§ 87. Addizione di frazioni.
L'addizione di frazioni ha molte somiglianze con l'addizione di numeri interi. L'addizione di frazioni è un'azione consistente nel fatto che diversi numeri (termini) dati vengono combinati in un numero (somma), contenente tutte le unità e le frazioni delle unità dei termini.
Considereremo tre casi in sequenza:
1. Somma di frazioni con stessi denominatori.
2. Addizione di frazioni con denominatori diversi.
3. Addizione di numeri misti.
1. Addizione di frazioni con denominatori simili.
Considera un esempio: 1/5 + 2/5.
Prendiamo il segmento AB (Fig. 17), prendilo come uno e dividiamolo in 5 parti uguali, quindi la parte AC di questo segmento sarà uguale a 1/5 del segmento AB, e la parte dello stesso segmento CD sarà uguale a 2/5 AB.
Dal disegno è chiaro che se prendiamo il segmento AD, sarà uguale a 3/5 AB; ma il segmento AD è proprio la somma dei segmenti AC e CD. Quindi possiamo scrivere:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando questi termini e la somma risultante, vediamo che il numeratore della somma è stato ottenuto sommando i numeratori dei termini, e il denominatore è rimasto invariato.
Da ciò otteniamo la seguente regola: Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
Diamo un'occhiata ad un esempio:
2. Addizione di frazioni con denominatori diversi.
Sommiamo le frazioni: 3 / 4 + 3 / 8 Per prima cosa dobbiamo ridurle al minimo comune denominatore:
Intermedio 6/8 + 3/8 potrebbe non essere stato scritto; lo abbiamo scritto qui per chiarezza.
Pertanto, per sommare frazioni con denominatori diversi, devi prima ridurle al minimo comune denominatore, sommare i loro numeratori ed etichettare il denominatore comune.
Consideriamo un esempio (scriveremo fattori aggiuntivi sopra le frazioni corrispondenti):
3. Addizione di numeri misti.
Sommiamo i numeri: 2 3/8 + 3 5/6.
Portiamo innanzitutto le parti frazionarie dei nostri numeri a un denominatore comune e riscriviamole nuovamente:
Ora aggiungiamo in sequenza le parti intere e frazionarie:
§ 88. Sottrazione di frazioni.
La sottrazione delle frazioni è definita allo stesso modo della sottrazione dei numeri interi. Si tratta di un'azione con l'aiuto della quale, data la somma di due termini e uno di essi, si trova un altro termine. Consideriamo in successione tre casi:
1. Sottrarre frazioni con denominatori simili.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
3. Sottrazione di numeri misti.
1. Sottrarre frazioni con denominatori simili.
Diamo un'occhiata ad un esempio:
13 / 15 - 4 / 15
Prendiamo il segmento AB (Fig. 18), prendiamolo come un'unità e dividiamolo in 15 parti uguali; allora la parte AC di questo segmento rappresenterà 1/15 di AB, e la parte AD dello stesso segmento corrisponderà a 13/15 AB. Lasciamo da parte un altro segmento ED pari a 4/15 AB.
Dobbiamo sottrarre la frazione 4/15 da 13/15. Nel disegno ciò significa che il segmento ED deve essere sottratto dal segmento AD. Di conseguenza, rimarrà il segmento AE, che è 9/15 del segmento AB. Quindi possiamo scrivere:
L'esempio che abbiamo fatto mostra che il numeratore della differenza è stato ottenuto sottraendo i numeratori, ma il denominatore è rimasto lo stesso.
Pertanto, per sottrarre frazioni con denominatori simili, devi sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo e lasciare lo stesso denominatore.
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi.
Esempio. 3/4 - 5/8
Per prima cosa riduciamo queste frazioni al minimo comune denominatore:
L'intermedio 6/8 - 5/8 è scritto qui per chiarezza, ma può essere saltato in seguito.
Pertanto, per sottrarre una frazione da una frazione, devi prima ridurli al minimo comune denominatore, quindi sottrarre il numeratore del minuendo dal numeratore del minuendo e firmare il denominatore comune sotto la loro differenza.
Diamo un'occhiata ad un esempio:
3. Sottrazione di numeri misti.
Esempio. 10 3/4 - 7 2/3.
Riduciamo le parti frazionarie del minuendo e del sottraendo al minimo comune denominatore:
Abbiamo sottratto un intero da un intero e una frazione da una frazione. Ma ci sono casi in cui la parte frazionaria di ciò che viene sottratto è maggiore della parte frazionaria di ciò che viene ridotto. In questi casi, devi prendere un'unità dall'intera parte del minuendo, dividerla in quelle parti in cui è espressa la parte frazionaria e aggiungerla alla parte frazionaria del minuendo. E poi la sottrazione verrà eseguita nello stesso modo dell'esempio precedente:
§ 89. Moltiplicazione delle frazioni.
Quando studiamo la moltiplicazione delle frazioni, prenderemo in considerazione le seguenti domande:
1. Moltiplicare una frazione per un numero intero.
2. Trovare la frazione di un dato numero.
3. Moltiplicare un numero intero per una frazione.
4. Moltiplicare una frazione per una frazione.
5. Moltiplicazione di numeri misti.
6. Il concetto di interesse.
7. Trovare la percentuale di un dato numero. Consideriamoli in sequenza.
1. Moltiplicare una frazione per un numero intero.
Moltiplicare una frazione per un numero intero ha lo stesso significato che moltiplicare un numero intero per un numero intero. Moltiplicare una frazione (moltiplicando) per un numero intero (fattore) significa creare una somma di termini identici, in cui ogni termine è uguale al moltiplicando e il numero di termini è uguale al moltiplicatore.
