Il concetto di sequenza numerica implica che ogni numero naturale corrisponda a un valore reale. Tale serie di numeri può essere arbitraria o avere determinate proprietà: una progressione. In quest'ultimo caso, ogni elemento successivo (membro) della sequenza può essere calcolato utilizzando quello precedente.
Una progressione aritmetica è una sequenza di valori numerici in cui i suoi membri vicini differiscono tra loro dello stesso numero (tutti gli elementi della serie, a partire dal 2°, hanno una proprietà simile). Questo numero, la differenza tra il termine precedente e quello successivo, è costante ed è chiamato differenza di progressione.
Differenza di progressione: definizione
Consideriamo una sequenza composta da j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j appartiene all'insieme dei numeri naturali N. Un'aritmetica la progressione, secondo la sua definizione, è una sequenza, in cui a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Il valore d è la differenza desiderata di questa progressione.
d = a(j) – a(j-1).
Evidenziare:
- Una progressione crescente, nel qual caso d > 0. Esempio: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progressione decrescente, quindi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progressione delle differenze e suoi elementi arbitrari
Se si conoscono 2 termini arbitrari della progressione (i-esimo, k-esimo), la differenza per una determinata sequenza può essere determinata in base alla relazione:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, che significa d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Differenza di progressione e suo primo termine
Questa espressione aiuterà a determinare un valore sconosciuto solo nei casi in cui è noto il numero dell'elemento della sequenza.
Differenza di progressione e sua somma
La somma di una progressione è la somma dei suoi termini. Per calcolare il valore totale dei suoi primi j elementi, utilizzare la formula appropriata:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ma poiché a(j) = a(1) + d(j – 1), allora S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
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Una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui ciascun numero è maggiore (o minore) del precedente della stessa quantità.
Questo argomento sembra spesso complesso e incomprensibile. Indici delle lettere ennesimo termine progressioni, differenze di progressione - tutto questo crea in qualche modo confusione, sì... Scopriamo il significato della progressione aritmetica e tutto andrà subito meglio.)
Il concetto di progressione aritmetica.
La progressione aritmetica è un concetto molto semplice e chiaro. Hai qualche dubbio? Invano.) Guarda tu stesso.
Scriverò una serie di numeri incompiuta:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Puoi estendere questa serie? Quali numeri verranno dopo, dopo il cinque? Tutti... ehm... insomma tutti si renderanno conto che dopo verranno i numeri 6, 7, 8, 9, ecc.
Complichiamo il compito. Ti do una serie di numeri incompiuta:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Sarai in grado di cogliere lo schema, estendere la serie e nominare settimo numero di riga?
Se ti sei reso conto che questo numero è 20, congratulazioni! Non solo ti sei sentito punti chiave della progressione aritmetica, ma li abbiamo anche utilizzati con successo negli affari! Se non l’hai capito, continua a leggere.
Ora traduciamo i punti chiave delle sensazioni in matematica.)
Primo punto chiave.
La progressione aritmetica si occupa di serie di numeri. All'inizio questo crea confusione. Siamo abituati a risolvere equazioni, disegnare grafici e tutto il resto... Ma qui estendiamo la serie, troviamo il numero della serie...
Va bene. È solo che le progressioni sono la prima conoscenza di una nuova branca della matematica. La sezione si chiama "Serie" e funziona specificamente con serie di numeri ed espressioni. Abituatevi.)
Secondo punto chiave.
In una progressione aritmetica qualsiasi numero è diverso dal precedente dello stesso importo.
Nel primo esempio, questa differenza è una. Qualunque numero tu prenda, è uno in più rispetto al precedente. Nel secondo - tre. Qualsiasi numero è tre in più del precedente. In realtà, è questo momento che ci dà l'opportunità di cogliere lo schema e calcolare i numeri successivi.
Terzo punto chiave.
Questo momento non è eclatante, sì... Ma è molto, molto importante. Eccolo: Ogni numero di progressione è al suo posto. C’è il primo numero, c’è il settimo, c’è il quarantacinquesimo, ecc. Se li mescoli a caso, lo schema scomparirà. Scomparirà anche la progressione aritmetica. Ciò che resta è solo una serie di numeri.
Questo è il punto.
Naturalmente, nuovi termini e designazioni compaiono in un nuovo argomento. Devi conoscerli. Altrimenti non capirai il compito. Ad esempio, dovrai decidere qualcosa come:
Annota i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.
Ispirante?) Lettere, alcuni indici... E il compito, tra l'altro, non potrebbe essere più semplice. Hai solo bisogno di capire il significato dei termini e delle designazioni. Ora padroneggeremo questa questione e torneremo al compito.
Termini e designazioni.
Progressione aritmeticaè una serie di numeri in cui ogni numero è diverso dal precedente dello stesso importo.
Questa quantità si chiama . Diamo un'occhiata a questo concetto in modo più dettagliato.
Differenza di progressione aritmetica.
Differenza di progressione aritmeticaè l'importo di cui qualsiasi numero di progressione Di più precedente.
Uno punto importante. Per favore presta attenzione alla parola "Di più". Matematicamente, ciò significa che ogni numero di progressione lo è aggiungendo differenza di progressione aritmetica rispetto al numero precedente.
Per calcolare, diciamo secondo numeri della serie, è necessario Primo numero aggiungere proprio questa differenza di una progressione aritmetica. Per il calcolo quinto- la differenza è necessaria aggiungere A il quarto, beh, ecc.
