Definizione. Il prodotto vettoriale di un vettore a (moltiplicatore) per un vettore (moltiplicatore) che non è collineare ad esso è il terzo vettore c (prodotto), che è costruito come segue:

1) il suo modulo è numericamente uguale ad area parallelogramma in Fig. 155), costruito su vettori, cioè è uguale alla direzione perpendicolare al piano del citato parallelogramma;

3) in questo caso si sceglie la direzione del vettore c (tra due possibili) in modo che i vettori c formino un sistema destrorso (§ 110).

Designazione: o

Addendum alla definizione. Se i vettori sono collineari, considerando la figura come un parallelogramma (condizionale), è naturale assegnare area zero. Ecco perchè prodotto vettoriale vettori collineari è considerato uguale al vettore nullo.

Poiché al vettore nullo può essere assegnata qualsiasi direzione, questa convenzione non contraddice gli elementi 2 e 3 della definizione.

Osservazione 1. Nel termine "prodotto vettoriale", la prima parola indica che il risultato di un'azione è un vettore (in opposizione a un prodotto scalare; cfr § 104, osservazione 1).

Esempio 1. Trova il prodotto vettoriale dove si trovano i principali vettori del sistema di coordinate destro (Fig. 156).

1. Poiché le lunghezze dei vettori principali sono uguali all'unità di scala, l'area del parallelogramma (quadrato) è numericamente uguale a uno. Quindi il modulo del prodotto vettoriale uguale a uno.

2. Poiché la perpendicolare al piano è l'asse, il prodotto vettoriale desiderato è un vettore collineare al vettore k; e poiché entrambi hanno modulo 1, il prodotto incrociato richiesto è k o -k.

3. Di questi due possibili vettori si deve scegliere il primo, in quanto i vettori k formano un sistema destro (e i vettori formano un sistema sinistro).

Esempio 2. Trova il prodotto incrociato

Soluzione. Come nell'esempio 1, concludiamo che il vettore è k o -k. Ma ora dobbiamo scegliere -k, poiché i vettori formano il sistema destro (e i vettori formano il sinistro). Così,

Esempio 3 I vettori hanno lunghezze rispettivamente di 80 e 50 cm e formano un angolo di 30°. Prendendo un metro come unità di lunghezza, trova la lunghezza del prodotto vettoriale a

Soluzione. L'area di un parallelogramma costruito su vettori è uguale a La lunghezza del prodotto vettoriale desiderato è uguale a

Esempio 4. Trova la lunghezza del prodotto incrociato degli stessi vettori, prendendo un centimetro come unità di lunghezza.

Soluzione. Poiché l'area del parallelogramma costruita sui vettori è uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale è 2000 cm, cioè

Il confronto degli esempi 3 e 4 mostra che la lunghezza del vettore dipende non solo dalle lunghezze dei fattori, ma anche dalla scelta dell'unità di lunghezza.

Il significato fisico del prodotto vettoriale. Dei numerosi quantità fisiche, rappresentato da un prodotto vettoriale, considera solo il momento della forza.

Sia A il punto di applicazione della forza. Il momento della forza relativo al punto O è chiamato prodotto vettoriale. Poiché il modulo di questo prodotto vettoriale è numericamente uguale all'area del parallelogramma (Fig. 157), il modulo del momento è uguale al prodotto della base per l'altezza, cioè la forza moltiplicata per la distanza dal punto O alla retta lungo la quale agisce la forza.

In meccanica, è dimostrato che per l'equilibrio corpo solidoè necessario che non solo la somma dei vettori rappresentanti le forze applicate al corpo sia uguale a zero, ma anche la somma dei momenti delle forze. Nel caso in cui tutte le forze siano parallele allo stesso piano, l'addizione dei vettori che rappresentano i momenti può essere sostituita dall'addizione e sottrazione dei loro moduli. Ma per direzioni arbitrarie delle forze, una tale sostituzione è impossibile. In base a ciò, il prodotto incrociato è definito proprio come un vettore e non come un numero.

Vettore unitario- questo è vettore, il cui valore assoluto (modulo) è uguale a uno. Per denotare un vettore unitario, useremo il pedice e. Quindi, se viene fornito un vettore un, allora il suo vettore unitario sarà il vettore un e. Questo vettore unitario punta nella stessa direzione del vettore stesso un, e il suo modulo è uguale a uno, ovvero a e \u003d 1.

