§ 87. Addizione di frazioni.
L'addizione di frazioni ha molte somiglianze con l'addizione di numeri interi. L'aggiunta di frazioni è un'azione che consiste nel fatto che diversi numeri dati (termini) sono combinati in un numero (somma), che contiene tutte le unità e frazioni di unità di termini.
Prenderemo in considerazione tre casi a turno:
1. Aggiunta di frazioni con stessi denominatori.
2. Aggiunta di frazioni con denominatori diversi.
3. Addizione di numeri misti.
1. Addizione di frazioni con gli stessi denominatori.
Considera un esempio: 1/5 + 2/5.
Prendi il segmento AB (Fig. 17), prendilo come unità e dividilo in 5 parti uguali, quindi la parte AC di questo segmento sarà uguale a 1/5 del segmento AB e la parte dello stesso segmento CD sarà uguale a 2/5 AB.
Si può vedere dal disegno che se prendiamo il segmento AD, allora sarà uguale a 3/5 AB; ma il segmento AD è appunto la somma dei segmenti AC e CD. Quindi, possiamo scrivere:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando questi termini e l'importo risultante, vediamo che il numeratore della somma è stato ottenuto sommando i numeratori dei termini e il denominatore è rimasto invariato.
Da ciò otteniamo la seguente regola: Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
Considera un esempio:
2. Addizione di frazioni con denominatori diversi.
Aggiungiamo le frazioni: 3/4 + 3/8 Prima devono essere ridotte al minimo comune denominatore:
Intermedio 6/8 + 3/8 non si poteva scrivere; lo abbiamo scritto qui per maggiore chiarezza.
Quindi, per sommare frazioni con denominatori diversi, devi prima portarle al minimo comune denominatore, sommare i loro numeratori e firmare il denominatore comune.
Considera un esempio (scriveremo fattori aggiuntivi sulle frazioni corrispondenti):
3. Addizione di numeri misti.
Sommiamo i numeri: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Portiamo prima le parti frazionarie dei nostri numeri a un denominatore comune e riscriviamole di nuovo:
Ora aggiungi le parti intere e frazionarie in sequenza:
§ 88. Sottrazione di frazioni.
La sottrazione di frazioni è definita allo stesso modo della sottrazione di numeri interi. Questa è un'azione per cui, data la somma di due termini e uno di essi, si trova un altro termine. Consideriamo tre casi a turno:
1. Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
3. Sottrazione di numeri misti.
1. Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori.
Considera un esempio:
13 / 15 - 4 / 15
Prendiamo il segmento AB (Fig. 18), prendiamolo come unità e dividiamolo in 15 parti uguali; allora la parte AC di questo segmento sarà 1/15 di AB, e la parte AD dello stesso segmento corrisponderà a 13/15 AB. Mettiamo da parte un altro segmento ED, pari a 4/15 AB.
Dobbiamo sottrarre 4/15 da 13/15. Nel disegno, ciò significa che il segmento ED deve essere sottratto dal segmento AD. Di conseguenza, rimarrà il segmento AE, che è 9/15 del segmento AB. Quindi possiamo scrivere:
L'esempio che abbiamo fatto mostra che il numeratore della differenza è stato ottenuto sottraendo i numeratori e il denominatore è rimasto lo stesso.
Pertanto, per sottrarre frazioni con gli stessi denominatori, è necessario sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo e lasciare lo stesso denominatore.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
Esempio. 3/4 - 5/8
Innanzitutto, riduciamo queste frazioni al minimo comune denominatore:
Il collegamento intermedio 6/8 - 5/8 è scritto qui per chiarezza, ma può essere saltato in futuro.
Quindi, per sottrarre una frazione da una frazione, devi prima portarli al minimo comune denominatore, quindi sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo e firmare il comune denominatore sotto la loro differenza.
Considera un esempio:
3. Sottrazione di numeri misti.
Esempio. 10 3/4 - 7 2/3 .
Portiamo le parti frazionarie del minuendo e del sottraendo al minimo comune denominatore:
Abbiamo sottratto un intero da un intero e una frazione da una frazione. Ma ci sono casi in cui la parte frazionaria del sottraendo è maggiore della parte frazionaria del minuendo. In tali casi, è necessario prendere un'unità dalla parte intera del ridotto, suddividerla in quelle parti in cui è espressa la parte frazionaria e aggiungerla alla parte frazionaria del ridotto. E poi la sottrazione verrà eseguita nello stesso modo dell'esempio precedente:
§ 89. Moltiplicazione di frazioni.
Quando studiamo la moltiplicazione delle frazioni, considereremo le seguenti domande:
1. Moltiplicare una frazione per un numero intero.
2. Trovare una frazione di un dato numero.
3. Moltiplicazione di un numero intero per una frazione.
4. Moltiplicando una frazione per una frazione.
5. Moltiplicazione di numeri misti.
6. Il concetto di interesse.
7. Trovare le percentuali di un dato numero. Consideriamoli in sequenza.
1. Moltiplicare una frazione per un numero intero.
Moltiplicare una frazione per un numero intero ha lo stesso significato di moltiplicare un numero intero per un numero intero. Moltiplicare una frazione (moltiplicando) per un numero intero (moltiplicatore) significa comporre la somma di termini identici, in cui ogni termine è uguale al moltiplicando e il numero di termini è uguale al moltiplicatore.
Quindi, se devi moltiplicare 1/9 per 7, puoi farlo in questo modo:
Abbiamo ottenuto facilmente il risultato, poiché l'azione si è ridotta all'aggiunta di frazioni con gli stessi denominatori. Quindi,
La considerazione di questa azione mostra che moltiplicare una frazione per un numero intero equivale ad aumentare questa frazione tante volte quante sono le unità nel numero intero. E poiché l'aumento della frazione si ottiene aumentando il suo numeratore
o diminuendo il suo denominatore 
, allora possiamo moltiplicare il numeratore per il numero intero o dividere il denominatore per esso, se tale divisione è possibile.
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare una frazione per un numero intero, devi moltiplicare il numeratore per questo numero intero e lasciare lo stesso denominatore o, se possibile, dividere il denominatore per questo numero, lasciando invariato il numeratore.
Quando si moltiplicano, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
2. Trovare una frazione di un dato numero. Ci sono molti problemi in cui devi trovare, o calcolare, una parte di un dato numero. La differenza tra questi compiti e altri è che danno il numero di alcuni oggetti o unità di misura ed è necessario trovare una parte di questo numero, che è indicato anche qui da una certa frazione. Per facilitare la comprensione, forniremo prima esempi di tali problemi, quindi introdurremo il metodo per risolverli.
Compito 1. Avevo 60 rubli; 1/3 di questi soldi li ho spesi per l'acquisto di libri. Quanto sono costati i libri?
Compito 2. Il treno deve coprire la distanza tra le città A e B, pari a 300 km. Ha già coperto i 2/3 di quella distanza. Quanti chilometri sono?
Compito 3. Ci sono 400 case nel villaggio, 3/4 sono in mattoni, il resto in legno. Quante case di mattoni ci sono?
Ecco alcuni dei tanti problemi che dobbiamo affrontare per trovare una frazione di un dato numero. Di solito sono chiamati problemi per trovare una frazione di un dato numero.
