Esempi di equazioni differenziali del secondo ordine online. Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni. Equazioni differenziali a variabili separabili

Applicazione

Risoluzione di equazioni differenziali online sul sito Web per consentire agli studenti di consolidare il materiale trattato. E allenare le tue abilità pratiche. Equazioni differenziali online. Difurs online, risolvere la matematica online. Soluzioni passo passo ai problemi di matematica online. L'ordine, o grado, di un'equazione differenziale è l'ordine più alto delle derivate in essa incluse. Equazioni differenziali online. Il processo di risoluzione di un'equazione differenziale è chiamato integrazione. Il problema dell'integrazione di un'equazione differenziale si considera risolto se la ricerca di una funzione sconosciuta può essere portata alla quadratura, indipendentemente dal fatto che l'integrale risultante sia espresso o meno in forma finale in termini di funzioni note. Soluzione passo passo delle equazioni differenziali online. Tutto equazioni differenziali possono essere suddivisi in equazioni ordinarie (ODE), che includono solo funzioni (e le loro derivate) di un argomento, ed equazioni alle derivate parziali (PDE), in cui le funzioni di input dipendono da molte variabili. Equazioni differenziali online. Esistono anche equazioni differenziali stocastiche (SDE) che coinvolgono processi casuali. Soluzione passo passo delle equazioni differenziali online. A seconda delle combinazioni di derivate, funzioni e variabili indipendenti, le equazioni differenziali si dividono in lineari e non lineari, a coefficienti costanti o variabili, omogenee o disomogenee. A causa dell'importanza delle applicazioni, le equazioni alle derivate parziali quasilineari (lineari rispetto alle derivate superiori) sono classificate in una classe separata. Le soluzioni delle equazioni differenziali si dividono in soluzioni generali e particolari. Equazioni differenziali online. Le soluzioni generali coinvolgono costanti indeterminate e, per le equazioni alle derivate parziali, funzioni arbitrarie di variabili indipendenti che possono essere raffinate da condizioni supplementari integrazione (condizioni iniziali per equazioni differenziali ordinarie, condizioni iniziali e al contorno per equazioni alle derivate parziali). Soluzione passo passo delle equazioni differenziali online. Dopo aver determinato il tipo delle costanti specificate e funzioni indefinite le decisioni diventano private. La ricerca di soluzioni alle equazioni differenziali ordinarie ha portato alla creazione di una classe di funzioni speciali, funzioni spesso incontrate in applicazioni che non possono essere espresse mediante funzioni elementari conosciute. Equazioni differenziali online. Le loro proprietà sono state studiate in dettaglio, sono state compilate tabelle di valori, sono state determinate le connessioni reciproche, ecc. L'insieme dei numeri enumerati può essere studiato. La migliore risposta al problema dato. Come trovare, in prima approssimazione, il vettore uscente nella regione di convergenza di equazioni differenziali senza scoprire il limite superiore trovato. La scelta è ovvia per le funzioni matematiche crescenti. Esiste un metodo progressivo al di sopra del livello di ricerca. Allineare la condizione iniziale del problema con la risoluzione delle equazioni differenziali ti aiuterà a trovare un valore scelto in modo univoco. Può darsi che riesca immediatamente a identificare l'ignoto. Come nell'esempio precedente in cui si specificava una soluzione a un problema matematico, le equazioni differenziali lineari sono la risposta a un problema specifico entro un periodo di tempo specificato. Il mantenimento della procedura di ricerca non è determinato localmente. Sarà che verrà trovato un esempio per ogni studente e la soluzione delle equazioni differenziali sarà determinata dalla persona assegnata al responsabile a partire da almeno due valori. Prendi una funzione di valore generale su un determinato segmento e avvisa lungo quale asse ci sarà un'interruzione. Studiando online le equazioni differenziali è possibile mostrare chiaramente quanto sia importante il risultato, se previsto dalle condizioni iniziali. È impossibile escludere un'area dalla definizione di una funzione, poiché non esiste una definizione locale dell'attività. Trovata da un sistema di equazioni, la risposta contiene una variabile calcolata in in senso generale, ma sarà naturalmente possibile risolvere l'equazione differenziale in linea senza questa azione per determinare detta condizione. Accanto all'intervallo del segmento puoi vedere come la risoluzione di equazioni differenziali online può far avanzare il risultato della ricerca in una direzione positiva nel momento in cui gli studenti tagliano la conoscenza. Il meglio non sempre viene da un approccio generalmente accettato al business. Al livello 2x, è utile rivedere tutte le equazioni differenziali lineari necessarie in una rappresentazione naturale, ma essere in grado di calcolare il valore numerico comporterà una migliore conoscenza. Secondo qualsiasi metodo matematico, esistono equazioni differenziali che si presentano in espressioni essenzialmente diverse, come omogenee o complesse. Dopo aver speso analisi generale Dall'esame della funzione, risulterà chiaro che risolvere i differenziali come insieme di possibilità rappresenta un chiaro errore nei valori. La verità sta nello spazio sopra le linee delle ascisse. Da qualche parte nel dominio di definizione di una funzione complessa, ad un certo punto della sua definizione, le equazioni differenziali lineari saranno in grado di presentare la risposta in forma analitica. cioè dentro vista generale come l'essenza. Non cambia nulla quando cambi la variabile. Tuttavia, è necessario considerare la risposta con particolare interesse. In sostanza, la calcolatrice alla fine cambia la relazione, cioè il modo in cui la soluzione delle equazioni differenziali è proporzionale al valore globale e viene designata entro i limiti della soluzione desiderata. In alcuni casi, un massiccio avviso di errore è inevitabile. Implementazione online di equazioni differenziali idea generale sull'attività, ma alla fine è necessario fornirla il prima possibile lati positivi prodotto vettoriale. In matematica, i casi di idee sbagliate nella teoria dei numeri non