Qual è il numero più infinito. Non incluso nella raccolta di saggi

17 giugno 2015

“Vedo grumi di numeri vaghi in agguato là fuori nel buio, dietro il piccolo punto di luce che dà la candela mentale. Sussurrano l'un l'altro; parlando di chissà cosa. Forse non gli piacciamo molto per aver catturato i loro fratellini con le nostre menti. O forse conducono solo uno stile di vita numerico inequivocabile, là fuori, al di là della nostra comprensione.''
Doug Ray

Continuiamo il nostro. Oggi abbiamo i numeri...

Prima o poi, tutti sono tormentati dalla domanda, qual è il numero più grande. Alla domanda di un bambino si può rispondere in un milione. Qual è il prossimo? Trilioni. E ancora di più? In effetti, la risposta alla domanda su quali sono i numeri più grandi è semplice. Vale semplicemente la pena aggiungere uno al numero più grande, poiché non sarà più il più grande. Questa procedura può essere continuata all'infinito.

Ma se ti chiedi: qual è il numero più grande che esiste, e come si chiama?

Ora sappiamo tutti...

Esistono due sistemi per nominare i numeri: americano e inglese.

Il sistema americano è costruito in modo abbastanza semplice. Tutti i nomi di numeri grandi sono costruiti in questo modo: all'inizio c'è un numero ordinale latino e alla fine viene aggiunto il suffisso -milione. L'eccezione è il nome "milione" che è il nome del numero mille (lat. mille) e il suffisso di ingrandimento -million (vedi tabella). Quindi si ottengono i numeri: trilioni, quadrilioni, quintilioni, sestilioni, settilioni, ottilioni, nonlioni e decilioni. Il sistema americano è utilizzato negli Stati Uniti, Canada, Francia e Russia. Puoi scoprire il numero di zeri in un numero scritto nel sistema americano usando la semplice formula 3 x + 3 (dove x è un numero latino).

Il sistema di denominazione inglese è il più comune al mondo. Viene utilizzato, ad esempio, in Gran Bretagna e Spagna, così come nella maggior parte delle ex colonie inglesi e spagnole. I nomi dei numeri in questo sistema sono costruiti in questo modo: in questo modo: un suffisso -milione viene aggiunto al numero latino, il numero successivo (1000 volte più grande) è costruito secondo il principio: lo stesso numero latino, ma il suffisso è -miliardo. Cioè, dopo un trilione nel sistema inglese arriva un trilione, e solo allora un quadrilione, seguito da un quadrilione, e così via. Quindi, un quadrilione secondo i sistemi inglese e americano sono numeri completamente diversi! Puoi scoprire il numero di zeri in un numero scritto nel sistema inglese e terminare con il suffisso -million usando la formula 6 x + 3 (dove x è un numero latino) e usando la formula 6 x + 6 per i numeri che terminano in -miliardo.

Solo il numero miliardo (10 9 ) è passato dal sistema inglese alla lingua russa, che, tuttavia, sarebbe più corretto chiamarlo come lo chiamano gli americani: un miliardo, poiché abbiamo adottato il sistema americano. Ma chi nel nostro Paese fa qualcosa secondo le regole! ;-) A proposito, a volte la parola trilione è usata anche in russo (puoi verificarlo tu stesso eseguendo una ricerca su Google o Yandex) e significa, a quanto pare, 1000 trilioni, ad es. quadrilioni.

Oltre ai numeri scritti utilizzando prefissi latini nel sistema americano o inglese, sono noti anche i cosiddetti numeri fuori sistema, cioè numeri che hanno nomi propri senza prefissi latini. Esistono molti di questi numeri, ma ne parlerò in modo più dettagliato un po 'più tardi.

Torniamo a scrivere usando i numeri latini. Sembrerebbe che possano scrivere numeri all'infinito, ma questo non è del tutto vero. Ora spiegherò perché. Vediamo prima come si chiamano i numeri da 1 a 10 33:

E così, ora sorge la domanda, e poi. Cos'è un decillion? In linea di principio, è possibile, ovviamente, combinando i prefissi per generare mostri come: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion e novemdecillion, ma questi saranno già nomi composti, e ci interessava i nostri nomi numeri. Pertanto, secondo questo sistema, oltre a quelli sopra indicati, puoi ancora ottenere solo tre - vigintilioni (dal lat.viginti- venti), centillion (dal lat.per cento- cento) e un milione (dal lat.mille- mille). I romani non avevano più di mille nomi propri per i numeri (tutti i numeri superiori a mille erano composti). Ad esempio, un milione (1.000.000) di romani ha chiamatocentena miliacioè diecicentomila. E ora, in realtà, la tabella:

Pertanto, secondo un sistema simile, i numeri sono maggiori di 10 3003 , che avrebbe il suo nome non composto, è impossibile da ottenere! Tuttavia, sono noti numeri superiori a un milione: questi sono i numeri molto non sistemici. Infine, parliamo di loro.

Il numero più piccolo di questo tipo è una miriade (è anche nel dizionario di Dahl), che significa cento centinaia, cioè 10000. È vero, questa parola è obsoleta e praticamente non è usata, ma è curioso che la parola "miriade" sia ampiamente usato, che non significa affatto un certo numero, ma un insieme non numerabile e non numerabile di qualcosa. Si ritiene che la parola miriade (miriade inglese) sia arrivata nelle lingue europee dall'antico Egitto.

