Alcuni esempi algebrici di un tipo sono capaci di terrorizzare gli scolari. Le espressioni lunghe non sono solo intimidatorie, ma anche molto difficili da calcolare. Cercando di capire subito cosa segue e cosa segue, per non confondersi a lungo. È per questo motivo che i matematici cercano sempre di semplificare il più possibile il "terribile" compito e solo dopo procedono a risolverlo. Stranamente, un simile trucco accelera notevolmente il processo.
La semplificazione è uno dei punti fondamentali dell'algebra. Se dentro compiti semplici puoi ancora farne a meno, quindi esempi più difficili da calcolare potrebbero rivelarsi "troppo difficili". È qui che queste abilità tornano utili! Inoltre non sono richieste conoscenze matematiche complesse: basterà solo ricordare e imparare a mettere in pratica alcune tecniche e formule di base.
Indipendentemente dalla complessità dei calcoli, quando si risolve qualsiasi espressione, è importante seguire l'ordine delle operazioni con i numeri:
- parentesi;
- esponenziale;
- moltiplicazione;
- divisione;
- aggiunta;
- sottrazione.
Gli ultimi due punti possono essere tranquillamente scambiati e questo non influirà in alcun modo sul risultato. Ma sommare due numeri vicini, quando accanto a uno di essi c'è un segno di moltiplicazione, è assolutamente impossibile! La risposta, se c'è, è sbagliata. Pertanto, è necessario ricordare la sequenza.
L'uso di tale
Tali elementi includono numeri con una variabile dello stesso ordine o dello stesso grado. Ci sono anche i cosiddetti membri liberi che non hanno accanto a loro la designazione della lettera dell'ignoto.
La linea di fondo è che in assenza di parentesi Puoi semplificare l'espressione aggiungendo o sottraendo like.
Alcuni esempi illustrativi:
- 8x 2 e 3x 2 - entrambi i numeri hanno la stessa variabile di secondo ordine, quindi sono simili e quando vengono sommati vengono semplificati in (8+3)x 2 = 11x 2, mentre quando vengono sottratti risulta (8-3) x 2 = 5 x 2;
- 4x 3 e 6x - e qui "x" ha un grado diverso;
- 2y 7 e 33x 7 - contengono variabili diverse, quindi, come nel caso precedente, non appartengono a variabili simili.
Fattorizzazione di un numero
Questo piccolo trucco matematico, se impari a usarlo correttamente, ti aiuterà ad affrontare un problema complicato più di una volta in futuro. Ed è facile capire come funziona il “sistema”: una scomposizione è un prodotto di più elementi, il cui calcolo dà il valore originale. Pertanto, 20 può essere rappresentato come 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 o in qualche altro modo.
Su una nota: i moltiplicatori sono sempre uguali ai divisori. Quindi è necessario cercare una "coppia" funzionante per l'espansione tra i numeri per i quali l'originale è divisibile senza resto.
È possibile eseguire tale operazione sia con membri liberi che con cifre associate a una variabile. L'importante è non perdere quest'ultimo durante i calcoli, nemmeno dopo la decomposizione, l'ignoto non può prendere e "non andare da nessuna parte". Rimane in uno dei fattori:
- 15x=3(5x);
- 60 anni 2 \u003d (15 anni 2) 4.
Numeri primi che possono essere divisi solo per se stessi o 1 mai divisori: non ha senso..
Metodi di semplificazione di base
La prima cosa che salta all'occhio:
- la presenza di parentesi;
- frazioni;
- radici.
Gli esempi algebrici nel curriculum scolastico sono spesso compilati con il presupposto che possano essere splendidamente semplificati.
Calcoli parentesi
Prestare molta attenzione al cartello davanti alle staffe! La moltiplicazione o la divisione viene applicata a ciascun elemento all'interno e meno - inverte i segni "+" o "-" esistenti.
Le parentesi vengono calcolate secondo le regole o secondo le formule di moltiplicazione abbreviata, dopodiché vengono fornite quelle simili.
Riduzione della frazione
Ridurre le frazioniè anche facile. Loro stessi “scappano volentieri” di tanto in tanto, vale la pena fare operazioni portando tali membri. Ma puoi semplificare l'esempio anche prima di questo: prestare attenzione al numeratore e al denominatore. Spesso contengono elementi espliciti o nascosti che possono essere ridotti reciprocamente. È vero, se nel primo caso devi solo eliminare il superfluo, nel secondo dovrai pensare, portando parte dell'espressione nel modulo per semplificare. Metodi utilizzati:
- ricerca e parentesi del massimo comune divisore del numeratore e del denominatore;
- dividendo ogni elemento superiore per il denominatore.
