Viene chiamata la differenza tra i valori esatti e approssimativi di una quantità errore di approssimazione ( indicato con x)
quelli. x=x- UN- errore di approssimazione
da cui x= UN+ x,
quelli. vero valoreè uguale alla somma del valore approssimato e dell'errore di approssimazione.
Viene chiamato il modulo della differenza tra i valori esatti e approssimativi di una quantità errore assoluto valore approssimativo di un numero X.
quelli. - errore di approssimazione assoluto.
Registra x= e h significa che il vero valore di x si trova tra i confini, cioè a - h X a + h
Esempio 1 Ci sono 1284 lavoratori e impiegati nell'impresa. Quando questo numero viene arrotondato a 1300, l'errore assoluto è 1300 -1284 = 16. Quando viene arrotondato a 1280, l'errore assoluto è 1284 - 1280 = 4.
Esempio 2 Vengono forniti valori approssimativi del numero x=; Quale di queste tre approssimazioni è la migliore?
Soluzione:
Trovare ; La migliore approssimazione di un numero XÈ
Esempio 3 Lunghezza parte x (cm) racchiuso entro confini 33 x 34. Trova il confine errore assoluto misure di dettaglio.
Soluzione: Prendiamo come valore approssimativo della lunghezza della parte la media aritmetica dei confini: a \u003d (33 + 34) / 2 \u003d 33,5 (cm).
Quindi il limite dell'errore assoluto del valore approssimativo della lunghezza della parte non supererà 0,5 (cm). Il valore può anche essere trovato come la semidifferenza dei limiti superiore e inferiore, cioè \u003d (34-33) / 2 \u003d 0,5 (cm). Lunghezza parte X, trovato con una precisione fino a \u003d 0,5 (cm), è compreso tra i valori approssimativi del numero X:
33,5-0,5 x 33,5 + 0,5;
x=33,5 0,5 (cm).
Viene chiamato il rapporto tra l'errore assoluto di approssimazione e il modulo del valore approssimativo di una quantità errore relativo approssimazioni ed è indicato con .
È l'errore di approssimazione relativo
Esempio 1 Quando si misura la lunghezza l e diametro del conduttore ricevuto l=(10,0 0,1) m , D= (2,5 0,1) mm. Quale di queste misurazioni è più accurata?
Soluzione: La lunghezza del conduttore è stata misurata con una precisione di 0,1 m=100 mm e il diametro del conduttore è stato misurato con una precisione di 0,1 mm.
Quando si misura la lunghezza del conduttore, è consentito un errore assoluto di 100 mm per 10000 mm, pertanto l'errore assoluto consentito è
valore misurato.
Quando si misura il diametro, l'errore assoluto consentito è
valore misurato. Pertanto, la misurazione della lunghezza del conduttore è più accurata.
Esempio 2È noto che 0,111 è un valore approssimativo per trovare gli errori assoluti e relativi di questa approssimazione.
Soluzione: Qui x= , UN=0,111. Allora = x- UN= 1/9 - 0,111 = 1/9000-a.p.p.,
Esempio 3 La scuola ha 197 studenti. Arrotondiamo questo numero a 200. L'errore assoluto è 200-197 = 3. L'errore relativo è uguale o, arrotondato, %.
Nella maggior parte dei casi è impossibile conoscere il valore esatto del numero approssimativo e quindi il valore esatto dell'errore. Tuttavia, è quasi sempre possibile stabilire che l'errore (assoluto o relativo) non superi un certo numero.
Esempio 4
Il venditore pesa l'anguria su una bilancia. Nel set di pesi, il più piccolo è di 50 g, la pesatura ha dato 3600 g, questo numero è approssimativo. Il peso esatto dell'anguria è sconosciuto. Ma l'errore assoluto non supera i 50 g L'errore relativo non supera %.
Numeri complessi.
Immagine grafica numeri complessi.
Immagine di numeri complessi.
