Note importanti!
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Spesso sentiamo questa frase spiacevole: "semplificare l'espressione." Di solito vediamo una specie di mostro come questo:
“È molto più semplice”, diciamo, ma una risposta del genere di solito non funziona.
Ora ti insegnerò a non aver paura di tali compiti.
Inoltre, alla fine della lezione semplificherai questo esempio per (solo!) numero regolare(sì, al diavolo queste lettere).
Ma prima di iniziare questa attività, devi essere in grado di farlo gestire le frazioni E polinomi dei fattori.
Pertanto, se non l'hai mai fatto prima, assicurati di padroneggiare gli argomenti “” e “”.
Lo hai letto? Se sì, allora ora sei pronto.
Andiamo! (Andiamo!)
Operazioni di base per la semplificazione delle espressioni
Ora diamo un'occhiata alle tecniche di base utilizzate per semplificare le espressioni.
Il più semplice è
1. Portare simili
Cosa sono simili? L'hai fatto in seconda media, quando in matematica sono apparse per la prima volta le lettere al posto dei numeri.
Simile- questi sono termini (monomi) con la stessa lettera.
Ad esempio, nella somma, termini simili sono e.
Ti ricordi?
Dai simile- significa aggiungere diversi termini simili tra loro e ottenere un termine.
Come possiamo mettere insieme le lettere? - tu chiedi.
Questo è molto facile da capire se immagini che le lettere siano una sorta di oggetti.
Ad esempio, una lettera è una sedia. Allora a cosa equivale l'espressione?
Due sedie più tre sedie, quante saranno? Esatto, sedie: .
Ora prova questa espressione: .
Per evitare confusione, lasciamo lettere diverse rappresentare oggetti diversi.
Ad esempio, - è (come al solito) una sedia e - è un tavolo.
sedie tavoli sedie tavoli sedie sedie tavoli
Vengono chiamati i numeri per i quali vengono moltiplicate le lettere in tali termini coefficienti.
Ad esempio, in un monomio il coefficiente è uguale. E in esso è uguale.
Quindi, la regola per portarne di simili è:
Esempi:
Forniscine di simili:
Risposte:
2. (e simili, poiché, quindi, questi termini hanno la stessa parte alfabetica).
2. Fattorizzazione
Questo di solito è più una parte importante nella semplificazione delle espressioni.
Dopo aver fornito quelli simili, molto spesso è necessaria l'espressione risultante fattorizzare, cioè presentato sotto forma di prodotto.
Soprattutto questo importante nelle frazioni: dopo tutto, per poter ridurre la frazione, Il numeratore e il denominatore devono essere rappresentati come prodotto.
Hai esaminato i metodi di fattorizzazione delle espressioni in dettaglio nell'argomento "", quindi qui devi solo ricordare cosa hai imparato.
Per fare ciò, risolvi diversi esempi (devi fattorizzarli)
Esempi:
Soluzioni:
3. Ridurre una frazione.
Ebbene, cosa potrebbe esserci di più piacevole che cancellare parte del numeratore e del denominatore e buttarli fuori dalla tua vita?
Questa è la bellezza del ridimensionamento.
È semplice:
Se numeratore e denominatore contengono gli stessi fattori, possono essere ridotti, cioè rimossi dalla frazione.
Questa regola deriva dalla proprietà fondamentale di una frazione:
Cioè, l'essenza dell'operazione di riduzione è questa Dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per lo stesso numero (o per la stessa espressione).
Per ridurre una frazione è necessario:
1) numeratore e denominatore fattorizzare
2) se il numeratore e il denominatore contengono fattori comuni, possono essere cancellati.
Esempi:
Il principio, credo, è chiaro?
Vorrei attirare la vostra attenzione su una cosa errore tipico quando si contrae. Sebbene questo argomento sia semplice, molte persone sbagliano tutto senza capirlo ridurre- questo significa dividere numeratore e denominatore sono lo stesso numero.
Nessuna abbreviazione se il numeratore o il denominatore è una somma.
Ad esempio: dobbiamo semplificare.
Alcune persone fanno così: il che è assolutamente sbagliato.
Altro esempio: ridurre.
Il “più intelligente” farà questo:
Dimmi cosa c'è che non va qui? Sembrerebbe: - questo è un moltiplicatore, il che significa che può essere ridotto.
Ma no: - questo è un fattore di un solo termine nel numeratore, ma il numeratore stesso nel suo insieme non è fattorizzato.
