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Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")
Progressione aritmetica- questa è una serie di numeri in cui ogni numero è maggiore (o minore) del precedente della stessa quantità.
Questo argomento è spesso difficile e incomprensibile. Indici di lettere, ennesimo membro progressioni, la differenza nella progressione - tutto questo è in qualche modo confuso, sì ... Scopriamo il significato della progressione aritmetica e tutto funzionerà subito.)
Il concetto di progressione aritmetica.
La progressione aritmetica è un concetto molto semplice e chiaro. Dubbio? Invano.) Guarda tu stesso.
Scriverò una serie incompiuta di numeri:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Puoi estendere questa linea? Quali numeri andranno dopo, dopo i cinque? Tutti ... uh ..., insomma, tutti capiranno che i numeri 6, 7, 8, 9, ecc. Andranno oltre.
Complichiamo il compito. Do una serie incompiuta di numeri:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Puoi catturare lo schema, estendere la serie e il nome settimo numero di riga?
Se hai capito che questo numero è 20, mi congratulo con te! Non solo ti sei sentito punti chiave di una progressione aritmetica, ma li ha anche usati con successo nel mondo degli affari! Se non capisci, continua a leggere.
Ora traduciamo i punti chiave delle sensazioni in matematica.)
Primo punto chiave.
La progressione aritmetica si occupa di serie di numeri. All'inizio questo crea confusione. Siamo abituati a risolvere equazioni, costruire grafici e tutto il resto ... E poi estendere la serie, trovare il numero della serie ...
Va bene. È solo che le progressioni sono la prima conoscenza di un nuovo ramo della matematica. La sezione si chiama "Serie" e lavora con serie di numeri ed espressioni. Abituati.)
Secondo punto chiave.
In una progressione aritmetica, qualsiasi numero differisce dal precedente dalla stessa quantità.
Nel primo esempio, questa differenza è uno. Qualunque sia il numero che prendi, è uno in più del precedente. Nel secondo - tre. Qualsiasi numero è tre volte maggiore del precedente. In realtà, è questo momento che ci dà l'opportunità di cogliere lo schema e calcolare i numeri successivi.
Terzo punto chiave.
Questo momento non è sorprendente, sì ... Ma molto, molto importante. Eccolo: ogni numero di progressione è al suo posto. C'è il primo numero, c'è il settimo, c'è il quarantacinquesimo e così via. Se li confondi a casaccio, lo schema scomparirà. Anche la progressione aritmetica scomparirà. È solo una serie di numeri.
Questo è il punto.
Naturalmente, nel nuovo argomento compaiono nuovi termini e notazioni. Hanno bisogno di sapere. Altrimenti, non capirai il compito. Ad esempio, devi decidere qualcosa del tipo:
Annota i primi sei termini della progressione aritmetica (a n) se a 2 = 5, d = -2.5.
Ispira?) Lettere, alcuni indici... E il compito, tra l'altro, non potrebbe essere più semplice. Hai solo bisogno di capire il significato dei termini e della notazione. Ora padroneggeremo questa materia e torneremo al compito.
Termini e designazioni.
Progressione aritmeticaè una serie di numeri in cui ogni numero è diverso dal precedente dalla stessa quantità.
Questo valore è chiamato . Affrontiamo questo concetto in modo più dettagliato.
Differenza di progressione aritmetica.
Differenza di progressione aritmeticaè l'importo di cui qualsiasi numero di progressione Di più il precedente.
Uno punto importante. Si prega di prestare attenzione alla parola "Di più". Matematicamente, ciò significa che si ottiene ogni numero di progressione aggiungendo la differenza di una progressione aritmetica rispetto al numero precedente.
Per calcolare, diciamo secondo numeri della riga, è necessario Primo numero aggiungere proprio questa differenza di una progressione aritmetica. Per calcolo quinto- la differenza è necessaria aggiungere A il quarto bene, ecc.
Differenza di progressione aritmetica Forse positivo quindi ogni numero della serie risulterà reale più del precedente. Questa progressione è chiamata crescente. Per esempio:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Qui ogni numero è aggiungendo numero positivo, +5 al precedente.
La differenza può essere negativo quindi ogni numero della serie sarà meno del precedente. Questa progressione si chiama (non ci crederete!) decrescente.
Per esempio:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Anche qui si ottiene ogni numero aggiungendo al numero precedente, ma già negativo, -5.
A proposito, quando si lavora con una progressione, è molto utile determinarne immediatamente la natura, se è in aumento o in diminuzione. Aiuta molto orientarsi nella decisione, rilevare i propri errori e correggerli prima che sia troppo tardi.
Differenza di progressione aritmetica solitamente indicato con la lettera D.
Come trovare D? Molto semplice. È necessario sottrarre da qualsiasi numero della serie precedente numero. Sottrarre. A proposito, il risultato della sottrazione si chiama "differenza".)
Definiamo, ad esempio, D per una progressione aritmetica crescente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Prendiamo qualsiasi numero della riga che vogliamo, ad esempio 11. Sottrai da esso il numero precedente quelli. 8:
Questa è la risposta corretta. Per questa progressione aritmetica, la differenza è tre.
Puoi solo prendere qualsiasi numero di progressioni, Perché per una determinata progressione D-sempre la stessa. Almeno da qualche parte all'inizio della fila, almeno nel mezzo, almeno ovunque. Non puoi prendere solo il primo numero. Solo perché il primo numero nessun precedente.)
A proposito, sapendolo g=3, trovare il settimo numero di questa progressione è molto semplice. Aggiungiamo 3 al quinto numero - otteniamo il sesto, sarà 17. Aggiungiamo tre al sesto numero, otteniamo il settimo numero - venti.
Definiamo D per una progressione aritmetica decrescente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ti ricordo che, indipendentemente dai segni, da determinare D necessario da qualsiasi numero togliere il precedente. Scegliamo qualsiasi numero di progressione, ad esempio -7. Il suo numero precedente è -2. Poi:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
La differenza di una progressione aritmetica può essere qualsiasi numero: intero, frazionario, irrazionale, qualsiasi.
Altri termini e designazioni.
Viene chiamato ogni numero della serie membro di una progressione aritmetica.