Ciò significa che se devi moltiplicare 1/9 per 7, puoi farlo in questo modo:
Abbiamo ottenuto facilmente il risultato, poiché l'azione si è ridotta all'addizione di frazioni con gli stessi denominatori. Quindi,
L'esame di questa azione mostra che moltiplicare una frazione per un numero intero equivale ad aumentare questa frazione tante volte quante sono le unità del numero intero. E poiché l'aumento di una frazione si ottiene aumentandone il numeratore
oppure riducendone il denominatore 
, allora possiamo moltiplicare il numeratore per un numero intero o dividere il denominatore per esso, se tale divisione è possibile.
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare una frazione per un numero intero, moltiplica il numeratore per quel numero intero e lascia lo stesso denominatore o, se possibile, dividi il denominatore per quel numero, lasciando invariato il numeratore.
Quando si moltiplicano, sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
2. Trovare la frazione di un dato numero. Ci sono molti problemi in cui devi trovare, o calcolare, parte di un dato numero. La differenza tra questi problemi e altri è che danno il numero di alcuni oggetti o unità di misura ed è necessario trovare una parte di questo numero, che anche qui è indicata da una certa frazione. Per facilitare la comprensione, forniremo prima esempi di tali problemi e poi introdurremo un metodo per risolverli.
Compito 1. Avevo 60 rubli; Ho speso 1/3 di questi soldi per comprare libri. Quanto costavano i libri?
Compito 2. Il treno deve percorrere una distanza tra le città A e B pari a 300 km. Ha già percorso 2/3 di questa distanza. Quanti chilometri sono questi?
Compito 3. Nel villaggio ci sono 400 case, 3/4 delle quali sono in mattoni, il resto è in legno. Quante case di mattoni ci sono in totale?
Questi sono alcuni dei tanti problemi che incontriamo per trovare una parte di un dato numero. Di solito vengono chiamati problemi per trovare la frazione di un dato numero.
Soluzione al problema 1. Da 60 rubli. Ho speso 1/3 in libri; Ciò significa che per trovare il costo dei libri è necessario dividere il numero 60 per 3:
Risoluzione del problema 2. Il punto del problema è che devi trovare 2/3 di 300 km. Calcoliamo prima 1/3 di 300; questo si ottiene dividendo 300 km per 3:
300: 3 = 100 (ovvero 1/3 di 300).
Per trovare i due terzi di 300, devi raddoppiare il quoziente risultante, ovvero moltiplicare per 2:
100 x 2 = 200 (ovvero 2/3 di 300).
Risoluzione del problema 3. Qui devi determinare il numero di case in mattoni che compongono 3/4 di 400. Troviamo prima 1/4 di 400,
400: 4 = 100 (ovvero 1/4 di 400).
Per calcolare tre quarti di 400 occorre triplicare il quoziente risultante, cioè moltiplicarlo per 3:
100 x 3 = 300 (ovvero 3/4 di 400).
Sulla base della soluzione di questi problemi, possiamo ricavare la seguente regola:
Per trovare il valore di una frazione da un dato numero, devi dividere questo numero per il denominatore della frazione e moltiplicare il quoziente risultante per il suo numeratore.
3. Moltiplicare un numero intero per una frazione.
In precedenza (§ 26) si era stabilito che la moltiplicazione di numeri interi dovesse essere intesa come somma di termini identici (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). In questo paragrafo (punto 1) si è stabilito che moltiplicare una frazione per un intero significa trovare la somma di termini identici pari a tale frazione.
In entrambi i casi la moltiplicazione consisteva nel trovare la somma di termini identici.
Ora passiamo a moltiplicare un numero intero per una frazione. Qui incontreremo, ad esempio, la moltiplicazione: 9 2/3. È chiaro che la precedente definizione di moltiplicazione non si applica a questo caso. Ciò è evidente dal fatto che non possiamo sostituire tale moltiplicazione aggiungendo numeri uguali.
Per questo motivo dovremo dare una nuova definizione di moltiplicazione, cioè, in altre parole, rispondere alla domanda su cosa si dovrebbe intendere per moltiplicazione per una frazione, come si dovrebbe intendere questa azione.
Il significato di moltiplicare un numero intero per una frazione risulta chiaro dalla seguente definizione: moltiplicare un numero intero (moltiplicando) per una frazione (moltiplicando) significa trovare questa frazione del moltiplicando.
Vale a dire, moltiplicare 9 per 2/3 significa trovare 2/3 di nove unità. Nel paragrafo precedente tali problemi sono stati risolti; quindi è facile capire che alla fine avremo 6.
Ma ora sorge una domanda interessante e importante: perché sono tali varie azioni come trovare la somma numeri uguali e trovando frazioni di numeri, in aritmetica si chiama la stessa parola “moltiplicazione”?
Ciò accade perché l'azione precedente (ripetere più volte un numero con termini) e la nuova azione (trovare la frazione di un numero) danno risposte a domande omogenee. Ciò significa che qui procediamo dalla considerazione che questioni o compiti omogenei vengono risolti con la stessa azione.
Per capirlo, considera il seguente problema: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costeranno 4 m di stoffa del genere?
Questo problema si risolve moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (4), cioè 50 x 4 = 200 (rubli).
Prendiamo lo stesso problema, ma in esso la quantità di stoffa sarà espressa in frazione: “1 m di stoffa costa 50 rubli. Quanto costeranno 3/4 metri di stoffa del genere?”
Anche questo problema deve essere risolto moltiplicando il numero di rubli (50) per il numero di metri (3/4).
Puoi modificare i numeri in esso contenuti più volte, senza modificare il significato del problema, ad esempio prendere 9/10 mo 2 3/10 m, ecc.
Poiché questi problemi hanno lo stesso contenuto e differiscono solo nei numeri, chiamiamo le azioni utilizzate per risolverli con la stessa parola: moltiplicazione.
Come si moltiplica un numero intero per una frazione?
Prendiamo i numeri incontrati nell'ultimo problema:
Secondo la definizione dobbiamo trovare 3/4 di 50. Troviamo prima 1/4 di 50 e poi 3/4.