Differenza di progressione aritmetica Forse positivo, quindi ogni numero della serie risulterà reale più del precedente. Questa progressione si chiama crescente. Per esempio:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Qui si ottiene ogni numero aggiungendo numero positivo, +5 al precedente.
La differenza potrebbe essere negativo, quindi ogni numero della serie sarà meno del precedente. Questa progressione si chiama (non ci crederai!) decrescente.
Per esempio:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Anche qui si ottiene ogni numero aggiungendo al precedente, ma già un numero negativo, -5.
A proposito, quando si lavora con la progressione, è molto utile determinarne immediatamente la natura, se è in aumento o in diminuzione. Questo aiuta molto a orientarsi nella decisione, individuare i propri errori e correggerli prima che sia troppo tardi.
Differenza di progressione aritmetica solitamente indicato con la lettera D.
Come trovare D? Molto semplice. È necessario sottrarre da qualsiasi numero della serie precedente numero. Sottrarre. A proposito, il risultato della sottrazione si chiama "differenza".)
Definiamo, ad esempio, D per aumentare la progressione aritmetica:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Prendiamo qualsiasi numero della serie che vogliamo, ad esempio 11. Lo sottraiamo numero precedente quelli. 8:
Questa è la risposta corretta. Per questa progressione aritmetica, la differenza è tre.
Puoi prenderlo qualsiasi numero di progressione, Perché per una progressione specifica D-sempre la stessa. Almeno da qualche parte all'inizio della riga, almeno al centro, almeno ovunque. Non puoi prendere solo il primo numero. Semplicemente perché il primo numero nessun precedente.)
A proposito, sapendolo d=3, trovare il settimo numero di questa progressione è molto semplice. Aggiungiamo 3 al quinto numero: otteniamo il sesto, sarà 17. Aggiungiamo tre al sesto numero, otteniamo il settimo numero: venti.
Definiamo D per la progressione aritmetica discendente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ti ricordo che, indipendentemente dai segni, da determinare D bisogno da qualsiasi numero togli quello precedente. Scegli un numero di progressione qualsiasi, ad esempio -7. Il suo numero precedente è -2. Poi:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
La differenza di una progressione aritmetica può essere qualsiasi numero: intero, frazionario, irrazionale, qualsiasi numero.
Altri termini e designazioni.
Viene chiamato ogni numero della serie membro di una progressione aritmetica.
Ogni membro della progressione ha un proprio numero. I numeri sono rigorosamente in ordine, senza trucchi. Primo, secondo, terzo, quarto ecc. Ad esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, 14, ... due è il primo termine, cinque è il secondo, undici è il quarto, beh, avete capito...) Per favore capite bene - i numeri stessi può essere assolutamente qualsiasi cosa, intero, frazionario, negativo, qualunque cosa, ma numerazione dei numeri- rigorosamente in ordine!
Come scrivere una progressione in vista generale? Nessun problema! Ogni numero in una serie è scritto come una lettera. Per denotare una progressione aritmetica, di solito viene utilizzata la lettera UN. Il numero del membro è indicato da un indice in basso a destra. Scriviamo i termini separati da virgole (o punto e virgola), in questo modo:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
un 1- questo è il primo numero, un 3- terzo, ecc. Nulla di bello. Questa serie può essere scritta brevemente in questo modo: (UN).
Le progressioni accadono finito e infinito.
Definitivo la progressione ha quantità limitata membri. Cinque, trentotto, qualunque cosa. Ma è un numero finito.
Infinito progressione - ha un numero infinito di membri, come puoi immaginare.)
Puoi scrivere la progressione finale attraverso una serie come questa, tutti i termini e un punto alla fine:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.
O così, se ci sono molti membri:
un 1, un 2, ... un 14, un 15.
Nella voce breve dovrai inoltre indicare il numero dei membri. Ad esempio (per venti membri), in questo modo:
(a n), n = 20
Una progressione infinita può essere riconosciuta dai puntini di sospensione alla fine della riga, come negli esempi di questa lezione.
Ora puoi risolvere i compiti. I compiti sono semplici, servono esclusivamente a comprendere il significato di una progressione aritmetica.
Esempi di compiti sulla progressione aritmetica.
Diamo un'occhiata al compito sopra indicato in dettaglio:
1. Scrivi i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.
Trasferiamo l'attività a linguaggio chiaro. È data una progressione aritmetica infinita. Il secondo numero di questa progressione è noto: un 2 = 5. La differenza di progressione è nota: d = -2,5. Dobbiamo trovare il primo, terzo, quarto, quinto e sesto termine di questa progressione.
Per chiarezza, scriverò una serie in base alle condizioni del problema. I primi sei termini, dove il secondo termine è cinque:
un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....
un 3 = un 2 + D
Sostituisci nell'espressione un 2 = 5 E d = -2,5. Non dimenticare il meno!
un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Il terzo termine si è rivelato inferiore al secondo. Tutto è logico. Se il numero è maggiore del precedente negativo valore, il che significa che il numero stesso sarà inferiore a quello precedente. La progressione è in diminuzione. Ok, teniamone conto.) Contiamo il quarto termine della nostra serie:
un 4 = un 3 + D
un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = un 4 + D
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
un 6 = un 5 + D
un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Quindi sono stati calcolati i termini dal terzo al sesto. Il risultato è la seguente serie:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Resta da trovare il primo termine un 1 secondo il noto secondo. Questo è un passo nella direzione opposta, a sinistra.) Quindi, la differenza della progressione aritmetica D non dovrebbe essere aggiunto un 2, UN porta via:
un 1 = un 2 - D
un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Questo è tutto. Risposta al compito:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Di passaggio, vorrei sottolineare che abbiamo risolto questo compito ricorrente modo. Questa terribile parola significa solo la ricerca di un membro della progressione secondo il numero precedente (adiacente). Di seguito esamineremo altri modi per lavorare con la progressione.