Ogni membro della progressione ha il suo numero I numeri sono rigorosamente in ordine, senza trucchi. Primo, secondo, terzo, quarto, ecc. Ad esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, 14, ... due è il primo membro, cinque è il secondo, undici è il quarto, beh, capisci ...) Per favore capisci chiaramente - i numeri stessi può essere assolutamente qualsiasi, intero, frazionario, negativo, qualunque cosa, ma numerazione- rigorosamente in ordine!
Come registrare una progressione in vista generale? Nessun problema! Ogni numero della serie è scritto come una lettera. Per denotare una progressione aritmetica, di regola, si usa la lettera UN. Il numero di socio è indicato dall'indice in basso a destra. I membri sono scritti separati da virgole (o punto e virgola), in questo modo:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....
un 1è il primo numero un 3- terzo, ecc. Niente di complicato. Puoi scrivere brevemente questa serie in questo modo: (UN).
Ci sono progressioni finito e infinito.
Ultimo la progressione ha quantità limitata membri. Cinque, trentotto, qualunque cosa. Ma è un numero finito.
Infinito progressione - ha un numero infinito di membri, come puoi immaginare.)
Puoi scrivere una progressione finale attraverso una serie come questa, tutti i membri e un punto alla fine:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 .
O così, se ci sono molti membri:
un 1 , un 2 , ... un 14 , un 15 .
In una voce breve, dovrai inoltre indicare il numero dei membri. Ad esempio (per venti membri), in questo modo:
(a n), n = 20
Una progressione infinita può essere riconosciuta dai puntini di sospensione alla fine della riga, come negli esempi di questa lezione.
Ora puoi già risolvere i compiti. I compiti sono semplici, puramente per comprendere il significato della progressione aritmetica.
Esempi di compiti per la progressione aritmetica.
Diamo un'occhiata più da vicino al compito sopra:
1. Annota i primi sei membri della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2.5.
Trasferiamo l'attività a linguaggio comprensibile. Data una progressione aritmetica infinita. Il secondo numero di questa progressione è noto: un 2 = 5. Differenza di progressione nota: d = -2,5. Dobbiamo trovare il primo, terzo, quarto, quinto e sesto membro di questa progressione.
Per chiarezza, scriverò una serie in base alle condizioni del problema. I primi sei membri, dove il secondo membro è cinque:
un 1 , 5 , un 3 , un 4 , un 5 , un 6 ,....
un 3 = un 2 + D
Sostituiamo nell'espressione un 2 = 5 E d=-2,5. Non dimenticare il meno!
un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Il terzo termine è minore del secondo. Tutto è logico. Se il numero è maggiore del precedente negativo valore, quindi il numero stesso sarà inferiore al precedente. La progressione sta diminuendo. Ok, prendiamolo in considerazione.) Consideriamo il quarto membro della nostra serie:
un 4 = un 3 + D
un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = un 4 + D
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
un 6 = un 5 + D
un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Quindi, i termini dal terzo al sesto sono stati calcolati. Ciò ha portato a una serie:
un 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Resta da trovare il primo termine un 1 secondo il noto secondo. Questo è un passo nella direzione opposta, a sinistra.) Da qui la differenza della progressione aritmetica D non dovrebbe essere aggiunto a un 2, UN porta via:
un 1 = un 2 - D
un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Questo è tutto quello che c'è da fare. Risposta compito:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Di passaggio, noto che abbiamo risolto questo compito ricorrente modo. Questa terribile parola significa, solo, la ricerca di un membro della progressione dal numero precedente (adiacente). Altri modi per lavorare con la progressione saranno discussi in seguito.
Da questo semplice compito si può trarre una conclusione importante.
Ricordare:
Se conosciamo almeno un membro e la differenza di una progressione aritmetica, possiamo trovare qualsiasi membro di questa progressione.
Ricordare? Questa semplice conclusione ci consente di risolvere la maggior parte dei problemi del corso scolastico su questo argomento. Tutte le attività ruotano attorno a tre parametri principali: membro di una progressione aritmetica, differenza di una progressione, numero di un membro di una progressione. Tutto.
Naturalmente, tutta l'algebra precedente non viene cancellata.) Disuguaglianze, equazioni e altre cose sono allegate alla progressione. Ma secondo la progressione- tutto ruota attorno a tre parametri.
Ad esempio, considera alcune attività popolari su questo argomento.
2. Scrivi la progressione aritmetica finale come una serie se n=5, d=0.4 e a 1=3.6.
Tutto è semplice qui. Tutto è già dato. Devi ricordare come vengono calcolati, contati e annotati i membri di una progressione aritmetica. Si consiglia di non saltare le parole nella condizione dell'attività: "finale" e " n=5". Per non contare finché non sei completamente blu in faccia.) Ci sono solo 5 (cinque) membri in questa progressione:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Resta da scrivere la risposta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Un altro compito:
3. Determinare se il numero 7 sarà un membro di una progressione aritmetica (a n) se a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Chi lo sa? Come definire qualcosa?
Come-come ... Sì, scrivi la progressione sotto forma di una serie e vedi se ci sarà un sette o no! Noi crediamo:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ora si vede chiaramente che siamo solo sette scivolato tra 6,5 e 7,7! Il sette non è entrato nella nostra serie di numeri e, quindi, il sette non sarà un membro della progressione data.
Risposta: no.
Ed ecco un problema basato su versione reale GIA:
4. Vengono scritti diversi membri consecutivi della progressione aritmetica:
...; 15; X; 9; 6; ...
Ecco una serie senza fine e senza inizio. Nessun numero di membro, nessuna differenza D. Va bene. Per risolvere il problema è sufficiente comprendere il significato di una progressione aritmetica. Vediamo e vediamo cosa possiamo sapere da questa linea? Quali sono i parametri dei tre principali?
I numeri dei membri? Non c'è un solo numero qui.