Numeri complessi si scrivono come: a+bi. Qui UN E B – numeri reali, UN io – unità immaginaria, cioè io 2 = –1.Numero UN chiamato ascissa, UN b - ordinata numero complesso a+bi. Numero complesso 0 + bi chiamato numero immaginario puro.Documentazione bi significa uguale a 0 + bi.
modulo numero complesso si dice lunghezza del vettore OPERAZIONE, raffigurante un numero complesso sulla coordinata ( integrato) aereo. I numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo
Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari xOy sul piano. Ad ogni numero complesso z = a + bi può essere assegnato un punto di coordinate (a;b) , e viceversa, ad ogni punto di coordinate (c;d) può essere associato un numero complesso w = c + di . Si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e l'insieme dei numeri complessi. Pertanto, i numeri complessi possono essere rappresentati come punti in un piano. Il piano su cui sono rappresentati i numeri complessi è solitamente chiamato piano complesso.
Esempio. Rappresentiamo sul piano complesso i numeri
Z 1 \u003d 2 + io; z2 = 3i; z 3 \u003d -3 + 2i; z 4 \u003d -1 - i.
|
|
Le operazioni aritmetiche sui numeri complessi sono le stesse di quelle reali: possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise tra loro. L'addizione e la sottrazione procedono secondo la regola ( UN + bi) ± ( C + di) = (UN ± C) + (B ± D)io e moltiplicazione - secondo la regola ( UN + bi) · ( C + di) = (AC – bd) + (anno Domini + avanti Cristo)io(qui si usa proprio quello io 2 = -1). Numero = UN – bi chiamato complesso coniugato A z.z = UN + bi. Uguaglianza z.z · = UN 2 + B 2 ti permette di capire come dividere un numero complesso per un altro numero complesso (diverso da zero):
Per esempio,
Compiti per soluzione indipendente
Sezione 1. Numeri approssimativi e operazioni su di essi
1.1 Tipi di errori nei calcoli approssimativi
La soluzione esatta di alcuni problemi matematici non può essere ottenuta con metodi classici, o questa soluzione può essere ottenuta in tal modo. forma complessa, che è inaccettabile per un ulteriore uso pratico. Inoltre, la soluzione esatta del problema potrebbe richiedere molto un largo numero(da diverse decine a molti miliardi) azioni. In tali casi, ricorrere a metodi di soluzione approssimati e numerici.
L'avvento dei computer ha notevolmente ampliato la portata di questi metodi. Al momento è difficile immaginare un ingegnere che non possieda un computer e metodi di calcolo approssimativo.
Si noti che qualsiasi computer è in grado di memorizzare matrici di numeri grandi ma finite ed eseguire su di esse operazioni aritmetiche e confronti con una velocità grande ma finita. Cioè, la macchina è in grado di eseguire un numero molto grande ma finito di operazioni. Pertanto, quando si lavora su un computer, è possibile utilizzare solo quei modelli matematici descritti da un insieme finito di numeri e utilizzare solo sequenze finite di operazioni aritmetiche.
I modelli matematici di vari fenomeni sono funzioni, derivate, integrali, equazioni differenziali e così via. Quando si lavora su un computer, questi modelli iniziali dovrebbero essere sostituiti da quelli descritti da insiemi finiti di numeri che indicano la sequenza finale di azioni per la loro elaborazione. Per fare ciò, la funzione viene sostituita da una tabella, integrale definito- importo, ecc. Inoltre, il computer ha una memoria finita e può operare con numeri di lunghezza finita, quindi i risultati intermedi vengono arrotondati. Di conseguenza, anche un metodo esatto con un numero finito di passaggi diventa approssimativo.
Pertanto, la soluzione ottenuta con il metodo numerico è approssimata.
Le cause degli errori sono:
- Incoerenza del modello matematico con il fenomeno reale studiato
- Errore nei dati iniziali.
- L'errore del metodo risolutivo.
- Errori di arrotondamento in aritmetica e altre operazioni sui numeri.
Viene chiamato l'errore di decisione causato dai primi due motivi fatale— non dipende dal matematico.
Errore di metodo sorge perché il metodo numerico, di regola, non risolve il problema originale, ma uno più semplice. Inoltre, di solito il metodo numerico si basa su un processo infinito che deve essere terminato ad un certo punto.