Per quanto riguarda l'origine di questo numero, ci sono opinioni differenti. Alcuni credono che abbia avuto origine in Egitto, mentre altri credono che sia nato solo nell'antica Grecia. Comunque sia, infatti, la miriade ha guadagnato fama proprio grazie ai greci. Miriade era il nome di 10.000 e non c'erano nomi per numeri superiori a diecimila. Tuttavia, nella nota "Psammit" (cioè il calcolo della sabbia), Archimede ha mostrato come si possano sistematicamente costruire e nominare numeri arbitrariamente grandi. In particolare, ponendo 10.000 (miriadi) granelli di sabbia in un seme di papavero, scopre che nell'Universo (una palla con un diametro di una miriade di diametri terrestri) starebbe (nella nostra notazione) non più di 10 63 Granelli di sabbia. È curioso che i calcoli moderni del numero di atomi nell'universo visibile portino al numero 10 67 (solo una miriade di volte di più). I nomi dei numeri suggeriti da Archimede sono i seguenti:
1 miriade = 10 4 .
1 di-miriade = miriade miriade = 10 8 .
1 tri-miriade = di-miriade di-miriade = 10 16 .
1 tetramiriade = tre miriadi tre miriadi = 10 32 .
eccetera.

Googol (dall'inglese googol) è il numero dieci alla centesima potenza, cioè uno con cento zeri. Il "googol" fu scritto per la prima volta nel 1938 nell'articolo "New Names in Mathematics" nel numero di gennaio della rivista Scripta Mathematica dal matematico americano Edward Kasner. Secondo lui, suo nipote di nove anni Milton Sirotta ha suggerito di chiamare un gran numero "googol". Questo numero è diventato famoso grazie al motore di ricerca che porta il suo nome. Google. Tieni presente che "Google" è un marchio e googol è un numero.

Edoardo Casner.

Su Internet, puoi spesso trovare menzione che - ma non è così ...

Nel noto trattato buddista Jaina Sutra, risalente al 100 a.C., il numero Asankheya (dal cinese. asentzi- incalcolabile), pari a 10 140. Si ritiene che questo numero sia uguale al numero di cicli cosmici necessari per ottenere il nirvana.

Googolplex (inglese) googolplex) - un numero inventato anche da Kasner con suo nipote e che significa uno con un googol di zeri, cioè 10 10100 . Ecco come lo stesso Kasner descrive questa "scoperta":

Le parole di saggezza sono pronunciate dai bambini almeno tanto spesso quanto dagli scienziati. Il nome "googol" è stato inventato da un bambino (il nipote di nove anni del dottor Kasner) a cui è stato chiesto di inventare un nome per un numero molto grande, vale a dire 1 seguito da cento zeri. Era molto certo che questo numero non era infinito, e quindi altrettanto certo che doveva avere un nome, un googol, ma è pur sempre finito, come si affrettò a precisare l'inventore del nome.
Matematica e fantasia(1940) di Kasner e James R. Newman.

Ancora più grande del numero googolplex, il numero di Skewes fu proposto da Skewes nel 1933 (Skewes. J. Londra Matematica. soc. 8, 277-283, 1933.) nel dimostrare la congettura di Riemann sui numeri primi. Significa e nella misura e nella misura e alla potenza di 79, cioè ee e 79 . Più tardi, Riele (te Riele, H. J. J. "Sul segno della differenza P(x)-Li(x)." Matematica. Calcola. 48, 323-328, 1987) ha ridotto il numero di Skuse a ee 27/4 , che è approssimativamente pari a 8.185 10 370 . È chiaro che poiché il valore del numero di Skewes dipende dal numero e, allora non è un numero intero, quindi non lo considereremo, altrimenti dovremmo richiamare altri numeri non naturali - il numero pi, il numero e, ecc.

Ma va notato che esiste un secondo numero di Skewes, che in matematica è indicato come Sk2 , che è persino più grande del primo numero di Skewes (Sk1 ). Il secondo numero di Skuse, è stato introdotto da J. Skuse nello stesso articolo per denotare un numero per il quale l'ipotesi di Riemann non è valida. Sk2 è 1010 10103 , cioè 1010 101000 .

Come capisci, più gradi ci sono, più difficile è capire quale dei numeri è maggiore. Ad esempio, guardando i numeri di Skewes, senza calcoli speciali, è quasi impossibile capire quale di questi due numeri sia maggiore. Pertanto, per numeri molto grandi, diventa scomodo usare le potenze. Inoltre, puoi inventare tali numeri (e sono già stati inventati) quando i gradi di gradi semplicemente non si adattano alla pagina. Sì, che pagina! Non entreranno nemmeno in un libro delle dimensioni dell'intero universo! In questo caso, sorge la domanda su come scriverli. Il problema, come capisci, è risolvibile ei matematici hanno sviluppato diversi principi per scrivere tali numeri. È vero, ogni matematico che ha posto questo problema ha escogitato il proprio modo di scrivere, che ha portato all'esistenza di diversi modi non correlati di scrivere numeri: queste sono le notazioni di Knuth, Conway, Steinhaus, ecc.

Si consideri la notazione di Hugo Stenhaus (H. Steinhaus. Istantanee matematiche, 3a ed. 1983), che è abbastanza semplice. Steinhouse ha suggerito di scrivere grandi numeri all'interno forme geometriche- triangolo, quadrato e cerchio:

Steinhouse ha inventato due nuovi numeri super grandi. Ha chiamato il numero - Mega e il numero - Megiston.

Il matematico Leo Moser affinò la notazione di Stenhouse, che era limitata dal fatto che se era necessario scrivere numeri molto più grandi di un megistone, sorgevano difficoltà e inconvenienti, dovendo disegnare molti cerchi uno dentro l'altro. Moser suggerì di disegnare non cerchi dopo quadrati, ma pentagoni, poi esagoni e così via. Ha anche proposto una notazione formale per questi poligoni, in modo che i numeri potessero essere scritti senza disegnare schemi complessi. La notazione di Moser è simile a questa:

Pertanto, secondo la notazione di Moser, il mega di Steinhouse è scritto come 2 e il megiston come 10. Inoltre, Leo Moser ha suggerito di chiamare un poligono con il numero di lati uguale a mega - megagon. E ha proposto il numero "2 in Megagon", cioè 2. Questo numero divenne noto come numero di Moser o semplicemente come moser.