Soluzione del problema 1. Da 60 rubli. Ho speso 1/3 in libri; Quindi, per trovare il costo dei libri, devi dividere il numero 60 per 3:
Problema 2 soluzione. Il significato del problema è che devi trovare 2/3 di 300 km. Calcola il primo 1/3 di 300; questo si ottiene dividendo 300 km per 3:
300: 3 = 100 (ovvero 1/3 di 300).
Per trovare i due terzi di 300, devi raddoppiare il quoziente risultante, cioè moltiplicare per 2:
100 x 2 = 200 (ovvero 2/3 di 300).
Soluzione del problema 3. Qui devi determinare il numero di case in mattoni, che sono 3/4 di 400. Troviamo prima 1/4 di 400,
400: 4 = 100 (ovvero 1/4 di 400).
Per calcolare i tre quarti di 400, il quoziente risultante deve essere triplicato, cioè moltiplicato per 3:
100 x 3 = 300 (ovvero 3/4 di 400).
Sulla base della soluzione di questi problemi, possiamo derivare la seguente regola:
Per trovare il valore di una frazione di un dato numero, devi dividere questo numero per il denominatore della frazione e moltiplicare il quoziente risultante per il suo numeratore.
3. Moltiplicazione di un numero intero per una frazione.
In precedenza (§ 26) è stato stabilito che la moltiplicazione di numeri interi deve essere intesa come l'aggiunta di termini identici (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). In questo paragrafo (paragrafo 1) è stato stabilito che moltiplicare una frazione per un numero intero significa trovare la somma di termini identici pari a questa frazione.
In entrambi i casi la moltiplicazione consisteva nel trovare la somma di termini identici.
Ora passiamo alla moltiplicazione di un numero intero per una frazione. Qui incontreremo tale, ad esempio, moltiplicazione: 9 2 / 3. È abbastanza ovvio che la precedente definizione di moltiplicazione non si applica a questo caso. Ciò è evidente dal fatto che non possiamo sostituire tale moltiplicazione con l'aggiunta di numeri uguali.
Per questo motivo, dovremo dare una nuova definizione di moltiplicazione, cioè, in altre parole, rispondere alla domanda su cosa si debba intendere per moltiplicazione per una frazione, come si debba intendere questa azione.
Il significato di moltiplicare un numero intero per una frazione è chiaro dalla seguente definizione: moltiplicare un numero intero (moltiplicatore) per una frazione (moltiplicatore) significa trovare questa frazione del moltiplicatore.
Vale a dire, moltiplicare 9 per 2/3 significa trovare 2/3 di nove unità. Nel paragrafo precedente, tali problemi sono stati risolti; quindi è facile capire che finiamo con 6.
Ma ora sorge una domanda interessante e importante: perché tale a prima vista varie attività come trovare la somma numeri uguali e trovando la frazione di un numero, in aritmetica si chiama la stessa parola "moltiplicazione"?
Ciò accade perché l'azione precedente (ripetere più volte il numero con i termini) e la nuova azione (trovare la frazione di un numero) danno una risposta a domande omogenee. Ciò significa che procediamo qui dalle considerazioni che domande o compiti omogenei sono risolti da una stessa azione.
Per capirlo, considera il seguente problema: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costeranno 4 m di tale tessuto?
Questo problema viene risolto moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (4), ad es. 50 x 4 = 200 (rubli).
Prendiamo lo stesso problema, ma in esso la quantità di stoffa sarà espressa come numero frazionario: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costano 3/4 m di tale stoffa?
Anche questo problema deve essere risolto moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (3/4).
Puoi anche cambiare i numeri in esso più volte senza cambiare il significato del problema, ad esempio, prendi 9/10 m o 2 3/10 m, ecc.
Poiché questi problemi hanno lo stesso contenuto e differiscono solo per i numeri, chiamiamo le azioni utilizzate per risolverli la stessa parola: moltiplicazione.
Come si moltiplica un numero intero per una frazione?
Prendiamo i numeri incontrati nell'ultimo problema:
Secondo la definizione, dobbiamo trovare 3/4 di 50. Prima troviamo 1/4 di 50, e poi 3/4.
1/4 di 50 è 50/4;
3/4 di 50 è .
Quindi.
Consideriamo un altro esempio: 12 5/8 = ?
1/8 di 12 è 12/8,
5/8 del numero 12 è .
Quindi,
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare un numero intero per una frazione, devi moltiplicare il numero intero per il numeratore della frazione e rendere questo prodotto il numeratore e firmare il denominatore della frazione data come denominatore.
Scriviamo questa regola usando le lettere:
Per rendere perfettamente chiara questa regola, va ricordato che una frazione può essere considerata come un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per moltiplicare un numero per un quoziente, che è stata stabilita nel § 38
Va ricordato che prima di eseguire la moltiplicazione, dovresti fare (se possibile) tagli, Per esempio:
4. Moltiplicando una frazione per una frazione. Moltiplicare una frazione per frazione ha lo stesso significato di moltiplicare un numero intero per frazione, ovvero, quando si moltiplica una frazione per frazione, è necessario trovare la frazione nel moltiplicatore dalla prima frazione (moltiplicatore).
Vale a dire, moltiplicare 3/4 per 1/2 (metà) significa trovare la metà di 3/4.
Come si moltiplica una frazione per una frazione?
Facciamo un esempio: 3/4 volte 5/7. Ciò significa che devi trovare 5/7 da 3/4. Trova prima 1/7 di 3/4 e poi 5/7
1/7 di 3/4 sarebbe espresso così:
5 / 7 numeri 3 / 4 saranno espressi come segue:
Così,
Un altro esempio: 5/8 volte 4/9.
1/9 di 5/8 è ,
4/9 i numeri 5/8 sono .
Così, 
Da questi esempi si può dedurre la seguente regola:
Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo prodotto il denominatore del prodotto.
Questa è la regola in vista generale si può scrivere così:
Quando si moltiplica, è necessario effettuare (se possibile) riduzioni. Considera esempi:
5. Moltiplicazione di numeri misti. Perché numeri misti può essere facilmente sostituito da frazioni improprie, questa circostanza viene solitamente utilizzata quando si moltiplicano numeri misti. Ciò significa che nei casi in cui il moltiplicando, o il moltiplicatore, o entrambi i fattori sono espressi come numeri misti, vengono sostituiti da frazioni improprie. Moltiplica, ad esempio, numeri misti: 2 1/2 e 3 1/5. Trasformiamo ciascuno di essi in una frazione impropria e poi moltiplichiamo le frazioni risultanti secondo la regola di moltiplicare una frazione per una frazione:
Regola. Per moltiplicare numeri misti, devi prima convertirli in frazioni improprie e poi moltiplicare secondo la regola di moltiplicare una frazione per una frazione.
Nota. Se uno dei fattori è un numero intero, la moltiplicazione può essere eseguita in base alla legge di distribuzione come segue:
6. Il concetto di interesse. Quando risolviamo problemi e quando eseguiamo vari calcoli pratici, utilizziamo tutti i tipi di frazioni. Ma bisogna tener presente che molte quantità non ammettono alcuna suddivisione se non naturale per esse. Ad esempio, puoi prendere un centesimo (1/100) di rublo, sarà un centesimo, due centesimi sono 2 copechi, tre centesimi sono 3 copechi. Puoi prendere 1/10 del rublo, sarà "10 copechi, o un centesimo. Puoi prendere un quarto del rublo, cioè 25 copechi, mezzo rublo, cioè 50 copechi (cinquanta copechi). Ma praticamente non lo fanno non prendere, ad esempio, 2/7 rubli perché il rublo non è diviso in settimi.
