Il reciproco del divisore. Numeri reciproci, trovare il reciproco

Contenuto:

I reciproci sono necessari per risolvere tutti i tipi di equazioni algebriche. Ad esempio, se devi dividere un numero frazionario per un altro, moltiplica il primo numero per il reciproco del secondo. Inoltre, i reciproci vengono utilizzati quando si trova l'equazione di una retta.

Passi

1 Trovare il reciproco di una frazione o di un numero intero

1. 1 Trova il reciproco di un numero frazionario capovolgendolo."Numero reciproco" è definito molto semplicemente. Per calcolarlo, calcola semplicemente il valore dell'espressione "1 ÷ (numero originale)." Per un numero frazionario, il reciproco è un altro numero frazionario che può essere calcolato semplicemente "invertendo" la frazione (invertendo numeratore e denominatore).
   • Ad esempio, il reciproco di 3/4 è 4 / 3 .
2. 2 Scrivi il reciproco di un numero intero come frazione. E in questo caso, il reciproco viene calcolato come 1 ÷ (numero originale). Per un numero intero, scrivi il reciproco come frazione, non è necessario calcolarlo e scriverlo come frazione decimale.
   • Ad esempio, il reciproco di 2 è 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Trovare il reciproco di una frazione mista

1. 1 Che è successo " frazione mista". Una frazione mista è un numero scritto come numero intero e frazione semplice, ad esempio 2 4 / 5. Trovare il reciproco di una frazione mista avviene in due passaggi, descritti di seguito.
2. 2 Scrivi la frazione mista come frazione impropria. Naturalmente, ricordi che l'unità può essere scritta come (numero) / (stesso numero) e le frazioni con stessi denominatori(il numero sotto la riga) possono essere sommati tra loro. Ecco come si può fare per la frazione 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Capovolgi la frazione. Quando una frazione mista viene scritta come frazione impropria, possiamo facilmente trovare il reciproco scambiando semplicemente numeratore e denominatore.
   • Per l'esempio precedente, il reciproco sarebbe 14/5 - 5 / 14 .

3 Trovare il reciproco di un decimale

1. 1 Se possibile, esprimi il decimale come frazione. Devi sapere che molti decimali possono essere facilmente convertiti in frazioni semplici. Ad esempio, 0,5 = 1/2 e 0,25 = 1/4. Quando scrivi un numero come frazione semplice, puoi facilmente trovare il reciproco semplicemente capovolgendo la frazione.
   • Ad esempio, il reciproco di 0,5 è 2/1 = 2.
2. 2 Risolvi il problema usando la divisione. Se non riesci a scrivere un decimale come frazione, calcola il reciproco risolvendo il problema dividendo: 1 ÷ (decimale). Puoi utilizzare una calcolatrice per risolverlo o saltare al passaggio successivo se desideri calcolare il valore manualmente.
   • Ad esempio, il reciproco di 0,4 viene calcolato come 1 ÷ 0,4.
3. 3 Modificare l'espressione in modo che funzioni con numeri interi. Il primo passo nella divisione decimale è spostare il punto posizionale fino a quando tutti i numeri nell'espressione sono numeri interi. Poiché sposti la virgola posizionale dello stesso numero di posizioni sia nel dividendo che nel divisore, ottieni la risposta corretta.
4. 4 Ad esempio, prendi l'espressione 1 ÷ 0,4 e scrivila come 10 ÷ 4. In questo caso, hai spostato la virgola di una posizione a destra, il che equivale a moltiplicare ogni numero per dieci.
5. 5 Risolvi il problema dividendo i numeri per una colonna. Usando la divisione per colonna, puoi calcolare il reciproco di un numero. Se dividi 10 per 4, dovresti ottenere 2,5, che è il reciproco di 0,4.

