Un numero primo è un numero naturale divisibile solo per se stesso e per uno.
Il resto dei numeri è chiamato composto.
Numeri naturali semplici
Ma non tutti i numeri naturali sono primi.
I numeri naturali semplici sono solo quelli divisibili solo per se stessi e per uno.
Esempi numeri primi:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Interi semplici
Ne consegue che solo i numeri naturali sono numeri primi.
Ciò significa che i numeri primi sono necessariamente naturali.
Ma tutti i numeri naturali sono anche numeri interi.
Quindi tutti i numeri primi sono numeri interi.
Esempi di numeri primi:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Anche i numeri primi
C'è solo un numero primo pari, ed è due.
Tutti gli altri numeri primi sono dispari.
Perché un numero pari maggiore di due non può essere un numero primo?
Ma poiché qualsiasi numero pari maggiore di due sarà divisibile per se stesso, non per uno, ma per due, cioè un tale numero avrà sempre tre divisori, e forse anche di più.
La divisione dei numeri naturali in numeri primi e composti è attribuita all'antico matematico greco Pitagora. E se segui Pitagora, l'insieme dei numeri naturali può essere diviso in tre classi: (1) - un insieme composto da un numero - uno; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) è l'insieme dei numeri primi; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) è l'insieme dei numeri composti.
Molti misteri diversi nascondono il secondo set. Ma prima, scopriamo cos'è un numero primo. Apri "Matematica" Dizionario enciclopedico"(Yu. V. Prokhorov, casa editrice" Enciclopedia sovietica", 1988) e leggi:
“Un numero primo è un numero intero positivo maggiore di uno che non ha altri divisori oltre a se stesso e uno: 2,3,5,7,11,13,
Il concetto di numero primo è fondamentale nello studio della divisibilità dei numeri naturali; vale a dire, il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero positivo, ad eccezione di 1, può essere scomposto in modo univoco in un prodotto di numeri primi (l'ordine dei fattori non viene preso in considerazione). Ci sono infiniti numeri primi (questa proposizione, chiamata teorema di Euclide, era nota agli antichi matematici greci, la sua dimostrazione si trova nel libro 9 degli Elementi di Euclide). P. Dirichlet (1837) stabilì che in una progressione aritmetica a+bx in x=1. ,2,с con interi coprimi a e b contiene anche infiniti numeri primi.
Per trovare i numeri primi da 1 a x, viene utilizzato il ben noto dal 3° secolo. AVANTI CRISTO e. crivello di Eratostene. Considerando la sequenza (*) di numeri primi da 1 a x si vede che all'aumentare di x diventa mediamente più raro. Ci sono segmenti arbitrariamente lunghi di una serie di numeri naturali, tra i quali non c'è un solo numero primo (Teorema 4). Allo stesso tempo, ci sono tali numeri primi, la cui differenza è uguale a 2 (i cosiddetti gemelli). Fino ad ora (1987) non è noto se l'insieme di tali gemelli sia finito o infinito. Le tabelle dei numeri primi all'interno dei primi 11 milioni di numeri naturali mostrano gemelli molto grandi (ad esempio, 10.006.427 e 10.006.429).
Il chiarimento della distribuzione dei numeri primi nella serie naturale dei numeri è un problema molto difficile nella teoria dei numeri. Si pone come lo studio del comportamento asintotico di una funzione che denota il numero di numeri primi non superiore numero positivo X. È chiaro dal teorema di Euclide che a. L. Eulero introdusse la funzione zeta nel 1737.
Lo ha anche dimostrato
Dove la somma viene eseguita su tutti i numeri naturali e il prodotto viene preso su tutti i numeri primi. Questa identità e le sue generalizzazioni giocano un ruolo fondamentale nella teoria della distribuzione dei numeri primi. Procedendo da ciò, L. Eulero dimostrò che la serie e il prodotto in primi p divergono. Inoltre, L. Euler ha stabilito che ci sono "molti" numeri primi, perché
E allo stesso tempo, quasi tutti i numeri naturali sono composti, poiché a.
e, per qualsiasi (cioè, ciò che cresce come funzione). Cronologicamente, il prossimo risultato significativo che affina il teorema di Chebyshev è il cosiddetto. la legge asintotica della distribuzione dei numeri primi (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), che consisteva nel fatto che il limite del rapporto a è uguale a 1. Successivamente, notevoli sforzi dei matematici furono diretti a chiarire la legge asintotica della distribuzione dei numeri primi. Le questioni della distribuzione dei numeri primi sono studiate sia con metodi elementari che con metodi di analisi matematica.
Qui ha senso dimostrare alcuni dei teoremi dati nell'articolo.
Lemma 1. Se mcd(a, b)=1, allora esistono interi x, y tali che.
Prova. Siano a e b numeri primi tra loro. Si consideri l'insieme J di tutti i numeri naturali z rappresentabili nella forma, e si scelga in esso numero più piccolo D.
Proviamo che a è divisibile per d. Dividi a per d con resto: e let. Poiché ha la forma, quindi,
Lo vediamo.
Poiché abbiamo assunto che d sia il numero più piccolo in J, abbiamo una contraddizione. Quindi a è divisibile per d.
Allo stesso modo dimostriamo che b è divisibile per d. Quindi d=1. Il lemma è dimostrato.
Teorema 1. Se i numeri a e b sono coprimi e il prodotto bx è divisibile per a, allora x è divisibile per a.
Dimostrazione 1. Dobbiamo dimostrare che ax è divisibile per b e MCD(a,b)=1, allora x è divisibile per b.
Per il Lemma 1, esistono x, y tali che. Allora, ovviamente, è divisibile per b.
Dimostrazione 2. Si consideri l'insieme J di tutti i numeri naturali z tali che zc sia divisibile per b. Sia d il numero più piccolo in J. È facile vederlo. Analogamente alla dimostrazione del Lemma 1, dimostriamo che a è divisibile per d e b è divisibile per d
Lemma 2. Se i numeri q,p1,p2,pn sono primi e il prodotto è divisibile per q, allora uno dei numeri pi è uguale a q.
Prova. Prima di tutto, nota che se un numero primo p è divisibile per q, allora p=q. Ciò implica immediatamente l'asserzione del lemma per n=1. Per n=2 segue direttamente dal Teorema 1: se p1p2 è divisibile per un numero primo q u, allora p2 è divisibile per q (ie).
Dimostriamo il lemma per n=3 come segue. Sia p1 p2 p3 divisibile per q. Se p3 = q, allora tutto è dimostrato. Se, allora secondo il Teorema 1, p1 p2 è divisibile per q. Abbiamo quindi ridotto il caso n=3 al caso già considerato n=2.
Analogamente, da n=3 si può passare a n=4, quindi a n=5, e in generale, supponendo che n=k sia dimostrata l'asserzione del lemma, si può facilmente dimostrarla per n=k+1. Questo ci convince che il lemma è vero per tutti i n.
Teorema fondamentale dell'aritmetica. Ogni numero naturale può essere scomposto in fattori primari l'unico modo.
Prova. Supponiamo che ci siano due fattorizzazioni del numero a in fattori primi:
Poiché il secondo membro è divisibile per q1, allora lato sinistro l'uguaglianza deve essere divisibile per q1. Secondo il Lemma 2, uno dei numeri è uguale a q1. Cancelliamo entrambi i lati dell'uguaglianza con q1.
Facciamo lo stesso ragionamento per q2, poi per q3, per qi. Alla fine, tutti i fattori a destra saranno ridotti e rimarrà 1. Naturalmente, a sinistra non rimarrà nulla tranne uno. Quindi concludiamo che le due espansioni e possono differire solo nell'ordine dei fattori. Il teorema è stato dimostrato.
Il teorema di Euclide. Il numero dei numeri primi è infinito.
Prova. Assumi che la serie dei numeri primi sia finita e denota l'ultimo numero primo con la lettera N. Componi il prodotto
Aggiungiamoci 1. Otteniamo:
Questo numero, essendo un numero intero, deve contenere almeno un fattore primo, cioè deve essere divisibile per almeno un numero primo. Ma tutti i numeri primi, per ipotesi, non superano N, e il numero M + 1 non è divisibile senza resto per nessuno dei numeri primi minori o uguali a N - ogni volta che il resto è 1. Il teorema è dimostrato.
Teorema 4. Le sezioni di numeri composti tra numeri primi possono essere di qualsiasi lunghezza. Dimostreremo ora che la serie consiste di n numeri composti consecutivi.
Questi numeri vanno direttamente uno dopo l'altro nella serie naturale, poiché ogni numero successivo è 1 in più del precedente. Resta da dimostrare che sono tutte composte.
