Equazioni irrazionali per i manichini. Risoluzione di equazioni irrazionali, metodi di soluzione, esempi

Risposta: x = 3.

8 metodo. Applicazione della derivata nella risoluzione di equazioni irrazionali

Il metodo più comune utilizzato per risolvere le equazioni utilizzando il metodo delle derivate è il metodo di stima.

ESEMPIO 15:

Risolvi l'equazione: (1)

Soluzione: da https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" Height="29">, o (2). Considera la funzione ..gif" larghezza="400" altezza="23 src=">.gif" larghezza="215" altezza="49"> affatto e, quindi, aumenta. Quindi l'equazione è equivalente a un'equazione avente una radice che è la radice dell'equazione originale.

Risposta:

ESEMPIO 16:

Risolvi l'equazione irrazionale:

Il dominio di una funzione è un segmento. Troviamo il più grande e valore più piccolo i valori di questa funzione sull'intervallo. Per fare ciò, troviamo la derivata della funzione F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 Height=19" Height="19">. Troviamo i valori della funzione F(X) alle estremità del segmento e al punto: Quindi, Ma e, quindi, l'uguaglianza è possibile solo se https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" Height= "19 src=" >. Il controllo mostra che il numero 3 è la radice di questa equazione.

Risposta: x = 3.

9 metodo. Funzionale

Negli esami a volte ti chiedono di risolvere equazioni che possono essere scritte nella forma , dove è una funzione.

Ad esempio, alcune equazioni: 1) 2) . Infatti, nel primo caso , nel secondo caso . Pertanto, risolvi le equazioni irrazionali utilizzando la seguente affermazione: se una funzione è strettamente crescente sull'insieme X e per qualsiasi , allora le equazioni, ecc. sono equivalenti sul set X .

Risolvi l'equazione irrazionale: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" Height="25"> aumenta rigorosamente sul set R, e https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" larghezza="45" altezza="24 src=">..gif" larghezza="104" altezza="24 src=" > che ha una radice sola, quindi anche l'equazione (1) ad essa equivalente ha una radice sola

Risposta: x = 3.

ESEMPIO 18:

Risolvi l'equazione irrazionale: (1)

In virtù della definizione di radice quadrata, otteniamo che se l'equazione (1) ha radici, allora appartengono all'insieme https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" altezza="47" >.(2)

Considera la funzione https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" Height="21"> aumenta rigorosamente su questo set per qualsiasi ..gif" width="100" altezza="41"> che ha quindi un'unica radice e il suo equivalente sull'insieme X l'equazione (1) ha una radice singola

Risposta: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" larghezza="145" altezza="27 src=">

Soluzione: questa equazione equivale a un sistema misto

La prima parte del materiale di questo articolo costituisce l'idea delle equazioni irrazionali. Dopo averlo studiato, sarai in grado di distinguere facilmente le equazioni irrazionali dalle equazioni di altro tipo. La seconda parte esamina in dettaglio i principali metodi per risolvere le equazioni irrazionali e fornisce soluzioni dettagliate a un gran numero di esempi tipici. Se padroneggi queste informazioni, quasi sicuramente riuscirai a gestire quasi tutte le equazioni irrazionali di un corso di matematica scolastica. Buona fortuna nell'acquisizione della conoscenza!

Cosa sono le equazioni irrazionali?

Chiariamo innanzitutto cosa sono le equazioni irrazionali. Per fare ciò, troveremo le definizioni appropriate nei libri di testo raccomandati dal Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa.

Una conversazione dettagliata sulle equazioni irrazionali e sulla loro soluzione viene condotta durante le lezioni di algebra e l'analisi è iniziata al liceo. Tuttavia, alcuni autori introducono equazioni di questo tipo prima. Ad esempio, coloro che studiano utilizzando i libri di testo di Mordkovich A.G. apprendono le equazioni irrazionali già in terza media: il libro di testo afferma che

Ci sono anche esempi di equazioni irrazionali, , , e così via. Ovviamente, ciascuna delle equazioni di cui sopra contiene una variabile x sotto il segno della radice quadrata, il che significa che, secondo la definizione di cui sopra, queste equazioni sono irrazionali. Qui discutiamo immediatamente uno dei metodi principali per risolverli -. Ma parleremo dei metodi di soluzione un po 'più in basso, ma per ora daremo le definizioni di equazioni irrazionali da altri libri di testo.

Nei libri di testo di A. N. Kolmogorov e Yu. M. Kolyagin.

Definizione

irrazionale sono equazioni in cui una variabile è contenuta sotto il segno della radice.

Prestiamo attenzione alla differenza fondamentale tra questa definizione e la precedente: dice semplicemente la radice, e non la radice quadrata, cioè il grado della radice sotto il quale si trova la variabile non è specificato. Ciò significa che la radice può essere non solo quadrata, ma anche terza, quarta, ecc. gradi. Pertanto, l'ultima definizione specifica un insieme più ampio di equazioni.

Sorge spontanea una domanda: perché iniziamo a utilizzare questa definizione più ampia di equazioni irrazionali alle scuole superiori? Tutto è comprensibile e semplice: quando conosciamo le equazioni irrazionali in terza media, conosciamo bene solo la radice quadrata, non le radici cubiche, radici di quarta o più gradi elevati non lo sappiamo ancora. E alle scuole superiori il concetto di radice è generalizzato, impariamo a conoscere , e quando parliamo di equazioni irrazionali non ci limitiamo più alla radice quadrata, ma intendiamo la radice di un grado arbitrario.

Per chiarezza, dimostreremo diversi esempi di equazioni irrazionali. - qui la variabile x si trova sotto il segno della radice cubica, quindi questa equazione è irrazionale. Un altro esempio: - qui la variabile x è sotto il segno sia della radice quadrata che della radice quarta, cioè anche questa è un'equazione irrazionale. Ecco un altro paio di esempi di equazioni irrazionali tipo complesso: E .

Le definizioni di cui sopra ci permettono di notare che nella notazione di qualsiasi equazione irrazionale ci sono segni delle radici. È anche chiaro che se non ci sono segni delle radici, l'equazione non è irrazionale. Tuttavia, non tutte le equazioni contenenti segni di radice sono irrazionali. Infatti, in un'equazione irrazionale deve esserci una variabile sotto il segno della radice; se non c'è nessuna variabile sotto il segno della radice, allora l'equazione non è irrazionale. A titolo illustrativo, diamo esempi di equazioni che contengono radici, ma non sono irrazionali. Equazioni E non sono irrazionali, poiché non contengono variabili sotto il segno della radice - ci sono numeri sotto le radici, ma non ci sono variabili sotto i segni della radice, quindi queste equazioni non sono irrazionali.

Vale la pena menzionare il numero di variabili che possono partecipare alla scrittura di equazioni irrazionali. Tutte le equazioni irrazionali di cui sopra contengono una singola variabile x, cioè sono equazioni con una variabile. Tuttavia nulla ci impedisce di considerare equazioni irrazionali con due, tre, ecc. variabili. Facciamo un esempio di un'equazione irrazionale con due variabili e con tre variabili.

Nota che a scuola devi lavorare principalmente con equazioni irrazionali con una variabile. Le equazioni irrazionali con più variabili sono molto meno comuni. Possono essere trovati nella composizione, come, ad esempio, nel compito “risolvere il sistema di equazioni "o, diciamo, nella descrizione algebrica degli oggetti geometrici, quindi un semicerchio con centro nell'origine, raggio di 3 unità, giacente nel semipiano superiore, corrisponde all'equazione.

Alcune raccolte di problemi per la preparazione all'esame di stato unificato nella sezione "equazioni irrazionali" contengono compiti in cui la variabile non è solo sotto il segno della radice, ma anche sotto il segno di qualche altra funzione, ad esempio modulo, logaritmo, ecc. . Ecco un esempio , tratto dal libro, ma qui - dalla collezione. Nel primo esempio, la variabile x è sotto il segno logaritmico, e anche il logaritmo è sotto il segno della radice, cioè abbiamo, per così dire, un'equazione logaritmica irrazionale (o logaritmica irrazionale). Nel secondo esempio, la variabile è sotto il segno del modulo e anche il modulo è sotto il segno della radice; con il tuo permesso la chiameremo equazione irrazionale con modulo.

Equazioni di questo tipo dovrebbero essere considerate irrazionali? Buona domanda. Sembra che ci sia una variabile sotto il segno della radice, ma crea confusione il fatto che non sia nella sua “forma pura”, ma sotto il segno di una o più funzioni. In altre parole, non sembra esserci contraddizione con il modo in cui abbiamo definito le equazioni irrazionali sopra, ma c'è un certo grado di incertezza dovuto alla presenza di altre funzioni. Dal nostro punto di vista, non si dovrebbe essere fanatici nel “chiamare le cose col loro nome”. In pratica basta dire semplicemente “equazione” senza specificare di che tipo si tratta. E tutti questi additivi sono “irrazionali”, “logaritmici”, ecc. servono principalmente per comodità di presentazione e raggruppamento del materiale.

Alla luce delle informazioni contenute nell'ultimo paragrafo, è interessante la definizione di equazioni irrazionali fornita nel libro di testo scritto da A. G. Mordkovich per l'undicesimo grado

Definizione

Irrazionale sono equazioni in cui la variabile è contenuta sotto il segno radicale o sotto il segno di elevazione a potenza frazionaria.

Qui, oltre alle equazioni con una variabile sotto il segno della radice, sono considerate irrazionali anche le equazioni con variabili sotto il segno dell'elevazione a una potenza frazionaria. Ad esempio, secondo questa definizione, l'equazione considerato irrazionale. Perché all'improvviso? Siamo già abituati alle radici nelle equazioni irrazionali, ma qui non è una radice, ma un grado, e preferiresti chiamare questa equazione, ad esempio, un'equazione di potenza, piuttosto che irrazionale? Tutto è semplice: si determina tramite le radici, e sulla variabile x per una data equazione (a patto che x 2 +2·x≥0) si possa riscrivere utilizzando la radice come , e l'ultima uguaglianza è un'equazione irrazionale familiare con una variabile sotto il segno della radice. E i metodi per risolvere equazioni con variabili in base a potenze frazionarie sono assolutamente gli stessi dei metodi per risolvere equazioni irrazionali (saranno discussi nel paragrafo successivo). Allora è conveniente chiamarli irrazionali e considerarli in questa luce. Ma siamo onesti con noi stessi: inizialmente abbiamo l'equazione , ma no , e il linguaggio non è molto disposto a definire irrazionale l'equazione originale a causa dell'assenza di una radice nella notazione. La stessa tecnica ci consente di evitare questioni così controverse riguardo alla terminologia: chiamare l'equazione semplicemente un'equazione senza chiarimenti specifici.

