Istruzioni
10, 30, 90, 270...
Devi trovare il denominatore di una progressione geometrica.
Soluzione:
Opzione 1. Prendiamo un termine arbitrario della progressione (ad esempio 90) e dividiamolo per il precedente (30): 90/30=3.
Se è nota la somma di più termini di una progressione geometrica o la somma di tutti i termini di una progressione geometrica decrescente, per trovare il denominatore della progressione utilizzare le formule appropriate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dove Sn è la somma dei primi n termini della progressione geometrica e
S = b1/(1-q), dove S è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente (la somma di tutti i termini della progressione con denominatore inferiore a uno).
Esempio.
Primo termine di una progressione geometrica decrescente uguale a uno, e la somma di tutti i suoi termini è uguale a due.
È necessario determinare il denominatore di questa progressione.
Soluzione:
Sostituisci i dati del problema nella formula. Risulterà:
2=1/(1-q), da dove – q=1/2.
Una progressione è una sequenza di numeri. In una progressione geometrica ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il precedente per un certo numero q, detto denominatore della progressione.
Istruzioni
Se si conoscono due termini geometrici adiacenti b(n+1) e b(n), per ottenere il denominatore è necessario dividere il numero con quello maggiore per quello che lo precede: q=b(n+1)/b (N). Ciò deriva dalla definizione di progressione e dal suo denominatore. Una condizione importanteè la disuguaglianza del primo termine e del denominatore della progressione verso zero, altrimenti è considerato indefinito.
Si stabiliscono quindi le seguenti relazioni tra i termini della progressione: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Utilizzando la formula b(n)=b1 q^(n-1) si può calcolare qualsiasi termine della progressione geometrica di cui sia noto il denominatore q ed il termine b1. Inoltre, ciascuna progressione è uguale in modulo alla media dei suoi membri vicini: |b(n)|=√, che è dove la progressione ha ottenuto il suo .
Un analogo della progressione geometrica è la funzione esponenziale più semplice y=a^x, dove x è un esponente, a è un certo numero. In questo caso il denominatore della progressione coincide con il primo termine e uguale al numero UN. Il valore della funzione y può essere inteso come ennesimo termine progressione se l'argomento x è considerato un numero naturale n (contatore).
Un'altra proprietà importante della progressione geometrica, che ha dato la progressione geometrica
Se per ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che è dato sequenza numerica :
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .
Quindi, la sequenza numerica è una funzione dell'argomento naturale.
Numero UN 1 chiamato primo termine della sequenza , numero UN 2 — secondo termine della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato ennesimo termine sequenze e un numero naturale N — il suo numero .
Da due membri adiacenti UN E UN +1 membro della sequenza UN +1 chiamato successivo (in direzione UN ), UN UN — precedente (in direzione UN +1 ).
Per definire una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.
Spesso la sequenza viene specificata utilizzando formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro di una sequenza in base al suo numero.
Per esempio,
una sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula
UN= 2N- 1,
e la sequenza dell'alternanza 1 E -1 - formula
B N = (-1)N +1 . ◄
La sequenza può essere determinata formula ricorrente, cioè una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, fino ai membri precedenti (uno o più).
Per esempio,
Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5
UN 1 = 1,
UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette termini della sequenza numerica si stabiliscono come segue:
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,
UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Le sequenze possono essere finale E infinito .
La sequenza viene chiamata ultimo , se ha un numero finito di membri. La sequenza viene chiamata infinito , se ha infiniti membri.
Per esempio,
sequenza di numeri naturali a due cifre:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
finale.
Sequenza di numeri primi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
infinito. ◄
La sequenza viene chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.
La sequenza viene chiamata decrescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.
Per esempio,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — sequenza crescente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — sequenza decrescente. ◄
Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono all'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .
Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.
Progressione aritmetica
Progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, al quale viene aggiunto lo stesso numero.
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .
È progressione aritmetica, se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:
UN +1 = UN + D,
Dove D - un certo numero.
Pertanto, la differenza tra i termini successivi e precedenti di una data progressione aritmetica è sempre costante:
un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.
Numero D chiamato differenza di progressione aritmetica.
Per definire una progressione aritmetica è sufficiente indicarne il primo termine e la differenza.
Per esempio,
Se UN 1 = 3, D = 4 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:
un 1 =3,
un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,
UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄
Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e la differenza D suo N
UN = un 1 + (N- 1)D.
Per esempio,
trovare il trentesimo termine della progressione aritmetica
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, D = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (N- 2)D,
UN= un 1 + (N- 1)D,
UN +1 = UN 1 + nd,
poi ovviamente
| UN=
| un n-1 + un n+1
|
| 2
|
Ciascun membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedente e successivo.
i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.
Per esempio,
UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.
Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:
UN = 2N- 7,
un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.
Quindi,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = UN,
|
| 2
| 2
|
◄
Notare che N L'esimo termine di una progressione aritmetica non si trova solo attraverso UN 1 , ma anche eventuali precedenti un k
UN = un k + (N- K)D.
Per esempio,
Per UN 5 può essere scritto
un 5 = un 1 + 4D,
un 5 = un 2 + 3D,
un 5 = un 3 + 2D,
un 5 = un 4 + D. ◄
UN = un nk + kd,
UN = un n+k - kd,
poi ovviamente
| UN=
| UN n-k
+a n+k
|
| 2
|
ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è pari alla metà della somma dei membri di tale progressione aritmetica equidistanti da essa.
Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica vale la seguente uguaglianza:
un m + un n = un k + un l,
m + n = k + l.
Per esempio,
nella progressione aritmetica
1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,
Primo N termini di una progressione aritmetica è pari al prodotto della metà della somma dei termini estremi e del numero di termini:
Da qui, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini
un k, un k +1 , . . . , UN,
quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:
Per esempio,
nella progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità UN 1 , UN, D, N ES N collegati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:
- Se D > 0 , allora è in aumento;
- Se D < 0 , allora è in diminuzione;
- Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.
Progressione geometrica
Progressione geometrica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero.
B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .
è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:
b n +1 = b n · Q,
Dove Q ≠ 0 - un certo numero.
Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di una data progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:
B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.
Numero Q chiamato denominatore della progressione geometrica.
Per definire una progressione geometrica è sufficiente indicarne il primo termine e il denominatore.
Per esempio,
Se B 1 = 1, Q = -3 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:
b1 = 1,
b2 = b1 · Q = 1 · (-3) = -3,
b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,
b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,
B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄
B 1 e denominatore Q suo N L'esimo termine può essere trovato utilizzando la formula:
b n = B 1 · qn -1 .
Per esempio,
trovare il settimo termine della progressione geometrica 1, 2, 4, . . .
B 1 = 1, Q = 2,
B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b1 · qn -2 ,
b n = b1 · qn -1 ,
b n +1 = B 1 · qn,
poi ovviamente
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
ciascun membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è pari alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedente e successivo.
Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:
i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.
Per esempio,
Dimostriamo che la successione data dalla formula b n= -3 · 2 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:
b n= -3 · 2 N,
b n -1 = -3 · 2 N -1 ,
b n +1 = -3 · 2 N +1 .
Quindi,
b n 2 = (-32 N)2 = (-32 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
che dimostra l'affermazione desiderata. ◄
Notare che N L'esimo termine di una progressione geometrica non può essere trovato solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi membro precedente bk , per il quale è sufficiente utilizzare la formula
b n = bk · qn - K.