• Il valore di un reciproco negativo sarà il reciproco del numero moltiplicato per -1. Ad esempio, il reciproco negativo di 3/4 è -4/3.
• Il reciproco di un numero è talvolta indicato come "reciproco" o "reciproco".
• Il numero 1 è il proprio reciproco perché 1 ÷ 1 = 1.
• Zero non ha reciproco perché l'espressione 1 ÷ 0 non ha soluzioni.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

Numero reciproco(reciproco, reciproco) a un dato numero Xè il numero la cui moltiplicazione per X, ne dà uno. Voce accettata: $\backslash frac(1)x$ O $x^(-1)$. Vengono chiamati due numeri il cui prodotto è uguale a uno mutuamente inverso. Il reciproco di un numero non va confuso con il reciproco di una funzione. Per esempio, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ diverso dal valore della funzione coseno inversa - arcocoseno, che è indicato $\backslash cos^(-1)x$ O $\backslash archi\; x$.

Inverso al numero reale

Forme numeriche complesse	Numero $(z)$	Inversione $\backslash sinistra\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash destra)$
Algebrico	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometrico	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Dimostrazione	$re^(io\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Prova:
Per le forme algebriche e trigonometriche, usiamo la proprietà di base di una frazione, moltiplicando il numeratore e il denominatore per il complesso coniugato:

• Forma algebrica:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Forma trigonometrica:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Forma indicativa:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Pertanto, quando si trova l'inverso di un numero complesso, è più conveniente utilizzare la sua forma esponenziale.

Esempio:

Forme numeriche complesse	Numero $(z)$	Inversione $\backslash sinistra\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash destra)$
Algebrico	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometrico	$2\; \backslash sinistra\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash destra)$ O $2\; \backslash sinistra\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash destra)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ O $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Dimostrazione	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inverso all'unità immaginaria

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Quindi, otteniamo

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ O__ $io^(-1)=-io$

Allo stesso modo per $-io$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ O __ $-i^(-1)=io$

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Appunti

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Un estratto che caratterizza il numero reciproco