Ma il moser non è il numero più grande. Il numero più grande mai utilizzato in una dimostrazione matematica è il valore limite noto come numero di Graham, utilizzato per la prima volta nel 1977 nella dimostrazione di una stima nella teoria di Ramsey.È associato agli ipercubi bicromatici e non può essere espresso senza lo speciale sistema a 64 livelli di speciali simboli matematici introdotti da Knuth nel 1976.

Sfortunatamente, il numero scritto nella notazione Knuth non può essere tradotto nella notazione Moser. Pertanto, anche questo sistema dovrà essere spiegato. In linea di principio, non c'è nemmeno nulla di complicato in esso. Donald Knuth (sì, sì, questo è lo stesso Knuth che ha scritto The Art of Programming e ha creato l'editor TeX) ha inventato il concetto di superpotenza, che ha proposto di scrivere con le frecce rivolte verso l'alto:

IN vista generale sembra così:

Penso che sia tutto chiaro, quindi torniamo al numero di Graham. Graham ha proposto i cosiddetti numeri G:

G1 = 3..3, dove il numero di frecce di supergrado è 33.

G2 = ..3, dove il numero di frecce di supergrado è uguale a G1 .

G3 = ..3, dove il numero di frecce di supergrado è uguale a G2 .

G63 = ..3, dove il numero di frecce superpotenza è G62 .

Il numero G63 divenne noto come il numero di Graham (spesso è indicato semplicemente come G). Questo numero è il numero più grande conosciuto al mondo ed è persino elencato nel Guinness dei primati. E qui

Rispondendo a una domanda così difficile, che cos'è, il numero più grande del mondo, va innanzitutto notato che oggi ci sono 2 modi accettati di nominare i numeri: inglese e americano. Secondo il sistema inglese, i suffissi -billion o -million vengono aggiunti a turno a ciascun numero grande, risultando nei numeri million, billion, trillion, triliard e così via. Se procediamo dal sistema americano, secondo esso è necessario aggiungere il suffisso -milioni a ciascun numero grande, a seguito del quale si formano i numeri trilioni, quadrilioni e grandi. Va anche notato qui che il sistema numerico inglese è più comune nel mondo moderno e che i numeri disponibili in esso sono abbastanza sufficienti per normale funzionamento tutti i sistemi del nostro mondo.

Naturalmente, la risposta alla domanda sul numero più grande da un punto di vista logico non può essere univoca, perché basta aggiungere uno a ogni cifra successiva, quindi si ottiene un nuovo numero più grande, quindi questo processo non ha limiti. Tuttavia, stranamente, il numero più grande al mondo esiste ancora ed è elencato nel Guinness dei primati.

Il numero di Graham è il numero più grande del mondo

È questo numero che è riconosciuto nel mondo come il più grande nel Libro dei primati, mentre è molto difficile spiegare cosa sia e quanto sia grande. IN senso generale, queste sono triple moltiplicate tra loro, risultando in un numero che è di 64 ordini di grandezza superiore al punto di comprensione di ogni persona. Di conseguenza, possiamo fornire solo le ultime 50 cifre del numero di Graham – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Numero Googol

La storia di questo numero non è così complicata come quella sopra. Così il matematico americano Edward Kasner, parlando con i suoi nipoti grandi numeri, non poteva rispondere alla domanda su come nominare i numeri che hanno 100 zeri o più. Un nipote intraprendente ha offerto a tali numeri il suo nome: googol. Va notato che un grande valore pratico questo numero, tuttavia, a volte è usato in matematica per esprimere l'infinito.

Googleplex

Questo numero è stato inventato anche dal matematico Edward Kasner e da suo nipote Milton Sirotta. In senso generale, è un numero alla decima potenza di un googol. Rispondendo alla domanda di molte nature curiose, quanti zeri ci sono in Googleplex, vale la pena notare che in versione classicaè impossibile immaginare questo numero, anche se scriviamo tutta la carta disponibile sul pianeta con i classici zeri.

Distorce il numero

Un altro contendente per il titolo di numero più grande è il numero di Skewes, dimostrato da John Littwood nel 1914. Secondo le prove fornite, questo numero è di circa 8.185 10370.

Numero di Moser

Questo metodo per denominare numeri molto grandi è stato inventato da Hugo Steinhaus, che ha suggerito di denotarli con poligoni. Come risultato di tre operazioni matematiche eseguite, il numero 2 nasce in un megagono (un poligono con mega lati).

Come puoi già vedere, un numero enorme di matematici ha compiuto sforzi per trovarlo, il numero più alto al mondo. Quanto successo abbiano avuto questi tentativi, ovviamente, non sta a noi giudicare, tuttavia, va notato che la reale applicabilità di tali numeri è dubbia, perché non sono nemmeno suscettibili di comprensione umana. Inoltre, ci sarà sempre un numero che sarà maggiore se lo fai molto facilmente operazione matematica +1.

Innumerevoli numeri diversi ci circondano ogni giorno. Sicuramente molte persone almeno una volta si sono chieste quale numero sia considerato il più grande. Puoi semplicemente dire a un bambino che questo è un milione, ma gli adulti sanno bene che altri numeri seguono un milione. Ad esempio, devi solo aggiungere uno al numero ogni volta, e diventerà sempre di più - questo accade all'infinito. Ma se analizzi i numeri che hanno nomi, puoi scoprire come si chiama il numero più grande del mondo.

L'aspetto dei nomi dei numeri: quali metodi vengono utilizzati?

Ad oggi, esistono 2 sistemi in base ai quali vengono dati nomi ai numeri: americano e inglese. Il primo è abbastanza semplice e il secondo è il più comune in tutto il mondo. Quello americano ti permette di dare nomi a numeri grandi in questo modo: prima viene indicato il numero ordinale in latino, quindi viene aggiunto il suffisso "milione" (l'eccezione qui è un milione, che significa mille). Questo sistema è utilizzato da americani, francesi, canadesi ed è utilizzato anche nel nostro paese.

