Espandere i polinomi per ottenere un prodotto a volte sembra confondere. Ma non è così difficile se capisci il processo passo dopo passo. L'articolo descrive in dettaglio come fattorizzare un trinomio quadrato.
Molti non capiscono come fattorizzare un trinomio quadrato e perché lo si fa. All'inizio può sembrare che questo sia un esercizio inutile. Ma in matematica non si fa proprio così. La trasformazione è necessaria per semplificare l'espressione e la comodità di calcolo.
Un polinomio avente la forma - ax² + bx + c, si chiama trinomio quadrato. Il termine "a" deve essere negativo o positivo. In pratica, questa espressione è chiamata equazione quadratica. Pertanto, a volte dicono diversamente: come espandere un'equazione quadratica.
Interessante! Un polinomio quadrato è chiamato a causa del suo grado più grande: un quadrato. E un trinomio - a causa dei 3 termini componenti.
Alcuni altri tipi di polinomi:
- binomio lineare (6x+8);
- quadrilatero cubico (x³+4x²-2x+9).
Fattorizzazione di un trinomio quadrato
Innanzitutto, l'espressione è uguale a zero, quindi devi trovare i valori delle radici x1 e x2. Potrebbero non esserci radici, potrebbero esserci una o due radici. La presenza di radici è determinata dal discriminante. La sua formula deve essere conosciuta a memoria: D=b²-4ac.
Se il risultato di D è negativo, non ci sono radici. Se positivo, ci sono due radici. Se il risultato è zero, la radice è uno. Anche le radici sono calcolate dalla formula.
Se il calcolo del discriminante risulta zero, è possibile applicare una qualsiasi delle formule. In pratica la formula è semplicemente abbreviata: -b/2a.
Formule per valori diversi discriminanti sono diversi.
Se D è positivo:
Se D è zero:
Calcolatrici online
Internet ha calcolatrice in linea. Può essere utilizzato per fattorizzare. Alcune risorse offrono l'opportunità di vedere la soluzione passo dopo passo. Tali servizi aiutano a comprendere meglio l'argomento, ma devi cercare di capire bene.
Video utile: fattorizzazione di un trinomio quadrato
Esempi
Suggeriamo di esaminare semplici esempi su come fattorizzare un'equazione quadratica.
Esempio 1
Qui è chiaramente mostrato che il risultato sarà due x, perché D è positivo. Devono essere sostituiti nella formula. Se le radici sono negative, il segno nella formula è invertito.
Conosciamo la formula per fattorizzare un trinomio quadrato: a(x-x1)(x-x2). Mettiamo i valori tra parentesi: (x+3)(x+2/3). Non c'è nessun numero prima del termine nell'esponente. Ciò significa che c'è un'unità, è abbassata.
Esempio 2
Questo esempio mostra chiaramente come risolvere un'equazione che ha una radice.
Sostituisci il valore risultante:
Esempio 3
Dato: 5x²+3x+7
Per prima cosa calcoliamo il discriminante, come nei casi precedenti.
RE=9-4*5*7=9-140= -131.
Il discriminante è negativo, il che significa che non ci sono radici.
Dopo aver ricevuto il risultato, vale la pena aprire le parentesi e controllare il risultato. Dovrebbe apparire il trinomio originale.
Soluzione alternativa
Alcune persone non sono mai riuscite a fare amicizia con il discriminante. C'è un altro modo per fattorizzare un trinomio quadrato. Per comodità, il metodo è mostrato in un esempio.
Dato: x²+3x-10
Sappiamo che dovremmo finire con 2 parentesi: (_)(_). Quando l'espressione appare così: x² + bx + c, mettiamo x all'inizio di ogni parentesi: (x_) (x_). I restanti due numeri sono il prodotto che dà "c", cioè -10 in questo caso. Per scoprire quali sono questi numeri, puoi utilizzare solo il metodo di selezione. I numeri sostituiti devono corrispondere al termine rimanente.
Ad esempio, moltiplicando i seguenti numeri si ottiene -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. NO.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. NO.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. NO.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Si adatta.