sono rari. Sarà sicuramente necessario un controllo. Naturalmente, è meglio dare questo diritto ai professionisti nel loro campo e loro ti aiuteranno a risolvere l'equazione differenziale online, poiché la loro esperienza è colossale e positiva. La differenza sulle superfici delle figure e sull'area è tale che non è la risoluzione di equazioni differenziali online che ti permetterà di vedere, ma l'insieme di oggetti non intersecanti è tale che la linea è parallela all'asse. Di conseguenza, puoi ottenere il doppio dei valori. Sebbene non esplicita, la nostra comprensione della correttezza della notazione formale coinvolge equazioni differenziali lineari sia nell'area di visualizzazione che in relazione alla deliberata sovrastima della qualità del risultato. Una tavola rotonda su un argomento di interesse per tutti gli studenti viene rivista più volte. Durante lo studio dell'intero corso di lezioni, focalizzeremo la nostra massima attenzione sulle equazioni differenziali e sulle relative aree di studio scientifico, se ciò non contraddice la verità. Molti passaggi possono essere evitati all'inizio del viaggio. Se la risoluzione di equazioni differenziali è ancora fondamentalmente qualcosa di nuovo per gli studenti, allora il vecchio non è affatto dimenticato, ma progredisce nel futuro con ad alta velocità sviluppo. Inizialmente le condizioni per il problema in matematica divergono, ma questo è indicato nel paragrafo a destra. Trascorso il tempo specificato per definizione, non si può escludere la possibilità di un risultato dipendente proporzionale su vari piani di movimento vettoriale. Un caso così semplice può essere corretto nello stesso modo in cui le equazioni differenziali lineari sono descritte su una calcolatrice in forma generale, sarà più veloce e lo spostamento dei calcoli non porterà a un'opinione errata. Solo cinque casi nominati secondo la teoria possono allargare i confini di ciò che sta accadendo. La nostra soluzione di equazioni differenziali ti aiuterà a calcolare manualmente il valore in numeri già nelle prime fasi di scomposizione dello spazio funzionale. Nei posti giusti è necessario rappresentare il punto di contatto delle quattro linee in significato generale. Ma se devi spostare il compito, sarà facile equiparare la complessità. I dati iniziali sono sufficienti per la registrazione gamba adiacente e le equazioni differenziali in linea appaiono allineate a sinistra e la superficie è unilaterale verso il rotore vettoriale. Al di sopra del limite superiore sono possibili valori numerici oltre la condizione designata. È possibile tenere conto della formula matematica e risolvere online l'equazione differenziale utilizzando tre incognite nel valore generale della proporzione. Il metodo di calcolo locale è riconosciuto come valido. Il sistema di coordinate è rettangolare nel movimento relativo del piano. La soluzione generale delle equazioni differenziali online ci consente di trarre una conclusione inequivocabile a favore di un'esecuzione computazionale attraverso le definizioni di matrice sull'intera linea retta situata sopra il grafico di una funzione esplicitamente specificata. La soluzione è chiaramente visibile se si applica il vettore del moto al punto di contatto dei tre emisferi. Il cilindro si ottiene ruotando il rettangolo attorno al lato e le equazioni differenziali lineari potranno mostrare la direzione del moto del punto secondo le espressioni date della sua legge del moto. I dati iniziali sono corretti e il problema in matematica è intercambiabile sotto una semplice condizione. Tuttavia, a causa delle circostanze, a causa della complessità del sottocompito posto, le equazioni differenziali semplificano il processo di calcolo degli spazi numerici a livello dello spazio tridimensionale. È facile dimostrare il contrario, ma può essere evitato, come nell'esempio riportato. Nella matematica superiore vengono forniti i seguenti punti: quando un problema viene ridotto a una forma semplificata, ad esso deve essere applicato il massimo sforzo possibile da parte degli studenti. Vengono prese in considerazione le linee sovrapposte tra loro. Per quanto riguarda la risoluzione dei differenziali si riassume ancora il vantaggio di detto metodo su una linea curva. Se per prima cosa riconosci qualcosa che non è ciò di cui hai bisogno, allora formula matematica creerà un nuovo valore per l'espressione. L'obiettivo è l'approccio ottimale per risolvere i compiti stabiliti dal professore. Non dovresti dare per scontato che le equazioni differenziali lineari in forma semplificata supereranno il risultato atteso. Posizioniamo tre vettori su una superficie finitamente composta. ortogonali tra loro. Calcoliamo il prodotto. Facciamo l'addizione Di più simboli e scrivi tutte le espressioni risultanti funzioni variabili. C'è una proporzione. Diverse azioni che precedono la fine del calcolo non daranno immediatamente una risposta univoca alla soluzione delle equazioni differenziali, ma solo dopo che è trascorso il tempo assegnato lungo l'asse y. A sinistra del punto di discontinuità, specificato implicitamente dalla funzione, disegniamo un asse ortogonale al miglior vettore crescente e posizioniamo le equazioni differenziali in linea lungo il valore limite più piccolo della faccia inferiore dell'oggetto matematico. Aggiungiamo l'argomento aggiuntivo nell'area di interruzione della funzione. A destra dei punti in cui si trova la linea curva, le formule che abbiamo scritto per la riduzione a un denominatore comune ti aiuteranno a risolvere l'equazione differenziale online. Adotteremo l'unico approccio corretto che farà luce sui problemi irrisolti dalla teoria alla pratica, nel caso generale in modo inequivocabile. Le linee nella direzione delle coordinate dei punti indicati non hanno mai chiuso la posizione estrema del quadrato, ma risolvere equazioni differenziali online aiuterà gli studenti, noi e solo i principianti in questo campo nello studio della matematica. Stiamo parlando della possibilità di sostituire un argomento valore in tutte le righe significative di un campo. In linea di principio, come ci si aspetterebbe, le nostre equazioni differenziali lineari sono qualcosa di isolato in un unico concetto dal significato dato. Per aiutare gli studenti, uno dei migliori calcolatori tra servizi simili. Segui tutti i corsi e scegli il migliore per te.