Quando un'espressione o parte di essa è sotto la radice, il problema di semplificazione primaria è quasi lo stesso del caso con le frazioni. È necessario cercare modi per eliminarlo completamente o, se ciò non è possibile, per ridurre al minimo il segno che interferisce con i calcoli. Ad esempio, a discreto √(3) o √(7).
Il modo giusto semplifica l'espressione radicale - prova a scomporla, alcuni dei quali sono al di fuori del segno. Un esempio illustrativo: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Altri piccoli trucchi e sfumature:
- questa operazione di semplificazione può essere effettuata con le frazioni, togliendole dal segno sia nel suo insieme che separatamente come numeratore o denominatore;
- è impossibile scomporre ed eliminare una parte della somma o della differenza oltre la radice;
- quando si lavora con variabili, assicurarsi di tener conto del suo grado, deve essere uguale o multiplo della radice per la possibilità di rendere: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 × x)=x√( x);
- a volte è consentito eliminare la variabile radicale elevandola a una potenza frazionaria: √ (y 3)=y 3/2.
Semplificazione dell'espressione di potenza
Se nel caso di semplici calcoli per meno o più, gli esempi vengono semplificati portandone di simili, allora che dire quando si moltiplicano o si dividono le variabili con vari gradi? Possono essere facilmente semplificati ricordando due punti principali:
- Se c'è un segno di moltiplicazione tra le variabili, gli esponenti vengono sommati.
- Quando sono divisi tra loro, lo stesso denominatore viene sottratto dal grado del numeratore.
L'unica condizione per tale semplificazione è che entrambi i termini abbiano la stessa base. Esempi per chiarezza:
- 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
- 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.
Notiamo che le operazioni con valori numerici davanti a variabili avvengono secondo il solito regole matematiche. E se guardi da vicino, diventa chiaro che gli elementi di potere dell'espressione "funzionano" in modo simile:
- elevare un membro a potenza significa moltiplicarlo per se stesso un certo numero di volte, ad es. x 2 \u003d x × x;
- la divisione è simile: se espandi il grado del numeratore e del denominatore, alcune delle variabili verranno ridotte, mentre il resto viene "raccolto", il che equivale alla sottrazione.
Come in ogni attività, quando si semplificano le espressioni algebriche, non è necessaria solo la conoscenza delle basi, ma anche la pratica. Dopo poche lezioni, esempi che una volta sembravano complicati verranno ridotti senza troppe difficoltà, trasformandosi in esempi brevi e facilmente risolvibili.
video
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Se devi risolvere frazioni negative, usa semplicemente le proprietà meno. Quando si moltiplicano e si dividono frazioni negative, meno per meno dà più. Cioè, il prodotto e la divisione delle frazioni negative è uguale al prodotto e alla divisione delle stesse frazioni positive. Se una frazione è negativa quando viene moltiplicata o divisa, rimuovi semplicemente il meno e poi aggiungilo al risultato. Quando si aggiungono frazioni negative, il risultato sarà lo stesso che se si aggiungessero le stesse frazioni positive. Se aggiungi una frazione negativa, equivale a sottrarre la stessa frazione positiva.
Quando si sottraono le frazioni negative, il risultato sarà lo stesso che se fossero state invertite e rese positive. Cioè, un meno per un meno in questo caso dà un vantaggio e la somma non cambia da un riarrangiamento dei termini. Usiamo le stesse regole quando sottraiamo le frazioni, una delle quali è negativa.
Per le soluzioni frazioni miste(di frazioni con la parte intera evidenziata) trasforma semplicemente la parte intera in una frazione. Per fare ciò, moltiplica la parte intera per il denominatore e aggiungi al numeratore.
Se devi risolvere 3 o più frazioni online, dovresti risolverle una per una. Innanzitutto, conta le prime 2 frazioni, quindi risolvi la frazione successiva con la risposta ricevuta e così via. Esegui le operazioni a turno per 2 frazioni e alla fine otterrai la risposta corretta.
