L'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale. Come trovare l'area di un trapezio curvilineo

Integrale definito. Come calcolare l'area di una figura

Passiamo ora alla considerazione delle applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un compito tipico e più comune. Come utilizzare un integrale definito per calcolare l'area di una figura piana. Infine, coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Nella vita reale, dovrai approssimare un cottage estivo con funzioni elementari e trovare la sua area usando un certo integrale.

Per padroneggiare con successo il materiale, devi:

1) capire integrale indefinito almeno a un livello medio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.

2) Saper applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare l'integrale definito. Puoi stabilire relazioni cordiali e amichevoli con alcuni integrali sulla pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. Il compito "calcolare l'area usando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi le tue conoscenze e abilità di disegno saranno una questione molto più rilevante. A questo proposito è utile rinfrescare la memoria dei grafici delle principali funzioni elementari, e, come minimo, riuscire a costruire una retta, una parabola e un'iperbole. Questo può essere fatto (molti ne hanno bisogno) con l'aiuto di materiale metodologico e articoli sulle trasformazioni geometriche dei grafici.

In realtà, tutti hanno familiarità con il problema di trovare l'area usando un integrale definito fin dai tempi della scuola, e andremo un po' avanti curriculum scolastico. Questo articolo potrebbe non esistere affatto, ma il fatto è che il problema si verifica in 99 casi su 100, quando uno studente è tormentato da un'odiata torre con entusiasmo che padroneggia un corso di matematica superiore.

I materiali di questo workshop sono presentati in modo semplice, dettagliato e con un minimo di teoria.

Iniziamo con trapezio curvilineo.

Trapezio curvilineo chiamato una figura piatta delimitata dall'asse , linee rette e il grafico di una funzione continua su un segmento che non cambia segno su questo intervallo. Lascia che questa figura sia localizzata non meno ascissa:

Poi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale. Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni Ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di dichiararne un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Ad esempio, consideriamo l'integrale definito . L'integrando definisce una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può completare il disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di attività. Primo e punto cruciale soluzioni - disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando crei un progetto, raccomando il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le linee (se ce ne sono) e solo Poi- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. I grafici delle funzioni sono più redditizi da costruire punto per punto, la tecnica della costruzione puntuale può essere trovata in materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Facciamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Non schiuderò un trapezio curvilineo, è ovvio di quale area stiamo parlando qui. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Chi ha difficoltà a calcolare l'integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla conferenza Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , e l'asse

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto asse?

Esempio 3

Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: Facciamo un disegno:

Se si trova il trapezio curvilineo sotto asse(o quantomeno non superiore dato l'asse), allora la sua area può essere trovata dalla formula:
In questo caso:

Attenzione! Non confondere i due tipi di attività:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.

In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa agli esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee , .

Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore dell'integrazione, il limite superiore dell'integrazione.
È meglio non utilizzare questo metodo se possibile..

È molto più redditizio e veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come “da soli”. La tecnica di costruzione punto per punto per vari grafici è discussa in dettaglio nella guida Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.

Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo un disegno:

Ripeto che con la costruzione puntuale, i limiti dell'integrazione vengono spesso scoperti “automaticamente”.

E ora la formula di lavoro: Se c'è qualche funzione continua sull'intervallo Maggiore o uguale qualche funzione continua, quindi l'area della figura delimitata dai grafici di queste funzioni e linee rette, può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse e, grosso modo, importa quale grafico è SOPRA(rispetto ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura desiderata è limitata da una parabola dall'alto e da una linea retta dal basso.
Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

In effetti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è un caso speciale della formula . Poiché l'asse è dato dall'equazione e si trova il grafico della funzione non superiore assi, quindi

E ora un paio di esempi per una soluzione indipendente

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura racchiusa dalle linee , .

Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un certo integrale, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato eseguito correttamente, i calcoli erano corretti, ma per disattenzione ... trovato l'area della figura sbagliata, è così che il tuo servo obbediente ha sbagliato più volte. Ecco un caso reale:

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .

Soluzione: Facciamo prima un disegno:

…Eh, il disegno è venuto fuori una cazzata, ma sembra tutto leggibile.

La cifra di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, si verifica spesso un "problema tecnico", che è necessario trovare l'area della figura che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico a linee rette;

2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico iperbole.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Passiamo a un compito più significativo.