Da questo semplice compito si può trarre una conclusione importante.
Ricordare:
Se conosciamo almeno un termine e la differenza di una progressione aritmetica, possiamo trovare qualsiasi termine di questa progressione.
Ti ricordi? Questa semplice conclusione consente di risolvere la maggior parte dei problemi del corso scolastico su questo argomento. Tutte le attività ruotano attorno a tre parametri principali: membro di una progressione aritmetica, differenza di una progressione, numero di un membro della progressione. Tutto.
Naturalmente, tutta l'algebra precedente non viene cancellata.) Disuguaglianze, equazioni e altre cose sono collegate alla progressione. Ma secondo la progressione stessa- tutto ruota attorno a tre parametri.
Ad esempio, diamo un'occhiata ad alcune attività popolari su questo argomento.
2. Scrivi la progressione aritmetica finita come una serie se n=5, d = 0,4 e a 1 = 3,6.
Tutto è semplice qui. Tutto è già stato dato. È necessario ricordare come si contano i membri di una progressione aritmetica, contarli e scriverli. Si consiglia di non perdere le parole nelle condizioni del compito: “finale” e “ n=5". Per non contare finché non sarai completamente blu in faccia.) Ci sono solo 5 (cinque) membri in questa progressione:
a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
un3 = un2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Resta da scrivere la risposta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Un altro compito:
3. Determina se il numero 7 sarà un membro della progressione aritmetica (a n), se un 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Chi lo sa? Come determinare qualcosa?
Come-come... Annota la progressione sotto forma di serie e vedi se ci sarà un sette oppure no! Contiamo:
a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
un3 = un2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ora è chiaramente visibile che siamo solo in sette scivolato attraverso tra 6,5 e 7,7! Il sette non rientra nella nostra serie di numeri e quindi il sette non farà parte della progressione data.
Risposta: no.
Ecco un problema basato su vera opzione GIA:
4. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:
...; 15; X; 9; 6; ...
Ecco una serie scritta senza fine e senza inizio. Nessun numero di membri, nessuna differenza D. Va bene. Per risolvere il problema è sufficiente comprendere il significato di una progressione aritmetica. Diamo un'occhiata e vediamo cosa è possibile sapere di questa serie? Quali sono i tre parametri principali?
Numeri dei membri? Non c'è un solo numero qui.
Ma i numeri sono tre e – attenzione! - parola "coerente" in condizione. Ciò significa che i numeri sono rigorosamente in ordine, senza lacune. Ce ne sono due in questa fila? limitrofo numeri conosciuti? Sì! Questi sono 9 e 6. Pertanto, possiamo calcolare la differenza della progressione aritmetica! Sottrai da sei precedente numero, cioè nove:
Sono rimaste solo sciocchezze. Quale sarà il numero precedente per X? Quindici. Ciò significa che X può essere facilmente trovato mediante una semplice addizione. Aggiungi la differenza della progressione aritmetica a 15:
È tutto. Risposta: x=12
Risolviamo noi stessi i seguenti problemi. Nota: questi problemi non si basano su formule. Puramente per comprendere il significato di una progressione aritmetica.) Scriviamo semplicemente una serie di numeri e lettere, guardiamo e capiamo.
5. Trovare il primo termine positivo della progressione aritmetica se a 5 = -3; d = 1,1.
6. È noto che il numero 5.5 è membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 = 1.6; d = 1,3. Determina il numero n di questo termine.
7. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 4; un 5 = 15,1. Trovane 3.
8. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:
...; 15,6; X; 3.4; ...
Trovare il termine della progressione indicata dalla lettera x.
9. Il treno iniziò a muoversi dalla stazione, aumentando uniformemente la velocità di 30 metri al minuto. Quale sarà la velocità del treno dopo cinque minuti? Dai la tua risposta in km/ora.
10. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 5; un 6 = -5. Trova un 1.
Risposte (disordinate): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Tutto ha funzionato? Sorprendente! Puoi padroneggiare la progressione aritmetica per ulteriori informazioni alto livello, nelle lezioni successive.
Non ha funzionato tutto? Nessun problema. Nella Sezione Speciale 555, tutti questi problemi vengono risolti pezzo per pezzo.) E, naturalmente, viene descritta una semplice tecnica pratica che evidenzia immediatamente la soluzione a tali compiti in modo chiaro, chiaro, a colpo d'occhio!
A proposito, nel puzzle del treno ci sono due problemi in cui le persone spesso inciampano. Uno è puramente in termini di progressione, e il secondo è generale per qualsiasi problema di matematica e anche di fisica. Questa è una traslazione delle dimensioni dall'una all'altra. Mostra come questi problemi dovrebbero essere risolti.
In questa lezione abbiamo visto il significato elementare di una progressione aritmetica e i suoi parametri principali. Questo è sufficiente per risolvere quasi tutti i problemi su questo argomento. Aggiungere D ai numeri, scrivete una serie, tutto si risolverà.