Ovviamente, un= a un e (a - modulo vettoriale un). Ciò deriva dalla regola con cui viene eseguita l'operazione di moltiplicazione di uno scalare per un vettore.

vettori unitari spesso associato agli assi delle coordinate del sistema di coordinate (in particolare, agli assi del sistema di coordinate cartesiane). Indicazioni di questi vettori coincidono con le direzioni degli assi corrispondenti e le loro origini sono spesso combinate con l'origine del sistema di coordinate.

Lascia che te lo ricordi Sistema di coordinate cartesiano nello spazio è tradizionalmente chiamata una tripla di assi reciprocamente perpendicolari che si intersecano in un punto chiamato origine. Gli assi delle coordinate sono generalmente indicati dalle lettere X, Y, Z e sono chiamati rispettivamente asse delle ascisse, asse delle ordinate e asse applicato. Lo stesso Cartesio utilizzò un solo asse, sul quale furono tracciate le ascisse. merito d'uso sistemi assi appartiene ai suoi studenti. Quindi la frase Sistema di coordinate cartesiano storicamente sbagliato. Meglio parlare rettangolare sistema di coordinate o sistema di coordinate ortogonali. Tuttavia, non cambieremo le tradizioni e in futuro assumeremo che i sistemi di coordinate cartesiane e rettangolari (ortogonali) siano la stessa cosa.

Vettore unitario, diretto lungo l'asse X, è indicato io, vettore unitario, diretto lungo l'asse Y, è indicato j, un vettore unitario, diretto lungo l'asse Z, è indicato K. vettori io, j, K chiamato orti(Fig. 12, a sinistra), hanno moduli singoli, cioè
io = 1, j = 1, k = 1.

assi e orti sistema di coordinate rettangolari in alcuni casi hanno altri nomi e designazioni. Quindi, l'asse delle ascisse X può essere chiamato asse tangente e il suo vettore unitario è indicato τ (lettera minuscola greca tau), l'asse y è l'asse normale, il suo vettore unitario è indicato n, l'asse dell'applicata è l'asse della binormale, il suo vettore unitario è indicato b. Perché cambiare i nomi se l'essenza rimane la stessa?

Il fatto è che, ad esempio, in meccanica, quando si studia il movimento dei corpi, viene utilizzato molto spesso un sistema di coordinate rettangolare. Quindi, se il sistema di coordinate stesso è immobile e il cambiamento nelle coordinate di un oggetto in movimento viene tracciato in questo sistema immobile, allora di solito gli assi denotano X, Y, Z e le loro orti rispettivamente io, j, K.

Ma spesso, quando un oggetto si muove lungo una sorta di traiettoria curvilinea (ad esempio lungo un cerchio), è più conveniente considerare i processi meccanici in un sistema di coordinate che si muove con questo oggetto. È per un tale sistema di coordinate mobili che vengono utilizzati altri nomi degli assi e dei loro vettori unitari. È solo accettato. In questo caso, l'asse X è diretto tangenzialmente alla traiettoria nel punto in cui questo momento questo oggetto si trova. E quindi questo asse non è più chiamato asse X, ma asse tangente e il suo vettore unitario non è più indicato io, un τ . L'asse Y è diretto lungo il raggio di curvatura della traiettoria (in caso di movimento in un cerchio - al centro del cerchio). E poiché il raggio è perpendicolare alla tangente, l'asse è detto asse della normale (perpendicolare e normale sono la stessa cosa). L'ort di questo asse non è più indicato j, un n. Il terzo asse (l'ex Z) è perpendicolare ai due precedenti. Questo è un binormale con un vettore b(Fig. 12, a destra). A proposito, in questo caso sistema di coordinate rettangolari spesso indicato come "naturale" o naturale.

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Prima di dare il concetto di prodotto vettoriale, passiamo alla questione dell'orientamento della tripla ordinata di vettori a → , b → , c → nello spazio tridimensionale.

Per cominciare, mettiamo da parte i vettori a → , b → , c → da un punto. L'orientamento della tripla a → , b → , c → è destro o sinistro, a seconda della direzione del vettore c → . Dalla direzione in cui viene effettuata la svolta più breve dal vettore a → a b → dalla fine del vettore c → , sarà determinata la forma della tripla a → , b → , c →.