Quindi, la trasformazione dell'espressione x2+3x-10 è la seguente: (x-2)(x+5).
Importante! Dovresti stare attento a non confondere i segni.
Scomposizione di un trinomio complesso
Se "a" è maggiore di uno, iniziano le difficoltà. Ma tutto non è così difficile come sembra.
Per fattorizzare, bisogna prima vedere se è possibile fattorizzare qualcosa.
Ad esempio, data l'espressione: 3x²+9x-30. Qui il numero 3 è tolto dalle parentesi:
3(x²+3x-10). Il risultato è il già noto trinomio. La risposta è questa: 3(x-2)(x+5)
Come scomporre se il termine che è al quadrato è negativo? In questo caso, il numero -1 viene tolto dalla parentesi. Ad esempio: -x²-10x-8. L'espressione sarà quindi simile a questa:
Lo schema differisce poco dal precedente. Ci sono solo alcune novità. Diciamo che l'espressione è data: 2x²+7x+3. La risposta è anche scritta tra 2 parentesi, che devono essere compilate in (_) (_). X è scritto nella seconda parentesi e ciò che rimane nella prima. Assomiglia a questo: (2x_)(x_). Altrimenti, lo schema precedente viene ripetuto.
Il numero 3 dà i numeri:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Risolviamo le equazioni sostituendo i numeri dati. L'ultima opzione si adatta. Quindi la trasformazione dell'espressione 2x²+7x+3 è la seguente: (2x+1)(x+3).
Altri casi
Non è sempre possibile trasformare un'espressione. Nel secondo metodo, la soluzione dell'equazione non è richiesta. Ma la possibilità di convertire i termini in un prodotto è verificata solo attraverso il discriminante.
Vale la pena la pratica di decidere equazioni quadratiche in modo che non ci siano difficoltà quando si usano le formule.
Video utile: fattorizzazione di un trinomio
Conclusione
Puoi usarlo in qualsiasi modo. Ma è meglio lavorare entrambi all'automatismo. Inoltre, coloro che collegheranno le loro vite con la matematica devono imparare a risolvere bene le equazioni quadratiche e scomporre i polinomi in fattori. Tutti i seguenti argomenti matematici sono costruiti su questo.
Sviluppo lezione aperta
Algebra in terza media
sul tema: “Trinomio quadrato. Scomposizione di un trinomio quadrato in fattori.
Insegnante di matematica KSU scuola secondaria n. 16 di Karaganda
Bekenova G.M.
Karaganda 2015
"La matematica non può essere appresa con l'osservazione."
Larry Niven - Professore di matematica
Argomento della lezione:
Trinomio quadrato.
Fattorizzazione di un trinomio quadrato.
Obiettivi della lezione:
1. Raggiungere da tutti gli studenti della classe il successo dello sviluppo e dell'applicazione delle conoscenze nella scomposizione del trinomio quadrato in fattori.
2. Promuovere: a) lo sviluppo dell'autocontrollo e dell'autoapprendimento,
b) la capacità di utilizzare una lavagna interattiva,
c) lo sviluppo dell'alfabetizzazione matematica, accuratezza.
3. Coltivare la capacità di esprimere con competenza e sintesi i propri pensieri, di essere tolleranti nei confronti del punto di vista dei compagni di classe, di ricevere soddisfazione dai risultati raggiunti.
Tipo di lezione: una lezione combinata con un approccio differenziato e individuale, con elementi di apprendimento evolutivo e avanzato.
Luogo della lezione: la terza lezione su questo argomento (principale), nei primi due studenti hanno appreso la definizione di un trinomio quadrato, hanno imparato a trovare le sue radici, hanno familiarizzato con l'algoritmo per fattorizzare un trinomio quadrato, e questo aiuterà in futuro risolvere equazioni, riduzione di frazioni, trasformazione di espressioni algebriche.