Le più semplici equazioni irrazionali

Vale la pena menzionare il cosiddetto equazioni irrazionali più semplici. Diciamo subito che questo termine non compare nei principali testi di algebra e di analisi elementare, ma si trova talvolta in libri problematici e manuali didattici, come, ad esempio, in. Non dovrebbe essere considerato generalmente accettato, ma non fa male sapere cosa si intende solitamente per le più semplici equazioni irrazionali. Questo è solitamente il nome dato alle equazioni irrazionali della forma , dove f(x) e g(x) sono alcuni . In questa luce, l'equazione irrazionale più semplice può essere chiamata, ad esempio, l'equazione o .

Come si può spiegare la comparsa di un nome come "le più semplici equazioni irrazionali"? Ad esempio, perché la risoluzione di equazioni irrazionali spesso richiede la loro riduzione iniziale alla forma E ulteriore applicazione qualsiasi metodo di soluzione standard. Le equazioni irrazionali in questa forma sono chiamate le più semplici.

Metodi di base per la risoluzione di equazioni irrazionali

Per definizione di radice

Uno dei metodi per risolvere le equazioni irrazionali si basa su. Con il suo aiuto, vengono solitamente risolte le equazioni irrazionali della forma più semplice , dove f(x) e g(x) sono alcuni espressioni razionali(abbiamo dato la definizione delle equazioni irrazionali più semplici in). Le equazioni irrazionali della forma vengono risolte in modo simile , ma in cui f(x) e/o g(x) sono espressioni diverse da razionali. Tuttavia, in molti casi è più conveniente risolvere tali equazioni con altri metodi, che verranno discussi nei paragrafi successivi.

Per comodità di presentazione del materiale, separiamo le equazioni irrazionali con esponente radice pari, cioè le equazioni , 2·k=2, 4, 6, … , da equazioni con esponenti di radice dispari , 2·k+1=3, 5, 7, … Descriviamo subito gli approcci per risolverli:

Gli approcci di cui sopra derivano direttamente da E .

COSÌ, Metodo per risolvere equazioni irrazionali per definizione di radice è la seguente:

Per definizione di radice, è più conveniente risolvere le equazioni irrazionali più semplici con i numeri a destra, cioè equazioni della forma , dove C è un certo numero. Quando c'è un numero a destra dell'equazione, anche se l'esponente radice è pari, non è necessario ricorrere al sistema: se C è un numero non negativo, allora, per definizione, una radice pari grado, e se C è un numero negativo, allora possiamo immediatamente concludere che non ci sono radici dell'equazione. Dopotutto, per definizione, una radice di grado pari è un numero non negativo, il che significa che l'equazione non trasformarsi in una vera uguaglianza numerica per qualsiasi valore reale della variabile x.

Passiamo alla risoluzione di esempi tipici.

Passeremo dal semplice al complesso. Iniziamo risolvendo l'equazione irrazionale più semplice, sul lato sinistro della quale c'è una radice di grado pari e sul lato destro - numero positivo, cioè dalla risoluzione di un'equazione della forma , dove C è un numero positivo. Determinare la radice ti consente di passare dalla risoluzione di una data equazione irrazionale alla risoluzione di un'equazione più semplice senza radici С 2·k =f(x) .

Le equazioni irrazionali più semplici con zero a destra si risolvono in modo simile definendo una radice.

Soffermiamoci separatamente sulle equazioni irrazionali, sul lato sinistro delle quali c'è una radice di grado pari con una variabile sotto il segno, e sul lato destro c'è un numero negativo. Tali equazioni non hanno soluzioni nell'insieme dei numeri reali (parleremo delle radici complesse dopo averle conosciute numeri complessi ). Questo è abbastanza ovvio: una radice pari è per definizione un numero non negativo, il che significa che non può essere uguale a un numero negativo.

I lati sinistri delle equazioni irrazionali degli esempi precedenti erano radici di potenze pari, mentre i lati destri erano numeri. Consideriamo ora esempi con variabili sul lato destro, ovvero risolveremo equazioni irrazionali della forma . Per risolverli, determinando la radice, viene effettuata una transizione al sistema , che ha lo stesso insieme di soluzioni dell'equazione originale.

Bisogna tenere presente che il sistema , alla cui soluzione si riduce la soluzione dell'equazione irrazionale originaria , è consigliabile risolverlo non meccanicamente, ma, se possibile, razionalmente. È chiaro che si tratta più di una questione di argomento” soluzione di sistemi“, ma elenchiamo comunque tre situazioni riscontrate frequentemente con esempi che le illustrano:

1. Ad esempio, se la sua prima equazione g 2·k (x)=f(x) non ha soluzioni, allora non ha senso risolvere la disuguaglianza g(x)≥0, perché dall'assenza di soluzioni dell'equazione si può concludere che non ci sono soluzioni al sistema.

1. Analogamente, se la disuguaglianza g(x)≥0 non ha soluzioni, allora non è necessario risolvere l’equazione g 2·k (x)=f(x), perché anche senza questa è chiaro che in questo caso il sistema non ha soluzioni.

1. Molto spesso la disuguaglianza g(x)≥0 non viene affatto risolta, ma viene solo verificato quale delle radici dell'equazione g 2·k (x)=f(x) la soddisfa. L'insieme di tutti quelli che soddisfano la disuguaglianza è una soluzione del sistema, il che significa che è anche una soluzione dell'equazione irrazionale originaria ad esso equivalente.

Basta con le equazioni con esponenti pari di radici. È tempo di prestare attenzione alle equazioni irrazionali con radici di potenze dispari della forma . Come abbiamo già detto, per risolverli si passa all'equazione equivalente , che può essere risolto con qualsiasi metodo disponibile.

Per concludere questo punto, menzioniamo verificare le soluzioni. Il metodo per risolvere le equazioni irrazionali determinando la radice garantisce l'equivalenza delle transizioni. Ciò significa che non è necessario verificare le soluzioni trovate. Questo punto può essere attribuito ai vantaggi questo metodo risolvere equazioni irrazionali, perché nella maggior parte degli altri metodi la verifica è una fase obbligatoria della soluzione, che consente di tagliare radici estranee. Ma va ricordato che verificare sostituendo le soluzioni trovate nell'equazione originale non è mai superfluo: all'improvviso si è insinuato un errore di calcolo.

Notiamo anche che la questione del controllo e del filtraggio delle radici estranee è molto importante quando si risolvono equazioni irrazionali, quindi torneremo su questo argomento in uno dei prossimi paragrafi di questo articolo.

Metodo per elevare alla stessa potenza entrambi i membri di un'equazione

Un'ulteriore presentazione presuppone che il lettore abbia un'idea delle equazioni equivalenti e delle equazioni di corollario.

Il metodo per elevare entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza si basa sulla seguente affermazione:

Dichiarazione

Elevando entrambi i lati di un'equazione alla stessa potenza pari si ottiene un'equazione di corollario, mentre elevando entrambi i lati di un'equazione alla stessa potenza dispari si ottiene un'equazione equivalente.

Prova

Dimostriamolo per equazioni con una variabile. Per le equazioni con più variabili i principi della dimostrazione sono gli stessi.

Sia A(x)=B(x) l'equazione originale e x 0 la sua radice. Poiché x 0 è la radice di questa equazione, allora A(x 0)=B(x 0) – vera uguaglianza numerica. Conosciamo questa proprietà delle uguaglianze numeriche: la moltiplicazione termine per termine di vere uguaglianze numeriche dà una vera uguaglianza numerica. Moltiplichiamo termine per termine 2·k, dove k è un numero naturale, delle uguaglianze numeriche corrette A(x 0)=B(x 0), questo ci darà l'uguaglianza numerica corretta A 2·k (x 0)= B2·k (x 0) . E l'uguaglianza risultante significa che x 0 è la radice dell'equazione A 2·k (x)=B 2·k (x), che si ottiene dall'equazione originale elevando entrambi i membri alla stessa potenza naturale pari 2·k .

Per giustificare la possibilità dell'esistenza di una radice dell'equazione A 2·k (x)=B 2·k (x) , che non è la radice dell'equazione originale A(x)=B(x) , è abbastanza per fare un esempio. Consideriamo l'equazione irrazionale ed equazione , che si ottiene dall'originale squadrando entrambe le parti. È facile verificare che zero è la radice dell'equazione , Veramente, , che la stessa cosa 4=4 è un'uguaglianza vera. Ma allo stesso tempo lo zero è una radice estranea all'equazione , poiché dopo aver sostituito zero otteniamo l'uguaglianza , che equivale a 2=−2 , che non è corretto. Ciò dimostra che un'equazione ottenuta da quella originaria elevando entrambi i membri alla stessa potenza pari può avere radici estranee all'equazione originaria.

È stato dimostrato che elevando entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza naturale si ottiene un'equazione di corollario.

Resta da dimostrare che elevando entrambi i membri dell'equazione alla stessa strana potenza naturale si ottiene un'equazione equivalente.

Mostriamo che ciascuna radice dell'equazione è la radice dell'equazione ottenuta dall'originale elevando entrambe le sue parti a una potenza dispari e, viceversa, che ciascuna radice dell'equazione ottenuta dall'originale elevando entrambe le sue parti a una potenza dispari la potenza è la radice dell’equazione originale.

Consideriamo l'equazione A(x)=B(x) . Sia x 0 la sua radice. Allora l'uguaglianza numerica A(x 0)=B(x 0) è vera. Studiando le proprietà delle vere uguaglianze numeriche, abbiamo imparato che le vere uguaglianze numeriche possono essere moltiplicate termine per termine. Moltiplicando termine per termine 2·k+1, dove k è un numero naturale, le uguaglianze numeriche corrette A(x 0)=B(x 0) otteniamo l'uguaglianza numerica corretta A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) , il che significa che x 0 è la radice dell'equazione A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Ora indietro. Sia x 0 la radice dell'equazione A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Ciò significa che l'uguaglianza numerica A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) è corretta. A causa dell'esistenza di una radice dispari di qualsiasi numero reale e della sua unicità, anche l'uguaglianza sarà vera. Ciò, a sua volta, è dovuto all'identità , dove a è qualsiasi numero reale che segue dalle proprietà di radici e potenze, può essere riscritto come A(x 0)=B(x 0) . Ciò significa che x 0 è la radice dell'equazione A(x)=B(x) .

È stato dimostrato che elevando entrambi i membri di un'equazione irrazionale a una potenza dispari si ottiene un'equazione equivalente.

L'affermazione comprovata riempie l'arsenale a noi noto, utilizzato per risolvere le equazioni, con un'altra trasformazione delle equazioni, elevando entrambi i lati dell'equazione allo stesso potere naturale. Elevare entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza dispari è una trasformazione che porta a un'equazione di corollario, mentre elevarla a una potenza pari è una trasformazione equivalente. Il metodo per elevare entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza si basa su questa trasformazione.

Elevare entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza naturale viene utilizzato principalmente per risolvere equazioni irrazionali, poiché in certi casi questa trasformazione consente di eliminare i segni delle radici. Ad esempio, sollevando entrambi i lati dell'equazione alla potenza di n dà l'equazione , che può successivamente essere trasformata nell'equazione f(x)=g n (x) , che non contiene più una radice a sinistra. L'esempio sopra illustra l'essenza del metodo per elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza: utilizzando un'opportuna trasformazione, ottenere un'equazione più semplice che non contenga radicali nella sua notazione e, attraverso la sua soluzione, ottenere una soluzione dell'equazione irrazionale originaria.

