Calcolo degli errori per diretto e misure indirette
Per misura si intende il confronto del valore misurato con un altro valore, preso come unità di misura. Le misurazioni vengono eseguite empiricamente utilizzando mezzi tecnici speciali.
Le misurazioni dirette sono chiamate misurazioni, il cui risultato è ottenuto direttamente da dati sperimentali (ad esempio, misurare la lunghezza con un righello, il tempo con un cronometro, la temperatura con un termometro). Le misurazioni indirette sono misurazioni in cui si trova il valore desiderato di una quantità sulla base di una relazione nota tra questa quantità e le quantità i cui valori sono ottenuti nel processo di misurazioni dirette (ad esempio, determinando la velocità lungo la distanza percorsa e ora http://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Qualsiasi misurazione, indipendentemente dall'accuratezza con cui viene eseguita, è necessariamente accompagnata da un errore (errore), una deviazione del risultato della misurazione dal valore reale della quantità misurata.
Gli errori sistematici sono errori la cui entità è la stessa in tutte le misurazioni effettuate con lo stesso metodo utilizzando gli stessi strumenti di misura, nelle stesse condizioni. Si verificano errori sistematici:
A causa dell'imperfezione degli strumenti utilizzati nelle misurazioni (ad esempio, l'ago dell'amperometro può deviare dalla divisione zero in assenza di corrente; il bilanciere può avere bracci disuguali, ecc.);
Come risultato dello sviluppo insufficiente della teoria del metodo di misurazione, vale a dire, il metodo di misurazione contiene una fonte di errori (ad esempio, si verifica un errore quando la perdita di calore in ambiente o quando la pesatura su una bilancia analitica viene eseguita senza tener conto della galleggiabilità dell'aria);
A causa del fatto che il cambiamento delle condizioni dell'esperimento non viene preso in considerazione (ad esempio, durante il passaggio a lungo termine della corrente attraverso il circuito, a seguito dell'effetto termico della corrente, i parametri elettrici del cambio di circuito).
Gli errori sistematici possono essere eliminati se si studiano le caratteristiche degli strumenti, si sviluppa in modo più completo la teoria dell'esperimento e, sulla base di ciò, si apportano correzioni ai risultati della misurazione.
Gli errori casuali sono errori la cui entità è diversa anche per misurazioni effettuate nello stesso modo. Le loro ragioni risiedono sia nell'imperfezione dei nostri sensi, sia in molte altre circostanze che accompagnano le misurazioni e che non possono essere prese in considerazione in anticipo (si verificano errori casuali, ad esempio, se l'uguaglianza dei campi di illuminazione del fotometro è impostata a occhio ; se il momento di massima deviazione del pendolo matematico è determinato ad occhio; quando si trova il momento di risonanza del suono ad orecchio; quando si pesa su una bilancia analitica, se le vibrazioni del pavimento e delle pareti sono trasmesse alla bilancia, ecc.) .
Gli errori casuali non possono essere evitati. Il loro verificarsi si manifesta nel fatto che ripetendo misurazioni della stessa quantità con la stessa cura, si ottengono risultati numerici diversi tra loro. Pertanto, se la ripetizione delle misurazioni ha ceduto stessi valori, questo non indica l'assenza errori casuali, ma sulla sensibilità insufficiente del metodo di misurazione.
Gli errori casuali modificano il risultato sia in una direzione che nell'altra rispetto al valore reale, pertanto, al fine di ridurre l'influenza degli errori casuali sul risultato della misurazione, le misurazioni vengono solitamente ripetute molte volte e la media aritmetica di tutti i risultati della misurazione è preso.
Risultati consapevolmente errati: si verificano errori dovuti alla violazione delle condizioni di base della misurazione, a causa della disattenzione o della negligenza dello sperimentatore. Ad esempio, in condizioni di scarsa illuminazione, invece di "3", scrivi "8"; a causa del fatto che lo sperimentatore è distratto, può smarrirsi nel contare il numero di oscillazioni del pendolo; a causa di negligenza o disattenzione, può confondere le masse delle masse durante la determinazione della costante elastica, ecc. segno esterno una mancanza è una netta differenza di grandezza rispetto ai risultati di altre misurazioni. Se viene rilevata una mancanza, il risultato della misurazione deve essere scartato immediatamente e la misurazione stessa deve essere ripetuta. L'identificazione degli errori è aiutata anche da un confronto dei risultati di misurazione ottenuti da diversi sperimentatori.