Esempio 8

Calcola l'area di una figura delimitata da linee,
Presentiamo le equazioni in una forma "scolastica" ed eseguiamo un disegno punto per punto:

Si può vedere dal disegno che il nostro limite superiore è “buono”: .
Ma qual è il limite inferiore? È chiaro che questo non è un numero intero, ma cosa? Forse ? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta accuratezza, potrebbe benissimo risultare così. O radice. E se non riuscissimo a ottenere il grafico giusto?

In tali casi, è necessario dedicare più tempo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.

Troviamo i punti di intersezione della retta e della parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:

,

Veramente, .

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più facili.

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Ebbene, in conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , ,

Soluzione: Disegna questa figura nel disegno.

Accidenti, ho dimenticato di firmare il programma e rifare la foto, scusa, non hotz. Non un disegno, insomma, oggi è il giorno =)

Per la costruzione puntuale, devi sapere aspetto sinusoidi (e in generale è utile sapere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale grafici e limiti di integrazione devono essere visualizzati in linea di principio correttamente.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui, seguono direttamente dalla condizione: - "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento, il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi:

L'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale

Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. In classe ho detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di affermare un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Ad esempio, consideriamo l'integrale definito . L'integranda definisce una certa curva sul piano (può sempre essere disegnata se lo si desidera) e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di attività. Il primo e più importante momento della decisione è la costruzione di un disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Facciamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Non schiuderò un trapezio curvilineo, è ovvio di quale area stiamo parlando qui. La soluzione continua così:

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Chi ha difficoltà a calcolare l'integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz , fare riferimento alla conferenza Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Esempio 2

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , e l'asse

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto asse?

Esempio 3

Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: Facciamo un disegno:

Se un trapezio curvilineo completamente sotto l'asse, allora la sua area può essere trovata dalla formula:
In questo caso:

Attenzione! I due tipi di attività non devono essere confusi:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.

In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa agli esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee , .

Soluzione: per prima cosa devi fare un disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore dell'integrazione, il limite superiore dell'integrazione.
È meglio non utilizzare questo metodo se possibile.

E ora la formula di lavoro: Se su un segmento qualche funzione continua Maggiore o uguale qualche funzione continua, quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse e, grosso modo, importa quale grafico è SOPRA(rispetto ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura desiderata è limitata da una parabola dall'alto e da una linea retta dal basso.
Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

In effetti, la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi semplice esempio n. 3) è un caso speciale della formula . Poiché l'asse è dato dall'equazione e il grafico della funzione si trova sotto l'asse, quindi

E ora un paio di esempi per una soluzione indipendente

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area della figura racchiusa dalle linee , .

Esempio 7

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .

Disegniamo prima:

La cifra di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, per disattenzione, capita spesso di dover trovare l'area della figura che è sfumata di verde!

Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico a linee rette;

2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico iperbole.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Esempio 8

In tali casi, è necessario dedicare più tempo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.

Troviamo i punti di intersezione della retta e della parabola.
Per fare ciò, risolviamo l'equazione:

Quindi, .

L'ulteriore soluzione è banale, l'importante è non confondersi in sostituzioni e segni, i calcoli qui non sono dei più facili.

Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Ebbene, in conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , ,

Soluzione: Disegna questa figura nel disegno.

Per la costruzione punto per punto di un disegno è necessario conoscere l'aspetto della sinusoide (ed in generale è utile conoscere grafici di tutte le funzioni elementari), così come alcuni valori del seno, possono essere trovati in tavola trigonometrica. In alcuni casi (come in questo caso), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale grafici e limiti di integrazione devono essere visualizzati in linea di principio correttamente.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui, seguono direttamente dalla condizione: - "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento, il grafico della funzione si trova sopra l'asse, quindi:

(1) Nella lezione si può vedere come seno e coseno sono integrati nelle potenze dispari Integrali di funzioni trigonometriche. Questa è una tecnica tipica, pizzichiamo un seno.

(2) Usa la base identità trigonometrica COME

(3) Cambiamo la variabile , quindi:

Nuove ridistribuzioni dell'integrazione:

Chi è davvero un pessimo affare con le sostituzioni, per favore vai alla lezione Metodo di sostituzione in integrale indefinito. Per chi non ha ben chiaro l'algoritmo di sostituzione in un integrale definito, visitare la pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni.

Argomento: calcolo dell'area di una figura piatta utilizzando un integrale definito

Compiti: apprendere la definizione e le formule per trovare l'area di un trapezio curvilineo;

considerare vari casi di trovare l'area di un trapezio curvilineo;

Saper calcolare l'area di un trapezio curvilineo.

