X \u003d X cf X

Assoluto

errore

Parente

errore

a+ B

a+ B

Termini errore di misurazione E errore di misurazione sono usati come sinonimi.) È possibile solo stimare l'entità di questa deviazione, ad esempio, utilizzando metodi statistici. Allo stesso tempo, per vero valore si prende il valore statistico medio ottenuto dall'elaborazione statistica dei risultati di una serie di misurazioni. Questo valore ottenuto non è esatto, ma solo il più probabile. Pertanto, è necessario indicare nelle misurazioni qual è la loro accuratezza. Per fare ciò, insieme al risultato ottenuto, viene indicato l'errore di misurazione. Ad esempio, la voce T=2,8±0,1 C. significa che il vero valore della quantità T si trova nell'intervallo da 2,7 sec. Prima 2,9 sec. una certa probabilità specificata (vedi intervallo di confidenza, probabilità di confidenza, errore standard).

Nel 2006 è stato adottato un nuovo documento a livello internazionale, dettando le condizioni per l'esecuzione delle misurazioni e stabilendo nuove regole per il confronto degli standard statali. Il concetto di "errore" è diventato obsoleto, al suo posto è stato introdotto il concetto di "incertezza di misura".

Definizione di errore

A seconda delle caratteristiche della quantità misurata, vengono utilizzati vari metodi per determinare l'errore di misurazione.

• Il metodo di Kornfeld consiste nella scelta di un intervallo di confidenza compreso tra il minimo e il massimo risultato della misurazione, e un errore pari alla metà della differenza tra il massimo e il minimo risultato della misurazione:

• medio errore quadrato:

• L'errore quadratico medio della media aritmetica:

Classificazione degli errori

Secondo la forma di presentazione

• Errore assoluto - Δ Xè una stima dell'errore di misura assoluto. Il valore di questo errore dipende dal metodo del suo calcolo, che, a sua volta, è determinato dalla distribuzione della variabile casuale X MeUNS . In questo caso l'uguaglianza:

Δ X = | X TRtue − X MeUNS | ,

Dove X TRtue è il vero valore, e X MeUNS - valore misurato, dovrebbe essere eseguito con una probabilità vicina a 1. Se valore casuale X MeUNS distribuito secondo la legge normale, quindi, di solito, la sua deviazione standard è considerata un errore assoluto. L'errore assoluto è misurato nelle stesse unità del valore stesso.

• Errore relativo- il rapporto tra l'errore assoluto e il valore considerato vero:

L'errore relativo è una quantità adimensionale o è misurato in percentuale.

• Errore ridotto- errore relativo, espresso come rapporto tra l'errore assoluto dello strumento di misura e il valore condizionalmente accettato della grandezza, che è costante sull'intero campo di misura o su parte di esso. Calcolato secondo la formula

Dove X N- valore di normalizzazione, che dipende dal tipo di scala dello strumento di misura ed è determinato dalla sua graduazione:

Se la scala del dispositivo è unilaterale, ad es. il limite inferiore di misurazione è zero, quindi X Nè determinato uguale al limite superiore delle misurazioni;
- se la scala del dispositivo è a due lati, il valore di normalizzazione è uguale all'ampiezza dell'intervallo di misurazione del dispositivo.

L'errore dato è un valore adimensionale (può essere misurato come percentuale).

A causa dell'evento

• Errori strumentali / strumentali- errori che sono determinati dagli errori degli strumenti di misura utilizzati e sono causati dall'imperfezione del principio di funzionamento, dall'imprecisione della graduazione della scala e dalla mancanza di visibilità del dispositivo.
• Errori metodologici- errori dovuti all'imperfezione del metodo, nonché alle semplificazioni sottese alla metodologia.
• Errori soggettivi/operatore/personali- errori dovuti al grado di attenzione, concentrazione, preparazione e altre qualità dell'operatore.

In ingegneria, gli strumenti vengono utilizzati per misurare solo con una certa precisione predeterminata - l'errore principale consentito dal normale in condizioni normali operazione per questo strumento.

Se il dispositivo viene utilizzato in condizioni diverse dal normale, si verifica un errore aggiuntivo, aumentando l'errore complessivo del dispositivo. Ulteriori errori includono: temperatura, causata dalla deviazione della temperatura ambiente dal normale, installazione, a causa della deviazione della posizione del dispositivo dalla normale posizione operativa, ecc. Dietro temperatura normale l'aria ambiente è presa come 20 ° C, per normale Pressione atmosferica 01,325 kPa.