Consideriamo l'argomento della trasformazione delle espressioni con i poteri, ma prima ci soffermeremo su una serie di trasformazioni che possono essere eseguite con qualsiasi espressione, comprese quelle di potere. Impareremo come aprire le parentesi, dare termini simili, lavorare con la base e l'esponente, usare le proprietà delle potenze.
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Cosa sono le espressioni di potenza?
Nel corso scolastico, poche persone usano la frase " espressioni di potere”, ma questo termine si trova costantemente nelle raccolte per la preparazione all'esame. Nella maggior parte dei casi, la frase denota espressioni che contengono gradi nelle loro voci. Questo è ciò che rifletteremo nella nostra definizione.
Definizione 1
Espressione di potereè un'espressione che contiene gradi.
Facciamo alcuni esempi di espressioni di potere, partendo dal grado con indicatore naturale e terminare con una laurea con un vero esponente.
Le espressioni di potenza più semplici possono essere considerate potenze di un numero con esponente naturale: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + un 2 , x 3 - 1 , (un 2) 3 . Oltre alle potenze con esponente zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . E potenze con potenze intere negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
È un po' più difficile lavorare con una laurea che ha esponenti razionali e irrazionali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
L'indicatore può essere una variabile 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o un logaritmo x 2 l g x − 5 x l g x.
Abbiamo affrontato la questione di cosa siano le espressioni di potere. Ora diamo un'occhiata alla loro trasformazione.
I principali tipi di trasformazioni delle espressioni di potere
Prima di tutto, considereremo le trasformazioni di base dell'identità delle espressioni che possono essere eseguite con le espressioni di potenza.
Esempio 1
Calcola il valore dell'espressione di potenza 2 3 (4 2 - 12).
Soluzione
Effettueremo tutte le trasformazioni in conformità con l'ordine delle azioni. In questo caso, inizieremo eseguendo le azioni tra parentesi: sostituiremo il grado con un valore digitale e calcoleremo la differenza tra i due numeri. Abbiamo 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.
Resta da sostituire la laurea 2 3 il suo significato 8 e calcola il prodotto 8 4 = 32. Ecco la nostra risposta.
Risposta: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
Esempio 2
Semplifica l'espressione con i poteri 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7.
Soluzione
L'espressione data a noi nella condizione del problema contiene termini simili, che possiamo portare: 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7 = 5 un 4 b - 7 - 1.
Risposta: 3 un 4 b - 7 - 1 + 2 un 4 b - 7 = 5 un 4 b - 7 - 1 .
Esempio 3
Esprimi un'espressione con potenze di 9 - b 3 · π - 1 2 come prodotto.
Soluzione
Rappresentiamo il numero 9 come una potenza 3 2 e applica la formula di moltiplicazione abbreviata:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Risposta: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
E passiamo ora all'analisi delle trasformazioni identiche che possono essere applicate specificamente alle espressioni di potere.
Lavorare con base ed esponente
Il grado nella base o nell'esponente può avere numeri, variabili e alcune espressioni. Per esempio, (2 + 0 , 3 7) 5 - 3 , 7 E . È difficile lavorare con tali record. È molto più facile sostituire l'espressione nella base del grado o l'espressione nell'esponente con un'espressione identicamente uguale.
Le trasformazioni del grado e dell'indicatore vengono eseguite secondo le regole a noi note separatamente l'una dall'altra. La cosa più importante è che come risultato delle trasformazioni si ottiene un'espressione identica a quella originale.
Lo scopo delle trasformazioni è quello di semplificare l'espressione originale o di ottenere una soluzione al problema. Ad esempio, nell'esempio che abbiamo dato sopra, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 puoi eseguire operazioni per andare al grado 4 , 1 1 , 3 . Aprendo le parentesi, possiamo riportare termini simili nella base del grado (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) e ottieni un'espressione di potere finita forma semplice un 2 (x + 1).
Utilizzo delle proprietà di alimentazione
Le proprietà dei gradi, scritte come uguaglianze, sono uno degli strumenti principali per trasformare le espressioni con gradi. Vi presentiamo qui i principali, considerato questo UN E Bè qualsiasi numeri positivi, UN R E S- numeri reali arbitrari:
Definizione 2
- un r un s = un r + s ;
- un r: un s = un r - s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r s .