Piano:

Trapezio curvilineo.

Formule per il calcolo dell'area di un trapezio curvilineo.

Trapezio curvilineo viene chiamata una figura, che è limitata dal grafico di una funzione continua, non negativa f (x) sull'intervallo , segmenti di linea x=a e x=b, nonché un segmento dell'asse x tra i punti a e B.

Immagini di trapezi curvilinei:

Ora passiamo a opzioni la posizione delle figure la cui area deve essere calcolata sul piano delle coordinate.

Primo ci sarà l'opzione più semplice (prima immagine), la solita trapezio curvilineo, come nella definizione. Non c'è bisogno di inventare nulla qui, basta prendere l'integrale da UN Prima B dalla funzione f(x). Troviamo l'integrale: conosceremo l'area di questo trapezio.

In secondo opzione, la nostra figura sarà limitata non dall'asse x, ma da un'altra funzione g(x). Pertanto, per trovare l'area CEFD, dobbiamo prima trovare l'area AEFB(utilizzando l'integrale di f(x)), quindi trova l'area ACDB(utilizzando l'integrale di g(x)). E l'area desiderata della figura CEFD, sarà la differenza tra la prima e la seconda area del trapezio curvilineo. Poiché i limiti di integrazione sono gli stessi qui, tutto questo può essere scritto sotto un integrale (vedi le formule sotto la figura) tutto dipende dalla complessità delle funzioni, nel qual caso sarà più facile trovare l'integrale.

Terzo molto simile al primo, ma solo il nostro trapezio è posizionato, non sopra asse x, e sotto di esso. Pertanto, qui dobbiamo prendere lo stesso integrale, solo con un segno meno, perché il valore dell'integrale sarà negativo e il valore dell'area deve essere positivo. If invece di una funzione f(x) assumere una funzione -f(x), allora il suo grafico sarà lo stesso semplicemente visualizzato simmetricamente rispetto all'asse x.

E il quarto un'opzione quando parte della nostra figura è sopra l'asse x e parte è sotto di esso. Pertanto, dobbiamo prima trovare l'area della figura AEFB, come nella prima versione, e poi l'area della figura ABCD, come nella terza opzione e quindi aggiungerli. Di conseguenza, otteniamo l'area della figura DEFC. Poiché i limiti di integrazione sono gli stessi qui, tutto questo può essere scritto sotto un integrale (vedi le formule sotto la figura) tutto dipende dalla complessità delle funzioni, nel qual caso sarà più facile trovare l'integrale.

Domande per l'autoesame:

Quale forma è chiamata trapezio curvilineo?

Come trovare l'area di un trapezio curvilineo?

Sia la funzione non negativa e continua sull'intervallo . Poi, secondo senso geometrico di un integrale definito, l'area di un trapezio curvilineo delimitata dall'alto dal grafico di questa funzione, dal basso dall'asse , da sinistra e da destra da linee rette e (vedi Fig. 2) è calcolata dalla formula

Esempio 9 Trova l'area della figura delimitata dalla linea e dall'asse.

Soluzione. Grafico delle funzioni è una parabola i cui rami puntano verso il basso. Costruiamolo (Fig. 3). Per determinare i limiti di integrazione, troviamo i punti di intersezione della retta (parabola) con l'asse (retta). Per fare ciò, risolviamo il sistema di equazioni

Noi abbiamo: , Dove , ; quindi, , .

Riso. 3

L'area della figura si trova con la formula (5):

Se la funzione è non positiva e continua sul segmento , allora l'area del trapezio curvilineo, delimitata dal basso dal grafico di questa funzione, dall'alto dall'asse, da sinistra e da destra da linee rette e , è calcolato dalla formula

. (6)

Se la funzione è continua su un segmento e cambia segno in un numero finito di punti, allora l'area della figura ombreggiata (Fig. 4) è uguale alla somma algebrica dei corrispondenti integrali definiti:

Riso. 4

Esempio 10 Calcola l'area della figura delimitata dall'asse e il grafico della funzione per .

Riso. 5

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 5). L'area desiderata è la somma delle aree e . Troviamo ciascuna di queste aree. Innanzitutto, determiniamo i limiti dell'integrazione risolvendo il sistema Noi abbiamo , . Quindi:

;

Pertanto, l'area della figura ombreggiata è

(unità quadrate).