Per esempio,
Per B 5 può essere scritto
b5 = b1 · Q 4 ,
b5 = b2 · q3,
b5 = b3 · q2,
b5 = b4 · Q. ◄
b n = bk · qn - K,
b n = b n - K · qk,
poi ovviamente
b n 2 = b n - K· b n + K
il quadrato di qualsiasi termine di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei termini di tale progressione equidistanti da esso.
Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica vale l’uguaglianza:
b m· b n= bk· b l,
M+ N= K+ l.
Per esempio,
in progressione geometrica
1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;
2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;
4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché
B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,
B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n
Primo N membri di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato con la formula:
E quando Q = 1 - secondo la formula
S n= n.b 1
Tieni presente che se devi sommare i termini
bk, bk +1 , . . . , b n,
allora si usa la formula:
| S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + b n = bk · | 1 - qn -
K +1
| . |
| 1 - Q
|
Per esempio,
in progressione geometrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità B 1 , b n, Q, N E S n collegati da due formule:
Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.
Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avviene quanto segue proprietà di monotonia :
- la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
B 1 > 0 E Q> 1;
B 1 < 0 E 0 < Q< 1;
- La progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:
B 1 > 0 E 0 < Q< 1;
B 1 < 0 E Q> 1.
Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata: i suoi termini con numeri dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini con numeri pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.
Prodotto del primo N i membri di una progressione geometrica possono essere calcolati utilizzando la formula:
P n= b1 · b2 · b3 · . . . · b n = (b1 · b n) N / 2 .
Per esempio,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progressione geometrica infinitamente decrescente
Progressione geometrica infinitamente decrescente chiamata progressione geometrica infinita il cui modulo del denominatore è inferiore 1 , questo è
|Q| < 1 .
Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Si adatta all'occasione
1 < Q< 0 .
Con un tale denominatore, la sequenza è alternata. Per esempio,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui si avvicina senza limite la somma dei primi N membri di una progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula
| S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . = | B 1
| . |
| 1 - Q
|
Per esempio,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relazione tra progressioni aritmetiche e geometriche
Le progressioni aritmetiche e geometriche sono strettamente correlate. Consideriamo solo due esempi.
UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . D , Quello
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Per esempio,
1, 3, 5, . . . - progressione aritmetica con differenza 2 E
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progressione geometrica con denominatore 7 2 . ◄
B 1 , B 2 , B 3 , . . . - progressione geometrica con denominatore Q , Quello
log a b 1, log a b 2, registrare un b 3, . . . - progressione aritmetica con differenza registrare unQ .
Per esempio,
2, 12, 72, . . . - progressione geometrica con denominatore 6 E
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressione aritmetica con differenza lg 6 . ◄
La progressione geometrica lo è il nuovo tipo sequenza numerica che stiamo per conoscere. Per un appuntamento di successo, non fa male almeno conoscere e capire. Quindi non ci saranno problemi con la progressione geometrica.)
Cos'è la progressione geometrica? Il concetto di progressione geometrica.
Iniziamo il tour, come al solito, dalle basi. Scrivo una sequenza di numeri incompiuta:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Riesci a individuare lo schema e dire quali numeri verranno dopo? Il pepe è chiaro, poi seguiranno i numeri 100.000, 1.000.000 e così via. Anche senza troppi sforzi mentali, tutto è chiaro, giusto?)
OK. Un altro esempio. Scrivo questa sequenza:
1, 2, 4, 8, 16, …
Puoi dire quali numeri verranno dopo, dopo il numero 16, e il nome? ottavo membro della sequenza? Se hai capito che sarebbe il numero 128, allora molto bene. Quindi, metà della battaglia sta nella comprensione senso E punti chiave la progressione geometrica è già stata fatta. Puoi crescere ulteriormente.)
E ora passiamo di nuovo dalle sensazioni alla matematica rigorosa.
Punti chiave della progressione geometrica.
Punto chiave n.1
La progressione geometrica lo è sequenza di numeri. Così è la progressione. Nulla di bello. È organizzata solo questa sequenza diversamente. Quindi, naturalmente, ha un nome diverso, sì...
Punto chiave n.2
Con il secondo punto chiave, la questione sarà più complicata. Torniamo un po' indietro e ricordiamo la proprietà chiave della progressione aritmetica. Ecco qui: ogni membro è diverso dal precedente dello stesso importo.
È possibile formulare una proprietà chiave simile per una progressione geometrica? Pensaci un po'... Dai un'occhiata più da vicino agli esempi forniti. Hai indovinato? SÌ! Nella progressione geometrica (qualsiasi!) ciascuno dei suoi membri differisce dal precedente lo stesso numero di volte. Sempre!
Nel primo esempio, questo numero è dieci. Qualunque membro della sequenza tu prenda, è maggiore del precedente dieci volte.
Nel secondo esempio è un due: ogni termine è maggiore del precedente due volte.
È proprio in questo punto chiave che la progressione geometrica differisce dalla progressione aritmetica. In una progressione aritmetica si ottiene ogni termine successivo aggiungendo lo stesso valore al termine precedente. E qui - moltiplicazione il mandato precedente per lo stesso importo. Questa è tutta la differenza.)
Punto chiave n.3
Questo punto chiave è del tutto identico a quello di una progressione aritmetica. Vale a dire: Ogni membro di una progressione geometrica sta al suo posto. Tutto è esattamente come nella progressione aritmetica e i commenti, credo, non sono necessari. C'è il primo termine, c'è il centouno, ecc. Scambiamo almeno due termini: lo schema (e con esso la progressione geometrica) scomparirà. Ciò che rimarrà sarà solo una sequenza di numeri senza alcuna logica.
È tutto. Questo è il punto centrale della progressione geometrica.
Termini e designazioni.
Ma ora, avendo compreso il significato ed i punti chiave della progressione geometrica, possiamo passare alla teoria. Altrimenti cos'è una teoria senza comprenderne il significato, giusto?
Come denotare la progressione geometrica?
Come è scritta la progressione geometrica vista generale? Nessun problema! Ogni termine della progressione è anche scritto come una lettera. Solo per la progressione aritmetica si usa solitamente la lettera "UN", per geometrico – lettera "B". Numero membro, come al solito, è indicato indice in basso a destra. Elenchiamo semplicemente i membri della progressione stessi, separati da virgole o punti e virgola.
Come questo:
b1,B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , …
In breve, questa progressione è scritta in questo modo: (b n) .
O così, per progressioni finite:
b1, b2, b3, b4, b5, b6.
b1, b2, …, b29, b30.
Oppure, in breve:
(b n), N=30 .
Questa, in effetti, è tutta la designazione. È tutto uguale, solo la lettera è diversa, sì.) E ora passiamo direttamente alla definizione.
Definizione di progressione geometrica.
Una progressione geometrica è una sequenza numerica in cui il primo termine è diverso da zero e ogni termine successivo è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero diverso da zero.
Questa è l'intera definizione. La maggior parte delle parole e delle frasi ti sono chiare e familiari. Se, ovviamente, capisci il significato della progressione geometrica “sulle dita” e in generale. Ma ci sono anche alcune nuove frasi a cui vorrei prestare particolare attenzione.
Innanzitutto le parole: "il primo membro del quale diverso da zero".
Questa restrizione sul primo mandato non è stata introdotta per caso. Cosa pensi che succederà se il primo membro B 1 sarà uguale a zero? A quanto sarà uguale il secondo termine se ciascun termine è maggiore del precedente? lo stesso numero di volte? Diciamo tre volte? Vediamo... Moltiplica il primo termine (cioè 0) per 3 e ottieni... zero! E che dire del terzo membro? Anche zero! E anche il quarto termine è zero! E così via…
Otteniamo solo un sacchetto di bagel, una sequenza di zeri:
0, 0, 0, 0, …
Naturalmente, una tale sequenza ha diritto alla vita, ma non ha alcun interesse pratico. È tutto chiaro. Qualsiasi membro di esso è zero. Anche la somma di un numero qualsiasi di termini è zero... Quali cose interessanti puoi farci? Niente…
Le seguenti parole chiave: "moltiplicato per lo stesso numero diverso da zero."