Se la rotazione più breve è in senso antiorario, allora viene chiamata la tripla dei vettori a → , b → , c → Giusto se in senso orario - sinistra.

Quindi, prendi due vettori non collineari a → e b → . Rimandiamo quindi i vettori A B → = a → e A C → = b → dal punto A. Costruiamo un vettore A D → = c → , che sia simultaneamente perpendicolare sia ad A B → che ad A C → . Quindi, quando costruiamo il vettore A D → = c →, possiamo fare due cose, dandogli una direzione o l'altra (vedi illustrazione).

Il trio ordinato di vettori a → , b → , c → può essere, come abbiamo visto, destro o sinistro a seconda della direzione del vettore.

Da quanto sopra, possiamo introdurre la definizione di prodotto vettoriale. Questa definizione è data per due vettori definiti in un sistema di coordinate rettangolare di spazio tridimensionale.

Definizione 1

Il prodotto vettoriale di due vettori a → e b → chiameremo tale vettore dato in un sistema di coordinate rettangolare di spazio tridimensionale tale che:

• se i vettori a → e b → sono collineari, sarà zero;
• sarà perpendicolare sia al vettore a →​​ che al vettore b → cioè ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• la sua lunghezza è determinata dalla formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• la tripletta di vettori a → , b → , c → ha lo stesso orientamento di questo sistema coordinate.

Il prodotto incrociato dei vettori a → e b → ha la seguente notazione: a → × b → .

Coordinate incrociate del prodotto

Poiché ogni vettore ha determinate coordinate nel sistema di coordinate, è possibile introdurre una seconda definizione del prodotto vettoriale, che consentirà di trovare le sue coordinate dalle coordinate dei vettori date.

Definizione 2

In un sistema di coordinate rettangolare dello spazio tridimensionale prodotto vettoriale di due vettori a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) chiama il vettore c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dove i → , j → , k → sono vettori di coordinate.

Il prodotto vettoriale può essere rappresentato come determinante di una matrice quadrata del terzo ordine, dove la prima riga sono i vettori orta i → , j → , k → , la seconda riga contiene le coordinate del vettore a → , e la terza dove sono le coordinate del vettore b → in un dato sistema di coordinate rettangolari, questo determinante di matrice si presenta così: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Espandendo questo determinante sugli elementi della prima riga, otteniamo l'uguaglianza: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietà incrociate del prodotto

È noto che il prodotto vettoriale in coordinate è rappresentato come determinante della matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , quindi sulla base proprietà determinanti della matrice il seguente proprietà del prodotto vettoriale:

1. anticommutatività a → × b → = - b → × a → ;
2. distributività a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associatività λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b → , dove λ è un numero reale arbitrario.

Queste proprietà non hanno dimostrazioni complicate.

Ad esempio, possiamo dimostrare la proprietà di anticommutatività di un prodotto vettoriale.

Prova di anticommutatività

Per definizione, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se due righe della matrice vengono scambiate, allora il valore del determinante della matrice dovrebbe cambiare nell'opposto, quindi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , che e dimostra l'anticommutatività del prodotto vettoriale.

Prodotto Vector - Esempi e Soluzioni

Nella maggior parte dei casi, ci sono tre tipi di attività.

Nei problemi del primo tipo, di solito vengono fornite le lunghezze di due vettori e l'angolo tra di loro, ma è necessario trovare la lunghezza del prodotto incrociato. In questo caso, utilizzare la seguente formula c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Esempio 1

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori a → e b → se a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 è noto.

Soluzione

Utilizzando la definizione della lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b →, risolviamo questo problema: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Risposta: 15 2 2 .

I compiti del secondo tipo hanno una connessione con le coordinate dei vettori, contengono un prodotto vettoriale, la sua lunghezza, ecc. vengono ricercati attraverso le coordinate note dei vettori dati a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) .

Per questo tipo di attività, puoi risolvere molte opzioni per le attività. Ad esempio, non le coordinate dei vettori a → e b → , ma le loro espansioni nei vettori di coordinate della forma b → = b x io → + b y j → + b z k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , oppure i vettori a → e b → possono essere dati dalle loro coordinate punti di inizio e fine.

Considera i seguenti esempi.