L'unità di misura del peso, cioè il chilogrammo, consente innanzitutto suddivisioni decimali, ad esempio 1/10 kg o 100 g e frazioni di chilogrammo come 1/6, 1/11, 1/ 13 sono rari.
In generale le nostre misure (metriche) sono decimali e consentono suddivisioni decimali.
Tuttavia, va notato che è estremamente utile e conveniente in un'ampia varietà di casi utilizzare lo stesso metodo (uniforme) di suddivisione delle quantità. Anni di esperienza ha mostrato che una divisione così ben giustificata è la divisione dei "centesimi". Consideriamo alcuni esempi relativi alle aree più diverse della pratica umana.
1. Il prezzo dei libri è diminuito di 12/100 rispetto al prezzo precedente.
Esempio. Il prezzo precedente del libro è di 10 rubli. È scesa di 1 rublo. 20 copechi.
2. Le casse di risparmio versano nell'anno ai depositanti i 2/100 dell'importo destinato al risparmio.
Esempio. 500 rubli vengono messi alla cassa, il reddito da questo importo per l'anno è di 10 rubli.
3. Il numero di diplomati di una scuola era 5/100 del numero totale di studenti.
ESEMPIO Solo 1.200 studenti hanno studiato nella scuola, 60 dei quali si sono diplomati.
Il centesimo di un numero si chiama percentuale..
La parola "percentuale" è presa in prestito da latino e la sua radice "cent" significa cento. Insieme alla preposizione (pro centum), questa parola significa "per cento". Il significato di questa espressione deriva dal fatto che inizialmente nell'antica Roma l'interesse era il denaro che il debitore pagava al prestatore “per ogni cento”. La parola "cent" si sente in parole così familiari: centner (cento chilogrammi), centimetro (dicono centimetro).
Ad esempio, invece di dire che l'impianto ha prodotto 1/100 di tutti i prodotti da esso prodotti nell'ultimo mese, diremo questo: l'impianto ha prodotto l'uno percento degli scarti nell'ultimo mese. Invece di dire: lo stabilimento ha prodotto 4/100 prodotti in più rispetto al piano stabilito, diremo: lo stabilimento ha superato il piano del 4 per cento.
Gli esempi precedenti possono essere espressi in modo diverso:
1. Il prezzo dei libri è diminuito del 12% rispetto al prezzo precedente.
2. Le casse di risparmio pagano ai depositanti il 2% annuo dell'importo messo a risparmio.
3. Il numero di diplomati di una scuola era il 5% del numero di tutti gli studenti della scuola.
Per accorciare la lettera, è consuetudine scrivere il segno% invece della parola "percentuale".
Tuttavia, va ricordato che il segno % di solito non è scritto nei calcoli, può essere scritto nella dichiarazione del problema e nel risultato finale. Quando si eseguono calcoli, è necessario scrivere una frazione con un denominatore di 100 invece di un numero intero con questa icona.
Devi essere in grado di sostituire un numero intero con l'icona specificata con una frazione con un denominatore di 100:
Al contrario, devi abituarti a scrivere un numero intero con l'icona indicata invece di una frazione con denominatore 100:
7. Trovare le percentuali di un dato numero.
Compito 1. La scuola ha ricevuto 200 metri cubi. m di legna da ardere, con legna da ardere di betulla che rappresenta il 30%. Quanto legno di betulla c'era?
Il significato di questo problema è che la legna da ardere di betulla era solo una parte della legna da ardere consegnata alla scuola, e questa parte è espressa come frazione di 30/100. Quindi, ci troviamo di fronte al compito di trovare una frazione di un numero. Per risolverlo, dobbiamo moltiplicare 200 per 30/100 (i compiti per trovare la frazione di un numero vengono risolti moltiplicando un numero per una frazione).
Quindi il 30% di 200 è uguale a 60.
La frazione 30/100 incontrata in questo problema può essere ridotta di 10. Sarebbe possibile eseguire questa riduzione fin dall'inizio; la soluzione al problema non cambierebbe.
Compito 2. Nel campo c'erano 300 bambini di varie età. I bambini di 11 anni erano il 21%, i bambini di 12 anni il 61% e infine i tredicenni il 18%. Quanti bambini di ogni età c'erano nel campo?
In questo problema, devi eseguire tre calcoli, ovvero trovare successivamente il numero di bambini di 11 anni, poi di 12 anni e infine di 13 anni.
Quindi, qui sarà necessario trovare una frazione di un numero tre volte. Facciamolo:
1) Quanti bambini avevano 11 anni?
2) Quanti bambini avevano 12 anni?
3) Quanti bambini avevano 13 anni?
Dopo aver risolto il problema, è utile sommare i numeri trovati; la loro somma dovrebbe essere 300:
63 + 183 + 54 = 300
Dovresti anche prestare attenzione al fatto che la somma delle percentuali fornite nella condizione del problema è 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Questo lo suggerisce numero totale i bambini che erano nel campo sono stati presi al 100%.
3 a da cha 3. Il lavoratore riceveva 1.200 rubli al mese. Di questi ha speso il 65% in vitto, il 6% in appartamento e riscaldamento, il 4% in gas, luce e radio, il 10% in beni culturali e il 15% ha risparmiato. Quanto denaro è stato speso per le esigenze indicate nel compito?
Per risolvere questo problema, devi trovare 5 volte una frazione del numero 1200. Facciamolo.
1) Quanti soldi vengono spesi per il cibo? L'attività dice che questa spesa è il 65% di tutti i guadagni, cioè 65/100 del numero 1200. Facciamo il calcolo:
2) Quanti soldi sono stati pagati per un appartamento con riscaldamento? Argomentando come il precedente, arriviamo al seguente calcolo:
3) Quanti soldi hai pagato per il gas, l'elettricità e la radio?
4) Quanto denaro viene speso per i bisogni culturali?
5) Quanti soldi ha risparmiato il lavoratore?
Per verifica è utile sommare i numeri che si trovano in queste 5 domande. L'importo dovrebbe essere di 1.200 rubli. Tutti i guadagni sono presi come 100%, che è facile da verificare sommando le percentuali indicate nella dichiarazione del problema.
Abbiamo risolto tre problemi. Nonostante questi compiti riguardassero cose diverse (consegna della legna da ardere per la scuola, numero di bambini di età diverse, spese del lavoratore), venivano risolti allo stesso modo. Ciò è accaduto perché in tutte le attività era necessario trovare una piccola percentuale dei numeri indicati.
§ 90. Divisione delle frazioni.
Quando studiamo la divisione delle frazioni, considereremo le seguenti domande:
1. Dividere un numero intero per un numero intero.
2. Divisione di una frazione per un numero intero
3. Divisione di un numero intero per frazione.
4. Divisione di una frazione per frazione.
5. Divisione di numeri misti.
6. Trovare un numero data la sua frazione.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
Consideriamoli in sequenza.
1. Dividere un numero intero per un numero intero.
Come è stato indicato nella sezione dei numeri interi, la divisione è l'azione consistente nel fatto che, dato il prodotto di due fattori (il dividendo) e uno di questi fattori (il divisore), si trova un altro fattore.