Questo stesso numero ha anche il suo nome speciale: denominatore della progressione geometrica. Iniziamo a conoscerci.)
Denominatore di una progressione geometrica.
Tutto è semplice come sgusciare le pere.
Il denominatore di una progressione geometrica è un numero (o quantità) diverso da zero quante volteogni termine della progressione più del precedente.
Ancora una volta, per analogia con la progressione aritmetica, parola chiave La cosa a cui prestare attenzione in questa definizione è la parola "Di più". Significa che si ottiene ogni termine della progressione geometrica moltiplicazione proprio a questo denominatore membro precedente.
Lasciatemi spiegare.
Per calcolare, diciamo secondo cazzo, devo prenderlo Primo membro e moltiplicare al denominatore. Per il calcolo decimo cazzo, devo prenderlo nono membro e moltiplicare al denominatore.
Il denominatore della progressione geometrica stessa può essere qualsiasi cosa. Assolutamente chiunque! Intero, frazionario, positivo, negativo, irrazionale: tutto. Tranne zero. Questo è ciò che ci dice la parola “diverso da zero” nella definizione. Perché questa parola è necessaria qui - ne parleremo più avanti.
Denominatore della progressione geometrica più spesso indicato dalla lettera Q.
Come trovarlo Q? Nessun problema! Dobbiamo prendere qualsiasi termine della progressione e dividere per il termine precedente. La divisione è frazione. Da qui il nome: "denominatore di progressione". Il denominatore, di solito si trova in una frazione, sì...) Anche se, logicamente, il valore Q dovrebbe essere chiamato privato progressione geometrica, simile a differenza per la progressione aritmetica. Ma abbiamo deciso di chiamare denominatore. E non reinventeremo nemmeno la ruota.)
Definiamo, ad esempio, la quantità Q per questa progressione geometrica:
2, 6, 18, 54, …
Tutto è elementare. Prendiamolo Qualunque sequenza di numeri. Prendiamo quello che vogliamo. Tranne il primissimo. Ad esempio, 18. E dividi per numero precedente. Cioè alle 6.
Noi abbiamo:
Q = 18/6 = 3
È tutto. Questa è la risposta corretta. Per questa progressione geometrica, il denominatore è tre.
Troviamo ora il denominatore Q per un'altra progressione geometrica. Ad esempio, questo:
1, -2, 4, -8, 16, …
Tutto uguale. Non importa quali segni abbiano i membri stessi, li prendiamo comunque Qualunque numero della sequenza (ad esempio, 16) e dividere per numero precedente(cioè -8).
Noi abbiamo:
D = 16/(-8) = -2
E questo è tutto.) Questa volta il denominatore della progressione si è rivelato negativo. Meno due. Accade.)
Prendiamo ora questa progressione:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
E ancora, indipendentemente dal tipo di numeri nella sequenza (se interi, anche frazionari, anche negativi, anche irrazionali), prendiamo qualsiasi numero (ad esempio 1/9) e dividiamo per il numero precedente (1/3). Secondo le regole per lavorare con le frazioni, ovviamente.
Noi abbiamo:
Questo è tutto.) Qui il denominatore si è rivelato frazionario: Q = 1/3.
Cosa ne pensi di questa “progressione”?
3, 3, 3, 3, 3, …
Ovviamente qui Q = 1 . Formalmente, anche questa è una progressione geometrica, solo con membri identici.) Ma tali progressioni sono per lo studio e applicazione pratica non interessante. Lo stesso delle progressioni con zeri solidi. Pertanto non li prenderemo in considerazione.
Come puoi vedere, il denominatore della progressione può essere qualsiasi cosa: intero, frazionario, positivo, negativo... qualsiasi cosa! Non può essere semplicemente zero. Non riesci a indovinare il motivo?
Bene, andiamo ad alcuni esempio specifico Vediamo cosa succede se prendiamo come denominatore Q zero.) Prendiamo, ad esempio, B 1 = 2 , UN Q = 0 . A cosa varrà allora il secondo termine?
Contiamo:
B 2 = B 1 · Q= 2 0 = 0
E che dire del terzo membro?
B 3 = B 2 · Q= 00 = 0
Tipi e comportamento delle progressioni geometriche.
Tutto era più o meno chiaro: se la progressione differisce Dè positivo, allora la progressione aumenta. Se la differenza è negativa la progressione diminuisce. Ci sono solo due opzioni. Non esiste un terzo.)
Ma con il comportamento della progressione geometrica tutto sarà molto più interessante e vario!)
Non importa come si comportano i termini qui: aumentano, diminuiscono e si avvicinano indefinitamente allo zero, e persino cambiano segno, gettandosi alternativamente nel "più" e poi nel "meno"! E in tutta questa diversità bisogna saper capire bene, sì...
Scopriamolo?) Cominciamo con il caso più semplice.
Il denominatore è positivo ( Q >0)
Con un denominatore positivo, in primo luogo, si possono entrare nei termini della progressione geometrica più infinito(cioè aumentare senza limiti) e può entrare meno infinito(cioè diminuire senza limite). Siamo già abituati a questo comportamento di progressioni.
Per esempio:
(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …
Tutto è semplice qui. Si ottiene ogni termine della progressione più del precedente. Inoltre, ogni termine risulta moltiplicazione membro precedente su positivo numero +2 (cioè Q = 2 ). Il comportamento di tale progressione è evidente: tutti i membri della progressione crescono senza limiti, andando nello spazio. Inoltre l'infinito...
Ed ora ecco la progressione:
(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …
Anche qui si ottiene ogni termine della progressione moltiplicazione membro precedente su positivo numero +2. Ma il comportamento di tale progressione è esattamente opposto: si ottiene ogni termine della progressione meno del precedente, e tutti i suoi termini diminuiscono senza limite, andando a meno infinito.
Ora pensiamo: cosa hanno in comune queste due progressioni? Esatto, denominatore! Qui e li Q = +2 . Numero positivo. Due. E qui comportamento Queste due progressioni sono fondamentalmente diverse! Non riesci a indovinare il motivo? SÌ! È tutta una questione di primo membro!È lui, come si suol dire, che detta la melodia.) Guarda tu stesso.
Nel primo caso, il primo termine della progressione positivo(+1) e, quindi, tutti i termini successivi ottenuti moltiplicando per positivo denominatore Q = +2 , lo sarà anche positivo.
Ma nel secondo caso, il primo termine negativo(-1). Pertanto, tutti i termini successivi della progressione, ottenuti moltiplicando per positivo Q = +2 , si otterrà anche negativo. Perché “meno” in “più” dà sempre “meno”, sì.)
Come puoi vedere, a differenza di una progressione aritmetica, una progressione geometrica può comportarsi in modo completamente diverso non solo dipendendo dal denominatoreQ, ma anche dipendente dal primo membro, SÌ.)
Ricorda: il comportamento di una progressione geometrica è determinato univocamente dal suo primo termine B 1 e denominatoreQ .
E ora iniziamo ad analizzare casi meno familiari, ma molto più interessanti!