Esempio 2

Due vettori sono impostati in un sistema di coordinate rettangolare a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Trova il loro prodotto vettoriale.

Soluzione

Secondo la seconda definizione, troviamo il prodotto vettoriale di due vettori in coordinate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) io → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 io → - 2 j → - 2 k → .

Se scriviamo il prodotto vettoriale attraverso il determinante matriciale, la soluzione di questo esempio è la seguente: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 io → - 2 j → - 2 k → .

Risposta: a → × b → = - 2 io → - 2 j → - 2 k → .

Esempio 3

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori i → - j → e i → + j → + k → , dove i → , j → , k → - orts di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Soluzione

Per prima cosa, troviamo le coordinate del dato prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → nel dato sistema di coordinate rettangolari.

È noto che i vettori i → - j → e i → + j → + k → hanno coordinate (1 ; - 1 ; 0) e (1 ; 1 ; 1) rispettivamente. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale usando il determinante matriciale, quindi abbiamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

Pertanto, il prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → ha coordinate (- 1 ; - 1 ; 2) nel sistema di coordinate dato.

Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale con la formula (vedi la sezione sulla ricerca della lunghezza del vettore): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Risposta: io → - j → × io → + j → + k → = 6 . .

Esempio 4

Le coordinate di tre punti A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sono fornite in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Trova un vettore perpendicolare ad A B → e A C → allo stesso tempo.

Soluzione

I vettori A B → e A C → hanno rispettivamente le seguenti coordinate (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1). Avendo trovato il prodotto vettoriale dei vettori A B → e A C → , è ovvio che si tratta di un vettore perpendicolare per definizione sia ad A B → che ad A C → , cioè è la soluzione del nostro problema. Trovalo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Risposta: - 6 io → + j → - 4 k → . è uno dei vettori perpendicolari.

I problemi del terzo tipo sono focalizzati sull'uso delle proprietà del prodotto vettoriale dei vettori. Dopo aver applicato ciò, otterremo una soluzione al problema dato.

Esempio 5

I vettori a → e b → sono perpendicolari e le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 4. Trova la lunghezza del prodotto incrociato 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 un → × - 2 b → + - b → × un → + - b → × - 2 b → .

Soluzione

Per la proprietà di distributività del prodotto vettoriale, possiamo scrivere 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Per la proprietà dell'associatività, estraiamo i coefficienti numerici oltre il segno dei prodotti vettoriali nell'ultima espressione: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

I prodotti vettoriali a → × a → e b → × b → sono uguali a 0, poiché a → × a → = a → a → sin 0 = 0 e b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , quindi 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Dall'anticommutatività del prodotto vettoriale segue - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo l'uguaglianza 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Per condizione, i vettori a → e b → sono perpendicolari, cioè l'angolo tra loro è uguale a π 2 . Ora non resta che sostituire i valori trovati nelle formule corrispondenti: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → peccato (a →, b →) = 5 3 4 peccato π 2 = 60.

Risposta: 3 un → - b → × un → - 2 b → = 60 .

La lunghezza del prodotto incrociato dei vettori per definizione è a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Poiché è già noto (dal corso scolastico) che l'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto delle lunghezze dei suoi due lati moltiplicato per il seno dell'angolo tra questi lati. Pertanto, la lunghezza del prodotto vettoriale è uguale all'area di un parallelogramma: un triangolo raddoppiato, ovvero il prodotto dei lati sotto forma di vettori a → e b → , staccati da un punto, dal seno dell'angolo tra loro sin ∠ a → , b → .

Questo è il significato geometrico del prodotto vettoriale.

Il significato fisico del prodotto vettoriale

In meccanica, uno dei rami della fisica, grazie al prodotto vettoriale è possibile determinare il momento della forza relativo a un punto nello spazio.

Definizione 3

Sotto il momento di forza F → , applicato al punto B , relativo al punto A si comprenderà il seguente prodotto vettoriale A B → × F → .