Così dicono le storie, e tutto questo è del tutto ingiusto, come si convincerà facilmente chiunque voglia approfondire l'essenza della questione.
I russi non cercavano una posizione migliore; ma, al contrario, nella loro ritirata superarono molte posizioni migliori di Borodino. Non si sono fermati a nessuna di queste posizioni: sia perché Kutuzov non voleva accettare una posizione che non era stata scelta da lui, sia perché la richiesta di una battaglia popolare non era stata ancora espressa con sufficiente forza, sia perché Miloradovich non si era ancora avvicinato con la milizia, e anche per altri motivi che sono innumerevoli. Il fatto è che le precedenti posizioni erano più forti e che la posizione di Borodino (quella su cui è stata data la battaglia) non solo non è forte, ma per qualche motivo non è affatto una posizione più di qualsiasi altro posto in Impero russo, che, indovinando, indicherebbe con uno spillo sulla mappa.
I russi non solo non fortificarono la posizione del campo di Borodino a sinistra ad angolo retto rispetto alla strada (cioè il luogo dove si svolse la battaglia), ma mai prima del 25 agosto 1812 pensarono che la battaglia potesse avvenire in questo luogo. Ciò è dimostrato, in primo luogo, dal fatto che non solo il 25 non c'erano fortificazioni in questo luogo, ma che, iniziate il 25, non furono completate il 26; in secondo luogo, la posizione della ridotta Shevardinsky serve da prova: la ridotta Shevardinsky, di fronte alla posizione su cui è stata presa la battaglia, non ha alcun senso. Perché questa ridotta fortificata era più forte di tutti gli altri punti? E perché, difendendolo il 24 fino a tarda notte, tutti gli sforzi sono stati esauriti e seimila persone perse? Per osservare il nemico bastava una pattuglia cosacca. In terzo luogo, la prova che la posizione su cui si svolse la battaglia non era prevista e che la ridotta Shevardinsky non era il punto avanzato di questa posizione è il fatto che Barclay de Tolly e Bagration fino al 25 erano convinti che la ridotta Shevardinsky fosse la sinistra fianco della posizione e che lo stesso Kutuzov, nel suo rapporto, scritto frettolosamente dopo la battaglia, chiama la ridotta Shevardinsky il fianco sinistro della posizione. Molto più tardi, quando i resoconti sulla battaglia di Borodino furono scritti apertamente, fu (probabilmente per giustificare gli errori del comandante in capo, che doveva essere infallibile) che fu inventata una testimonianza ingiusta e strana che la ridotta Shevardinsky serviva da postazione avanzata (mentre era solo un punto fortificato del fianco sinistro) e come se la battaglia di Borodino fosse da noi accettata in posizione fortificata e prescelta, mentre si svolgeva in un luogo del tutto inatteso e quasi non fortificato.
Il caso, ovviamente, era così: la posizione è stata scelta lungo il fiume Kolocha, che attraversa la strada principale non in linea retta, ma ad angolo acuto, in modo che il fianco sinistro fosse a Shevardin, il fianco destro fosse vicino al villaggio di Novy e il centro era a Borodino, alla confluenza dei fiumi Kolocha e Vo. yn. Questa posizione, sotto la copertura del fiume Kolocha, per l'esercito, il cui obiettivo è impedire al nemico di muoversi lungo la strada Smolensk verso Mosca, è evidente a chiunque guardi il campo di Borodino, dimenticando come si svolse la battaglia.
Napoleone, partito per Valuev il 24, non vide (come dicono le storie) la posizione dei russi da Utitsa a Borodin (non poteva vedere questa posizione, perché non c'era) e non vide la postazione avanzata di l'esercito russo, ma inciampò nell'inseguimento della retroguardia russa sul fianco sinistro della posizione dei russi, sulla ridotta Shevardinsky, e inaspettatamente per i russi trasferirono truppe attraverso Kolocha. E i russi, non avendo il tempo di entrare in una battaglia generale, si ritirarono con la loro ala sinistra dalla posizione che intendevano prendere, e presero una nuova posizione, non prevista e non fortificata. Andando a lato sinistro Kolochi, a sinistra della strada, Napoleone spostò l'intera futura battaglia da destra a sinistra (dalla parte dei russi) e la trasferì nel campo tra Utitsa, Semenovsky e Borodin (in questo campo, che non ha nulla di più vantaggioso per la posizione rispetto a qualsiasi altro campo in Russia), e su questo campo si svolse l'intera battaglia il 26. In forma approssimativa, il piano per la battaglia proposta e la battaglia che ha avuto luogo sarà il seguente:

Se Napoleone non fosse partito la sera del 24 per Kolocha e non avesse ordinato di attaccare la ridotta immediatamente la sera, ma avesse iniziato l'attacco il giorno successivo al mattino, allora nessuno avrebbe dubitato che la ridotta di Shevardinsky fosse il fianco sinistro della nostra posizione; e la battaglia si sarebbe svolta come ci aspettavamo. In tal caso, probabilmente avremmo difeso ancora più ostinatamente la ridotta Shevardino, il nostro fianco sinistro; avrebbero attaccato Napoleone al centro oa destra, e il 24 ci sarebbe stata una battaglia generale nella posizione fortificata e prevista. Ma poiché l'attacco al nostro fianco sinistro è avvenuto di sera, in seguito alla ritirata della nostra retroguardia, cioè subito dopo la battaglia di Gridneva, e poiché i capi militari russi non hanno voluto o non hanno avuto il tempo di iniziare una battaglia generale la sera del 24, la prima e principale azione di Borodinsky la battaglia fu persa il 24 e, ovviamente, portò alla perdita di quella data il 26.
Dopo la perdita della ridotta Shevardinsky, la mattina del 25 ci siamo ritrovati senza una posizione sul fianco sinistro e siamo stati costretti a piegare indietro la nostra ala sinistra e rafforzarla frettolosamente ovunque.
Ma non solo il 26 agosto le truppe russe si trovavano solo sotto la protezione di fortificazioni deboli e incompiute, lo svantaggio di questa situazione era ulteriormente accresciuto dal fatto che i capi militari russi, non riconoscendo un fatto completamente compiuto (la perdita di una posizione sul fianco sinistro e il trasferimento dell'intero futuro campo di battaglia da destra a sinistra ), rimasero nella loro posizione allungata dal villaggio di Novy a Utitsa e, di conseguenza, dovettero spostare le loro truppe da destra a sinistra durante la battaglia. Così, durante l'intera battaglia, i russi avevano il doppio delle forze più deboli contro l'intero esercito francese, diretto contro la nostra ala sinistra. (Le azioni di Poniatowski contro Utitsa e Uvarov sul fianco destro dei francesi costituivano azioni separate dal corso della battaglia.)
Quindi, la battaglia di Borodino non è avvenuta affatto come (cercando di nascondere gli errori dei nostri capi militari e, di conseguenza, sminuendo la gloria dell'esercito e del popolo russo) la descrivono. La battaglia di Borodino non ebbe luogo su una posizione scelta e fortificata con solo le forze più deboli da parte dei russi, e la battaglia di Borodino, a causa della perdita della ridotta Shevardino, fu presa dai russi in modo aperto, area quasi non fortificata con il doppio delle forze più deboli contro i francesi, cioè in tali condizioni, in cui non solo era impensabile combattere per dieci ore e rendere indecisa la battaglia, ma era impensabile impedire all'esercito di sconfiggere e fuggire completamente per tre ore.

Il 25 al mattino Pierre lasciò Mozhaisk. Durante la discesa dall'enorme montagna ripida e storta che porta fuori città, oltre la cattedrale in piedi sulla montagna a destra, in cui c'era un servizio e il vangelo, Pierre scese dalla carrozza e andò a piedi. Dietro di lui discese sulla montagna una specie di reggimento di cavalleria con peselnik davanti. Un treno di carri con i feriti nell'atto di ieri stava salendo verso di lui. I conducenti contadini, gridando ai cavalli e frustandoli con le fruste, correvano da una parte all'altra. I carri, sui quali giacevano e sedevano tre e quattro soldati feriti, saltavano sulle pietre lanciate a forma di marciapiede su un ripido pendio. I feriti, fasciati di stracci, pallidi, con le labbra increspate e le sopracciglia accigliate, aggrappati ai letti, saltavano e si urtavano nei carri. Tutti guardavano con curiosità infantile quasi ingenua il cappello bianco e il frac verde di Pierre.

Diamo una definizione e forniamo esempi di numeri reciproci. Considera come trovare il reciproco di un numero naturale e il reciproco di una frazione ordinaria. Inoltre, annotiamo e dimostriamo una disuguaglianza che riflette la proprietà della somma dei numeri reciproci.

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Numeri reciproci. Definizione

Definizione. Numeri reciproci

I numeri reciproci sono quei numeri il cui prodotto dà uno.

Se a · b = 1 , allora possiamo dire che il numero a è il reciproco del numero b , così come il numero b è il reciproco del numero a .

L'esempio più semplice di numeri reciproci è due uno. Infatti, 1 1 = 1, quindi a = 1 e b = 1 sono numeri mutuamente inversi. Un altro esempio sono i numeri 3 e 1 3 , - 2 3 e - 3 2 , 6 13 e 13 6 , log 3 17 e log 17 3 . Il prodotto di qualsiasi coppia dei numeri di cui sopra è uguale a uno. Se questa condizione non è soddisfatta, come ad esempio con i numeri 2 e 2 3 , allora i numeri non sono tra loro inversi.

La definizione di numeri reciproci è valida per qualsiasi numero: naturale, intero, reale e complesso.