Prendiamo ad esempio questa sequenza:
(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Anche questa sequenza è una progressione geometrica! Anche ogni termine di questa progressione risulta moltiplicazione il membro precedente, con lo stesso numero. È solo un numero - frazionario: Q = +1/2 . O +0,5 . Inoltre (importante!) il numero, meno di uno:Q = 1/2<1.
Perché questa progressione geometrica è interessante? Dove sono diretti i suoi membri? Diamo un'occhiata:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Quali cose interessanti puoi notare qui? Innanzitutto si nota subito la diminuzione in termini di progressione: ciascuno dei suoi membri meno esattamente quello precedente 2 volte. Oppure, secondo la definizione di una progressione geometrica, ogni termine Di più precedente 1/2 volte, Perché denominatore di progressione Q = 1/2 . E dal moltiplicare per numero positivo, meno di uno, il risultato solitamente diminuisce, sì...
Che cosa Di più si può vedere nel comportamento di questa progressione? I suoi membri stanno diminuendo? illimitato, andando a meno infinito? NO! Scompaiono in un modo speciale. All'inizio diminuiscono abbastanza rapidamente, poi sempre più lentamente. E rimanendo tutto il tempo positivo. Anche se molto, molto piccolo. E per cosa lottano loro stessi? Non hai indovinato? SÌ! Tendono allo zero!) Inoltre, attenzione, i membri della nostra progressione provengono da zero non raggiungere mai! Soltanto avvicinandosi a lui infinitamente vicino. È molto importante.)
Una situazione simile si verificherà nella seguente progressione:
(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Qui B 1 = -1 , UN Q = 1/2 . È tutto uguale, solo che ora i termini si avvicineranno allo zero dall'altra parte, dal basso. Restando tutto il tempo negativo.)
Una tale progressione geometrica i cui termini avvicinarsi allo zero senza limiti(non importa dal lato positivo o negativo), in matematica ha un nome speciale - Progressione geometrica infinitamente decrescente. Questa progressione è così interessante e insolita che verrà persino discussa lezione separata .)
Quindi, abbiamo considerato tutto il possibile positivo i denominatori sono sia grandi che piccoli. Non consideriamo l'unità stessa come denominatore per le ragioni sopra esposte (ricordate l'esempio con una sequenza di terzine...)
Riassumiamo:
positivoE più di una (Q>1), quindi i termini della progressione:
UN) aumento senza limite (seB 1 >0);
b) diminuzione senza limite (seB 1 <0).
Se il denominatore della progressione geometrica positivo E meno di uno (0< Q<1), то члены прогрессии:
a) infinitamente vicino allo zero Sopra(SeB 1 >0);
b) avvicinarsi infinitamente allo zero da sotto(SeB 1 <0).
Resta ora da esaminare il caso denominatore negativo.
Il denominatore è negativo ( Q <0)
Non andremo lontano per fare un esempio. Perché, esattamente, nonna irsuta?!) Sia, ad esempio, il primo termine della progressione B 1 = 1 , e prendiamo il denominatore q = -2.
Otteniamo la seguente sequenza:
(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …
E così via.) Si ottiene ogni termine della progressione moltiplicazione membro precedente su un numero negativo-2. In questo caso, lo saranno tutti i membri che si trovano nei posti dispari (primo, terzo, quinto, ecc.). positivo, e in posti pari (secondo, quarto, ecc.) – negativo. I segnali sono rigorosamente alternati. Più-meno-più-meno... Questa progressione geometrica si chiama - segno crescente alternato.
Dove sono diretti i suoi membri? Ma da nessuna parte.) Sì, in valore assoluto (cioè modulo) i membri della nostra progressione aumentano senza limite (da qui il nome “crescente”). Ma allo stesso tempo, ogni membro della progressione ti getta alternativamente nel caldo, poi nel freddo. O “più” o “meno”. La nostra progressione vacilla... Inoltre, la portata delle fluttuazioni cresce rapidamente ad ogni passo, sì.) Pertanto, le aspirazioni dei membri della progressione vanno da qualche parte specificamente Qui NO. Né più infinito, né meno infinito, né zero: da nessuna parte.
Consideriamo ora un denominatore frazionario compreso tra zero e meno uno.
Ad esempio, lascia che sia B 1 = 1 , UN q = -1/2.
Quindi otteniamo la progressione:
(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
E ancora abbiamo un'alternanza di segni! Ma, a differenza dell'esempio precedente, qui c'è già una chiara tendenza dei termini ad avvicinarsi allo zero.) Solo che questa volta i nostri termini si avvicinano allo zero non strettamente dall'alto o dal basso, ma ancora una volta esitante. Assumendo alternativamente valori positivi e negativi. Ma allo stesso tempo loro moduli si stanno avvicinando sempre più al caro zero.)
Questa progressione geometrica si chiama Segno infinitamente decrescente, alternato.
Perché questi due esempi sono interessanti? E il fatto che in entrambi i casi abbia luogo segni alternati! Questo trucco è tipico solo per le progressioni con un denominatore negativo, sì.) Pertanto, se in qualche compito vedi una progressione geometrica con termini alternati, saprai già con certezza che il suo denominatore è negativo al 100% e non commetterai errori nel segno.)
Tra l'altro, nel caso di denominatore negativo, il segno del primo termine non influenza affatto il comportamento della progressione stessa. Qualunque sia il segno del primo termine della progressione, verrà comunque rispettato il segno dei termini. L'unica domanda è: in quali posti(pari o dispari) ci saranno membri con segni specifici.
Ricordare:
Se il denominatore della progressione geometrica negativo , allora i segni dei termini della progressione sono sempre alternato.
Allo stesso tempo, i membri stessi:
a) aumento illimitatomodulo, SeQ<-1;
b) avvicinarsi infinitamente a zero se -1< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
È tutto. Sono stati analizzati tutti i casi tipici.)
Nel processo di analisi di una varietà di esempi di progressioni geometriche, ho usato periodicamente le parole: "tende a zero", "tende a più infinito", "tende a meno infinito"... Va bene.) Queste figure retoriche (ed esempi specifici) sono solo un'introduzione iniziale comportamento una serie di sequenze numeriche. Utilizzando l'esempio della progressione geometrica.
Perché abbiamo bisogno di conoscere il comportamento della progressione? Che differenza fa dove va? Verso lo zero, verso più infinito, verso meno infinito... Cosa ci fa questo?
Il fatto è che già all'università, in un corso di matematica superiore, avrai bisogno della capacità di lavorare con un'ampia varietà di sequenze numeriche (con qualsiasi, non solo progressioni!) e della capacità di immaginare esattamente come questa o quella sequenza si comporta - sia che aumenti, sia che diminuisca all'infinito, che tenda a un determinato numero (e non necessariamente a zero), o addirittura non tenda a nulla... A questo argomento è dedicata un'intera sezione nel corso di matematica analisi - teoria dei limiti. E un po' più nello specifico: il concetto limite della sequenza numerica. Un argomento molto interessante! Ha senso andare al college e capirlo.)
Alcuni esempi da questa sezione (sequenze aventi un limite) e in particolare, Progressione geometrica infinitamente decrescente Cominciano ad abituarsi a scuola. Ci stiamo abituando.)
Inoltre, la capacità di studiare bene il comportamento delle sequenze ti sarà di grande beneficio in futuro e ti sarà molto utile ricerca funzionale. Il più vario. Ma la capacità di lavorare con competenza con le funzioni (calcolare le derivate, studiarle per intero, costruirne i grafici) aumenta già notevolmente il tuo livello matematico! Hai qualche dubbio? Non c'è bisogno. Ricorda anche le mie parole.)
Diamo un'occhiata alla progressione geometrica nella vita?