I. Equazioni differenziali ordinarie

1.1. Concetti e definizioni di base

Un'equazione differenziale è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente X, la funzione richiesta sì e i suoi derivati o differenziali.

Simbolicamente l’equazione differenziale si scrive così:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Un'equazione differenziale si dice ordinaria se la funzione richiesta dipende da una variabile indipendente.

Risoluzione di un'equazione differenzialeè chiamata una funzione che trasforma questa equazione in un'identità.

L'ordine dell'equazione differenzialeè l'ordine della derivata più alta inclusa in questa equazione

Esempi.

1. Considera un'equazione differenziale del primo ordine

La soluzione di questa equazione è la funzione y = 5 ln x. Anzi, sostituendo sì" nell'equazione, otteniamo l'identità.

E questo significa che la funzione y = 5 ln x– è una soluzione di questa equazione differenziale.

2. Considera l'equazione differenziale del secondo ordine y" - 5y" +6y = 0. La funzione è la soluzione di questa equazione.

Veramente, .

Sostituendo queste espressioni nell'equazione, otteniamo: , – identità.

E questo significa che la funzione è la soluzione di questa equazione differenziale.

Integrazione di equazioni differenzialiè il processo per trovare soluzioni alle equazioni differenziali.

Soluzione generale dell'equazione differenziale chiamata funzione della forma , che include tante costanti arbitrarie indipendenti quanto è l'ordine dell'equazione.