La maggior parte dei metodi numerici dipende da uno o più parametri. La scelta dei parametri del metodo consente di regolare l'errore del metodo.
Errore di arrotondamento non dovrebbe essere significativo più errore metodo. Ed è consigliabile scegliere l'errore del metodo 2-5 volte inferiore all'errore fatale.
1.2 Numeri approssimativi
In pratica, spesso si ha a che fare con numeri che esprimono il vero valore non esattamente, ma approssimativamente. Tali numeri sono chiamati approssimativo.
Indichiamo il valore numerico esatto di un valore a , il valore numerico approssimativo dello stesso valore a * . Quindi un » un * .
Sostituendo il numero esatto a con un numero approssimativo a * , commettiamo un errore (errore).
Definizione 1.1. L'errore assoluto del numero approssimativo a * è il valore assoluto della differenza tra questo numero e il suo valore esatto | a-a* |.
Poiché il valore esatto della quantità è solitamente sconosciuto, è impossibile calcolare l'errore assoluto. Ma puoi specificare un numero positivo D(a*), soddisfacendo la disuguaglianza:
Qualsiasi numero d(a*) , soddisfacendo la disuguaglianza
Si noti che ci sono molti numeri che soddisfano le disuguaglianze (1.2) e (1.3). Pertanto, il valore dell'errore marginale non è del tutto certo.
In pratica, di solito viene preso il valore più piccolo possibile dell'errore marginale. Per ogni numero approssimativo, il suo errore marginale (assoluto o relativo) è necessariamente determinato. L'errore assoluto limitante consente di impostare i limiti entro i quali si trova il numero a, ad es.
L'errore relativo limitante caratterizza l'accuratezza dei calcoli o delle misurazioni.
Esempi.
1.2.1 . Quando si risolvono problemi, invece del numero esatto p = 3,14159265... usiamo il suo valore approssimativo di 3.14 e commettiamo un errore:
p - 3,14 > 0,00159265
1.2.2 . Misurando la lunghezza del percorso, è stato ottenuto un risultato di 25,2 km con una precisione di 2 m. Calcolare gli errori limite assoluto e limite relativo.
Soluzione. Nel nostro caso, l'errore assoluto limite è uguale a D = 0,002 km, e l'errore relativo limite
Allo stesso modo, calcoliamo
significa che a * è un valore approssimativo del numero a con un errore assoluto D(a*). Se a * è un valore approssimativo del numero a con un relativo errore d(un*), poi scrivono così:
1.4 Cifre significative, vere e incerte
In pratica vengono utilizzate varie tecniche che consentono di giudicarne l'errore solo registrando il numero più approssimativo.
La registrazione di numeri approssimativi ed errori assoluti è soggetta a determinate regole.
In notazione decimale figura significativa Viene chiamata qualsiasi cifra diversa da zero. Lo zero è considerato una cifra significativa se si trova tra cifre significative o è a destra di tutte le cifre significative.
Esempio 1.3.1. Numero approssimativo 0, 38 ha 2 cifre significative, 0, 308 - tre, 0, 3080 - quattro, 0.00 308 - tre. Le cifre significative sono le cifre sottolineate.
Definizione 1.3. La cifra significativa è chiamata vero in senso lato se l'errore assoluto del numero non supera un'unità della cifra corrispondente a questa cifra.
La cifra significativa è chiamata corretto in senso stretto se l'errore assoluto del numero non supera la metà dell'unità della cifra corrispondente a questa cifra.
In caso contrario, viene considerato il numero dubbia.
Se viene scritto un numero approssimativo senza specificare il suo errore assoluto (ultimo assoluto), vengono scritti solo i suoi numeri corretti. In questo caso, gli zeri veri all'estremità destra del numero non vengono scartati. I numeri 0,25 e 0,250 sono diversi come approssimazioni. Se usiamo record della forma (1.4) o (1.5), allora i numeri sul lato destro di queste uguaglianze devono essere scritti con lo stesso numero di cifre decimali.
Assoluto o errore relativoÈ consuetudine scriverlo come un numero contenente una o due cifre significative. In questo caso, l'arrotondamento viene eseguito con un eccesso.