Nella vita intorno a noi incontriamo molto, molto spesso la progressione geometrica. Anche senza saperlo.)
Ad esempio, vari microrganismi che ci circondano ovunque in enormi quantità e che non possiamo nemmeno vedere senza un microscopio si moltiplicano proprio in progressione geometrica.
Diciamo che un batterio si riproduce dividendosi a metà, dando la prole in 2 batteri. A loro volta, ciascuno di essi, moltiplicandosi, si divide anche a metà, dando una progenie comune di 4 batteri. La generazione successiva produrrà 8 batteri, poi 16 batteri, 32, 64 e così via. Con ogni generazione successiva, il numero di batteri raddoppia. Un tipico esempio di progressione geometrica.)
Inoltre, alcuni insetti – afidi e mosche – si moltiplicano in modo esponenziale. E a volte anche i conigli, comunque.)
Un altro esempio di progressione geometrica, più vicino alla vita di tutti i giorni, è il cosiddetto interesse composto. Questo fenomeno interessante si trova spesso nei depositi bancari e si chiama capitalizzazione degli interessi. Cos'è?
Tu stesso sei ancora, ovviamente, giovane. Studi a scuola, non vai in banca. Ma i tuoi genitori sono già adulti e persone indipendenti. Vanno a lavorare, guadagnano il pane quotidiano e mettono una parte del denaro in banca, risparmiando.)
Supponiamo che tuo padre voglia mettere da parte una certa somma di denaro per una vacanza in famiglia in Turchia e metta in banca 50.000 rubli al 10% annuo per un periodo di tre anni con capitalizzazione degli interessi annuali. Inoltre durante tutto questo periodo non si potrà fare nulla con il deposito. Non è possibile né ricostituire il deposito né prelevare denaro dal conto. Quanto profitto realizzerà dopo questi tre anni?
Bene, prima di tutto dobbiamo capire cos'è il 10% annuo. Significa che in un anno La banca aggiungerà il 10% all'importo del deposito iniziale. Da cosa? Naturalmente, da importo del deposito iniziale.
Calcoliamo la dimensione del conto dopo un anno. Se l'importo del deposito iniziale era di 50.000 rubli (ovvero il 100%), dopo un anno quanti interessi ci saranno sul conto? Esatto, 110%! Da 50.000 rubli.
Quindi calcoliamo il 110% di 50.000 rubli:
50000·1,1 = 55000 rubli.
Spero tu capisca che trovare il 110% di un valore significa moltiplicare quel valore per il numero 1,1? Se non capisci perché è così, ricorda la quinta e la sesta elementare. Vale a dire – collegamento tra percentuali e frazioni e parti.)
Pertanto, l'aumento per il primo anno sarà di 5.000 rubli.
Quanti soldi ci saranno sul conto tra due anni? 60.000 rubli? Purtroppo (o meglio, per fortuna), non tutto è così semplice. Il trucco della capitalizzazione degli interessi è che con ogni nuova maturazione degli interessi, questi stessi interessi verranno già presi in considerazione dal nuovo importo! Da colui che Giàè sul conto Al momento. E gli interessi maturati per il periodo precedente vengono aggiunti all'importo del deposito originale e, quindi, partecipano al calcolo dei nuovi interessi! Cioè, diventano parte integrante del conto complessivo. O generale capitale. Da qui il nome - capitalizzazione degli interessi.
È in economia. E in matematica si chiamano tali percentuali interesse composto. O percentuale di interesse.) Il loro trucco è che quando si calcola in sequenza, le percentuali vengono calcolate ogni volta dal nuovo valore. E non dall'originale...
Pertanto, per calcolare l'importo attraverso due anni, dobbiamo calcolare il 110% dell'importo che sarà sul conto in un anno. Cioè già da 55.000 rubli.
Contiamo il 110% di 55.000 rubli:
55000·1,1 = 60500 rubli.
Ciò significa che l’aumento percentuale per il secondo anno sarà di 5.500 rubli e per due anni di 10.500 rubli.
Ora puoi già immaginare che dopo tre anni l'importo sul conto sarà pari al 110% di 60.500 rubli. Anche questo è il 110% da quello precedente (l'anno scorso) importi.
Qui pensiamo:
60500·1,1 = 66550 rubli.
Ora organizziamo i nostri importi monetari per anno in sequenza:
50000;
55000 = 50000·1,1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Quindi com'è? Perché non una progressione geometrica? Primo membro B 1 = 50000 e il denominatore Q = 1,1 . Ogni termine è rigorosamente 1,1 volte più grande del precedente. Tutto è in stretta conformità con la definizione.)
E quanti bonus di interesse aggiuntivi "accumulerà" tuo padre mentre i suoi 50.000 rubli sono rimasti sul suo conto bancario per tre anni?
Contiamo:
66550 – 50000 = 16550 rubli
Non molto, ovviamente. Ma questo accade se l’importo del deposito iniziale è piccolo. E se ce ne fosse di più? Diciamo non 50, ma 200mila rubli? Quindi l'aumento in tre anni sarà di 66.200 rubli (se fai i conti). Il che è già molto buono.) E se il contributo fosse ancora maggiore? Questo è tutto...
Conclusione: maggiore è il deposito iniziale, più redditizia diventa la capitalizzazione degli interessi. Ecco perché le banche forniscono depositi con capitalizzazione di interessi per lunghi periodi. Diciamo per cinque anni.
Inoltre, tutti i tipi di malattie gravi come l’influenza, il morbillo e malattie ancora più terribili (la stessa SARS all’inizio degli anni 2000 o la peste nel Medioevo) amano diffondersi in modo esponenziale. Da qui la portata delle epidemie, sì...) E tutto a causa del fatto che la progressione geometrica con denominatore intero positivo (Q>1) – una cosa che cresce molto velocemente! Ricordate la riproduzione dei batteri: da un batterio se ne ottengono due, da due - quattro, da quattro - otto, e così via... Lo stesso vale per la diffusione di qualsiasi infezione.)
I problemi più semplici sulla progressione geometrica.
Cominciamo, come sempre, con un problema semplice. Puramente per capirne il significato.
1. È noto che il secondo termine della progressione geometrica è 6 e il denominatore è -0,5. Trova il primo, terzo e quarto termine.
Quindi ci viene dato infinito progressione geometrica, ma conosciuta secondo termine questa progressione:
b2 = 6
Inoltre, lo sappiamo anche denominatore di progressione:
q = -0,5
E devi trovare primo, terzo E il quarto membri di questa progressione.
Quindi agiamo. Scriviamo la sequenza in base alle condizioni del problema. Direttamente in forma generale, dove il secondo termine è sei:
b1, 6,B 3 , B 4 , …
Ora iniziamo la ricerca. Iniziamo, come sempre, dal più semplice. Puoi calcolare, ad esempio, il terzo termine b3? Potere! Tu ed io sappiamo già (direttamente nel senso della progressione geometrica) che il terzo termine (b3) più del secondo (B 2 ) V "Q" una volta!
Quindi scriviamo:
b3 =B 2 · Q
Sostituiamo sei in questa espressione invece di b2 e -0,5 invece Q e contiamo. E ovviamente non ignoriamo nemmeno gli aspetti negativi...
b3 = 6·(-0,5) = -3
Come questo. Il terzo termine si è rivelato negativo. Non c'è da stupirsi: il nostro denominatore Q– negativo. E moltiplicare un più per un meno darà, ovviamente, un meno.)