1/4 di 50 è 50/4;
3/4 del numero 50 è .
Quindi.
Consideriamo un altro esempio: 12 5/8 =?
1/8 del numero 12 è 12/8,
5/8 del numero 12 è .
Quindi,
Da qui otteniamo la regola:
Per moltiplicare un numero intero per una frazione, devi moltiplicare il numero intero per il numeratore della frazione e rendere questo prodotto il numeratore e firmare il denominatore di questa frazione come denominatore.
Scriviamo questa regola usando le lettere:
Per rendere questa regola completamente chiara, va ricordato che una frazione può essere considerata un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per moltiplicare un numero per un quoziente, stabilita nel § 38
È importante ricordare che prima di eseguire la moltiplicazione, dovresti fare (se possibile) riduzioni, Per esempio:
4. Moltiplicare una frazione per una frazione. Moltiplicare una frazione per una frazione ha lo stesso significato che moltiplicare un numero intero per una frazione, cioè, quando si moltiplica una frazione per una frazione, è necessario trovare la frazione che si trova nel fattore della prima frazione (il moltiplicando).
Vale a dire, moltiplicare 3/4 per 1/2 (metà) significa trovare la metà di 3/4.
Come si moltiplica una frazione per una frazione?
Facciamo un esempio: 3/4 moltiplicato per 5/7. Ciò significa che devi trovare 5/7 di 3/4. Troviamo prima 1/7 di 3/4 e poi 5/7
1/7 del numero 3/4 sarà espresso come segue:
5/7 numeri 3/4 saranno espressi come segue:
Così,
Un altro esempio: 5/8 moltiplicato per 4/9.
1/9 di 5/8 è,
4/9 del numero 5/8 è .
Così, 
Da questi esempi si può dedurre la seguente regola:
Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore e rendere il primo prodotto il numeratore e il secondo prodotto il denominatore del prodotto.
Questa è la regola vista generale può essere scritto così:
Quando si moltiplica, è necessario effettuare (se possibile) delle riduzioni. Diamo un'occhiata agli esempi:
5. Moltiplicazione di numeri misti. Perché numeri misti può essere facilmente sostituito da frazioni improprie, questa circostanza viene solitamente utilizzata quando si moltiplicano numeri misti. Ciò significa che nei casi in cui il moltiplicando, o il moltiplicatore, o entrambi i fattori sono espressi come numeri misti, questi vengono sostituiti da frazioni improprie. Moltiplichiamo, ad esempio, i numeri misti: 2 1/2 e 3 1/5. Trasformiamo ciascuno di essi in una frazione impropria e poi moltiplichiamo le frazioni risultanti secondo la regola per moltiplicare una frazione per una frazione:
Regola. Per moltiplicare i numeri misti, devi prima convertirli in frazioni improprie e poi moltiplicarli secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni per frazioni.
Nota. Se uno dei fattori è un numero intero, la moltiplicazione può essere eseguita in base alla legge di distribuzione come segue:
6. Il concetto di interesse. Quando risolviamo problemi ed eseguiamo vari calcoli pratici, utilizziamo tutti i tipi di frazioni. Ma bisogna tenere presente che molte quantità non consentono divisioni qualsiasi, ma naturali. Ad esempio, puoi prendere un centesimo (1/100) di rublo, sarà un kopeck, due centesimi sono 2 kopecks, tre centesimi sono 3 kopecks. Puoi prendere 1/10 di rublo, sarà "10 kopecks, o un pezzo da dieci kopecks. Puoi prendere un quarto di rublo, cioè 25 kopecks, mezzo rublo, cioè 50 kopecks (cinquanta kopecks). Ma praticamente non lo prendono, ad esempio 2/7 di rublo perché il rublo non è diviso in settimi.
L'unità di peso, cioè il chilogrammo, consente principalmente divisioni decimali, ad esempio 1/10 kg o 100 g. E frazioni di chilogrammo come 1/6, 1/11, 1/13 non sono comuni.
In generale, le nostre misure (metriche) sono decimali e consentono divisioni decimali.
Va tuttavia notato che è estremamente utile e conveniente in un'ampia varietà di casi utilizzare lo stesso metodo (uniforme) di suddivisione delle quantità. Molti anni di esperienza ha dimostrato che una divisione così ben giustificata è la divisione “centenaria”. Consideriamo alcuni esempi relativi ai più diversi ambiti della pratica umana.
1. Il prezzo dei libri è diminuito di 12/100 rispetto al prezzo precedente.
Esempio. Il prezzo precedente del libro era di 10 rubli. È diminuito di 1 rublo. 20 centesimi
2. Le casse di risparmio pagano ai depositanti 2/100 dell'importo depositato per i risparmi durante l'anno.
Esempio. Nel registratore di cassa vengono depositati 500 rubli, il reddito derivante da questo importo per l'anno è di 10 rubli.
3. Il numero di diplomati di una scuola è stato pari a 5/100 del numero totale degli studenti.
ESEMPIO C'erano solo 1.200 studenti nella scuola, di cui 60 diplomati.
La centesima parte di un numero è chiamata percentuale.
La parola "percentuale" è presa in prestito da lingua latina e la sua radice "cent" significa cento. Insieme alla preposizione (pro centum), questa parola significa “per cento”. Il significato di questa espressione discende dal fatto che inizialmente nell’antica Roma interesse era il nome dato al denaro che il debitore pagava al creditore “per ogni cento”. La parola "centesimo" si sente in parole così familiari: centesimo (cento chilogrammi), centimetro (diciamo centimetro).
Ad esempio, invece di dire che nell'ultimo mese l'impianto ha prodotto 1/100 di tutti i prodotti da esso fabbricati erano difettosi, diremo questo: nell'ultimo mese l'impianto ha prodotto l'1% dei difetti. Invece di dire: lo stabilimento ha prodotto 4/100 di prodotti in più rispetto al piano stabilito, diremo: lo stabilimento ha superato il piano del 4%.
