Equazioni differenziali online. Equazioni differenziali

O sono già stati risolti rispetto alla derivata, oppure possono essere risolti rispetto alla derivata .

Soluzione generale delle equazioni differenziali del tipo sull'intervallo X, che è dato, può essere trovato prendendo l'integrale di entrambi i membri di questa uguaglianza.

Noi abbiamo .

Se guardi le proprietà integrale indefinito, allora troviamo la soluzione generale desiderata:

y = F(x) + C,

Dove F(x)- uno di funzioni antiderivative f(x) nel mezzo X, UN CON- costante arbitraria.

Tieni presente che nella maggior parte dei problemi l'intervallo X non indicare. Ciò significa che occorre trovare una soluzione per tutti. X, per quale e la funzione desiderata sì, e l'equazione originale ha senso.

Se è necessario calcolare una particolare soluzione di un'equazione differenziale che soddisfi la condizione iniziale y(x0) = y0, quindi dopo aver calcolato l'integrale generale y = F(x) + C, è ancora necessario determinare il valore della costante C = C 0 utilizzando condizione iniziale. Cioè, una costante C = C 0 determinato dall'equazione F(x0) + C = y0, e la soluzione parziale desiderata dell'equazione differenziale assumerà la forma:

y = F(x) + C0.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Troviamo una soluzione generale all'equazione differenziale e controlliamo la correttezza del risultato. Troviamo una soluzione particolare a questa equazione che soddisfi la condizione iniziale.

Soluzione:

Dopo aver integrato l'equazione differenziale data, otteniamo:

.

Prendiamo questo integrale utilizzando il metodo dell'integrazione per parti:

Quello., è una soluzione generale dell'equazione differenziale.

Per assicurarci che il risultato sia corretto, facciamo un controllo. Per fare ciò, sostituiamo la soluzione che abbiamo trovato nell'equazione data:

.

Cioè, quando l'equazione originale si trasforma in un'identità:

pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale è stata determinata correttamente.

La soluzione che abbiamo trovato è una soluzione generale dell'equazione differenziale per ogni valore reale dell'argomento X.

Resta da calcolare una soluzione particolare all'ODE che soddisfi la condizione iniziale. In altre parole, è necessario calcolare il valore della costante CON, in cui l'uguaglianza sarà vera:

.

.

Quindi, sostituendo C = 2 nella soluzione generale dell'ODE, otteniamo una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfa la condizione iniziale:

.

Equazione differenziale ordinaria può essere risolto per la derivata dividendo i 2 lati dell'equazione per f(x). Questa trasformazione sarà equivalente se f(x) non va a zero in nessun caso X dall'intervallo di integrazione dell'equazione differenziale X.

Ci sono situazioni probabili in cui, per alcuni valori dell'argomento X ∈ X funzioni f(x) E g(x) diventano contemporaneamente zero. Per valori simili X la soluzione generale di un'equazione differenziale è una funzione qualsiasi sì, che è definito in essi, perché .

Se per alcuni argomenti valori X ∈ X la condizione è soddisfatta, il che significa che in questo caso l'ODE non ha soluzioni.

Per tutti gli altri X dall'intervallo X la soluzione generale dell'equazione differenziale è determinata dall'equazione trasformata.

Diamo un'occhiata agli esempi:

Esempio 1.

Troviamo una soluzione generale all'ODE: .

Soluzione.

Dalle proprietà delle funzioni elementari di base è chiaro che la funzione logaritmo naturaleè definito per valori di argomenti non negativi, quindi l'ambito dell'espressione è ln(x+3) c'è un intervallo X > -3 . Ciò significa che l'equazione differenziale data ha senso per X > -3 . Per questi valori di argomento, l'espressione x+3 non svanisce, quindi puoi risolvere l'ODE per la derivata dividendo le 2 parti per x + 3.

Noi abbiamo .

Successivamente, integriamo l'equazione differenziale risultante, risolta rispetto alla derivata: . Per prendere questo integrale usiamo il metodo di sussurlo sotto il segno differenziale.

Risoluzione di equazioni differenziali. Grazie al ns Servizio Online Puoi risolvere equazioni differenziali di qualsiasi tipo e complessità: disomogenee, omogenee, non lineari, lineari, del primo, del secondo ordine, con variabili separabili o non separabili, ecc. Ottieni una soluzione alle equazioni differenziali in forma analitica con descrizione dettagliata. Molte persone sono interessate al motivo per cui è necessario decidere equazioni differenziali in linea? Questo tipo di equazione è molto comune in matematica e fisica, dove sarà impossibile risolvere molti problemi senza calcolare l'equazione differenziale. Le equazioni differenziali sono comuni anche in economia, medicina, biologia, chimica e altre scienze. La soluzione a tale equazione è modalità online Rende i tuoi compiti molto più semplici, ti dà l'opportunità di comprendere meglio il materiale e metterti alla prova. Vantaggi della risoluzione di equazioni differenziali online. Un moderno sito Web di servizi matematici consente di risolvere equazioni differenziali online di qualsiasi complessità. Come sai c'è un gran numero di tipi di equazioni differenziali e ciascuna di esse ha i propri metodi di soluzione. Sul nostro servizio puoi trovare soluzioni online alle equazioni differenziali di qualsiasi ordine e tipo. Per ottenere una soluzione, ti suggeriamo di inserire i dati iniziali e fare clic sul pulsante “Soluzione”. Sono esclusi errori nel funzionamento del servizio, quindi puoi essere sicuro al 100% di aver ricevuto la risposta corretta. Risolvi equazioni differenziali con il nostro servizio. Risolvi equazioni differenziali online. Per impostazione predefinita, in tale equazione, la funzione y è una funzione della variabile x. Ma puoi anche specificare la tua designazione di variabile. Ad esempio, se specifichi y(t) in un'equazione differenziale, il nostro servizio determinerà automaticamente che y è una funzione della variabile t. L'ordine dell'intera equazione differenziale dipenderà dall'ordine massimo della derivata della funzione presente nell'equazione. Risolvere un'equazione del genere significa trovare la funzione desiderata. Il nostro servizio ti aiuterà a risolvere le equazioni differenziali online. Non ci vuole molto sforzo da parte tua per risolvere l'equazione. Devi solo inserire i lati sinistro e destro dell'equazione nei campi richiesti e fare clic sul pulsante "Soluzione". Quando si inserisce la derivata di una funzione deve essere indicata con un apostrofo. In pochi secondi riceverai una soluzione dettagliata già pronta per l'equazione differenziale. Il nostro servizio è assolutamente gratuito. Equazioni differenziali a variabili separabili. Se in un'equazione differenziale c'è un'espressione a sinistra che dipende da y, e a destra c'è un'espressione che dipende da x, allora tale equazione differenziale viene chiamata con variabili separabili. Il membro sinistro può contenere una derivata di y; la soluzione di equazioni differenziali di questo tipo sarà sotto forma di una funzione di y, espressa tramite l'integrale del membro destro dell'equazione. Se sul lato sinistro c'è un differenziale della funzione y, allora in questo caso entrambi i lati dell'equazione sono integrati. Quando le variabili in un'equazione differenziale non sono separate, dovranno essere separate per ottenere un'equazione differenziale separata. Equazione differenziale lineare. Un'equazione differenziale la cui funzione e tutte le sue derivate sono di primo grado si dice lineare. Forma generale equazioni: y’+a1(x)y=f(x). f(x) e a1(x) sono funzioni continue di x. Risolvere equazioni differenziali di questo tipo si riduce all'integrazione di due equazioni differenziali con variabili separate. Ordine delle equazioni differenziali. Un'equazione differenziale può essere del primo, del secondo, dell'ennesimo ordine. L'ordine di un'equazione differenziale determina l'ordine della derivata più alta che contiene. Nel nostro servizio puoi risolvere equazioni differenziali prima on-line, secondo, terzo, ecc. ordine. La soluzione dell'equazione sarà una qualsiasi funzione y=f(x), sostituendola nell'equazione otterrai un'identità. Il processo per trovare la soluzione di un'equazione differenziale è chiamato integrazione. Problema di Cauchy. Se, oltre all'equazione differenziale stessa, viene data la condizione iniziale y(x0)=y0, allora questo viene chiamato problema di Cauchy. Gli indicatori y0 e x0 vengono aggiunti alla soluzione dell'equazione e viene determinato il valore di una costante arbitraria C, quindi viene determinata una soluzione particolare dell'equazione a questo valore di C. Questa è la soluzione del problema di Cauchy. Il problema di Cauchy è anche chiamato problema con condizioni al contorno, molto comune in fisica e meccanica. Hai anche la possibilità di impostare il problema di Cauchy, cioè da tutti possibili soluzioni equazione, selezionare il quoziente che soddisfa le condizioni iniziali date.