L'inglese è ampiamente utilizzato in Inghilterra e in Spagna. Secondo esso, i numeri sono chiamati così: il numero in latino è "più" con il suffisso "milione", e il numero successivo (mille volte maggiore) è "più" "miliardo". Ad esempio, un trilione viene prima, seguito da un trilione, un quadrilione segue un quadrilione e così via.

Quindi, lo stesso numero in sistemi diversi può significare cose diverse, ad esempio, un miliardo americano nel sistema inglese è chiamato miliardo.

Numeri fuori sistema

Oltre ai numeri scritti secondo sistemi noti (riportati sopra), esistono anche numeri fuori sistema. Hanno i loro nomi, che non includono prefissi latini.

Puoi iniziare la loro considerazione con un numero chiamato miriade. È definito come cento centinaia (10000). Ma per lo scopo previsto, questa parola non è usata, ma è usata come indicazione di una moltitudine innumerevole. Anche il dizionario di Dahl fornirà gentilmente una definizione di tale numero.

Subito dopo la miriade c'è googol, che denota 10 alla potenza di 100. Per la prima volta questo nome fu usato nel 1938 da un matematico americano E. Kasner, che notò che suo nipote aveva inventato questo nome.

Google (motore di ricerca) ha preso il nome in onore di Google. Quindi 1 con un googol di zeri (1010100) è un googolplex - anche Kasner ha inventato un nome simile.

Ancora più grande del googolplex è il numero di Skewes (e alla potenza di e alla potenza di e79), proposto da Skuse dimostrando la congettura di Riemann sui numeri primi (1933). Esiste un altro numero di Skewes, ma viene utilizzato quando l'ipotesi di Rimmann è ingiusta. È piuttosto difficile dire quale di essi sia maggiore, soprattutto quando si tratta di gradi elevati. Tuttavia, questo numero, nonostante la sua "enormità", non può essere considerato il più grande di tutti quelli che hanno i propri nomi.

E il leader tra i numeri più grandi del mondo è il numero di Graham (G64). Fu lui che fu utilizzato per la prima volta per condurre dimostrazioni nel campo delle scienze matematiche (1977).

Quando si tratta di un tale numero, devi sapere che non puoi fare a meno di uno speciale sistema a 64 livelli creato da Knuth: la ragione di ciò è la connessione del numero G con gli ipercubi bicromatici. Knuth ha inventato il supergrado e, per renderlo conveniente per registrarlo, ha suggerito di utilizzare le frecce su. Quindi abbiamo imparato come si chiama il numero più grande del mondo. Vale la pena notare che questo numero G è entrato nelle pagine del famoso Book of Records.

Ci sono numeri così incredibilmente, incredibilmente grandi che ci vorrebbe l'intero universo anche solo per scriverli. Ma ecco cosa è veramente esasperante... alcuni di questi numeri incomprensibilmente grandi sono estremamente importanti per capire il mondo.

Quando dico "il numero più grande dell'universo", intendo proprio il più grande significativo numero, il numero massimo possibile che è utile in qualche modo. I contendenti per questo titolo sono tanti, ma vi avverto subito: c'è infatti il rischio che cercare di capire tutto questo vi lasci a bocca aperta. E poi, con troppa matematica, ti diverti poco.

Googol e googolplex

Edoardo Casner

Potremmo iniziare con due, molto probabilmente i numeri più grandi di cui tu abbia mai sentito parlare, e questi sono davvero i due numeri più grandi che hanno definizioni comunemente accettate in lingua inglese. (Esiste una nomenclatura abbastanza precisa usata per numeri grandi quanto vorresti, ma questi due numeri non si trovano attualmente nei dizionari.) Google, da quando è diventato famoso nel mondo (anche se con errori, nota. infatti è googol) in la forma di Google, nasce nel 1920 come un modo per interessare i bambini ai grandi numeri.

A tal fine, Edward Kasner (nella foto) ha portato i suoi due nipoti, Milton e Edwin Sirott, in un tour del New Jersey Palisades. Li ha invitati a proporre qualsiasi idea, e poi il bambino di nove anni Milton ha suggerito "googol". Non si sa da dove abbia preso questa parola, ma Kasner l'ha deciso o un numero in cui cento zeri seguono l'uno d'ora in poi sarà chiamato googol.

Ma il giovane Milton non si è fermato qui, ha inventato un numero ancora più grande, il googolplex. È un numero, secondo Milton, che ha prima un 1 e poi tanti zeri quanti ne puoi scrivere prima di stancarti. Sebbene l'idea sia affascinante, Kasner ha ritenuto che fosse necessaria una definizione più formale. Come ha spiegato nel suo libro del 1940 Mathematics and the Imagination, la definizione di Milton lascia aperta la pericolosa possibilità che il giullare occasionale possa diventare un matematico superiore ad Albert Einstein semplicemente perché ha più resistenza.

Quindi Kasner ha deciso che il googolplex sarebbe stato , o 1, seguito da un googol di zeri. Altrimenti, e in una notazione simile a quella con cui ci occuperemo di altri numeri, diremo che il googolplex è . Per mostrare quanto sia ipnotizzante, Carl Sagan una volta osservò che era fisicamente impossibile scrivere tutti gli zeri di un googolplex perché semplicemente non c'era abbastanza spazio nell'universo. Se l'intero volume dell'universo osservabile è pieno di particelle di polvere fine di circa 1,5 micron, allora il numero di modi diversi in cui queste particelle possono essere disposte sarà approssimativamente uguale a un googolplex.

Linguisticamente parlando, googol e googolplex sono probabilmente i due numeri significativi più grandi (almeno in inglese), ma, come ora stabiliremo, ci sono infiniti modi per definire la “significanza”.