Nei casi in cui abbiamo a che fare con esponenti naturali, interi, positivi, le restrizioni sui numeri a e b possono essere molto meno stringenti. Quindi, per esempio, se consideriamo l'uguaglianza una m una n = una m + n, Dove M E N sono numeri naturali, allora sarà vero per qualsiasi valore di a, sia positivo che negativo, così come per un = 0.
È possibile applicare le proprietà dei gradi senza restrizioni nei casi in cui le basi dei gradi sono positive o contengono variabili, l'area valori consentiti che è tale che le basi su di esso assumono solo valori positivi. Infatti dentro curriculum scolastico in matematica, il compito dello studente è scegliere la proprietà appropriata e applicarla correttamente.
Durante la preparazione per l'ammissione alle università, potrebbero esserci compiti in cui l'applicazione imprecisa delle proprietà porterà a un restringimento dell'ODZ e ad altre difficoltà con la soluzione. In questa sezione considereremo solo due di questi casi. Ulteriori informazioni sull'argomento sono disponibili nell'argomento "Trasformazione di espressioni utilizzando le proprietà degli esponenti".
Esempio 4
Rappresenta l'espressione a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 come una laurea con una base UN.
Soluzione
Per cominciare, usiamo la proprietà esponenziale e trasformiamo il secondo fattore usandola (un 2) - 3. Quindi usiamo le proprietà di moltiplicazione e divisione dei poteri con la stessa base:
un 2 , 5 un − 6: un − 5 , 5 = un 2 , 5 − 6: un − 5 , 5 = un − 3 , 5: un − 5 , 5 = un − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = un 2 .
Risposta: un 2 , 5 (un 2) - 3: un - 5 , 5 = un 2 .
La trasformazione delle espressioni di potenza secondo la proprietà dei gradi può essere effettuata sia da sinistra a destra che nella direzione opposta.
Esempio 5
Trova il valore dell'espressione di potenza 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Soluzione
Se applichiamo l'uguaglianza (a b) r = a r b r, da destra a sinistra, quindi otteniamo un prodotto della forma 3 7 1 3 21 2 3 e poi 21 1 3 21 2 3 . Aggiungiamo gli esponenti quando moltiplichiamo le potenze con le stesse basi: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
C'è un altro modo per fare trasformazioni:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Risposta: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Esempio 6
Data un'espressione di potenza un 1 , 5 - un 0 , 5 - 6, inserisci una nuova variabile t = un 0 , 5.
Soluzione
Immagina la laurea un 1, 5 Come uno 0, 5 3. Utilizzo della proprietà degree in a degree (a r) s = a r s da destra a sinistra e ottieni (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Nell'espressione risultante, puoi facilmente introdurre una nuova variabile t = un 0 , 5: Ottenere t 3 - t - 6.
Risposta: t 3 - t - 6 .
Conversione di frazioni contenenti potenze
Di solito ci occupiamo di due varianti di espressioni di potenza con frazioni: l'espressione è una frazione con un grado o contiene tale frazione. Tutte le trasformazioni di frazione di base sono applicabili a tali espressioni senza restrizioni. Possono essere ridotti, portati a un nuovo denominatore, lavorare separatamente con numeratore e denominatore. Illustriamolo con degli esempi.
Esempio 7
Semplifica l'espressione di potenza 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
Soluzione
Abbiamo a che fare con una frazione, quindi eseguiremo trasformazioni sia al numeratore che al denominatore:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Metti un meno davanti alla frazione per cambiare il segno del denominatore: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Risposta: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Le frazioni contenenti potenze sono ridotte a un nuovo denominatore allo stesso modo di frazioni razionali. Per fare ciò, devi trovare un fattore aggiuntivo e moltiplicare per esso il numeratore e il denominatore della frazione. È necessario selezionare un fattore aggiuntivo in modo tale che non svanisca per alcun valore delle variabili dalle variabili ODZ per l'espressione originale.
Esempio 8
Porta le frazioni a un nuovo denominatore: a) a + 1 a 0, 7 al denominatore UN, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 al denominatore x + 8 y 1 2 .
Soluzione
a) Scegliamo un fattore che ci permetterà di ridurre a un nuovo denominatore. un 0 , 7 un 0 , 3 = un 0 , 7 + 0 , 3 = un , pertanto, come fattore aggiuntivo, prendiamo uno 0, 3. L'intervallo di valori ammissibili della variabile a comprende l'insieme di tutti i numeri reali positivi. In questo settore, il grado uno 0, 3 non va a zero.