Può risultare che un numero approssimativo nella sua parte intera abbia cifre più significative dei segni corretti. In questo caso la notazione viene utilizzata nella forma normalizzata a * = m 10 n , mentre il numero m ≤ 1 deve contenere solo cifre valide. Nella notazione normalizzata, viene chiamato il numero m mantissa, N - esponente
Si noti che l'errore assoluto limite è determinato dal numero di cifre decimali dopo la virgola: meno cifre decimali dopo la virgola, più D(a*).
L'errore relativo limite è determinato dal numero di cifre significative: meno cifre significative, più d(a*).
1.5 Arrotondamento
Per scrivere numeri approssimativi con i numeri corretti, viene utilizzato arrotondamento.
Anche i numeri esatti devono essere arrotondati se il numero di cifre utilizzato è limitato.
Arrotondamento (per complemento) number si chiama scrivendo questo numero con meno cifre secondo la seguente regola: se la prima cifra scartata è maggiore o uguale a 5, allora l'ultima cifra rimanente viene incrementata di uno. Quando si arrotondano i numeri, si verifica un errore, che deve essere preso in considerazione.
Errore di arrotondamento per complemento non supera la metà dell'unità della cifra meno significativa in valore assoluto. Quando si calcola l'errore risultante, l'errore di arrotondamento deve essere aggiunto all'errore assoluto originale del numero.
Esempio 1.3.2. Il numero a * = 413287.51 ha un errore relativo d(a*) = 0,01. Dalla (1.3) segue che D(a*)=| un * | d(a*).
Pertanto, l'errore assoluto di questo numero è 4133. Ciò significa che la quarta cifra del numero a * potrebbe già contenere un errore. Pertanto, solo le prime due cifre del numero sono corrette. Allora in forma normalizzata questo numero si scrive come segue: a * = 0.41 ·10 6 .
Argomentando allo stesso modo, il numero approssimativo b * = 0,0794 at d(b*) = 2% scrivere nella forma normalizzata b * = 0.8 10 - 1 .
Nota che qui abbiamo dovuto arrotondare il numero.
Quando si eseguono operazioni aritmetiche con numeri approssimati, sorgono due problemi reciprocamente inversi:
1. Di errori noti dati di input per stimare l'errore del risultato.
2. Determinare l'accuratezza dei dati iniziali che forniscono l'accuratezza specificata del risultato.
Inoltre, quando si lavora con numeri approssimativi, è necessario riconciliare l'accuratezza dei vari dati di input in modo da non perdere tempo a scrivere numeri non necessari e errati.
Nel processo di calcolo è inoltre necessario monitorare l'accuratezza dei risultati intermedi.
Prima che inizino le operazioni aritmetiche, viene applicato l'arrotondamento in modo che tutti i numeri coinvolti in queste operazioni siano scritti con lo stesso numero di cifre decimali. Il numero di cifre decimali rimanenti è determinato dal minor numero di cifre valide nei dati originali.
Quando si aggiungono e si sottraggono numeri approssimativi che hanno lo stesso numero di cifre corrette dopo la virgola, l'arrotondamento non viene eseguito.
Quando si sommano e si sottraono numeri approssimativi con un numero diverso di cifre corrette dopo la virgola, il risultato viene arrotondato al numero più piccolo di cifre corrette dopo la virgola nei dati originali.
Quando si moltiplicano e si dividono numeri approssimativi con un numero diverso di cifre corrette, il risultato viene arrotondato per il numero minimo di cifre corrette nei dati originali.
1.6 Errori aritmetici
Siano a * e b * numeri approssimativi, allora anche la loro somma c * = a * + b * è un numero approssimativo.
Se indichiamo gli errori assoluti dei termini D(a*) E RE(b*), rispettivamente, quindi l'errore assoluto del numero c * è determinato dalla formula
|
Pertanto, quando si aggiungono due numeri approssimativi, vengono aggiunti i loro errori assoluti limitanti.
Questa regola è vera per qualsiasi numero finito di termini. Inoltre, la formula (1.6) è valida anche per la differenza di due numeri.