Gli esempi sopra riportati possono essere espressi diversamente:
1. Il prezzo dei libri è diminuito del 12% rispetto al prezzo precedente.
2. Le casse di risparmio pagano ai depositanti il 2% annuo sull'importo depositato in risparmi.
3. Il numero di diplomati di una scuola ammontava al 5% del totale degli studenti.
Per abbreviare la lettera è consuetudine scrivere il simbolo % al posto della parola “percentuale”.
Tuttavia, è necessario ricordare che nei calcoli il segno % solitamente non è scritto; può essere scritto nella formulazione del problema e nel risultato finale. Quando esegui i calcoli, devi scrivere una frazione con un denominatore di 100 anziché un numero intero con questo simbolo.
Devi essere in grado di sostituire un numero intero con l'icona indicata con una frazione con denominatore 100:
Viceversa bisogna abituarsi a scrivere un intero con il simbolo indicato invece che una frazione con denominatore 100:
7. Trovare la percentuale di un dato numero.
Compito 1. La scuola ha ricevuto 200 metri cubi. m di legna da ardere, di cui la legna di betulla rappresenta il 30%. Quanta legna da ardere di betulla c'era?
Il significato di questo problema è che la legna di betulla costituiva solo una parte della legna consegnata alla scuola, e questa parte è espressa nella frazione 30/100. Ciò significa che abbiamo il compito di trovare una frazione di un numero. Per risolverlo dobbiamo moltiplicare 200 per 30/100 (i problemi per trovare la frazione di un numero si risolvono moltiplicando il numero per la frazione).
Ciò significa che il 30% di 200 equivale a 60.
La frazione 30/100 incontrata in questo problema può essere ridotta di 10. Sarebbe possibile fare questa riduzione fin dall'inizio; la soluzione al problema non sarebbe cambiata.
Compito 2. Nel campo c'erano 300 bambini di varie età. I bambini di 11 anni costituivano il 21%, i bambini di 12 anni il 61% e infine i bambini di 13 anni il 18%. Quanti bambini di ogni età c'erano nel campo?
In questo problema devi eseguire tre calcoli, ad es. trovare in sequenza il numero di bambini di 11 anni, poi di 12 anni e infine di 13 anni.
Ciò significa che qui dovrai trovare la frazione del numero tre volte. Facciamolo:
1) Quanti bambini di 11 anni c'erano?
2) Quanti bambini di 12 anni c'erano?
3) Quanti erano i bambini di 13 anni?
Dopo aver risolto il problema è utile sommare i numeri trovati; la loro somma dovrebbe essere 300:
63 + 183 + 54 = 300
Va inoltre notato che la somma delle percentuali indicate nella dichiarazione del problema è 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ciò lo suggerisce numero totale i bambini nel campo sono stati presi al 100%.
3 a d a h a 3. L'operaio riceveva 1.200 rubli al mese. Di questa somma ha speso il 65% per il cibo, il 6% per appartamenti e riscaldamento, il 4% per gas, elettricità e radio, il 10% per bisogni culturali e il 15% ha risparmiato. Quanti soldi sono stati spesi per i bisogni indicati nel problema?
Per risolvere questo problema devi trovare la frazione di 1.200 5 volte. Facciamolo.
1) Quanti soldi sono stati spesi per il cibo? Il problema dice che questa spesa è il 65% del guadagno totale, cioè il 65/100 del numero 1.200. Facciamo il calcolo:
2) Quanti soldi hai pagato per un appartamento con riscaldamento? Ragionando in modo analogo al precedente arriviamo al seguente calcolo:
3) Quanti soldi hai pagato per il gas, l'elettricità e la radio?
4) Quanti soldi sono stati spesi per i bisogni culturali?
5) Quanti soldi ha risparmiato il lavoratore?
Per verificare è utile sommare i numeri presenti in queste 5 domande. L'importo dovrebbe essere di 1.200 rubli. Tutti i guadagni sono considerati pari al 100%, il che è facile da verificare sommando i numeri percentuali forniti nella dichiarazione del problema.
Abbiamo risolto tre problemi. Nonostante questi problemi riguardassero cose diverse (consegna della legna per la scuola, numero di bambini di età diverse, spese del lavoratore), sono stati risolti allo stesso modo. Ciò è accaduto perché in tutti i problemi era necessario trovare una certa percentuale dei numeri indicati.
§ 90. Divisione delle frazioni.
Mentre studiamo la divisione delle frazioni, prenderemo in considerazione le seguenti domande:
1. Dividere un numero intero per un numero intero.
2. Dividere una frazione per un numero intero
3. Dividere un numero intero per una frazione.
4. Dividere una frazione per una frazione.
5. Divisione di numeri misti.
6. Trovare un numero dalla sua frazione data.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
Consideriamoli in sequenza.
1. Dividere un numero intero per un numero intero.
Come è stato indicato nel dipartimento dei numeri interi, la divisione è l'azione che consiste nel fatto che, dato il prodotto di due fattori (dividendo) e uno di questi fattori (divisore), si trova un altro fattore.
Abbiamo esaminato la divisione di un numero intero per un numero intero nella sezione sugli interi. Abbiamo riscontrato due casi di divisione: divisione senza resto, o “interamente” (150: 10 = 15), e divisione con resto (100: 9 = 11 e 1 resto). Possiamo quindi dire che nel campo degli interi la divisione esatta non è sempre possibile, perché non sempre il dividendo è il prodotto del divisore per l'intero. Dopo aver introdotto la moltiplicazione per una frazione, possiamo considerare possibile qualsiasi caso di divisione di numeri interi (è esclusa solo la divisione per zero).
Ad esempio, dividere 7 per 12 significa trovare un numero il cui prodotto per 12 sarebbe uguale a 7. Tale numero è la frazione 7/12 perché 7/12 12 = 7. Un altro esempio: 14: 25 = 14/25, perché 14/25 25 = 14.