Soluzione parziale dell'equazione differenzialeè una soluzione ottenuta da una soluzione generale per vari valori numerici di costanti arbitrarie. I valori delle costanti arbitrarie si trovano in determinati valori iniziali dell'argomento e della funzione.

Si chiama il grafico di una particolare soluzione di un'equazione differenziale curva integrale.

Esempi

1. Trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale del primo ordine

xdx + ydy = 0, Se sì= 4 a X = 3.

Soluzione. Integrando entrambi i lati dell'equazione, otteniamo

Commento. Una costante arbitraria C ottenuta come risultato dell'integrazione può essere rappresentata in qualsiasi forma conveniente per ulteriori trasformazioni. In questo caso, tenendo conto dell'equazione canonica della circonferenza, conviene rappresentare una costante arbitraria C nella forma .

- soluzione generale dell'equazione differenziale.

Soluzione particolare dell'equazione che soddisfa le condizioni iniziali sì = 4 a X = 3 si trova dal generale sostituendo le condizioni iniziali nella soluzione generale: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Sostituendo C=5 nella soluzione generale, otteniamo x2+y2 = 5 2 .

Questa è una soluzione particolare di un'equazione differenziale ottenuta da una soluzione generale in determinate condizioni iniziali.

2. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale

La soluzione a questa equazione è qualsiasi funzione della forma , dove C è una costante arbitraria. Infatti, sostituendo , nelle equazioni, otteniamo: , .

Di conseguenza, questa equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni, poiché per diversi valori della costante C l'uguaglianza determina diverse soluzioni dell'equazione.

Ad esempio, mediante sostituzione diretta è possibile verificare che le funzioni sono soluzioni dell'equazione.

Un problema in cui è necessario trovare una soluzione particolare all'equazione y" = f(x,y) soddisfacendo la condizione iniziale y(x0) = y0, è chiamato problema di Cauchy.

Risolvere l'equazione y" = f(x,y), soddisfacendo la condizione iniziale, y(x0) = y0, è detta soluzione del problema di Cauchy.

La soluzione del problema di Cauchy ha un significato geometrico semplice. Infatti, secondo queste definizioni, risolvi il problema di Cauchy y" = f(x,y) dato che y(x0) = y0, significa trovare la curva integrale dell'equazione y" = f(x,y) che passa per un dato punto M0(x0,e 0).

II. Equazioni differenziali del primo ordine

2.1. Concetti basilari

Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione della forma F(x,y,y") = 0.

Un'equazione differenziale del primo ordine include la derivata prima e non include le derivate di ordine superiore.

L'equazione y" = f(x,y) si chiama equazione del primo ordine risolta rispetto alla derivata.

La soluzione generale di un'equazione differenziale del primo ordine è una funzione della forma , che contiene una costante arbitraria.

Esempio. Consideriamo un'equazione differenziale del primo ordine.

La soluzione di questa equazione è la funzione.

Infatti, sostituendo questa equazione con il suo valore, otteniamo

questo è 3x=3x

Pertanto, la funzione è una soluzione generale dell'equazione per qualsiasi costante C.

Trova una soluzione particolare a questa equazione che soddisfi la condizione iniziale y(1)=1 Sostituzione delle condizioni iniziali x = 1, y = 1 nella soluzione generale dell'equazione, otteniamo da dove C=0.

Otteniamo quindi una soluzione particolare da quella generale sostituendo in questa equazione il valore risultante C=0– soluzione privata.

2.2. Equazioni differenziali a variabili separabili

Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma: y"=f(x)g(y) o attraverso differenziali, dove f(x) E g(y)– funzioni specificate.

Per coloro sì, per cui , l'equazione y"=f(x)g(y)è equivalente all'equazione, in cui la variabile sìè presente solo sul lato sinistro e la variabile x è solo sul lato destro. Dicono che "nell'Eq. y"=f(x)g(y Separiamo le variabili."

Equazione della forma chiamata equazione a variabili separate.

Integrazione di entrambi i lati dell'equazione Di X, noi abbiamo G(y) = F(x) + Cè la soluzione generale dell'equazione, dove G(y) E F(x)– alcune antiderivative di funzioni e f(x), C costante arbitraria.

Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili

Esempio 1

Risolvi l'equazione y" = xy

Soluzione. Derivata di una funzione sì" sostituirlo con

separiamo le variabili

Integriamo entrambi i lati dell'uguaglianza:

Esempio 2

2aa" = 1- 3x 2, Se y0 = 3 A x0 = 1

Questa è un'equazione a variabili separate. Immaginiamolo in differenziali. Per fare ciò, riscriviamo questa equazione nella forma Da qui

Integrando entrambi i lati dell'ultima uguaglianza, troviamo

Sostituendo i valori iniziali x0 = 1, y0 = 3 troveremo CON 9=1-1+C, cioè. C = 9.

Pertanto, l'integrale parziale richiesto sarà O

Esempio 3

Scrivi l'equazione della curva passante per un punto M(2;-3) e avente una tangente con un coefficiente angolare

Soluzione. Secondo la condizione

Questa è un'equazione con variabili separabili. Dividendo le variabili otteniamo:

Integrando entrambi i membri dell'equazione, otteniamo:

Utilizzando le condizioni iniziali, x = 2 E y = - 3 troveremo C:

Pertanto, l'equazione richiesta ha la forma

2.3. Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è un'equazione della forma y" = f(x)y + g(x)

Dove f(x) E g(x)- alcune funzioni specificate.

Se g(x)=0 allora l’equazione differenziale lineare si dice omogenea ed ha la forma: y" = f(x)y

Se allora l'equazione y" = f(x)y + g(x) detto eterogeneo.

Soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea lineare y" = f(x)yè dato dalla formula: dove CON– costante arbitraria.

In particolare, se C = 0, allora la soluzione c'è y = 0 Se un'equazione lineare omogenea ha la forma y" = ky Dove Kè una costante, allora la sua soluzione generale ha la forma: .

Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare disomogenea y" = f(x)y + g(x)è dato dalla formula ,

quelli. è uguale alla somma della soluzione generale della corrispondente equazione lineare omogenea e della soluzione particolare di questa equazione.

Per un'equazione lineare disomogenea della forma y" = kx + b,

Dove K E B- alcuni numeri e una particolare soluzione saranno una funzione costante. Pertanto la soluzione generale ha la forma .

Esempio. Risolvi l'equazione y" + 2y +3 = 0

Soluzione. Rappresentiamo l'equazione nella forma y" = -2y - 3 Dove k = -2, b= -3 La soluzione generale è data dalla formula.

Pertanto, dove C è una costante arbitraria.

2.4. Risoluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine con il metodo Bernoulli

Trovare una soluzione generale ad un'equazione differenziale lineare del primo ordine y" = f(x)y + g(x) si riduce alla risoluzione di due equazioni differenziali con variabili separate utilizzando la sostituzione y=uv, Dove tu E v- funzioni sconosciute da X. Questo metodo di soluzione è chiamato metodo di Bernoulli.

Algoritmo per la risoluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine

y" = f(x)y + g(x)

1. Inserisci la sostituzione y=uv.

2. Differenziare questa uguaglianza y" = u"v + uv"

3. Sostituto sì E sì" in questa equazione: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) O u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Raggruppa i termini dell'equazione in modo che tu toglilo dalle parentesi:

5. Dalla parentesi, equiparandola a zero, trova la funzione

Questa è un'equazione separabile:

Dividiamo le variabili e otteniamo:

Dove . .

6. Sostituisci il valore risultante v nell'equazione (dal passaggio 4):

e trova la funzione Questa è un'equazione con variabili separabili:

7. Scrivi la soluzione generale nella forma: , cioè. .

Esempio 1

Trova una soluzione particolare dell'equazione y" = -2y +3 = 0 Se y=1 A x = 0

Soluzione. Risolviamolo utilizzando la sostituzione y=uv,.y" = u"v + uv"

Sostituendo sì E sì" in questa equazione, otteniamo

Raggruppando il secondo e il terzo termine sul lato sinistro dell'equazione, eliminiamo il fattore comune tu fuori parentesi

Uguagliamo l'espressione tra parentesi a zero e, dopo aver risolto l'equazione risultante, troviamo la funzione v = v(x)

Otteniamo un'equazione con variabili separate. Integriamo entrambi i lati di questa equazione: trova la funzione v:

Sostituiamo il valore risultante v nell'equazione otteniamo:

Questa è un'equazione a variabili separate. Integriamo entrambi i lati dell'equazione: Troviamo la funzione u = u(x,c) Troviamo una soluzione generale: Troviamo una soluzione particolare dell'equazione che soddisfi le condizioni iniziali y = 1 A x = 0:

III. Equazioni differenziali di ordine superiore

3.1. Concetti e definizioni di base

Un'equazione differenziale del secondo ordine è un'equazione contenente derivate non superiori al secondo ordine. Nel caso generale, un'equazione differenziale del secondo ordine si scrive come: F(x,y,y",y") = 0

La soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine è una funzione della forma , che include due costanti arbitrarie C1 E C2.