Ora possiamo procedere direttamente alla descrizione del metodo per elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza naturale. Cominciamo con un algoritmo per risolvere, utilizzando questo metodo, le equazioni irrazionali più semplici con esponenti radice pari, cioè equazioni della forma , dove k è un numero naturale, f(x) e g(x) sono espressioni razionali. Un algoritmo per risolvere le equazioni irrazionali più semplici con esponenti radice dispari, ovvero equazioni della forma , lo daremo un po' più tardi. Allora andiamo ancora oltre: estendiamo il metodo per elevare entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza a equazioni irrazionali più complesse contenenti radici sotto i segni delle radici, più segni delle radici, ecc.

metodo per elevare entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza pari:

Dalle informazioni sopra riportate è chiaro che dopo il primo passo dell'algoritmo arriveremo a un'equazione le cui radici contengono tutte le radici dell'equazione originale, ma che può avere anche radici estranee all'equazione originale. Pertanto, l'algoritmo contiene una clausola sul filtraggio delle radici estranee.

Diamo un'occhiata all'applicazione dell'algoritmo fornito per risolvere equazioni irrazionali utilizzando esempi.

Cominciamo risolvendo un'equazione irrazionale semplice e abbastanza tipica, elevando al quadrato entrambi i lati si ottiene un'equazione quadratica priva di radici.

Ecco un esempio in cui tutte le radici dell'equazione ottenuta dall'equazione irrazionale originale elevando al quadrato entrambi i membri risultano estranee all'equazione originale. Conclusione: non ha radici.

Il prossimo esempio è un po’ più complicato. La sua soluzione, a differenza delle due precedenti, richiede di elevare entrambe le parti non al quadrato, ma alla sesta potenza, e questo non porterà più a un'equazione lineare o quadratica, ma a un'equazione cubica. Qui una verifica ci mostrerà che tutte e tre le sue radici saranno le radici dell'equazione irrazionale data inizialmente.

E qui andremo ancora oltre. Per eliminare la radice, dovrai elevare entrambi i lati dell'equazione irrazionale alla quarta potenza, il che a sua volta porterà a un'equazione della quarta potenza. Il controllo mostrerà che solo una delle quattro radici potenziali sarà la radice desiderata dell'equazione irrazionale, e il resto sarà estraneo.

Gli ultimi tre esempi illustrano la seguente affermazione: se elevando entrambi i membri di un'equazione irrazionale alla stessa potenza pari si produce un'equazione che ha radici, la successiva verifica di esse può mostrare che

• oppure sono tutte radici estranee all'equazione originale, e questa non ha radici,
• oppure non ci sono affatto radici estranee tra loro, e sono tutte radici dell'equazione originale,
• o solo alcuni di loro sono outsider.

È giunto il momento di passare alla risoluzione delle equazioni irrazionali più semplici con esponente radice dispari, cioè equazioni della forma . Scriviamo l'algoritmo corrispondente.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni irrazionali metodo per elevare entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza dispari:

• Entrambi i membri dell'equazione irrazionale sono elevati alla stessa potenza dispari 2·k+1.
• L'equazione risultante è risolta. La sua soluzione è la soluzione dell'equazione originale.

Nota: l'algoritmo di cui sopra, a differenza dell'algoritmo per risolvere le equazioni irrazionali più semplici con esponente di radice pari, non contiene una clausola riguardante l'eliminazione delle radici estranee. Abbiamo mostrato sopra che elevare entrambi i membri dell'equazione a una potenza dispari è una trasformazione equivalente dell'equazione, il che significa che tale trasformazione non porta alla comparsa di radici estranee, quindi non è necessario filtrarle.

Pertanto, è possibile risolvere equazioni irrazionali elevando entrambi i membri alla stessa potenza dispari senza eliminare gli estranei. Allo stesso tempo, non dimenticare che quando si aumenta a una potenza pari, è necessaria la verifica.

Conoscere questo fatto ci consente di evitare legalmente di eliminare radici estranee quando si risolve un'equazione irrazionale . Inoltre, in questo caso, l'assegno è associato a calcoli “spiacevoli”. Non ci saranno comunque radici estranee, poiché viene elevato a una potenza dispari, cioè a cubo, che è una trasformazione equivalente. È chiaro che la verifica può essere effettuata, ma più per autocontrollo, per verificare ulteriormente la correttezza della soluzione trovata.

Riassumiamo i risultati intermedi. A questo punto, in primo luogo, abbiamo ampliato l'arsenale già noto per risolvere varie equazioni con un'altra trasformazione, che consiste nell'elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza. Se elevata a una potenza pari, questa trasformazione può essere disuguale e, quando la si utilizza, è necessario controllare per filtrare le radici estranee. Quando elevata a una potenza dispari, la trasformazione specificata è equivalente e non è necessario filtrare radici estranee. In secondo luogo, abbiamo imparato a utilizzare questa trasformazione per risolvere le più semplici equazioni irrazionali della forma , dove n è l'esponente radice, f(x) e g(x) sono espressioni razionali.

Ora è il momento di considerare come elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza da una prospettiva generale. Ciò ci consentirà di estendere il metodo di risoluzione delle equazioni irrazionali basato su di esso dalle equazioni irrazionali più semplici alle equazioni irrazionali di tipo più complesso. Facciamolo.

Infatti, quando si risolvono equazioni elevando entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza, si utilizza l'approccio generale a noi già noto: l'equazione originale, attraverso alcune trasformazioni, si trasforma in un'equazione più semplice, si trasforma in una ancora più semplice uno e così via, fino alle equazioni che possiamo risolvere. È chiaro che se in una catena di tali trasformazioni ricorriamo ad elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza, allora possiamo dire che stiamo seguendo lo stesso metodo per elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza. Non resta che capire esattamente quali trasformazioni e in quale sequenza occorre effettuare per risolvere equazioni irrazionali elevando entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza.

Ecco un approccio generale per risolvere equazioni irrazionali elevando entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza:

• Innanzitutto dobbiamo passare dall’equazione irrazionale originaria a un’altra semplice equazione, che solitamente può essere ottenuto eseguendo ciclicamente le seguenti tre azioni:
  • Isolamento del radicale (o tecniche simili, ad esempio isolamento del prodotto di radicali, isolamento di una frazione il cui numeratore e/o denominatore è una radice, che consente, elevando successivamente a potenza entrambi i membri dell'equazione, di eliminare la radice).
  • Semplificare la forma dell'equazione.
• In secondo luogo, è necessario risolvere l'equazione risultante.
• Infine, se durante la soluzione si sono verificate transizioni alle equazioni di corollario (in particolare, se entrambi i lati dell'equazione sono stati elevati a una potenza pari), è necessario eliminare le radici estranee.

Mettiamo in pratica le conoscenze acquisite.

Risolviamo un esempio in cui la solitudine del radicale porta l'equazione irrazionale alla sua forma più semplice, dopodiché non resta che elevare al quadrato entrambi i lati, risolvere l'equazione risultante ed eliminare le radici estranee utilizzando un controllo.

La seguente equazione irrazionale può essere risolta separando la frazione con un radicale al denominatore, che può essere eliminata mediante successiva elevazione al quadrato di entrambi i membri dell'equazione. E poi tutto è semplice: l'equazione razionale frazionaria risultante viene risolta e viene effettuato un controllo per escludere radici estranee dall'inserimento nella risposta.

Le equazioni irrazionali che contengono due radici sono abbastanza tipiche. Di solito vengono risolti con successo elevando entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza. Se le radici hanno lo stesso grado e non ci sono altri termini oltre a loro, per eliminare i radicali è sufficiente isolare il radicale ed eseguire l'elevamento a potenza una volta, come nell'esempio seguente.

Ed ecco un esempio in cui ci sono anche due radici, oltre a loro non ci sono nemmeno termini, ma i gradi delle radici sono diversi. In questo caso, dopo aver isolato il radicale, è consigliabile elevare entrambi i membri dell'equazione ad una potenza tale da eliminare entrambi i radicali contemporaneamente. Tale grado serve, ad esempio, come indicatore delle radici. Nel nostro caso i gradi delle radici sono 2 e 3, LCM(2, 3) = 6, quindi eleveremo entrambi i membri alla sesta potenza. Da notare che possiamo anche agire lungo il percorso standard, ma in questo caso dovremo ricorrere all'elevazione di entrambe le parti a una potenza due volte: prima alla seconda, poi alla terza. Mostreremo entrambe le soluzioni.

In più casi difficili, quando risolvi equazioni irrazionali elevando entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza, devi ricorrere a elevarla due volte, meno spesso - tre volte e ancora meno spesso - numero maggiore una volta. La prima equazione irrazionale, che illustra quanto detto, contiene due radicali e un altro termine.

Anche la soluzione della seguente equazione irrazionale richiede due esponenziazioni successive. Se non dimentichi di isolare i radicali, bastano due elevamenti a potenza per eliminare i tre radicali presenti nella sua notazione.

Il metodo di elevare entrambi i membri di un'equazione irrazionale alla stessa potenza consente di far fronte a equazioni irrazionali in cui sotto la radice c'è un'altra radice. Ecco la soluzione di un tipico esempio.

Infine, prima di passare all'analisi dei seguenti metodi per risolvere le equazioni irrazionali, è necessario notare il fatto che elevando entrambi i membri di un'equazione irrazionale alla stessa potenza può, a seguito di ulteriori trasformazioni, dare un'equazione che ha un numero infinito di soluzioni. Un'equazione che ha infinite radici si ottiene, ad esempio, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione irrazionale e successiva semplificazione della forma dell'equazione risultante. Tuttavia, per ovvi motivi, non siamo in grado di effettuare un controllo di sostituzione. In questi casi, è necessario ricorrere ad altri metodi di verifica, di cui parleremo, oppure abbandonare il metodo di elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza a favore di un altro metodo di soluzione, ad esempio a favore di un metodo ciò presuppone.

Abbiamo esaminato le soluzioni delle più tipiche equazioni irrazionali elevando entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza. L'approccio generale studiato consente di far fronte ad altre equazioni irrazionali, se questo metodo di soluzione è adatto a loro.

Risolvere equazioni irrazionali introducendo una nuova variabile

Esistere metodi generali per la risoluzione delle equazioni. Permettono di risolvere equazioni tipi diversi. In particolare, vengono utilizzati metodi generali per risolvere equazioni irrazionali. In questo paragrafo esamineremo uno dei metodi comuni: Metodo per introdurre una nuova variabile, o meglio, il suo utilizzo nella risoluzione di equazioni irrazionali. L'essenza e i dettagli del metodo stesso sono presentati nell'articolo, il cui collegamento è fornito nella frase precedente. Qui ci concentreremo sulla parte pratica, ovvero analizzeremo le soluzioni delle equazioni irrazionali standard introducendo una nuova variabile.