Misurare una grandezza fisica significa trovare intervallo di confidenza, che contiene il suo vero valore http://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21">..png" width="21" height ="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> casi, il vero valore del valore misurato rientra nell'intervallo di confidenza. Il valore è espresso o in frazioni di unità o come una percentuale una probabilità di 0,9 o 0,95 A volte, quando è richiesto un grado di affidabilità estremamente elevato, viene fornito un livello di confidenza di 0,999.Insieme al livello di confidenza, viene spesso utilizzato un livello di significatività, che specifica la probabilità che il valore reale non rientra nell'intervallo di confidenza. Il risultato della misurazione è presentato nel modulo
dove http://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> – errore assoluto. Pertanto, i limiti dell'intervallo , http://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> si trovano all'interno di questo intervallo.
Nella maggior parte dei casi, l'obiettivo finale lavoro di laboratorioè il calcolo del valore desiderato utilizzando una formula, che include quantità misurate in modo diretto. Tali misurazioni sono chiamate indirette. Ad esempio, diamo la formula della densità corpo solido forma cilindrica
dove r è la densità del corpo, M- massa corporea, D- diametro del cilindro, H- il suo massimo.
Dipendenza (A.5) in vista generale può essere rappresentato come segue:
Dove Yè una grandezza misurata indirettamente, nella formula (A.5) è la densità r; X 1 , X 2 ,... ,X n sono quantità misurate direttamente, nella formula (A.5) queste sono M, D, E H.
Il risultato di una misurazione indiretta non può essere accurato, poiché i risultati di misurazioni dirette di quantità X 1 , x2, ... ,X n contengono sempre errori. Pertanto, per le misure indirette, così come per le misure dirette, è necessario stimare l'intervallo di confidenza (errore assoluto) del valore ottenuto DY E errore relativo e.
Quando si calcolano gli errori nel caso di misurazioni indirette, è conveniente seguire la seguente sequenza di azioni:
1) ottenere i valori medi di ciascuna grandezza misurata direttamente á x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;
2) ottenere il valore medio della grandezza misurata indirettamente á Yñ sostituendo nella formula (A.6) i valori medi delle grandezze misurate direttamente;
3) valutare gli errori assoluti di grandezze misurate direttamente DX 1 , DX 2 , ..., DX n, utilizzando le formule (A.2) e (A.3);
4) in base alla forma esplicita della funzione (A.6), ottenere una formula per il calcolo dell'errore assoluto del valore misurato indirettamente DY e calcolarlo;
6) annotare il risultato della misurazione, tenendo conto dell'errore.
Di seguito, senza derivazione, viene data una formula che permette di ottenere formule per il calcolo dell'errore assoluto, se si conosce la forma esplicita della funzione (A.6):
dove ¶Y¤¶ x1 ecc. - derivate parziali di Y rispetto a tutte le grandezze misurate direttamente X 1 , X 2 , …, X n (quando si prende una derivata parziale, per esempio X 1 , quindi tutte le altre quantità X i sono considerati costanti nella formula), D X i– errori assoluti di grandezze misurate direttamente, calcolati secondo (A.3).
Calcolato DY, trovano il relativo errore.
Tuttavia, se la funzione (A.6) è un monomio, allora è molto più semplice calcolare prima l'errore relativo e poi quello assoluto.
Infatti, dividendo entrambi i lati dell'uguaglianza (A.7) per Y, noi abbiamo
.
Ma da allora 
, quindi possiamo scrivere
Ora, conoscendo l'errore relativo, determina l'assoluto.
Ad esempio, otteniamo una formula per calcolare l'errore nella densità di una sostanza, determinato dalla formula (A.5). Poiché (A.5) è un monomio, allora, come accennato in precedenza, è più facile calcolare prima l'errore di misura relativo secondo (A.8). In (A.8), sotto la radice abbiamo la somma dei quadrati delle derivate parziali di logaritmo valore misurato, quindi prima troviamo logaritmo naturale R:
ln r = ln 4 + ln M– ln p –2 ln D–ln H,
e poi usiamo la formula (A.8) e la otteniamo
. (pag.9)
Come si può vedere, in (A.9) vengono utilizzati i valori medi delle quantità misurate direttamente e i loro errori assoluti, calcolati con il metodo delle misurazioni dirette secondo (A.3). L'errore introdotto dal numero p non viene preso in considerazione, poiché il suo valore può sempre essere preso con una precisione superiore alla precisione di misura di tutte le altre grandezze. Calcolando e, troviamo .
Se le misurazioni indirette sono indipendenti (le condizioni di ogni successivo esperimento differiscono dalle condizioni del precedente), allora i valori di quantità Y calcolato per ogni singolo esperimento. Aver prodotto N esperienze, ottenere N valori Sì io. Inoltre, prendendo ciascuno dei valori Sì io(Dove io– numero esperienza) per il risultato misura diretta, calcola á Yñ e D Y secondo le formule (A.1) e (A.2), rispettivamente.