Un'equazione differenziale è un'equazione che coinvolge una funzione e una o più delle sue derivate. Nella maggior parte dei problemi pratici, le funzioni lo sono quantità fisiche, le derivate corrispondono ai tassi di variazione di queste quantità e l'equazione determina la relazione tra loro.

Questo articolo discute i metodi per risolvere alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie, le cui soluzioni possono essere scritte nel modulo funzioni elementari, cioè polinomiale, esponenziale, logaritmico e trigonometrico, nonché le loro funzioni inverse. Molte di queste equazioni compaiono in vita reale, sebbene la maggior parte delle altre equazioni differenziali non possano essere risolte con questi metodi, e per loro la risposta è scritta sotto forma di funzioni speciali o serie di potenze, oppure viene trovata con metodi numerici.

Per comprendere questo articolo, è necessario essere esperti nel calcolo differenziale e integrale, nonché avere una certa conoscenza delle derivate parziali. Si consiglia inoltre di conoscere i fondamenti dell'algebra lineare applicata alle equazioni differenziali, in particolare alle equazioni differenziali del secondo ordine, anche se per risolverle è sufficiente la conoscenza del calcolo differenziale e integrale.

Informazioni preliminari

• Le equazioni differenziali hanno una classificazione estesa. In questo articolo si parla equazioni differenziali ordinarie, cioè sulle equazioni che includono una funzione di una variabile e le sue derivate. Le equazioni differenziali ordinarie sono molto più facili da comprendere e risolvere rispetto a quelle equazioni alle derivate parziali, che includono funzioni di più variabili. Questo articolo non tratta le equazioni alle derivate parziali, poiché i metodi per risolverle sono generalmente determinati dalla loro forma particolare.
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni alle derivate parziali.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\y parziale^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Ordine di un'equazione differenziale è determinata dall'ordine della derivata più alta inclusa in questa equazione. La prima delle equazioni differenziali ordinarie di cui sopra è del primo ordine, mentre la seconda è un'equazione del secondo ordine. Grado si chiama equazione differenziale massimo grado, a cui viene elevato uno dei termini di questa equazione.
  • Ad esempio, l'equazione seguente è di terzo ordine e secondo grado.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ destra)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• L'equazione differenziale è equazione differenziale lineare nel caso in cui la funzione e tutte le sue derivate siano di primo grado. Altrimenti l'equazione è equazione differenziale non lineare. Le equazioni differenziali lineari sono notevoli in quanto le loro soluzioni possono essere utilizzate per formare combinazioni lineari che saranno anche soluzioni dell'equazione data.
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni differenziali lineari.
  • Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni differenziali non lineari. La prima equazione è non lineare a causa del termine seno.
    • d 2 θ d t 2 + g l peccato ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Decisione comune l'equazione differenziale ordinaria non è unica, include costanti di integrazione arbitrarie. Nella maggior parte dei casi, il numero di costanti arbitrarie è uguale all'ordine dell'equazione. In pratica, i valori di queste costanti vengono determinati in base a quanto dato condizioni iniziali, cioè secondo i valori della funzione e delle sue derivate a x = 0. (\displaystyle x=0.) Il numero di condizioni iniziali che è necessario trovare soluzione privata equazione differenziale, nella maggior parte dei casi è anche uguale all'ordine dell'equazione data.
  • Ad esempio, questo articolo esaminerà la risoluzione dell'equazione seguente. Questa è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine. La sua soluzione generale contiene due costanti arbitrarie. Per trovare queste costanti è necessario conoscere le condizioni iniziali a x(0) (\displaystyle x(0)) E x′(0) . (\displaystylex"(0).) Di solito le condizioni iniziali sono specificate al punto x = 0 , (\displaystyle x=0,), anche se ciò non è necessario. Questo articolo discuterà anche come trovare soluzioni particolari per determinate condizioni iniziali.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 peccato ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Passi

Parte 1

Equazioni del primo ordine

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1. Equazioni lineari del primo ordine. Questa sezione discute i metodi per risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine in casi generali e speciali quando alcuni termini sono uguali a zero. Facciamo finta che y = y (x), (\displaystyle y=y(x),) p(x) (\displaystyle p(x)) E q(x) (\displaystyle q(x)) sono funzioni X. (\displaystylex.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Secondo uno dei principali teoremi dell'analisi matematica, anche l'integrale della derivata di una funzione è una funzione. Pertanto è sufficiente integrare semplicemente l’equazione per trovarne la soluzione. Va tenuto presente che quando si calcola l'integrale indefinito appare una costante arbitraria.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Usiamo il metodo separazione delle variabili. Ciò sposta variabili diverse su lati diversi dell'equazione. Ad esempio, puoi spostare tutti i membri da y (\displaystyle y) in uno e tutti i membri con x (\displaystyle x) all'altro lato dell'equazione. I membri possono anche essere trasferiti d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) E d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), che sono inclusi nelle espressioni derivate, ma va ricordato che queste sono giuste simbolo, che è conveniente quando si differenzia una funzione complessa. Discussione di questi membri, che sono chiamati differenziali, va oltre lo scopo di questo articolo.

   • Innanzitutto, devi spostare le variabili sui lati opposti del segno uguale.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integriamo entrambi i lati dell'equazione. Dopo l'integrazione, su entrambi i lati appariranno costanti arbitrarie, che possono essere trasferite sul lato destro dell'equazione.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esempio 1.1. Nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la regola e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) e sostituito e C (\displaystyle e^(C)) SU C (\displaystyle C), poiché anche questa è una costante di integrazione arbitraria.
     • d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = peccato ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(allineato)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Per trovare una soluzione generale abbiamo introdotto fattore integrativo come una funzione di x (\displaystyle x) ridurre lato sinistro alla derivata comune e quindi risolvere l'equazione.

   • Moltiplica entrambi i lati per μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Per ridurre il membro sinistro alla derivata generale è necessario effettuare le seguenti trasformazioni:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • L'ultima uguaglianza significa questo d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Questo è un fattore integrativo sufficiente per risolvere qualsiasi equazione lineare del primo ordine. Ora possiamo derivare la formula per risolvere questa equazione rispetto a μ, (\displaystyle \mu,) anche se è utile per la formazione fare tutti i calcoli intermedi.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esempio 1.2. Questo esempio mostra come trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale con determinate condizioni iniziali.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(allineato)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Risoluzione di equazioni lineari del primo ordine (registrazione Intuit - National Open University).