Moltiplichiamo il numeratore e il denominatore di una frazione per uno 0, 3:
la + 1 la 0, 7 = la + 1 la 0, 3 la 0, 7 la 0, 3 = la + 1 la 0, 3 la
b) Prestare attenzione al denominatore:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Moltiplica questa espressione per x 1 3 + 2 · y 1 6 , otteniamo la somma dei cubi x 1 3 e 2 · y 1 6 , cioè x + 8 · y 1 2 . Questo è il nostro nuovo denominatore, a cui dobbiamo portare la frazione originale.
Quindi abbiamo trovato un ulteriore fattore x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sulla gamma di valori accettabili di variabili X E si l'espressione x 1 3 + 2 y 1 6 non svanisce, quindi possiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per essa:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Risposta: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 e 1 2 .
Esempio 9
Ridurre la frazione: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - si 1 4 la 1 2 - si 1 2.
Soluzione
a) Usa il massimo comune denominatore (MCD) di cui il numeratore e il denominatore possono essere ridotti. Per i numeri 30 e 45, questo è 15 . Possiamo anche ridurre x0,5+1 e su x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
Noi abbiamo:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
b) Qui la presenza di fattori identici non è evidente. Dovrai eseguire alcune trasformazioni per ottenere gli stessi fattori nel numeratore e nel denominatore. Per fare ciò, espandiamo il denominatore usando la formula della differenza dei quadrati:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 un 1 4 + b 1 4
Risposta: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) un 1 4 - b 1 4 un 1 2 - b 1 2 = 1 un 1 4 + b 1 4 .
Le principali operazioni con le frazioni includono la riduzione a un nuovo denominatore e la riduzione delle frazioni. Entrambe le azioni vengono eseguite in conformità con una serie di regole. Quando si aggiungono e si sottraggono frazioni, le frazioni vengono prima ridotte a un comune denominatore, dopodiché le azioni (addizione o sottrazione) vengono eseguite con i numeratori. Il denominatore rimane lo stesso. Il risultato delle nostre azioni è una nuova frazione, il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il denominatore è il prodotto dei denominatori.
Esempio 10
Eseguire i passaggi x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Soluzione
Iniziamo sottraendo le frazioni che sono tra parentesi. Portiamoli a un comune denominatore:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Sottraiamo i numeratori:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Ora moltiplichiamo le frazioni:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Riduciamo di un grado x 1 2, otteniamo 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
Inoltre, puoi semplificare l'espressione della potenza nel denominatore usando la formula per la differenza dei quadrati: quadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
Risposta: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Esempio 11
Semplifica l'espressione di potenza x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Soluzione
Possiamo ridurre la frazione di (x 2 , 7 + 1) 2. Otteniamo una frazione x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Continuiamo le trasformazioni di x potenze x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Ora puoi usare la proprietà della divisione di potenza con le stesse basi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Passiamo dall'ultimo prodotto alla frazione x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Risposta: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Nella maggior parte dei casi è più conveniente trasferire moltiplicatori con esponente negativo dal numeratore al denominatore e viceversa cambiando il segno dell'esponente. Questa azione semplifica l'ulteriore decisione. Facciamo un esempio: l'espressione di potenza (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 può essere sostituita da x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Conversione di espressioni con radici e potenze
Nei compiti ci sono espressioni di potenza che contengono non solo gradi con esponenti frazionari, ma anche radici. È auspicabile ridurre tali espressioni solo alle radici o solo alle potenze. Il passaggio ai gradi è preferibile, poiché sono più facili da lavorare. Tale transizione è particolarmente vantaggiosa quando il DPV delle variabili per l'espressione originale consente di sostituire le radici con potenze senza dover accedere al modulo o suddividere il DPV in più intervalli.
Esempio 12
Esprimi l'espressione x 1 9 x x 3 6 come potenza.
Soluzione
Intervallo valido di una variabile Xè determinata da due disuguaglianze x ≥ 0 e x · x 3 ≥ 0 , che definiscono l'insieme [ 0 , + ∞) .
Su questo set, abbiamo il diritto di passare dalle radici ai poteri:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Utilizzando le proprietà dei gradi, semplifichiamo l'espressione di potenza risultante.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Risposta: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Conversione di potenze con variabili nell'esponente
Queste trasformazioni sono abbastanza semplici da eseguire se si utilizzano correttamente le proprietà del grado. Per esempio, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Possiamo sostituire il prodotto del grado, in base al quale si trova la somma di una variabile e di un numero. Sul lato sinistro, questo può essere fatto con il primo e l'ultimo termine sul lato sinistro dell'espressione:
5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .
Ora dividiamo entrambi i lati dell'equazione per 7 2x. Questa espressione sull'ODZ della variabile x assume solo valori positivi:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Riduciamo le frazioni con le potenze, otteniamo: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Infine, il rapporto di potenze con gli stessi esponenti è sostituito da potenze di rapporti, che porta all'equazione 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , che è equivalente a 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Introduciamo una nuova variabile t = 5 7 x , che riduce la soluzione dell'originale equazione esponenziale ad una decisione equazione quadrata 5 t 2 - 3 t - 2 = 0 .
Conversione di espressioni con potenze e logaritmi
Le espressioni contenenti potenze e logaritmi si trovano anche nei problemi. Esempi di tali espressioni sono: 1 4 1 - 5 log 2 3 o log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . La trasformazione di tali espressioni viene effettuata utilizzando gli approcci discussi sopra e le proprietà dei logaritmi, che abbiamo analizzato in dettaglio nell'argomento "Trasformazione di espressioni logaritmiche".
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§ 1 Il concetto di semplificazione di un'espressione letterale
In questa lezione conosceremo il concetto di “termini simili” e, attraverso esempi, impareremo come eseguire la riduzione di termini simili, semplificando così le espressioni letterali.
Scopriamo il significato del concetto di "semplificazione". La parola "semplificazione" deriva dalla parola "semplificare". Semplificare significa rendere semplice, più semplice. Pertanto, semplificare un'espressione letterale significa renderla più breve, con un numero minimo di azioni.
Considera l'espressione 9x + 4x. Questa è un'espressione letterale che è una somma. I termini qui sono presentati come prodotti di un numero e una lettera. Il fattore numerico di tali termini è chiamato coefficiente. In questa espressione, i coefficienti saranno i numeri 9 e 4. Si noti che il moltiplicatore rappresentato dalla lettera è lo stesso in entrambi i termini di questa somma.
Ricordiamo la legge distributiva della moltiplicazione:
Per moltiplicare la somma per un numero, puoi moltiplicare ciascun termine per questo numero e sommare i prodotti risultanti.
IN vista generaleè scritto come segue: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.
Questa legge vale in entrambe le direzioni ac + bc = (a + b) ∙ c
Applichiamolo alla nostra espressione letterale: la somma dei prodotti di 9x e 4x è uguale al prodotto, il cui primo fattore è la somma di 9 e 4, il secondo fattore è x.
9 + 4 = 13 fa 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Invece di tre azioni nell'espressione, è rimasta un'azione: la moltiplicazione. Quindi, abbiamo semplificato la nostra espressione letterale, ad es. semplificato.
§ 2 Riduzione di termini simili
I termini 9x e 4x differiscono solo per i loro coefficienti: tali termini sono chiamati simili. La parte letterale di termini simili è la stessa. Termini simili includono anche numeri e termini uguali.
Ad esempio, nell'espressione 9a + 12 - 15, i numeri 12 e -15 saranno termini simili, e nella somma dei prodotti di 12 e 6a, i numeri 14 e i prodotti di 12 e 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), i termini uguali saranno simili, rappresentati dal prodotto di 12 e 6a.
È importante notare che i termini che hanno coefficienti uguali e fattori letterali diversi non sono simili, anche se a volte è utile applicare loro la legge distributiva della moltiplicazione, ad esempio, la somma dei prodotti di 5x e 5y è uguale al prodotto del numero 5 e della somma di x e y
5x + 5y = 5(x + y).
Semplifichiamo l'espressione -9a + 15a - 4 + 10.
In questo caso, i termini -9a e 15a sono termini simili, poiché differiscono solo per i loro coefficienti. Hanno lo stesso moltiplicatore di lettere e anche i termini -4 e 10 sono simili, poiché sono numeri. Aggiungiamo termini simili:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Otteniamo: 6a + 6.
Semplificando l'espressione, abbiamo trovato le somme dei termini simili, in matematica si chiama riduzione dei termini simili.
Se portare tali termini è difficile, puoi inventare parole per loro e aggiungere oggetti.