Una caratteristica generalizzata degli strumenti di misura è la classe di precisione, determinata dai valori limite del principale consentito e ulteriori errori, così come altri parametri che influenzano la precisione degli strumenti di misura; il valore dei parametri è stabilito dalle norme per alcune tipologie di strumenti di misura. La classe di precisione degli strumenti di misura caratterizza le loro proprietà di precisione, ma non è un indicatore diretto dell'accuratezza delle misurazioni eseguite utilizzando questi strumenti, poiché l'accuratezza dipende anche dal metodo di misurazione e dalle condizioni per la loro attuazione. Agli strumenti di misura, i cui limiti dell'errore di base consentito sono indicati sotto forma di errori di base (relativi) ridotti, vengono assegnate classi di precisione selezionate da un numero dei seguenti numeri: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 ;5.0;6.0)*10n, dove n = 1; 0; -1; -2 ecc.

Secondo la natura della manifestazione

• errore casuale- errore, variabile (in grandezza e in segno) da misura a misura. Errori casuali può essere associato all'imperfezione dei dispositivi (attrito nei dispositivi meccanici, ecc.), allo scuotimento in condizioni urbane, all'imperfezione dell'oggetto di misurazione (ad esempio, quando si misura il diametro di un filo sottile, che potrebbe non avere un diametro completamente sezione tonda a causa dell'imperfezione del processo di fabbricazione), con le caratteristiche del valore misurato stesso (ad esempio, quando si misura il numero di particelle elementari che passano al minuto attraverso un contatore Geiger).
• Errore sistematico- un errore che varia nel tempo secondo una certa legge (un caso particolare è errore costante, che non cambia nel tempo). Errori sistematici può essere associato a errori strumentali (scala errata, calibrazione, ecc.) non spiegati dallo sperimentatore.
• Errore progressivo (deriva).è un errore imprevedibile che cambia lentamente nel tempo. È un processo casuale non stazionario.
• Errore grossolano (miss)- un errore derivante da una svista dello sperimentatore o da un malfunzionamento dell'apparecchiatura (ad esempio, se lo sperimentatore ha letto in modo errato il numero di divisione sulla scala del dispositivo, se si è verificato un cortocircuito nel circuito elettrico).

1. Introduzione

Il lavoro di chimici, fisici e rappresentanti di altre professioni di scienze naturali è spesso associato all'esecuzione di misurazioni quantitative di varie quantità. Ciò solleva la questione dell'analisi dell'affidabilità dei valori ottenuti, dell'elaborazione dei risultati delle misurazioni dirette e della stima degli errori dei calcoli che utilizzano i valori delle caratteristiche misurate direttamente (quest'ultimo processo è anche chiamato elaborazione dei risultati indiretto misure). Per una serie di ragioni oggettive, la conoscenza dei laureati della Facoltà di Chimica dell'Università Statale di Mosca sul calcolo degli errori non è sempre sufficiente per elaborazione corretta dati ricevuti. Uno di questi motivi è la mancanza di curriculum docenti del corso di elaborazione statistica dei risultati di misura.

A momento presente la questione degli errori di calcolo, ovviamente, è stata studiata in modo esaustivo. Esiste un gran numero di sviluppi metodologici, libri di testo, ecc., in cui è possibile ottenere informazioni sul calcolo degli errori. Sfortunatamente, la maggior parte di questi lavori è sovraccarica di informazioni aggiuntive e non sempre necessarie. In particolare, la maggior parte del lavoro dei laboratori degli studenti non richiede azioni come il confronto di campioni, la valutazione della convergenza, ecc. Pertanto, sembra opportuno creare un breve sviluppo che delinei gli algoritmi per i calcoli più comunemente utilizzati, che è ciò che questo sviluppo è dedicato a.

2. Notazione adottata in questo lavoro

Valore misurato, - valore medio del valore misurato, - errore assoluto del valore medio del valore misurato, - errore relativo del valore medio del valore misurato.

3. Calcolo degli errori delle misurazioni dirette

Quindi supponiamo che ci fossero N misure della stessa quantità nelle stesse condizioni. In questo caso, puoi calcolare il valore medio di questa grandezza nelle misurazioni:

(1)

Come calcolare l'errore? Secondo la seguente formula:

(2)

Questa formula utilizza il coefficiente di Student. I suoi valori per diverse probabilità e valori di confidenza sono forniti in .

3.1. Un esempio di calcolo degli errori delle misurazioni dirette:

Compito.

È stata misurata la lunghezza della barra di metallo. Sono state effettuate 10 misurazioni e sono stati ottenuti i seguenti valori: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. È necessario trovare il valore medio del valore misurato (la lunghezza della barra) e il suo errore.

Soluzione.

Usando la formula (1) troviamo:

mm

Ora, usando la formula (2), troviamo l'errore assoluto del valore medio a livello di confidenza e il numero di gradi di libertà (usiamo il valore \u003d 2.262, tratto da):

Scriviamo il risultato:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Calcolo degli errori delle misurazioni indirette

Supponiamo che nel corso dell'esperimento vengano misurati i valori , poi C utilizzando i valori ottenuti, il valore viene calcolato dalla formula . In questo caso, gli errori dei valori misurati direttamente sono calcolati come descritto nel paragrafo 3.

Il calcolo del valore medio della grandezza viene eseguito secondo la dipendenza utilizzando i valori medi degli argomenti.