Ecco un altro esempio: .
Questa espressione è fattorizzata, il che significa che puoi ridurla, cioè dividere il numeratore e il denominatore per, e poi per:
Puoi immediatamente dividerlo in:
Per evitare tali errori, ricorda modo semplice come determinare se un'espressione è fattorizzata:
L'operazione aritmetica eseguita per ultima quando si calcola il valore di un'espressione è l'operazione “principale”.
Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numero invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione viene fattorizzata).
Se l'ultima azione è un'addizione o una sottrazione, significa che l'espressione non è fattorizzata (e quindi non può essere ridotta).
Per rafforzare questo, risolvi tu stesso alcuni esempi:
Esempi:
Soluzioni:
4. Addizione e sottrazione di frazioni. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.
L'addizione e la sottrazione delle frazioni ordinarie è un'operazione familiare: cerchiamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e addizioniamo/sottraiamo i numeratori.
Ricordiamo:
Risposte:
1. I denominatori e sono relativamente primi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, il LCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il denominatore comune:
2. Qui il denominatore comune è:
3. La prima cosa qui frazioni miste li trasformiamo in errati e poi seguiamo il solito schema:
La questione è completamente diversa se le frazioni contengono lettere, ad esempio:
Cominciamo con qualcosa di semplice:
a) I denominatori non contengono lettere
Qui tutto è uguale a quello delle frazioni numeriche ordinarie: troviamo il denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottraiamo i numeratori:
Ora nel numeratore puoi fornire quelli simili, se presenti, e fattorizzarli:
Prova tu stesso:
Risposte:
b) I denominatori contengono lettere
Ricordiamo il principio di trovare un denominatore comune senza lettere:
· innanzitutto determiniamo i fattori comuni;
· poi scriviamo uno alla volta tutti i fattori comuni;
· e moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.
Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li scomponiamo prima in fattori primi:
Sottolineiamo i fattori comuni:
Ora scriviamo uno alla volta i fattori comuni e aggiungiamo ad essi tutti i fattori non comuni (non sottolineati):
Questo è il denominatore comune.
Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente nello stesso modo:
· fattorizzare i denominatori;
· determinare fattori comuni (identici);
· scrivere tutti i fattori comuni una volta;
· moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.
Quindi, in ordine:
1) fattorizzare i denominatori:
2) determinare fattori comuni (identici):
3) scrivi una volta tutti i fattori comuni e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):
Quindi qui c'è un denominatore comune. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda per:
A proposito, c'è un trucco:
Per esempio: .
Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo che tutti con indicatori diversi. Il denominatore comune sarà:
in una certa misura
in una certa misura
in una certa misura
in una certa misura.
Complichiamo il compito:
Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?
Ricordiamo la proprietà base di una frazione:
Da nessuna parte viene detto che lo stesso numero può essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!
Guarda tu stesso: prendi qualsiasi frazione, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio, . Cos'hai imparato?
Quindi, un'altra regola irremovibile:
Quando riduci le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!
Ma per cosa bisogna moltiplicare per ottenere?
Quindi moltiplica per. E moltiplicare per:
Chiameremo “fattori elementari” le espressioni che non possono essere fattorizzate.
Ad esempio, questo è un fattore elementare. - Stesso. Ma no: può essere fattorizzato.
E l'espressione? È elementare?
No, perché può essere fattorizzato:
(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").
Quindi, i fattori elementari in cui espandi l'espressione con le lettere sono un analogo fattori primari, in cui scomponi i numeri. E li tratteremo allo stesso modo.
Vediamo che entrambi i denominatori hanno un moltiplicatore. Andrà al denominatore comune del grado (ricordate perché?).
Il fattore è elementare e non hanno un fattore comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:
Un altro esempio:
Soluzione:
Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come fattorizzarli? Entrambi rappresentano:
Grande! Poi:
Un altro esempio:
Soluzione:
Come al solito fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore lo mettiamo semplicemente tra parentesi; nel secondo - la differenza dei quadrati:
Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono simili... Ed è vero:
Quindi scriviamo:
Cioè, è risultato così: all'interno della parentesi abbiamo scambiato i termini e allo stesso tempo il segno davanti alla frazione è cambiato al contrario. Prendi nota, dovrai farlo spesso.
Ora portiamolo ad un denominatore comune:
Fatto? Controlliamolo ora.