2. Equazioni non lineari del primo ordine. Questa sezione discute i metodi per risolvere alcune equazioni differenziali non lineari del primo ordine. Sebbene non esista un metodo generale per risolvere tali equazioni, alcune di esse possono essere risolte utilizzando i metodi seguenti.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Se la funzione f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) può essere divisa in funzioni di una variabile, viene chiamata tale equazione Equazioni differenziali a variabili separabili. In questo caso, puoi utilizzare il metodo sopra:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
   • Esempio 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ Begin(allineato)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(allineato)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Facciamo finta che g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) E h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) sono funzioni x (\displaystyle x) E sì. (\displaystyle y.) Poi equazione differenziale omogeneaè un'equazione in cui g (\displaystyle g) E h (\displaystyle h) Sono funzioni omogenee allo stesso grado. Cioè, le funzioni devono soddisfare la condizione g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Dove k (\displaystyle k)è chiamato grado di omogeneità. Qualsiasi equazione differenziale omogenea può essere utilizzata da adatto sostituzioni di variabili (v = y / x (\displaystyle v=y/x) O v = x / y (\displaystyle v=x/y)) convertire in un'equazione separabile.

   • Esempio 1.4. La descrizione dell'omogeneità di cui sopra può sembrare poco chiara. Esaminiamo questo concetto con un esempio.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Per cominciare, va notato che questa equazione non è lineare rispetto a sì. (\displaystyle y.) Vediamo anche che in questo caso è impossibile separare le variabili. Allo stesso tempo, questa equazione differenziale è omogenea, poiché sia ​​il numeratore che il denominatore sono omogenei con una potenza di 3. Pertanto, possiamo effettuare un cambio di variabili v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d X X = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Di conseguenza, abbiamo l'equazione per v (\displaystyle v) con variabili separabili.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Questo Equazione differenziale di Bernoulli - tipo speciale equazione non lineare di primo grado, la cui soluzione può essere scritta utilizzando funzioni elementari.

   • Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per (1 - n) y - n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Usiamo la regola per differenziare una funzione complessa sul lato sinistro e trasformiamo l'equazione in un'equazione lineare rispetto a y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) che può essere risolto utilizzando i metodi sopra.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Questo equazione ai differenziali totali. È necessario trovare il cosiddetto potenziale funzione φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), che soddisfa la condizione d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Per l'esecuzione questa condizione deve avere derivata totale. La derivata totale tiene conto della dipendenza da altre variabili. Per calcolare la derivata totale φ (\displaystyle \varphi ) Di x , (\displaystyle x,) lo supponiamo y (\displaystyle y) può anche dipendere da X. (\displaystylex.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Il confronto dei termini ci dà M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) E N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Questo è un risultato tipico per equazioni in più variabili, in cui le derivate miste di funzioni regolari sono uguali tra loro. A volte questo caso viene chiamato Il teorema di Clairaut. In questo caso, l'equazione differenziale è un'equazione differenziale totale se è soddisfatta la seguente condizione:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Il metodo per risolvere le equazioni alle derivate totali è simile alla ricerca di funzioni potenziali in presenza di più derivate, di cui parleremo brevemente. Per prima cosa integriamo M (\displaystyle M) Di X. (\displaystylex.) Perché il M (\displaystyle M)è una funzione e x (\displaystyle x), E y, (\displaystyle y,) dopo l'integrazione otteniamo una funzione incompleta φ, (\displaystyle \varphi,) designato come φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Il risultato dipende anche da y (\displaystyle y) costante di integrazione.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Dopo questo, per ottenere c(y) (\displaystyle c(y)) possiamo prendere la derivata parziale della funzione risultante rispetto a y, (\displaystyle y,) equiparare il risultato N (x , y) (\displaystyle N(x,y)) e integrare. Puoi anche prima integrare N (\displaystyle N), e poi ricavare la derivata parziale rispetto a x (\displaystyle x), che ti permetterà di trovare una funzione arbitraria d(x). (\displaystyle d(x).) Entrambi i metodi sono adatti e solitamente per l'integrazione viene scelta la funzione più semplice.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ parziale (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Esempio 1.5. Puoi prendere le derivate parziali e vedere che l'equazione seguente è un'equazione differenziale totale.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Se l'equazione differenziale non è un'equazione differenziale totale, in alcuni casi è possibile trovare un fattore di integrazione che consenta di convertirla in un'equazione differenziale totale. Tuttavia, tali equazioni vengono utilizzate raramente nella pratica e sebbene costituiscano un fattore integrativo esiste, capita di trovarlo non facile, pertanto queste equazioni non sono considerate in questo articolo.

Parte 2

Equazioni del secondo ordine

1. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Queste equazioni sono ampiamente utilizzate nella pratica, quindi la loro soluzione è di primaria importanza. In questo caso non stiamo parlando di funzioni omogenee, ma del fatto che a destra dell'equazione c'è 0. La prossima sezione mostrerà come risolvere il corrispondente eterogeneo equazioni differenziali. Sotto un (\displaystyle un) E b (\displaystyle b) sono costanti.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Equazione caratteristica. Questa equazione differenziale è notevole in quanto può essere risolta molto facilmente se si presta attenzione alle proprietà che dovrebbero avere le sue soluzioni. Dall'equazione è chiaro che y (\displaystyle y) e le sue derivate sono proporzionali tra loro. Dagli esempi precedenti, discussi nella sezione sulle equazioni del primo ordine, sappiamo che solo una funzione esponenziale ha questa proprietà. Pertanto, è possibile avanzare ansatz(un'ipotesi plausibile) su quale sarà la soluzione di una determinata equazione.

   • La soluzione avrà la forma di una funzione esponenziale e r x , (\displaystyle e^(rx),) Dove r (\displaystyle r)è una costante il cui valore deve essere trovato. Sostituisci questa funzione nell'equazione e ottieni la seguente espressione
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Questa equazione indica che il prodotto di una funzione esponenziale e di un polinomio deve essere uguale a zero. È noto che l'esponente non può essere uguale a zero per nessun valore del grado. Da ciò concludiamo che il polinomio è uguale a zero. Pertanto, abbiamo ridotto il problema di risolvere un'equazione differenziale al problema molto più semplice di risolvere un'equazione algebrica, chiamata equazione caratteristica di una data equazione differenziale.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Abbiamo due radici. Poiché questa equazione differenziale è lineare, la sua soluzione generale è una combinazione lineare di soluzioni parziali. Poiché questa è un'equazione del secondo ordine, sappiamo che lo è Veramente soluzione generale e non ce ne sono altre. Una giustificazione più rigorosa per ciò risiede nei teoremi sull'esistenza e sull'unicità di una soluzione, che possono essere trovati nei libri di testo.
   • Un modo utile per verificare se due soluzioni sono linearmente indipendenti è eseguire il calcolo Wronskiana. Vronskiano W (\displaystyle W)è il determinante di una matrice le cui colonne contengono funzioni e le loro successive derivate. Il teorema dell'algebra lineare afferma che le funzioni incluse nel Wronskiano sono linearmente dipendenti se il Wronskiano è uguale a zero. In questa sezione possiamo verificare se due soluzioni sono linearmente indipendenti: per fare ciò dobbiamo assicurarci che il Wronskiano non sia zero. Il Wronskiano è importante quando si risolvono equazioni differenziali disomogenee a coefficienti costanti mediante il metodo della variazione dei parametri.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • In termini di algebra lineare, l'insieme di tutte le soluzioni di una data equazione differenziale forma uno spazio vettoriale la cui dimensione è uguale all'ordine dell'equazione differenziale. In questo spazio si può scegliere una base linearmente indipendenti decisioni gli uni dagli altri. Ciò è possibile grazie al fatto che la funzione y(x) (\displaystyle y(x)) valido operatore lineare. Derivato È operatore lineare, poiché trasforma lo spazio delle funzioni differenziabili nello spazio di tutte le funzioni. Le equazioni sono chiamate omogenee nei casi in cui, per qualsiasi operatore lineare L (\displaystyle L) dobbiamo trovare una soluzione all’equazione L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Passiamo ora a considerarne alcuni esempi specifici. Considereremo il caso di radici multiple dell'equazione caratteristica poco dopo, nella sezione sulla riduzione dell'ordine.