Struttura della lezione:
1 Aggiornamento delle conoscenze con un approccio differenziato agli studenti.
2 Il controllo è un autoesame delle conoscenze precedentemente acquisite.
3 La presentazione di nuovo materiale è in parte un metodo di ricerca.
4 Consolidamento primario dell'approccio studiato, individualmente differenziato.
5 Comprensione, generalizzazione della conoscenza.
6 Impostazione dei compiti per l'apprendimento basato sui problemi.
Attrezzatura: lavagna interattiva, lavagna normale, task card, libro di testo di Algebra 8, carta carbone e fogli bianchi, simboli fisiognostici.
Durante le lezioni
Organizzazione del tempo (1 minuto).
1. Saluto agli studenti; controllando la loro disponibilità per la lezione.
2. Comunicazione dello scopo della lezione.
Metto in scena.
“La ripetizione è la madre dell'apprendimento.
1. Controllo dei compiti. N. 476 (b, d), N. 474, N. 475
2. Lavoro individuale sulle carte (4 persone) (durante il controllo dei compiti) (5 minuti)
II stadio.
"Fidati ma controlla"
Prova il lavoro con autocontrollo.
Lavoro di prova (tramite carta carbone) con autotest.
Opzione variante m II
1) 2)
2. Fattorizzare il trinomio quadrato:
Risposte
"Fidati ma controlla".
1. Trova le radici di un trinomio quadrato:
I opzione II opzione NT
2. Fattorizzare il trinomio quadrato:
1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)
2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);
3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).
Alcune risposte chiare da notare.
Domanda per gli studenti:
Dove pensi di poter applicare la fattorizzazione di un trinomio quadrato?
Vero: quando si risolvono equazioni,
quando si riducono le frazioni,
nella trasformazione delle espressioni algebriche.
III stadio
” Abilità e lavoro macineranno tutto "(10 minuti)
1. Si consideri l'applicazione della fattorizzazione di un trinomio quadrato nella riduzione di frazioni. Il lavoro degli studenti alla lavagna.
Ridurre la frazione:
2. Consideriamo ora l'applicazione della fattorizzazione di un trinomio quadrato nelle trasformazioni di espressioni algebriche.
Manuale. Algebra 8. S. 126 N. 570 (b)
Ora mostra come si applica la fattorizzazione di un trinomio quadrato.
IV stadio
"Battere il ferro finché è caldo!"
Lavoro indipendente (13 minuti)
І opzione І Opzione
Ridurre la frazione:
5. Mi sono reso conto che…….
6. Ora posso…….
7. Ho sentito che...
8. Ho acquistato….
9. Ho imparato…….
10. Ho capito………
11. Sono stato in grado di….
12. Proverò......
13. Sono rimasto sorpreso…..
14. La lezione mi ha dato per la vita….
15. Volevo ....
Informazioni su compiti a casa: per la prossima lezione, porta i compiti che hai ricevuto una settimana fa.
Lavoro indipendente da casa.
І opzione І Opzione
№ 560 (a, c) N. 560 (b, d)
№ 564 (a, c) N. 564 (b, d)
№ 566 (a) N. 566 (b)
№ 569 (a) N. 569 (b)
№ 571 (a, c) N. 571 (b, d)
La lezione è finita.
Fattorizzazione di un trinomio quadrato può essere utile quando si risolvono le disuguaglianze del problema C3 o del problema con il parametro C5. Inoltre, molti problemi con le parole B13 saranno risolti molto più velocemente se conosci il teorema di Vieta.
Questo teorema, ovviamente, può essere considerato dal punto di vista dell'ottavo grado, in cui viene superato per la prima volta. Ma il nostro compito è prepararci bene per l'esame e imparare a risolvere i compiti d'esame nel modo più efficiente possibile. Pertanto, in questa lezione, l'approccio è leggermente diverso da quello scolastico.
La formula per le radici dell'equazione secondo il teorema di Vieta ne conosco (o almeno ne ho viste) molte:
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
dove `a, b` e `c` sono i coefficienti del trinomio quadrato `ax^2+bx+c`.
Per imparare a usare facilmente il teorema, capiamo da dove viene (sarà davvero più facile ricordarlo in questo modo).
Otteniamo l'equazione `ax^2+ bx+ c = 0`. Per comodità, lo dividiamo per `a` e otteniamo `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Tale equazione si chiama equazione quadratica ridotta.