In effetti, la differenza di due numeri può essere rappresentata come una somma
la * - b * = la * + ( - b *),
e l'errore assoluto del numero ( -B*)è uguale all'errore assoluto del numero b * .
Commento Quando si sottraggono due numeri dello stesso segno, l'errore relativo della differenza può essere molto maggiore dell'errore relativo di ciascun termine. Una perdita di precisione particolarmente elevata si verifica quando si sottraono numeri vicini tra loro.
Esempio 1.4.1. Sia necessario trovare la differenza 61.32 - 61,31 .
Gli errori assoluti di questi numeri, rispettivamente, sono D1 = 0,01 E D2 = 0,01. Cerchiamo ora di trovare gli errori relativi di questi numeri:
Sottraendo si otterrà il numero 0.01 (notiamo che c'è stata una perdita di tre cifre significative). Il suo errore assoluto è uguale alla somma degli errori assoluti dei termini RE1+ D 2 \u003d 0,02. Quindi l'errore relativo del risultato è Confrontando gli errori dei dati iniziali e del risultato, troviamo un forte aumento dell'errore relativo. Dall'esempio 1.4.1. Ne consegue che si dovrebbe cercare di evitare di sottrarre numeri vicini in valore assoluto. A volte questo può essere ottenuto convertendo la formula di calcolo. Se è impossibile evitare tale sottrazione, è necessario aumentare l'accuratezza dei calcoli intermedi, tenendo conto della perdita di cifre significative. Quando si moltiplicano e si dividono due numeri approssimativi a * e b *, gli errori sono determinati dalle formule: Pertanto, quando si moltiplicano e si dividono numeri approssimativi, vengono aggiunti i loro errori relativi limitanti. Osservazione. Se l'errore assoluto del numero approssimativo Δ (a *) non supera l'unità della cifra espressa dall'n-esima cifra significativa nella notazione decimale di questo numero, vale la seguente disuguaglianza per l'errore relativo limite: δ(a *) ≤ 1 / k 10 n - 1 dove k - la prima cifra significativa del numero UN * . Se l'errore assoluto del numero approssimativo D(a*) non supera la metà dell'unità della cifra, espressa dall'n-esima cifra significativa nella notazione decimale di questo numero, vale la seguente disuguaglianza per l'errore relativo limite: δ(a *) ≤ 1/2 K 10 n − 1 dove k è la prima cifra significativa di a * . In quest'ultimo caso vale anche il contrario: se d (a *) J 1/ 2 (k + 1)10 n - 1 , quindi un * è un numero approssimativo con n cifre valide. Sia data una funzione continuamente differenziabile in un dominio G u \u003d f (x 1, x 2, j, x n). La stima dell'errore nel calcolo approssimativo del valore della funzione è sostituita da una stima del modulo della sua deviazione da valore esatto causato da errori di argomentazione. In questo caso, la deviazione della funzione è sostituita dal suo differenziale totale, in cui gli incrementi degli argomenti sono sostituiti dai loro errori assoluti. Quindi l'errore assoluto limite del valore della funzione è determinato dalla relazione
d=
0,02
0,01
= 2.
D(a*b*) = | b* | D(a*) + | un * | RE(b*),
d(a*b*) = d(a*) + d(b*),
(1.7)
D(a*/b*) =
| b*|D(a*)+| a*|D(b*)| b* | 2
d(a*/b*) = d(a*) + d(b*).
1.7 Errore di funzione
Per l'errore relativo limite, abbiamo l'uguaglianza
Utilizzando le formule (1.11), è possibile determinare l'accuratezza degli argomenti, che garantisce l'accuratezza data del valore della funzione.
Esempio 1.5.1. Devono essere misurati con precisione g=1% superficie laterale di un tronco di cono i cui raggi di base sono R 1 » 2 m, R 2" 1 m, e la generatrice l» 5 m.
Con quale errore assoluto bisogna misurare i raggi e la generatrice, e con quanti segni, corretti in senso lato, si deve prendere il numero p?