   Se le radici r ± (\displaystyle r_(\pm )) sono numeri reali diversi, l'equazione differenziale ha la seguente soluzione

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Due radici complesse. Dal teorema fondamentale dell'algebra segue che le soluzioni delle equazioni polinomiali a coefficienti reali hanno radici reali o formano coppie coniugate. Pertanto, se numero complesso r = α + io β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )è quindi la radice dell'equazione caratteristica r ∗ = α − io β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )è anche la radice di questa equazione. Pertanto, possiamo scrivere la soluzione nel modulo c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x),) tuttavia, è un numero complesso e non è auspicabile per risolvere problemi pratici.

   • Invece puoi usare La formula di Eulero e io x = cos ⁡ x + io peccato ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), che ci permette di scrivere la soluzione nel modulo funzioni trigonometriche:
     • e α X (c 1 cos ⁡ β x + io c 1 peccato ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x - i c 2 peccato ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Ora puoi invece di una costante c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) scrivere c 1 (\displaystyle c_(1)) e l'espressione io (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) sostituito da c2. (\displaystyle c_(2).) Fatto ciò otteniamo la seguente soluzione:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\peccato\beta x))
   • Esiste un altro modo di scrivere la soluzione in termini di ampiezza e fase, che è più adatto ai problemi di fisica.
   • Esempio 2.1. Troviamo una soluzione all'equazione differenziale fornita di seguito con le condizioni iniziali indicate. Per fare ciò, devi prendere la soluzione risultante, così come il suo derivato, e sostituirli nelle condizioni iniziali, che ci permetteranno di determinare costanti arbitrarie.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )io)
     • x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Risoluzione di equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti (registrazione Intuit - National Open University).

2. Ordine decrescente. La riduzione dell'ordine è un metodo per risolvere equazioni differenziali quando è nota una soluzione linearmente indipendente. Questo metodo consiste nell'abbassare di uno l'ordine dell'equazione, il che consente di risolvere l'equazione utilizzando i metodi descritti nella sezione precedente. Fate conoscere la soluzione. L'idea principale della riduzione dell'ordine è trovare una soluzione nel modulo sottostante, dove è necessario definire la funzione v(x) (\displaystyle v(x)), sostituendolo nell'equazione differenziale e trovando v(x). (\displaystyle v(x).) Diamo un'occhiata a come è possibile utilizzare la riduzione dell'ordine per risolvere un'equazione differenziale con coefficienti costanti e radici multiple.

   
   

   Radici multiple Equazioni differenziali omogenee a coefficienti costanti. Ricordiamo che un'equazione del secondo ordine deve avere due soluzioni linearmente indipendenti. Se l'equazione caratteristica ha più radici, l'insieme delle soluzioni Non forma uno spazio poiché queste soluzioni sono linearmente dipendenti. In questo caso è necessario utilizzare la riduzione d’ordine per trovare una seconda soluzione linearmente indipendente.

   • Supponiamo che l'equazione caratteristica abbia più radici r (\displaystyle r). Supponiamo che la seconda soluzione possa essere scritta nella forma y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)) e sostituirlo nell'equazione differenziale. In questo caso, la maggior parte dei termini, ad eccezione del termine con la derivata seconda della funzione v , (\displaystyle v,) sarà ridotto.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Esempio 2.2. Sia data la seguente equazione che ha più radici r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Durante la sostituzione, la maggior parte dei termini vengono ridotti.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(allineato)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(allineato)))
   • Similmente al nostro ansatz per un'equazione differenziale a coefficienti costanti, in questo caso solo la derivata seconda può essere uguale a zero. Integriamo due volte e otteniamo l'espressione desiderata per v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Allora la soluzione generale di un'equazione differenziale a coefficienti costanti nel caso in cui l'equazione caratteristica abbia più radici può essere scritta nella forma seguente. Per comodità si ricorda che per ottenere l'indipendenza lineare è sufficiente moltiplicare semplicemente il secondo termine per x (\displaystyle x). Questo insieme di soluzioni è linearmente indipendente e quindi abbiamo trovato tutte le soluzioni di questa equazione.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) La riduzione dell'ordine è applicabile se la soluzione è nota y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), che può essere trovato o fornito nella dichiarazione del problema.

   • Cerchiamo una soluzione nel modulo y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) e sostituiscilo in questa equazione:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Perché il y 1 (\displaystyle y_(1))è una soluzione di un'equazione differenziale, tutti i termini con v (\displaystyle v) vengono ridotti. Alla fine resta Equazione lineare del primo ordine. Per vederlo più chiaramente, facciamo un cambio di variabili w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Se si possono calcolare gli integrali, si ottiene la soluzione generale come combinazione di funzioni elementari. Altrimenti la soluzione può essere lasciata in forma integrale.

3. Equazione di Cauchy-Eulero. L'equazione di Cauchy-Eulero è un esempio di equazione differenziale del secondo ordine con variabili coefficienti, che ha soluzioni esatte. Questa equazione viene utilizzata in pratica, ad esempio, per risolvere l'equazione di Laplace in coordinate sferiche.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Equazione caratteristica. Come puoi vedere, in questa equazione differenziale, ogni termine contiene un fattore di potenza, il cui grado è uguale all'ordine della derivata corrispondente.

   • Pertanto, puoi provare a cercare una soluzione nel modulo y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) dove è necessario determinare n (\displaystyle n), proprio mentre cercavamo una soluzione sotto forma di funzione esponenziale per un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Dopo la differenziazione e la sostituzione otteniamo
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Per utilizzare l'equazione caratteristica, dobbiamo supporre che x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punto x = 0 (\displaystylex=0) chiamato punto singolare regolare equazione differenziale. Tali punti sono importanti quando si risolvono equazioni differenziali utilizzando le serie di potenze. Questa equazione ha due radici, che possono essere diverse e reali, multiple o complesse coniugate.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Due radici reali diverse. Se le radici n ± (\displaystyle n_(\pm )) sono reali e diversi, allora la soluzione dell’equazione differenziale ha la seguente forma:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Due radici complesse. Se l'equazione caratteristica ha radici n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), la soluzione è una funzione complessa.

   • Per trasformare la soluzione in una funzione reale, effettuiamo un cambio di variabili x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) questo è t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) e usa la formula di Eulero. Azioni simili sono state eseguite in precedenza durante la determinazione delle costanti arbitrarie.
     • y (t) = e α t (c 1 e β io t + c 2 e − β io t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Allora la soluzione generale può essere scritta come
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 peccato ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Radici multiple. Per ottenere una seconda soluzione linearmente indipendente è necessario ridurre nuovamente l'ordine.