Primo numero
Pari, poiché entrambi i suoi termini contengono un fattore 2. E qualsiasi numero pari maggiore di 2 è composto.
Il secondo numero è composto da due termini, ciascuno dei quali è un multiplo di 3. Pertanto, questo numero è composto.
Allo stesso modo, stabiliamo che il numero successivo è un multiplo di 4, e così via.In altre parole, ogni numero della nostra serie contiene un fattore diverso da uno e da se stesso; è quindi composto. Il teorema è stato dimostrato.
Dopo aver studiato le dimostrazioni dei teoremi, continuiamo la considerazione dell'articolo. Nel suo testo, il crivello di Eratostene è stato menzionato come un modo per trovare i numeri primi. Leggiamo di questo metodo dallo stesso dizionario:
“Il crivello di Eratostene è un metodo sviluppato da Eratostene che permette di separare i numeri composti dalle serie naturali. L'essenza del crivello di Eratostene è la seguente. L'unità è barrata. Il numero due è semplice. Vengono cancellati tutti i numeri naturali divisibili per 2. Numero 3: il primo numero non incrociato sarà primo. Inoltre, vengono cancellati tutti i numeri naturali divisibili per 3. Il numero 5, il prossimo numero non incrociato, sarà primo. Continuando calcoli simili, si può trovare un segmento arbitrariamente lungo di una sequenza di numeri primi. Il crivello di Eratostene come metodo teorico per studiare la teoria dei numeri fu sviluppato da W. Brun (1919).
Qui numero più grande, che attualmente è noto per essere semplicemente:
Questo numero ha circa settecento cifre decimali. I calcoli con cui si è scoperto che questo numero è primo sono stati eseguiti su computer moderni.
“La funzione zeta di Riemann, -funzione, è una funzione analitica di una variabile complessa, per σ>1, determinata da una serie di Dirichlet assolutamente e uniformemente convergente:
Per σ>1 vale la rappresentazione nella forma del prodotto di Eulero:
(2) dove p attraversa tutti i numeri primi.
L'identità della serie (1) e del prodotto (2) è una delle principali proprietà della funzione zeta. Ti permette di ottenere vari rapporti, collegando la funzione zeta con le più importanti funzioni della teoria dei numeri. Quindi la funzione zeta gioca grande ruolo nella teoria dei numeri.
La funzione zeta fu introdotta come funzione di una variabile reale da L. Euler (1737, publ. 1744), che ne indicò la collocazione nel prodotto (2). Quindi la funzione zeta è stata considerata da P. Dirichlet e con particolare successo da P. L. Chebyshev in connessione con lo studio della legge di distribuzione dei numeri primi. Tuttavia le proprietà più profonde della funzione zeta furono scoperte dopo il lavoro di B. Riemann, che per la prima volta nel 1859 considerò la funzione zeta come funzione di una variabile complessa, introdusse anche il nome di "funzione zeta" e la designazione """.
Ma sorge spontanea la domanda: quale applicazione pratica c'è per tutto questo lavoro sui numeri primi? In effetti, non servono quasi a niente, ma c'è un'area in cui i numeri primi e le loro proprietà vengono applicati fino ad oggi. Questa è crittografia. Qui, i numeri primi vengono utilizzati nei sistemi di crittografia senza il trasferimento delle chiavi.
Sfortunatamente, questo è tutto ciò che si sa sui numeri primi. Restano ancora molti misteri. Ad esempio, non è noto se l'insieme dei numeri primi rappresentabili come due quadrati sia infinito.
"NUMERI PRIMI NON SEMPLICI".
Ho deciso di fare una piccola ricerca per trovare risposte ad alcune domande sui numeri primi. Prima di tutto, ho compilato un programma che stampa tutti i numeri primi consecutivi inferiori a 1 000 000 000. Inoltre, ho compilato un programma che determina se il numero inserito è primo. Per studiare i problemi dei numeri primi, ho costruito un grafico che segna la dipendenza del valore di un numero primo dal numero ordinale.Come ulteriore piano di ricerca, ho deciso di utilizzare l'articolo di I. S. Zeltser e B. A. Kordemsky "Divertenti stormi di numeri primi." Gli autori hanno individuato i seguenti percorsi di ricerca:
1. 168 posti dei primi mille numeri naturali sono occupati da numeri primi. Di questi, 16 numeri sono palindromi - ognuno è uguale al rovescio: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.
Ci sono solo 1061 numeri primi a quattro cifre e nessuno di loro è palindromo.
Esistono molti numeri palindromi semplici a cinque cifre. Includono tali bellezze: 13331, 15551, 16661, 19991. Indubbiamente, ci sono stormi di questo tipo: ,. Ma quante copie ci sono in ciascuno di questi stormi?
3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)
9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)
Si può vedere che la somma delle cifre dei numeri ed è divisibile per 3, quindi anche questi numeri stessi sono divisibili per 3.
Per quanto riguarda i numeri della forma, tra questi i numeri 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 sono primi.
2. Nei primi mille numeri ci sono cinque "quartetti" costituiti da numeri primi consecutivi, ultime cifre che formano la sequenza 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229 ), (821, 823, 827, 829).
Quanti di questi quartetti ci sono tra numeri primi a n cifre per n>3?
Usando il programma che ho scritto, ho trovato il quartetto mancato dagli autori: (479, 467, 463, 461) e quartetti per n = 4, 5, 6. Per n = 4, ci sono 11 quartetti
3. Uno stormo di nove numeri primi: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - è attraente non solo perché rappresenta progressione aritmetica con una differenza di 210, ma anche la capacità di inserirsi in nove celle in modo da formare un quadrato magico con una costante pari alla differenza di due numeri primi: 3119 - 2:
Anche il successivo, decimo membro della progressione in esame, 2089, è un numero primo. Se rimuovi il numero 199 dal gregge, ma includi 2089, in questa composizione il gregge può formare un quadrato magico, un argomento per la ricerca.
Va notato che ci sono altri quadrati magici costituiti da numeri primi:
1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687
2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547
2897 947 2357 4517 3347 5867 3917
3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257
4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477
4817 4767 827 887 5147 5387 1997
4127 557 617 3137 5507 4937 4967
La piazza proposta è curiosa perché
1. È un quadrato magico 7x7;
2. Contiene un quadrato magico 5x5;
3. Un quadrato magico 5x5 contiene un quadrato magico 3x3;
4. Tutti questi quadrati hanno un numero centrale comune - 3407;
5. Tutti i 49 numeri inclusi nel quadrato 7x7 terminano nel numero 7;
6. Tutti i 49 numeri inclusi nel quadrato 7x7 sono numeri primi;
7. Ciascuno dei 49 numeri inclusi in un quadrato 7x7 può essere rappresentato come 30n + 17.
I programmi utilizzati sono stati da me scritti nel linguaggio di programmazione Dev-C++ e ne riporto i testi in appendice (vedi file con estensione .cpp). Oltre a tutto quanto sopra, ho scritto un programma che scompone numeri naturali consecutivi in fattori primi (vedi Divisori 1. cpp) e un programma che scompone solo il numero inserito in fattori primi (vedi Divisori 2. cpp). Poiché questi programmi in forma compilata occupano troppo spazio, vengono forniti solo i loro testi. Tuttavia, chiunque può compilarli se ha il programma giusto.
BIOGRAFIE DI SCIENZIATI COINVOLTI NEL PROBLEMA DEI NUMERI PRIMI
EUCLIDE
(circa 330 a.C. - circa 272 a.C.)
Sono state conservate pochissime informazioni affidabili sulla vita del matematico più famoso dell'antichità. Si ritiene che abbia studiato ad Atene, il che spiega la sua brillante padronanza della geometria sviluppata dalla scuola di Platone. Tuttavia, a quanto pare, non aveva familiarità con gli scritti di Aristotele. Ha insegnato ad Alessandria, dove ha ottenuto grandi elogi per il suo attività pedagogica durante il regno di Tolomeo I Soter. C'è una leggenda secondo cui questo re chiese di rivelargli un modo per ottenere un rapido successo in matematica, a cui Euclide rispose che non c'erano modi reali in geometria (una storia simile, tuttavia, viene raccontata anche su Menchem, a cui sarebbe stato chiesto circa lo stesso da Alessandro Magno). La tradizione ha conservato il ricordo di Euclide come persona benevola e modesta. Euclide è autore di trattati su vari argomenti, ma il suo nome è associato principalmente a uno dei trattati chiamati "Inizi". Si tratta di una raccolta di opere di matematici che hanno lavorato prima di lui (il più famoso di loro era Ippocrate di Kos), i cui risultati ha portato alla perfezione grazie alla sua capacità di generalizzazione e diligenza.