Ma ci sono tre numeri e - attenzione! - parola "consecutivo" in condizione. Ciò significa che i numeri sono rigorosamente in ordine, senza spazi vuoti. Ce ne sono due in questa fila? limitrofi numeri noti? Sì! Questi sono 9 e 6. Quindi possiamo calcolare la differenza di una progressione aritmetica! Sottraiamo dai sei precedente numero, cioè nove:
Sono rimasti spazi vuoti. Quale numero sarà il precedente per x? Quindici. Quindi x può essere facilmente trovato per semplice addizione. A 15 aggiungi la differenza di una progressione aritmetica:
È tutto. Risposta: x=12
Risolviamo noi stessi i seguenti problemi. Nota: questi puzzle non sono per le formule. Puramente per comprendere il significato di una progressione aritmetica.) Scriviamo semplicemente una serie di numeri-lettere, guardiamo e pensiamo.
5. Trova il primo termine positivo della progressione aritmetica se a 5 = -3; d = 1,1.
6. È noto che il numero 5.5 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 = 1.6; d = 1,3. Determina il numero n di questo membro.
7. È noto che in una progressione aritmetica a 2 = 4; un 5 \u003d 15.1. Trova un 3.
8. Vengono scritti diversi membri consecutivi della progressione aritmetica:
...; 15,6; X; 3.4; ...
Trova il termine della progressione, indicato dalla lettera x.
9. Il treno ha iniziato a muoversi dalla stazione, aumentando gradualmente la sua velocità di 30 metri al minuto. Quale sarà la velocità del treno tra cinque minuti? Dai la tua risposta in km/h.
10. È noto che in una progressione aritmetica a 2 = 5; un 6 = -5. Trova un 1.
Risposte (in disordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Tutto ha funzionato? Sorprendente! Puoi imparare la progressione aritmetica a un livello superiore nelle seguenti lezioni.
Non ha funzionato tutto? Nessun problema. Nella Sezione Speciale 555, tutti questi enigmi sono suddivisi pezzo per pezzo.) E, naturalmente, viene descritta una semplice tecnica pratica che evidenzia immediatamente la soluzione di tali compiti in modo chiaro, chiaro, come nel palmo della tua mano!
A proposito, nel puzzle del treno ci sono due problemi in cui le persone spesso inciampano. Uno - puramente per progressione, e il secondo - comune a qualsiasi compito di matematica e anche di fisica. Questa è una traduzione di dimensioni dall'una all'altra. Mostra come questi problemi dovrebbero essere risolti.
In questa lezione abbiamo esaminato il significato elementare di una progressione aritmetica ei suoi parametri principali. Questo è sufficiente per risolvere quasi tutti i problemi su questo argomento. Aggiungere D ai numeri, scrivi una serie, tutto sarà deciso.
La soluzione con le dita funziona bene per brani molto brevi della serie, come negli esempi di questa lezione. Se la serie è più lunga, i calcoli diventano più complicati. Ad esempio, se nel problema 9 nella domanda, sostituisci "cinque minuti" SU "trentacinque minuti" il problema diventerà molto peggiore.)
E ci sono anche compiti semplici nell'essenza, ma assolutamente assurdi in termini di calcoli, ad esempio:
Data una progressione aritmetica (a n). Trova un 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
E cosa, aggiungeremo 1/6 molte, molte volte?! È possibile uccidersi!?
Puoi.) Se non conosci una semplice formula con cui puoi risolvere tali compiti in un minuto. Questa formula sarà nella prossima lezione. E quel problema è risolto lì. In un minuto.)
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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)
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Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :) Bene, amici, se state leggendo questo testo, allora l'evidenza del cappuccio interno mi dice che ancora non sapete cosa sia una progressione aritmetica, ma davvero (no, così: SOOOOO!) volete saperlo. Pertanto, non ti tormenterò con lunghe presentazioni e mi metterò subito al lavoro.
Per iniziare, un paio di esempi. Considera diverse serie di numeri:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà c'è qualcosa. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente per lo stesso numero.
Giudica tu stesso. Il primo set è solo numeri consecutivi, ognuno più del precedente. Nel secondo caso, la differenza tra numeri adiacenti è già uguale a cinque, ma questa differenza è ancora costante. Nel terzo caso, ci sono radici in generale. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mentre $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, cioè nel qual caso ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non aver paura che questo numero sia irrazionale).
Quindi: tutte queste sequenze sono semplicemente chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigorosa:
Definizione. Una sequenza di numeri in cui ogni successivo differisce dal precedente esattamente della stessa quantità è chiamata progressione aritmetica. La stessa quantità di differenza tra i numeri è chiamata differenza di progressione ed è spesso indicata dalla lettera $d$.
Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.
E solo un paio note importanti. Innanzitutto, viene considerata solo la progressione ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti - e nient'altro. Non puoi riorganizzare o scambiare i numeri.
In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa come (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro, per così dire, suggeriscono che molti numeri vanno oltre. Infiniti, per esempio. :)
Vorrei anche notare che le progressioni stanno aumentando e diminuendo. Ne abbiamo già visti di crescenti: lo stesso set (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Va bene, va bene: l'ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, penso, tu capisci. Pertanto, introduciamo nuove definizioni:
Definizione. Una progressione aritmetica si chiama:
- crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;
- decrescente, se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.
Inoltre, esistono le cosiddette sequenze "stazionarie": sono costituite dallo stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).
Resta solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente qui tutto dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:
- Se $d \gt 0$, allora la progressione è crescente;
- Se $d \lt 0$, allora la progressione è ovviamente decrescente;
- Infine, c'è il caso $d=0$ — in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.
Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti di cui sopra. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio, il primo e il secondo) e sottrarre dal numero a destra il numero a sinistra. Sembrerà così:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
Come puoi vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata davvero negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.
Membri della progressione e della formula ricorrente
Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:
\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto\)\]
I singoli elementi di questo insieme sono chiamati membri della progressione. Sono indicati in questo modo con l'aiuto di un numero: il primo membro, il secondo membro e così via.
Inoltre, come già sappiamo, i membri vicini della progressione sono correlati dalla formula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
In breve, per trovare il $n$esimo termine della progressione, devi conoscere il $n-1$esimo termine e la differenza $d$. Tale formula si chiama ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero, conoscendo solo il precedente (e di fatto tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più complicata che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]
Probabilmente ti sei già imbattuto in questa formula. A loro piace darlo in tutti i tipi di libri di riferimento e reshebnik. E in qualsiasi libro di testo ragionevole sulla matematica, è uno dei primi.