Pertanto, per dividere un numero intero per un numero intero, è necessario creare una frazione il cui numeratore sia uguale al dividendo e il cui denominatore sia uguale al divisore.
2. Dividere una frazione per un numero intero.
Dividere la frazione 6/7 per 3. Secondo la definizione di divisione data sopra, abbiamo qui il prodotto (6/7) e uno dei fattori (3); è necessario trovare un secondo fattore che, moltiplicato per 3, dia il prodotto dato 6/7. Ovviamente dovrebbe essere tre volte più piccolo di questo prodotto. Ciò significa che il compito che ci era stato assegnato era di ridurre la frazione 6/7 di 3 volte.
Sappiamo già che la riduzione di una frazione può essere eseguita diminuendone il numeratore o aumentandone il denominatore. Pertanto puoi scrivere:
In questo caso il numeratore 6 è divisibile per 3, quindi il numeratore dovrebbe essere ridotto di 3 volte.
Facciamo un altro esempio: 5 / 8 diviso per 2. Qui il numeratore 5 non è divisibile per 2, il che significa che il denominatore dovrà essere moltiplicato per questo numero:
In base a ciò si può stabilire una regola: Per dividere una frazione per un numero intero, devi dividere il numeratore della frazione per quel numero intero.(se possibile), lasciando lo stesso denominatore, oppure moltiplicare il denominatore della frazione per questo numero, lasciando lo stesso numeratore.
3. Dividere un numero intero per una frazione.
Sia necessario dividere 5 per 1/2, cioè trovare un numero che, moltiplicato per 1/2, dia il prodotto 5. Ovviamente questo numero deve essere maggiore di 5, poiché 1/2 è una frazione propria , e quando si moltiplica un numero il prodotto di una frazione propria deve essere inferiore al prodotto moltiplicato. Per renderlo più chiaro, scriviamo le nostre azioni come segue: 5: 1 / 2 = X , che significa x 1/2 = 5.
Dobbiamo trovare un numero del genere X , che, se moltiplicato per 1/2, darebbe 5. Poiché moltiplicare un certo numero per 1/2 significa trovare 1/2 di questo numero, allora, quindi, 1/2 del numero sconosciuto X è uguale a 5 e al numero intero X il doppio, cioè 5 2 = 10.
Quindi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Controlliamo: 
Diamo un'occhiata a un altro esempio. Diciamo che vuoi dividere 6 per 2/3. Proviamo prima a trovare il risultato desiderato utilizzando il disegno (Fig. 19).
Fig.19
Disegniamo un segmento AB pari a 6 unità e dividiamo ciascuna unità in 3 parti uguali. In ogni unità, tre terzi (3/3) dell'intero segmento AB sono 6 volte più grandi, cioè e.18/3. Utilizzando piccole parentesi, colleghiamo i 18 segmenti risultanti, 2 ciascuno; Ci saranno solo 9 segmenti. Ciò significa che la frazione 2/3 è contenuta in 6 unità 9 volte, o, in altre parole, la frazione 2/3 è 9 volte inferiore a 6 unità intere. Quindi,
Come ottenere questo risultato senza un disegno utilizzando solo i calcoli? Ragioniamo così: dobbiamo dividere 6 per 2/3, cioè dobbiamo rispondere alla domanda quante volte 2/3 è contenuto in 6. Scopriamolo prima: quante volte 1/3 è contenuto in 6? In un'unità intera ci sono 3 terzi, e in 6 unità ce ne sono 6 volte di più, cioè 18 terzi; per trovare questo numero dobbiamo moltiplicare 6 per 3. Ciò significa che 1/3 è contenuto nelle unità b 18 volte, e 2/3 è contenuto nelle unità b non 18 volte, ma la metà di volte, cioè 18: 2 = 9 Pertanto , dividendo 6 per 2/3 abbiamo completato le seguenti azioni:
Da qui otteniamo la regola per dividere un numero intero per una frazione. Per dividere un numero intero per una frazione, devi moltiplicare questo numero intero per il denominatore della frazione data e, rendendo questo prodotto il numeratore, dividerlo per il numeratore della frazione data.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Per rendere questa regola completamente chiara, va ricordato che una frazione può essere considerata un quoziente. Pertanto, è utile confrontare la regola trovata con la regola per dividere un numero per un quoziente, stabilita nel § 38. Si prega di notare che la stessa formula è stata ottenuta lì.
Durante la divisione sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
4. Dividere una frazione per una frazione.
Diciamo che dobbiamo dividere 3/4 per 3/8. Cosa significherà il numero risultante dalla divisione? Risponderà alla domanda quante volte la frazione 3/8 è contenuta nella frazione 3/4. Per comprendere questo problema, facciamo un disegno (Fig. 20).
Prendiamo un segmento AB, prendiamolo come uno, dividiamolo in 4 parti uguali e segniamo 3 parti di questo tipo. Il segmento AC sarà uguale a 3/4 del segmento AB. Dividiamo ora ciascuno dei quattro segmenti originali a metà, poi il segmento AB sarà diviso in 8 parti uguali e ciascuna di tali parti sarà uguale a 1/8 del segmento AB. Colleghiamo 3 di questi segmenti con archi, quindi ciascuno dei segmenti AD e DC sarà uguale a 3/8 del segmento AB. Dal disegno si vede che un segmento pari a 3/8 è contenuto in un segmento pari a 3/4 esattamente 2 volte; Ciò significa che il risultato della divisione può essere scritto come segue:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Diamo un'occhiata a un altro esempio. Diciamo che dobbiamo dividere 15/16 per 3/32:
Possiamo ragionare così: dobbiamo trovare un numero che, moltiplicato per 3/32, dia un prodotto pari a 15/16. Scriviamo i calcoli in questo modo:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 numero sconosciuto X sono 15/16
1/32 di un numero sconosciuto X È ,
32/32 numeri X trucco .