EULERO (EULER) LEONARDO
(Basilea, Svizzera 1707 - San Pietroburgo, 1783)
Matematico, meccanico e fisico. Nato nella famiglia di un povero pastore Paul Euler. Ricevette la sua educazione prima da suo padre e nel 1720–24 all'Università di Basilea, dove frequentò le lezioni di matematica di I. Bernoulli.
Alla fine del 1726, Eulero fu invitato all'Accademia delle scienze di San Pietroburgo e nel maggio 1727 arrivò a San Pietroburgo. Nell'accademia appena organizzata, Eulero trovò condizioni favorevoli per l'attività scientifica, che gli permisero di iniziare immediatamente a studiare matematica e meccanica. Durante i 14 anni del primo periodo pietroburghese della sua vita, Eulero preparò circa 80 opere per la pubblicazione e ne pubblicò più di 50. A San Pietroburgo studiò russo.
Euler ha partecipato a molte attività dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo. Ha tenuto lezioni agli studenti dell'università accademica, ha partecipato a vari esami tecnici, ha lavorato alla compilazione di mappe della Russia e ha scritto la "Guida all'aritmetica" (1738–40) disponibile al pubblico. Su istruzioni speciali dell'Accademia, Eulero preparò per la pubblicazione Naval Science (1749), un'opera fondamentale sulla teoria della costruzione navale e della navigazione.
Nel 1741 Eulero accettò l'offerta del re prussiano Federico II di trasferirsi a Berlino, dove avrebbe avuto luogo la riorganizzazione dell'Accademia delle scienze. All'Accademia delle scienze di Berlino, Eulero assunse la carica di direttore della classe di matematica e membro del consiglio, e dopo la morte del suo primo presidente, P. Maupertuis, per diversi anni (dal 1759) diresse effettivamente l'Accademia. Per 25 anni della sua vita a Berlino, ha preparato circa 300 opere, tra cui una serie di grandi monografie.
Mentre viveva a Berlino, Euler non smise di lavorare intensamente per l'Accademia delle scienze di San Pietroburgo, conservando il titolo di membro onorario. Condusse un'ampia corrispondenza scientifica e scientifico-organizzativa, in particolare corrispondeva con M. Lomonosov, che apprezzava molto. Eulero ha curato il dipartimento di matematica di un ente scientifico accademico russo, dove durante questo periodo ha pubblicato quasi tanti articoli quanti nelle "Memorie" dell'Accademia delle scienze di Berlino. Ha partecipato attivamente alla formazione dei matematici russi; i futuri accademici S. Kotelnikov, S. Rumovsky e M. Sofronov furono inviati a Berlino per studiare sotto la sua guida. Eulero ha fornito grande assistenza all'Accademia delle scienze di San Pietroburgo, acquisendo letteratura e attrezzature scientifiche per essa, negoziando con candidati per posizioni presso l'Accademia, ecc.
Il 17 (28) luglio 1766, Eulero e la sua famiglia tornarono a San Pietroburgo. Nonostante la sua età avanzata e la cecità quasi completa che lo ha colpito, ha lavorato in modo produttivo fino alla fine della sua vita. Durante i 17 anni del suo secondo soggiorno a San Pietroburgo, ha preparato circa 400 opere, tra cui diversi libri di grandi dimensioni. Euler ha continuato a partecipare al lavoro organizzativo dell'Accademia. Nel 1776 fu uno degli esperti del progetto di un ponte ad arco singolo sulla Neva, proposto da I. Kulibin, e dell'intera commissione, solo lui diede ampio sostegno al progetto.
I meriti di Eulero come eminente scienziato e organizzatore della ricerca scientifica furono molto apprezzati durante la sua vita. Oltre alle accademie di San Pietroburgo e Berlino, è stato membro delle più grandi istituzioni scientifiche: l'Accademia delle scienze di Parigi, la Royal Society di Londra e altre.
Uno dei tratti distintivi del lavoro di Eulero è la sua eccezionale produttività. Solo durante la sua vita furono pubblicati circa 550 dei suoi libri e articoli (l'elenco delle opere di Eulero contiene circa 850 titoli). Nel 1909, la Società svizzera di scienze naturali iniziò a pubblicare le opere complete di Eulero, che furono completate nel 1975; si compone di 72 volumi. Di grande interesse è il colossale carteggio scientifico di Eulero (circa 3.000 lettere), finora pubblicato solo parzialmente.
La cerchia di studi di Eulero era insolitamente ampia e copriva tutti i dipartimenti di matematica e meccanica contemporanee, teoria dell'elasticità, fisica matematica, ottica, teoria musicale, teoria delle macchine, balistica, scienze marine, affari assicurativi, ecc. Circa 3/5 delle opere di Eulero appartengono alla matematica, i restanti 2/5 principalmente alle sue applicazioni. Lo scienziato ha sistematizzato i suoi risultati e quelli ottenuti da altri in una serie di monografie classiche, scritte con sorprendente chiarezza e fornite di preziosi esempi. Questi sono, ad esempio, "Mechanics, or the Science of Motion, Set Out Analytically" (1736), "Introduction to Analysis" (1748), "Differential Calculus" (1755), "Theory of Motion corpo solido"(1765), "Universal Arithmetic" (1768-69), che ebbe circa 30 edizioni in 6 lingue, "Integral Calculus" (1768-94), ecc. Nel XVIII secolo. e in parte nel XIX secolo. Le lettere pubblicamente disponibili su vari argomenti fisici e filosofici, scritte a una certa principessa tedesca, hanno guadagnato un'immensa popolarità. (1768–74), che ebbe oltre 40 edizioni in 10 lingue. La maggior parte del contenuto delle monografie di Eulero è stata successivamente inclusa nei libri di testo per superiori e parzialmente Scuola superiore. È impossibile elencare tutti i teoremi, i metodi e le formule di Eulero che sono stati utilizzati finora, di cui solo alcuni compaiono in letteratura sotto il suo nome [ad esempio, il metodo della linea spezzata di Eulero, le sostituzioni di Eulero, la costante di Eulero, le equazioni di Eulero , Formule di Eulero, Funzione di Eulero, Numeri di Eulero, Formula di Eulero - Maclaurin, Formule di Eulero-Fourier, Caratteristica di Eulero, Integrali di Eulero, Angoli di Eulero].
In "Meccanica" Eulero espose per la prima volta la dinamica di un punto con l'aiuto dell'analisi matematica: il libero movimento di un punto sotto l'azione di varie forze sia nel vuoto che in un mezzo con resistenza; movimento di un punto lungo una data linea o lungo una data superficie; movimento sotto l'influenza delle forze centrali. Nel 1744 formulò per primo correttamente il principio meccanico di minima azione e ne mostrò le prime applicazioni. Nella Teoria del moto di un corpo rigido, Eulero sviluppò la cinematica e la dinamica di un corpo rigido e fornì le equazioni per la sua rotazione attorno a un punto fisso, ponendo le basi per la teoria dei giroscopi. Nella sua teoria della nave, Eulero diede un prezioso contributo alla teoria della stabilità. Significative sono le scoperte di Eulero nella meccanica celeste (ad esempio, nella teoria del moto della luna), e nella meccanica del continuo (le equazioni fondamentali del moto di un fluido ideale nella forma di Eulero e nelle cosiddette variabili di Lagrange, oscillazioni dei gas nei tubi, ecc.). In ottica, Eulero (1747) diede la formula per una lente biconvessa e propose un metodo per calcolare l'indice di rifrazione di un mezzo. Eulero aderì alla teoria ondulatoria della luce. Credeva che colori diversi corrispondessero a diverse lunghezze d'onda della luce. Eulero ha proposto modi per eliminare le aberrazioni cromatiche delle lenti e ha fornito metodi per calcolare i componenti ottici di un microscopio. Eulero dedicò un vasto ciclo di opere, iniziato nel 1748 fisica matematica: problemi di vibrazione di una corda, piastra, membrana, ecc. Tutti questi studi hanno stimolato lo sviluppo della teoria equazioni differenziali, metodi di analisi approssimativi, speciali. funzioni, geometria differenziale, ecc. Molte delle scoperte matematiche di Eulero sono contenute proprio in queste opere.