Riso. 6

Lascia che, infine, il trapezio curvilineo sia delimitato dall'alto e dal basso dai grafici delle funzioni continue sul segmento e ,
ea sinistra ea destra - dritto e (Fig. 6). Quindi la sua area viene calcolata dalla formula

. (8)

Esempio 11. Trova l'area della figura racchiusa dalle linee e .

Soluzione. Questa figura è mostrata in Fig. 7. Calcoliamo la sua area usando la formula (8). Risolvendo il sistema di equazioni, troviamo , ; quindi, , . Sul segmento abbiamo: . Quindi, nella formula (8) prendiamo come X, e come - . Noi abbiamo:

(unità quadrate).

Problemi più complessi di calcolo delle aree vengono risolti suddividendo la figura in parti non intersecanti e calcolando l'area dell'intera figura come somma delle aree di queste parti.

Riso. 7

Esempio 12. Trova l'area della figura delimitata dalle linee , , .

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 8). Questa figura può essere considerata come un trapezio curvilineo delimitato dal basso dall'asse, da sinistra e da destra da rette e dall'alto dai grafici delle funzioni e. Poiché la figura è delimitata dall'alto dai grafici di due funzioni, per calcolarne l'area dividiamo questa figura retta in due parti (1 è l'ascissa del punto di intersezione delle linee e). L'area di ciascuna di queste parti si trova con la formula (4):

(unità quadrate); (unità quadrate). Quindi:

(unità quadrate).

Riso. 8

X= j( A)

Riso. 9

In conclusione, notiamo che se un trapezio curvilineo è delimitato da linee rette e , l'asse e continuo sulla curva (Fig. 9), allora la sua area si trova con la formula

Volume di un corpo di rivoluzione

Lascia che un trapezio curvilineo delimitato da un grafico di una funzione continua su un segmento, un asse, linee rette e ruoti attorno all'asse (Fig. 10). Quindi il volume del corpo di rivoluzione risultante viene calcolato dalla formula

. (9)

Esempio 13 Calcola il volume di un corpo ottenuto ruotando attorno all'asse di un trapezio curvilineo delimitato da un'iperbole, rette e l'asse.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 11).

Ne consegue dalla condizione del problema che , . Dalla formula (9) otteniamo

Riso. 10

Riso. undici

Il volume di un corpo ottenuto per rotazione attorno ad un asse UO trapezio curvilineo delimitato da linee rette y = c E y = d, asse UO e un grafico di una funzione continua su un segmento (Fig. 12), è determinato dalla formula

. (10)

X= j( A)

Riso. 12

Esempio 14. Calcola il volume di un corpo ottenuto per rotazione attorno ad un asse UO trapezio curvilineo delimitato da linee X 2 = 4A, e= 4, x = 0 (figura 13).

Soluzione. In accordo con la condizione del problema, troviamo i limiti dell'integrazione: , . Dalla formula (10) otteniamo:

Riso. 13

Lunghezza d'arco di una curva piatta

Lascia che la curva data dall'equazione , dove , giaccia su un piano (Fig. 14).

Riso. 14

Definizione. La lunghezza di un arco è intesa come il limite a cui tende la lunghezza di una polilinea inscritta in tale arco quando il numero di maglie della polilinea tende all'infinito e la lunghezza della maglia più grande tende a zero.

Se la funzione e la sua derivata sono continue sul segmento , la lunghezza dell'arco della curva viene calcolata dalla formula

. (11)

Esempio 15. Calcola la lunghezza dell'arco della curva racchiuso tra i punti per i quali .

Soluzione. Dalla condizione del problema che abbiamo . Dalla formula (11) otteniamo:

4. Integrali impropri
con infiniti limiti di integrazione

Nell'introdurre il concetto di integrale definito, si è assunto che siano soddisfatte le seguenti due condizioni:

a) limiti di integrazione UN e sono finiti;

b) l'integranda è limitata al segmento .

Se almeno una di queste condizioni non è soddisfatta, viene chiamato l'integrale improprio.

Consideriamo dapprima integrali impropri con infiniti limiti di integrazione.

Definizione. Sia la funzione definita e continua sull'intervallo , allora e illimitato a destra (Fig. 15).

Se l'integrale improprio converge, allora quest'area è finita; se l'integrale improprio diverge, allora quest'area è infinita.

Riso. 15

Un integrale improprio con un limite inferiore infinito di integrazione è definito in modo simile:

. (13)

Questo integrale converge se il limite a destra dell'uguaglianza (13) esiste ed è finito; altrimenti l'integrale si dice divergente.