Punti importanti della lezione: qualsiasi polinomio quadrato che ha radici può essere scomposto tra parentesi. Supponiamo che il nostro possa essere rappresentato come `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, dove `k` e ` l` - alcune costanti.
Vediamo come si aprono le parentesi:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Quindi, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
Questo è leggermente diverso dall'interpretazione classica I teoremi di Vieta- in esso stiamo cercando le radici dell'equazione. Propongo di cercare termini per espansioni parentesi- quindi non è necessario ricordare il meno dalla formula (che significa `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). È sufficiente scegliere due di questi numeri, la cui somma è uguale al coefficiente medio e il prodotto è uguale al termine libero.
Se abbiamo bisogno di una soluzione all'equazione, allora è ovvio: le radici `x=-k` o `x=-l` (poiché in questi casi una delle parentesi sarà zero, il che significa che l'intera espressione sarà uguale a zero).
Ad esempio, mostrerò l'algoritmo, come scomporre un polinomio quadrato tra parentesi.
Esempio uno. Algoritmo per la fattorizzazione di un trinomio quadrato
Il percorso che abbiamo è il trinomio quadrato `x^2+5x+4`.
È ridotto (coefficiente di `x^2` uguale a uno). Ha radici. (Per essere sicuri, puoi stimare il discriminante e assicurarti che sia maggiore di zero.)
Passi successivi (devono essere appresi facendo tutto compiti di formazione):
- Scrivi la seguente notazione: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Lascia spazio libero invece di punti, aggiungeremo numeri e segni appropriati lì.
- Mostra tutto opzioni possibili, come puoi scomporre il numero "4" nel prodotto di due numeri. Otteniamo coppie di "candidati" per le radici dell'equazione: `2, 2` e `1, 4`.
- Stima da quale coppia puoi ottenere il coefficiente medio. Ovviamente è `1, 4`.
- Scrivi $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Il passaggio successivo consiste nel posizionare i segni davanti ai numeri inseriti.
Come capire e ricordare per sempre quali segni dovrebbero essere davanti ai numeri tra parentesi? Prova ad espanderli (parentesi). Il coefficiente prima di `x` alla prima potenza sarà `(± 4 ± 1)` (non conosciamo ancora i segni - dobbiamo scegliere) e dovrebbe essere uguale a `5`. Ovviamente, qui ci saranno due plus $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Esegui questa operazione più volte (ciao, compiti di addestramento!) e non ci saranno mai più problemi con questo.
Se devi risolvere l'equazione "x^2+5x+4", allora la sua soluzione non è difficile. Le sue radici sono "-4, -1".
Secondo esempio. Fattorizzazione di un trinomio quadrato con coefficienti di segno diverso
Dobbiamo risolvere l'equazione `x^2-x-2=0`. A mano libera, il discriminante è positivo.
Seguiamo l'algoritmo.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- C'è solo una fattorizzazione intera di 2: `2 · 1`.
- Saltiamo il punto: non c'è niente da scegliere.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Il prodotto dei nostri numeri è negativo (`-2` è un termine libero), il che significa che uno di essi sarà negativo e l'altro positivo.
Poiché la loro somma è uguale a "-1" (coefficiente di "x"), allora "2" sarà negativo (spiegazione intuitiva: due è il più grande dei due numeri, "attirerà" più fortemente in lato negativo). Otteniamo $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Terzo esempio. Fattorizzazione di un trinomio quadrato
Equazione `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Scomposizione di 84 in fattori interi: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- Poiché abbiamo bisogno che la differenza (o somma) dei numeri sia 5, la coppia "7, 12" andrà bene.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Speranza, scomposizione di questo trinomio quadrato tra parentesiÈ chiaro.
Se hai bisogno di una soluzione all'equazione, eccola qui: `12, -7`.
Compiti per la formazione
Ecco alcuni esempi che sono facili da sono risolti usando il teorema di Vieta.(Esempi tratti da Matematica, 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Un paio d'anni dopo la stesura dell'articolo, è apparsa una raccolta di 150 compiti per espandere un polinomio quadratico usando il teorema di Vieta.
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