Mondo reale

Se parliamo del numero più grande significativo, c'è una ragionevole argomentazione secondo cui questo significa davvero che devi trovare il numero più grande con un valore che esiste effettivamente nel mondo. Possiamo iniziare con l'attuale popolazione umana, che attualmente è di circa 6920 milioni. Il PIL mondiale nel 2010 è stato stimato intorno ai 61.960 miliardi di dollari, ma entrambi questi numeri sono piccoli rispetto ai circa 100 trilioni di cellule che compongono il corpo umano. Naturalmente, nessuno di questi numeri può essere paragonato a numero intero particelle nell'universo, che generalmente si considera circa , e questo numero è così grande che la nostra lingua non ha una parola corrispondente.

Possiamo giocare un po' con i sistemi di misurazione, rendendo i numeri sempre più grandi. Pertanto, la massa del Sole in tonnellate sarà inferiore a quella in libbre. Un ottimo modo per farlo è usare le unità di Planck, che sono le misure più piccole possibili per le quali valgono ancora le leggi della fisica. Ad esempio, l'età dell'universo nel tempo di Planck è di circa . Se torniamo alla prima unità di tempo di Planck dopo il Big Bang, vedremo che allora la densità dell'Universo era . Stiamo ottenendo sempre di più, ma non abbiamo ancora raggiunto un googol.

Il numero più grande con qualsiasi applicazione del mondo reale - o, in questo caso, applicazione del mondo reale - è probabilmente una delle ultime stime del numero di universi nel multiverso. Questo numero è così grande che il cervello umano non sarà letteralmente in grado di percepire tutti questi diversi universi, poiché il cervello è capace solo di configurazioni approssimative. In effetti, questo numero è probabilmente il numero più grande con un significato pratico, se non si tiene conto dell'idea del multiverso nel suo insieme. Tuttavia, ci sono ancora numeri molto più grandi in agguato lì. Ma per trovarli, dobbiamo entrare nel regno della matematica pura, e non c'è posto migliore per cominciare numeri primi.

Primi di Mersenne

Parte della difficoltà sta nel trovare una buona definizione di cosa sia un numero "significativo". Un modo è pensare in termini di numeri primi e composti. Un numero primo, come probabilmente ricorderai dalla matematica scolastica, è un qualsiasi numero naturale (nota no uguale a uno) che è divisibile solo per e per se stesso. Quindi, e sono numeri primi, e e sono numeri composti. Ciò significa che qualsiasi numero composto può eventualmente essere rappresentato dai suoi divisori primi. In un certo senso, il numero è più importante, diciamo, perché non c'è modo di esprimerlo in termini di prodotto di numeri più piccoli.

Ovviamente possiamo andare un po' oltre. , ad esempio, è in realtà just , il che significa che in un mondo ipotetico in cui la nostra conoscenza dei numeri è limitata a , un matematico può ancora esprimere . Ma il numero successivo è già primo, il che significa che l'unico modo per esprimerlo è conoscere direttamente la sua esistenza. Ciò significa che i più grandi numeri primi conosciuti svolgono un ruolo importante, ma, diciamo, un googol - che in definitiva è solo una raccolta di numeri e, moltiplicati insieme - in realtà non lo fa. E poiché i numeri primi sono per lo più casuali, non esiste un modo noto per prevedere che un numero incredibilmente grande sarà effettivamente primo. Ancora oggi, scoprire nuovi numeri primi è un compito difficile.

Matematici Grecia antica aveva un concetto di numeri primi almeno nel 500 a.C., e 2000 anni dopo la gente sapeva ancora cosa fossero i numeri primi solo fino a circa 750. I pensatori di Euclide vedevano la possibilità di semplificazione, ma fino al Rinascimento i matematici non riuscivano davvero a spiegarlo in pratica. Questi numeri sono noti come numeri di Mersenne e prendono il nome dalla scienziata francese del XVII secolo Marina Mersenne. L'idea è abbastanza semplice: un numero di Mersenne è un qualsiasi numero della forma . Quindi, per esempio, e questo numero è primo, lo stesso vale per .

I numeri primi di Mersenne sono molto più veloci e più facili da determinare rispetto a qualsiasi altro tipo di numero primo, ei computer hanno lavorato sodo per trovarli negli ultimi sessant'anni. Fino al 1952, il più grande numero primo conosciuto era un numero, un numero con cifre. Nello stesso anno, è stato calcolato su un computer che il numero è primo e questo numero è composto da cifre, il che lo rende già molto più grande di un googol.

Da allora i computer sono alla ricerca e il numero di Mersenne è attualmente il più grande numero primo conosciuto dall'umanità. Scoperto nel 2008, è un numero con quasi milioni di cifre. Questo è il numero più grande conosciuto che non può essere espresso in termini di numeri più piccoli, e se vuoi aiutare a trovare un numero di Mersenne ancora più grande, tu (e il tuo computer) potete sempre unirvi alla ricerca su http://www.mersenne. org/.

Distorce il numero

Stanley Skuse

Torniamo ai numeri primi. Come ho detto prima, si comportano fondamentalmente in modo sbagliato, il che significa che non c'è modo di prevedere quale sarà il prossimo numero primo. I matematici sono stati costretti a ricorrere ad alcune misurazioni piuttosto fantastiche per trovare un modo per prevedere i numeri primi futuri, anche in qualche modo nebuloso. Il maggior successo di questi tentativi è probabilmente la funzione dei numeri primi, inventata alla fine del XVIII secolo dal leggendario matematico Carl Friedrich Gauss.

Ti risparmio la matematica più complicata - comunque, abbiamo ancora molto da fare - ma l'essenza della funzione è questa: per qualsiasi numero intero, è possibile stimare quanti numeri primi ci sono meno di . Ad esempio, if , la funzione prevede che dovrebbero esserci numeri primi, if - numeri primi minori di , e if , allora ci sono numeri più piccoli che sono primi.

La disposizione dei numeri primi è davvero irregolare ed è solo un'approssimazione del numero effettivo di numeri primi. Sappiamo infatti che esistono numeri primi minori di , primi minori di , e primi minori di . È un'ottima stima, certo, ma è sempre solo una stima... e più specificamente, una stima dall'alto.