I paragrafi seguenti di questo articolo sono dedicati alla risoluzione di equazioni irrazionali utilizzando altri metodi generali.

Per prima cosa diamo algoritmo per risolvere equazioni introducendo una nuova variabile. Daremo subito dopo le dovute spiegazioni. Quindi, l'algoritmo:

Veniamo ora ai chiarimenti promessi.

Il secondo, terzo e quarto passaggio dell'algoritmo sono puramente tecnici e spesso non difficili. E l'interesse principale è il primo passo: l'introduzione di una nuova variabile. Il punto qui è che spesso è tutt'altro che ovvio come introdurre una nuova variabile, e in molti casi è necessario effettuare alcune trasformazioni dell'equazione affinché l'espressione g(x) possa essere conveniente da sostituire con t a apparire. In altre parole, introdurre una nuova variabile è spesso un processo creativo, e quindi complesso. Successivamente proveremo a toccare gli esempi più basilari e tipici che spiegano come introdurre una nuova variabile quando si risolvono equazioni irrazionali.

Rispetteremo la seguente sequenza di presentazione:

Quindi, iniziamo con i casi più semplici di introduzione di una nuova variabile durante la risoluzione di equazioni irrazionali.

Risolviamo l'equazione irrazionale , che abbiamo già citato come esempio poco sopra. Ovviamente in questo caso è possibile la sostituzione. Ci porterà a un'equazione razionale che, a quanto pare, ha due radici che, se sostituite al contrario, forniranno un insieme di due semplici equazioni irrazionali, la cui soluzione non è difficile. Per confronto, mostreremo una soluzione alternativa eseguendo trasformazioni che porteranno all'equazione irrazionale più semplice.

Anche nella seguente equazione irrazionale è ovvia la possibilità di introdurre una nuova variabile. Ma è notevole il fatto che per risolverlo non dobbiamo tornare alla variabile originale. Il fatto è che ciò che si ottiene dopo l'introduzione equazione variabile non ha soluzioni, il che significa che l'equazione originale non ha soluzioni.

Equazione irrazionale , come la precedente, può essere convenientemente risolta introducendo una nuova variabile. Inoltre, come il precedente, non ha soluzioni. Ma l'assenza di radici è determinata in altri modi: qui l'equazione ottenuta dopo aver introdotto la variabile ha soluzione, ma l'insieme di equazioni scritte durante la sostituzione inversa non ha soluzione, quindi neanche l'equazione originale ha soluzione. Analizziamo la soluzione di questa equazione.

Completiamo la serie di esempi in cui la sostituzione è ovvia, con un'equazione irrazionale apparentemente complessa contenente una radice sotto la radice nella notazione. L'introduzione di una nuova variabile spesso rende più chiara la struttura di un'equazione, il che è particolarmente vero per questo esempio. Infatti, se accettiamo , allora l'equazione irrazionale originale viene trasformata in un'equazione irrazionale più semplice , che può essere risolto, ad esempio, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione. Presentiamo la soluzione introducendo una nuova variabile e, per confronto, mostreremo anche la soluzione elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione.

I record di tutti gli esempi precedenti contenevano diverse espressioni identiche, che abbiamo preso come nuova variabile. Tutto era semplice e ovvio: vediamo espressioni identiche adatte e invece introduciamo una nuova variabile, che dà un'equazione più semplice con una nuova variabile. Ora andremo un po' oltre: scopriremo come risolvere equazioni irrazionali in cui l'espressione adatta alla sostituzione non è così ovvia, ma è abbastanza facilmente visibile ed evidenziata esplicitamente utilizzando semplici trasformazioni.

Consideriamo le tecniche di base che consentono di selezionare esplicitamente un'espressione conveniente per introdurre una nuova variabile. Il primo è questo. Illustriamo quanto detto.

Ovviamente, nell'equazione irrazionale per introdurre una nuova variabile basta prendere x 2 +x=t. È possibile introdurre anche una nuova variabile nell'equazione? ? Questa possibilità è visibile, perché è ovvio . L'ultima uguaglianza permette di effettuare una trasformazione equivalente dell'equazione, che consiste nel sostituire l'espressione con un'espressione identicamente uguale che non modifica l'ODZ, il che rende possibile passare dall'equazione originale a un'equazione equivalente e già lo decidi. Mostriamo la soluzione completa dell'equazione irrazionale introducendo una nuova variabile.

Cos'altro, oltre a mettere tra parentesi il fattore comune, permette di individuare chiaramente in un'equazione irrazionale un'espressione conveniente per introdurre una nuova variabile? In alcuni casi, questo è , e . Diamo un'occhiata ad esempi tipici.

Come introdurremmo una nuova variabile quando risolviamo un'equazione irrazionale ? Naturalmente accetteremmo. E se il compito fosse risolvere un'equazione irrazionale? , è possibile introdurre una nuova variabile come ? Esplicitamente - non visibile, ma tale possibilità è visibile, poiché sull'ODZ della variabile x per questa equazione, a causa della definizione della radice e delle proprietà delle radici, è valida l'uguaglianza, che ci consente di andare al equazione equivalente .

Permettiamoci una piccola generalizzazione basata sull'esempio precedente. Nei casi in cui l’indicatore di una radice è multiplo dell’indicatore di un’altra (k·n e k), di solito si ricorre all’uguaglianza e introdurre una nuova variabile come . Ecco come abbiamo proceduto, risolvendo l’equazione . Un po 'più avanti parleremo di come risolvere equazioni irrazionali con esponenti radice disuguali e non multipli.

Vale la pena soffermarsi brevemente sull'introduzione di una nuova variabile nelle equazioni irrazionali che contengono una radice, nonché un'espressione radicale e/o un suo grado. In questi casi è ovvio che la radice debba essere presa come nuova variabile. Ad esempio, quando si risolve l'equazione accetteremmo , per definizione della radice, trasformerebbe l'equazione originale nella forma , e dopo aver introdotto una nuova variabile arriveremmo all'equazione quadratica 2·t 2 +3·t−2=0.

In casi leggermente più complessi, potrebbe essere necessaria un'ulteriore trasformazione aggiuntiva dell'equazione per isolare l'espressione che coincide con il radicale. Spieghiamo questo. Come introdurremmo una nuova variabile nell'equazione ? Ovviamente l'espressione x 2 +5 coincide con l'espressione radicale, quindi, secondo quanto indicato nel paragrafo precedente, in base alla definizione della radice, passeremmo all'equazione equivalente e introdurrebbe una nuova variabile come . Come introdurremmo una nuova variabile se non avessimo a che fare con l'equazione e con l'equazione ? Si Anche. Il fatto è che prima dovremmo rappresentare x 2 +1 come x 2 +5−4 per evidenziare esplicitamente l’espressione radicale x 2 +5. Cioè, usciremmo dall'equazione irrazionale passato all'equazione equivalente , quindi all'equazione , dopodiché potremmo facilmente introdurre una nuova variabile.

In questi casi, esiste un altro approccio più universale per introdurre una nuova variabile: prendere la radice come una nuova variabile e, sulla base di questa uguaglianza, esprimere le restanti vecchie variabili attraverso quella nuova. Per l'equazione accetteremmo , da questa uguaglianza esprimeremmo x 2 attraverso t come t 2 −5 (, , x 2 +5=t 2 , x 2 =t 2 −5 ), da cui x 2 +1=t 2 −4 . Questo ci permette di passare a un'equazione con una nuova variabile t 2 −4+3·t=0. Per mettere in pratica le nostre abilità, risolveremo una tipica equazione irrazionale.

L'introduzione di una nuova variabile in tali esempi può portare alla comparsa di espressioni sotto i segni delle radici che sono quadrati completi. Ad esempio, se prendiamo in considerazione un'equazione irrazionale, ciò porterà all'equazione in cui la prima espressione radicale è il quadrato del binomio lineare t−2 e la seconda espressione radicale è il quadrato del binomio lineare t−3. E da tali equazioni è meglio passare alle equazioni con moduli: , , . Ciò è dovuto al fatto che tali equazioni possono avere un numero infinito di radici, mentre risolverle elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione non consentirà il test per sostituzione, e risolverle determinando la radice porterà alla necessità di risolvere una disuguaglianza irrazionale . Mostreremo la soluzione di un simile esempio di seguito nella sezione transizione da un'equazione irrazionale a un'equazione con modulo.

Quando è ancora abbastanza facile intravedere la possibilità di introdurre una nuova variabile? Quando l'equazione contiene frazioni “invertite” e (con il tuo permesso, le chiameremo reciprocamente inverse per analogia con ). Come risolveremmo un'equazione razionale con frazioni come queste? Prenderemo una di queste frazioni come una nuova variabile t, mentre l'altra frazione verrebbe espressa attraverso la nuova variabile come 1/t. Nelle equazioni irrazionali, introdurre una nuova variabile in questo modo non è del tutto pratico, poiché per eliminare ulteriormente le radici, molto probabilmente, dovrai introdurre un'altra variabile. Meglio accettarlo subito come nuovo radice variabile da una frazione. Bene, allora trasforma l'equazione originale utilizzando una delle uguaglianze E , che ti consentirà di passare a un'equazione con una nuova variabile. Diamo un'occhiata a un esempio.

Non dimenticare le opzioni di sostituzione già note. Ad esempio, nella registrazione di un'equazione irrazionale può comparire l'espressione x+1/x e x 2 +1/x 2, che fa pensare alla possibilità di introdurre una nuova variabile x+1/x=t. Questo pensiero non nasce per caso, perché lo abbiamo già fatto quando abbiamo deciso equazioni reciproche. Questo metodo per introdurre una nuova variabile, come altri metodi a noi già noti, dovrebbe essere tenuto presente quando si risolvono equazioni irrazionali, così come equazioni di altro tipo.

Passiamo alle equazioni irrazionali più complesse, nelle quali è più difficile individuare un'espressione adatta per introdurre una nuova variabile. E cominciamo con equazioni in cui le espressioni radicali sono le stesse, ma, a differenza del caso discusso sopra, l'esponente maggiore di una radice non è completamente diviso dall'esponente minore dell'altra radice. Scopriamo come scegliere l'espressione giusta per introdurre una nuova variabile in questi casi.

Quando le espressioni radicali sono le stesse, e l'esponente maggiore di una radice k 1 non è completamente diviso per l'esponente minore dell'altra radice k 2 , la radice del grado LCM (k 1 , k 2) può essere considerata come nuova variabile, dove LCM è . Ad esempio, in un'equazione irrazionale le radici sono uguali a 2 e 3, tre non è un multiplo di due, LCM(3, 2)=6, quindi una nuova variabile può essere introdotta come . Inoltre, la definizione della radice, così come le proprietà delle radici, consente di trasformare l'equazione originale per selezionare esplicitamente l'espressione e quindi sostituirla con una nuova variabile. Presentiamo una soluzione completa e dettagliata a questa equazione.