Si consideri ad esempio l'espressione:
Per ogni lettera prendiamo il nostro oggetto: b-mela, c-pera, quindi risulterà: 2 mele meno 5 pere più 8 pere.
Possiamo sottrarre le pere dalle mele? Ovviamente no. Ma possiamo aggiungere 8 pere a meno 5 pere.
Diamo termini simili -5 pere + 8 pere. I termini simili hanno la stessa parte letterale, quindi, riducendo i termini simili, è sufficiente aggiungere i coefficienti e aggiungere la parte letterale al risultato:
(-5 + 8) pere - ottieni 3 pere.
Tornando alla nostra espressione letterale, abbiamo -5s + 8s = 3s. Quindi, dopo aver ridotto termini simili, otteniamo l'espressione 2b + 3c.
Quindi, in questa lezione, hai familiarizzato con il concetto di "termini simili" e hai imparato a semplificare le espressioni letterali portando termini simili.
Elenco della letteratura utilizzata:
- Matematica. 6° grado: programma della lezione al libro di testo di I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autore-compilatore L.A. Topilin. Mnemosine 2009.
- Matematica. Grado 6: libro di testo per studenti istituzioni educative. II Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
- Matematica. Grado 6: libro di testo per istituzioni educative / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov e altri / a cura di G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Accademia Russa delle Scienze, Accademia Russa dell'Educazione. M.: "Illuminismo", 2010.
- Matematica. Grado 6: libro di testo per istituti di istruzione generale / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
- Matematica. Grado 6: libro di testo / G.K. Muravin, O.V. Formica. – M.: Otarda, 2014.
Immagini usate:
Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
La somma dei monomi si chiama polinomio. I termini in un polinomio sono detti membri del polinomio. I mononomi sono anche indicati come polinomi, considerando un monomio come un polinomio costituito da un membro.
Ad esempio, polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
può essere semplificato.
Rappresentiamo tutti i termini come monomi della forma standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Diamo termini simili nel polinomio risultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Il risultato è un polinomio, i cui membri sono tutti monomi della forma standard, e tra loro non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.
Dietro grado polinomiale forma standard prende il più grande dei poteri dei suoi membri. Quindi, il binomio \(12a^2b - 7b \) ha il terzo grado, e il trinomio \(2b^2 -7b + 6 \) ha il secondo.
Di solito, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente dei suoi esponenti. Per esempio:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
La somma di più polinomi può essere convertita (semplificata) in un polinomio in forma standard.
A volte i membri di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ciascun gruppo tra parentesi. Poiché le parentesi sono l'opposto delle parentesi, è facile da formulare regole di apertura delle parentesi:
Se il segno + è posto prima delle parentesi, allora i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con gli stessi segni.
Se un segno "-" è posto davanti alle parentesi, allora i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con segni opposti.
Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio
Utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione, si può trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e un polinomio in un polinomio. Per esempio:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e ciascuno dei termini del polinomio.
Questo risultato è solitamente formulato come regola.
Per moltiplicare un monomio per un polinomio, bisogna moltiplicare questo monomio per ciascuno dei termini del polinomio.
Abbiamo usato ripetutamente questa regola per moltiplicare per una somma.
Il prodotto di polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi
In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e ciascun termine dell'altro.
Di solito usa la seguente regola.
Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.
Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma, differenza e quadrati delle differenze
Alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche devono essere trattate più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), cioè il quadrato della somma, il quadrato della differenza e quadrato della differenza. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano essere incompleti, quindi, ad esempio, \((a + b)^2 \) è, ovviamente, non solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di a e b. Tuttavia, il quadrato della somma di a e b non è così comune, di regola, invece delle lettere a e b, contiene varie espressioni, a volte piuttosto complesse.
Le espressioni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sono facili da convertire (semplificare) in polinomi della forma standard, infatti, hai già incontrato un compito del genere durante la moltiplicazione dei polinomi :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Le identità risultanti sono utili da ricordare e applicare senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e al doppio prodotto.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - il quadrato della differenza è la somma dei quadrati senza raddoppiare il prodotto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza per la somma.
Queste tre identità consentono nelle trasformazioni di sostituire le loro parti sinistre con quelle destre e viceversa - parti destre con quelle sinistre. La cosa più difficile in questo caso è vedere le espressioni corrispondenti e capire quali variabili a e b vengono sostituite in esse. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.