La divisione di un numero intero per un numero intero che abbiamo considerato nel dipartimento dei numeri interi. Abbiamo incontrato lì due casi di divisione: divisione senza resto, o "interamente" (150: 10 = 15), e divisione con resto (100: 9 = 11 e 1 nel resto). Possiamo quindi dire che nell'ambito degli interi la divisione esatta non è sempre possibile, perché il dividendo non è sempre il prodotto del divisore per l'intero. Dopo l'introduzione della moltiplicazione per frazione, si può considerare possibile qualsiasi caso di divisione di numeri interi (è esclusa solo la divisione per zero).
Ad esempio, dividere 7 per 12 significa trovare un numero il cui prodotto per 12 sarebbe 7. Questo numero è la frazione 7/12 perché 7/12 12 = 7. Un altro esempio: 14: 25 = 14/25 perché 14/25 25 = 14.
Pertanto, per dividere un numero intero per un numero intero, è necessario creare una frazione, il cui numeratore è uguale al dividendo e il denominatore è il divisore.
2. Divisione di una frazione per un numero intero.
Dividi la frazione 6 / 7 per 3. Secondo la definizione di divisione data sopra, abbiamo qui il prodotto (6 / 7) e uno dei fattori (3); è necessario trovare un tale secondo fattore che, moltiplicato per 3, dia il prodotto dato 6/7. Ovviamente, dovrebbe essere tre volte più piccolo di questo prodotto. Ciò significa che il compito che ci attendeva era di ridurre di 3 volte la frazione 6/7.
Sappiamo già che la riduzione di una frazione può essere fatta o diminuendo il suo numeratore o aumentando il suo denominatore. Pertanto, puoi scrivere:
In questo caso il numeratore 6 è divisibile per 3, quindi il numeratore va ridotto di 3 volte.
Facciamo un altro esempio: 5 / 8 diviso 2. Qui il numeratore 5 non è divisibile per 2, il che significa che il denominatore dovrà essere moltiplicato per questo numero:
Sulla base di ciò, possiamo enunciare la regola: Per dividere una frazione per un numero intero, devi dividere il numeratore della frazione per quel numero intero(se possibile), lasciando lo stesso denominatore, oppure moltiplicare il denominatore della frazione per questo numero, lasciando lo stesso numeratore.
3. Divisione di un numero intero per frazione.
Sia necessario dividere 5 per 1/2, cioè trovare un numero che, moltiplicato per 1/2, dia il prodotto 5. Ovviamente questo numero deve essere maggiore di 5, poiché 1/2 è una frazione propria, e quando si moltiplica un numero per una frazione propria, il prodotto deve essere minore del moltiplicando. Per renderlo più chiaro, scriviamo le nostre azioni come segue: 5: 1 / 2 = X , quindi x 1/2 \u003d 5.
Dobbiamo trovare un tale numero X , che, moltiplicato per 1/2, darebbe 5. Poiché moltiplicare un certo numero per 1/2 significa trovare 1/2 di questo numero, allora, quindi, 1/2 del numero sconosciuto X è 5, e il numero intero X il doppio, ad es. 5 2 \u003d 10.
Quindi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Controlliamo: 
Consideriamo un altro esempio. Sia necessario dividere 6 per 2/3. Proviamo prima a trovare il risultato desiderato usando il disegno (Fig. 19).
Fig.19
Disegna un segmento AB, uguale a 6 di alcune unità, e dividi ogni unità in 3 parti uguali. In ogni unità, tre terzi (3/3) dell'intero segmento AB è 6 volte più grande, cioè e.18/3. Colleghiamo con l'aiuto di piccole parentesi 18 segmenti ottenuti di 2; Ci saranno solo 9 segmenti. Ciò significa che la frazione 2/3 è contenuta in b unità 9 volte, o, in altre parole, la frazione 2/3 è 9 volte inferiore a 6 unità intere. Quindi,
Come ottenere questo risultato senza un disegno usando solo calcoli? Discuteremo come segue: è necessario dividere 6 per 2/3, ovvero è necessario rispondere alla domanda, quante volte 2/3 è contenuto in 6. Scopriamo prima: quante volte è 1/3 contenuto in 6? In un'intera unità - 3 terzi e in 6 unità - 6 volte di più, ad es. 18 terzi; per trovare questo numero, dobbiamo moltiplicare 6 per 3. Quindi, 1/3 è contenuto nelle unità b 18 volte, e 2/3 è contenuto nelle unità b non 18 volte, ma la metà di volte, cioè 18: 2 = 9 Pertanto, dividendo 6 per 2/3 abbiamo fatto le seguenti azioni:
Da qui otteniamo la regola per dividere un numero intero per una frazione. Per dividere un numero intero per una frazione, devi moltiplicare questo numero intero per il denominatore della frazione data e, facendo di questo prodotto il numeratore, dividerlo per il numeratore della frazione data.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Per rendere perfettamente chiara questa regola, va ricordato che una frazione può essere considerata come un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per dividere un numero per un quoziente, che è stata stabilita nel § 38. Si noti che la stessa formula è stata ottenuta lì.
Quando si dividono, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
4. Divisione di una frazione per frazione.
Sia necessario dividere 3/4 per 3/8. Cosa indicherà il numero che si otterrà come risultato della divisione? Risponderà alla domanda quante volte la frazione 3/8 è contenuta nella frazione 3/4. Per capire questo problema, facciamo un disegno (Fig. 20).
Prendi il segmento AB, prendilo come un'unità, dividilo in 4 parti uguali e segna 3 di queste parti. Il segmento AC sarà uguale a 3/4 del segmento AB. Dividiamo ora ciascuno dei quattro segmenti iniziali a metà, quindi il segmento AB sarà diviso in 8 parti uguali e ciascuna di tali parti sarà uguale a 1/8 del segmento AB. Colleghiamo 3 di questi segmenti con archi, quindi ciascuno dei segmenti AD e DC sarà uguale a 3/8 del segmento AB. Il disegno mostra che il segmento pari a 3/8 è contenuto nel segmento pari a 3/4 esattamente 2 volte; Quindi il risultato della divisione può essere scritto così:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Consideriamo un altro esempio. Sia necessario dividere 15/16 per 3/32:
Possiamo ragionare così: dobbiamo trovare un numero che, dopo essere stato moltiplicato per 3/32, dia un prodotto pari a 15/16. Scriviamo i calcoli in questo modo:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 numero sconosciuto X trucco 15 / 16
1/32 numero sconosciuto X È ,
32 / 32 numeri X trucco .
Quindi,
Quindi, per dividere una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda, e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo il denominatore.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Quando si dividono, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
5. Divisione di numeri misti.
Quando si dividono numeri misti, devono prima essere convertiti in frazioni improprie, quindi le frazioni risultanti devono essere divise secondo le regole per dividere i numeri frazionari. Considera un esempio:
Converti numeri misti in frazioni improprie:
Ora dividiamo:
Pertanto, per dividere numeri misti, devi convertirli in frazioni improprie e poi dividere secondo la regola per dividere le frazioni.
6. Trovare un numero data la sua frazione.
Tra i vari compiti sulle frazioni, a volte ci sono quelli in cui viene fornito il valore di una frazione di un numero sconosciuto ed è necessario trovare questo numero. Questo tipo di problema sarà inverso al problema di trovare una frazione di un dato numero; lì è stato dato un numero ed è stato necessario trovare una frazione di questo numero, qui è stata data una frazione di un numero ed è necessario trovare questo numero stesso. Questa idea diventerà ancora più chiara se passiamo alla soluzione di questo tipo di problema.