Compiti per una soluzione indipendente:
Risposte:
5. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.
Bene, la parte più difficile è ormai passata. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:
Procedura
Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda calcolando il significato di questa espressione:
Hai contato?
Dovrebbe funzionare.
Quindi, lascia che te lo ricordi.
Il primo passo è calcolare la laurea.
Il secondo è la moltiplicazione e la divisione. Se si effettuano più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, è possibile eseguirle in qualsiasi ordine.
E infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni. Ancora una volta, in qualsiasi ordine.
Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata a sproposito!
Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, prima calcoliamo l'espressione in ciascuna parentesi, quindi le moltiplichiamo o dividiamo.
Cosa succede se ci sono più parentesi all'interno delle parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Quando calcoli un'espressione, cosa dovresti fare prima? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.
Quindi, la procedura per l'espressione di cui sopra è la seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, cioè l'azione che sto eseguendo in questo momento):
Ok, è tutto semplice.
Ma questa non è la stessa cosa di un'espressione con lettere?
No, è lo stesso! Solo che invece delle operazioni aritmetiche, devi eseguire quelle algebriche, ovvero le azioni descritte nella sezione precedente: portando simili, sommando frazioni, riducendo frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione di fattorizzazione dei polinomi (lo usiamo spesso quando lavoriamo con le frazioni). Molto spesso, per fattorizzare, è necessario utilizzare I o semplicemente mettere il fattore comune tra parentesi.
Di solito il nostro obiettivo è rappresentare l'espressione come prodotto o quoziente.
Per esempio:
Semplifichiamo l'espressione.
1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. In questo caso abbiamo una differenza di frazioni e il nostro obiettivo è presentarla come prodotto o quoziente. Quindi portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:
È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione; qui tutti i fattori sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).
2) Otteniamo:
Moltiplicare le frazioni: cosa potrebbe essere più semplice.
3) Ora puoi abbreviare:
OK, è tutto finito adesso. Niente di complicato, vero?
Un altro esempio:
Semplifica l'espressione.
Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo dopo guarda la soluzione.
Soluzione:
Prima di tutto, determiniamo l'ordine delle azioni.
Per prima cosa aggiungiamo le frazioni tra parentesi, così invece di due frazioni ne otteniamo una.
Poi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione.
Numererò schematicamente i passaggi:
Infine ti darò due consigli utili:
1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. Qualunque sia il momento in cui si presentano casi simili nel nostro Paese, è opportuno segnalarli immediatamente.
2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, bisogna sfruttarla. L'eccezione è per le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora lo hanno stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere rimandata a dopo.
Ecco alcuni compiti che puoi risolvere da solo:
E ciò che è stato promesso all'inizio:
Risposte:
Soluzioni (brevi):
Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, hai padroneggiato l'argomento.
Ora passiamo all'apprendimento!
CONVERTIRE LE ESPRESSIONI. FORMULE RIASSUNTIVE E BASE
Operazioni di semplificazione di base:
- Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili è necessario sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
- Fattorizzazione: mettendo il fattore comune tra parentesi, applicandolo, ecc.
- Ridurre una frazione: Il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, il che non modifica il valore della frazione.
1) numeratore e denominatore fattorizzare
2) se numeratore e denominatore hanno fattori comuni, possono essere cancellati.IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!
- Addizione e sottrazione di frazioni:
; - Moltiplicare e dividere le frazioni:
;
Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.
Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!
Ora la cosa più importante.
Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.
Il problema è che questo potrebbe non bastare...
Per quello?
Per completamento avvenuto con successo Esame di Stato Unificato, per l'ammissione all'università con un budget limitato e, SOPRATTUTTO, per la vita.
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Ma questa non è la cosa principale.
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Calcolatrice matematica online v.1.0
La calcolatrice esegue le seguenti operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, lavoro con i decimali, estrazione della radice, esponenziazione, calcolo percentuale e altre operazioni.