Ora contiamo il successivo, quarto termine della progressione:
b4 =B 3 · Q
b4 = -3·(-0,5) = 1,5
Il quarto termine è ancora una volta con un vantaggio. Il quinto termine sarà nuovamente negativo, il sesto sarà positivo e così via. I segni si alternano!
Quindi, sono stati trovati il terzo e il quarto termine. Il risultato è la seguente sequenza:
b1; 6; -3; 1,5; ...
Ora non resta che trovare il primo termine b1 secondo il noto secondo. Per fare questo, facciamo un passo nella direzione opposta, a sinistra. Ciò significa che in questo caso non occorre moltiplicare il secondo termine della progressione per il denominatore, ma dividere.
Dividiamo e otteniamo:
Questo è tutto.) La risposta al problema sarà così:
-12; 6; -3; 1,5; …
Come puoi vedere, il principio di soluzione è lo stesso di . Sappiamo Qualunque membro e denominatore progressione geometrica: possiamo trovarne qualsiasi altro membro. Troveremo quello che vogliamo.) L'unica differenza è che l'addizione/sottrazione è sostituita dalla moltiplicazione/divisione.
Ricorda: se conosciamo almeno un membro e un denominatore di una progressione geometrica, allora possiamo sempre trovare qualsiasi altro membro di questa progressione.
Il seguente problema, secondo la tradizione, proviene da una versione reale dell'OGE:
2.
...; 150; X; 6; 1,2; ...
Quindi com'è? Questa volta non c'è nessun primo termine, nessun denominatore Q, viene data solo una sequenza di numeri... Qualcosa di già familiare, vero? SÌ! Un problema simile è già stato risolto nella progressione aritmetica!
Quindi non abbiamo paura. Tutto uguale. Giriamo la testa e ricordiamo il significato elementare della progressione geometrica. Osserviamo attentamente la nostra sequenza e scopriamo quali parametri della progressione geometrica dei tre principali (primo termine, denominatore, numero del termine) sono nascosti in essa.
Numeri dei membri? Non ci sono numeri di iscrizione, sì... Ma ce ne sono quattro consecutivo numeri. Non vedo il motivo di spiegare cosa significa questa parola in questa fase.) Ce ne sono due numeri noti vicini? Mangiare! Questi sono 6 e 1.2. Quindi possiamo trovare denominatore di progressione. Quindi prendiamo il numero 1.2 e dividiamo al numero precedente. Alle sei.
Noi abbiamo:
Noi abbiamo:
X= 150·0,2 = 30
Risposta: X = 30 .
Come puoi vedere, tutto è abbastanza semplice. La difficoltà principale sta solo nei calcoli. È particolarmente difficile nel caso di denominatori negativi e frazionari. Quindi chi ha problemi, ripeta il calcolo! Come lavorare con le frazioni, come lavorare con i numeri negativi e così via... Altrimenti rallenterai senza pietà qui.
Ora modifichiamo un po' il problema. Ora diventerà interessante! Rimuoviamo da esso l'ultimo numero 1.2. Ora risolviamo questo problema:
3. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione geometrica:
...; 150; X; 6; ...
Trovare il termine della progressione indicata dalla lettera x.
Tutto è uguale, solo due adiacenti famoso Ora non abbiamo membri della progressione. Questo è il problema principale. Perché la grandezza Q attraverso due termini vicini possiamo facilmente determinarlo non possiamo. Abbiamo la possibilità di far fronte al compito? Certamente!
Scriviamo il termine sconosciuto " X"direttamente nel senso della progressione geometrica! In termini generali.
Si si! Proprio con un denominatore sconosciuto!
Da un lato, per X possiamo scrivere il seguente rapporto:
X= 150·Q
D'altra parte, abbiamo tutto il diritto di descrivere questa stessa X attraverso Prossimo membro, fino alle sei! Dividi sei per il denominatore.
Come questo:
X = 6/ Q
Ovviamente, ora possiamo equiparare entrambi questi rapporti. Dal momento che stiamo esprimendo lo stesso magnitudo (x), ma due diversi modi.
Otteniamo l'equazione:
Moltiplicando tutto per Q, semplificando e abbreviando, otteniamo l'equazione:
q2 = 1/25
Risolviamo e otteniamo:
q = ±1/5 = ±0,2
Ops! Il denominatore si è rivelato doppio! +0,2 e -0,2. E quale dovresti scegliere? Senza uscita?
Calma! Sì, il problema esiste davvero due soluzioni! Non c'è niente di sbagliato in questo. Succede.) Non sei sorpreso quando, ad esempio, ottieni due radici quando risolvi il solito problema? Anche qui è la stessa storia.)
Per q = +0,2 otterremo:
X = 150 0,2 = 30
E per Q = -0,2 Volere:
X = 150·(-0,2) = -30
Otteniamo una doppia risposta: X = 30; X = -30.
Cosa significa questo fatto interessante? E cosa esiste due progressioni, soddisfacendo le condizioni del problema!
Come questi:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Entrambi sono adatti.) Perché pensi che ci sia stata una divergenza nelle risposte? Proprio a causa dell'eliminazione di un membro specifico della progressione (1,2), che veniva dopo il sei. E conoscendo solo il precedente (n-1)esimo e il successivo (n+1)esimo termine della progressione geometrica, non possiamo più dire nulla in modo inequivocabile sull'ennesimo termine che si trova tra di loro. Ci sono due opzioni: con un più e con un meno.
Ma nessun problema. Di norma, nei compiti di progressione geometrica sono presenti informazioni aggiuntive che forniscono una risposta inequivocabile. Diciamo le parole: "progressione alternata" O "progressione con denominatore positivo" e così via... Sono queste parole che dovrebbero servire da indizio su quale segno, più o meno, scegliere quando si prepara la risposta finale. Se non sono presenti tali informazioni, allora sì, l'attività avrà due soluzioni.)
Ora decidiamo da soli.
4. Determina se il numero 20 è membro di una progressione geometrica:
4 ; 6; 9; …
5. Il segno di una progressione geometrica alternata è dato:
…; 5; X ; 45; …
Trovare il termine della progressione indicata dalla lettera X .
6. Trova il quarto termine positivo della progressione geometrica:
625; -250; 100; …
7. Il secondo termine della progressione geometrica è pari a -360 e il suo quinto termine è pari a 23,04. Trova il primo termine di questa progressione.
Risposte (in disordine): -15; 900; NO; 2.56.
Congratulazioni se tutto ha funzionato!
Qualcosa non quadra? Da qualche parte c'era una doppia risposta? Leggi attentamente i termini dell'incarico!
L'ultimo problema non funziona? Non c'è niente di complicato lì.) Lavoriamo direttamente secondo il significato della progressione geometrica. Bene, puoi fare un disegno. Aiuta.)
Come puoi vedere, tutto è elementare. Se la progressione è breve. E se fosse lungo? Oppure il numero del membro richiesto è molto elevato? Vorrei, per analogia con la progressione aritmetica, ottenere in qualche modo una formula comoda che renda facile trovare Qualunque termine di qualsiasi progressione geometrica dal suo numero. Senza moltiplicare tante, tante volte per Q. E esiste una formula del genere!) I dettagli sono nella lezione successiva.
La progressione geometrica, insieme alla progressione aritmetica, è un'importante serie di numeri che viene studiata nel corso di algebra scolastica al 9° anno. In questo articolo esamineremo il denominatore di una progressione geometrica e come il suo valore influisce sulle sue proprietà.
Definizione di progressione geometrica
Innanzitutto, definiamo questo serie di numeri. Una tale serie è chiamata progressione geometrica numeri razionali, che si forma moltiplicando sequenzialmente il suo primo elemento per un numero costante chiamato denominatore.