La soluzione con le dita funziona bene per tratti di riga molto brevi, come negli esempi di questo tutorial. Se la serie è più lunga i calcoli diventano più complicati. Ad esempio, se nel problema 9 nella domanda sostituiamo "cinque minuti" SU "trentacinque minuti" il problema peggiorerà notevolmente.)
E ci sono anche compiti semplici in sostanza, ma assurdi in termini di calcoli, ad esempio:
Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
E allora, aggiungeremo 1/6 molte, molte volte?! Puoi ucciderti!?
Puoi.) Se non conosci una formula semplice con la quale puoi risolvere tali compiti in un minuto. Questa formula sarà nella prossima lezione. E questo problema è risolto lì. In un minuto.)
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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)
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Somma di una progressione aritmetica.
La somma di una progressione aritmetica è una cosa semplice. Sia nel significato che nella formula. Ma ci sono tutti i tipi di compiti su questo argomento. Da semplice a abbastanza solido.
Innanzitutto, comprendiamo il significato e la formula dell'importo. E poi decideremo. Per il tuo piacere.) Il significato dell'importo è semplice come un muggito. Per trovare la somma di una progressione aritmetica basta sommare con attenzione tutti i suoi termini. Se questi termini sono pochi, puoi aggiungerli senza alcuna formula. Ma se c'è molto, o molto... l'addizione è fastidiosa.) In questo caso la formula viene in soccorso.
La formula per l'importo è semplice:
Scopriamo che tipo di lettere sono incluse nella formula. Questo chiarirà molto le cose.
S n - la somma di una progressione aritmetica. Risultato dell'addizione tutti membri, con Primo Di scorso.È importante. Si sommano esattamente Tutto membri di fila, senza saltare o saltare. E, appunto, a partire da Primo. In problemi come trovare la somma del terzo e dell'ottavo termine, o la somma dei termini dal quinto al ventesimo... applicazione diretta le formule deluderanno.)
un 1 - Primo membro della progressione. Qui è tutto chiaro, è semplice Primo numero di riga.
UN- scorso membro della progressione. L'ultimo numero della serie. Non è un nome molto familiare, ma se applicato all’importo è molto adatto. Allora lo vedrai tu stesso.
N - numero dell'ultimo membro. È importante capire che nella formula questo numero coincide con il numero di termini aggiunti.
Definiamo il concetto scorso membro UN. Domanda complicata: quale membro sarà l'ultimo se dato infinito progressione aritmetica?)
Per rispondere con sicurezza è necessario comprendere il significato elementare della progressione aritmetica e... leggere attentamente il compito!)
Nel compito di trovare la somma di una progressione aritmetica, l'ultimo termine compare sempre (direttamente o indirettamente), che dovrebbe essere limitato. Altrimenti, un importo finale e specifico semplicemente non esiste. Per la soluzione non importa se la progressione è data: finita o infinita. Non importa come viene dato: una serie di numeri o una formula per l'ennesimo termine.
La cosa più importante è capire che la formula funziona dal primo termine della progressione fino al termine con numero N. In realtà, il nome completo della formula è simile al seguente: la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Il numero di questi primissimi membri, cioè N, è determinato esclusivamente dal compito. In un'attività, tutte queste preziose informazioni sono spesso crittografate, sì... Ma non importa, negli esempi seguenti sveliamo questi segreti.)
Esempi di compiti sulla somma di una progressione aritmetica.
Prima di tutto, informazioni utili:
La principale difficoltà nei compiti che comportano la somma di una progressione aritmetica risiede nella corretta determinazione degli elementi della formula.
Gli autori dei compiti crittografano proprio questi elementi con un'immaginazione illimitata.) La cosa principale qui è non avere paura. Comprendendo l'essenza degli elementi, è sufficiente decifrarli semplicemente. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio. Cominciamo con un compito basato su un vero GIA.
1. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a n = 2n-3.5. Trova la somma dei suoi primi 10 termini.
Buon lavoro. Facile.) Per determinare l'importo utilizzando la formula, cosa dobbiamo sapere? Primo membro un 1, ultimo termine UN, sì, il numero dell'ultimo membro N.
Dove posso trovare il numero dell'ultimo membro? N? Sì, proprio lì, a condizione! Dice: trova la somma primi 10 membri. Bene, con che numero sarà? scorso, decimo membro?) Non ci crederai, il suo numero è decimo!) Pertanto, invece di UN Sostituiremo nella formula un 10, e invece N- dieci. Ripeto, il numero dell'ultimo membro coincide con il numero dei soci.
Resta da determinare un 1 E un 10. Questo può essere facilmente calcolato utilizzando la formula per l'ennesimo termine, fornita nella dichiarazione del problema. Non sai come farlo? Frequenta la lezione precedente, senza questa non c'è modo.
un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S10.
Abbiamo scoperto il significato di tutti gli elementi della formula per la somma di una progressione aritmetica. Non resta che sostituirli e contare:
Questo è tutto. Risposta: 75.
Un altro compito basato sul GIA. Un po' più complicato:
2. Data una progressione aritmetica (a n), la cui differenza è 3,7; a1 =2,3. Trova la somma dei suoi primi 15 termini.
Scriviamo subito la formula della somma:
Questa formula ci consente di trovare il valore di qualsiasi termine in base al suo numero. Cerchiamo una semplice sostituzione:
un 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Resta da sostituire tutti gli elementi della formula con la somma di una progressione aritmetica e calcolare la risposta:
Risposta: 423.