Il lavoro principale di Eulero come matematico fu lo sviluppo dell'analisi matematica. Ha gettato le basi di diverse discipline matematiche che erano solo agli inizi o erano del tutto assenti nel calcolo infinitesimale di I. Newton, G. Leibniz e dei fratelli Bernoulli. Così, Eulero fu il primo a introdurre le funzioni di un argomento complesso ea studiare le proprietà delle funzioni elementari di base di una variabile complessa (funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche); in particolare, ha derivato formule relative funzioni trigonometriche con una dimostrazione. Il lavoro di Eulero in questa direzione segnò l'inizio della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Eulero fu il creatore del calcolo delle variazioni, descritto nell'opera “Metodo per trovare linee curve con proprietà massime o minime. » (1744). Il metodo con cui Derivò Eulero nel 1744 condizione necessaria estremo del funzionale - l'equazione di Eulero, è stato il prototipo dei metodi diretti del calcolo delle variazioni del XX secolo. Eulero creò la teoria delle equazioni differenziali ordinarie come disciplina indipendente e pose le basi per la teoria delle equazioni alle derivate parziali. Qui possiede un numero enorme di scoperte: modo classico soluzioni di equazioni lineari a coefficienti costanti, metodo di variazione di costanti arbitrarie, delucidazione delle proprietà fondamentali dell'equazione di Riccati, integrazione di equazioni lineari a coefficienti variabili mediante serie infinite, criteri per soluzioni singolari, dottrina del fattore di integrazione, varie metodi approssimati e una serie di metodi per risolvere equazioni alle derivate parziali. Eulero ha compilato una parte significativa di questi risultati nel suo "Integral Calculus".
Eulero ha anche arricchito il calcolo differenziale e integrale nel senso stretto del termine (ad esempio, la teoria del cambiamento delle variabili, il teorema sulle funzioni omogenee, il concetto di doppio integrale e il calcolo di molti integrali speciali). Nel "Calcolo differenziale", Eulero esprimeva e sosteneva con esempi la sua convinzione nell'opportunità di utilizzare serie divergenti e proponeva metodi per la sommatoria generalizzata di serie, anticipando le idee della moderna teoria rigorosa delle serie divergenti, nata a cavallo del XIX e XX secolo. Inoltre, Eulero ottenne molti risultati concreti nella teoria delle serie. Ha aperto il cosiddetto. la formula di sommatoria di Eulero-Maclaurin, propose la trasformazione della serie che porta il suo nome, determinò le somme di un numero enorme di serie e introdusse in matematica nuovi importanti tipi di serie (ad esempio, le serie trigonometriche). Gli studi di Eulero sulla teoria delle frazioni continue e altri processi infiniti confinano qui.
Eulero è il fondatore della teoria delle funzioni speciali. In primo luogo ha iniziato a considerare il seno e il coseno come funzioni e non come segmenti in un cerchio. Ottenne quasi tutte le espansioni classiche delle funzioni elementari in serie e prodotti infiniti. Nelle sue opere è stata creata la teoria della funzione γ. Ha studiato le proprietà degli integrali ellittici, delle funzioni iperboliche e cilindriche, della funzione ζ, di alcune funzioni θ, del logaritmo integrale e di importanti classi di polinomi speciali.
Secondo P. Chebyshev, Eulero pose le basi per tutta la ricerca che costituisce la parte generale della teoria dei numeri. Così, Eulero dimostrò una serie di affermazioni fatte da P. Fermat (ad esempio, il piccolo teorema di Fermat), sviluppò le basi della teoria dei residui di potenza e della teoria delle forme quadratiche, scoprì (ma non dimostrò) la legge di reciprocità quadratica, e ha studiato una serie di problemi nell'analisi diofantea. Nei lavori sulla divisione dei numeri in termini e sulla teoria dei numeri primi, Eulero fu il primo ad utilizzare i metodi dell'analisi, essendo così il creatore della teoria analitica dei numeri. In particolare, introdusse la funzione ζ e dimostrò la cosiddetta. Identità di Eulero che mette in relazione i numeri primi con tutti i numeri naturali.
I meriti di Eulero sono grandi anche in altre aree della matematica. In algebra possiede lavori sulla soluzione in radicali delle equazioni gradi superiori e sulle equazioni in due incognite, così come le cosiddette. Identità dei quattro quadrati di Eulero. Eulero fece progressi significativi nella geometria analitica, specialmente nella teoria delle superfici di secondo ordine. In geometria differenziale, ha studiato in dettaglio le proprietà delle linee geodetiche, ha applicato per la prima volta le equazioni naturali delle curve e, soprattutto, ha gettato le basi della teoria delle superfici. Introdusse il concetto di direzioni principali in un punto su una superficie, ne dimostrò l'ortogonalità, derivò una formula per la curvatura di ogni sezione normale, iniziò a studiare superfici sviluppabili, ecc.; in un'opera pubblicata postuma (1862), anticipò in parte le ricerche di K. Gauss sulla geometria intrinseca delle superfici. Eulero si occupò anche di singole questioni di topologia e dimostrò, ad esempio, un importante teorema sui poliedri convessi. Eulero il matematico è spesso descritto come un brillante "calcolatore". Era infatti un maestro insuperabile di calcoli formali e trasformazioni, nelle sue opere molte formule matematiche e simboli ricevuti aspetto moderno(per esempio, possiede le designazioni per e e π). Tuttavia, Eulero ha anche introdotto nella scienza una serie di idee profonde, che ora sono rigorosamente comprovate e servono da modello per la profondità di penetrazione nell'oggetto della ricerca.
Secondo P. Laplace, Eulero era un insegnante di matematici del secondo metà del XVIII v.
DIRICHLET PETER GUSTAV
(Düren, oggi Germania, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)
Ha studiato a Parigi, ha mantenuto relazioni amichevoli con eminenti matematici, in particolare con Fourier. al ricevimento grado fu professore alle università di Breslavia (1826 - 1828), Berlino (1828 - 1855) e Gottinga, dove divenne capo del dipartimento di matematica dopo la morte dello scienziato Carl Friedrich Gauss. Il suo contributo più notevole alla scienza riguarda la teoria dei numeri, principalmente lo studio delle serie. Questo gli ha permesso di sviluppare la teoria delle serie proposta da Fourier. Ha creato la sua versione della dimostrazione del teorema di Fermat, ha utilizzato funzioni analitiche per risolvere problemi aritmetici e ha introdotto criteri di convergenza per le serie. Nel campo dell'analisi matematica, ha migliorato la definizione e il concetto di funzione, sul campo meccanica teorica incentrato sullo studio della stabilità dei sistemi e sul concetto newtoniano di potenziale.
CHEBYSHEV PAFNUTIY LVOVYCH
Matematico russo, fondatore della scuola scientifica di San Pietroburgo, accademico dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo (1856). Le opere di Chebyshev hanno gettato le basi per lo sviluppo di molti nuovi rami della matematica.
Le opere più numerose di Chebyshev sono nel campo dell'analisi matematica. Fu, in particolare, oggetto di una dissertazione per il diritto alla lezione, in cui Chebyshev indagò sull'integrabilità di certe espressioni irrazionali in funzioni algebriche e logaritmi. Chebyshev dedicò anche una serie di altri lavori all'integrazione delle funzioni algebriche. In uno di essi (1853) fu ottenuto un noto teorema sulle condizioni di integrabilità in funzioni elementari di un binomio differenziale. Un'importante area di ricerca nell'analisi matematica è il suo lavoro sulla costruzione di una teoria generale dei polinomi ortogonali. La ragione della sua creazione è stata l'interpolazione parabolica con il metodo dei minimi quadrati. Le indagini di Chebyshev sul problema dei momenti e sulle formule di quadratura confinano con lo stesso circolo di idee. Tenendo presente la riduzione dei calcoli, Chebyshev propose (1873) di considerare formule di quadratura con coefficienti uguali (integrazione approssimativa). La ricerca sulle formule di quadratura e sulla teoria dell'interpolazione era strettamente connessa con i compiti che erano stati assegnati a Chebyshev nel dipartimento di artiglieria del comitato scientifico militare.
Nella teoria della probabilità, a Chebyshev viene attribuita l'introduzione sistematica alla considerazione di variabili casuali e la creazione di una nuova tecnica per dimostrare i teoremi limite della teoria della probabilità: la cosiddetta. metodo dei momenti (1845, 1846, 1867, 1887). Dimostrò la legge dei grandi numeri in una forma molto generale; Allo stesso tempo, la sua dimostrazione colpisce per la sua semplicità ed elementarità. Chebyshev non ha completato lo studio delle condizioni per la convergenza delle funzioni di distribuzione di somme di variabili casuali indipendenti alla legge normale. Tuttavia, A. A. Markov è riuscito a farlo con l'aggiunta dei metodi di Chebyshev. Senza derivazioni rigorose, Chebyshev ha anche delineato la possibilità di raffinamenti di questo teorema limite sotto forma di sviluppi asintotici della funzione di distribuzione della somma di termini indipendenti in potenze di n21/2, dove n è il numero di termini. Il lavoro di Chebyshev sulla teoria della probabilità costituisce una tappa importante nel suo sviluppo; inoltre, furono la base su cui si sviluppò la scuola russa di teoria della probabilità, che inizialmente era composta da studenti diretti di Chebyshev.