Compito 1. Il primo giorno, i vetrai hanno smaltato 50 finestre, ovvero 1/3 di tutte le finestre della casa costruita. Quante finestre ci sono in questa casa?
Soluzione. Il problema dice che 50 finestre vetrate costituiscono 1/3 di tutte le finestre della casa, il che significa che ci sono 3 volte più finestre in totale, cioè
La casa aveva 150 finestre.
Compito 2. Il negozio ha venduto 1.500 kg di farina, pari a 3/8 della scorta totale di farina del negozio. Qual era la fornitura iniziale di farina del negozio?
Soluzione. Dalla condizione del problema si evince che i 1.500 kg di farina venduti costituiscono i 3/8 dello stock totale; ciò significa che 1/8 di questo stock sarà 3 volte inferiore, ovvero, per calcolarlo, è necessario ridurre 1500 di 3 volte:
1.500: 3 = 500 (ovvero 1/8 dello stock).
Ovviamente, l'intero stock sarà 8 volte più grande. Quindi,
500 8 \u003d 4.000 (kg).
La fornitura iniziale di farina nel magazzino era di 4.000 kg.
Dalla considerazione di questo problema, si può dedurre la seguente regola.
Per trovare un numero per un dato valore della sua frazione, è sufficiente dividere questo valore per il numeratore della frazione e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione.
Abbiamo risolto due problemi sulla ricerca di un numero data la sua frazione. Tali problemi, come si vede particolarmente bene dall'ultimo, sono risolti da due azioni: divisione (quando si trova una parte) e moltiplicazione (quando si trova il numero intero).
Tuttavia, dopo aver studiato la divisione delle frazioni, i problemi di cui sopra possono essere risolti in un'azione, vale a dire: divisione per frazione.
Ad esempio, l'ultimo compito può essere risolto in un'azione come questa:
In futuro, risolveremo il problema di trovare un numero in base alla sua frazione in un'azione: la divisione.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
In queste attività, dovrai trovare un numero, conoscendo una piccola percentuale di questo numero.
Compito 1. All'inizio di quest'anno ho ricevuto 60 rubli dalla cassa di risparmio. reddito dall'importo che ho messo nei risparmi un anno fa. Quanti soldi ho messo nella cassa di risparmio? (Gli uffici cassa danno ai depositanti il 2% del reddito all'anno.)
Il significato del problema è che una certa somma di denaro è stata messa da me in una cassa di risparmio e vi è rimasta per un anno. Dopo un anno, ho ricevuto da lei 60 rubli. reddito, che è 2/100 del denaro che ho versato. Quanti soldi ho depositato?
Pertanto, conoscendo la parte di questo denaro, espressa in due modi (in rubli e in frazioni), dobbiamo trovare l'intero importo, ancora sconosciuto. Questo è un normale problema di trovare un numero data la sua frazione. I seguenti compiti sono risolti per divisione:
Quindi, 3.000 rubli sono stati depositati nella cassa di risparmio.
Compito 2. In due settimane, i pescatori hanno soddisfatto il piano mensile del 64%, avendo preparato 512 tonnellate di pesce. Qual era il loro piano?
Dalle condizioni del problema, si sa che i pescatori hanno completato parte del piano. Questa parte è pari a 512 tonnellate, pari al 64% del piano. Quante tonnellate di pesce devono essere raccolte secondo il piano, non lo sappiamo. La soluzione del problema consisterà nel trovare questo numero.
Tali compiti vengono risolti dividendo:
Quindi, secondo il piano, devi preparare 800 tonnellate di pesce.
Compito 3. Il treno è andato da Riga a Mosca. Quando ha superato il 276esimo chilometro, uno dei passeggeri ha chiesto al controllore di passaggio quanto del viaggio avevano già percorso. A questo il conduttore ha risposto: "Abbiamo già percorso il 30% dell'intero viaggio". Qual è la distanza da Riga a Mosca?
Si può vedere dalle condizioni del problema che il 30% del viaggio da Riga a Mosca è di 276 km. Dobbiamo trovare l'intera distanza tra queste città, cioè, per questa parte, trovare il tutto:
§ 91. Numeri reciproci. Sostituire la divisione con la moltiplicazione.
Prendi la frazione 2/3 e riorganizza il numeratore al posto del denominatore, otteniamo 3/2. Abbiamo una frazione, il reciproco di questa.
Per ottenere una frazione reciproca di una data, devi mettere il suo numeratore al posto del denominatore e il denominatore al posto del numeratore. In questo modo, possiamo ottenere una frazione che è il reciproco di qualsiasi frazione. Per esempio:
3/4, rovescio 4/3; 5/6, rovescio 6/5
Si chiamano due frazioni che hanno la proprietà che il numeratore della prima è il denominatore della seconda e il denominatore della prima è il numeratore della seconda mutuamente inverso.
Ora pensiamo a quale frazione sarà il reciproco di 1/2. Ovviamente sarà 2/1, o solo 2. Cercando il reciproco di questo, abbiamo ottenuto un numero intero. E questo caso non è isolato; al contrario, per tutte le frazioni con numeratore 1 (uno), i reciproci saranno interi, ad esempio:
1/3, inverso 3; 1/5, rovescio 5
Poiché durante la ricerca dei reciproci ci siamo anche incontrati con numeri interi, in futuro non parleremo di reciproci, ma di reciproci.
Scopriamo come scrivere il reciproco di un numero intero. Per le frazioni, questo è risolto semplicemente: devi mettere il denominatore al posto del numeratore. Allo stesso modo, puoi ottenere il reciproco di un numero intero, poiché qualsiasi numero intero può avere un denominatore di 1. Pertanto, il reciproco di 7 sarà 1/7, perché 7 \u003d 7/1; per il numero 10 il contrario è 1/10 poiché 10 = 10/1
Questa idea può essere espressa in un altro modo: il reciproco di un dato numero si ottiene dividendo uno per il dato numero. Questa affermazione è vera non solo per i numeri interi, ma anche per le frazioni. Infatti, se vogliamo scrivere un numero che sia il reciproco della frazione 5/9, allora possiamo prendere 1 e dividerlo per 5/9, cioè
Ora ne segnaliamo uno proprietà numeri mutuamente reciproci, che ci saranno utili: il prodotto di numeri mutuamente reciproci è uguale a uno. Infatti:
Usando questa proprietà, possiamo trovare i reciproci nel modo seguente. Troviamo il reciproco di 8.
Indichiamolo con la lettera X , quindi 8 X = 1, quindi X = 1/8. Troviamo un altro numero, l'inverso di 7/12, indicalo con una lettera X , quindi 7/12 X = 1, quindi X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .
Abbiamo introdotto qui il concetto di numeri reciproci per integrare leggermente le informazioni sulla divisione delle frazioni.
Quando dividiamo il numero 6 per 3/5, facciamo quanto segue:
Presta particolare attenzione all'espressione e confrontala con quella data: .
Se prendiamo l'espressione separatamente, senza connessione con la precedente, è impossibile risolvere la questione della sua origine: dividendo 6 per 3/5 o moltiplicando 6 per 5/3. In entrambi i casi il risultato è lo stesso. Quindi possiamo dire che la divisione di un numero per un altro può essere sostituita moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore.
Gli esempi che riportiamo di seguito confermano pienamente questa conclusione.
T tipo di classe: ONZ (scoperta di nuove conoscenze - secondo la tecnologia del metodo di insegnamento dell'attività).