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In questa lezione, esamineremo altre due operazioni con i vettori: prodotto incrociato di vettori e prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che per la completa felicità, oltre a prodotto scalare dei vettori, è necessario sempre di più. Tale è la dipendenza da vettori. Si può avere l'impressione di entrare nella giungla della geometria analitica. Questo non è vero. In questa sezione di matematica superiore, c'è generalmente poca legna da ardere, tranne forse abbastanza per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più difficile dello stesso prodotto scalare, anche ci saranno meno attività tipiche. La cosa principale nella geometria analitica, come molti vedranno o avranno già visto, è NON SBAGLIARE I CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini per ripristinare o riacquisire conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo, ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso in lavoro pratico

Cosa ti renderà felice? Quando ero piccolo, potevo destreggiarmi tra due e anche tre palle. Ha funzionato bene. Ora non c'è bisogno di destreggiarsi affatto, poiché considereremo solo vettori spaziali, e i vettori piatti con due coordinate verranno tralasciati. Come mai? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto di vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. Già più facile!

In questa operazione, allo stesso modo del prodotto scalare, due vettori. Che siano lettere imperiture.

L'azione stessa indicato nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a designare il prodotto incrociato dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E immediatamente domanda: se dentro prodotto scalare dei vettori sono coinvolti due vettori, e anche qui vengono moltiplicati due vettori, quindi qual è la differenza? Una netta differenza, prima di tutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare dei vettori è un NUMERO:

Il risultato del prodotto incrociato dei vettori è un VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo di nuovo un vettore. Circolo chiuso. In realtà, da qui il nome dell'operazione. In varie pubblicazioni educative, anche le designazioni possono variare, userò la lettera .

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi commenti.

Definizione: prodotto incrociato non collinare vettori, preso in questo ordine, si chiama VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonale ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione per ossa, ci sono molte cose interessanti!

Possiamo quindi evidenziare i seguenti punti significativi:

1) Vettori sorgente, indicati da frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare il caso dei vettori collineari un po' più avanti.

2) Vettori presi in un ordine rigoroso: – "a" è moltiplicato per "essere", non "essere" in "a". Il risultato della moltiplicazione del vettoreè VECTOR , che è indicato in blu. Se i vettori vengono moltiplicati in ordine inverso, otteniamo un vettore uguale in lunghezza e opposto nella direzione (colore cremisi). Cioè, l'uguaglianza .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori. Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, ovviamente, la lunghezza nominale del prodotto incrociato non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti e il seno dell'angolo tra di loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per il calcolo della LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che nella formula si parla della LUNGHEZZA del vettore e non del vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è tale che nei problemi di geometria analitica, l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Otteniamo la seconda formula importante. La diagonale del parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangolo uguale. Pertanto, l'area di un triangolo costruito su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata dalla formula:

4) Un fatto altrettanto importante è che il vettore è ortogonale ai vettori , cioè . Naturalmente, anche il vettore con direzione opposta (freccia cremisi) è ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è diretto in modo tale base Esso ha Giusto orientamento. In una lezione su passaggio a una nuova base Ne ho parlato in dettaglio orientamento piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento dello spazio. Ti spiegherò con le dita mano destra . Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con vettore. Anulare e mignolo premi sul palmo della mano. Di conseguenza pollice - il prodotto vettoriale cercherà in alto. Questa è la base orientata a destra (è nella figura). Ora scambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza, il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Forse hai una domanda: quale base ha un orientamento a sinistra? "Assegna" le stesse dita mano sinistra vettori e ottieni la base sinistra e l'orientamento dello spazio sinistro (in questo caso, il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi “torcono” o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto: ad esempio, lo specchio più ordinario cambia l'orientamento dello spazio e se "estrai l'oggetto riflesso dallo specchio", in generale non sarà possibile abbinalo all'"originale". A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

... quanto è bello che ora sai orientato a destra e a sinistra basi, perché le affermazioni di alcuni docenti sul cambio di orientamento sono terribili =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata elaborata in dettaglio, resta da scoprire cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una retta e anche il nostro parallelogramma si "piega" in una retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare parallelogramma è zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora . A rigor di termini, il prodotto incrociato stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e scritto che è semplicemente uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto vettoriale di un vettore e se stesso:

Usando il prodotto incrociato, puoi controllare la collinearità dei vettori tridimensionali e questo compito tra gli altri, analizzeremo anche.

Per risolvere esempi pratici, potrebbe essere necessario tavola trigonometrica per trovare i valori dei seni da esso.