Una soluzione particolare a un'equazione differenziale del secondo ordine è una soluzione ottenuta da una soluzione generale per determinati valori di costanti arbitrarie C1 E C2.

3.2. Equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine con coefficienti costanti.

Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti chiamata equazione della forma y" + py" +qy = 0, Dove P E Q- valori costanti.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

1. Scrivi l'equazione differenziale nella forma: y" + py" +qy = 0.

2. Crea la sua equazione caratteristica, denotando sì" Attraverso r2, sì" Attraverso R, sì in 1: r2 + pr +q = 0

La soluzione di vari problemi geometrici, fisici e ingegneristici porta spesso ad equazioni che mettono in relazione le variabili indipendenti che caratterizzano un particolare problema con qualche funzione di queste variabili e derivate di questa funzione di vario ordine.

Consideriamo ad esempio il caso più semplice di moto uniformemente accelerato di un punto materiale.

È noto che lo spostamento di un punto materiale durante un moto uniformemente accelerato è funzione del tempo ed è espresso dalla formula:

A sua volta, accelerazione UNè derivata rispetto al tempo T dalla velocità V, che è anche derivata dal tempo T dallo spostamento S. Quelli.

Quindi otteniamo:
- l'equazione collega la funzione f(t) con la variabile indipendente t e la derivata del secondo ordine della funzione f(t).

Definizione. Equazione differenziale è un'equazione che mette in relazione le variabili indipendenti, le loro funzioni e le derivate (o differenziali) di questa funzione.

Definizione. Se un'equazione differenziale ha una variabile indipendente, allora viene chiamata equazione differenziale ordinaria , se ci sono due o più variabili indipendenti, viene chiamata tale equazione differenziale Equazione alle derivate parziali.

Definizione. Viene chiamato l'ordine più alto di derivate che compaiono in un'equazione ordine dell'equazione differenziale .

Esempio.

- equazione differenziale ordinaria del 1° ordine. In generale è scritto
.

- equazione differenziale ordinaria del 2° ordine. In generale è scritto

- Equazioni alle derivate parziali del primo ordine.

Definizione. Soluzione generale un'equazione differenziale è una funzione differenziabile y = (x, C), che, quando sostituita nell'equazione originale invece di una funzione sconosciuta, trasforma l'equazione nell'identità

Proprietà della soluzione generale.

1) Perché la costante C è un valore arbitrario, quindi in generale un'equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni.

2) In qualsiasi condizione iniziale x = x 0, y(x 0) = y 0, esiste un valore C = C 0 in cui la soluzione dell'equazione differenziale è la funzione y = (x, C 0).

Definizione. Viene detta una soluzione della forma y = (x, C 0). soluzione privata equazione differenziale.

Definizione. Problema di Cauchy (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matematico francese) è la scoperta di una soluzione particolare di un'equazione differenziale della forma y = (x, C 0), che soddisfa le condizioni iniziali y(x 0) = y 0.

Il teorema di Cauchy. (teorema sull'esistenza e unicità di una soluzione di un'equazione differenziale del 1° ordine)

Se la funzioneF(X, sì) è continuo in alcune regioniDsull'aereoXOYe ha una derivata parziale continua in questa regione
, quindi qualunque sia il punto (x 0 , sì 0 ) nella zonaD, C'è solo una soluzione
equazioni
, definito in un intervallo contenente il punto x 0 , prendendo x = x 0 Senso (X 0 ) = sì 0 , cioè. esiste un'unica soluzione dell'equazione differenziale.

Definizione. Integrante Un'equazione differenziale è qualsiasi equazione che non contiene derivate e di cui l'equazione differenziale data è una conseguenza.

Esempio. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale
.

La soluzione generale dell'equazione differenziale si cerca integrando i membri sinistro e destro dell'equazione, che viene precedentemente trasformata come segue:

Ora integriamo:

è la soluzione generale dell'equazione differenziale originale.

Diciamo che sono date alcune condizioni iniziali: x 0 = 1; y 0 = 2, allora abbiamo

Sostituendo il valore ottenuto della costante nella soluzione generale, otteniamo una soluzione particolare per le condizioni iniziali date (soluzione del problema di Cauchy).

