)$ l'antiderivata è $aF(x)$.
3. Se per $f(x)$ l'antiderivata è $F(x)$, $a$ e $b$ sono costanti, allora $\frac(1)(a) F(ax+b)$ è antiderivata per $f (ax+b)$.
Utilizzando le regole ottenute, possiamo espandere la tabella delle antiderivate.
| Funzioni | antiderivati |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Esempio 5 Trova le antiderivate per:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.