Riemann Georg Friedrich Bernhard
(Breselenz, Bassa Sassonia, 1826 - Selaska, presso Intra, Italia 66)
matematico tedesco. Nel 1846 entrò all'Università di Gottinga: ascoltò le lezioni di K. Gauss, molte delle cui idee furono sviluppate da lui in seguito. Nel 1847-1849 frequentò lezioni all'Università di Berlino; nel 1849 tornò a Gottinga, dove strinse amicizia con il fisico W. Weber, collaboratore di Gauss, che suscitò in lui un profondo interesse per le questioni di scienze naturali matematiche.
Nel 1851 difese la sua tesi di dottorato "Fondamenti della teoria generale delle funzioni di una variabile complessa". Dal 1854 Privatdozent, dal 1857 professore all'Università di Göttingen.
Le opere di Riemann renderizzate grande influenza sullo sviluppo della matematica nella seconda metà del XIX secolo. e nel XX secolo. Nella sua tesi di dottorato, Riemann pose le basi per l'orientamento geometrico della teoria delle funzioni analitiche; introdusse le cosiddette superfici di Riemann, importanti nello studio delle funzioni multivalore, sviluppò la teoria delle mappature conformi e, in connessione con questa, diede le idee di base della topologia, studiò le condizioni per l'esistenza delle funzioni analitiche all'interno dei domini diverso tipo(il cosiddetto principio di Dirichlet), ecc. I metodi sviluppati da Riemann hanno ricevuto ampia applicazione nei suoi ulteriori lavori sulla teoria delle funzioni algebriche e degli integrali, sulla teoria analitica delle equazioni differenziali (in particolare, equazioni che definiscono funzioni ipergeometriche), sulla teoria analitica dei numeri (ad esempio, Riemann ha indicato la connessione tra la distribuzione dei numeri primi e la proprietà della funzione ζ, in particolare, con la distribuzione dei suoi zeri nel dominio complesso - la cosiddetta ipotesi di Riemann, la cui validità non è stata ancora dimostrata), ecc.
In una serie di articoli, Riemann ha studiato l'espansione delle funzioni in serie trigonometriche e, in connessione con ciò, ha determinato le condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità nel senso di Riemann, che era importante per la teoria degli insiemi e delle funzioni di una variabile reale . Riemann ha anche proposto metodi per integrare equazioni alle derivate parziali (ad esempio, utilizzando i cosiddetti invarianti di Riemann e la funzione di Riemann).
Nella sua famosa conferenza del 1854 "Sulle ipotesi alla base della geometria" (1867), Riemann diede l'idea generale di uno spazio matematico (nelle sue parole, "varietà"), inclusi spazi funzionali e topologici. Qui considerava la geometria in senso lato come la dottrina delle varietà continue n-dimensionali, cioè insiemi di oggetti omogenei qualsiasi, e, generalizzando i risultati di Gauss sulla geometria intrinseca di una superficie, dava concetto generale elemento lineare (il differenziale della distanza tra i punti della varietà), definendo così quelli che vengono chiamati spazi di Finsler. Più in dettaglio, Riemann considerò i cosiddetti spazi riemanniani, generalizzando gli spazi delle geometrie di Euclide, Lobachevsky e la geometria ellittica di Riemann, caratterizzati da un particolare tipo di elemento lineare, e sviluppò la teoria della loro curvatura. Discutendo l'applicazione delle sue idee allo spazio fisico, Riemann sollevò la questione delle "cause delle proprietà metriche" di esso, come se anticipasse quanto era stato fatto nella teoria generale della relatività.
Le idee ei metodi proposti da Riemann aprirono nuove strade nello sviluppo della matematica e trovarono applicazione nella meccanica e nella teoria della relatività generale. Lo scienziato morì nel 1866 di tubercolosi.
numero primoè un numero naturale (intero positivo) divisibile senza resto solo per due numeri naturali: per e per se stesso. In altre parole, un numero primo ha esattamente due divisori naturali: e il numero stesso.
Per definizione, l'insieme di tutti i divisori di un numero primo è a due elementi, cioè è un insieme.
L'insieme di tutti i numeri primi è indicato dal simbolo . Quindi, in virtù della definizione dell'insieme dei numeri primi, possiamo scrivere: .
La sequenza dei numeri primi si presenta così:
Teorema fondamentale dell'aritmetica
Teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni numero naturale maggiore di uno può essere rappresentato come prodotto di numeri primi, e in modo univoco, fino all'ordine dei fattori. Pertanto, i numeri primi sono i "mattoni" elementari dell'insieme dei numeri naturali.
Decomposizione di un numero naturale title="Renderizzato da QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} canonico:
dove è un numero primo e . Ad esempio, l'espansione canonica di un numero naturale si presenta così: .
Viene anche chiamata la rappresentazione di un numero naturale come prodotto di numeri primi fattorizzazione numerica.
Proprietà dei numeri primi
Crivello di Eratostene
Uno degli algoritmi più famosi per la ricerca e il riconoscimento dei numeri primi è crivello di Eratostene. Quindi questo algoritmo prende il nome dal matematico greco Eratostene di Cirene, che è considerato l'autore dell'algoritmo.
Per trovare tutti i numeri primi minori di un dato numero, seguendo il metodo di Eratostene, devi seguire questi passaggi:
Passo 1. Scrivi di seguito tutti i numeri naturali da due a , ad es. .
Passo 2 Assegnare valore variabile, cioè il valore uguale al più piccolo numero primo.
Passaggio 3 Elimina dall'elenco tutti i numeri da a multipli di , ovvero i numeri: .
Passaggio 4 Trova il primo numero non incrociato nell'elenco maggiore di e assegna il valore di quel numero alla variabile.
Passaggio 5 Ripetere i passaggi 3 e 4 fino a raggiungere il numero.
Il processo di applicazione dell'algoritmo sarà simile al seguente:
Tutti i rimanenti numeri non incrociati nell'elenco alla fine del processo di applicazione dell'algoritmo saranno un insieme di numeri primi da a .
L'ipotesi di Goldbach
Copertina del libro "Lo zio Petros e la congettura di Goldbach"
Nonostante i numeri primi siano stati a lungo studiati dai matematici, oggi molti problemi correlati rimangono irrisolti. Uno dei problemi irrisolti più famosi è La congettura di Goldbach, che è così formulato:
- È vero che ogni numero pari maggiore di due può essere rappresentato come somma di due numeri primi (congettura binaria di Goldbach)?
- È vero che ogni numero dispari maggiore di 5 può essere rappresentato come una somma tre semplici numeri (congettura ternaria di Goldbach)?
Va detto che la congettura ternaria di Goldbach è un caso particolare della congettura binaria di Goldbach, o, come dicono i matematici, la congettura ternaria di Goldbach è più debole della congettura binaria di Goldbach.
La congettura di Goldbach è diventata ampiamente nota al di fuori della comunità matematica nel 2000 grazie a una trovata di marketing pubblicitario da parte delle case editrici Bloomsbury USA (USA) e Faber and Faber (UK). Queste case editrici, dopo aver pubblicato il libro "Uncle Petros and Goldbach's Conjecture", hanno promesso di pagare un premio di 1 milione di dollari USA entro 2 anni dalla data di pubblicazione del libro a colui che dimostra la congettura di Goldbach. A volte il suddetto premio degli editori viene confuso con i premi per la risoluzione dei problemi del Millennium Prize. Non commettere errori, l'ipotesi di Goldbach non è elencata come una sfida del millennio dal Clay Institute, sebbene sia strettamente correlata a l'ipotesi di Riemann una delle sfide del millennio.
Il libro "Numeri semplici. Lunga strada verso l'infinito
Copertina del libro “Il mondo della matematica. Numeri semplici. Lunga strada verso l'infinito
Inoltre, consiglio di leggere un affascinante libro di scienze popolari, la cui annotazione dice: “La ricerca dei numeri primi è uno dei problemi più paradossali della matematica. Gli scienziati hanno cercato di risolverlo per diversi millenni, ma, acquisendo nuove versioni e ipotesi, questo mistero rimane ancora irrisolto. La comparsa dei numeri primi non è soggetta ad alcun sistema: essi sorgono spontaneamente in una serie di numeri naturali, ignorando tutti i tentativi dei matematici di identificare schemi nella loro sequenza. Questo libro permetterà al lettore di ripercorrere l'evoluzione delle idee scientifiche dall'antichità ai giorni nostri e di introdurre le più curiose teorie sulla ricerca dei numeri primi.