Ad esempio, i numeri della serie 3, 6, 12, 24, ... sono una progressione geometrica, perché se moltiplichi 3 (il primo elemento) per 2, ottieni 6. Se moltiplichi 6 per 2, ottieni 12, e così via.
I membri della sequenza in esame sono solitamente indicati con il simbolo ai, dove i è un numero intero che indica il numero dell'elemento della serie.
La definizione di progressione di cui sopra può essere scritta in linguaggio matematico come segue: an = bn-1 * a1, dove b è il denominatore. È facile verificare questa formula: se n = 1, allora b1-1 = 1 e otteniamo a1 = a1. Se n = 2, allora an = b * a1, e arriviamo nuovamente alla definizione della serie di numeri in questione. Un ragionamento simile può essere continuato per grandi valori di n.
Denominatore della progressione geometrica
Il numero b determina completamente quale carattere avrà l'intera serie numerica. Il denominatore b può essere positivo, negativo o maggiore o minore di uno. Tutte le opzioni di cui sopra portano a sequenze diverse:
- b > 1. Esiste una serie crescente di numeri razionali. Ad esempio, 1, 2, 4, 8, ... Se l'elemento a1 è negativo, l'intera sequenza aumenterà solo in valore assoluto, ma diminuirà a seconda del segno dei numeri.
- b = 1. Spesso questo caso non viene chiamato progressione, poiché esiste una serie ordinaria di numeri razionali identici. Ad esempio, -4, -4, -4.
Formula per l'importo
Prima di passare alla considerazione di problemi specifici utilizzando il denominatore del tipo di progressione in esame, è opportuno fornire un'importante formula per la somma dei suoi primi n elementi. La formula è simile a: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Puoi ottenere tu stesso questa espressione se consideri la sequenza ricorsiva dei termini della progressione. Si noti inoltre che nella formula sopra è sufficiente conoscere solo il primo elemento e il denominatore per trovare la somma di un numero arbitrario di termini.
Sequenza infinitamente decrescente
Di cosa si tratta è stata data sopra una spiegazione. Ora, conoscendo la formula per Sn, applichiamola a questa serie di numeri. Poiché qualsiasi numero il cui modulo non supera 1 tende a zero se elevato a grandi potenze, cioè b∞ => 0 se -1
Poiché la differenza (1 - b) sarà sempre positiva, indipendentemente dal valore del denominatore, il segno della somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente S∞ è determinato univocamente dal segno del suo primo elemento a1.
Consideriamo ora alcuni problemi in cui mostreremo come applicare le conoscenze acquisite su numeri specifici.
Compito n. 1. Calcolo degli elementi incogniti di progressione e somma
Data una progressione geometrica, il denominatore della progressione è 2 e il suo primo elemento è 3. A cosa saranno uguali il suo settimo e decimo termine e qual è la somma dei suoi sette elementi iniziali?
La condizione del problema è abbastanza semplice e prevede l'uso diretto delle formule di cui sopra. Quindi, per calcolare il numero dell'elemento n, usiamo l'espressione an = bn-1 * a1. Per il 7° elemento abbiamo: a7 = b6 * a1, sostituendo i dati noti otteniamo: a7 = 26 * 3 = 192. Facciamo lo stesso per il 10° termine: a10 = 29 * 3 = 1536.
Usiamo la nota formula per la somma e determiniamo questo valore per i primi 7 elementi della serie. Abbiamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Problema n. 2. Determinazione della somma di elementi arbitrari di una progressione
Sia -2 uguale al denominatore della progressione geometrica bn-1 * 4, dove n è un numero intero. È necessario determinare la somma dal 5° al 10° elemento di questa serie compresi.
Il problema posto non può essere risolto direttamente utilizzando formule note. Si può risolvere in 2 modi vari metodi. Per completare la presentazione dell'argomento, li presentiamo entrambi.
Metodo 1. L'idea è semplice: devi calcolare le due somme corrispondenti dei primi termini e poi sottrarre l'altra da uno. Calcoliamo l'importo minore: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ora calcoliamo la somma maggiore: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Si noti che nell'ultima espressione sono stati sommati solo 4 termini, poiché il 5° è già compreso nell'importo da calcolare in base alle condizioni del problema. Infine prendiamo la differenza: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metodo 2. Prima di sostituire i numeri e contare, puoi ottenere una formula per la somma tra i termini m e n della serie in questione. Facciamo esattamente lo stesso del metodo 1, solo che prima lavoriamo con la rappresentazione simbolica dell'importo. Abbiamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . È possibile sostituire i numeri noti nell'espressione risultante e calcolare il risultato finale: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Problema n. 3. Qual è il denominatore?
Sia a1 = 2, trovi il denominatore della progressione geometrica, purché la sua somma infinita sia 3, e sia noto che si tratta di una serie di numeri decrescenti.
In base alle condizioni del problema, non è difficile indovinare quale formula utilizzare per risolverlo. Naturalmente per la somma della progressione infinitamente decrescente. Abbiamo: S∞ = a1 / (1 - b). Da dove esprimiamo il denominatore: b = 1 - a1 / S∞. Non resta che sostituire valori conosciuti e ottieni il numero richiesto: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 o -0,333(3). Possiamo verificare qualitativamente questo risultato se ricordiamo che per questo tipo di successioni il modulo b non dovrebbe andare oltre 1. Come si vede, |-1 / 3|
Compito n. 4. Ripristino di una serie di numeri
Siano dati 2 elementi di una serie numerica, ad esempio il 5° è uguale a 30 e il 10° è uguale a 60. È necessario ricostruire l'intera serie da questi dati, sapendo che soddisfa le proprietà di una progressione geometrica.
Per risolvere il problema, devi prima scrivere l'espressione corrispondente per ogni termine conosciuto. Abbiamo: a5 = b4 * a1 e a10 = b9 * a1. Ora dividiamo la seconda espressione per la prima, otteniamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Da qui determiniamo il denominatore prendendo la quinta radice del rapporto tra i termini noti dalla formulazione del problema, b = 1,148698. Sostituiamo il numero risultante in una delle espressioni dell'elemento noto, otteniamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Pertanto, abbiamo trovato il denominatore della progressione bn e la progressione geometrica bn-1 * 17,2304966 = an, dove b = 1,148698.
Dove vengono utilizzate le progressioni geometriche?
Se non ci fosse un'applicazione pratica di questa serie di numeri, il suo studio sarebbe ridotto a un interesse puramente teorico. Ma una tale applicazione esiste.
Di seguito i 3 esempi più famosi:
- Il paradosso di Zenone, in cui l'agile Achille non riesce a raggiungere la lenta tartaruga, viene risolto utilizzando il concetto di una sequenza di numeri infinitamente decrescente.
- Se metti i chicchi di grano su ogni casella della scacchiera in modo che sulla 1a casella metti 1 chicco, sulla 2a - 2, sulla 3a - 3 e così via, allora per riempire tutte le caselle della scacchiera avrai bisogno 18446744073709551615 grani!
- Nel gioco "Torre di Hanoi", per spostare i dischi da un'asta all'altra è necessario eseguire 2n - 1 operazioni, ovvero il loro numero cresce esponenzialmente con il numero n di dischi utilizzati.
>>Matematica: Progressione geometrica
Per comodità del lettore, questo paragrafo è costruito esattamente secondo lo stesso schema che abbiamo seguito nel paragrafo precedente.
1. Concetti di base.
Definizione. Una sequenza numerica i cui membri sono tutti diversi da 0 e ciascun membro della quale, a partire dal secondo, si ottiene dal membro precedente moltiplicandolo per lo stesso numero è detta progressione geometrica. In questo caso il numero 5 è chiamato denominatore di una progressione geometrica.