   • Ci vogliono tanti calcoli, ma il principio rimane lo stesso: sostituiamo y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) in un'equazione la cui prima soluzione è y 1 (\displaystyle y_(1)). Dopo le riduzioni si ottiene la seguente equazione:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Questa è un'equazione lineare del primo ordine rispetto a v′(x) . (\displaystyle v"(x).) La sua soluzione è v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Pertanto la soluzione può essere scritta nella seguente forma. Questo è abbastanza facile da ricordare: per ottenere la seconda soluzione linearmente indipendente è sufficiente aggiungere un termine con ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Equazioni differenziali lineari disomogenee a coefficienti costanti. Le equazioni non omogenee hanno la forma L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Dove f(x) (\displaystyle f(x))- cosiddetto membro gratuito. Secondo la teoria delle equazioni differenziali, la soluzione generale di questa equazione è una sovrapposizione soluzione privata y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) E soluzione aggiuntiva yc(x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tuttavia, in questo caso, per soluzione particolare non si intende una soluzione data dalle condizioni iniziali, ma piuttosto una soluzione determinata dalla presenza di eterogeneità (termine libero). Una soluzione aggiuntiva è una soluzione alla corrispondente equazione omogenea in cui f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) La soluzione complessiva è una sovrapposizione di queste due soluzioni, poiché L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), e da allora L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) tale sovrapposizione è infatti una soluzione generale.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Metodo dei coefficienti indeterminati. Il metodo dei coefficienti indefiniti viene utilizzato nei casi in cui il termine fittizio è una combinazione di esponenziale, trigonometrico, iperbolico o funzioni di potere. Solo queste funzioni hanno un numero finito di derivate linearmente indipendenti. In questa sezione troveremo una soluzione particolare all'equazione.

   • Confrontiamo i termini in f(x) (\displaystyle f(x)) con termini senza prestare attenzione a fattori costanti. Ci sono tre casi possibili.
     • Non esistono due membri uguali. In questo caso, una soluzione particolare y p (\displaystyle y_(p)) sarà una combinazione lineare di termini da y p (\displaystyle y_(p))
     • f(x) (\displaystyle f(x)) contiene membro xn (\displaystyle x^(n)) e membro da y c , (\displaystyle y_(c),) Dove n (\displaystyle n) è zero o un numero intero positivo e questo termine corrisponde a una radice separata dell'equazione caratteristica. In questo caso y p (\displaystyle y_(p)) consisterà in una combinazione della funzione x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) le sue derivate linearmente indipendenti, così come altri termini f(x) (\displaystyle f(x)) e le loro derivate linearmente indipendenti.
     • f(x) (\displaystyle f(x)) contiene membro h(x), (\displaystyle h(x),) che è un'opera xn (\displaystyle x^(n)) e membro da y c , (\displaystyle y_(c),) Dove n (\displaystyle n) è uguale a 0 o un numero intero positivo e questo termine corrisponde a multiplo radice dell'equazione caratteristica. In questo caso y p (\displaystyle y_(p))è una combinazione lineare della funzione x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Dove s (\displaystyle s)- molteplicità della radice) e le sue derivate linearmente indipendenti, nonché altri membri della funzione f(x) (\displaystyle f(x)) e le sue derivate linearmente indipendenti.
   • Scriviamolo y p (\displaystyle y_(p)) come combinazione lineare dei termini sopra elencati. A causa di questi coefficienti in una combinazione lineare, questo metodo è chiamato “metodo dei coefficienti indefiniti”. Quando contenuto in y c (\displaystyle y_(c)) i membri possono essere scartati a causa della presenza di costanti arbitrarie e c. (\displaystyle y_(c).) Dopodiché sostituiamo y p (\displaystyle y_(p)) nell'equazione e equiparare termini simili.
   • Determiniamo i coefficienti. A questo punto si ottiene un sistema di equazioni algebriche, che solitamente può essere risolto senza problemi. La soluzione di questo sistema ci permette di ottenere y p (\displaystyle y_(p)) e quindi risolvere l'equazione.
   • Esempio 2.3. Consideriamo un'equazione differenziale disomogenea il cui termine libero contiene un numero finito di derivate linearmente indipendenti. Una soluzione particolare a tale equazione può essere trovata con il metodo dei coefficienti indefiniti.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t - 25 B cos ⁡ 5 t - 25 C peccato ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C peccato ⁡ 5 t = 2 e 3 t - cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\fine(allineato)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fine(casi)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metodo di Lagrange. Il metodo di Lagrange, o metodo di variazione delle costanti arbitrarie, è qualcosa di più metodo generale risolvere equazioni differenziali disomogenee, soprattutto nei casi in cui il termine libero non contiene un numero finito di derivate linearmente indipendenti. Ad esempio, con membri gratuiti abbronzatura ⁡ x (\displaystyle \abbronzatura x) O x - n (\displaystyle x^(-n)) per trovare una soluzione particolare è necessario utilizzare il metodo di Lagrange. Il metodo di Lagrange può essere utilizzato anche per risolvere equazioni differenziali a coefficienti variabili, anche se in questo caso, ad eccezione dell'equazione di Cauchy-Euler, viene utilizzato meno frequentemente, poiché la soluzione aggiuntiva solitamente non è espressa in termini di funzioni elementari.

   • Supponiamo che la soluzione abbia la seguente forma. La sua derivata è data nella seconda riga.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Poiché la soluzione proposta contiene due quantità incognite, è necessario imporre aggiuntivo condizione. Scegliamo questa condizione aggiuntiva nella forma seguente:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Ora possiamo ottenere la seconda equazione. Dopo la sostituzione e la ridistribuzione dei membri, puoi raggruppare i membri con v1 (\displaystyle v_(1)) e membri con v2 (\displaystyle v_(2)). Questi termini sono ridotti perché y 1 (\displaystyle y_(1)) E y 2 (\displaystyle y_(2)) sono soluzioni della corrispondente equazione omogenea. Di conseguenza, otteniamo il seguente sistema di equazioni
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(allineato)))
   • Questo sistema può essere trasformato in un'equazione di matrice della forma A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) la cui soluzione è x = UN - 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Per matrice 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) la matrice inversa si trova dividendo per il determinante, riordinando gli elementi diagonali e cambiando il segno degli elementi non diagonali. Infatti il ​​determinante di questa matrice è un Wronskiano.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Espressioni per v1 (\displaystyle v_(1)) E v2 (\displaystyle v_(2)) sono riportati di seguito. Come nel metodo di riduzione dell'ordine, in questo caso, durante l'integrazione, appare una costante arbitraria, che include una soluzione aggiuntiva nella soluzione generale dell'equazione differenziale.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Conferenza della National Open University Intuit dal titolo "Equazioni differenziali lineari dell'ennesimo ordine a coefficienti costanti".

Uso pratico

Le equazioni differenziali stabiliscono una relazione tra una funzione e una o più delle sue derivate. Poiché tali relazioni sono estremamente comuni, le equazioni differenziali hanno trovato ampia applicazione in una varietà di campi e, poiché viviamo in quattro dimensioni, queste equazioni sono spesso equazioni differenziali in privato derivati. Questa sezione copre alcune delle equazioni più importanti di questo tipo.