A proposito, se nella formula della somma invece di UN Sostituiamo semplicemente la formula all'ennesimo termine e otteniamo:
Presentiamone di simili e otteniamo una nuova formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica:
 |
Come puoi vedere, l'ennesimo termine non è richiesto qui UN. In alcuni problemi questa formula aiuta molto, sì... Puoi ricordare questa formula. Oppure puoi semplicemente visualizzarlo al momento giusto, come qui. Dopotutto, devi sempre ricordare la formula per la somma e la formula per l'ennesimo termine.)
Ora il compito sotto forma di una breve crittografia):
3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a due cifre che sono multipli di tre.
Oh! Né il tuo primo membro, né l'ultimo, né alcuna progressione... Come vivere!?
Dovrai pensare con la tua testa ed estrarre dalla condizione tutti gli elementi della somma della progressione aritmetica. Sappiamo cosa sono i numeri a due cifre. Sono costituiti da due numeri.) Quale sarà il numero a due cifre Primo? 10, presumibilmente.) A ultima cosa numero a doppia cifra? 99, ovviamente! Quelli a tre cifre lo seguiranno...
Multipli di tre... Hm... Questi sono i numeri divisibili per tre, ecco! Dieci non è divisibile per tre, 11 non è divisibile... 12... è divisibile! Dunque, qualcosa sta emergendo. Puoi già scrivere una serie in base alle condizioni del problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Questa serie sarà una progressione aritmetica? Certamente! Ogni termine differisce dal precedente rigorosamente tre. Se aggiungi 2 o 4 a un termine, ad esempio, il risultato, ad es. il nuovo numero non è più divisibile per 3. Puoi determinare immediatamente la differenza della progressione aritmetica: d = 3. Tornerà utile!)
Quindi, possiamo tranquillamente annotare alcuni parametri di progressione:
Quale sarà il numero? N ultimo membro? Chi pensa che 99 si sbaglia di grosso... I numeri vanno sempre in fila, ma i nostri membri saltano sopra il tre. Non corrispondono.
Ci sono due soluzioni qui. Un modo è per i super laboriosi. Puoi scrivere la progressione, l'intera serie di numeri e contare il numero dei membri con il dito.) Il secondo modo è per chi è riflessivo. Devi ricordare la formula per l'ennesimo termine. Se applichiamo la formula al nostro problema, troviamo che 99 è il trentesimo termine della progressione. Quelli. n = 30.
Diamo un'occhiata alla formula per la somma di una progressione aritmetica:
Guardiamo e ci rallegriamo.) Abbiamo estratto dalla dichiarazione del problema tutto il necessario per calcolare l'importo:
un 1= 12.
un 30= 99.
S n = S30.
Tutto ciò che resta è l'aritmetica elementare. Sostituiamo i numeri nella formula e calcoliamo:
Risposta: 1665
Un altro tipo di puzzle popolare:
4. Data una progressione aritmetica:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Trova la somma dei termini dal ventesimo al trentaquattro.
Guardiamo la formula per l'importo e... ci arrabbiamo.) La formula, lasciatemelo ricordare, calcola l'importo dal primo membro. E nel problema devi calcolare la somma dal ventesimo... La formula non funzionerà.
Ovviamente puoi scrivere l'intera progressione in una serie e aggiungere termini da 20 a 34. Ma... è in qualche modo stupido e richiede molto tempo, giusto?)
Esiste una soluzione più elegante. Dividiamo la nostra serie in due parti. La prima parte sarà dal primo mandato al diciannovesimo. Seconda parte - dai venti ai trentaquattro.È chiaro che se calcoliamo la somma dei termini della prima parte S 1-19, aggiungiamolo con la somma dei termini della seconda parte S 20-34, si ottiene la somma della progressione dal primo termine al trentaquattresimo S 1-34. Come questo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Da questo possiamo vedere che trovi la somma S 20-34 può essere fatto mediante una semplice sottrazione
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Vengono considerati entrambi gli importi sul lato destro dal primo membro, cioè la formula della somma standard è del tutto applicabile a loro. Iniziamo?
Estraiamo i parametri di progressione dalla dichiarazione del problema:
d = 1,5.
un 1= -21,5.
Per calcolare la somma dei primi 19 e dei primi 34 termini, avremo bisogno del 19° e del 34° termine. Li calcoliamo utilizzando la formula per l'ennesimo termine, come nel problema 2:
un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Non è rimasto niente. Dalla somma di 34 termini sottrai la somma di 19 termini:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Risposta: 262,5
Uno nota importante! C'è un trucco molto utile per risolvere questo problema. Invece del calcolo diretto di cosa hai bisogno (S 20-34), abbiamo contato qualcosa che sembrerebbe non necessario - S 1-19. E poi hanno deciso S 20-34, scartando il superfluo dal risultato completo. Questo tipo di “finta con le orecchie” spesso ti salva da problemi malvagi.)
In questa lezione abbiamo affrontato problemi per i quali è sufficiente comprendere il significato della somma di una progressione aritmetica. Bene, devi conoscere un paio di formule.)
Quando risolvi qualsiasi problema che coinvolga la somma di una progressione aritmetica, consiglio di scrivere immediatamente le due formule principali di questo argomento.
Formula per l'ennesimo termine:
Queste formule ti diranno immediatamente cosa cercare e in quale direzione pensare per risolvere il problema. Aiuta.