Bene, accendiamo un fuoco:

Esempio 1

a) Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, questo non è un errore di battitura, ho intenzionalmente reso uguali i dati iniziali negli elementi delle condizioni. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) Secondo la condizione, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto vettoriale). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché è stata chiesta la lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione - unità.

b) Secondo la condizione, è tenuto a trovare quadrato parallelogramma costruito su vettori. L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto incrociato:

Risposta:

Si noti che nella risposta sul prodotto vettoriale non si parla affatto, ci è stato chiesto area della figura, rispettivamente, la dimensione è di unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA deve essere trovato dalla condizione e, sulla base di questo, formuliamo chiaro Rispondere. Può sembrare letteralismo, ma ci sono abbastanza letteralisti tra gli insegnanti e il compito con buone probabilità verrà restituito per la revisione. Anche se questo non è un nitpick particolarmente teso, se la risposta non è corretta, si ha l'impressione che la persona non capisca le cose semplici e/o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo momento dovrebbe essere sempre tenuto sotto controllo, risolvendo qualsiasi problema in matematica superiore, e anche in altre materie.

Dov'è finita la grande lettera "en"? In linea di principio, potrebbe essere ulteriormente bloccato sulla soluzione, ma per abbreviare il record, non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano ed è la designazione della stessa cosa.

Un esempio popolare per una soluzione fai-da-te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo attraverso il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. Soluzione e risposta alla fine della lezione.

In pratica il compito è davvero molto comune, i triangoli in genere possono essere torturati.

Per risolvere altri problemi abbiamo bisogno di:

Proprietà del prodotto incrociato dei vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, sono vere le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione, questo elemento non è solitamente distinto nelle proprietà, ma è molto importante in termini pratici. Quindi lascia che sia.

2) - la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l'ordine dei vettori è importante.

3) - combinazione o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti sono facilmente escluse dai limiti del prodotto vettoriale. Davvero, cosa ci fanno lì?

4) - distribuzione o distribuzione leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

A titolo dimostrativo, consideriamo un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: Per condizione, è nuovamente necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, si estraggono le costanti oltre i limiti del prodotto vettoriale.

(2) Togliamo la costante dal modulo, mentre il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Quanto segue è chiaro.

Risposta:

È ora di gettare legna sul fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area di un triangolo usando la formula . L'inconveniente è che i vettori "ce" e "te" sono essi stessi rappresentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione. Prodotto scalare di vettori. Analizziamolo in tre passaggi per chiarezza:

1) Nella prima fase, esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimere il vettore in termini di vettore. Nessuna parola sulla lunghezza ancora!

(1) Sostituiamo espressioni di vettori.

(2) Usando le leggi distributive, apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, eliminiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con poca esperienza, le azioni 2 e 3 possono essere eseguite contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà gradevole . Nel secondo termine, utilizziamo la proprietà di anticommutatività del prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore è risultato essere espresso attraverso un vettore, che era ciò che doveva essere ottenuto:

2) Nella seconda fase, troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione ricorda l'esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo richiesto:

I passaggi 2-3 della soluzione potrebbero essere disposti su una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune in lavoro di controllo, ecco un esempio per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Trova se

Breve soluzione e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento quando hai studiato gli esempi precedenti ;-)

Prodotto incrociato di vettori in coordinate

, dato in base ortonormale , è espresso dalla formula:

La formula è molto semplice: scriviamo i vettori delle coordinate nella riga superiore del determinante, “impacchettamo” le coordinate dei vettori nella seconda e terza riga e mettiamo in ordine rigoroso- prima le coordinate del vettore "ve", poi le coordinate del vettore "doppia-ve". Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, è necessario scambiare anche le linee:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
un)
b)

Soluzione: Il test si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, il loro prodotto incrociato è zero (vettore zero): .

a) Trova il prodotto vettoriale:

Quindi i vettori non sono collineari.

b) Trova il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Ecco, forse, tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché ci sono pochi problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. Tutto infatti riposerà sulla definizione, sul significato geometrico e su un paio di formule di lavoro.

Il prodotto misto dei vettori è prodotto di tre vettori:

È così che si sono messi in fila come un treno e aspettano, non vedono l'ora di essere calcolati.