Utilizzando principi simili, viene introdotta una nuova variabile nei casi in cui le espressioni sotto le radici differiscono in gradi. Ad esempio, se in un'equazione irrazionale la variabile è contenuta solo sotto le radici e le radici stesse hanno la forma e , allora dovresti calcolare il minimo comune multiplo delle radici LCM(3, 4) = 12 e prendere . Inoltre, in base alle proprietà delle radici e dei poteri, le radici dovrebbero essere trasformate come E di conseguenza, che ti consentirà di introdurre una nuova variabile.

Puoi agire in modo simile nelle equazioni irrazionali, in cui sotto le radici con esponenti diversi ci sono frazioni reciprocamente inverse e . Cioè, è consigliabile prendere radice con un indicatore uguale all'LCM degli indicatori radice come nuova variabile. Bene, allora passiamo all'equazione con una nuova variabile, che ci permette di creare uguaglianze E , definizione di radice, nonché proprietà di radici e potenze. Diamo un'occhiata a un esempio.

Parliamo ora di equazioni in cui la possibilità di introdurre una nuova variabile può solo essere sospettata e che, in caso di successo, si aprono solo dopo trasformazioni abbastanza gravi. Ad esempio, solo dopo una serie di trasformazioni non così evidenti viene portata alla forma un'equazione irrazionale, che apre la strada alla sostituzione . Diamo una soluzione a questo esempio.

Infine, aggiungiamo un po' di esotismo. A volte un'equazione irrazionale può essere risolta introducendo più di una variabile. Questo approccio alla risoluzione delle equazioni è proposto nel libro di testo. Lì per risolvere l'equazione irrazionale si propone di inserire due variabili . Il libro di testo fornisce una soluzione breve, ripristiniamo i dettagli.

Risoluzione di equazioni irrazionali utilizzando il metodo della fattorizzazione

Oltre al metodo di introduzione di una nuova variabile, vengono utilizzati altri metodi generali per risolvere equazioni irrazionali, in particolare, metodo di fattorizzazione. L'articolo al link indicato nella frase precedente discute in dettaglio quando viene utilizzato il metodo di fattorizzazione, qual è la sua essenza e su cosa si basa. Qui siamo più interessati non al metodo in sé, ma al suo utilizzo nella risoluzione di equazioni irrazionali. Pertanto, presenteremo il materiale come segue: richiameremo brevemente le principali disposizioni del metodo, dopodiché analizzeremo in dettaglio le soluzioni alle equazioni irrazionali caratteristiche utilizzando il metodo della fattorizzazione.

Il metodo della fattorizzazione viene utilizzato per risolvere equazioni in cui c'è un prodotto a sinistra e zeri a destra, ovvero per risolvere equazioni della forma f1 (x) f2 (x) fn (x)=0, dove f 1, f 2, …, f n sono alcune funzioni. L'essenza del metodo è sostituire l'equazione f1 (x) f2 (x) fn (x)=0 sulla variabile x per l'equazione originale.

La prima parte dell'ultima frase sul passaggio alla totalità deriva da ciò che è noto scuola elementare fatto: il prodotto di più numeri è uguale a zero se e solo se almeno uno dei numeri è uguale a zero. La presenza della seconda parte sull'ODZ è spiegata dal fatto che la transizione dall'equazione f1 (x) f2 (x) fn (x)=0 ad un insieme di equazioni f1 (x)=0, f2 (x)=0, …, fn (x)=0 possono essere disuguali e portare alla comparsa di radici estranee, che in questo caso possono essere eliminate tenendo conto dell'ODZ. Vale la pena notare che lo screening delle radici estranee, se conveniente, può essere effettuato non solo tramite ODZ, ma anche in altri modi, ad esempio controllando sostituendo le radici trovate nell'equazione originale.

Quindi, per risolvere l'equazione f1 (x) f2 (x) fn (x)=0 utilizzando il metodo della fattorizzazione, compreso quello irrazionale, è necessario

• Vai al set di equazioni f1 (x)=0, f2 (x)=0, …, fn (x)=0,
• Risolvi l'insieme composto,
• Se l'insieme delle soluzioni non ne ha, concludi che l'equazione originale non ha radici. Se ci sono radici, estirpare le radici estranee.

Passiamo alla parte pratica.

I membri di sinistra delle tipiche equazioni irrazionali, che vengono risolte mediante fattorizzazione, sono prodotti di diverse espressioni algebriche, solitamente binomi lineari e trinomi quadrati e diverse radici con espressioni algebriche sotto di esse. Ci sono zeri sul lato destro. Tali equazioni sono ideali per acquisire le competenze iniziali per risolverle. Inizieremo risolvendo un'equazione simile. Così facendo cercheremo di raggiungere due obiettivi:

• considerare tutti i passaggi dell'algoritmo del metodo di fattorizzazione quando si risolve un'equazione irrazionale,
• ricordare i tre modi principali per eliminare le radici estranee (mediante ODZ, mediante condizioni ODZ e sostituendo direttamente le soluzioni nell'equazione originale).

La seguente equazione irrazionale è tipica nel senso che quando la si risolve utilizzando il metodo della fattorizzazione, è conveniente filtrare le radici estranee secondo le condizioni dell'ODZ e non secondo l'ODZ sotto forma di un insieme numerico, da allora è difficile ottenere l'ODZ sotto forma di fattore numerico. La difficoltà è che una delle condizioni che definiscono il DL è disuguaglianza irrazionale . Questo approccio per eliminare le radici estranee consente di fare a meno di risolverlo; inoltre, a volte nei corsi scolastici ai matematici non viene insegnato affatto come risolvere le disuguaglianze irrazionali.

Va bene quando l'equazione ha un prodotto a sinistra e uno zero a destra. In questo caso si può andare subito all'insieme delle equazioni, risolverlo, trovare e scartare radici estranee all'equazione originale, che darà la soluzione desiderata. Ma più spesso le equazioni hanno una forma diversa. Se allo stesso tempo esiste l'opportunità di trasformarli in una forma adatta all'applicazione del metodo di fattorizzazione, allora perché non provare a effettuare le trasformazioni appropriate. Ad esempio, per ottenere il prodotto del membro sinistro della seguente equazione irrazionale, è sufficiente ricorrere alla differenza dei quadrati.

Esiste un'altra classe di equazioni che di solito vengono risolte mediante fattorizzazione. Include equazioni, entrambi i lati delle quali sono prodotti che hanno lo stesso fattore sotto forma di un'espressione con una variabile. Questa è, ad esempio, l’equazione irrazionale . Puoi procedere dividendo entrambi i membri dell'equazione per lo stesso fattore, ma non devi dimenticare di controllare separatamente i valori che fanno svanire queste espressioni, altrimenti potresti perdere le soluzioni, perché dividendo entrambi i membri dell'equazione per la stessa espressione potrebbe trattarsi di una trasformazione ineguale. È più affidabile utilizzare il metodo della fattorizzazione; questo permette di garantire che le radici non andranno perse durante un'ulteriore soluzione corretta. È chiaro che per fare ciò è necessario prima ottenere il prodotto sul lato sinistro dell'equazione e zero sul lato destro. È semplice: basta spostare l'espressione da destra a sinistra, cambiandone il segno, e togliendo il divisore tra parentesi. Mostriamo la soluzione completa di un'equazione irrazionale simile, ma leggermente più complessa.

È utile iniziare a risolvere qualsiasi equazione (come, del resto, a risolvere molti altri problemi) trovando l'ODZ, soprattutto se l'ODZ è facile da trovare. Diamo alcuni degli argomenti più ovvi a favore di ciò.

Quindi, avendo ricevuto l'incarico di risolvere un'equazione, non dovresti affrettarti a trasformazioni e calcoli senza guardarti indietro, magari solo guardare l'ODZ? Ciò è chiaramente dimostrato dalla seguente equazione irrazionale.

Metodo grafico funzionale

Metodo grafico funzionale- questo è un altro metodo generale risolvere equazioni. Come ogni metodo generale, consente di risolvere equazioni di vario tipo, in particolare può essere utilizzato per risolvere equazioni irrazionali. È questa applicazione del metodo grafico funzionale che ci interessa maggiormente nel quadro del presente articolo.

Il metodo grafico-funzionale coinvolge funzioni, loro proprietà e grafici nel processo di risoluzione delle equazioni. Questo è uno strumento molto potente. E, come ogni strumento potente, di solito si ricorre ad esso quando gli strumenti più semplici sono impotenti.

Esistono tre direzioni principali del metodo grafico-funzionale per la risoluzione delle equazioni:

• Il primo è l'uso dei grafici delle funzioni. Questa direzione è chiamata metodo grafico.
• Il secondo è l'uso delle proprietà delle funzioni crescenti e decrescenti.
• Il terzo è l'uso delle proprietà delle funzioni limitate. Probabilmente con il metodo di valutazione, che in Ultimamente a orecchio capiscono proprio questa direzione del metodo grafico-funzionale.

Queste tre direzioni consentono di affrontare la stragrande maggioranza delle equazioni irrazionali, per le quali è generalmente adatto il metodo grafico-funzionale. Nella sequenza specificata - l'uso dei grafici, l'uso di crescente-decrescente, l'uso delle proprietà delle funzioni limitate - analizzeremo le soluzioni agli esempi più tipici.

Metodo grafico

Cominciamo quindi con il metodo grafico per risolvere le equazioni irrazionali.

In base al metodo grafico è necessario:

• in primo luogo, in un sistema di coordinate, costruisci i grafici delle funzioni f e g corrispondenti ai lati sinistro e destro dell'equazione da risolvere,
• in secondo luogo, in base alla loro posizione relativa, trarre conclusioni sulle radici dell'equazione:
  • se i grafici delle funzioni non si intersecano, l'equazione non ha soluzioni,
  • Se i grafici delle funzioni hanno punti di intersezione, le radici dell'equazione sono le ascisse di questi punti.

Risoluzione di equazioni irrazionali tramite ODZ

Molto spesso parte del processo di risoluzione delle equazioni lo è. I motivi che costringono a cercare DL possono essere diversi: è necessario effettuare delle trasformazioni dell'equazione, e queste, come noto, si effettuano su DL, il metodo risolutivo scelto prevede di trovare DL, verificando tramite DL , eccetera. E in alcuni casi, ODZ non agisce solo come strumento ausiliario o di controllo, ma consente anche di ottenere una soluzione all'equazione. Qui intendiamo due situazioni: quando l'ODZ è un insieme vuoto e quando l'ODZ è un insieme finito di numeri.

È chiaro che se l'ODZ di un'equazione, in particolare di una irrazionale, è un insieme vuoto, allora l'equazione non ha soluzioni. Quindi l'ODZ della variabile x per la seguente equazione irrazionale è un insieme vuoto, il che significa che l'equazione non ha soluzioni.

Quando l'ODZ di una variabile per un'equazione è un insieme finito di numeri, controllando sequenzialmente sostituendo questi numeri, è possibile ottenere una soluzione dell'equazione. Ad esempio, consideriamo un'equazione irrazionale per la quale l'ODZ è costituito da due numeri e la sostituzione mostra che solo uno di essi è la radice dell'equazione, da cui si conclude che questa radice è l'unica soluzione dell'equazione.