Obiettivi di base:
- Dedurre metodi per dividere una frazione per un numero naturale;
- Formare la capacità di eseguire la divisione di una frazione per un numero naturale;
- Ripeti e consolida la divisione delle frazioni;
- Allena la capacità di ridurre le frazioni, analizzare e risolvere problemi.
Materiale dimostrativo dell'attrezzatura:
1. Compiti per l'aggiornamento delle conoscenze:
Confronta le espressioni:
Riferimento:
2. Attività di prova (individuale).
1. Eseguire la divisione:
2. Eseguire la divisione senza eseguire l'intera catena di calcoli: .
Riferimenti:
- Quando dividi una frazione per un numero naturale, puoi moltiplicare il denominatore per questo numero e lasciare lo stesso numeratore.
- Se il numeratore è divisibile per un numero naturale, quando dividi una frazione per questo numero, puoi dividere il numeratore per il numero e lasciare lo stesso denominatore.
Durante le lezioni
I. Motivazione (autodeterminazione) a attività didattiche.
Scopo della tappa:
- Organizzare l'attualizzazione dei requisiti per lo studente da parte delle attività educative ("must");
- Organizzare le attività degli studenti per stabilire un quadro tematico ("I can");
- Creare le condizioni affinché lo studente abbia un bisogno interno di inclusione nelle attività educative ("Voglio").
Organizzazione del processo educativo nella fase I.
Ciao! Sono felice di vedervi tutti a lezione di matematica. Spero sia reciproco.
Ragazzi, quali nuove conoscenze avete acquisito nell'ultima lezione? (Dividi le frazioni).
Giusto. Cosa ti aiuta a dividere le frazioni? (Regola, proprietà).
Dove abbiamo bisogno di questa conoscenza? (In esempi, equazioni, compiti).
Ben fatto! Hai fatto bene nell'ultima lezione. Ti piacerebbe scoprire tu stesso nuove conoscenze oggi? (SÌ).
Allora vai! E il motto della lezione è l'affermazione “La matematica non si impara guardando come la fa il tuo vicino!”.
II. Attualizzazione della conoscenza e fissazione di una difficoltà individuale in un'azione processuale.
Scopo della tappa:
- Organizzare l'attualizzazione dei metodi di azione studiati, sufficienti per costruire nuove conoscenze. Correggi questi metodi verbalmente (nel discorso) e simbolicamente (standard) e generalizzali;
- Organizzare l'attualizzazione delle operazioni mentali e processo cognitivo, sufficienti per costruire nuove conoscenze;
- Motivare un'azione processuale e la sua attuazione e giustificazione indipendenti;
- Presentare un compito individuale per un'azione di prova e analizzarlo per identificare nuovi contenuti educativi;
- Organizzare la fissazione dell'obiettivo educativo e l'argomento della lezione;
- Organizzare l'attuazione di un'azione di prova e risolvere la difficoltà;
- Organizzare un'analisi delle risposte ricevute e registrare le difficoltà individuali nel compiere un'azione processuale o giustificarla.
Organizzazione del processo educativo nella fase II.
Frontalmente, utilizzando tablet (schede individuali).
1. Confronta le espressioni:
(Queste espressioni sono uguali)
Quali cose interessanti hai notato? (Il numeratore e il denominatore del dividendo, il numeratore e il denominatore del divisore in ciascuna espressione sono aumentati dello stesso numero di volte. Pertanto, i dividendi e i divisori nelle espressioni sono rappresentati da frazioni uguali tra loro).
Trova il significato dell'espressione e scrivilo sulla tavoletta. (2)
Come scrivere questo numero come frazione?
Come hai eseguito l'azione di divisione? (I bambini pronunciano la regola, l'insegnante appende le lettere alla lavagna)
2. Calcola e registra solo i risultati:
3. Somma i tuoi risultati e scrivi la tua risposta. (2)
Qual è il nome del numero ottenuto nell'attività 3? (Naturale)
Pensi di poter dividere una frazione per un numero naturale? (Sì, ci proveremo)
Prova questo.
4. Compito individuale (di prova).
Fai la divisione: (solo esempio a)
Che regola hai usato per dividere? (Secondo la regola di dividere una frazione per una frazione)
Ora dividi la frazione per un numero naturale in modo semplice, senza eseguire l'intera catena di calcoli: (esempio b). Ti do 3 secondi per questo.
Chi non è riuscito a completare l'attività in 3 secondi?
Chi lo ha fatto? (Non ce ne sono)
Perché? (Non sappiamo la strada)
Cosa hai preso? (Difficoltà)
Cosa pensi che faremo in classe? (Dividi frazioni per numeri naturali)
Esatto, apri i tuoi quaderni e scrivi l'argomento della lezione "Divisione di una frazione per un numero naturale".
Perché questo argomento suona nuovo quando sai già come dividere le frazioni? (Ho bisogno di un nuovo modo)
Giusto. Oggi stabiliremo una tecnica che semplifica la divisione di una frazione per un numero naturale.
III. Individuazione del luogo e causa della difficoltà.
Scopo della tappa:
- Organizzare il ripristino delle operazioni completate e fissare (verbale e simbolico) il luogo - passaggio, operazione, in cui è sorta la difficoltà;
- Organizzare la correlazione delle azioni degli studenti con il metodo (algoritmo) utilizzato e la fissazione nel discorso esterno della causa della difficoltà - quelle conoscenze, abilità o abilità specifiche che non sono sufficienti per risolvere il problema iniziale di questo tipo.
Organizzazione del processo educativo nella fase III.
Quale compito hai dovuto completare? (Dividi una frazione per un numero naturale senza fare l'intera catena di calcoli)
Cosa ti ha creato difficoltà? (Non potevo decidere per poco tempo modo veloce)
Qual è lo scopo della nostra lezione? (Trovare modo veloce dividendo una frazione per un numero naturale)
Cosa ti aiuterà? (Regola già nota per dividere le frazioni)
IV. Costruzione del progetto di un'uscita dalla difficoltà.
Scopo della tappa:
- Chiarimento dello scopo del progetto;
- Scelta del metodo (chiarimento);
- Definizione dei fondi (algoritmo);
- Costruire un piano per raggiungere l'obiettivo.
Organizzazione del processo educativo nella fase IV.
Torniamo al banco di prova. Hai detto che hai diviso per la regola della divisione delle frazioni? (SÌ)
Per fare ciò, sostituire un numero naturale con una frazione? (SÌ)
Quale/i passaggio/i pensi di poter saltare?
(La catena di soluzioni è aperta sul tabellone: 
Analizza e trai una conclusione. (Passo 1)
Se non c'è risposta, riassumiamo attraverso le domande:
Dov'è finito il divisore naturale? (al denominatore)
Il numeratore è cambiato? (NO)
Quindi quale passaggio può essere "omesso"? (Passo 1)
Piano d'azione:
- Moltiplica il denominatore di una frazione per un numero naturale.
- Il numeratore non cambia.
- Otteniamo una nuova frazione.
V. Realizzazione del progetto realizzato.
Scopo della tappa:
- Organizzare l'interazione comunicativa al fine di attuare il progetto costruito finalizzato all'acquisizione delle conoscenze mancanti;
- Organizzare la fissazione del metodo di azione costruito nel linguaggio e nei segni (con l'aiuto di uno standard);
- Organizzare la soluzione del problema originario e registrare il superamento della difficoltà;
- Organizzare un chiarimento della natura generale della nuova conoscenza.
Organizzazione del processo educativo nella fase V.