Ti consiglio comunque di esercitarti un po'.
Compito numero 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.
Soluzione. Quindi, conosciamo il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza di progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\sinistra(1-1 \destra)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sinistra(2-1 \destra)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Risposta: (8; 3; -2)
È tutto! Nota che la nostra progressione sta diminuendo.
Ovviamente, $n=1$ non avrebbe potuto essere sostituito: conosciamo già il primo termine. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo assicurati che anche per il primo termine la nostra formula funzioni. In altri casi, tutto si riduceva a banale aritmetica.
Compito numero 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è −40 e il suo diciassettesimo termine è −50.
Soluzione. Scriviamo la condizione del problema nei soliti termini:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]
Metto il segno del sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. E ora notiamo che se sottraiamo la prima equazione dalla seconda equazione (abbiamo il diritto di farlo, perché abbiamo un sistema), otteniamo questo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Proprio così, abbiamo trovato la differenza di progressione! Resta da sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]
Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Pronto! Problema risolto.
Risposta: (-34; -35; -36)
Notare una curiosa proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Semplice ma molto proprietà utile, che devi assolutamente conoscere: con il suo aiuto puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi nelle progressioni. Ecco un primo esempio di questo:
Compito numero 3. Il quinto termine della progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.
Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Ma per la condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui abbiamo:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]
Risposta: 20.4
È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di comporre alcun sistema di equazioni e calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato deciso in un paio di righe.
Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca di membri negativi e positivi della progressione. Non è un segreto che se la progressione aumenta, mentre il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.
Allo stesso tempo, è tutt'altro che sempre possibile trovare questo momento "sulla fronte", ordinando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono progettati in modo tale che senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli: ci addormenteremmo semplicemente finché non troveremmo la risposta. Pertanto, proveremo a risolvere questi problemi in modo più rapido.
Compito numero 4. Quanti termini negativi in una progressione aritmetica -38,5; -35,8; …?
Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, da cui troviamo subito la differenza:
Si noti che la differenza è positiva, quindi la progressione è in aumento. Il primo termine è negativo, quindi a un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L'unica domanda è quando ciò accadrà.
Proviamo a scoprire: per quanto tempo (cioè fino a quale numero naturale $n$) si conserva la negatività dei termini:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \giusto. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
L'ultima riga necessita di chiarimenti. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, solo i valori interi del numero ci andranno bene (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero massimo consentito è precisamente $n=15$, e in nessun caso 16.
Compito numero 5. In progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.
Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:
Inoltre, proviamo a esprimere il quinto termine in termini del primo e della differenza utilizzando la formula standard:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Ora procediamo per analogia con il problema precedente. Scopriamo in quale punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
La soluzione minima intera di questa disuguaglianza è il numero 56.
Si noti che nell'ultima attività tutto è stato ridotto a una stretta disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non ci andrà bene.
Ora che abbiamo imparato a risolvere problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima, impariamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare un sacco di tempo e celle disuguali in futuro. :)
Media aritmetica e rientri uguali
Consideriamo diversi termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a segnarli su una linea numerica:
Membri della progressione aritmetica sulla linea dei numeriHo annotato specificamente i membri arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e non qualsiasi $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ecc. Perché la regola, che ora ti dirò, funziona allo stesso modo per qualsiasi "segmento".
E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorsiva e scriviamola per tutti i membri contrassegnati:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Bene, e allora? Ma il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ si trovino alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - anch'essi vengono rimossi da $((a)_(n) )$ della stessa distanza pari a $2d$. Puoi continuare all'infinito, ma l'immagine illustra bene il significato
I membri della progressione giacciono alla stessa distanza dal centro Cosa significa questo per noi? Ciò significa che puoi trovare $((a)_(n))$ se i numeri vicini sono noti:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Abbiamo dedotto una magnifica affermazione: ogni membro di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei membri vicini! Inoltre, possiamo deviare dal nostro $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi — e comunque la formula sarà corretta:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Quelli. possiamo facilmente trovare alcuni $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista, può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti compiti sono appositamente "affilati" per l'uso della media aritmetica. Guarda:
Compito numero 6. Trova tutti i valori di $x$ tali che i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ siano membri consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine specificato).
Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi è soddisfatta la condizione della media aritmetica: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Si è rivelato classico equazione quadrata. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.
Risposta: -3; 2.
Compito numero 7. Trova i valori di $$ tali che i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formino una progressione aritmetica (in quest'ordine).
Soluzione. Ancora una volta, esprimiamo il termine medio in termini di media aritmetica dei termini vicini:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Un'altra equazione quadratica. E ancora due radici: $x=6$ e $x=1$.
Risposta 1; 6.
Se nel processo di risoluzione di un problema ottieni dei numeri brutali, o non sei completamente sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora c'è un meraviglioso trucco che ti permette di verificare: abbiamo risolto correttamente il problema?
Diciamo che nel problema 6 abbiamo ottenuto le risposte -3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Inseriamoli nella condizione originale e vediamo cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che dovrebbero formare una progressione aritmetica. Sostituisci $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Abbiamo i numeri -54; -2; 50 che differiscono per 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Di nuovo una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi, il problema è risolto correttamente. Chi lo desidera può controllare da solo il secondo compito, ma dirò subito: anche lì è tutto corretto.
In generale, risolvendo gli ultimi compiti, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante, che va ricordato anche:
Se tre numeri sono tali che il secondo è la media del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.
In futuro, la comprensione di questa affermazione ci consentirà di "costruire" letteralmente le progressioni necessarie in base alla condizione del problema. Ma prima di impegnarci in una simile "costruzione", dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che segue direttamente da quanto già considerato.