Risolvere equazioni irrazionali della forma “frazione uguale a zero”

Qualunque equazione della forma “frazione uguale a zero”, in particolare, irrazionale, sull'ODZ della variabile x per questa equazione equivale all'equazione f(x)=0. Da questa affermazione seguono due approcci per risolvere equazioni di questo tipo:

È chiaro che è meglio ricorrere al primo approccio per risolvere l'equazione quando è più semplice trovare l'ODZ piuttosto che risolvere l'equazione f(x)=0. In questo caso l'ODZ potrebbe risultare un insieme vuoto o composto da più numeri; in questi casi si potrà fare a meno di risolvere l'equazione f(x) = 0 (vedi). Risolviamo una tipica equazione irrazionale.

Il secondo approccio per risolvere l'equazione è preferibile quando risolvere l'equazione f(x) = 0 è abbastanza semplice. Dopo aver risolto l'equazione f(x)=0 non resta che verificare le radici trovate, operazione che solitamente si effettua in uno dei seguenti modi:

• attraverso la sostituzione nel denominatore dell'equazione originale, quelle delle radici trovate che trasformano il denominatore in zero o in un'espressione priva di significato non sono radici, e le radici trovate che trasformano il denominatore in un numero diverso da zero sono radici dell'equazione originale .
• direttamente dall'ODZ (quando l'ODZ si trova abbastanza facilmente, mentre il primo e il secondo approccio per risolvere equazioni irrazionali della forma "frazione uguale a zero" sono praticamente equivalenti), le radici trovate appartenenti all'ODZ sono radici dell'equazione originale, e quelli che non appartengono non lo sono.
• oppure attraverso le condizioni dell'ODZ (spesso è facile trascrivere le condizioni che definiscono l'ODZ, ma utilizzarle per trovare l'ODZ sotto forma di insieme numerico è difficile), quelle delle radici trovate che soddisfano tutte le condizioni dell'ODZ sono le radici dell'equazione originale, il resto no.

Equazioni irrazionali che si riducono a uguaglianze numeriche

Vai ai moduli

Se nella notazione di un'equazione irrazionale sotto il segno di una radice di grado pari c'è un grado di qualche espressione con un esponente uguale all'esponente della radice, allora puoi andare al modulo. Questa trasformazione avviene grazie ad una delle formule, dove 2·m è un numero pari, a è un numero reale qualsiasi. Vale la pena notare che questa trasformazione è una trasformazione equivalente dell'equazione. Infatti, con tale trasformazione, la radice viene sostituita da un modulo identicamente uguale, mentre l'ODZ non cambia.

Consideriamo un'equazione irrazionale caratteristica, che può essere risolta passando al modulo.

Vale sempre la pena passare ai moduli quando possibile? Nella stragrande maggioranza dei casi, tale transizione è giustificata. L'eccezione sono quei casi in cui è ovvio che metodi alternativi risolvere un'equazione irrazionale richiede relativamente meno lavoro. Prendiamo un'equazione irrazionale che può essere risolta passando ai moduli e ad altri metodi, ad esempio elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione o determinando la radice, e vediamo quale soluzione sarà la più semplice e compatta.

Nell'esempio risolto, la soluzione per determinare la radice sembra preferibile: è più breve e più semplice sia della soluzione attraverso la transizione al modulo, sia della soluzione elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione. Avremmo potuto saperlo prima di risolvere l'equazione utilizzando tutti e tre i metodi? Diciamolo chiaro, non era ovvio. Quindi, quando stai esaminando diversi metodi di soluzione e non è immediatamente chiaro quale preferire, dovresti provare a trovare una soluzione con uno qualsiasi di essi. Se funziona, allora bene. Se il metodo scelto non porta a risultati o la soluzione risulta essere molto difficile, dovresti provare un altro metodo.

Alla fine di questo punto, torniamo all'equazione irrazionale. Nel paragrafo precedente l'abbiamo già risolto e abbiamo visto che un tentativo di risolverlo isolando il radicale ed elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione ha portato all'uguaglianza numerica 0=0 e all'impossibilità di trarre una conclusione sulle radici. E la soluzione per determinare la radice implicava risolvere una disuguaglianza irrazionale, il che di per sé è piuttosto difficile. Buon metodo La soluzione a questa equazione irrazionale è passare ai moduli. Diamo una soluzione dettagliata.

Trasformazione di equazioni irrazionali

La soluzione delle equazioni irrazionali non è quasi mai completa senza trasformarle. Quando studiamo le equazioni irrazionali, abbiamo già familiarità con le trasformazioni equivalenti delle equazioni. Quando si risolvono equazioni irrazionali, vengono utilizzate allo stesso modo di quando si risolvono tipi di equazioni precedentemente studiati. Hai visto esempi di tali trasformazioni di equazioni irrazionali nei paragrafi precedenti e, vedi, sono state percepite in modo abbastanza naturale, poiché ci sono familiari. Sopra, abbiamo anche appreso di una nuova trasformazione per noi: elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza, tipica delle equazioni irrazionali; nel caso generale, non è equivalente. Vale la pena parlare di tutte queste trasformazioni in dettaglio per conoscere tutte le sfumature che emergono durante la loro implementazione ed evitare errori.

Analizzeremo le trasformazioni delle equazioni irrazionali nella seguente sequenza:

1. Sostituzione di espressioni con espressioni identicamente uguali che non modificano l'ODZ.
2. Sommare lo stesso numero da entrambi i lati di un'equazione o sottrarre lo stesso numero da entrambi i lati di un'equazione.
3. Aggiungendo la stessa espressione, che non modifica il valore della proprietà, a entrambi i lati di un'equazione, oppure sottraendo la stessa espressione, che non modifica il valore della proprietà, da entrambi i lati dell'equazione.
4. Trasferimento di termini da un lato dell'equazione all'altro con segno opposto.
5. Moltiplicare e dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero.
6. Moltiplicando e dividendo entrambi i lati di un'equazione con la stessa espressione, che non modifica l'intervallo di valori consentiti della variabile e non si trasforma in zero su di essa.
7. Elevare entrambi i membri di un'equazione alla stessa potenza.

Quindi, la gamma di domande è delineata. Cominciamo a capirli con degli esempi.

La prima trasformazione che ci interessa è la sostituzione delle espressioni nell'equazione con espressioni identicamente uguali. Sappiamo che è equivalente se il VA dell'equazione ottenuta come risultato della trasformazione è uguale al VA dell'equazione originale. Da ciò è chiaro che ci sono due ragioni principali per il verificarsi di errori durante l'esecuzione di questa trasformazione: la prima è una modifica dell'OD che si verifica a seguito della trasformazione, la seconda è la sostituzione di un'espressione con un'espressione questo non è identicamente uguale ad esso. Esaminiamo questi aspetti nel dettaglio e con ordine, considerando esempi di trasformazioni tipiche di questo tipo.

Per prima cosa esaminiamo le trasformazioni tipiche delle equazioni, che consistono nel sostituire un'espressione con un'espressione identicamente uguale, che sono sempre equivalenti. Ecco l'elenco pertinente.

• Riorganizzare termini e fattori. Questa trasformazione può essere effettuata sia sul lato sinistro che su quello destro dell'equazione irrazionale. Può essere utilizzato, ad esempio, per raggruppare e poi ridurre termini simili per semplificare la forma dell'equazione. La riorganizzazione di termini o fattori è ovviamente una trasformazione equivalente dell'equazione. Ciò è comprensibile: l'espressione originale e l'espressione con i termini o i fattori riorganizzati sono identicamente uguali (se, ovviamente, la riorganizzazione viene eseguita correttamente), ed è ovvio che tale trasformazione non modifica l'ODZ. Facciamo un esempio. Sul lato sinistro dell'equazione irrazionale nel prodotto x·3·x puoi scambiare il primo e il secondo fattore xe 3, cosa che ti permetterà successivamente di rappresentare il polinomio sotto il segno di radice in una forma standard. E sul lato destro dell'equazione nella somma 4+x+5 puoi scambiare i termini 4 e x, che in futuro ti permetteranno di sommare i numeri 4 e 5. Dopo questi riarrangiamenti, l'equazione irrazionale assumerà la forma , l'equazione risultante è equivalente a quella originale.
• Parentesi espandibili. L'equivalenza di questa trasformazione delle equazioni è ovvia: le espressioni prima e dopo l'apertura delle parentesi sono identicamente uguali e hanno lo stesso intervallo di valori consentiti. Prendiamo ad esempio l'equazione irrazionale . La sua soluzione richiede l'apertura delle parentesi. Aprendo le parentesi sul lato sinistro dell'equazione, così come sul lato destro dell'equazione, arriviamo a un'equazione equivalente.
• Raggruppamento di termini e/o fattori. Questa trasformazione di un'equazione rappresenta essenzialmente la sostituzione di qualsiasi espressione che fa parte dell'equazione con un'espressione identicamente uguale con termini o fattori raggruppati. Ovviamente, questo non cambia l'ODZ. Ciò significa che la trasformazione indicata dell'equazione è equivalente. A titolo illustrativo, prendiamo un'equazione irrazionale. Riorganizzare i termini (ne abbiamo parlato due paragrafi sopra) e raggrupparli ci permette di passare a un'equazione equivalente. Lo scopo di tale raggruppamento di termini è chiaramente visibile: effettuare la successiva trasformazione equivalente, che consentirà l'introduzione di una nuova variabile.
• Tra parentesi il fattore comune. È chiaro che le espressioni prima di mettere il fattore comune tra parentesi e dopo aver messo il fattore comune tra parentesi sono identicamente uguali. È anche chiaro che mettere il fattore comune fuori parentesi non cambia il VA. Pertanto, togliere il fattore comune tra parentesi in un'espressione che fa parte di un'equazione è una trasformazione equivalente dell'equazione. Questa trasformazione viene utilizzata, ad esempio, per rappresentare il lato sinistro di un'equazione come prodotto per risolverlo mediante fattorizzazione. Qui esempio specifico. Consideriamo l'equazione irrazionale. Lato sinistro Questa equazione può essere rappresentata come un prodotto; per fare ciò è necessario togliere il fattore comune tra parentesi. Come risultato di questa trasformazione, si otterrà l'equazione irrazionale , equivalente a quello originale, che può essere risolto mediante fattorizzazione.
• Sostituzione delle espressioni numeriche con i loro valori. È chiaro che se l'equazione contiene una certa espressione numerica e sostituiamo questa espressione numerica con il suo valore (calcolato correttamente), tale sostituzione sarà equivalente. Infatti, in sostanza, un'espressione viene sostituita da un'espressione identicamente uguale e allo stesso tempo l'ODZ dell'equazione non cambia. Quindi, sostituendo nell'equazione irrazionale dalla somma di due numeri −3 e 1 e dal valore di questa somma, che è uguale a −2, otteniamo un'equazione irrazionale equivalente. Allo stesso modo si può effettuare una trasformazione equivalente dell’equazione irrazionale , eseguendo operazioni con i numeri sotto il segno della radice (1+2=3 e ), questa trasformazione ci porterà all'equazione equivalente .
• Esecuzione di operazioni con monomi e polinomi presenti nella notazione di un'equazione irrazionale. È chiaro che corretta esecuzione queste azioni porteranno a un'equazione equivalente. In questo caso, infatti, l'espressione verrà sostituita da un'espressione identicamente uguale e l'OD non cambierà. Ad esempio, nell'equazione irrazionale puoi sommare i monomi x 2 e 3 x 2 e passare all'equazione equivalente . Un altro esempio: sottrarre i polinomi sul lato sinistro di un'equazione irrazionale è una trasformazione equivalente che porta a un'equazione equivalente .