Prima ancora la definizione e l'immagine:

Definizione: Prodotto misto non complanare vettori, preso in questo ordine, è chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di un segno "+" se la base è destra, e un segno "-" se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee a noi invisibili sono disegnate da una linea tratteggiata:

Entriamo nella definizione:

2) Vettori presi in un certo ordine, cioè la permutazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non va senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, prendo atto del fatto ovvio: il prodotto misto dei vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design potrebbe essere leggermente diverso, ero solito designare un prodotto misto e il risultato di calcoli con la lettera "pe".

Per definizione il prodotto miscelato è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè, il numero è uguale al volume del dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non occupiamoci di nuovo del concetto dell'orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che un segno meno può essere aggiunto al volume. In parole semplici, il prodotto misto può essere negativo: .

La formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori segue direttamente dalla definizione.

Definizione Viene chiamata una raccolta ordinata (x 1 , x 2 , ... , x n) n di numeri reali vettore n-dimensionale, e i numeri x i (i = ) - componenti o coordinate,

Esempio. Se, ad esempio, un certo stabilimento automobilistico deve produrre 50 automobili, 100 camion, 10 autobus, 50 set di pezzi di ricambio per auto e 150 set per camion e autobus per turno, allora il programma di produzione di questo stabilimento può essere scritto come un vettore (50, 100, 10, 50, 150), che ha cinque componenti.

Notazione. I vettori sono indicati in grassetto minuscolo o lettere con una barra o una freccia in alto, ad esempio, un o. I due vettori sono chiamati pari se hanno lo stesso numero di componenti e le componenti corrispondenti sono uguali.

I componenti del vettore non possono essere scambiati, ad esempio (3, 2, 5, 0, 1) e (2, 3, 5, 0, 1) vettori differenti.
Operazioni sui vettori. opera X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) a un numero realeλ chiamato vettoreλ X= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sommaX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) e y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) è chiamato vettore x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Lo spazio dei vettori. N -spazio vettoriale dimensionale R n è definito come l'insieme di tutti i vettori n-dimensionali per i quali sono definite le operazioni di moltiplicazione per numeri reali e addizione.

Illustrazione economica. Un'illustrazione economica di uno spazio vettoriale n-dimensionale: spazio delle merci (merce). Sotto merce capiremo qualche bene o servizio che è stato messo in vendita in un determinato momento in un determinato luogo. Supponiamo che ci sia un numero finito di beni disponibili n; le quantità di ciascuna di esse acquistate dal consumatore sono caratterizzate da un insieme di beni

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

dove x i indica l'importo dell'i-esimo bene acquistato dal consumatore. Assumeremo che tutti i beni abbiano la proprietà della divisibilità arbitraria, in modo che qualsiasi quantità non negativa di ciascuno di essi possa essere acquistata. Allora tutti i possibili insiemi di beni sono vettori dello spazio dei beni C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x io ≥ 0, io = ).

Indipendenza lineare. Sistema e 1 , e 2 , ... , e Viene chiamato m vettori n-dimensionali linearmente dipendente se ci sono tali numeriλ 1 , λ 2 , ... , λ m , di cui almeno uno è diverso da zero, che soddisfa l'uguaglianzaλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; in caso contrario, viene chiamato questo sistema di vettori linearmente indipendente, cioè questa uguaglianza è possibile solo nel caso in cui tutti . senso geometrico dipendenza lineare dei vettori in R 3, interpretati come segmenti diretti, spiegano i seguenti teoremi.

Teorema 1. Un sistema costituito da un unico vettore è linearmente dipendente se e solo se questo vettore è zero.

Teorema 2. Affinché due vettori siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che siano collineari (paralleli).

Teorema 3 . Affinché tre vettori siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che siano complanari (giacenti sullo stesso piano).

Triple di vettori sinistro e destro. Una tripla di vettori non complanari a, b, c chiamato Giusto, se l'osservatore dalla loro origine comune bypassa le estremità dei vettori a, b, c in quest'ordine sembra procedere in senso orario. Altrimenti a, b, c -tripla sinistra. Vengono chiamate tutte le triple di vettori destra (o sinistra). ugualmente orientati.

Base e coordinate. Troika e 1, e 2 , e 3 vettori non complanari in R 3 chiamato base, e gli stessi vettori e 1, e 2 , e 3 - di base. Qualsiasi vettore un può essere espanso in un modo unico in termini di vettori di base, cioè può essere rappresentato nella forma

un= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

vengono chiamati i numeri x 1 , x 2 , x 3 in espansione (1.1). coordinateun in base e 1, e 2 , e 3 e sono indicati un(x 1 , x 2 , x 3).