• Crescita e decadimento esponenziale. Decadimento radioattivo. Interesse composto. La velocità delle reazioni chimiche. Concentrazione di farmaci nel sangue. Crescita demografica illimitata. Legge di Newton-Richmann. IN mondo reale Esistono molti sistemi in cui il tasso di crescita o decadimento in un dato momento è proporzionale alla quantità presente questo momento tempo o può essere ben approssimato dal modello. Questo perché la soluzione di questa equazione differenziale, la funzione esponenziale, è una delle più funzioni importanti in matematica e altre scienze. In un caso più generale, quando crescita controllata Un sistema demografico può includere membri aggiuntivi che limitano la crescita. Nell'equazione seguente, la costante k (\displaystyle k) può essere maggiore o minore di zero.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibrazioni armoniche. Sia nella meccanica classica che in quella quantistica, l'oscillatore armonico è uno dei più importanti sistemi fisici grazie alla sua semplicità e ampia applicazione per approssimare di più sistemi complessi, come un semplice pendolo. Nella meccanica classica, le vibrazioni armoniche sono descritte da un'equazione che mette in relazione la posizione di un punto materiale con la sua accelerazione attraverso la legge di Hooke. In questo caso si possono prendere in considerazione anche le forze di smorzamento e di guida. Nell'espressione seguente x ˙ (\displaystyle (\punto (x)))- derivata temporale di x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- parametro che descrive la forza di smorzamento, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frequenza angolare del sistema, F(t) (\displaystyle F(t))- forza motrice dipendente dal tempo. L'oscillatore armonico è presente anche nei circuiti oscillatori elettromagnetici, dove può essere implementato con maggiore precisione rispetto ai sistemi meccanici.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Equazione di Bessel. L'equazione differenziale di Bessel viene utilizzata in molte aree della fisica, inclusa la risoluzione equazione delle onde, equazioni di Laplace ed equazioni di Schrödinger, soprattutto in presenza di simmetria cilindrica o sferica. Questa equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti variabili non è un'equazione di Cauchy-Eulero, quindi le sue soluzioni non possono essere scritte come funzioni elementari. Le soluzioni dell'equazione di Bessel sono le funzioni di Bessel, che sono ben studiate per la loro applicazione in molti campi. Nell'espressione seguente α (\displaystyle \alpha )- una costante che corrisponde al fine Funzioni di Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Le equazioni di Maxwell. Insieme alla forza di Lorentz, le equazioni di Maxwell costituiscono la base dell'elettrodinamica classica. Queste sono le quattro equazioni alle derivate parziali per l'elettricità E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) e magnetico B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) campi. Nelle espressioni seguenti ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densità di carica, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- densità di corrente e ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) E μ0 (\displaystyle \mu _(0))- costanti elettriche e magnetiche, rispettivamente.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Equazione di Schrödinger. Nella meccanica quantistica, l'equazione di Schrödinger è l'equazione fondamentale del movimento, che descrive il movimento delle particelle in conformità con un cambiamento nella funzione d'onda Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) col tempo. L'equazione del moto è descritta dal comportamento Hamiltoniano H^(\displaystyle (\hat (H))) - operatore, che descrive l'energia del sistema. Uno degli esempi più noti dell'equazione di Schrödinger in fisica è l'equazione per una singola particella non relativistica soggetta al potenziale V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Molti sistemi sono descritti dall'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo e sul lato sinistro dell'equazione c'è EΨ , (\displaystyle E\Psi ,) Dove E (\displaystyle E)- energia delle particelle. Nelle espressioni seguenti ℏ (\displaystyle \hbar )- costante di Planck ridotta.
  • io ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • io ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Equazione delle onde. La fisica e la tecnologia non possono essere immaginate senza le onde; esse sono presenti in tutti i tipi di sistemi. In generale, le onde sono descritte dall'equazione seguente, in cui u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))è la funzione desiderata, e c (\displaystyle c)- costante determinata sperimentalmente. d'Alembert fu il primo a scoprire che per il caso unidimensionale la soluzione dell'equazione delle onde è Qualunque funzione con argomento x - c t (\displaystyle x-ct), che descrive un'onda di forma arbitraria che si propaga verso destra. La soluzione generale per il caso unidimensionale è una combinazione lineare di questa funzione con una seconda funzione con argomento x + c t (\displaystyle x+ct), che descrive un'onda che si propaga verso sinistra. Questa soluzione è presentata nella seconda riga.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Equazioni di Navier-Stokes. Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il movimento dei fluidi. Poiché i fluidi sono presenti praticamente in ogni campo della scienza e della tecnologia, queste equazioni sono estremamente importanti per prevedere il tempo, progettare aerei, studiare le correnti oceaniche e risolvere molti altri problemi applicativi. Le equazioni di Navier-Stokes sono equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari e nella maggior parte dei casi sono molto difficili da risolvere perché la non linearità porta alla turbolenza e ottenere una soluzione stabile con metodi numerici richiede la partizione in celle molto piccole, che richiede una notevole potenza di calcolo. Per scopi pratici in idrodinamica, metodi come la media temporale vengono utilizzati per modellare i flussi turbolenti. Anche questioni più basilari come l’esistenza e l’unicità delle soluzioni alle equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari sono impegnative, e dimostrare l’esistenza e l’unicità di una soluzione alle equazioni di Navier-Stokes in tre dimensioni è tra i problemi matematici del millennio. Di seguito sono riportate l'equazione del flusso del fluido incomprimibile e l'equazione di continuità.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Molte equazioni differenziali semplicemente non possono essere risolte utilizzando i metodi sopra, specialmente quelli menzionati nell'ultima sezione. Ciò si applica ai casi in cui l'equazione contiene coefficienti variabili e non è un'equazione di Cauchy-Eulero, o quando l'equazione non è lineare, tranne in alcuni casi molto rari. Tuttavia, i metodi di cui sopra possono risolvere molte importanti equazioni differenziali che si incontrano spesso in vari campi della scienza.
• A differenza della differenziazione, che permette di trovare la derivata di qualsiasi funzione, l'integrale di molte espressioni non può essere espresso in funzioni elementari. Quindi non perdere tempo cercando di calcolare un integrale dove è impossibile. Osserva la tabella degli integrali. Se la soluzione di un'equazione differenziale non può essere espressa in termini di funzioni elementari, a volte può essere rappresentata in forma integrale, e in questo caso non ha importanza se questo integrale può essere calcolato analiticamente.

Avvertenze

• Aspetto l’equazione differenziale può essere fuorviante. Ad esempio, di seguito sono riportate due equazioni differenziali del primo ordine. La prima equazione può essere facilmente risolta utilizzando i metodi descritti in questo articolo. A prima vista, un piccolo cambiamento y (\displaystyle y) SU y 2 (\displaystyle y^(2)) nella seconda equazione la rende non lineare e diventa molto difficile da risolvere.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Equazione differenziale ordinaria è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta di questa variabile e le sue derivate (o differenziali) di vario ordine.

L'ordine dell'equazione differenziale si chiama ordine della derivata massima in esso contenuta.

Oltre a quelle ordinarie, vengono studiate anche le equazioni alle derivate parziali. Si tratta di equazioni relative a variabili indipendenti, una funzione sconosciuta di queste variabili e le sue derivate parziali rispetto alle stesse variabili. Ma considereremo solo equazioni differenziali ordinarie e pertanto, per brevità, ometteremo la parola “ordinario”.

Esempi di equazioni differenziali:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'equazione (1) è del quarto ordine, l'equazione (2) è del terzo ordine, le equazioni (3) e (4) sono del secondo ordine, l'equazione (5) è del primo ordine.

Equazione differenziale N L'ordine non deve necessariamente contenere una funzione esplicita, tutte le sue derivate dalla prima alla N-esimo ordine e variabile indipendente. Non può contenere esplicitamente derivati ​​di determinati ordini, una funzione o una variabile indipendente.

Ad esempio, nell'equazione (1) chiaramente non ci sono derivate del terzo e del secondo ordine, così come una funzione; nell'equazione (2) - la derivata del secondo ordine e la funzione; nell'equazione (4) - la variabile indipendente; nell'equazione (5) - funzioni. Solo l'equazione (3) contiene esplicitamente tutte le derivate, la funzione e la variabile indipendente.

Risoluzione di un'equazione differenziale viene chiamata ogni funzione y = f(x), quando sostituito nell'equazione si trasforma in un'identità.

Il processo per trovare la soluzione di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione.

Esempio 1. Trova la soluzione dell'equazione differenziale.

Soluzione. Scriviamo questa equazione nella forma . La soluzione è trovare la funzione dalla sua derivata. La funzione originaria, come noto dal calcolo integrale, è un'antiderivativa per, ad es.

Questo è quello che è soluzione di questa equazione differenziale . Cambiando in esso C, otterremo soluzioni diverse. Abbiamo scoperto che esiste un numero infinito di soluzioni per un'equazione differenziale del primo ordine.