Come trovare il reciproco di un dato numero

Consideriamo il caso generale. Se il numero originale è uguale a a , il suo numero reciproco sarà scritto come 1 a o a - 1 . Infatti, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Per i numeri naturali e frazioni ordinarie trovare il reciproco è abbastanza facile. Si potrebbe anche dire che è ovvio. Nel caso di trovare un numero che è l'inverso di un numero irrazionale o complesso, sarà necessario effettuare una serie di calcoli.

Considera i casi più comuni nella pratica di trovare il reciproco.

Il reciproco di una frazione comune

Ovviamente, il reciproco della frazione comune a b è la frazione b a . Quindi, per trovare il reciproco di una frazione, devi solo invertire la frazione. Cioè, scambia il numeratore e il denominatore.

Secondo questa regola, puoi scrivere quasi immediatamente il reciproco di qualsiasi frazione ordinaria. Quindi, per la frazione 28 57, il reciproco sarà la frazione 57 28, e per la frazione 789 256 - il numero 256 789.

Il reciproco di un numero naturale

Puoi trovare il reciproco di qualsiasi numero naturale allo stesso modo del reciproco di una frazione. È sufficiente rappresentare un numero naturale a come una frazione ordinaria a 1 . Allora il suo reciproco sarà 1 a . Per il numero naturale 3, il suo reciproco è 1 3 , per il numero 666 il reciproco è 1 666 , e così via.

Particolare attenzione dovrebbe essere prestata all'unità, poiché lo è singolare, il cui reciproco è uguale a se stesso.

Non ci sono altre coppie di numeri reciproci in cui entrambi i componenti sono uguali.

Il reciproco di un numero misto

Il numero misto è della forma a b c . Per trovare il suo reciproco, devi presentare il numero misto nel seme di una frazione impropria e scegliere il reciproco per la frazione risultante.

Ad esempio, troviamo il reciproco di 7 2 5 . Innanzitutto, rappresentiamo 7 2 5 come una frazione impropria: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Per la frazione impropria 37 5 il reciproco è 5 37 .

Il reciproco di un decimale

Una frazione decimale può anche essere rappresentata come una frazione comune. Trovare il reciproco di una frazione decimale di un numero si riduce a rappresentare la frazione decimale come frazione comune e trovarne il reciproco.

Ad esempio, c'è una frazione 5, 128. Troviamo il suo reciproco. Innanzitutto, convertiamo il decimale in una frazione comune: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Per la frazione risultante, il reciproco sarà la frazione 125641.

Consideriamo un altro esempio.

Esempio. Trovare il reciproco di un decimale

Trova il reciproco della frazione decimale periodica 2 , (18) .

Converti decimale in ordinario:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Dopo la traduzione, possiamo facilmente scrivere il reciproco della frazione 24 11. Questo numero sarà ovviamente 11 24 .

Per una frazione decimale infinita e non ripetitiva, il reciproco è scritto come una frazione con un'unità al numeratore e la frazione stessa al denominatore. Ad esempio, per la frazione infinita 3 , 6025635789 . . . il reciproco sarà 1 3 , 6025635789 . . . .

Allo stesso modo, per i numeri irrazionali corrispondenti a frazioni infinite non periodiche, i reciproci sono scritti come espressioni frazionarie.

Ad esempio, il reciproco di π + 3 3 80 è 80 π + 3 3 , e il reciproco di 8 + e 2 + e è 1 8 + e 2 + e.

Numeri reciproci con radici

Se la forma di due numeri è diversa da a e 1 a , allora non è sempre facile determinare se i numeri sono reciprocamente inversi. Ciò è particolarmente vero per i numeri che hanno un segno di radice nella loro notazione, poiché di solito è consuetudine eliminare la radice nel denominatore.

Passiamo alla pratica.

Rispondiamo alla domanda: i numeri 4 - 2 3 e 1 + 3 2 sono reciproci.

Per scoprire se i numeri sono reciprocamente inversi, calcoliamo il loro prodotto.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Il prodotto è uguale a uno, il che significa che i numeri sono reciprocamente inversi.

Consideriamo un altro esempio.

Esempio. Numeri reciproci con radici

Scrivi il reciproco di 5 3 + 1 .