Quindi,
Pertanto, per dividere una frazione per una frazione, è necessario moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda e rendere il primo prodotto il numeratore, e il secondo il denominatore.
Scriviamo la regola usando le lettere:
Durante la divisione sono possibili abbreviazioni, ad esempio:
5. Divisione di numeri misti.
Quando si dividono numeri misti, è necessario prima convertirli in frazioni improprie, quindi le frazioni risultanti devono essere divise secondo le regole per la divisione delle frazioni. Diamo un'occhiata ad un esempio:
Convertiamo i numeri misti in frazioni improprie:
Ora dividiamo:
Pertanto, per dividere numeri misti, è necessario convertirli in frazioni improprie e poi dividere utilizzando la regola per dividere le frazioni.
6. Trovare un numero dalla sua frazione data.
Tra i vari problemi con le frazioni, a volte ci sono quelli in cui viene dato il valore di una frazione di un numero sconosciuto ed è necessario trovare questo numero. Questo tipo di problema sarà l'inverso del problema di trovare la frazione di un dato numero; lì veniva dato un numero ed era necessario trovare una frazione di questo numero, qui veniva data una frazione di numero ed era necessario trovare questo numero stesso. Questa idea diventerà ancora più chiara se ci occuperemo della risoluzione di questo tipo di problemi.
Compito 1. Il primo giorno i vetrai hanno vetrificato 50 finestre, ovvero 1/3 di tutte le finestre della casa costruita. Quante finestre ci sono in questa casa?
Soluzione. Il problema dice che 50 finestre con vetri costituiscono 1/3 di tutte le finestre della casa, il che significa che ci sono 3 volte più finestre in totale, cioè
La casa aveva 150 finestre.
Compito 2. Il negozio ha venduto 1.500 kg di farina, ovvero 3/8 della scorta totale di farina del negozio. Qual è stata la fornitura iniziale di farina del negozio?
Soluzione. Dalle condizioni del problema risulta evidente che 1.500 kg di farina venduti costituiscono i 3/8 dello stock totale; Ciò significa che 1/8 di questa riserva sarà 3 volte inferiore, ovvero per calcolarla è necessario ridurre 1500 di 3 volte:
1.500: 3 = 500 (questo è 1/8 della riserva).
Ovviamente l’intera fornitura sarà 8 volte più grande. Quindi,
500 8 = 4.000 (kg).
La scorta iniziale di farina nel magazzino era di 4.000 kg.
Dalla considerazione di questo problema si può ricavare la seguente regola.
Per trovare un numero da un dato valore della sua frazione, è sufficiente dividere questo valore per il numeratore della frazione e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione.
Abbiamo risolto due problemi nel trovare un numero data la sua frazione. Tali problemi, come si vede particolarmente chiaramente dall'ultimo, vengono risolti da due azioni: divisione (quando viene trovata una parte) e moltiplicazione (quando viene trovato il numero intero).
Tuttavia, dopo aver imparato la divisione delle frazioni, i problemi di cui sopra possono essere risolti con un'azione, vale a dire: la divisione per una frazione.
Ad esempio, l'ultima attività può essere risolta con un'azione come questa:
In futuro, risolveremo il problema di trovare un numero dalla sua frazione con un'azione: la divisione.
7. Trovare un numero in base alla sua percentuale.
In questi problemi dovrai trovare un numero conoscendo una piccola percentuale di quel numero.
Compito 1. All'inizio di quest'anno ho ricevuto 60 rubli dalla cassa di risparmio. reddito derivante dall'importo che ho messo in risparmi un anno fa. Quanti soldi ho messo nella cassa di risparmio? (Le casse danno ai depositanti un rendimento del 2% annuo.)
Il punto del problema è che ho messo una certa somma di denaro in una cassa di risparmio e sono rimasto lì per un anno. Dopo un anno ho ricevuto da lei 60 rubli. reddito, ovvero 2/100 del denaro che ho depositato. Quanti soldi ho investito?
Di conseguenza, conoscendo una parte di questo denaro, espressa in due modi (in rubli e in frazioni), dobbiamo trovare l'intero importo, ancora sconosciuto. Questo è un problema ordinario per trovare un numero data la sua frazione. I seguenti problemi si risolvono per divisione:
Ciò significa che nella cassa di risparmio sono stati depositati 3.000 rubli.
Compito 2. I pescatori hanno soddisfatto il piano mensile del 64% in due settimane, raccogliendo 512 tonnellate di pesce. Qual era il loro piano?
Dalle condizioni del problema si sa che i pescatori hanno portato a termine una parte del piano. Questa parte è pari a 512 tonnellate, ovvero il 64% del piano. Non sappiamo quante tonnellate di pesce dovranno essere preparate secondo il piano. Trovare questo numero sarà la soluzione al problema.
Tali problemi sono risolti mediante divisione:
Ciò significa che secondo il piano dovranno essere preparate 800 tonnellate di pesce.
Compito 3. Il treno andava da Riga a Mosca. Quando ha superato il 276esimo chilometro, uno dei passeggeri ha chiesto al conducente di passaggio quanta strada avevano già percorso. A questo il conduttore ha risposto: “Abbiamo già percorso il 30% dell’intero viaggio”. Qual è la distanza da Riga a Mosca?
Dalle condizioni problematiche è chiaro che il 30% del percorso da Riga a Mosca è di 276 km. Dobbiamo trovare l'intera distanza tra queste città, ovvero, per questa parte, trovare l'intero:
§ 91. Numeri reciproci. Sostituzione della divisione con la moltiplicazione.
Prendiamo la frazione 2/3 e sostituiamo il numeratore al posto del denominatore, otteniamo 3/2. Abbiamo ottenuto l'inverso di questa frazione.