Il risultato finale delle misurazioni dirette e indirette dovrebbe essere simile a questo:
, (A.10)
Dove M- esponente, tu- unità di misura Y.
Calcolo degli errori nelle misure delle grandezze fisiche
A misure dirette grandezze fisiche (il valore della grandezza è determinato direttamente dal misuratore), possono essere ammessi tre tipi di errori (errori di misura): a) sistematici (metodologici e strumentali);
b) casuale;
c) lordo (mancato).
Errori grossolani(o manca) bisogno di Subito escludere e prendere nuove misurazioni.
Errori sistematici e casuali bisogno di prendere in considerazione.
errore standard misure di grandezza X calcolato dalla formula:
X= , (1)
Dove X syst- standard sistematico errore, e X sl- standard casuale errore.
sistematico metodico gli errori sono necessari se possibile eliminare O tener conto introducendo speciali fattori di correzione al valore misurato X.
Strumentazione sistematico gli errori sono determinati dalla classe di precisione dello strumento. Esistono sette classi di precisione dello strumento: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0.
Se classe di precisione sulla scala dello strumento racchiuso in un cerchio (il dispositivo è normalizzato dall'errore relativo), ad esempio 0,5, quindi
X syst = X arr = 0,01 . A . X, (2a)
Dove A- classe di precisione del dispositivo, X- il valore misurato di una grandezza fisica.
Se classe di precisione sulla scala dello strumento non racchiuso in un cerchio (il dispositivo viene normalizzato in base all'errore ridotto), quindi X syst = X arr = 0,01 . A . X max, (2b)
Dove X max- il limite superiore delle misurazioni del dispositivo.
Se Classe precisione dello strumento sconosciuto , Quello errore prendere uguale metà del prezzo della divisione più piccola scala dello strumento a puntatore e una divisione più piccola della scala dello strumento digitale. Se il puntatore dello strumento si sposta lungo la scala a passi da gigante , come, ad esempio, con un cronometro manuale, quindi errore strumentale prendere uguale il prezzo di divisione corrispondente a una freccia di salto .
Per determinare errore casuale le misurazioni vengono eseguite ripetutamente.
Per lo più vero valore Grandezza fisica misurata direttamente X prendi la media di tutti N misure:
<
X>=
. (3)
Standard errore casuale è uguale a:
Xsl
=
T
N
, (4)
Dove X io = |< X> - X io | - errore assoluto io-esima dimensione; T N - Coefficiente di studente , a seconda di numero di misurazioni N e dal richiesto affidabilità il risultato ottenuto, determinato da un'apposita tabella (vedi sotto). Con il numero di misurazioni N 5 con affidabilità =2/3 Coefficiente di studente T N = 1 .
Errore di misura relativo X quantità si chiama:
X=
.
(5)
X con affidabilità è nell'intervallo [ X - X, X + X], Dove X è determinato dalla formula (3), e X- formula (1) con sostituzione di valori X syst E X sl calcolato dalle formule (2) e (4). Convenzionalmente, questo è scritto come:
X = < X> ΔX . (6)
A misure indirette Senso quantità fisica determinato Attraverso misure dirette di altre grandezze fisiche , così come l'utilizzo parametri noti configurazione di misurazione e dati di riferimento con ulteriore sostituzione di questi valori nella formula di lavoro e nei calcoli corrispondenti.
Per esempio, Y = f(a,b,c,d), Dove un = UN a, b = B b,c= C c,d= D D.
Il più vicino a vero valore Volere:
Y = F( UN , B , C , D ), (7)
e la norma errore Y è preso uguale a:
Y= . (8)
In casi semplici, ad esempio, Y = UN B C , è conveniente eseguire il calcolo secondo la formula:
.
(9)
Valore reale del valore misurato Yè nell'intervallo [ Y - Y, Y + Y ] , Dove Y è determinato dalla formula (7), e Y- formula (8) o (9). Pertanto, il risultato può essere rappresentato nella forma standard (6):
Y = < Y> Y .
Quando si registra il risultato della misurazione in una forma standard, è necessario osservare
regole di arrotondamento :
1a regola - errori X O Y sono arrotondati fino a due cifre significative se la prima cifra è uno, e fino a una cifra significativa in tutti gli altri casi;
2a regola - valori medi delle grandezze misurate X O < Y> sono arrotondati all'ultima cifra decimale , che viene utilizzato durante la scrittura errori .
Coefficienti dello studente T N
MU compilato da Assoc. Petrenko L.G.