Se RE(a*) non supera una cifra, espressa dall'ennesima cifra significativa, allora un * è chiamato un numero con n cifre valide in senso lato.)
Soluzione. L'area della superficie laterale di un tronco di cono è calcolata dalla formula:
S = π l(R 1 + R 2).
Quindi, abbiamo una funzione di quattro argomenti S = S(P , l, R 1 , r2).
Trova le derivate parziali e dividi per S .
Dalle formule (1.11) esprimiamo gli errori assoluti degli argomenti:
ne consegue che il numero P dovrebbe essere preso con il numero di caratteri n = 3 .
CONTROLLATI
Dato un numero approssimativo a * = 1.0754327 e il suo errore assoluto limite D(a*)=0.0005.
Arrotonda questo numero ai numeri corretti. Tieni conto dell'errore di arrotondamento.
Con un metro da sarto, misura la circonferenza del meridiano, la palla di cannone del Cannone dello Zar e la pallina da tennis. Quale misura darà l'errore relativo più grande?
Misurando il raggio di un cerchio con una precisione di 0,5 cm, è stato ottenuto il numero 12 cm. Trova gli errori assoluti e relativi dell'area del cerchio.
Completare operazioni aritmetiche su numeri approssimativi, tutte le cui cifre sono corrette:
130,6 + 0,255 + 1,15224 + 41,84 + 11,8216;
35,2 1,748;
Valore si chiama ciò che può essere espresso da un numero in determinate unità. Ad esempio, lunghezza, area, volume sono quantità. Il valore di una quantità, della cui verità non dubitiamo, si dice esatto. (ulteriore x è il numero esatto). Ma di solito in pratica, quando si cerca il valore di una quantità, si ottiene solo il suo valore approssimativo. (ulteriore a è un numero approssimativo ). Ad esempio, durante la misurazione quantità fisiche utilizzando strumenti di misura.
Viene chiamato il modulo della differenza tra i valori esatti e approssimativi di una quantità errore assoluto
approssimazione Limitare l'errore di approssimazione assoluto o il margine di errore o assoluto
errori
chiamato un numero 
. Tali valutazioni possono essere numero infinito. miglior preventivo il margine di errore è la stima più piccola.
Abbreviazione per il numero esatto:
Viene chiamato il rapporto tra l'errore assoluto di approssimazione e il modulo del valore esatto di una quantità errore relativo . In pratica si utilizza Per l'errore relativo limite (stima dell'errore relativo): . L'errore relativo è solitamente espresso in %.
Più tardi la parola grado scende.
ESEMPIO. Trova l'errore di approssimazione assoluto e relativo un=3.14 Per x=π.
È risaputo che 3,14 <π<3,15 .
Ne consegue che, ad es.
Considerando che 3,14 <π<3,142, quindi otteniamo la stima migliore
La cifra nella notazione decimale del valore approssimativo della quantità X chiamato VERO in senso lato , se l'errore di approssimazione assoluta non supera l'unità di quella cifra R, a cui appartiene questa cifra (la cifra zero è considerata la cifra delle unità, le cifre decimali sono considerate cifre negative). C'è un altro concetto figura vera in senso stretto : . In futuro considereremo i numeri corretti in senso lato. Il resto delle cifre sono chiamate dubbia . Significativo le cifre di un numero scritte in forma decimale sono tutte cifre corrette del numero, a partire dalla prima a sinistra, diverse da 0. Tutti gli zeri a sinistra sono insignificanti. In base al numero di cifre significative, si può facilmente stimare l'errore assoluto di un numero approssimativo. Per una stima dell'errore assoluto, puoi prendere 0,5 cifre dopo l'ultima cifra significativa. L'errore relativo limite può essere considerato uguale a una frazione, il cui numeratore è 1 e il denominatore è un numero intero doppio, scritto utilizzando tutte le cifre significative di un dato numero.
ESEMPIO. a=0,065;
COMPITO 1.1. Volume della stanza v determinato con errore relativo limite δ Quante cifre significative ci sono v ?
COMPITO 1.2. È noto che il valore approssimativo UN Esso ha N cifre significative. Stimare l'errore assoluto e relativo.