Raggruppamento e somma di elementi
Torniamo di nuovo alla linea dei numeri. Notiamo lì diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:
6 elementi contrassegnati sulla linea dei numeriProviamo ad esprimere la "coda sinistra" in termini di $((a)_(n))$ e $d$, e la "coda destra" in termini di $((a)_(k))$ e $ d$. È molto semplice:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Ora nota che le seguenti somme sono uguali:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
In poche parole, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a muoverci da questi elementi in direzioni opposte (l'uno verso l'altro o viceversa per allontanarci), Poi uguali saranno anche le somme degli elementi su cui ci imbatteremo$S$. Questo può essere meglio rappresentato graficamente:
Gli stessi trattini danno somme uguali Comprendere questo fatto ci consentirà di risolvere i problemi fondamentalmente di più alto livello complessità rispetto a quelle discusse sopra. Ad esempio, questi:
Compito numero 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.
Soluzione. Scriviamo tutto ciò che sappiamo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Quindi, non conosciamo la differenza della progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Per quelli nel serbatoio: ho tolto il fattore comune 11 dalla seconda parentesi. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con rami verso l'alto, perché se apriamo le parentesi otteniamo:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Come puoi vedere, il coefficiente al termine più alto è 11 - questo è numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:
programma funzione quadratica- parabola
Nota: questa parabola assume il suo valore minimo nel suo vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente, possiamo calcolare questa ascissa secondo lo schema standard (c'è una formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole si noti che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
Ecco perché non avevo fretta di aprire le parentesi: nella forma originale le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media numeri aritmetici-66 e -6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto prende valore più piccolo(A proposito, non abbiamo calcolato $((y)_(\min ))$ - non siamo tenuti a farlo). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione iniziale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)
Risposta: -36
Compito numero 9. Inserisci tre numeri tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ in modo che insieme ai numeri dati formino una progressione aritmetica.
Soluzione. Bisogna infatti fare una sequenza di cinque numeri, con il primo e l'ultimo numero già noti. Indica i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Nota che il numero $y$ è il "centro" della nostra sequenza - è equidistante dai numeri $x$ e $z$, e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dai numeri $x$ e $z$ siamo dentro questo momento non possiamo ottenere $y$, allora la situazione è diversa con le estremità della progressione. Ricorda la media aritmetica:
Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ appena trovato. Ecco perché
Argomentando in modo simile, troviamo il numero rimanente:
Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui devono essere inseriti tra i numeri originali.
Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Compito numero 10. Tra i numeri 2 e 42 inserire più numeri che, insieme ai numeri dati, formino una progressione aritmetica, se si sa che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.
Soluzione. Un compito ancora più difficile, che però si risolve allo stesso modo dei precedenti, attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri inserire. Pertanto, per chiarezza, assumiamo che dopo l'inserimento ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi è 2 e l'ultimo è 42. In questo caso, la progressione aritmetica desiderata può essere rappresentata come:
\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Si noti, tuttavia, che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ sono ottenuti dai numeri 2 e 42 che stanno ai bordi di un passo l'uno verso l'altro , cioè . al centro della sequenza. E questo significa che
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ma allora l'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sinistra(3-1 \destra)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \end(align)\]
Resta solo da trovare i membri rimanenti:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Pertanto, già al nono passaggio arriveremo all'estremità sinistra della sequenza: il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Compiti di testo con progressioni
In conclusione, vorrei considerare un paio di compiti semplici. Ebbene, come quelli semplici: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi compiti possono sembrare un gesto. Tuttavia, sono proprio questi compiti che si incontrano nell'OGE e nell'USE in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.
Compito numero 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo ha prodotto 14 parti in più rispetto al precedente. Quante parti ha prodotto la brigata a novembre?
Soluzione. Ovviamente il numero delle parti, dipinte per mese, sarà una progressione aritmetica crescente. E:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.
Compito numero 12. Il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri a gennaio e ogni mese ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop a dicembre?
Soluzione. Tutti uguali:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dicembre è l'ultimo, 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Questa è la risposta: 260 libri saranno rilegati a dicembre.
Ebbene, se sei arrivato a leggere fin qui, mi affretto a congratularmi con te: hai completato con successo il “corso per giovani combattenti” in progressioni aritmetiche. Possiamo tranquillamente passare alla lezione successiva, dove studieremo la formula della somma della progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili che ne derivano.
Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(8\); \(undici\); \(14\)… è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce dal precedente di tre (si ottiene dal precedente sommando tre):
In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (uguale a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate crescente.
Tuttavia, \(d\) può anche essere un numero negativo. Per esempio, in progressione aritmetica \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… la differenza di progressione \(d\) è pari a meno sei.
E in questo caso, ogni elemento successivo sarà inferiore al precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.
Notazione della progressione aritmetica
La progressione è indicata da una minuscola lettera latina.
I numeri che formano una progressione si chiamano it membri(o elementi).
Sono indicati con la stessa lettera della progressione aritmetica, ma con un indice numerico uguale al numero dell'elemento in ordine.
Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \sinistra\( 2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.
In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)
Risoluzione di problemi su una progressione aritmetica
In linea di principio, le informazioni di cui sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi su una progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è data dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Soluzione:
Risposta: \(b_5=23\)
Esempio (OGE).
I primi tre termini di una progressione aritmetica sono dati: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Soluzione:
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Ci vengono dati i primi elementi della sequenza e sappiamo che si tratta di una progressione aritmetica. Cioè, ogni elemento differisce da quello vicino per lo stesso numero. Scopri quale sottraendo il precedente dall'elemento successivo: \(d=49-62=-13\). |
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Ora possiamo ripristinare la nostra progressione all'elemento desiderato (primo negativo). |
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Pronto. Puoi scrivere una risposta. |
Risposta: \(-3\)
Esempio (OGE).
Sono dati diversi elementi successivi di una progressione aritmetica: \(...5; x; 10; 12.5...\) Trova il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Soluzione:
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Per trovare \(x\), dobbiamo sapere quanto l'elemento successivo differisce dal precedente, in altre parole, la differenza di progressione. Troviamolo da due elementi vicini noti: \(d=12.5-10=2.5\). |
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E ora troviamo ciò che stiamo cercando senza problemi: \(x=5+2.5=7.5\). |
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Pronto. Puoi scrivere una risposta. |
Risposta: \(7,5\).