Soluzione generale dell'equazione differenziale N l'ordine n è la sua soluzione, espressa esplicitamente rispetto alla funzione sconosciuta e contenente N costanti arbitrarie indipendenti, cioè

La soluzione dell'equazione differenziale nell'Esempio 1 è generale.

Soluzione parziale dell'equazione differenziale viene chiamata una soluzione in cui alle costanti arbitrarie vengono assegnati valori numerici specifici.

Esempio 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale e una soluzione particolare per .

Soluzione. Integriamo entrambi i membri dell'equazione un numero di volte pari all'ordine dell'equazione differenziale.

,

.

Di conseguenza, abbiamo ricevuto una soluzione generale:

di una data equazione differenziale del terzo ordine.

Ora troviamo una soluzione particolare nelle condizioni specificate. Per fare ciò, sostituisci i loro valori invece dei coefficienti arbitrari e ottieni

.

Se, oltre all'equazione differenziale, la condizione iniziale è data nella forma , viene chiamato tale problema Problema di Cauchy . Sostituisci i valori e nella soluzione generale dell'equazione e trova il valore di una costante arbitraria C, e quindi una particolare soluzione dell'equazione per il valore trovato C. Questa è la soluzione al problema di Cauchy.

Esempio 3. Risolvi il problema di Cauchy per l'equazione differenziale dell'Esempio 1 soggetto a .

Soluzione. Sostituiamo i valori della condizione iniziale nella soluzione generale sì = 3, X= 1. Otteniamo

Scriviamo la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione differenziale del primo ordine:

Risolvere equazioni differenziali, anche quelle più semplici, richiede buone capacità di integrazione e derivate, comprese funzioni complesse. Questo può essere visto nel seguente esempio.

Esempio 4. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale.

Soluzione. L'equazione è scritta in una forma tale da poter integrare immediatamente entrambi i lati.

.

Applichiamo il metodo di integrazione per cambio di variabile (sostituzione). Lascia che sia allora.

Obbligatorio da prendere dx e ora - attenzione - lo facciamo secondo le regole di differenziazione di una funzione complessa, poiché X e c'è una funzione complessa ("mela" - extract radice quadrata o, qual è la stessa cosa - elevare al potere "metà" e "carne macinata" è l'espressione stessa sotto la radice):

Troviamo l'integrale:

Ritornando alla variabile X, noi abbiamo:

.

Questa è la soluzione generale di questa equazione differenziale di primo grado.

Per risolvere equazioni differenziali saranno necessarie non solo le competenze delle sezioni precedenti della matematica superiore, ma anche le competenze della matematica elementare, cioè della matematica scolastica. Come già accennato, in un'equazione differenziale di qualsiasi ordine potrebbe non esserci una variabile indipendente, cioè una variabile X. La conoscenza delle proporzioni scolastiche che non sono state dimenticate (tuttavia, a seconda di chi) dalla scuola aiuterà a risolvere questo problema. Questo è il prossimo esempio.

6.1. CONCETTI FONDAMENTALI E DEFINIZIONI

Quando si risolvono vari problemi in matematica e fisica, biologia e medicina, molto spesso non è possibile stabilire immediatamente una relazione funzionale sotto forma di formula che collega le variabili che descrivono il processo in studio. Solitamente bisogna utilizzare equazioni che contengano, oltre alla variabile indipendente e alla funzione incognita, anche le sue derivate.

Definizione. Viene chiamata un'equazione che collega una variabile indipendente, una funzione sconosciuta e le sue derivate di vario ordine differenziale.

Di solito viene indicata una funzione sconosciuta y(x) o semplicemente sì, e i suoi derivati ​​- sì", sì" eccetera.

Sono possibili anche altre designazioni, ad esempio: if sì= x(t), quindi x"(t), x""(t)- i suoi derivati, e T- variabile indipendente.

Definizione. Se una funzione dipende da una variabile, l'equazione differenziale è detta ordinaria. Forma generale equazione differenziale ordinaria:

O

Funzioni F E F potrebbe non contenere alcuni argomenti, ma affinché le equazioni siano differenziali è essenziale la presenza di una derivata.

Definizione.L'ordine dell'equazione differenziale si chiama ordine della derivata più alta in esso compresa.

Per esempio, x 2 anni"- sì= 0, y" + peccato X= 0 sono equazioni del primo ordine, e sì"+ 2 sì"+ 5 sì= X- equazione del secondo ordine.

Quando si risolvono equazioni differenziali, viene utilizzata l'operazione di integrazione, che è associata alla comparsa di una costante arbitraria. Se viene applicata l'azione di integrazione N volte, poi, ovviamente, la soluzione conterrà N costanti arbitrarie.

6.2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Forma generale Equazione differenziale del primo ordineè determinato dall'espressione

L'equazione potrebbe non contenere esplicitamente X E sì, ma contiene necessariamente y".

Se l'equazione può essere scritta come

quindi otteniamo un'equazione differenziale del primo ordine risolta rispetto alla derivata.

Definizione. La soluzione generale dell'equazione differenziale del primo ordine (6.3) (o (6.4)) è l'insieme delle soluzioni , Dove CON- costante arbitraria.

Il grafico della soluzione di un'equazione differenziale si chiama curva integrale.

Fornire una costante arbitraria CON valori diversi si possono ottenere soluzioni parziali. In superficie xOy la soluzione generale è una famiglia di curve integrali corrispondenti a ciascuna soluzione particolare.

Se imposti un punto A (x0,y0), attraverso il quale deve passare la curva integrale, quindi, di regola, da un insieme di funzioni Se ne può individuare una: una soluzione privata.

Definizione.Decisione privata di un'equazione differenziale è la sua soluzione che non contiene costanti arbitrarie.

Se è una soluzione generale, quindi dalla condizione

puoi trovare una costante CON. La condizione è chiamata condizione iniziale.

Il problema di trovare una soluzione particolare all'equazione differenziale (6.3) o (6.4) che soddisfi la condizione iniziale A chiamato Problema di Cauchy. Questo problema ha sempre una soluzione? La risposta è contenuta nel seguente teorema.

Il teorema di Cauchy(teorema di esistenza e unicità di una soluzione). Inseriamo l'equazione differenziale sì"= f(x,y) funzione f(x,y) e lei

derivata parziale definito e continuo in alcuni

regione D, contenente un punto Poi in zona D esiste

l’unica soluzione dell’equazione che soddisfa la condizione iniziale A

Il teorema di Cauchy afferma che in determinate condizioni esiste un'unica curva integrale sì= f(x), passando per un punto Punti in cui le condizioni del teorema non sono soddisfatte

Si chiamano Cauchies speciale. In questi punti si rompe F(x, y) o.

Per un punto singolare passano più curve integrali oppure nessuna.

Definizione. Se la soluzione (6.3), (6.4) si trova nella forma F(x, y, C)= 0, non consentito rispetto a y, allora viene chiamato integrale generale equazione differenziale.

Il teorema di Cauchy garantisce solo che esista una soluzione. Poiché non esiste un unico metodo per trovare una soluzione, considereremo solo alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine che possono essere integrate in quadrature.

Definizione. Si chiama l'equazione differenziale integrabile in quadrature, se trovare la sua soluzione si riduce all’integrazione delle funzioni.

6.2.1. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili

Definizione. Un'equazione differenziale del primo ordine è chiamata equazione con variabili separabili,

Il lato destro dell'equazione (6.5) è il prodotto di due funzioni, ciascuna delle quali dipende da una sola variabile.

Ad esempio, l'equazione è un'equazione con separazione

con variabili
e l'equazione

non può essere rappresentato nella forma (6.5).