Pertanto, una progressione geometrica è una sequenza numerica (b n) definita in modo ricorrente dalle relazioni
È possibile osservare una sequenza numerica e determinare se si tratta di una progressione geometrica? Potere. Se sei convinto che il rapporto tra qualsiasi membro della sequenza e il membro precedente sia costante, allora hai una progressione geometrica.
Esempio 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.
Esempio 2.
Questa è una progressione geometrica che ha
Esempio 3.
Questa è una progressione geometrica che ha
Esempio 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Questa è una progressione geometrica in cui b 1 - 8, q = 1.
Si noti che questa sequenza è anche una progressione aritmetica (vedi esempio 3 del § 15).
Esempio 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Questa è una progressione geometrica in cui b 1 = 2, q = -1.
Ovviamente una progressione geometrica è una sequenza crescente se b 1 > 0, q > 1 (vedi esempio 1), e una sequenza decrescente se b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Per indicare che la successione (b n) è una progressione geometrica è talvolta utile la seguente notazione:
L'icona sostituisce la frase “progressione geometrica”.
Notiamo una proprietà curiosa e allo stesso tempo abbastanza ovvia della progressione geometrica:
Se la sequenza 
è una progressione geometrica, quindi la sequenza di quadrati, cioè 
è una progressione geometrica.
Nella seconda progressione geometrica il primo termine è uguale e uguale a q 2.
Se in una progressione geometrica scartiamo tutti i termini che seguono b n , otteniamo una progressione geometrica finita 
Nei successivi paragrafi di questa sezione considereremo le proprietà più importanti della progressione geometrica.
2. Formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica.
Consideriamo una progressione geometrica 
denominatore q. Abbiamo:
Non è difficile indovinare che per qualsiasi numero n l'uguaglianza è vera
Questa è la formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica.
Commento.
Se leggi nota importante dal paragrafo precedente e capirlo, quindi provare a dimostrare la formula (1) utilizzando il metodo dell'induzione matematica allo stesso modo di come si è fatto per la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Riscriviamo la formula per l'ennesimo termine della progressione geometrica
e introduciamo la notazione: Otteniamo y = mq 2, o, più in dettaglio, 
L'argomento x è contenuto nell'esponente, quindi questa funzione è chiamata funzione esponenziale. Ciò significa che una progressione geometrica può essere considerata come una funzione esponenziale definita sull'insieme N dei numeri naturali. Nella fig. 96a mostra il grafico della funzione Fig. 966 - grafico della funzione 
In entrambi i casi abbiamo punti isolati (con ascisse x = 1, x = 2, x = 3, ecc.) che giacciono su una determinata curva (entrambe le figure mostrano la stessa curva, solo posizionata diversamente e rappresentata in scale diverse). Questa curva è chiamata curva esponenziale. Leggi di più su funzione esponenziale e la sua grafica sarà discussa nel corso di algebra dell'11° grado.
Torniamo agli esempi 1-5 del paragrafo precedente.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Questa è una progressione geometrica per la quale b 1 = 1, q = 3. Creiamo la formula per l'ennesimo termine 
2) 
Questa è una progressione geometrica per la quale creiamo una formula per l'ennesimo termine 
Questa è una progressione geometrica che ha 
Creiamo la formula per l'ennesimo termine 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Questa è una progressione geometrica per la quale b 1 = 8, q = 1. Creiamo la formula per l'ennesimo termine 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Questa è una progressione geometrica in cui b 1 = 2, q = -1. Creiamo la formula per l'ennesimo termine 
Esempio 6.
Data una progressione geometrica
In tutti i casi la soluzione si basa sulla formula dell'n-esimo termine della progressione geometrica
a) Mettendo n = 6 nella formula per l'n-esimo termine della progressione geometrica, otteniamo
b) Abbiamo
Poiché 512 = 2 9, otteniamo n - 1 = 9, n = 10.
d) Abbiamo
Esempio 7.
La differenza tra il settimo e il quinto termine della progressione geometrica è 48, anche la somma del quinto e del sesto termine della progressione è 48. Trova il dodicesimo termine di questa progressione.
Primo stadio. Elaborazione di un modello matematico.
Le condizioni del problema possono essere brevemente scritte come segue:
Utilizzando la formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica, otteniamo:
Allora la seconda condizione del problema (b 7 - b 5 = 48) può essere scritta come
La terza condizione del problema (b 5 + b 6 = 48) può essere scritta come
Di conseguenza, otteniamo un sistema di due equazioni con due variabili b 1 e q:
che, in combinazione con la condizione 1) scritta sopra, è modello matematico compiti.
Seconda fase.
Lavorare con il modello compilato. Uguagliando i membri di sinistra di entrambe le equazioni del sistema, otteniamo:
(abbiamo diviso entrambi i membri dell'equazione per l'espressione diversa da zero b 1 q 4).
Dall'equazione q 2 - q - 2 = 0 troviamo q 1 = 2, q 2 = -1. Sostituendo il valore q = 2 nella seconda equazione del sistema, otteniamo 
Sostituendo il valore q = -1 nella seconda equazione del sistema, otteniamo b 1 1 0 = 48; questa equazione non ha soluzioni.
Quindi, b 1 = 1, q = 2 - questa coppia è la soluzione del sistema di equazioni compilato.
Ora possiamo scrivere la progressione geometrica discussa nel problema: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Terza fase.
Risposta alla domanda problematica. Devi calcolare b 12. Abbiamo
Risposta: b12 = 2048.
3. Formula per la somma dei termini di una progressione geometrica finita.
Sia data una progressione geometrica finita
Indichiamo con S n la somma dei suoi termini, cioè
Deriviamo una formula per trovare questo importo.
Cominciamo con il caso più semplice, quando q = 1. Allora la progressione geometrica b 1, b 2, b 3,..., bn è composta da n numeri pari a b 1, cioè la progressione assomiglia a b 1, b 2, b 3, ..., b 4. La somma di questi numeri è nb 1.
Sia ora q = 1 Per trovare S n applichiamo una tecnica artificiale: effettuiamo alcune trasformazioni dell'espressione S n q. Abbiamo:
Nell'eseguire le trasformazioni, abbiamo innanzitutto utilizzato la definizione di progressione geometrica, secondo la quale (vedi la terza linea di ragionamento); in secondo luogo, hanno aggiunto e sottratto, motivo per cui il significato dell'espressione, ovviamente, non è cambiato (vedi quarta linea di ragionamento); in terzo luogo, abbiamo utilizzato la formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica:
Dalla formula (1) troviamo:
Questa è la formula per la somma di n termini di una progressione geometrica (nel caso in cui q = 1).
Esempio 8.
Data una progressione geometrica finita
a) la somma dei termini della progressione; b) la somma dei quadrati dei suoi termini.
b) Sopra (vedi p. 132) abbiamo già notato che se tutti i termini di una progressione geometrica sono al quadrato, allora otteniamo una progressione geometrica con il primo termine b 2 e il denominatore q 2. Quindi verrà calcolata la somma dei sei termini della nuova progressione
Esempio 9.
Trova l'ottavo termine della progressione geometrica per cui
Infatti abbiamo dimostrato il seguente teorema.
Una successione numerica è una progressione geometrica se e solo se il quadrato di ciascuno dei suoi termini, escluso il primo Teorema (e l'ultimo, nel caso di successione finita), è uguale al prodotto dei termini precedente e successivo ( una proprietà caratteristica di una progressione geometrica).