Continuiamo a considerare le trasformazioni di equazioni, che consistono nel sostituire le espressioni con espressioni identicamente uguali. Tali trasformazioni possono anche essere disuguali, poiché possono modificare l'ODZ. In particolare, potrebbe esserci un ampliamento dell'ODZ. Ciò può verificarsi quando si riducono termini simili, quando si riducono le frazioni, quando si sostituisce un prodotto con diversi fattori zero o una frazione con un numeratore uguale a zero con zero e molto spesso quando si utilizzano formule corrispondenti alle proprietà delle radici. A proposito, l'uso incauto delle proprietà delle radici può anche portare ad un restringimento dell'ODZ. E se le trasformazioni che espandono l'ODZ sono accettabili quando si risolvono le equazioni (possono causare la comparsa di radici estranee, che vengono eliminate in un certo modo), allora le trasformazioni che restringono l'ODZ devono essere abbandonate, poiché possono causare la perdita delle radici. Soffermiamoci su questi punti.

La prima equazione irrazionale è . La sua soluzione inizia trasformando l'equazione nella forma sulla base di una delle proprietà dei gradi. Questa trasformazione è equivalente, poiché l'espressione viene sostituita da un'espressione identicamente uguale e l'ODZ non cambia. Ma la prossima transizione all'equazione, effettuata sulla base della definizione della radice, potrebbe già essere una trasformazione ineguale dell'equazione, poiché con tale trasformazione l'ODZ viene espanso. Mostriamo la soluzione completa di questa equazione.

La seconda equazione irrazionale, ben adatta a illustrare che le trasformazioni di equazioni irrazionali che utilizzano le proprietà delle radici e la definizione di radice possono essere disuguali, è della forma . Va bene se non ti permetti di avviare la soluzione in questo modo

O così

Cominciamo dal primo caso. La prima trasformazione è la transizione dall'equazione irrazionale originale all'equazione consiste nel sostituire l'espressione x+3 con l'espressione . Queste espressioni sono identicamente uguali. Ma con tale sostituzione, l'ODZ si restringe dall'insieme (−∞, −3)∪[−1, +∞) all'insieme [−1, +∞) . E abbiamo concordato di abbandonare le riforme che restringono la DLZ, poiché possono portare alla perdita delle radici.

Cosa c'è che non va nel secondo caso? Espansione di ODZ durante l'ultima transizione da al numero −3? Non solo questo. Di grande preoccupazione è la prima transizione dall’equazione irrazionale originale all'equazione . L'essenza di questa transizione è la sostituzione dell'espressione x+3 con l'espressione . Ma queste espressioni non sono identicamente uguali: per x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , da cui consegue che .

Allora come risolvere questa equazione irrazionale? ? Qui è meglio introdurre immediatamente una nuova variabile , in questo caso (x+3)·(x+1)=t 2. Diamo una soluzione dettagliata.

Riassumiamo la prima delle trasformazioni delle equazioni analizzate: sostituendo un'espressione che fa parte di un'equazione con un'espressione identica ad essa. Ogni volta che viene eseguita, devono essere soddisfatte due condizioni: in primo luogo, che l'espressione sia sostituita da un'espressione identicamente uguale e, in secondo luogo, che non si verifichi un restringimento dell'ODZ. Se tale sostituzione non modifica l'ODZ, il risultato della trasformazione sarà un'equazione equivalente. Se durante tale sostituzione l'ODZ si espande, potrebbero apparire radici estranee e occorre fare attenzione a filtrarle.

Passiamo alla seconda trasformazione dell'elenco: aggiungere lo stesso numero a entrambi i lati dell'equazione e sottrarre lo stesso numero da entrambi i lati dell'equazione. Questa è una trasformazione equivalente dell'equazione. Di solito lo utilizziamo quando ci sono numeri identici sui lati sinistro e destro dell'equazione; sottraendo questi numeri da entrambi i lati dell'equazione possiamo sbarazzarcene in futuro. Ad esempio, sia sul lato sinistro che su quello destro dell'equazione irrazionale c'è un termine 3. Sottraendo una tripla da entrambi i lati dell'equazione si ottiene un'equazione che, dopo aver eseguito manipolazioni con i numeri, assume la forma e ulteriormente semplificato in . Secondo il risultato, la trasformazione in questione ha qualcosa in comune con il trasferimento di un termine da una parte dell'equazione a un'altra con il segno opposto, ma di questa trasformazione parleremo più avanti. Ci sono altri esempi di questa trasformazione utilizzata. Ad esempio, in un'equazione irrazionale, è necessario aggiungere il numero 3 su entrambi i lati per organizzare un quadrato perfetto sul lato sinistro dell'equazione e trasformare ulteriormente l'equazione per introdurre una nuova variabile.

Una generalizzazione della trasformazione appena discussa consiste nell'addizionare ad entrambi i lati dell'equazione o nel sottrarre la stessa espressione da entrambi i lati dell'equazione. Questa trasformazione delle equazioni è equivalente quando l'ODZ non cambia. Questa trasformazione viene eseguita principalmente per eliminare successivamente i termini identici che si trovano contemporaneamente su entrambi i lati sinistro e destro dell'equazione. Facciamo un esempio. Supponiamo di avere un'equazione irrazionale. È ovvio che esiste un termine sia sul lato sinistro che su quello destro dell'equazione. È ragionevole sottrarre questa espressione da entrambi i lati dell'equazione: . Nel nostro caso tale transizione non modifica l'ODZ, quindi la trasformazione eseguita è equivalente. E questo viene fatto per passare ulteriormente a un'equazione irrazionale più semplice.

La prossima trasformazione delle equazioni, di cui parleremo in questo paragrafo, è il trasferimento dei termini da una parte dell'equazione a un'altra con il segno opposto. Questa trasformazione dell'equazione è sempre equivalente. L'ambito della sua applicazione è piuttosto ampio. Con il suo aiuto puoi, ad esempio, isolare il radicale o raccogliere termini simili in una parte dell'equazione, in modo da poterli poi ridurre e quindi semplificare la forma dell'equazione. Facciamo un esempio. Risolvere un'equazione irrazionale puoi spostare i termini −1 a destra, cambiando il loro segno, questo darà un'equazione equivalente , che può essere ulteriormente risolto, ad esempio, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione.

Procediamo ulteriormente nel percorso di considerazione delle trasformazioni di equazioni per moltiplicare o dividere entrambi i membri dell'equazione per lo stesso numero, diverso da zero. Questa trasformazione è una trasformazione equivalente dell'equazione. La moltiplicazione di entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero viene utilizzata principalmente per passare dalle frazioni ai numeri interi. Ad esempio, in modo che nell'equazione irrazionale per eliminare le frazioni, dovresti moltiplicare entrambe le parti per 8, ottenendo un'equazione equivalente , che viene ulteriormente ridotto alla forma . La divisione di entrambi i membri dell'equazione viene effettuata principalmente allo scopo di ridurre i coefficienti numerici. Ad esempio, entrambi i lati dell'equazione irrazionale Si consiglia di dividere per i coefficienti numerici 18 e 12, cioè per 6, tale divisione dà un'equazione equivalente , da cui possiamo poi passare all'equazione , che ha coefficienti più piccoli, ma anche interi.

La successiva trasformazione di un'equazione consiste nel moltiplicare e dividere entrambi i lati dell'equazione per la stessa espressione. Questa trasformazione è equivalente quando l'espressione con cui viene eseguita la moltiplicazione o la divisione non modifica l'intervallo di valori consentiti della variabile e non si porta a zero su di essa. In genere, moltiplicare entrambi i lati per la stessa espressione è simile ai fini della moltiplicazione di entrambi i lati di un'equazione per lo stesso numero. Molto spesso, si ricorre a questa trasformazione per eliminare le frazioni mediante ulteriori trasformazioni. Mostriamolo con un esempio.

Non ignoreremo le equazioni irrazionali, per risolverle dobbiamo ricorrere alla divisione di entrambi i membri dell'equazione per la stessa espressione. Abbiamo notato più in alto che tale divisione è una trasformazione equivalente se non interessa l'ODZ e questa espressione sull'ODZ non svanisce. Ma a volte la divisione deve essere effettuata da un'espressione che svanisce nell'ODZ. Questo è del tutto possibile farlo se allo stesso tempo controlli separatamente gli zeri di questa espressione per vedere se ci sono radici dell'equazione da risolvere tra loro, altrimenti queste radici potrebbero andare perse durante tale divisione.

L'ultima trasformazione delle equazioni irrazionali di cui parleremo in questo paragrafo consiste nell'elevare entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza. Questa trasformazione può essere definita tipica delle equazioni irrazionali, poiché praticamente non viene utilizzata quando si risolvono equazioni di altro tipo. Abbiamo già accennato a questa trasformazione nel presente articolo, quando abbiamo esaminato . Ci sono anche molti esempi di questa trasformazione. Non ci ripeteremo qui, ma ricordiamo solo che nel caso generale questa trasformazione non è equivalente. Può portare alla comparsa di radici estranee. Pertanto, se durante il processo di risoluzione ci siamo rivolti a questa trasformazione, è necessario verificare la presenza di radici estranee tra di loro.

A proposito di perdere le radici

Cosa può causare la perdita delle radici quando si risolve un'equazione? La ragione principale della perdita delle radici è la trasformazione dell'equazione, che restringe la OD. Per comprendere questo punto, facciamo un esempio.

Prendiamo l'equazione irrazionale , che abbiamo già risolto nel presente articolo. Abbiamo iniziato a risolverlo con un avvertimento contro l'esecuzione delle seguenti trasformazioni dell'equazione

La primissima trasformazione è la transizione dall'equazione all'equazione – restringe l’ODZ. Infatti, l'ODZ per l'equazione originale è (−∞, −3)∪[−1, +∞) , e per l'equazione risultante è [−1, +∞) . Ciò comporta l'esclusione dell'intervallo (−∞, −3) dalla considerazione e, di conseguenza, la perdita di tutte le radici dell'equazione da questo intervallo. Nel nostro caso, effettuando questa trasformazione, andranno perse tutte le radici dell'equazione, di cui sono due e .