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è data dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Soluzione:
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Dobbiamo trovare la somma dei primi sei termini della progressione. Ma non ne conosciamo i significati, ci viene dato solo il primo elemento. Pertanto, prima calcoliamo i valori a turno, utilizzando il dato a noi: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
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\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
L'importo richiesto è stato trovato. |
Risposta: \(S_6=9\).
Esempio (OGE).
In progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Soluzione:
Risposta: \(d=7\).
Importanti formule di progressione aritmetica
Come puoi vedere, molti problemi di progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri e ogni elemento successivo in questa catena si ottiene aggiungendo lo stesso numero a quello precedente (la differenza della progressione).
Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui è molto scomodo risolvere "sulla fronte". Ad esempio, immagina che nel primissimo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Cos'è, noi \ (385 \) volte per aggiungere quattro? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Contare è confuso...
Pertanto, in tali casi, non decidono "sulla fronte", ma usano formule speciali, derivato per una progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'ennesimo termine della progressione e la formula per la somma \(n\) dei primi termini.
Formula per il \(n\)esimo membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo membro della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) è un membro della progressione con il numero \(n\).
Questa formula ci permette di trovare rapidamente almeno il trecentesimo, anche il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza di progressione.
Esempio.
La progressione aritmetica è data dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Trova \(b_(246)\).
Soluzione:
Risposta: \(b_(246)=1850\).
La formula per la somma dei primi n termini è: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove
\(a_n\) è l'ultimo termine sommato;
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è data dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Soluzione:
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Per calcolare la somma dei primi venticinque elementi, dobbiamo conoscere il valore del primo e del venticinquesimo termine. |
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\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Ora troviamo il venticinquesimo termine sostituendo venticinque invece di \(n\). |
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\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Bene, ora calcoliamo l'importo richiesto senza problemi. |
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
La risposta è pronta. |
Risposta: \(S_(25)=1090\).
Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituiscilo con la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Noi abbiamo:
La formula per la somma dei primi n termini è: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove
\(S_n\) – la somma richiesta \(n\) dei primi elementi;
\(a_1\) è il primo termine da sommare;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) - il numero di elementi nella somma.
Esempio.
Trova la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluzione:
Risposta: \(S_(33)=-231\).
Problemi di progressione aritmetica più complessi
Ora hai tutte le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Concludiamo l'argomento considerando problemi in cui è necessario non solo applicare formule, ma anche pensare un po '(in matematica, questo può essere utile ☺)
Esempio (OGE).
Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluzione:
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\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Il compito è molto simile al precedente. Iniziamo a risolvere allo stesso modo: prima troviamo \(d\). |
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\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ora per sostituire \ (d \) nella formula per la somma ... e qui si apre piccola sfumatura– non sappiamo \(n\). In altre parole, non sappiamo quanti termini dovranno essere aggiunti. Come scoprirlo? Pensiamo. Smetteremo di aggiungere elementi quando arriviamo al primo elemento positivo. Cioè, devi scoprire il numero di questo elemento. Come? Scriviamo la formula per calcolare qualsiasi elemento di una progressione aritmetica: \(a_n=a_1+(n-1)d\) per il nostro caso. |
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\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
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\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Abbiamo bisogno che \(a_n\) sia maggiore di zero. Scopriamo per cosa \(n\) questo accadrà. |
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\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
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\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per \(0,3\). |
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\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Trasferiamo meno uno, senza dimenticare di cambiare segno |
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\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Informatica... |
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\(n>65.333…\) |
…e si scopre che il primo elemento positivo avrà il numero \(66\). Di conseguenza, l'ultimo negativo ha \(n=65\). Per ogni evenienza, diamo un'occhiata. |
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\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Pertanto, dobbiamo aggiungere i primi elementi \(65\). |
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\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
La risposta è pronta. |
Risposta: \(S_(65)=-630,5\).
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è data dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma da \(26\)esimo a \(42\) elemento compreso.
Soluzione:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
In questo problema, devi anche trovare la somma degli elementi, ma partendo non dal primo, ma dal \(26\)esimo. Non abbiamo una formula per questo. Come decidere? |
|
|
Per la nostra progressione \(a_1=-33\), e la differenza \(d=4\) (dopotutto, aggiungiamo quattro all'elemento precedente per trovare quello successivo). Sapendo questo, troviamo la somma dei primi elementi \(42\)-uh. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ora la somma dei primi \(25\)-esimi elementi. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
E infine, calcoliamo la risposta. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Risposta: \(S=1683\).
Per una progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.
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Progressione aritmetica
Una progressione aritmetica è un tipo speciale di sequenza. Pertanto, prima di definire la progressione aritmetica (e quindi geometrica), è necessario discutere brevemente concetto importante sequenza numerica.
Sotto sequenza
Immagina un dispositivo sullo schermo del quale vengono visualizzati alcuni numeri uno dopo l'altro. Diciamo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Un tale insieme di numeri è solo un esempio di una sequenza.
Definizione. Una sequenza numerica è un insieme di numeri in cui a ciascun numero può essere assegnato un numero univoco (cioè messo in corrispondenza di un unico numero naturale)1. Viene chiamato il numero con il numero n ennesimo membro sequenze.
Quindi, nell'esempio precedente, il primo numero ha il numero 2, che è il primo membro della sequenza, che può essere indicato con a1 ; il numero cinque ha il numero 6 che è il quinto membro della sequenza, che può essere denotato a5 . In generale, l'ennesimo membro di una sequenza è denotato da an (o bn , cn , ecc.).
Una situazione molto conveniente è quando l'ennesimo membro della sequenza può essere specificato da qualche formula. Ad esempio, la formula an = 2n 3 specifica la sequenza: 1; 1; 3; 5; 7; : : : La formula an = (1)n definisce la sequenza: 1; 1; 1; 1; : : :
Non tutte le serie di numeri sono una sequenza. Quindi, un segmento non è una sequenza; contiene ¾troppi¿ numeri da rinumerare. Anche l'insieme R di tutti i numeri reali non è una sequenza. Questi fatti sono dimostrati nel corso dell'analisi matematica.
Progressione aritmetica: definizioni di base
Ora siamo pronti per definire una progressione aritmetica.