Inoltre, citerò l'inizio del secondo capitolo di questo libro: "I numeri primi sono uno degli argomenti importanti che ci riportano agli inizi della matematica e poi, lungo il percorso di crescente complessità, ci portano al taglio margine della matematica. scienza moderna. Pertanto, sarebbe molto utile tracciare l'affascinante e complessa storia della teoria dei numeri primi: come si è sviluppata esattamente, come sono stati raccolti esattamente i fatti e le verità che ora sono considerati generalmente accettati. In questo capitolo vedremo come generazioni di matematici hanno studiato attentamente i numeri naturali alla ricerca di una regola che predicesse la comparsa dei numeri primi, regola che, nel corso della ricerca, è diventata sempre più sfuggente. Daremo anche uno sguardo da vicino al contesto storico: in quali condizioni lavoravano i matematici e in che misura il loro lavoro coinvolgeva pratiche mistiche e semireligiose che non sono affatto simili ai metodi scientifici usati nel nostro tempo. Tuttavia, lentamente e con difficoltà, si preparava il terreno per le nuove visioni che ispirarono Fermat ed Eulero nei secoli XVII e XVIII.
I numeri sono diversi: naturali, naturali, razionali, interi e frazionari, positivi e negativi, complessi e primi, pari e dispari, reali, ecc. Da questo articolo puoi imparare cosa sono i numeri primi.
Quali numeri sono chiamati la parola inglese "semplice"?
Molto spesso, gli scolari non sanno come rispondere a una delle domande apparentemente più semplici in matematica, su cosa sia un numero primo. Spesso confondono i numeri primi con i numeri naturali (cioè i numeri che le persone usano quando contano gli oggetti, mentre in alcune fonti iniziano da zero e in altre da uno). Ma questi sono due concetti completamente diversi. I numeri primi sono numeri naturali, cioè numeri interi e positivi maggiori di uno e che hanno solo 2 divisori naturali. In questo caso, uno di questi divisori è un dato numero e il secondo è un'unità. Ad esempio, tre è un numero primo perché non è divisibile uniformemente per nessun numero diverso da se stesso e uno.
Numeri composti
Gli opposti dei numeri primi sono i numeri composti. Sono anche naturali, anche maggiori di uno, ma non hanno due, ma più divisori. Quindi, ad esempio, i numeri 4, 6, 8, 9, ecc. sono numeri naturali, composti, ma non primi. Come puoi vedere, questi sono per lo più numeri pari, ma non tutti. Ma il "due" è un numero pari e il "primo numero" di una serie di numeri primi.
Sotto sequenza
Per costruire una serie di numeri primi è necessario fare una selezione tra tutti i numeri naturali, tenendo conto della loro definizione, cioè bisogna agire per assurdo. È necessario considerare ciascuno dei numeri positivi naturali sull'argomento se ha più di due divisori. Proviamo a costruire una serie (sequenza) composta da numeri primi. L'elenco inizia con due, poi arriva tre, dato che è divisibile solo per se stesso e per uno. Considera il numero quattro. Ha divisori diversi da quattro e uno? Sì, quel numero è 2. Quindi quattro non è un numero primo. Anche cinque è primo (oltre a 1 e 5, non è divisibile per nessun altro numero), ma sei è divisibile. E in generale, se segui tutti i numeri pari, noterai che a parte "due", nessuno di loro è primo. Da ciò concludiamo che i numeri pari, eccetto due, non sono primi. Un'altra scoperta: tutti i numeri divisibili per tre, tranne il triplo stesso, sia pari che dispari, non sono nemmeno primi (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ecc.). Lo stesso vale per i numeri divisibili per cinque e sette. Anche tutto il loro set non è semplice. Riassumiamo. Quindi, tutti i numeri dispari, ad eccezione di uno e nove, appartengono a semplici numeri a una cifra e solo "due" a quelli pari. Le decine stesse (10, 20,... 40, ecc.) non sono prime. I numeri primi a due cifre, a tre cifre, ecc. possono essere definiti in base ai principi di cui sopra: se non hanno altri divisori oltre a se stessi e uno.
Teorie sulle proprietà dei numeri primi
C'è una scienza che studia le proprietà dei numeri interi, compresi quelli primi. Questo è un ramo della matematica, che è chiamato superiore. Oltre alle proprietà degli interi, si occupa anche di numeri algebrici, trascendentali, nonché di funzioni varie origini associato all'aritmetica di questi numeri. In questi studi, oltre ai metodi elementari e algebrici, vengono utilizzati anche quelli analitici e geometrici. In particolare, lo studio dei numeri primi riguarda la "Teoria dei numeri".
I numeri primi sono i "mattoni" dei numeri naturali
In aritmetica esiste un teorema chiamato teorema principale. Secondo esso, qualsiasi numero naturale, ad eccezione dell'unità, può essere rappresentato come un prodotto, i cui fattori sono numeri primi e l'ordine dei fattori è unico, il che significa che il metodo di rappresentazione è unico. Si chiama scomposizione di un numero naturale in fattori primi. C'è un altro nome per questo processo: fattorizzazione dei numeri. Sulla base di ciò, i numeri primi possono essere chiamati " materiale da costruzione”, "blocchi" per la costruzione di numeri naturali.
Cerca i numeri primi. Test di semplicità
Molti scienziati di tempi diversi hanno cercato di trovare alcuni principi (sistemi) per trovare un elenco di numeri primi. La scienza conosce sistemi chiamati crivello di Atkin, crivello di Sundartam, crivello di Eratostene. Tuttavia, non danno risultati significativi e viene utilizzato un semplice test per trovare i numeri primi. Gli algoritmi sono stati creati anche dai matematici. Si chiamano test di primalità. Ad esempio, esiste un test sviluppato da Rabin e Miller. È usato dai crittografi. C'è anche un test Kayala-Agrawala-Saskena. Tuttavia, nonostante la sua sufficiente precisione, è molto difficile da calcolare, il che ne diminuisce il valore pratico.
L'insieme dei numeri primi ha un limite?
Il fatto che l'insieme dei numeri primi sia infinito è stato scritto nel libro "Beginnings" dall'antico scienziato greco Euclide. Disse questo: “Immaginiamo per un momento che i numeri primi abbiano un limite. Quindi moltiplichiamoli tra loro e aggiungiamo uno al prodotto. Il numero ottenuto come risultato di queste semplici operazioni non è divisibile per nessuna delle serie di numeri primi, perché il resto sarà sempre uno. E questo significa che c'è qualche altro numero che non è ancora incluso nell'elenco dei numeri primi. Pertanto, la nostra ipotesi non è vera e questo insieme non può avere un limite. Oltre alla dimostrazione di Euclide, esiste una formula più moderna data dal matematico svizzero del XVIII secolo Leonhard Euler. Secondo lui, la somma, il reciproco della somma dei primi n numeri, cresce indefinitamente con la crescita del numero n. Ed ecco la formula del teorema riguardante la distribuzione dei numeri primi: (n) cresce come n / ln (n).
Qual è il numero primo più grande?
Lo stesso Leonard Euler è stato in grado di trovare il più grande numero primo per il suo tempo. Questo è 2 31 - 1 = 2147483647. Tuttavia, entro il 2013, è stato calcolato un altro numero primo più accurato nell'elenco dei numeri primi: 2 57885161 - 1. Si chiama numero di Mersenne. Contiene circa 17 milioni di cifre decimali. Come puoi vedere, il numero trovato da uno scienziato del diciottesimo secolo è parecchie volte inferiore a questo. Avrebbe dovuto essere così, perché Eulero ha fatto questo calcolo manualmente, ma il nostro contemporaneo è stato probabilmente aiutato da un computer. Inoltre, questo numero è stato ottenuto presso il Dipartimento di Matematica in uno dei dipartimenti americani. I numeri che prendono il nome da questo scienziato passano attraverso il test di primalità di Luc-Lehmer. Tuttavia, la scienza non vuole fermarsi qui. La Electronic Frontier Foundation, fondata nel 1990 negli Stati Uniti d'America (EFF), ha offerto una ricompensa in denaro per la ricerca di grandi numeri primi. E se fino al 2013 il premio veniva assegnato a quegli scienziati che li trovano tra 1 e 10 milioni numeri decimali, quindi oggi questa cifra è passata da 100 milioni a 1 miliardo. I premi vanno da 150 a 250 mila dollari USA.