Un integrale improprio con due limiti infiniti di integrazione è definito come segue:

, (14)

dove ñ è qualsiasi punto dell'intervallo . L'integrale converge solo se entrambi gli integrali convergono a destra dell'uguaglianza (14).

;

G) = [selezionare il quadrato intero al denominatore: ] = [sostituzione:

] =

Quindi l'integrale improprio converge e vale .

Considera un trapezio curvilineo delimitato dall'asse del Bue, una curva y \u003d f (x) e due linee rette: x \u003d a e x \u003d b (Fig. 85). Prendi un valore arbitrario di x (solo non a e non b). Diamogli un incremento h = dx e consideriamo una striscia delimitata dalle rette AB e CD, dall'asse Ox, e da un arco BD appartenente alla curva considerata. Questa striscia sarà chiamata la striscia elementare. L'area di una striscia elementare differisce dall'area di un rettangolo ACQB da un triangolo curvilineo BQD, e l'area di quest'ultimo meno zona rettangolo BQDM di lati BQ = h=dx) QD=Ay e area uguale a hAy = Ay dx. Al diminuire del lato h diminuisce anche il lato Du che, contemporaneamente ad h, tende a zero. Pertanto, l'area di BQDM è infinitesimale del secondo ordine. L'area della striscia elementare è l'incremento dell'area e l'area del rettangolo ACQB, pari a AB-AC==/(x) dx> è il differenziale dell'area. Pertanto, troviamo l'area stessa integrando il suo differenziale. Nei limiti della figura in esame, la variabile indipendente l: cambia da a a b, quindi l'area richiesta 5 sarà pari a 5= \f (x) dx. (I) Esempio 1. Calcola l'area delimitata dalla parabola y - 1 -x *, le rette X \u003d - Fj-, x \u003d 1 e l'asse O * (Fig. 86). alla fig. 87. fig. 86. 1 Qui f(x) = 1 - l?, i limiti di integrazione a = - e t = 1, quindi 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Esempio 2. Calcolare l'area delimitata dalla sinusoide y = sinXy, l'asse Ox e la retta (Fig. 87). Applicando la formula (I), otteniamo L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf con l'asse Ox (ad esempio tra l'origine e il punto con l'ascissa i). Si noti che da considerazioni geometriche è chiaro che quest'area sarà il doppio dell'area dell'esempio precedente. Comunque facciamo i calcoli: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o In effetti, la nostra ipotesi si è rivelata corretta. Esempio 4. Calcolare l'area delimitata dalla sinusoide e dall'asse ^ Ox su un periodo (Fig. 88). I giudizi preliminari di ras-figure suggeriscono che l'area risulterà essere quattro volte più grande rispetto al pr 2. Tuttavia, dopo aver eseguito i calcoli, otteniamo "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Questo risultato richiede chiarimenti. Per chiarire l'essenza della questione, calcoliamo anche l'area delimitata dalla stessa sinusoide y \u003d sin l: e l'asse Ox che va da l a 2n. Applicando la formula (I), otteniamo Quindi, vediamo che quest'area si è rivelata negativa. Confrontandola con l'area calcolata nell'Es. 3, troviamo che i loro valori assoluti sono gli stessi, ma i segni sono diversi. Se applichiamo la proprietà V (vedi Cap. XI, § 4), allora otteniamo per caso. Sempre l'area al di sotto dell'asse x, a patto che la variabile indipendente cambi da sinistra a destra, si ottiene calcolando con integrali negativi. In questo corso considereremo sempre le aree non segnalate. Pertanto, la risposta nell'esempio appena analizzato sarà la seguente: l'area richiesta è pari a 2 + |-2| = 4. Esempio 5. Calcoliamo l'area del BAB mostrato in Fig. 89. Quest'area è delimitata dall'asse Ox, dalla parabola y = - xr e dalla retta y - = -x + \. Area di un trapezio curvilineo L'area ricercata OAB è composta da due parti: OAM e MAB. Poiché il punto A è il punto di intersezione della parabola e della retta, troveremo le sue coordinate risolvendo il sistema di equazioni 3 2 Y \u003d mx. (dobbiamo solo trovare l'ascissa del punto A). Risolvendo il sistema, troviamo l; =~. Pertanto, l'area deve essere calcolata in parti, primo pl. OAM, e poi pl. MAV: .... SOL 3 2, 3 SOL xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x )