E ora i compiti per una soluzione indipendente.
5. Trova la somma di tutti i numeri a due cifre che non sono divisibili per tre.
Bello?) Il suggerimento è nascosto nella nota al problema 4. Bene, il problema 3 aiuterà.
6. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a 1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova la somma dei suoi primi 24 termini.
Insolito?) Questa è una formula ricorrente. Puoi leggerlo nella lezione precedente. Non ignorare il collegamento, tali problemi si riscontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.
7. Vasya ha risparmiato soldi per le vacanze. Fino a 4550 rubli! E ho deciso di regalare alla mia persona preferita (me stesso) qualche giorno di felicità). Vivi magnificamente senza negarti nulla. Spendi 500 rubli il primo giorno e ogni giorno successivo spendi 50 rubli in più rispetto al precedente! Fino a quando i soldi non finiscono. Quanti giorni di felicità ha avuto Vasya?
È difficile?) La formula aggiuntiva del problema 2 aiuterà.
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Prima di iniziare a decidere problemi di progressione aritmetica, consideriamo cos'è una sequenza numerica, poiché una progressione aritmetica è un caso speciale di sequenza numerica.
Una sequenza numerica è un insieme di numeri, ciascun elemento del quale ha il proprio numero di serie. Gli elementi di questo insieme sono chiamati membri della sequenza. Il numero di serie di un elemento di sequenza è indicato da un indice:
Il primo elemento della sequenza;
Il quinto elemento della sequenza;
- l'elemento “n-esimo” della sequenza, ovvero elemento "in coda" al numero n.
Esiste una relazione tra il valore di un elemento di sequenza e il suo numero di sequenza. Pertanto, possiamo considerare una sequenza come una funzione il cui argomento è il numero ordinale dell'elemento della sequenza. In altre parole, possiamo dirlo la sequenza è una funzione dell'argomento naturale:
La sequenza può essere impostata in tre modi:
1 . La sequenza può essere specificata utilizzando una tabella. In questo caso, impostiamo semplicemente il valore di ciascun membro della sequenza.
Ad esempio, qualcuno ha deciso di dedicarsi alla gestione del tempo personale e, per cominciare, di contare quanto tempo trascorre su VKontakte durante la settimana. Registrando il tempo nella tabella riceverà una sequenza composta da sette elementi:
La prima riga della tabella indica il numero del giorno della settimana, la seconda l'ora in minuti. Vediamo che lunedì qualcuno ha trascorso 125 minuti su VKontakte, cioè giovedì - 248 minuti e venerdì solo 15.
2 . La sequenza può essere specificata utilizzando la formula dell'ennesimo termine.
In questo caso, la dipendenza del valore di un elemento di sequenza dal suo numero è espressa direttamente sotto forma di formula.
Ad esempio, se , allora
Per trovare il valore di un elemento di sequenza con un dato numero, sostituiamo il numero dell'elemento nella formula dell'ennesimo termine.
Facciamo la stessa cosa se dobbiamo trovare il valore di una funzione conoscendo il valore dell'argomento. Sostituiamo il valore dell'argomento nell'equazione della funzione:
Se, ad esempio, 
, Quello
Vorrei notare ancora una volta che in una sequenza, a differenza di una funzione numerica arbitraria, l'argomento può essere solo un numero naturale.
3 . La sequenza può essere specificata utilizzando una formula che esprime la dipendenza del valore del membro della sequenza numero n dai valori dei membri precedenti. In questo caso non è sufficiente conoscere solo il numero del membro della sequenza per trovarne il valore. Dobbiamo specificare il primo membro o i primi membri della sequenza.
Consideriamo ad esempio la sequenza 
, 
Possiamo trovare i valori dei membri della sequenza in sequenza, a partire dal terzo:
Cioè ogni volta, per trovare il valore dell'ennesimo termine della successione, si torna ai due precedenti. Questo metodo per specificare una sequenza viene chiamato ricorrente, dalla parola latina ricorrere- ritorno.
Ora possiamo definire una progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è un semplice caso speciale di una sequenza numerica.
Progressione aritmetica è una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente sommato allo stesso numero.
Il numero viene chiamato differenza di progressione aritmetica. La differenza di una progressione aritmetica può essere positiva, negativa o uguale a zero.
Se titolo="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescente.
Ad esempio, 2; 5; 8; undici;...
Se , allora ogni termine di una progressione aritmetica è minore del precedente, e la progressione è decrescente.
Ad esempio, 2; -1; -4; -7;...
Se , allora tutti i termini della progressione sono uguali allo stesso numero e la progressione lo è stazionario.
Ad esempio, 2;2;2;2;...
La proprietà principale di una progressione aritmetica:
Diamo un'occhiata al disegno.
Lo vediamo
, e allo stesso tempo
Sommando queste due uguaglianze, otteniamo:
.
Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per 2:
Quindi ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei due vicini:
Inoltre, da allora
, e allo stesso tempo
, Quello
, e quindi
Ogni termine di una progressione aritmetica, che inizia con title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Formula dell'esimo termine.
Vediamo che i termini della progressione aritmetica soddisfano le seguenti relazioni:
e infine
Noi abbiamo formula dell'ennesimo termine.
IMPORTANTE! Qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere espresso tramite e. Conoscendo il primo termine e la differenza di una progressione aritmetica, puoi trovare qualsiasi suo termine.