Nomi di numeri primi speciali
Quei numeri che sono stati trovati grazie ad algoritmi creati da alcuni scienziati e hanno superato il test di semplicità sono chiamati speciali. Ecco qui alcuni di loro:
1. Mersin.
4. Cullen.
6. Mills et al.
La semplicità di questi numeri, che prendono il nome dagli scienziati di cui sopra, è stabilita utilizzando i seguenti test:
1. Lucas-Lemer.
2. Pepino.
3. Risel.
4. Billhart - Lehmer - Selfridge e altri.
La scienza moderna non si ferma qui, e probabilmente nel prossimo futuro il mondo conoscerà i nomi di coloro che sono riusciti a vincere un premio di 250.000 dollari trovando il numero primo più grande.
In questo articolo studieremo numeri primi e composti. Innanzitutto, diamo definizioni di numeri primi e composti e forniamo anche esempi. Dopodiché dimostriamo che esistono infiniti numeri primi. Successivamente, scriviamo una tabella di numeri primi e consideriamo i metodi per compilare una tabella di numeri primi, ci soffermeremo con particolare attenzione sul metodo chiamato crivello di Eratostene. In conclusione, evidenziamo i punti principali che devono essere presi in considerazione quando si dimostra che un dato numero è primo o composto.
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Numeri primi e composti - Definizioni ed esempi
I concetti di numeri primi e numeri composti si riferiscono a quelli maggiori di uno. Tali numeri interi, a seconda del numero dei loro divisori positivi, sono divisi in numeri primi e composti. Quindi per capire definizioni di numeri primi e composti, devi avere una buona idea di cosa siano divisori e multipli.
Definizione.
numeri primi sono numeri interi, maggiori di uno, che hanno solo due divisori positivi, cioè se stessi e 1 .
Definizione.
Numeri composti sono numeri interi maggiori di uno che hanno almeno tre divisori positivi.
Separatamente, notiamo che il numero 1 non si applica né ai numeri primi né ai numeri composti. L'unità ha un solo divisore positivo, che è il numero 1 stesso. Questo distingue il numero 1 da tutti gli altri numeri interi positivi che hanno almeno due divisori positivi.
Considerando che gli interi positivi sono , e che l'unità ha un solo divisore positivo, si possono dare altre formulazioni delle definizioni sonore di numeri primi e composti.
Definizione.
numeri primi sono numeri naturali che hanno solo due divisori positivi.
Definizione.
Numeri composti sono numeri naturali che hanno più di due divisori positivi.
Si noti che ogni numero intero positivo maggiore di uno è un numero primo o un numero composto. In altre parole, non esiste un singolo numero intero che non sia né primo né composto. Ciò deriva dalla proprietà divisibilità, che dice che i numeri 1 e a sono sempre divisori di qualsiasi numero intero a.
Sulla base delle informazioni del paragrafo precedente, possiamo dare la seguente definizione di numeri composti.
Definizione.
Si chiamano i numeri naturali che non sono primi costituente.
Portiamo esempi di numeri primi e composti.
Come esempi di numeri composti, diamo 6 , 63 , 121 e 6697 . Anche questa affermazione ha bisogno di una spiegazione. Il numero 6, oltre ai divisori positivi 1 e 6, ha anche divisori 2 e 3, poiché 6 \u003d 2 3, quindi 6 è davvero un numero composto. I divisori positivi di 63 sono i numeri 1 , 3 , 7 , 9 , 21 e 63 . Il numero 121 è uguale al prodotto di 11 11 , quindi i suoi divisori positivi sono 1 , 11 e 121 . E il numero 6697 è composto, poiché i suoi divisori positivi, oltre a 1 e 6697, sono anche i numeri 37 e 181.
In conclusione di questo paragrafo, vorrei anche attirare l'attenzione sul fatto che i numeri primi ei numeri coprimi sono tutt'altro che la stessa cosa.
Tavola dei numeri primi
I numeri primi, per comodità del loro ulteriore utilizzo, sono registrati in una tabella, chiamata tabella dei numeri primi. Sotto è tavola dei numeri primi fino a 1 000 .
Sorge una domanda logica: "Perché abbiamo compilato la tabella dei numeri primi solo fino a 1.000, non è possibile fare una tabella di tutti i numeri primi esistenti"?
Rispondiamo prima alla prima parte di questa domanda. Per la maggior parte dei problemi che coinvolgono i numeri primi, saranno sufficienti numeri primi fino a mille. In altri casi, molto probabilmente, dovrai ricorrere ad alcune tecniche risolutive speciali. Sebbene, ovviamente, possiamo tabellare numeri primi fino ad un numero intero finito positivo arbitrariamente grande, sia esso 10.000 o 1.000.000.000 , nel prossimo paragrafo parleremo dei metodi per compilare tabelle di numeri primi, in particolare analizzeremo il metodo chiamato.
Ora diamo un'occhiata alla possibilità (o meglio, all'impossibilità) di compilare una tabella di tutti i numeri primi esistenti. Non possiamo fare una tabella di tutti i numeri primi perché ci sono infiniti numeri primi. L'ultima affermazione è un teorema che dimostreremo dopo il seguente teorema ausiliario.
Teorema.
Il più piccolo divisore positivo di un numero naturale maggiore di 1 diverso da 1 è un numero primo.
Prova.
Permettere a è un numero naturale maggiore di uno e b è il divisore non uno meno positivo di a. Proviamo che b è un numero primo per assurdo.
Supponiamo che b sia un numero composto. Poi c'è un divisore del numero b (denotiamolo b 1 ), che è diverso sia da 1 che da b . Se teniamo anche conto che il valore assoluto del divisore non supera il valore assoluto del dividendo (lo sappiamo dalle proprietà di divisibilità), allora la condizione 1
Poiché il numero a è divisibile per b per condizione, e abbiamo detto che b è divisibile per b 1, allora il concetto di divisibilità ci permette di parlare dell'esistenza di tali numeri interi q e q 1 che a=b q e b=b 1 q 1 , da cui a= b 1 ·(q 1 ·q) . Ne consegue che il prodotto di due numeri interi è un numero intero, allora l'uguaglianza a=b 1 ·(q 1 ·q) indica che b 1 è un divisore del numero a . Tenendo conto delle disuguaglianze di cui sopra 1
Ora possiamo dimostrare che esistono infiniti numeri primi.
Teorema.
Ci sono infiniti numeri primi.
Prova.
Supponiamo che non lo sia. Cioè, supponiamo che ci siano solo n numeri primi, e questi primi siano p 1 , p 2 , …, p n . Dimostriamo che possiamo sempre trovare un numero primo diverso da quelli indicati.
Consideriamo un numero p uguale a p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . È chiaro che questo numero è diverso da ognuno dei numeri primi p 1 , p 2 , …, p n . Se il numero p è primo, allora il teorema è dimostrato. Se questo numero è composto, allora, in virtù del teorema precedente, esiste un primo divisore di questo numero (denotiamolo p n+1 ). Mostriamo che questo divisore non coincide con nessuno dei numeri p 1 , p 2 , …, p n .
Se così non fosse, allora per le proprietà di divisibilità, il prodotto p 1 ·p 2 ·…·p n sarebbe divisibile per p n+1 . Ma il numero p è anche divisibile per p n+1, pari alla somma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Ciò implica che il secondo termine di questa somma, che è uguale a uno, deve essere divisibile per p n+1, e questo è impossibile.
Pertanto, è dimostrato che si può sempre trovare un nuovo numero primo, che non è contenuto in nessun numero di numeri primi dati in precedenza. Pertanto, ci sono infiniti numeri primi.
Quindi, a causa del fatto che ci sono infiniti numeri primi, quando si compilano tabelle di numeri primi, si limitano sempre dall'alto a un numero, di solito 100, 1.000, 10.000, ecc.
Crivello di Eratostene
Ora discuteremo dei modi per compilare tabelle di numeri primi. Supponiamo di dover creare una tabella di numeri primi fino a 100 .
Il metodo più ovvio per risolvere questo problema è verificare in sequenza numeri interi positivi, che iniziano con 2 e terminano con 100 , per la presenza di un divisore positivo che è maggiore di 1 e minore del numero da controllare (dalle proprietà di divisibilità, noi sappi che il valore assoluto del divisore non supera il valore assoluto del dividendo, diverso da zero). Se tale divisore non viene trovato, il numero controllato è primo e viene inserito nella tabella dei numeri primi. Se viene trovato un tale divisore, allora il numero controllato è composto, NON è inserito nella tabella dei numeri primi. Dopodiché, c'è una transizione al numero successivo, che viene verificato allo stesso modo per la presenza di un divisore.