Definizione. Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni termine (a partire dal secondo) è uguale alla somma del termine precedente e di un numero fisso (chiamato differenza della progressione aritmetica).
Ad esempio, sequenza 2; 5; 8; undici; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 2 e differenza 3. Sequenza 7; 2; 3; 8; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 7 e differenza 5. Sequenza 3; 3; 3; : : : è una progressione aritmetica con differenza zero.
Definizione equivalente: una successione an è detta progressione aritmetica se la differenza an+1 an è un valore costante (non dipendente da n).
Una progressione aritmetica si dice crescente se la sua differenza è positiva e decrescente se la sua differenza è negativa.
1 Ed ecco una definizione più concisa: una successione è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali. Ad esempio, la sequenza di numeri reali è la funzione f: N! R.
Per impostazione predefinita, le sequenze sono considerate infinite, cioè contenenti un numero infinito di numeri. Ma nessuno si prende la briga di considerare anche le successioni finite; infatti, qualsiasi insieme finito di numeri può essere chiamato sequenza finita. Ad esempio, la sequenza finale 1; 2; 3; 4; 5 è composto da cinque numeri.
Formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica
È facile capire che una progressione aritmetica è completamente determinata da due numeri: il primo termine e la differenza. Sorge quindi la domanda: come, conoscendo il primo termine e la differenza, trovare un termine arbitrario di una progressione aritmetica?
Non è difficile ottenere la formula desiderata per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Lascia un
progressione aritmetica con differenza d. Abbiamo: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
In particolare scriviamo: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
e ora diventa chiaro che la formula per an è: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Compito 1. In progressione aritmetica 2; 5; 8; undici; : : : trova la formula dell'ennesimo termine e calcola il centesimo termine.
Soluzione. Secondo la formula (1) si ha:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Proprietà e segno della progressione aritmetica
proprietà di una progressione aritmetica. Nella progressione aritmetica an for any
In altre parole, ogni membro della progressione aritmetica (a partire dal secondo) è la media aritmetica dei membri vicini.
Prova. Abbiamo: | ||||
un n 1+ un n+1 | (e d) + (an + d) | |||
che è quanto era richiesto.
Più in generale, la progressione aritmetica an soddisfa l'uguaglianza
un n = un n k+ un n+k
per ogni n > 2 e ogni k naturale< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ne risulta che la formula (2) non è solo una condizione necessaria ma anche sufficiente affinché una sequenza sia una progressione aritmetica.
Segno di una progressione aritmetica. Se l'uguaglianza (2) vale per ogni n > 2, allora la successione an è una progressione aritmetica.
Prova. Riscriviamo la formula (2) come segue:
a na n 1= a n+1a n:
Questo dimostra che la differenza an+1 an non dipende da n, e questo significa semplicemente che la sequenza an è una progressione aritmetica.
La proprietà e il segno di una progressione aritmetica possono essere formulati come un'unica affermazione; per comodità lo faremo per tre numeri (questa è la situazione che spesso si verifica nei problemi).
Caratterizzazione di una progressione aritmetica. Tre numeri a, b, c formano una progressione aritmetica se e solo se 2b = a + c.
Problema 2. (Università Statale di Mosca, Facoltà di Economia, 2007) Tre numeri 8x, 3x2 e 4 nell'ordine specificato formano una progressione aritmetica decrescente. Trova x e scrivi la differenza di questa progressione.
Soluzione. Per la proprietà di una progressione aritmetica, abbiamo:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Se x = 1 si ottiene una progressione decrescente di 8, 2, 4 con una differenza di 6. Se x = 5 si ottiene una progressione crescente di 40, 22, 4; questo caso non funziona.
Risposta: x = 1, la differenza è 6.
La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
La leggenda dice che una volta l'insegnante disse ai bambini di trovare la somma dei numeri da 1 a 100 e si sedette a leggere il giornale in silenzio. Tuttavia, nel giro di pochi minuti, un ragazzo ha detto di aver risolto il problema. Era Carl Friedrich Gauss, 9 anni, in seguito uno dei più grandi matematici della storia.
L'idea del piccolo Gauss era questa. Permettere
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Scriviamo questa somma in ordine inverso:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
e aggiungi queste due formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Ogni termine tra parentesi è uguale a 101, e ci sono 100 termini in totale, quindi
2S = 101 100 = 10100;
Usiamo questa idea per derivare la formula della somma
S = a1 + a2 + : : : + an + an n n: (3)
Un'utile modifica della formula (3) si ottiene sostituendo in essa la formula dell'ennesimo termine an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n1)d | |||||
Attività 3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a tre cifre divisibili per 13.
Soluzione. I numeri a tre cifre multipli di 13 formano una progressione aritmetica con il primo termine 104 e la differenza 13; L'ennesimo termine di questa progressione è:
an = 104 + 13(n1) = 91 + 13n:
Scopriamo quanti membri contiene la nostra progressione. Per fare ciò, risolviamo la disequazione:
un 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n669:
Quindi ci sono 69 membri nella nostra progressione. Secondo la formula (4) troviamo l'importo richiesto:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Se ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che dato sequenza numerica :
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .
Quindi, una sequenza numerica è una funzione di un argomento naturale.
Numero UN 1 chiamato il primo membro della sequenza , numero UN 2 — il secondo membro della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato n-esimo membro della sequenza , e il numero naturale N — il suo numero .
Da due membri vicini UN E UN +1 sequenze di membri UN +1 chiamato successivo (in direzione UN ), UN UN — precedente (in direzione UN +1 ).
Per specificare una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.
Spesso la sequenza è data con Formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro della sequenza in base al suo numero.
Per esempio,
la sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula
UN= 2N- 1,
e la sequenza di alternanza 1 E -1 - formula
B N = (-1)N +1 . ◄
La sequenza può essere determinata formula ricorrente, ovvero una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, attraverso i membri precedenti (uno o più).
Per esempio,
Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5
UN 1 = 1,
UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette membri della sequenza numerica sono impostati come segue:
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,
UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Le sequenze possono essere finale E infinito .