In tutto casi noti a , la funzione che trova il numero di numeri primi esagera leggermente il numero effettivo di numeri primi inferiore a . I matematici una volta pensavano che questo sarebbe sempre stato il caso, all'infinito, e che questo si applica certamente ad alcuni numeri inimmaginabilmente enormi, ma nel 1914 John Edensor Littlewood dimostrò che per qualche numero sconosciuto, inimmaginabilmente enorme, questa funzione inizierà a produrre meno numeri primi, e poi passerà dalla sopravvalutazione alla sottostima un numero infinito di volte.

La caccia era per il punto di partenza delle gare, ed è lì che è apparso Stanley Skuse (vedi foto). Nel 1933 dimostrò che il limite superiore, quando una funzione che approssima per la prima volta il numero di numeri primi dà un valore minore, è il numero. È difficile capire veramente, anche nel senso più astratto, cosa sia veramente questo numero, e da questo punto di vista è stato il numero più grande mai usato in una seria dimostrazione matematica. Da allora, i matematici sono stati in grado di ridurre il limite superiore a un numero relativamente piccolo, ma il numero originale è rimasto noto come numero di Skewes.

Quindi, quanto è grande il numero che rende nano anche il possente googolplex? In The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells descrive un modo in cui il matematico Hardy è stato in grado di dare un senso alla dimensione del numero di Skewes:

"Hardy pensava che fosse 'il numero più grande che sia mai servito a uno scopo particolare in matematica' e suggerì che se gli scacchi fossero giocati con tutte le particelle dell'universo come pezzi, una mossa consisterebbe nello scambiare due particelle e il gioco si fermerebbe quando la stessa posizione è stata ripetuta una terza volta, quindi il numero di tutti i giochi possibili sarebbe stato pari a circa il numero di Skuse''.

Un'ultima cosa prima di andare avanti: abbiamo parlato del più piccolo dei due numeri di Skewes. C'è un altro numero di Skewes, che il matematico scoprì nel 1955. Il primo numero è derivato sulla base del fatto che la cosiddetta Ipotesi di Riemann è vera - un'ipotesi particolarmente difficile in matematica che rimane non dimostrata, molto utile quando si tratta di numeri primi. Tuttavia, se l'ipotesi di Riemann è falsa, Skewes ha scoperto che il punto di partenza del salto aumenta a .

Il problema della grandezza

Prima di arrivare a un numero che fa sembrare minuscolo anche il numero di Skuse, dobbiamo parlare un po' di scala perché altrimenti non abbiamo modo di stimare dove stiamo andando. Prendiamo prima un numero: è un numero minuscolo, così piccolo che le persone possono effettivamente avere una comprensione intuitiva di cosa significhi. Ci sono pochissimi numeri che si adattano a questa descrizione, poiché i numeri maggiori di sei cessano di essere numeri separati e diventano "diversi", "molti", ecc.

Ora prendiamo , cioè . Anche se non possiamo davvero intuitivamente, come abbiamo fatto per il numero, capire cosa, immaginare cosa sia, è molto facile. Finora sta andando tutto bene. Ma cosa succede se andiamo a ? Questo è uguale a , o . Siamo molto lontani dall'essere in grado di immaginare questo valore, come qualsiasi altro molto grande: stiamo perdendo la capacità di comprendere le singole parti da qualche parte intorno a un milione. (Vero, pazzo un gran numero di Ci vorrebbe del tempo per contare effettivamente fino a un milione di qualsiasi cosa, ma il punto è che siamo ancora in grado di percepire questo numero.)

Tuttavia, sebbene non possiamo immaginare, siamo almeno in grado di capire in termini generali cosa siano 7600 miliardi, magari confrontandolo con qualcosa come il PIL degli Stati Uniti. Siamo passati dall'intuizione alla rappresentazione alla mera comprensione, ma almeno abbiamo ancora qualche lacuna nella nostra comprensione di cosa sia un numero. Questo sta per cambiare mentre ci spostiamo di un altro gradino su per la scala.

Per fare ciò, dobbiamo passare alla notazione introdotta da Donald Knuth, nota come notazione a freccia. Queste notazioni possono essere scritte come . Quando poi andremo a , il numero che otterremo sarà . Questo è uguale a dove è il totale delle terzine. Ora abbiamo ampiamente e veramente superato tutti gli altri numeri già menzionati. Dopotutto, anche il più grande di loro aveva solo tre o quattro membri nella serie dell'indice. Ad esempio, anche il super numero di Skuse è "solo" - anche con il fatto che sia la base che gli esponenti sono molto più grandi di , non è assolutamente nulla rispetto alle dimensioni della torre numerica con miliardi di membri.

Ovviamente, non c'è modo di comprendere numeri così enormi... eppure, il processo attraverso il quale vengono creati può ancora essere compreso. Non siamo riusciti a capire il numero reale dato dalla torre dei poteri, che è un miliardo di triple, ma possiamo sostanzialmente immaginare una torre del genere con molti membri, e un supercomputer davvero decente sarà in grado di memorizzare tali torri nella memoria, anche se non può calcolare i loro valori reali.

Sta diventando sempre più astratto, ma non farà che peggiorare. Potresti pensare che una torre di poteri la cui lunghezza esponenziale sia (inoltre, in una versione precedente di questo post ho commesso esattamente quell'errore), ma è solo . In altre parole, immagina di avere la capacità di calcolare valore esatto una torre di potenza di triple, che è composta da elementi, e poi hai preso quel valore e hai creato una nuova torre con tanti quanti... il che dà .

Ripeti questo processo con ogni numero successivo ( Nota partendo da destra) finché non lo fai una volta, e poi finalmente ottieni . Questo è un numero semplicemente incredibilmente grande, ma almeno i passaggi per ottenerlo sembrano essere chiari se tutto viene fatto molto lentamente. Non possiamo più capire i numeri o immaginare la procedura con cui si ottengono, ma almeno possiamo capire l'algoritmo di base, solo in un tempo sufficientemente lungo.