Base ortonormale. Se i vettori e 1, e 2 , e 3 sono perpendicolari a coppie e la lunghezza di ciascuno di essi è uguale a uno, quindi viene chiamata la base Ortonormale e le coordinate x 1 , x 2 , x 3 - rettangolare. Saranno indicati i vettori di base di una base ortonormale io, j, k.

Lo assumiamo nello spazio R 3 il giusto sistema di coordinate rettangolari cartesiane (0, io, j, k}.

Prodotto vettoriale. arte vettoriale un per vettore b chiamato vettore c, che è determinato dalle seguenti tre condizioni:

1. Lunghezza del vettore c numericamente uguale all'area del parallelogramma costruita sui vettori un e b, cioè.
c= |a||b| peccato( un^b).

2. Vettore c perpendicolare a ciascuno dei vettori un e b.

3. Vettori un, b e c, presi in quest'ordine, formano una tripla destra.

Per prodotto vettoriale c viene introdotta la designazione c=[ab] o
c = a × b.

Se i vettori un e b sono collineari, quindi sin( a^b) = 0 e [ ab] = 0, in particolare, [ aa] = 0. Prodotti vettoriali di orts: [ ij]=K, [jk] = io, [ki]=j.

Se i vettori un e b dato in base io, j, k coordinate un(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), quindi

Lavoro misto. Se il prodotto incrociato di due vettori un e b scalare moltiplicato per il terzo vettore c, allora viene chiamato un tale prodotto di tre vettori prodotto misto ed è indicato dal simbolo un avanti Cristo.

Se i vettori a, b e c in base io, j, k impostati dalle loro coordinate
un(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), quindi

.

Il prodotto misto ha una semplice interpretazione geometrica: è uno scalare, in valore assoluto pari al volume di un parallelepipedo costruito su tre vettori dati.

Se i vettori formano una terna retta, il loro prodotto misto è un numero positivo uguale al volume indicato; se i tre a, b, c - a sinistra, allora a b c<0 и V = - a b c, quindi V =|a b c|.

Si presume che le coordinate dei vettori incontrati nei problemi del primo capitolo siano date rispetto alla base ortonormale destra. Unità vettore codirezionale a vettore un, indicato dal simbolo un di. Simbolo r=OM indicato dal vettore raggio del punto M, i simboli a, AB o|a|, | AB |i moduli dei vettori sono indicati un e AB.

Esempio 1.2. Trova l'angolo tra i vettori un= 2m+4n e b= m-n, dove m e n- vettori unitari e angolo tra m e n pari a 120 o.

Soluzione. Abbiamo: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; un = ; un 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, quindi a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, quindi b = . Infine abbiamo: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Esempio 1.3.Conoscere i vettori AB(-3,-2,6) e AVANTI CRISTO(-2,4,4), calcola l'altezza AD del triangolo ABC.

Soluzione. Indicando con S l'area del triangolo ABC, otteniamo:
S = 1/2 a.C. d.C. Quindi AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, quindi il vettore corrente alternata ha coordinate
. .

Esempio 1.4 . Dati due vettori un(11,10,2) e b(4,0,3). Trova il vettore unitario c, ortogonale ai vettori un e b e diretto in modo che la tripla ordinata dei vettori a, b, c era giusto.

Soluzione.Indichiamo le coordinate del vettore c rispetto alla data base ortonormale destra in termini di x, y, z.

Perché il c ⊥ corrente alternata ⊥b, poi circa= 0, cb= 0. Per la condizione del problema, è richiesto che c = 1 e a b c >0.

Abbiamo un sistema di equazioni per trovare x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Dalla prima e dalla seconda equazione del sistema otteniamo z = -4/3 x, y = -5/6 x. Sostituendo yez nella terza equazione, avremo: x 2 = 36/125, da cui
x=± . Usando la condizione a b c > 0, otteniamo la disuguaglianza

Tenendo conto delle espressioni per ze y, riscriviamo la disuguaglianza risultante nella forma: 625/6 x > 0, da cui segue che x>0. Quindi x = , y = - , z = - .