Quindi, se la trasformazione di un'equazione porta ad un restringimento della OD, allora tutte le radici dell'equazione situate nella parte in cui si è verificato il restringimento andranno perse. Ecco perché invitiamo a non ricorrere a riforme che restringono la DZ. Tuttavia, c’è un avvertimento.

Questa clausola si applica alle trasformazioni in cui l'ODZ viene ristretto di uno o più numeri. La trasformazione più tipica, in cui più numeri singoli escono dall'ODZ, è la divisione di entrambi i lati dell'equazione con la stessa espressione. È chiaro che quando si esegue una tale trasformazione, solo le radici che si trovano in questo insieme finito di numeri che cadono quando si restringe l'ODZ possono andare perse. Pertanto, se controlli separatamente tutti i numeri in questo insieme per vedere se ci sono radici dell'equazione da risolvere tra loro, ad esempio, per sostituzione, e includi le radici trovate nella risposta, allora puoi eseguire la trasformazione desiderata senza paura di perdere le radici. Illustriamolo con un esempio.

Consideriamo l'equazione irrazionale, anch'essa già risolta nel paragrafo precedente. Per risolvere questa equazione introducendo una nuova variabile, è utile dividere prima entrambi i membri dell'equazione per 1+x. Con questa divisione il numero −1 esce dall'ODZ. Sostituendo questo valore nell'equazione originale si ottiene l'uguaglianza numerica errata (), il che significa che −1 non è la radice dell'equazione. Dopo tale controllo, puoi tranquillamente eseguire la divisione prevista senza timore di perdere la radice.

In conclusione di questo punto, notiamo che molto spesso, quando si risolvono equazioni irrazionali, la divisione di entrambi i lati dell'equazione per la stessa espressione, così come le trasformazioni basate sulle proprietà delle radici, porta ad un restringimento della OD. Quindi bisogna stare molto attenti quando si eseguono tali trasformazioni e non permettere che le radici vadano perse.

Informazioni sulle radici estranee e sui metodi per eliminarle

La soluzione del numero schiacciante di equazioni viene effettuata mediante trasformazione di equazioni. Alcune trasformazioni possono portare a equazioni di corollario e tra le soluzioni dell'equazione di corollario possono esserci radici estranee all'equazione originale. Le radici estranee non sono radici dell'equazione originale, pertanto non dovrebbero apparire nella risposta. In altre parole, devono essere eliminati.

Quindi, se nella catena di trasformazioni dell'equazione da risolvere c'è almeno un'equazione corollaria, allora devi occuparti di rilevare e filtrare le radici estranee.

I metodi per rilevare ed escludere le radici estranee dipendono dalle ragioni che causano la loro potenziale comparsa. E ci sono due ragioni per la possibile comparsa di radici estranee quando si risolvono equazioni irrazionali: la prima è l'espansione dell'ODZ come risultato della trasformazione dell'equazione, la seconda è l'elevazione di entrambi i lati dell'equazione a una potenza pari. Diamo un'occhiata ai metodi corrispondenti.

Cominciamo con i metodi per eliminare le radici estranee, quando la ragione della loro possibile comparsa è solo l'espansione dell'ODZ. In questo caso, lo screening delle radici estranee viene effettuato in uno dei tre modi seguenti:

• Secondo ODZ. Per fare ciò, viene trovato l'ODZ della variabile per l'equazione originale e viene verificata l'appartenenza delle radici trovate. Quelle radici che appartengono all'ODZ sono radici dell'equazione originale, e quelle che non appartengono all'ODZ sono radici estranee all'equazione originale.
• Attraverso le condizioni di ODZ. Le condizioni che determinano l'ODZ della variabile per l'equazione originale vengono scritte e le radici trovate vengono sostituite una per una. Quelle radici che soddisfano tutte le condizioni sono radici, mentre quelle che non soddisfano almeno una condizione sono radici estranee all'equazione originale.
• Attraverso la sostituzione nell'equazione originale (o in qualsiasi equazione equivalente). Le radici trovate vengono sostituite a loro volta nell'equazione originale, quelle di esse, in seguito alla sostituzione delle quali l'equazione si trasforma in un'uguaglianza numerica corretta, sono radici, e quelle di esse, in seguito alla cui sostituzione si ottiene un'espressione senza senso , sono radici estranee all'equazione originale.

Quando risolviamo la seguente equazione irrazionale, filtriamo le radici estranee utilizzando ciascuno dei metodi indicati per avere un'idea generale di ciascuno di essi.

È chiaro che non identificheremo ed elimineremo ogni volta le radici estranee utilizzando tutti i metodi conosciuti. Per estirpare le radici estranee, sceglieremo il metodo più appropriato in ogni caso specifico. Ad esempio, nell'esempio seguente, è più conveniente filtrare le radici estranee attraverso le condizioni dell'ODZ, poiché in queste condizioni è difficile trovare l'ODZ sotto forma di un insieme numerico.

Parliamo ora di vagliare le radici estranee, quando la risoluzione di un'equazione irrazionale viene eseguita elevando entrambi i lati dell'equazione a una potenza pari. In questo caso, vagliare l'ODZ o le condizioni ODZ non sarà più di aiuto, poiché non ci consentirà di estirpare radici estranee che sorgono per un altro motivo, ovvero l'innalzamento di entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza. Perché compaiono radici estranee quando entrambi i membri di un'equazione vengono elevati alla stessa potenza pari? La comparsa di radici estranee in questo caso deriva dal fatto che elevando entrambe le parti di un'uguaglianza numerica errata alla stessa potenza pari è possibile ottenere un'uguaglianza numerica corretta. Ad esempio, l'uguaglianza numerica errata 3=−3 dopo aver elevato al quadrato entrambi i lati diventa l'uguaglianza numerica corretta 3 2 =(−3) 2, che è uguale a 9=9.

Abbiamo scoperto le ragioni per la comparsa di radici estranee quando si elevano entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza. Resta da indicare come si eliminano in questo caso le radici estranee. Lo screening viene effettuato principalmente sostituendo le radici potenziali trovate nell'equazione originale o in qualsiasi equazione ad essa equivalente. Dimostriamolo con un esempio.

Ma vale la pena tenere presente un altro metodo che consente di eliminare le radici estranee nei casi in cui entrambi i lati di un'equazione irrazionale con un radicale solitario vengono elevati alla stessa potenza. Quando si risolvono equazioni irrazionali , dove 2·k è un numero pari, elevando entrambi i membri delle equazioni alla stessa potenza, è possibile eliminare le radici estranee attraverso la condizione g(x)≥0 (ovvero, risolvendo effettivamente un'equazione irrazionale determinando il radice). Questo metodo viene spesso in soccorso quando il filtraggio delle radici estranee attraverso la sostituzione risulta comportare calcoli complessi. L’esempio seguente ne è un buon esempio.

Letteratura

1. Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich. - 11a edizione, cancellata. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
2. Mordkovich A.G. Algebra e inizio dell'analisi matematica. Grado 11. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale (livello di profilo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2a ed., cancellata. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
3. Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per le classi 10-11. educazione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14a edizione - M.: Education, 2004. - 384 pagine: illustrato - ISBN 5-09-013651-3.
4. Algebra e l'inizio dell'analisi matematica. 10a elementare: libro di testo. per l'istruzione generale istituzioni: nozioni di base e profilo. livelli / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; a cura di A. B. Zhizhchenko. - 3a ed. - M.: Educazione, 2010.- 368 p.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Matematica. Aumento del livello dell'Esame di Stato Unificato-2012 (C1, C3). Prove tematiche. Equazioni, disuguaglianze, sistemi / a cura di F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostov sul Don: Legion-M, 2011. - 112 pp. - (Preparazione all'esame di stato unificato) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Laureato nel 2004. Matematica. Raccolta di problemi per la preparazione all'Esame di Stato Unificato. Parte 1. I. V. Boykov, L. D. Romanova.

Un'equazione irrazionale è qualsiasi equazione contenente una funzione sotto il segno della radice. Per esempio:

Tali equazioni vengono sempre risolte in 3 passaggi:

1. Isola la radice. In altre parole, se a sinistra del segno uguale, oltre alla radice, ci sono altri numeri o funzioni, tutto questo dovrà essere spostato a destra, cambiando segno. In questo caso a sinistra dovrebbe rimanere solo il radicale, senza coefficienti.
2. 2. Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione. Allo stesso tempo, ricordiamo che l'intervallo di valori della radice è composto da tutti i numeri non negativi. Pertanto, la funzione a destra equazione irrazionale deve essere anche non negativo: g(x) ≥ 0.
3. Il terzo passaggio segue logicamente dal secondo: è necessario eseguire un controllo. Il fatto è che nella seconda fase potremmo avere radici extra. E per eliminarli è necessario sostituire i numeri candidati risultanti nell'equazione originale e verificare: si ottiene davvero l'uguaglianza numerica corretta?

Risoluzione di un'equazione irrazionale

Diamo un'occhiata alla nostra equazione irrazionale data all'inizio della lezione. Qui la radice è già isolata: a sinistra del segno uguale non c'è altro che la radice. Quadrato su entrambi i lati:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x2 − 4x − 12 = 0

Risolviamo l'equazione quadratica risultante attraverso il discriminante:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6; x2 = −2

Tutto ciò che resta è sostituire questi numeri nell'equazione originale, cioè eseguire il controllo. Ma anche qui si può fare la cosa giusta per semplificare la decisione finale.

Come semplificare la soluzione

Pensiamo: perché eseguire un controllo anche al termine della risoluzione di un'equazione irrazionale? Vogliamo assicurarci che quando sostituiamo le nostre radici, ci sia un numero non negativo a destra del segno di uguale. Dopotutto, sappiamo già per certo che a sinistra c'è un numero non negativo, perché la radice quadrata aritmetica (motivo per cui la nostra equazione è chiamata irrazionale) per definizione non può essere inferiore a zero.

Pertanto, tutto ciò che dobbiamo verificare è che la funzione g (x) = 5 − x, che si trova a destra del segno uguale, è non negativa:

g(x) ≥ 0

Sostituiamo le nostre radici in questa funzione e otteniamo:

g(x1) = g(6) = 5 − 6 = −1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Dai valori ottenuti ne consegue che la radice x 1 = 6 non ci va bene, poiché sostituendo nella parte destra dell'equazione originale otteniamo un numero negativo. Ma la radice x 2 = −2 è abbastanza adatta per noi, perché:

1. Questa radice è la soluzione dell'equazione quadratica ottenuta elevando entrambi i membri equazione irrazionale in un quadrato.
2. Quando si sostituisce la radice x 2 = −2, il lato destro dell'equazione irrazionale originale diventa un numero positivo, cioè allineare radice aritmetica non rotto.

Questo è l'intero algoritmo! Come puoi vedere, risolvere le equazioni con i radicali non è così difficile. La cosa principale è non dimenticare di controllare le radici ricevute, altrimenti c'è un'alta probabilità di ricevere risposte non necessarie.