Ora prepariamo la mente a farla esplodere davvero.

Il numero di Graham (Graham).

Ronald Graham

È così che ottieni il numero di Graham, che si colloca nel Guinness dei primati come il numero più grande mai utilizzato in una dimostrazione matematica. È assolutamente impossibile immaginare quanto sia grande, ed è altrettanto difficile spiegare esattamente cosa sia. Fondamentalmente, il numero di Graham entra in gioco quando si ha a che fare con gli ipercubi, che sono forme geometriche teoriche con più di tre dimensioni. Il matematico Ronald Graham (vedi foto) voleva scoprire cosa il numero più piccolo misure, alcune proprietà dell'ipercubo rimarranno stabili. (Scusa per questa vaga spiegazione, ma sono sicuro che tutti abbiamo bisogno di averne almeno due gradi in matematica per renderlo più preciso.)

In ogni caso, il numero di Graham è una stima superiore di questo numero minimo di dimensioni. Quindi quanto è grande questo limite superiore? Torniamo a un numero così grande che possiamo capire piuttosto vagamente l'algoritmo per ottenerlo. Ora, invece di saltare di un altro livello a , conteremo il numero con le frecce tra la prima e l'ultima tripla. Ora siamo ben oltre la minima comprensione di cosa sia questo numero o anche di cosa sia necessario fare per calcolarlo.

Ora ripeti questo processo volte ( Nota ad ogni passaggio successivo scriviamo il numero di frecce, uguale al numero ottenuto nel passaggio precedente).

Questo, signore e signori, è il numero di Graham, che è circa un ordine di grandezza al di sopra della comprensione umana. È un numero molto più grande di qualsiasi numero tu possa immaginare - è molto più grande di qualsiasi infinito tu possa mai sperare di immaginare - sfida semplicemente anche la descrizione più astratta.

Ma ecco la cosa strana. Poiché il numero di Graham è fondamentalmente solo triplette moltiplicate insieme, conosciamo alcune delle sue proprietà senza calcolarle effettivamente. Non possiamo rappresentare il numero di Graham in nessuna notazione che conosciamo, anche se abbiamo usato l'intero universo per scriverlo, ma posso darti le ultime dodici cifre del numero di Graham in questo momento: . E non è tutto: almeno lo sappiamo ultime cifre Numeri di Graham.

Ovviamente vale la pena ricordare che questo numero è solo un limite superiore nel problema originale di Graham. È possibile che il numero effettivo di misurazioni necessarie per soddisfare la proprietà desiderata sia molto, molto inferiore. Infatti, fin dagli anni '80, la maggior parte degli esperti del settore ha creduto che in realtà ci fossero solo sei dimensioni, un numero così piccolo che possiamo capirlo a livello intuitivo. Da allora il limite inferiore è stato aumentato a , ma c'è ancora una buona possibilità che la soluzione del problema di Graham non si trovi vicino a un numero grande quanto quello di Graham.

All'infinito

Quindi ci sono numeri più grandi del numero di Graham? Ci sono, ovviamente, per cominciare c'è il numero di Graham. Per quanto riguarda numero significativo… beh, ci sono alcune aree diabolicamente difficili della matematica (in particolare, l'area nota come combinatoria) e dell'informatica, in cui ci sono numeri anche più grandi del numero di Graham. Ma abbiamo quasi raggiunto il limite di ciò che spero possa mai ragionevolmente spiegare. Per coloro che sono abbastanza sconsiderati da andare ancora oltre, viene offerta una lettura aggiuntiva a proprio rischio.

Bene, ora un'incredibile citazione attribuita a Douglas Ray ( Nota Ad essere onesti, sembra piuttosto divertente:

Il mondo della scienza è semplicemente fantastico con la sua conoscenza. Tuttavia, anche la persona più brillante del mondo non sarà in grado di comprenderli tutti. Ma devi lottare per questo. Ecco perché in questo articolo voglio capire qual è, il numero più grande.

A proposito di sistemi

Innanzitutto va detto che nel mondo esistono due sistemi per nominare i numeri: americano e inglese. A seconda di ciò, lo stesso numero può essere chiamato in modo diverso, sebbene abbiano lo stesso significato. E proprio all'inizio è necessario affrontare queste sfumature per evitare incertezza e confusione.

sistema americano

Interessante sarà il fatto che questo sistema utilizzato non solo in America e Canada, ma anche in Russia. Inoltre, ha il suo nome scientifico: il sistema di denominazione dei numeri con una scala ridotta. Come vengono chiamati i numeri grandi in questo sistema? Bene, il segreto è piuttosto semplice. All'inizio ci sarà un numero ordinale latino, dopo di che verrà semplicemente aggiunto il noto suffisso "-milione". Il fatto seguente sarà interessante: nella traduzione da latino il numero "milioni" può essere tradotto come "migliaia". I seguenti numeri appartengono al sistema americano: un trilione è 10 12, un quintilione è 10 18, un ottilione è 10 27, ecc. Sarà anche facile capire quanti zeri sono scritti nel numero. Per fare ciò, devi conoscere una semplice formula: 3 * x + 3 (dove "x" nella formula è un numero latino).

sistema inglese

Tuttavia, nonostante la semplicità del sistema americano, il sistema inglese è ancora più comune nel mondo, che è un sistema per denominare i numeri con una scala lunga. Dal 1948 è stato utilizzato in paesi come Francia, Gran Bretagna, Spagna, nonché in paesi - ex colonie di Inghilterra e Spagna. Anche la costruzione dei numeri qui è abbastanza semplice: il suffisso "-milione" viene aggiunto alla designazione latina. Inoltre, se il numero è 1000 volte maggiore, viene già aggiunto il suffisso "-miliardo". Come puoi scoprire il numero di zeri nascosti in un numero?

Se il numero termina in "-milioni", avrai bisogno della formula 6 * x + 3 ("x" è un numero latino).
Se il numero termina in "-miliardo", avrai bisogno della formula 6 * x + 6 (dove "x", ancora una volta, è un numero latino).