Soluzione:
Come utilizzare una calcolatrice matematica
Chiave | Designazione | Spiegazione |
---|---|---|
5 | numeri 0-9 | Numeri arabi. Immettendo numeri interi naturali, zero. Per ottenere un numero intero negativo, è necessario premere il tasto +/- |
. | punto e virgola) | Separatore per indicare una frazione decimale. Se non c'è alcun numero prima del punto (virgola), la calcolatrice sostituirà automaticamente uno zero prima del punto. Ad esempio: verrà scritto .5 - 0.5 |
+ | segno più | Somma di numeri (interi, decimali) |
- | segno meno | Sottrazione di numeri (interi, decimali) |
÷ | segno di divisione | Dividere numeri (interi, decimali) |
X | segno di moltiplicazione | Moltiplicazione di numeri (interi, decimali) |
√ | radice | Estrazione della radice di un numero. Quando si preme nuovamente il pulsante “radice”, viene calcolata la radice del risultato. Ad esempio: radice di 16 = 4; radice di 4 = 2 |
x2 | quadratura | Quadratura di un numero. Premendo nuovamente il pulsante "quadratura" il risultato sarà quadrato, ad esempio: quadrato 2 = 4; quadrato 4 = 16 |
1/x | frazione | Output in frazioni decimali. Il numeratore è 1, il denominatore è il numero inserito |
% | per cento | Ottenere una percentuale di un numero. Per funzionare è necessario inserire: il numero da cui verrà calcolata la percentuale, il segno (più, meno, dividere, moltiplicare), la percentuale in forma numerica, il pulsante "%" |
( | parentesi aperta | Una parentesi aperta per specificare la priorità di calcolo. È necessaria una parentesi chiusa. Esempio: (2+3)*2=10 |
) | parentesi chiusa | Una parentesi chiusa per specificare la priorità di calcolo. È necessaria una parentesi aperta |
± | più meno | Segno inverso |
= | equivale | Visualizza il risultato della soluzione. Sempre sopra la calcolatrice, nel campo “Soluzione”, vengono visualizzati i calcoli intermedi e il risultato. |
← | eliminando un carattere | Rimuove l'ultimo carattere |
CON | Ripristina | Pulsante di reset. Reimposta completamente la calcolatrice alla posizione "0" |
Algoritmo del calcolatore online utilizzando esempi
Aggiunta.
Addizione di numeri interi naturali (5 + 7 = 12)
Somma di numeri interi naturali e negativi ( 5 + (-2) = 3 )
Somma di frazioni decimali (0,3 + 5,2 = 5,5)
Sottrazione.
Sottrarre numeri interi naturali ( 7 - 5 = 2 )
Sottrazione di numeri interi naturali e negativi ( 5 - (-2) = 7 )
Sottrarre le frazioni decimali ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Moltiplicazione.
Prodotto di numeri interi naturali (3 * 7 = 21)
Prodotto di numeri interi naturali e negativi ( 5 * (-3) = -15 )
Prodotto di frazioni decimali ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Divisione.
Divisione di numeri interi naturali (27/3 = 9)
Divisione di numeri interi naturali e negativi (15 / (-3) = -5)
Divisione delle frazioni decimali (6,2 / 2 = 3,1)
Estrazione della radice di un numero.
Estrazione della radice di un numero intero ( root(9) = 3)
Estrazione della radice delle frazioni decimali (root(2.5) = 1.58)
Estrazione della radice di una somma di numeri ( root(56 + 25) = 9)
Estrazione della radice della differenza tra numeri (radice (32 – 7) = 5)
Quadratura di un numero.
Quadratura di un numero intero ( (3) 2 = 9 )
Decimali al quadrato ((2,2)2 = 4,84)
Conversione in frazioni decimali.
Calcolo delle percentuali di un numero
Aumenta il numero 230 del 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Riduci il numero 510 del 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )
Il 18% del numero 140 è (140 * 0,18 = 25,2)
Espressione algebrica in cui, insieme alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, divisione per espressioni letterali, è detta espressione algebrica frazionaria. Queste sono, ad esempio, le espressioni
Chiamiamo frazione algebrica un'espressione algebrica che ha la forma di un quoziente della divisione di due espressioni algebriche intere (ad esempio monomi o polinomi). Queste sono, ad esempio, le espressioni
La terza delle espressioni).
Le trasformazioni identiche delle espressioni algebriche frazionarie sono per la maggior parte destinate a rappresentarle nella forma frazione algebrica. Per trovare il denominatore comune, viene utilizzata la fattorizzazione dei denominatori delle frazioni, termini per trovare il loro minimo comune multiplo. Quando si riducono le frazioni algebriche, la stretta identità delle espressioni può essere violata: è necessario escludere valori di quantità ai quali il fattore con cui viene effettuata la riduzione diventa zero.