Puoi subito scrivere che il reciproco è uguale alla frazione 1 5 3 + 1. Tuttavia, come abbiamo già detto, è consuetudine eliminare la radice nel denominatore. Per fare ciò, moltiplica il numeratore e il denominatore per 25 3 - 5 3 + 1 . Noi abbiamo:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Numeri reciproci con potenze

Supponiamo che esista un numero uguale a una potenza del numero a . In altre parole, il numero a elevato alla potenza n. Il reciproco di an è a - n . Controlliamolo. Infatti: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Esempio. Numeri reciproci con potenze

Trova il reciproco di 5 - 3 + 4 .

In base a quanto sopra, il numero desiderato è 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Reciproci con logaritmi

Per il logaritmo del numero a in base b, il reciproco è il numero, uguale al logaritmo numeri b in base a .

log a b e log b a sono numeri mutuamente reciproci.

Controlliamolo. Dalle proprietà del logaritmo segue che log a b = 1 log b a , che significa log a b · log b a .

Esempio. Reciproci con logaritmi

Trova il reciproco del log 3 5 - 2 3 .

Il reciproco del logaritmo di 3 in base 3 5 - 2 è il logaritmo di 3 5 - 2 in base 3.

Il reciproco di un numero complesso

Come notato in precedenza, la definizione di numeri reciproci è valida non solo per i numeri reali, ma anche per quelli complessi.

Di solito i numeri complessi sono rappresentati in forma algebrica z = x + io e . Il reciproco di questo sarà una frazione

1 x + io e . Per comodità, questa espressione può essere abbreviata moltiplicando il numeratore e il denominatore per x - i y .

Esempio. Il reciproco di un numero complesso

Sia un numero complesso z = 4 + i . Troviamo il suo reciproco.

Il reciproco di z = 4 + i sarà uguale a 1 4 + i .

Moltiplica il numeratore e il denominatore per 4 - i e ottieni:

1 4 + io \u003d 4 - io 4 + io 4 - io \u003d 4 - io 4 2 - io 2 \u003d 4 - io 16 - (- 1) \u003d 4 - io 17.

Oltre alla sua forma algebrica, un numero complesso può essere rappresentato in forma trigonometrica o esponenziale come segue:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e io φ

Di conseguenza, il numero reciproco sarà simile a:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Assicuriamoci di questo:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e io φ 1 r e io (- φ) = r r e 0 = 1

Considera esempi con rappresentazione numeri complessi in forma trigonometrica ed esponenziale.

Trova l'inverso di 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Considerando che r = 2 3 , φ = π 6 , scriviamo il numero reciproco

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Esempio. Trova il reciproco di un numero complesso

Qual è l'inverso di 2 · e i · - 2 π 5 .

Risposta: 1 2 e i 2 π 5

La somma dei numeri reciproci. Disuguaglianza

C'è un teorema sulla somma di due numeri reciproci.

Somma di numeri mutuamente reciproci

La somma di due numeri positivi e reciproci è sempre maggiore o uguale a 2.

Presentiamo la dimostrazione del teorema. Come è noto, per qualsiasi numeri positivi a e b la media aritmetica è maggiore o uguale alla media geometrica. Questo può essere scritto come una disuguaglianza:

a + b 2 ≥ a b

Se invece del numero b prendiamo l'inverso di a , la disuguaglianza assume la forma:

un + 1 un 2 ≥ un 1 un un + 1 un ≥ 2

Q.E.D.

Facciamo un esempio pratico che illustri questa proprietà.

Esempio. Trova la somma dei numeri reciproci

Calcoliamo la somma dei numeri 2 3 e il suo reciproco.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Come dice il teorema, il numero risultante è maggiore di due.

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Viene chiamata una coppia di numeri il cui prodotto è uguale a uno mutuamente inverso.

Esempi: 5 e 1/5, -6/7 e -7/6 e

Per ogni numero a diverso da zero, c'è un inverso 1/a.