Definizione. Curva integrale è detto grafico y = (x) della soluzione di un'equazione differenziale sul piano XOY.

Definizione. Con decisione speciale di un'equazione differenziale è tale soluzione in tutti i punti della quale si chiama condizione di unicità di Cauchy (vedi. Il teorema di Cauchy.) non è soddisfatta, vale a dire nell'intorno di un punto (x,y) ci sono almeno due curve integrali.

Le soluzioni speciali non dipendono dalla costante C.

Non è possibile ottenere soluzioni speciali dalla soluzione generale per qualsiasi valore della costante C. Se costruiamo una famiglia di curve integrali di un'equazione differenziale, allora la soluzione speciale sarà rappresentata da una linea che tocca almeno una curva integrale in ogni punto .

Si noti che non tutte le equazioni differenziali hanno soluzioni speciali.

Esempio. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale:
Trova una soluzione speciale se esiste.

Questa equazione differenziale ha anche una soluzione speciale A= 0. Questa soluzione non può essere ottenuta da quella generale, ma sostituendo nell'equazione originale otteniamo un'identità. L'opinione che la soluzione sì = 0 può essere ottenuto dalla soluzione generale con CON 1 = 0 sbagliato, perché C 1 = e C  0.

Equazione differenziale ordinaria è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta di questa variabile e le sue derivate (o differenziali) di vario ordine.

L'ordine dell'equazione differenziale si chiama ordine della derivata massima in esso contenuta.

Oltre a quelle ordinarie, vengono studiate anche le equazioni alle derivate parziali. Si tratta di equazioni relative a variabili indipendenti, una funzione sconosciuta di queste variabili e le sue derivate parziali rispetto alle stesse variabili. Ma considereremo solo equazioni differenziali ordinarie e pertanto, per brevità, ometteremo la parola “ordinario”.

Esempi di equazioni differenziali:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'equazione (1) è del quarto ordine, l'equazione (2) è del terzo ordine, le equazioni (3) e (4) sono del secondo ordine, l'equazione (5) è del primo ordine.

Equazione differenziale N L'ordine non deve necessariamente contenere una funzione esplicita, tutte le sue derivate dalla prima alla N-esimo ordine e variabile indipendente. Non può contenere derivate esplicite di determinati ordini, una funzione o una variabile indipendente.

Ad esempio, nell'equazione (1) chiaramente non ci sono derivate del terzo e del secondo ordine, così come una funzione; nell'equazione (2) - la derivata del secondo ordine e la funzione; nell'equazione (4) - la variabile indipendente; nell'equazione (5) - funzioni. Solo l'equazione (3) contiene esplicitamente tutte le derivate, la funzione e la variabile indipendente.

Risoluzione di un'equazione differenziale viene chiamata ogni funzione y = f(x), quando sostituito nell'equazione si trasforma in un'identità.

Il processo per trovare la soluzione di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione.

Esempio 1. Trova la soluzione dell'equazione differenziale.

Soluzione. Scriviamo questa equazione nella forma . La soluzione è trovare la funzione dalla sua derivata. La funzione originaria, come noto dal calcolo integrale, è un'antiderivativa per, ad es.

Questo è quello che è soluzione di questa equazione differenziale . Cambiando in esso C, otterremo soluzioni diverse. Abbiamo scoperto che esiste un numero infinito di soluzioni per un'equazione differenziale del primo ordine.

Soluzione generale dell'equazione differenziale N l'ordine n è la sua soluzione, espressa esplicitamente rispetto alla funzione sconosciuta e contenente N costanti arbitrarie indipendenti, cioè

La soluzione dell'equazione differenziale nell'Esempio 1 è generale.

Soluzione parziale dell'equazione differenziale viene chiamata una soluzione in cui alle costanti arbitrarie vengono assegnati valori numerici specifici.

Esempio 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale e una soluzione particolare per .

Soluzione. Integriamo entrambi i membri dell'equazione un numero di volte pari all'ordine dell'equazione differenziale.

Di conseguenza, abbiamo ricevuto una soluzione generale:

di una data equazione differenziale del terzo ordine.

Ora troviamo una soluzione particolare nelle condizioni specificate. Per fare ciò, sostituisci i loro valori invece dei coefficienti arbitrari e ottieni

Se, oltre all'equazione differenziale, la condizione iniziale è data nella forma , viene chiamato tale problema Problema di Cauchy . Sostituisci i valori e nella soluzione generale dell'equazione e trova il valore di una costante arbitraria C, e quindi una soluzione particolare dell'equazione per il valore trovato C. Questa è la soluzione al problema di Cauchy.