Ora esegui rapidamente il test case nel nuovo modo.
Sei in grado di completare rapidamente l'attività ora? (SÌ)
Spiega come hai fatto? (I bambini parlano)
Ciò significa che abbiamo ricevuto nuove conoscenze: la regola per dividere una frazione per un numero naturale.
Ben fatto! Ditelo in coppia.
Quindi uno studente parla alla classe. Fissiamo l'algoritmo della regola verbalmente e sotto forma di uno standard sulla lavagna.
Ora inserisci le designazioni delle lettere e scrivi la formula per la nostra regola.
Lo studente scrive alla lavagna, pronunciando la regola: quando dividi una frazione per un numero naturale, puoi moltiplicare il denominatore per questo numero e lasciare lo stesso numeratore.
(Tutti scrivono la formula sui quaderni).
E ora analizza ancora una volta la catena di risoluzione del compito di prova, prestando particolare attenzione alla risposta. Cosa hanno fatto? (Il numeratore della frazione 15 è stato diviso (ridotto) per il numero 3)
Qual è il numero? (Naturale, divisore)
Quindi, in quale altro modo puoi dividere una frazione per un numero naturale? (Controlla: se il numeratore di una frazione è divisibile per questo numero naturale, puoi dividere il numeratore per questo numero, scrivere il risultato nel numeratore della nuova frazione e lasciare lo stesso denominatore)
Scrivi questo metodo sotto forma di formula. (Lo studente scrive la regola alla lavagna. Tutti scrivono la formula sui quaderni.)
Torniamo al primo metodo. Può essere utilizzato se a:n? (Sì modo generale)
E quando è conveniente usare il secondo metodo? (Quando il numeratore di una frazione è divisibile per un numero naturale senza resto)
VI. Consolidamento primario con pronuncia nel discorso esterno.
Scopo della tappa:
- Organizzare l'assimilazione da parte dei bambini di un nuovo metodo di azione nella risoluzione di problemi tipici con la loro pronuncia nel discorso esterno (frontalmente, in coppia o in gruppo).
Organizzazione del processo educativo nella fase VI.
Calcola in un modo nuovo:
- N. 363 (a; d) - esibirsi alla lavagna, pronunciando la regola.
- N. 363 (d; f) - in coppia con un controllo sul campione.
VII. Lavoro indipendente con autotest secondo lo standard.
Scopo della tappa:
- Organizzare l'adempimento autonomo dei compiti da parte degli studenti per una nuova modalità di azione;
- Organizzare l'autotest basato sul confronto con lo standard;
- Sulla base dei risultati del lavoro indipendente, organizzare una riflessione sull'assimilazione di un nuovo modo di agire.
Organizzazione del processo educativo nella fase VII.
Calcola in un modo nuovo:
- N. 363 (b; c)
Gli studenti controllano lo standard, notano la correttezza della performance. Le cause degli errori vengono analizzate e gli errori vengono corretti.
L'insegnante chiede a quegli studenti che hanno commesso errori, qual è il motivo?
In questa fase, è importante che ogni studente controlli autonomamente il proprio lavoro.
VIII. Inclusione nel sistema della conoscenza e della ripetizione.
Scopo della tappa:
- Organizzare l'identificazione dei confini dell'applicazione di nuove conoscenze;
- Organizzare la ripetizione dei contenuti educativi necessari per garantire una continuità significativa.
Organizzazione del processo educativo nella fase VIII.
Organizzazione del processo educativo nella fase IX.
1. Dialogo:
Ragazzi, quali nuove conoscenze avete scoperto oggi? (Abbiamo imparato a dividere una frazione per un numero naturale in modo semplice)
Formulare un modo generale. (Dicono)
In che modo e in quali casi puoi ancora usarlo? (Dicono)
Qual è il vantaggio del nuovo metodo?
Abbiamo raggiunto l'obiettivo della lezione? (SÌ)
Quali conoscenze hai utilizzato per raggiungere l'obiettivo? (Dicono)
Ci sei riuscito?
Quali sono state le difficoltà?
2. Compiti a casa: clausola 3.2.4.; N. 365 (l, n, o, p); N. 370.
3. Insegnante: Sono contento che oggi tutti siano stati attivi, riuscendo a trovare una via d'uscita dalla difficoltà. E, cosa più importante, non erano vicini quando ne è stato aperto e consolidato uno nuovo. Grazie per la lezione ragazzi!
L'ultima volta abbiamo imparato ad aggiungere e sottrarre frazioni (vedi la lezione "Addizione e sottrazione di frazioni"). Il momento più difficile in quelle azioni è stato portare le frazioni a un comune denominatore.
Ora è il momento di affrontare la moltiplicazione e la divisione. La buona notizia è che queste operazioni sono ancora più facili dell'addizione e della sottrazione. Per cominciare, considera il caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera distinta.
Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.
Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda "invertita".
Designazione:
Dalla definizione segue che la divisione delle frazioni si riduce alla moltiplicazione. Per capovolgere una frazione, basta scambiare il numeratore e il denominatore. Pertanto, l'intera lezione considereremo principalmente la moltiplicazione.
Come risultato della moltiplicazione, può sorgere una frazione ridotta (e spesso si verifica) - ovviamente, deve essere ridotta. Se, dopo tutte le riduzioni, la frazione risultasse errata, in essa si dovrebbe distinguere l'intera parte. Ma ciò che esattamente non accadrà con la moltiplicazione è la riduzione a un comune denominatore: niente metodi incrociati, massimi fattori e minimi comuni multipli.
Per definizione abbiamo:
Moltiplicazione di frazioni con parte intera e frazioni negative
Se c'è una parte intera nelle frazioni, devono essere convertite in improprie e solo successivamente moltiplicate secondo gli schemi sopra descritti.
Se c'è un meno nel numeratore di una frazione, nel denominatore o davanti ad esso, può essere tolto dai limiti della moltiplicazione o rimosso del tutto secondo le seguenti regole:
- Più volte meno dà meno;
- Due negativi fanno un affermativo.
Fino ad ora, queste regole sono state riscontrate solo durante l'aggiunta e la sottrazione di frazioni negative, quando era necessario eliminare l'intera parte. Per un prodotto, possono essere generalizzati per "bruciare" più svantaggi contemporaneamente:
- Eliminiamo gli svantaggi a coppie fino a quando non scompaiono completamente. In un caso estremo, può sopravvivere un meno: quello che non ha trovato corrispondenza;
- Se non sono rimasti svantaggi, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non viene cancellato, poiché non ha trovato una coppia, lo togliamo dai limiti della moltiplicazione. Ottieni una frazione negativa.
Compito. Trova il valore dell'espressione:
Traduciamo tutte le frazioni in improprie, quindi eliminiamo gli svantaggi al di fuori dei limiti della moltiplicazione. Ciò che rimane viene moltiplicato secondo le solite regole. Noi abbiamo:
Permettetemi di ricordarvi ancora una volta che il meno che precede una frazione con una parte intera evidenziata si riferisce specificamente all'intera frazione, e non solo alla sua parte intera (questo vale per gli ultimi due esempi).
Prestare attenzione anche a numeri negativi: Quando vengono moltiplicati, vengono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare gli svantaggi dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.