Descriviamo i primi passi.
Partiamo dal numero 2. Il numero 2 non ha divisori positivi diversi da 1 e 2 . Pertanto, è primo, quindi lo inseriamo nella tabella dei numeri primi. Qui va detto che 2 è il numero primo più piccolo. Passiamo al numero 3. Il suo possibile divisore positivo diverso da 1 e 3 è 2 . Ma 3 non è divisibile per 2, quindi 3 è un numero primo e deve essere inserito anche nella tabella dei numeri primi. Passiamo al numero 4. I suoi divisori positivi diversi da 1 e 4 possono essere 2 e 3 , controlliamoli. Il numero 4 è divisibile per 2, quindi 4 è un numero composto e non ha bisogno di essere inserito nella tabella dei numeri primi. Si noti che 4 è il numero composto più piccolo. Passiamo al numero 5. Controlliamo se almeno uno dei numeri 2 , 3 , 4 è il suo divisore. Poiché 5 non è divisibile né per 2, né per 3, né per 4, è primo e deve essere scritto nella tabella dei numeri primi. Quindi c'è una transizione ai numeri 6, 7 e così via fino a 100.
Questo approccio alla compilazione di una tabella di numeri primi è tutt'altro che ideale. In un modo o nell'altro, ha il diritto di esistere. Si noti che con questo metodo di costruzione di una tabella di numeri interi, è possibile utilizzare criteri di divisibilità, che accelereranno leggermente il processo di ricerca dei divisori.
C'è un modo più conveniente per compilare una tabella di numeri primi chiamata . La parola "setaccio" presente nel nome non è casuale, poiché le azioni di questo metodo aiutano, per così dire, a "setacciare" attraverso il setaccio di Eratostene interi, unità grandi, per separare quelle semplici da quelle composte.
Mostriamo il crivello di Eratostene in azione durante la compilazione di una tavola di numeri primi fino a 50.
Innanzitutto, annotiamo i numeri 2, 3, 4, ..., 50 in ordine.
Il primo numero scritto 2 è primo. Ora dal numero 2 ci spostiamo in sequenza a destra di due numeri e cancelliamo questi numeri finché non arriviamo alla fine della tabella dei numeri compilata. Quindi tutti i numeri che sono multipli di due verranno cancellati.
Il primo numero non barrato dopo il 2 è 3 . Questo numero è primo. Ora, dal numero 3, ci spostiamo in sequenza a destra di tre numeri (tenendo conto dei numeri già barrati) e li cancelliamo. Quindi tutti i numeri che sono multipli di tre verranno cancellati.
Il primo numero non barrato dopo il 3 è 5 . Questo numero è primo. Ora, dal numero 5, ci spostiamo in sequenza a destra di 5 numeri (teniamo conto anche dei numeri barrati in precedenza) e li cancelliamo. Quindi tutti i numeri che sono multipli di cinque verranno cancellati.
Successivamente, eliminiamo i numeri che sono multipli di 7, quindi multipli di 11 e così via. Il processo termina quando non ci sono più numeri da cancellare. Di seguito è riportata una tabella completa dei numeri primi fino a 50 ottenuti utilizzando il crivello di Eratostene. Tutti i numeri non barrati sono primi e tutti i numeri barrati sono composti.
Formuliamo e dimostriamo un teorema che accelererà il processo di compilazione di una tabella di numeri primi usando il crivello di Eratostene.
Teorema.
Il divisore non uno meno positivo di un numero composto a non supera , dove proviene da a .
Prova.
Indichiamo con la lettera b il più piccolo divisore del numero composto a che differisce dall'unità (il numero b è primo, come segue dal teorema dimostrato all'inizio del paragrafo precedente). Allora esiste un intero q tale che a=b q (qui q è un intero positivo, che segue dalle regole per la moltiplicazione degli interi), e (quando b>q, la condizione che b è il più piccolo divisore di a è violata, poiché q è anche un divisore di a per l'uguaglianza a=q b ). Moltiplicando entrambi i lati della disuguaglianza per un numero intero positivo e maggiore di un b (possiamo farlo), otteniamo , da cui e .
Cosa ci dà il teorema dimostrato riguardo al crivello di Eratostene?
Innanzitutto, la cancellazione di numeri composti che sono multipli di un numero primo b dovrebbe iniziare con un numero uguale a (questo segue dalla disuguaglianza ). Ad esempio, la cancellazione di numeri multipli di due dovrebbe iniziare con il numero 4, i multipli di tre - con il numero 9, i multipli di cinque - con il numero 25 e così via.
In secondo luogo, la compilazione di una tavola di numeri primi fino al numero n mediante il crivello di Eratostene può dirsi completa quando vengono cancellati tutti i numeri composti che sono multipli di numeri primi non eccedenti. Nel nostro esempio, n=50 (perché stiamo tabulando i numeri primi fino a 50 ) e , quindi il crivello di Eratostene deve eliminare tutti i multipli compositi dei numeri primi 2 , 3 , 5 e 7 che non superano la radice quadrata aritmetica di 50 . Cioè, non abbiamo più bisogno di cercare e cancellare i numeri che sono multipli di numeri primi 11 , 13 , 17 , 19 , 23 e così via fino a 47 , poiché saranno già barrati come multipli di numeri primi più piccoli 2 , 3 , 5 e 7 .
Questo numero è primo o composto?
Alcune attività richiedono di scoprire se un dato numero è primo o composto. Nel caso generale, questo compito è tutt'altro che semplice, soprattutto per i numeri il cui record è costituito da un numero significativo di caratteri. Nella maggior parte dei casi, devi cercare un modo specifico per risolverlo. Tuttavia, cercheremo di dare una direzione al filo del pensiero per casi semplici.
Indubbiamente si può tentare di utilizzare criteri di divisibilità per dimostrare che un dato numero è composto. Se, ad esempio, un criterio di divisibilità mostra che il numero dato è divisibile per un numero intero positivo maggiore di uno, allora il numero originale è composto.
Esempio.
Dimostrare che il numero 898 989 898 989 898 989 è composto.
Soluzione.
La somma delle cifre di questo numero è 9 8+9 9=9 17 . Poiché il numero pari a 9 17 è divisibile per 9, allora in base al criterio di divisibilità per 9 si può sostenere che anche il numero originario è divisibile per 9. Pertanto, è composto.
Uno svantaggio significativo di questo approccio è che i criteri di divisibilità non ci consentono di dimostrare la semplicità di un numero. Pertanto, quando si verifica se un numero è primo o composto, è necessario procedere diversamente.
L'approccio più logico è enumerare tutti i possibili divisori di un dato numero. Se nessuno dei possibili divisori è un vero divisore di un dato numero, allora quel numero è primo; altrimenti è composto. Dai teoremi dimostrati nel paragrafo precedente, segue che i divisori di un dato numero a devono essere cercati tra numeri primi non superiori a . Così, il dato numero a può essere successivamente diviso per numeri primi (che è conveniente prelevare dalla tabella dei numeri primi), cercando di trovare il divisore del numero a. Se viene trovato un divisore, allora il numero a è composto. Se tra i numeri primi non superiori a , non c'è il divisore del numero a, allora il numero a è primo.
Esempio.
Numero 11 723 semplice o composto?
Soluzione.
Scopriamo a quale numero primo possono essere i divisori del numero 11 723. Per questo stimiamo .
È abbastanza ovvio che 
, dal 200 2 \u003d 40 000 e 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью confronto numerico). Pertanto, i possibili divisori primi di 11.723 sono inferiori a 200. Questo semplifica già notevolmente il nostro compito. Se non lo sapessimo, dovremmo ordinare tutti i numeri primi non fino a 200, ma fino al numero 11 723 .
Se lo si desidera, è possibile stimare in modo più accurato. Da 108 2 \u003d 11 664 e 109 2 \u003d 11 881, quindi 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Pertanto, uno qualsiasi dei numeri primi minori di 109 è potenzialmente un primo divisore del dato numero 11.723.
Ora divideremo sequenzialmente il numero 11 723 in numeri primi 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Se il numero 11 723 è diviso interamente per uno dei numeri primi scritti, allora sarà composto. Se non è divisibile per nessuno dei numeri primi scritti, allora il numero originale è primo.
Non descriveremo tutto questo monotono e monotono processo di divisione. Diciamo solo che 11 723