La somma di n termini di una progressione aritmetica.
In una progressione aritmetica arbitraria, le somme dei termini equidistanti da quelli estremi sono uguali tra loro:
Consideriamo una progressione aritmetica con n termini. Sia la somma di n termini di questa progressione uguale a .
Disponiamo i termini della progressione prima in ordine crescente di numeri, e poi in ordine decrescente:
Aggiungiamo a coppie:
La somma in ciascuna parentesi è , il numero di coppie è n.
Noi abbiamo:
COSÌ, la somma di n termini di una progressione aritmetica può essere trovata utilizzando le formule:
Consideriamo Risoluzione di problemi di progressione aritmetica.
1 . La sequenza è data dalla formula dell'ennesimo termine: . Dimostrare che questa sequenza è una progressione aritmetica.
Dimostriamo che la differenza tra due termini adiacenti della successione è uguale allo stesso numero.
Abbiamo scoperto che la differenza tra due membri adiacenti della sequenza non dipende dal loro numero ed è una costante. Pertanto, per definizione, questa sequenza è una progressione aritmetica.
2 . Data una progressione aritmetica -31; -27;...
a) Trova 31 termini della progressione.
b) Determina se il numero 41 è incluso in questa progressione.
UN) Lo vediamo ;
Scriviamo la formula per l'ennesimo termine della nostra progressione.
Generalmente 
Nel nostro caso 
, Ecco perché 
Che cosa il punto principale formule?
Questa formula ti consente di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .
Naturalmente è necessario conoscere anche il primo termine un 1 e differenza di progressione D beh, senza questi parametri non è possibile scrivere una progressione specifica.
Memorizzare (o cribizzare) questa formula non è sufficiente. È necessario comprenderne l'essenza e applicare la formula a vari problemi. E anche per non dimenticare al momento giusto, sì...) Come non dimenticare- Non lo so. E qui come ricordare Se necessario, ti consiglierò sicuramente. Per coloro che completano la lezione fino alla fine.)
Quindi, diamo un'occhiata alla formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Cos'è una formula in generale? A proposito, dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire di cosa si tratta ennesimo termine.
La progressione in generale può essere scritta come una serie di numeri:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro, un 4- il quarto e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - s un 120.
Come possiamo definirlo in termini generali? Qualunque termine di una progressione aritmetica, con Qualunque numero? Molto semplice! Come questo:
UN
Questo è quello che è ennesimo termine di una progressione aritmetica. La lettera n nasconde tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.
E cosa ci regala un record del genere? Pensa che invece di un numero hanno scritto una lettera...
Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con la progressione aritmetica. Utilizzando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E risolvi un sacco di altri problemi di progressione. Lo vedrai tu stesso ulteriormente.
Nella formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica:
| a n = a 1 + (n-1)d |
un 1- il primo termine di una progressione aritmetica;
N- Numero membro.
La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: UN ; un 1; D E N. Tutti i problemi di progressione ruotano attorno a questi parametri.
La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, il problema potrebbe dire che la progressione è specificata dalla condizione:
un n = 5 + (n-1) 2.
Un problema del genere può essere un vicolo cieco... Non esiste né una serie né una differenza... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 = 5 e d = 2.
E può essere anche peggio!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, Sì, apri le parentesi e portane di simili? Otteniamo una nuova formula:
un n = 3 + 2 n.
Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che si nasconde la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo termine è cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.
Nei problemi di progressione c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, come hai intuito, il termine “n più primo” della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo UN quinto mandato quindi un n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.
Molto spesso la designazione un n+1 si trova nelle formule di ricorrenza. Non aver paura di questa parola spaventosa!) Questo è solo un modo per esprimere un membro di una progressione aritmetica attraverso quello precedente. Diciamo che ci viene data una progressione aritmetica in questa forma, utilizzando una formula ricorrente:
un n+1 = un n +3
un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8
un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11
Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. Come possiamo contare immediatamente, ad esempio, il ventesimo termine? un 20? Ma non c’è modo!) Finché non troviamo il 19esimo termine, non possiamo contare il 20esimo. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorrente e la formula dell'ennesimo termine. Le opere ricorrenti sono solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine è passante Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza calcolare l'intera serie di numeri in ordine.
In una progressione aritmetica è facile trasformare una formula ricorrente in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella sua forma abituale e lavora con essa. Tali compiti si incontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.
Applicazione della formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Innanzitutto, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:
Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, basandosi semplicemente sul significato di una progressione aritmetica. Aggiungi e aggiungi... Un'ora o due.)
E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.
Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a1 =3, d=1/6. Resta da capire cosa è uguale N. Nessun problema! Dobbiamo trovare un 121. Quindi scriviamo:
Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) A noi interessa il membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà nostro N. Questo è il significato N= 121 lo sostituiremo più avanti nella formula, tra parentesi. Sostituiamo tutti i numeri nella formula e calcoliamo:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Questo è tutto. Altrettanto velocemente si potrebbe trovare il termine cinquecentodecimo, e il milletreesimo, uno qualunque. Mettiamo invece N il numero desiderato nell'indice della lettera " UN" e tra parentesi, e contiamo.
Lascia che ti ricordi il punto: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .
Risolviamo il problema in un modo più astuto. Ci imbattiamo nel seguente problema:
Trovare il primo termine della progressione aritmetica (a n), se a 17 =-2; d=-0,5.