Il reciproco di zero è infinito.

Frazioni inverse- queste sono due frazioni, il cui prodotto è 1. Ad esempio, 3/7 e 7/3; 5/8 e 8/5 ecc.

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Fondazione Wikimedia. 2010 .

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I numeri inversi - o reciproci - sono chiamati una coppia di numeri che, moltiplicati, danno 1. Di per sé vista generale i numeri sono invertiti. Un caso speciale caratteristico di numeri reciproci è una coppia. Gli inversi sono, diciamo, i numeri; .

Come trovare il reciproco

Regola: devi dividere 1 (uno) per il numero indicato.

Esempio 1.

Viene dato il numero 8. Il suo inverso è 1:8 o (la seconda opzione è preferibile, perché tale notazione è matematicamente più corretta).

Quando si cerca il reciproco di una frazione ordinaria, dividerlo per 1 non è molto conveniente, perché la registrazione diventa ingombrante. In questo caso è molto più semplice fare diversamente: la frazione viene semplicemente capovolta, scambiando numeratore e denominatore. Se viene data una frazione corretta, dopo averla capovolta si ottiene una frazione impropria, ad es. uno da cui si può estrarre un'intera parte. Per farlo o meno, devi decidere caso per caso. Quindi, se poi devi eseguire alcune azioni con la frazione invertita risultante (ad esempio, moltiplicazione o divisione), non dovresti selezionare l'intera parte. Se la frazione risultante è il risultato finale, forse è auspicabile la selezione della parte intera.

Esempio #2.

Data una frazione. Inverti ad esso:.

Se vuoi trovare il reciproco di una frazione decimale, allora dovresti usare la prima regola (dividendo 1 per un numero). In questa situazione, puoi agire in uno dei 2 modi. Il primo è dividere semplicemente 1 per questo numero in una colonna. Il secondo è formare una frazione da 1 al numeratore e un decimale al denominatore, quindi moltiplicare il numeratore e il denominatore per 10, 100 o un altro numero composto da 1 e tanti zeri quanti sono necessari per eliminare la virgola al denominatore. Il risultato sarà una frazione ordinaria, che è il risultato. Se necessario, potrebbe essere necessario accorciarlo, estrarne una parte intera o convertirlo in forma decimale.

Esempio #3.

Il numero dato è 0,82. Il suo reciproco è: . Ora riduciamo la frazione e selezioniamo la parte intera: .

Come verificare se due numeri sono reciproci

Il principio di verifica si basa sulla definizione dei reciproci. Cioè, per assicurarti che i numeri siano inversi tra loro, devi moltiplicarli. Se il risultato è uno, allora i numeri sono reciprocamente inversi.

Esempio numero 4.

Dati i numeri 0,125 e 8. Sono reciproci?

Visita medica. È necessario trovare il prodotto di 0,125 e 8. Per chiarezza, presentiamo questi numeri come frazioni ordinarie: (riduciamo la prima frazione di 125). Conclusione: i numeri 0,125 e 8 sono inversi.

Proprietà dei reciproci

Proprietà #1

Il reciproco esiste per qualsiasi numero diverso da 0.

Questa limitazione è dovuta al fatto che è impossibile dividere per 0 e, quando si determina il reciproco di zero, dovrà solo essere spostato al denominatore, ad es. in realtà dividere per esso.

Proprietà #2

La somma di una coppia di numeri reciproci non è mai minore di 2.

Matematicamente, questa proprietà può essere espressa dalla disuguaglianza: .

Proprietà #3

Moltiplicare un numero per due numeri reciproci equivale a moltiplicare per uno. Esprimiamo matematicamente questa proprietà: .

Esempio numero 5.

Trova il valore dell'espressione: 3.4 0.125 8. Poiché i numeri 0,125 e 8 sono reciproci (vedi esempio n. 4), non è necessario moltiplicare 3,4 per 0,125 e poi per 8. Quindi la risposta qui è 3.4.