La sequenza è chiamata definitivo se ha un numero finito di membri. La sequenza è chiamata infinito se ha infiniti membri.
Per esempio,
sequenza di numeri naturali a due cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
finale.
Sequenza di numeri primi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
infinito. ◄
La sequenza è chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.
La sequenza è chiamata calante , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.
Per esempio,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . è una sequenza ascendente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . è una successione discendente. ◄
Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono con l'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .
Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.
Progressione aritmetica
Progressione aritmetica viene chiamata una sequenza, ogni membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, a cui viene aggiunto lo stesso numero.
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .
è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale N condizione è soddisfatta:
UN +1 = UN + D,
Dove D - un certo numero.
Pertanto, la differenza tra il membro successivo e quello precedente di una data progressione aritmetica è sempre costante:
un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.
Numero D chiamato la differenza di una progressione aritmetica.
Per impostare una progressione aritmetica è sufficiente specificarne il primo termine e la differenza.
Per esempio,
Se UN 1 = 3, D = 4 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:
un 1 =3,
un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,
UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e differenza D suo N
UN = un 1 + (N- 1)D.
Per esempio,
trovare il trentesimo termine di una progressione aritmetica
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, D = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (N- 2)D,
UN= un 1 + (N- 1)D,
UN +1 = UN 1 + nd,
poi ovviamente
| UN=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedenti e successivi.
i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.
Per esempio,
UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.
Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:
UN = 2N- 7,
un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Quindi,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = UN,
|
| 2
| 2
|
◄
Notare che N -esimo membro di una progressione aritmetica può essere trovato non solo attraverso UN 1 , ma anche qualsiasi precedente un k
UN = un k + (N- K)D.
Per esempio,
Per UN 5 può essere scritto
un 5 = un 1 + 4D,
un 5 = un 2 + 3D,
un 5 = un 3 + 2D,
un 5 = un 4 + D. ◄
UN = un n-k + kd,
UN = un n+k - kd,
poi ovviamente
| UN=
| UN nk
+ un n+k
|
| 2
|
ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla metà della somma dei membri di questa progressione aritmetica equidistanti da esso.
Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica, l'uguaglianza è vera:
una m + una n = una k + una l,
m + n = k + l.
Per esempio,
in progressione aritmetica
1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,
Primo N membri di una progressione aritmetica è uguale al prodotto della metà della somma dei termini estremi per il numero di termini:
Da ciò, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini
un k, un k +1 , . . . , UN,
quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:
Per esempio,
in progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità UN 1 , UN, D, N ES N legati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:
- Se D > 0 , allora sta aumentando;
- Se D < 0 , allora sta diminuendo;
- Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.
Progressione geometrica
progressione geometrica si chiama una sequenza, ogni termine della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .
è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N condizione è soddisfatta:
b n +1 = b n · Q,
Dove Q ≠ 0 - un certo numero.
Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di questa progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.
Numero Q chiamato denominatore di una progressione geometrica.
Per impostare una progressione geometrica è sufficiente specificarne il primo termine e il denominatore.
Per esempio,
Se B 1 = 1, Q = -3 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 e denominatore Q suo N -esimo termine può essere trovato dalla formula:
b n = B 1 · q n -1 .
Per esempio,
trovare il settimo termine di una progressione geometrica 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = B 1 · q n,
poi ovviamente
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
ogni membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedenti e successivi.
Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:
i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.
Per esempio,
dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -3 2 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:
b n= -3 2 N,
b n -1 = -3 2 N -1 ,
b n +1 = -3 2 N +1 .
Quindi,
b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
che prova l'affermazione richiesta. ◄
Notare che N Il termine di una progressione geometrica può essere trovato non solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi termine precedente b K , per cui basta usare la formula
b n = b K · q n - K.
Per esempio,
Per B 5 può essere scritto
b 5 = b 1 · Q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · Q. ◄
b n = b K · q n - K,
b n = b n - K · q k,
poi ovviamente
b n 2 = b n - K· b n + K
il quadrato di qualsiasi membro di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei membri di questa progressione equidistanti da esso.
Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica, l'uguaglianza è vera:
b m· b n= b K· b l,
M+ N= K+ l.
Per esempio,
esponenzialmente
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n
Primo N membri di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato dalla formula:
E quando Q = 1 - secondo la formula
S n= n.b. 1
Si noti che se è necessario sommare i termini
b K, b K +1 , . . . , b n,
allora si usa la formula:
| S n- S k -1 = b K + b K +1 + . . . + b n = b K · | 1 - q n -
K +1
| . |
| 1 - Q
|
Per esempio,
esponenzialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità B 1 , b n, Q, N E S n legati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avvengono i seguenti proprietà di monotonicità :
- la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
B 1 > 0 E Q> 1;
B 1 < 0 E 0 < Q< 1;
- Una progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
B 1 > 0 E 0 < Q< 1;
B 1 < 0 E Q> 1.
Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata di segno: i suoi termini di numero dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini di numero pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.
Prodotto del primo N i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati con la formula:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .
Per esempio,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progressione geometrica infinitamente decrescente
Progressione geometrica infinitamente decrescente è chiamata una progressione geometrica infinita il cui modulo denominatore è minore di 1 , questo è
|Q| < 1 .
Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Questo si adatta al caso
1 < Q< 0 .
Con un tale denominatore, la sequenza è alternata di segno. Per esempio,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui la somma del primo N termini della progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Per esempio,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relazione tra progressioni aritmetiche e geometriche
Aritmetica e progressione geometrica sono strettamente correlati. Consideriamo solo due esempi.
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . D , Quello
b.a 1 , b.a 2 , b.a 3 , . . . b d .
Per esempio,
1, 3, 5, . . . — progressione aritmetica con differenza 2 E
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . è una progressione geometrica con un denominatore 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . è una progressione geometrica con un denominatore Q , Quello
logaritmo a b 1, logaritmo a b 2, logaritmo a b 3, . . . — progressione aritmetica con differenza log AQ .
Per esempio,
2, 12, 72, . . . è una progressione geometrica con un denominatore 6 E
LG 2, LG 12, LG 72, . . . — progressione aritmetica con differenza LG 6 . ◄