In caso di difficoltà, ti dirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi con le mani, direttamente sul tuo quaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... è così? Se pensi che sia tutto, allora non risolverai il problema, sì...
Abbiamo ancora un numero N! In condizione un 17 =-2 nascosto due parametri. Questo è sia il valore del diciassettesimo termine (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa “sciocchezza” spesso sfugge alla testa, e senza di essa (senza la “sciocchezza”, non la testa!) il problema non si risolve. Anche se... e anche senza testa.)
Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:
un 17 = un 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, sostituiamo:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Questo è praticamente tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolarlo. La risposta sarà: un 1 = 6.
Questa tecnica, ovvero scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti, è di grande aiuto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica potrebbe non essere studiata affatto...
Un altro puzzle popolare:
Trovare la differenza della progressione aritmetica (a n), se a 1 =2; un 15 = 12.
Che cosa stiamo facendo? Rimarrai sorpreso, stiamo scrivendo la formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Consideriamo ciò che sappiamo: a1 =2; un 15 =12; e (lo sottolineerò in particolare!) n=15. Sentiti libero di sostituirlo nella formula:
12=2 + (15-1)d
Facciamo i conti.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
Questa è la risposta corretta.
Quindi, i compiti per un n, un 1 E D deciso. Non resta che imparare come trovare il numero:
Il numero 99 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.
Sostituiamo le quantità a noi note nella formula dell'ennesimo termine:
un n = 12 + (n-1) 3
A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e una n. Ma UN- questo è un membro della progressione con un numero N...E conosciamo questo membro della progressione! È 99. Non ne conosciamo il numero. N, Quindi questo numero è quello che devi trovare. Sostituiamo il termine della progressione 99 nella formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.
E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):
Determina se il numero 117 è un membro della progressione aritmetica (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Scriviamo di nuovo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché ci vengono dati gli occhi?) Vediamo il primo termine della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a1 = -3,6. Differenza D Puoi dirlo dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Quindi, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare il numero sconosciuto N e l'incomprensibile numero 117. Nel problema precedente almeno si sapeva che era il termine della progressione ad essere dato. Ma qui non sappiamo nemmeno... Cosa fare!? Bene, come essere, come essere... Accendi le tue capacità creative!)
Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì, sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:
Ops! Il numero è venuto fuori frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari in progressioni non può essere. Quale conclusione possiamo trarre? SÌ! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il centouno e il centoduesimo termine. Se il numero risultasse naturale, ad es. è un numero intero positivo, il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.
Un compito basato su una versione reale del GIA:
Una progressione aritmetica è data dalla condizione:
a n = -4 + 6,8 n
Trova il primo e il decimo termine della progressione.
Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.
Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema viene modificata. Il primo termine della progressione aritmetica in esso contenuta nascosto. Va bene, lo troveremo ora.)
Proprio come nei problemi precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:
a1 = -4 + 6,81 = 2,8
Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!
Cerchiamo il decimo termine allo stesso modo:
un 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Questo è tutto.
Ed ora, per chi ha letto queste righe, il bonus promesso.)
Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento dell'Esame di Stato o dell'Esame di Stato Unificato, tu abbia dimenticato la formula utile per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ricordo qualcosa, ma in modo incerto... Oppure N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?
Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non è molto severo, ma è sicuramente sufficiente per avere fiducia e prendere la decisione giusta!) Per concludere, è sufficiente ricordare il significato elementare di una progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di fare un disegno. Per chiarezza.
Disegna una linea numerica e segna la prima su di essa. secondo, terzo, ecc. membri. E notiamo la differenza D tra i membri. Come questo:
Guardiamo l'immagine e pensiamo: a cosa equivale il secondo termine? Secondo uno D:
UN 2 =a1+ 1 D
Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.
UN 3 =a1+ 2 D
Lo capisci? Non per niente evidenzio alcune parole in grassetto. Ok, ancora un passo).
Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre D.
UN 4 =a1+ 3 D
È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, al numero n, numero di spazi Volere n-1. Pertanto la formula sarà (senza variazioni!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile tracciare un'immagine, allora... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non è possibile inserire un'immagine nell'equazione...
Compiti per una soluzione indipendente.
Riscaldarsi:
1. Nella progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 =5,1. Trovane 3.
Suggerimento: secondo l'immagine il problema si risolve in 20 secondi... Secondo la formula risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema viene risolto utilizzando sia l'immagine che la formula. Senti la differenza!)
E questo non è più un riscaldamento.)
2. Nella progressione aritmetica (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Trova a 3 .
Cosa, non vuoi fare un disegno?) Certo! Meglio secondo la formula, sì...
3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.
In questa attività, la progressione è specificata in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti sono capaci di un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!
4. Data una progressione aritmetica (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Trova il numero del più piccolo termine positivo della progressione.
5. Secondo le condizioni del compito 4, trova la somma dei termini positivi più piccoli e dei termini negativi più grandi della progressione.
6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è pari a -2,5, e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è pari a zero. Trova un 14.
Non è il compito più semplice, sì...) Il metodo “fingertip” non funzionerà qui. Dovrai scrivere formule e risolvere equazioni.
Risposte (in disordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Accaduto? È carino!)
Non tutto funziona? Accade. A proposito, c'è un punto sottile nell'ultimo compito. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.
La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento di fantasia per il quarto, e il punto sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema che coinvolga la formula dell'ennesimo termine: tutto è descritto. Raccomando.
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