L'errore di grandezza viene calcolato utilizzando la seguente formula:

,(3)

dove è il numero di argomenti, sono le derivate parziali della funzione rispetto agli argomenti, è l'errore assoluto del valor medio dell'argomento.

L'errore assoluto, come nel caso delle misurazioni dirette, è calcolato dalla formula .

4.1. Un esempio di calcolo degli errori delle misurazioni dirette:

Compito.

Sono state effettuate cinque misurazioni dirette di e. Per il valore ottenuto valori: 50, 51, 52, 50, 47; valori ottenuti per il valore: 500, 510, 476, 354, 520. È necessario calcolare il valore del valore determinato dalla formula e trovare l'errore del valore ottenuto.

Errore assoluto e relativo

Elementi di teoria degli errori

Numeri esatti e approssimativi

L'accuratezza del numero è generalmente fuori dubbio quando si tratta di valori di dati interi (2 matite, 100 alberi). Tuttavia, nella maggior parte dei casi, quando è impossibile indicare il valore esatto di un numero (ad esempio, quando si misura un oggetto con un righello, si prendono i risultati da un dispositivo, ecc.), si tratta di dati approssimativi.

Un valore approssimativo è un numero che differisce leggermente dal valore esatto e lo sostituisce nei calcoli. Il grado di differenza tra il valore approssimativo di un numero e il suo valore esatto è caratterizzato da errore .

Ci sono le seguenti fonti principali di errori:

1. Errori nella formulazione del problema derivante da una descrizione approssimativa di un fenomeno reale in termini di matematica.

2. Errori di metodo associato alla difficoltà o impossibilità di risolvere il problema e sostituirlo con uno simile, in modo da poter applicare un metodo di soluzione noto e accessibile e ottenere un risultato vicino a quello desiderato.

3. Errori fatali, associato ai valori approssimativi dei dati iniziali e dovuto all'esecuzione di calcoli su numeri approssimativi.

4. Errori di arrotondamento associato all'arrotondamento dei valori dei dati iniziali, intermedi e finali ottenuti con l'utilizzo di strumenti computazionali.

Errore assoluto e relativo

La contabilizzazione degli errori è aspetto importante applicazione di metodi numerici, poiché l'errore del risultato finale della risoluzione dell'intero problema è il prodotto dell'interazione di tutti i tipi di errori. Pertanto, uno dei compiti principali della teoria degli errori è stimare l'accuratezza del risultato in base all'accuratezza dei dati iniziali.

Se è un numero esatto ed è il suo valore approssimativo, allora l'errore (errore) del valore approssimativo è il grado di vicinanza del suo valore al suo valore esatto .

La più semplice misura quantitativa dell'errore è l'errore assoluto, che è definito come

(1.1.2-1)

Come si può vedere dalla formula 1.1.2-1, l'errore assoluto ha le stesse unità di misura del valore. Pertanto, dall'entità dell'errore assoluto, è tutt'altro che sempre possibile trarre una conclusione corretta sulla qualità dell'approssimazione. Ad esempio, se , e stiamo parlando di una parte della macchina, quindi le misure sono molto approssimative e se parliamo delle dimensioni della nave, allora sono molto accurate. Per questo il concetto errore relativo, in cui il valore dell'errore assoluto è correlato al modulo del valore approssimato ( ).

(1.1.2-2)

L'uso degli errori relativi è conveniente, in particolare, perché non dipendono dalla scala dei valori e dalle unità di dati. L'errore relativo è misurato in frazioni o percentuali. Quindi, ad esempio, se

,UN , Quello , e se E ,

allora .

Per valutare numericamente l'errore di una funzione, è necessario conoscere le regole di base per il calcolo dell'errore delle azioni:

· durante l'addizione e la sottrazione di numeri gli errori assoluti dei numeri si sommano

· quando si moltiplicano e si dividono i numeri i loro errori relativi sono impilati uno sopra l'altro

· quando elevato a una potenza di un numero approssimativo il suo errore relativo viene moltiplicato per l'esponente

Esempio 1.1.2-1. Data una funzione: . Trova gli errori assoluti e relativi del valore (l'errore del risultato dell'esecuzione di operazioni aritmetiche), se i valori sono noti e 1 è un numero esatto e il suo errore è zero.

Determinato così il valore dell'errore relativo, si trova il valore dell'errore assoluto as , dove il valore è calcolato dalla formula per i valori approssimativi

Poiché il valore esatto della quantità è solitamente sconosciuto, il calcolo E secondo le formule di cui sopra è impossibile. Pertanto, in pratica, vengono valutati gli errori marginali della forma:

(1.1.2-3)

Dove E - valori noti, che sono i limiti superiori degli errori assoluti e relativi, altrimenti sono chiamati - gli errori limite assoluti e limiti relativi. Pertanto, il valore esatto si trova all'interno di:

Se il valore conosciuto, allora , e se il valore è noto , Quello