Per ottenere l'inverso di una data frazione, devi mettere il suo numeratore al posto del denominatore e il denominatore al posto del numeratore. In questo modo possiamo ottenere il reciproco di qualsiasi frazione. Per esempio:
3/4, 4/3 inverso; 5/6, 6/5 inverso
Due frazioni che hanno la proprietà che il numeratore della prima è il denominatore della seconda, e il denominatore della prima è il numeratore della seconda, si chiamano reciprocamente inverso.
Ora pensiamo a quale frazione sarà il reciproco di 1/2. Ovviamente sarà 2/1, o semplicemente 2. Cercando la frazione inversa di quella data, otteniamo un numero intero. E questo caso non è isolato; al contrario, per tutte le frazioni con numeratore 1 (uno), i reciproci saranno numeri interi, ad esempio:
1/3, rovescio 3; 1/5, rovescio 5
Poiché nel trovare le frazioni reciproche abbiamo incontrato anche gli interi, nel seguito non parleremo di frazioni reciproche, ma di numeri reciproci.
Scopriamo come scrivere l'inverso di un numero intero. Per le frazioni, questo può essere risolto semplicemente: devi mettere il denominatore al posto del numeratore. Allo stesso modo, puoi ottenere l'inverso di un numero intero, poiché qualsiasi numero intero può avere un denominatore pari a 1. Ciò significa che l'inverso di 7 sarà 1/7, perché 7 = 7/1; per il numero 10 l'inverso sarà 1/10, poiché 10 = 10/1
Questa idea può essere espressa in modo diverso: il reciproco di un dato numero si ottiene dividendo l'uno per un dato numero. Questa affermazione è vera non solo per i numeri interi, ma anche per le frazioni. Infatti, se dobbiamo scrivere l'inverso della frazione 5/9, allora possiamo prendere 1 e dividerlo per 5/9, cioè
Ora precisiamo una cosa proprietà numeri reciproci, che ci saranno utili: il prodotto dei numeri reciproci è uguale a uno. Infatti:
Usando questa proprietà, possiamo trovare i numeri reciproci nel modo seguente. Diciamo che dobbiamo trovare l'inverso di 8.
Indichiamolo con la lettera X , poi 8 X = 1, quindi X = 1/8. Troviamo un altro numero che sia l'inverso di 7/12 e lo denotiamo con la lettera X , poi 7/12 X = 1, quindi X = 1: 7/12 o X = 12 / 7 .
Abbiamo introdotto qui il concetto di numeri reciproci per integrare leggermente le informazioni sulla divisione delle frazioni.
Quando dividiamo il numero 6 per 3/5, facciamo quanto segue:
Presta particolare attenzione all'espressione e confrontala con quella data: .
Se prendiamo l'espressione separatamente, senza connessione con la precedente, è impossibile risolvere la questione da dove provenga: dalla divisione 6 per 3/5 o dalla moltiplicazione 6 per 5/3. In entrambi i casi accade la stessa cosa. Pertanto possiamo dire che la divisione di un numero per un altro può essere sostituita moltiplicando il dividendo per l'inverso del divisore.
Gli esempi che forniamo di seguito confermano pienamente questa conclusione.
Moltiplicazione e divisione delle frazioni.
Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)
Questa operazione è molto più carina dell'addizione-sottrazione! Perché è più facile. Come promemoria, per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i numeratori (questo sarà il numeratore del risultato) e i denominatori (questo sarà il denominatore). Questo è:
Per esempio:
Tutto è estremamente semplice. E per favore non cercare un denominatore comune! Non ho bisogno di lui qui...
Per dividere una frazione per una frazione, è necessario invertire secondo(questo è importante!) frazionarli e moltiplicarli, ovvero:
Per esempio:
Se ti imbatti in moltiplicazioni o divisioni con numeri interi e frazioni, va bene. Come per l'addizione, creiamo una frazione da un numero intero con uno al denominatore e andiamo avanti! Per esempio:
Al liceo, spesso devi avere a che fare con frazioni di tre piani (o anche di quattro piani!). Per esempio:
Come posso far sembrare decente questa frazione? Sì, molto semplice! Utilizza la divisione in due punti:
Ma non dimenticare l'ordine di divisione! A differenza della moltiplicazione, qui questo è molto importante! Naturalmente non confonderemo 4:2 o 2:4. Ma è facile commettere un errore in una frazione di tre piani. Si prega di notare ad esempio:
Nel primo caso (espressione a sinistra):
Nella seconda (espressione a destra):
Senti la differenza? 4 e 1/9!
Cosa determina l'ordine di divisione? O con parentesi, o (come qui) con la lunghezza delle linee orizzontali. Sviluppa il tuo occhio. E se non ci sono parentesi o trattini, come:
poi dividi e moltiplica in ordine, da sinistra a destra!
E un'altra tecnica molto semplice e importante. Nelle azioni con i gradi, ti sarà così utile! Dividiamo uno per qualsiasi frazione, ad esempio per 13/15:
Il tiro è girato! E questo accade sempre. Quando si divide 1 per una frazione qualsiasi, il risultato è la stessa frazione, solo capovolta.
Questo è tutto per le operazioni con le frazioni. La cosa è abbastanza semplice, ma dà errori più che sufficienti. Nota Consiglio pratico, e ce ne saranno meno (errori)!
Consigli pratici:
1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione! Non è parole comuni, non buoni auguri! Questa è una terribile necessità! Esegui tutti i calcoli sull'esame di stato unificato come un compito a tutti gli effetti, mirato e chiaro. È meglio scrivere due righe in più nella bozza piuttosto che fare errori quando si fanno i calcoli mentali.
2. Negli esempi con tipi diversi frazioni: vai alle frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni finché non si fermano.
4. Multipiano espressioni frazionarie ridurli a quelli ordinari utilizzando la divisione per due punti (attenzione all'ordine di divisione!).