Esempi

In questa fase, ad esempio, possiamo considerare come verranno chiamati gli stessi numeri, ma su una scala diversa.

Puoi facilmente vedere che lo stesso nome in sistemi diversi sta per numeri diversi. Come un trilione. Pertanto, considerando il numero, è ancora necessario prima scoprire in base a quale sistema è scritto.

Numeri fuori sistema

Vale la pena ricordare che, oltre ai numeri di sistema, esistono anche numeri fuori sistema. Forse tra loro il maggior numero è andato perso? Vale la pena esaminare questo aspetto.

Google. Questo numero è dieci alla centesima potenza, cioè uno seguito da cento zeri (10.100). Questo numero fu menzionato per la prima volta nel 1938 dallo scienziato Edward Kasner. Molto fatto interessante: il motore di ricerca globale "Google" prende il nome da un numero piuttosto elevato in quel momento: Google. E il nome è venuto fuori con il giovane nipote di Kasner.
Asankhiya. Questo è un nome molto interessante, tradotto dal sanscrito come "innumerevole". Il suo valore numerico è uno con 140 zeri - 10140. Il fatto seguente sarà interessante: questo era noto alle persone già nel 100 a.C. e., come evidenziato dalla voce nel Jaina Sutra, un famoso trattato buddista. Questo numero era considerato speciale, perché si credeva che per raggiungere il nirvana fosse necessario lo stesso numero di cicli cosmici. Anche a quel tempo, questo numero era considerato il più grande.
Googolplex. Questo numero è stato inventato dallo stesso Edward Kasner e dal suo già citato nipote. La sua designazione numerica è dieci alla decima potenza, che, a sua volta, consiste nella centesima potenza (cioè dieci alla potenza googolplex). Lo scienziato ha anche detto che in questo modo puoi ottenere un numero grande quanto vuoi: googoltetraplex, googolhexaplex, googoloctaplex, googoldekaplex, ecc.
Il numero di Graham è G. Questo è il numero più grande riconosciuto come tale nel recente 1980 dal Guinness dei primati. È significativamente più grande del googolplex e dei suoi derivati. E gli scienziati hanno detto che l'intero Universo non è in grado di contenere l'intera notazione decimale del numero di Graham.
Numero di Moser, numero di Skewes. Questi numeri sono anche considerati tra i più grandi e sono spesso utilizzati per risolvere varie ipotesi e teoremi. E poiché questi numeri non possono essere scritti secondo leggi generalmente accettate, ogni scienziato lo fa a modo suo.

Ultimi sviluppi

Tuttavia, vale ancora la pena dire che non c'è limite alla perfezione. E molti scienziati credevano e credono ancora che il maggior numero non sia stato ancora trovato. E, naturalmente, l'onore di farlo spetterà a loro. su questo progetto a lungo ha lavorato uno scienziato americano del Missouri, il suo lavoro è stato coronato dal successo. Il 25 gennaio 2012, ha trovato il nuovo numero più grande del mondo, composto da diciassette milioni di cifre (che è il 49° numero di Mersenne). Nota: fino a quel momento il numero più grande era quello trovato dal computer nel 2008, aveva 12mila cifre e assomigliava a questo: 2 43112609 - 1.

Non è la prima volta

Vale la pena dire che ciò è stato confermato da ricercatori scientifici. Questo numero ha superato tre livelli di verifica da parte di tre scienziati su computer diversi, che hanno richiesto ben 39 giorni. Tuttavia, questi non sono i primi risultati in una tale ricerca di uno scienziato americano. In precedenza, aveva già aperto i numeri più grandi. Questo è accaduto nel 2005 e nel 2006. Nel 2008, il computer ha interrotto la striscia di vittorie di Curtis Cooper, ma nel 2012 ha riconquistato la palma e il meritato titolo di scopritore.

Sul sistema

Come succede tutto questo, come fanno gli scienziati a trovare i numeri più grandi? Quindi, oggi la maggior parte del lavoro per loro viene svolto da un computer. In questo caso, Cooper ha utilizzato il calcolo distribuito. Cosa significa? Questi calcoli vengono effettuati da programmi installati sui computer degli utenti Internet che hanno deciso volontariamente di partecipare allo studio. Nell'ambito di questo progetto sono stati identificati 14 numeri di Mersenne, dal nome del matematico francese (si tratta di numeri primi divisibili solo per se stessi e per uno). Sotto forma di formula, si presenta così: M n = 2 n - 1 ("n" in questa formula è un numero naturale).

A proposito di bonus

Potrebbe sorgere una domanda logica: cosa spinge gli scienziati a lavorare in questa direzione? Quindi, questo, ovviamente, è l'entusiasmo e il desiderio di essere un pioniere. Tuttavia, anche qui ci sono dei bonus: Curtis Cooper ha ricevuto un premio in denaro di $ 3.000 per la sua idea. Ma non è tutto. L'Electronic Frontier Special Fund (abbreviazione: EFF) incoraggia tali ricerche e promette di assegnare immediatamente premi in denaro di $ 150.000 e $ 250.000 a coloro che inviano 100 milioni e un miliardo di numeri primi a titolo oneroso. Quindi non c'è dubbio che un numero enorme di scienziati in tutto il mondo stia lavorando oggi in questa direzione.

Conclusioni semplici

Quindi qual è il numero più grande oggi? SU questo momentoè stato trovato da uno scienziato americano dell'Università del Missouri Curtis Cooper, che può essere scritto come segue: 2 57885161 - 1. Inoltre, è anche il 48° numero del matematico francese Mersenne. Ma vale la pena dire che non ci può essere fine a queste ricerche. E non sorprende se, dopo un certo periodo di tempo, gli scienziati ci forniranno il prossimo numero più grande al mondo scoperto di recente a titolo oneroso. Non c'è dubbio che ciò accadrà in un futuro molto prossimo.