Esempio 3. Risolvi il problema di Cauchy per l'equazione differenziale dell'Esempio 1 soggetto a .

Soluzione. Sostituiamo i valori di condizione iniziale sì = 3, X= 1. Otteniamo

Scriviamo la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione differenziale del primo ordine:

Risolvere equazioni differenziali, anche quelle più semplici, richiede buone capacità di integrazione e derivate, comprese funzioni complesse. Questo può essere visto nel seguente esempio.

Esempio 4. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale.

Soluzione. L'equazione è scritta in una forma tale da poter integrare immediatamente entrambi i lati.

Applichiamo il metodo di integrazione per cambio di variabile (sostituzione). Lascia che sia allora.

Obbligatorio da prendere dx e ora - attenzione - lo facciamo secondo le regole di differenziazione di una funzione complessa, poiché X e c'è una funzione complessa ("mela" - extract radice quadrata o, qual è la stessa cosa - elevare al potere "metà" e "carne macinata" è l'espressione stessa sotto la radice):

Troviamo l'integrale:

Ritornando alla variabile X, noi abbiamo:

Questa è la soluzione generale di questa equazione differenziale di primo grado.

Per risolvere equazioni differenziali saranno necessarie non solo le competenze delle sezioni precedenti della matematica superiore, ma anche le competenze della matematica elementare, cioè della matematica scolastica. Come già accennato, in un'equazione differenziale di qualsiasi ordine potrebbe non esserci una variabile indipendente, cioè una variabile X. La conoscenza delle proporzioni scolastiche che non sono state dimenticate (tuttavia, a seconda di chi) dalla scuola aiuterà a risolvere questo problema. Questo è il prossimo esempio.

Equazione differenziale (DE) - questa è l'equazione,
dove sono le variabili indipendenti, y è la funzione e sono le derivate parziali.

Equazione differenziale ordinaria è un'equazione differenziale che ha una sola variabile indipendente, .

Equazione alle derivate parziali è un'equazione differenziale che ha due o più variabili indipendenti.

Le parole “ordinaria” e “derivate parziali” possono essere omesse se è chiaro quale equazione si sta considerando. Di seguito verranno prese in considerazione le equazioni differenziali ordinarie.

Ordine delle equazioni differenziali è l'ordine della derivata più alta.

Ecco un esempio di equazione del primo ordine:

Ecco un esempio di equazione del quarto ordine:

A volte un'equazione differenziale del primo ordine è scritta in termini di differenziali:

In questo caso, le variabili xey sono uguali. Cioè, la variabile indipendente può essere x o y. Nel primo caso, y è una funzione di x. Nel secondo caso x è funzione di y. Se necessario, possiamo ridurre questa equazione a una forma che includa esplicitamente la derivata y′.
Dividendo questa equazione per dx otteniamo:
.
Poiché e , ne consegue che
.

Risoluzione di equazioni differenziali

Le derivate delle funzioni elementari si esprimono attraverso funzioni elementari. Gli integrali delle funzioni elementari spesso non sono espressi in termini di funzioni elementari. Con le equazioni differenziali la situazione è ancora peggiore. Come risultato della soluzione puoi ottenere:

dipendenza esplicita di una funzione da una variabile;
Risoluzione di un'equazione differenziale è la funzione y = u (X), che è definito, n volte differenziabile, e .
dipendenza implicita sotto forma di un'equazione di tipo Φ (x, y) = 0 o sistemi di equazioni;
Integrale di un'equazione differenziale è una soluzione di un'equazione differenziale che ha una forma implicita.
dipendenza espressa tramite funzioni elementari e integrali da esse;
Risoluzione di un'equazione differenziale in quadrature - questo sta trovando una soluzione sotto forma di una combinazione di funzioni elementari e dei loro integrali.
la soluzione potrebbe non essere espressa tramite funzioni elementari.

Poiché la risoluzione delle equazioni differenziali si riduce al calcolo degli integrali, la soluzione include un insieme di costanti C 1, C 2, C 3, ... C n. Il numero di costanti è uguale all'ordine dell'equazione. Integrale parziale di un'equazione differenziale è l'integrale generale per dati valori delle costanti C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Riferimenti:
V.V. Stepanov, Corso di equazioni differenziali, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Raccolta di problemi di matematica superiore, “Lan”, 2003.