Ridurre le frazioni al volo
La moltiplicazione è un'operazione molto laboriosa. I numeri qui sono piuttosto grandi e, per semplificare l'attività, puoi provare a ridurre ulteriormente la frazione prima della moltiplicazione. In effetti, in sostanza, i numeratori ei denominatori delle frazioni sono fattori ordinari e, pertanto, possono essere ridotti utilizzando la proprietà di base di una frazione. Dai un'occhiata agli esempi:
Compito. Trova il valore dell'espressione:
Per definizione abbiamo:
In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne rimane sono contrassegnati in rosso.
Nota: nel primo caso, i moltiplicatori sono stati completamente ridotti. Le unità sono rimaste al loro posto, che, in generale, possono essere omesse. Nel secondo esempio, non è stato possibile ottenere una riduzione completa, ma l'importo totale dei calcoli è comunque diminuito.
Tuttavia, in nessun caso non utilizzare questa tecnica durante l'aggiunta e la sottrazione di frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi solo ridurre. Ecco, guarda:
Non puoi farlo!
L'errore si verifica a causa del fatto che quando si aggiunge una frazione, la somma appare nel numeratore di una frazione e non nel prodotto dei numeri. Pertanto, è impossibile applicare la proprietà principale di una frazione, poiché questa proprietà si occupa specificamente della moltiplicazione dei numeri.
Semplicemente non c'è altro motivo per ridurre le frazioni, quindi la soluzione corretta al problema precedente è la seguente:
Soluzione corretta:
Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, stai attento.
Moltiplicazione e divisione di frazioni.
Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")
Questa operazione è molto più bella dell'addizione-sottrazione! Perché è più facile. Ti ricordo: per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i numeratori (questo sarà il numeratore del risultato) e i denominatori (questo sarà il denominatore). Questo è:
Per esempio:
Tutto è estremamente semplice. E per favore non cercare un comune denominatore! Non ne ho bisogno qui...
Per dividere una frazione per frazione, devi capovolgere secondo(questo è importante!) frazionali e moltiplicali, ad esempio:
Per esempio:
Se viene catturata la moltiplicazione o la divisione con numeri interi e frazioni, va bene. Come con l'addizione, facciamo una frazione da un numero intero con un'unità nel denominatore - e via! Per esempio:
Al liceo, spesso hai a che fare con frazioni di tre piani (o anche di quattro piani!). Per esempio:
Come portare questa frazione a una forma decente? Sì, molto facile! Usa la divisione per due punti:
Ma non dimenticare l'ordine di divisione! A differenza della moltiplicazione, qui è molto importante! Naturalmente, non confonderemo 4:2 o 2:4. Ma in una frazione di tre piani è facile sbagliare. Si prega di notare, ad esempio:
Nel primo caso (espressione a sinistra):
Nella seconda (espressione a destra):
Senti la differenza? 4 e 1/9!
Qual è l'ordine di divisione? O parentesi, o (come qui) la lunghezza dei trattini orizzontali. Sviluppa un occhio. E se non ci sono parentesi o trattini, come:
poi dividi-moltiplica in ordine, da sinistra a destra!
E un altro trucco molto semplice e importante. Nelle azioni con gradi, ti tornerà utile! Dividiamo l'unità per qualsiasi frazione, ad esempio per 13/15:
Il colpo è girato! E succede sempre. Quando si divide 1 per qualsiasi frazione, il risultato è la stessa frazione, solo invertita.
Sono tutte le azioni con le frazioni. La cosa è abbastanza semplice, ma dà errori più che sufficienti. Nota Consiglio pratico, e loro (errori) saranno inferiori!
Suggerimenti pratici:
1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è la precisione e l'attenzione! Non è parole comuni, non auguri! Questa è una grave necessità! Esegui tutti i calcoli sull'esame come un compito a tutti gli effetti, con concentrazione e chiarezza. È meglio scriverne due linee aggiuntive in una bozza che sbagliare quando si calcola nella mente.
2. Negli esempi con tipi diversi frazioni: vai alle frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni allo stop.
4. Multipiano espressioni frazionarie riduciamo a quelli ordinari usando la divisione per due punti (seguiamo l'ordine di divisione!).
5. Dividiamo mentalmente l'unità in una frazione, semplicemente capovolgendo la frazione.
Ecco le attività che devi completare. Le risposte vengono fornite dopo tutte le attività. Utilizzare i materiali di questo argomento e consigli pratici. Stima quanti esempi potresti risolvere correttamente. La prima volta! Senza calcolatrice! E trai le giuste conclusioni...
Ricorda la risposta corretta ottenuto dalla seconda (soprattutto la terza) volta - non conta! Tale è la dura vita.
COSÌ, risolvere in modalità esame ! Questa è la preparazione per l'esame, tra l'altro. Risolviamo un esempio, controlliamo, risolviamo quanto segue. Abbiamo deciso tutto: abbiamo ricontrollato dal primo all'ultimo. Ma solo Poi guarda le risposte.
Calcolare:
Hai deciso?
Alla ricerca di risposte che corrispondano alle tue. Le ho scritte apposta in disordine, lontano dalla tentazione, per così dire... Eccole, le risposte, scritte con un punto e virgola.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
E ora traiamo le conclusioni. Se tutto ha funzionato, felice per te! I calcoli elementari con le frazioni non sono un tuo problema! Puoi fare cose più serie. Altrimenti...
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Per risolvere vari compiti del corso di matematica, la fisica deve dividere le frazioni. Questo è molto facile da fare se conosci alcune regole per eseguire questa operazione matematica.
Prima di passare alla formulazione di una regola su come dividere le frazioni, ricordiamo alcuni termini matematici:
- La parte superiore di una frazione si chiama numeratore e la parte inferiore denominatore.
- Quando si dividono, i numeri vengono chiamati in questo modo: dividendo: divisore \u003d quoziente
Come dividere le frazioni: frazioni semplici
Per dividere due frazioni semplici, moltiplica il dividendo per il reciproco del divisore. Questa frazione è anche chiamata invertita in un altro modo, perché si ottiene scambiando il numeratore e il denominatore. Per esempio:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Come dividere le frazioni: frazioni miste
Se dobbiamo dividere frazioni miste, anche qui tutto è abbastanza semplice e chiaro. Innanzitutto, converti la frazione mista in una frazione impropria ordinaria. Per fare ciò, moltiplichiamo il denominatore di tale frazione per un numero intero e aggiungiamo il numeratore al prodotto risultante. Di conseguenza, abbiamo un nuovo numeratore della frazione mista e il suo denominatore rimarrà invariato. L'ulteriore divisione delle frazioni verrà eseguita allo stesso modo della divisione delle frazioni semplici. Per esempio:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Come dividere una frazione per un numero
Per dividere una frazione semplice per un numero, quest'ultimo va scritto come frazione (improprio). Questo è molto facile da fare: questo numero è scritto al posto del numeratore e del denominatore di tale frazione uguale a uno. L'ulteriore divisione viene eseguita nel solito modo. Vediamolo con un esempio:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Come dividere i decimali
Spesso un adulto ha difficoltà, se necessario, senza l'ausilio di una calcolatrice, a dividere un numero intero o una frazione decimale in una frazione decimale.
Quindi, per dividere le frazioni decimali, devi solo cancellare la virgola nel divisore e smettere di prestarci attenzione. Nel divisibile, la virgola deve essere spostata a destra esattamente di tanti caratteri quanti erano nella parte frazionaria del divisore, aggiungendo zeri se necessario. E continuare a produrre divisione ordinaria a un numero intero. Per chiarire meglio, prendiamo il seguente esempio.