Diamo esempi di trasformazioni identiche di espressioni algebriche frazionarie.
Esempio 1: semplificare un'espressione
Tutti i termini possono essere ridotti a un denominatore comune (è conveniente cambiare il segno al denominatore dell'ultimo termine e il segno che lo precede):
La nostra espressione è uguale a uno per tutti i valori tranne questi valori; non è definita e ridurre la frazione è illegale).
Esempio 2. Rappresenta l'espressione come una frazione algebrica
Soluzione. L'espressione può essere presa come denominatore comune. Troviamo in sequenza:
Esercizi
1. Trova i valori delle espressioni algebriche per i valori dei parametri specificati:
2. Fattorizzare.
Calcolatore di ingegneria online
Siamo lieti di presentare a tutti un calcolatore di ingegneria gratuito. Con il suo aiuto, qualsiasi studente può completare rapidamente e, soprattutto, facilmente vari tipi calcoli matematici online.
La calcolatrice è tratta dal sito - calcolatrice scientifica web 2.0Un calcolatore tecnico semplice e facile da usare con un'interfaccia discreta e intuitiva sarà davvero utile per un'ampia gamma di utenti Internet. Ora, ogni volta che hai bisogno di una calcolatrice, vai sul nostro sito Web e utilizza la calcolatrice ingegneristica gratuita.
Una calcolatrice ingegneristica può eseguire sia semplici operazioni aritmetiche che calcoli matematici piuttosto complessi.
Web20calc è una calcolatrice ingegneristica che ha un numero enorme di funzioni, ad esempio come calcolare tutte le funzioni elementari. La calcolatrice supporta anche funzioni trigonometriche, matrici, logaritmi e persino grafici.
Indubbiamente, Web20calc interesserà quel gruppo di persone che stanno cercando soluzioni semplici digita nei motori di ricerca la query: matematica calcolatore in linea. Un'applicazione web gratuita ti aiuterà a calcolare istantaneamente il risultato di alcune espressioni matematiche, ad esempio sottrarre, aggiungere, dividere, estrarre la radice, elevare a potenza, ecc.
Nell'espressione è possibile utilizzare le operazioni di esponenziazione, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, percentuale e la costante PI. Per calcoli complessi è necessario includere le parentesi.
Caratteristiche del calcolatore di ingegneria:
1. operazioni aritmetiche di base;
2. lavorare con i numeri in una forma standard;
3. calcolo di radici trigonometriche, funzioni, logaritmi, esponenziazione;
4. calcoli statistici: addizione, media aritmetica o deviazione standard;
5. utilizzo di celle di memoria e funzioni personalizzate di 2 variabili;
6. lavorare con angoli in radianti e gradi.
La calcolatrice ingegneristica consente l'utilizzo di una varietà di funzioni matematiche:
Estrazione delle radici (quadrata, cubica e ennesima);
ex (e alla x), esponenziale;
funzioni trigonometriche: seno - peccato, coseno - cos, tangente - tan;
funzioni trigonometriche inverse: arcoseno - sin-1, arcocoseno - cos-1, arcotangente - tan-1;
funzioni iperboliche: seno - sinh, coseno - cosh, tangente - tanh;
logaritmi: logaritmo binario in base due - log2x, logaritmo decimale in base dieci - log, logaritmo naturale– ln.
Questo calcolatore tecnico include anche un calcolatore di valore con la possibilità di convertire quantità fisiche per vari sistemi di misurazione: unità di calcolo, distanza, peso, tempo, ecc. Usando questa funzione, puoi convertire istantaneamente miglia in chilometri, libbre in chilogrammi, secondi in ore, ecc.
Per effettuare calcoli matematici, inserisci prima una sequenza di espressioni matematiche nell'apposito campo, quindi fai clic sul segno uguale e visualizza il risultato. Puoi inserire i valori direttamente dalla tastiera (per questo l'area della calcolatrice deve essere attiva, quindi sarebbe utile posizionare il cursore nel campo di immissione). Tra le altre cose, i dati possono essere inseriti utilizzando i pulsanti della calcolatrice stessa.
Per costruire grafici, è necessario scrivere la funzione nel campo di input come indicato nel campo con gli esempi o utilizzare la barra degli strumenti appositamente progettata per questo (per accedervi, fare clic sul pulsante con l'icona del grafico). Per convertire i valori, fare clic su Unità; per lavorare con le matrici, fare clic su Matrice.