Considerando che , riscriviamo la (6.5) nella forma

Da questa equazione si ottiene un'equazione differenziale a variabili separate, in cui i differenziali sono funzioni che dipendono solo dalla variabile corrispondente:

Integrando termine per termine, abbiamo

dove C = C 2 - C 1 - costante arbitraria. L'espressione (6.6) è l'integrale generale dell'equazione (6.5).

Dividendo entrambi i membri dell'equazione (6.5) per, possiamo perdere quelle soluzioni per le quali, Infatti, se A

Quello ovviamente è una soluzione dell'equazione (6.5).

Esempio 1. Trova una soluzione dell'equazione che soddisfi

condizione: sì= 6 a X= 2 (sì(2) = 6).

Soluzione. Sostituiremo sì" Poi . Moltiplica entrambi i lati per

dx, poiché durante un'ulteriore integrazione è impossibile andarsene dx al denominatore:

e poi dividendo entrambe le parti per otteniamo l'equazione,

che può essere integrato. Integriamo:

Poi ; potenziando si ottiene y = C. (x + 1) - ob-

soluzione generale.

Utilizzando i dati iniziali, determiniamo una costante arbitraria, sostituendoli nella soluzione generale

Finalmente otteniamo sì= 2(x + 1) è una soluzione particolare. Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi di risoluzione di equazioni con variabili separabili.

Esempio 2. Trova la soluzione dell'equazione

Soluzione. Considerando che , noi abbiamo .

Integrando entrambi i lati dell'equazione, abbiamo

Dove

Esempio 3. Trova la soluzione dell'equazione Soluzione. Dividiamo entrambi i lati dell'equazione in quei fattori che dipendono da una variabile che non coincide con la variabile sotto il segno differenziale, cioè e integrare. Allora otteniamo

e infine

Esempio 4. Trova la soluzione dell'equazione

Soluzione. Sapere cosa otterremo. Sezione

variabili limite. Poi

Integrando, otteniamo

Commento. Negli esempi 1 e 2, la funzione richiesta è sì espresso esplicitamente (soluzione generale). Negli esempi 3 e 4 - implicitamente (integrale generale). In futuro la forma della decisione non sarà specificata.

Esempio 5. Trova la soluzione dell'equazione Soluzione.

Esempio 6. Trova la soluzione dell'equazione , soddisfacente

condizione voi)= 1.

Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per dx e così via, otteniamo

Integrando entrambi i membri dell'equazione (l'integrale a destra è preso per parti), otteniamo

Ma a seconda delle condizioni sì= 1 a X= e. Poi

Sostituiamo i valori trovati CON alla soluzione generale:

L'espressione risultante è chiamata soluzione parziale dell'equazione differenziale.

6.2.2. Equazioni differenziali omogenee del primo ordine

Definizione. Viene chiamata l'equazione differenziale del primo ordine omogeneo, se può essere rappresentato nella forma

Presentiamo un algoritmo per risolvere un'equazione omogenea.

1.Invece sì quindi introduciamo una nuova funzione e quindi

2.In termini di funzionalità tu l'equazione (6.7) assume la forma

cioè, la sostituzione riduce un'equazione omogenea a un'equazione con variabili separabili.

3. Risolvendo l'equazione (6.8), troviamo prima u e poi sì=ux.

Esempio 1. Risolvi l'equazione Soluzione. Scriviamo l'equazione nella forma

Effettuiamo la sostituzione:
Poi

Sostituiremo

Moltiplicare per dx: Dividi per X e così via Poi

Avendo integrato entrambi i lati dell'equazione sulle variabili corrispondenti, abbiamo

oppure, tornando alle vecchie variabili, finalmente otteniamo

Esempio 2.Risolvi l'equazione Soluzione.Permettere Poi

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per x2: Apriamo le parentesi e riorganizziamo i termini:

Passando alle vecchie variabili arriviamo al risultato finale:

Esempio 3.Trova la soluzione dell'equazione dato che

Soluzione.Esecuzione di una sostituzione standard noi abbiamo

O

O

Ciò significa che la soluzione particolare ha la forma Esempio 4. Trova la soluzione dell'equazione

Soluzione.

Esempio 5.Trova la soluzione dell'equazione Soluzione.

Lavoro indipendente

Trovare soluzioni alle equazioni differenziali con variabili separabili (1-9).

Trovare la soluzione di equazioni differenziali omogenee (9-18).

6.2.3. Alcune applicazioni delle equazioni differenziali del primo ordine

Problema del decadimento radioattivo

La velocità di decadimento del Ra (radio) in ogni momento è proporzionale alla sua massa disponibile. Trova la legge del decadimento radioattivo Ra, se è noto che in momento iniziale c'era Ra e il tempo di dimezzamento di Ra è di 1590 anni.

Soluzione. Sia nell'istante la massa Ra X= x(t) g, e Quindi il tasso di decadimento Ra è uguale a

Secondo le condizioni del problema

Dove K

Separando le variabili nell'ultima equazione e integrandole, otteniamo

Dove

Per determinare C usiamo la condizione iniziale: quando .

Poi e quindi,

Fattore di proporzionalità K determinato da condizione aggiuntiva:

Abbiamo

Da qui e la formula richiesta

Problema del tasso di riproduzione batterica

Il tasso di riproduzione dei batteri è proporzionale al loro numero. All'inizio c'erano 100 batteri. Nel giro di 3 ore il loro numero è raddoppiato. Trova la dipendenza del numero di batteri dal tempo. Quante volte aumenterà il numero di batteri entro 9 ore?

Soluzione. Permettere X- numero di batteri alla volta T. Quindi, a seconda delle condizioni,

Dove K- coefficiente di proporzionalità.

Da qui Dalla condizione si sa che . Significa,

Dalla condizione aggiuntiva . Poi

La funzione che stai cercando:

Cosi quando T= 9 X= 800, cioè entro 9 ore il numero di batteri è aumentato di 8 volte.

Il problema di aumentare la quantità di enzima

Nella coltura del lievito di birra, la velocità di crescita dell'enzima attivo è proporzionale alla sua quantità iniziale X. Quantità iniziale di enzima UN raddoppiato in un'ora. Trova la dipendenza

x(t).

Soluzione. Per condizione, l'equazione differenziale del processo ha la forma

da qui

Ma . Significa, C= UN poi

E' noto anche questo

Quindi,

6.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

6.3.1. Concetti basilari

Definizione.Equazione differenziale del secondo ordine si chiama relazione che collega la variabile indipendente, la funzione desiderata e le sue derivate prima e seconda.

In casi particolari, x potrebbe mancare nell'equazione, A o y". Tuttavia, un'equazione del secondo ordine deve necessariamente contenere y." Nel caso generale, un'equazione differenziale del secondo ordine si scrive come:

oppure, se possibile, nella forma risolta rispetto alla derivata seconda:

Come nel caso di un'equazione del primo ordine, per un'equazione del secondo ordine ci possono essere soluzioni generali e particolari. La soluzione generale è:

Trovare una soluzione particolare

in condizioni iniziali - dato

numeri) viene chiamato Problema di Cauchy. Dal punto di vista geometrico, ciò significa che dobbiamo trovare la curva integrale A= y(x), passante per un dato punto e avere una tangente a questo punto che è

si allinea con la direzione positiva dell'asse Bue angolo specificato. e. (Fig. 6.1). Il problema di Cauchy ha un’unica soluzione se il membro destro dell’equazione (6.10), incessante

è discontinuo e ha derivate parziali continue rispetto a eh, eh" in qualche quartiere del punto di partenza

Per trovare costanti incluso in una soluzione privata, il sistema deve essere risolto

Riso. 6.1. Curva integrale