5. Dividi un'unità per una frazione a mente, semplicemente capovolgendo la frazione.
Ecco le attività che devi assolutamente completare. Le risposte vengono fornite dopo tutte le attività. Utilizzare i materiali su questo argomento e suggerimenti pratici. Stima quanti esempi sei riuscito a risolvere correttamente. La prima volta! Senza calcolatrice! E trarre le giuste conclusioni...
Ricorda: la risposta corretta è ricevuto dalla seconda (soprattutto dalla terza) volta non conta! Questa è la vita dura.
COSÌ, risolvere in modalità esame ! A proposito, questa è già la preparazione per l'Esame di Stato Unificato. Risolviamo l'esempio, lo controlliamo, risolviamo il successivo. Abbiamo deciso tutto: controllato di nuovo dal primo all'ultimo. Ma solo Poi guarda le risposte.
Calcolare:
Hai deciso?
Cerchiamo risposte che corrispondano alle tue. Le ho scritte volutamente in disordine, lontano dalla tentazione, per così dire... Eccole, le risposte, scritte con il punto e virgola.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Adesso traiamo le conclusioni. Se tutto ha funzionato, sono felice per te! I calcoli di base con le frazioni non sono un tuo problema! Puoi fare cose più serie. Altrimenti...
Quindi hai uno dei due problemi. O entrambi contemporaneamente.) Mancanza di conoscenza e (o) disattenzione. Ma questo risolvibile I problemi.
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Moltiplicare un numero intero per una frazione non è un compito difficile. Ma ci sono sottigliezze che probabilmente hai capito a scuola, ma da allora hai dimenticato.
Come moltiplicare un numero intero per una frazione - alcuni termini
Se ricordi cosa sono un numeratore e un denominatore e in che cosa differisce una frazione propria da una frazione impropria, salta questo paragrafo. È per coloro che hanno completamente dimenticato la teoria.
Il numeratore è parte in alto le frazioni sono ciò che dividiamo. Il denominatore è più basso. Questo è ciò per cui dividiamo.
Una frazione propria è quella il cui numeratore è minore del denominatore. Una frazione impropria è quella il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore.
Come moltiplicare un numero intero per una frazione
La regola per moltiplicare un numero intero per una frazione è molto semplice: moltiplichiamo il numeratore per il numero intero, ma non tocchiamo il denominatore. Ad esempio: due moltiplicati per un quinto: otteniamo due quinti. Quattro moltiplicato per tre sedicesimi fa dodici sedicesimi.
Riduzione
Nel secondo esempio, la frazione risultante può essere ridotta.
Cosa significa? Tieni presente che sia il numeratore che il denominatore di questa frazione sono divisibili per quattro. Dividere entrambi i numeri per un divisore comune si chiama riduzione della frazione. Otteniamo tre quarti.
Frazioni improprie
Ma supponiamo di moltiplicare quattro per due quinti. Risultò essere otto quinti. Questa è una frazione impropria.
Ha sicuramente bisogno di essere portato nella forma corretta. Per fare ciò, è necessario selezionare un'intera parte da esso.
Qui devi usare la divisione con resto. Otteniamo uno e tre come resto.
Un intero e tre quinti è la nostra frazione propria.
Portare trentacinque ottavi nella forma corretta è un compito leggermente più difficile. Il numero più vicino a trentasette che è divisibile per otto è trentadue. Divisi ne otteniamo quattro. Sottraiamo trentadue da trentacinque e otteniamo tre. Risultato: quattro interi e tre ottavi.
Uguaglianza tra numeratore e denominatore. E qui tutto è molto semplice e bello. Se il numeratore e il denominatore sono uguali, il risultato è semplicemente uno.
) e denominatore per denominatore (otteniamo il denominatore del prodotto).
Formula per moltiplicare le frazioni:
Per esempio:
Prima di iniziare a moltiplicare numeratori e denominatori, devi verificare se la frazione può essere ridotta. Se riesci a ridurre la frazione, ti sarà più facile fare ulteriori calcoli.
Dividere una frazione comune per una frazione.
Divisione di frazioni che coinvolgono numeri naturali.
Non è così spaventoso come sembra. Come nel caso dell'addizione, convertiamo il numero intero in una frazione con uno al denominatore. Per esempio:
Moltiplicazione di frazioni miste.
Regole per moltiplicare le frazioni (miste):
- convertire le frazioni miste in frazioni improprie;
- moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni;
- ridurre la frazione;
- Se ottieni una frazione impropria, la convertiamo in una frazione mista.
Nota! Moltiplicare frazione mista in un'altra frazione mista, devi prima convertirle nella forma di frazioni improprie, quindi moltiplicarle secondo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie.
Il secondo modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale.
Potrebbe essere più conveniente utilizzare il secondo metodo di moltiplicazione frazione comune per numero.
Nota! Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare invariato il numeratore.
Dall'esempio sopra riportato risulta chiaro che questa opzione è più comoda da utilizzare quando il denominatore di una frazione è diviso senza resto per un numero naturale.
Frazioni multipiano.
Al liceo si incontrano spesso frazioni a tre piani (o più). Esempio:
Per riportare tale frazione alla sua forma abituale, utilizzare la divisione per 2 punti:
Nota! Quando si dividono le frazioni, l'ordine di divisione è molto importante. Fai attenzione, è facile confondersi qui.
Nota, Per esempio:
Quando si divide uno per qualsiasi frazione, il risultato sarà la stessa frazione, solo invertita:
Consigli pratici per moltiplicare e dividere le frazioni:
1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione. Esegui tutti i calcoli con attenzione e precisione, concentrazione e chiarezza. Meglio scriverne alcuni linee aggiuntive in una bozza piuttosto che confondersi nei calcoli mentali.
2. Nei compiti con diversi tipi di frazioni, vai al tipo di frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni finché non è più possibile ridurre.
4. Trasformiamo le espressioni frazionarie multilivello in espressioni ordinarie utilizzando la divisione per 2 punti.
5. Dividi un'unità per una frazione a mente, semplicemente capovolgendo la frazione.