Conferenza: "Metodi per la risoluzione di equazioni esponenziali".

1 . equazioni esponenziali.

Le equazioni contenenti incognite nell'esponente sono chiamate equazioni esponenziali. La più semplice di queste è l'equazione ax = b, dove a > 0 e a ≠ 1.

1) Per b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 funzione esponenziale, non ha soluzione.

2) Per b > 0, utilizzando la monotonia della funzione e il teorema della radice, l'equazione ha una sola radice. Per trovarlo, b deve essere rappresentato come b = añ, ax = bñ ó x = c oppure x = logab.

equazioni esponenziali di trasformazioni algebriche portare a equazioni standard, che vengono risolte utilizzando i seguenti metodi:

1) metodo di riduzione a una base;

2) metodo di valutazione;

3) metodo grafico;

4) il metodo di introduzione di nuove variabili;

5) metodo di fattorizzazione;

6) esponenziale - equazioni di potenza;

7) esponenziale con un parametro.

2 . Metodo di riduzione a una base.

Il metodo si basa sulla seguente proprietà dei gradi: se due gradi sono uguali e le loro basi sono uguali, allora i loro esponenti sono uguali, cioè l'equazione dovrebbe essere ridotta alla forma

Esempi. Risolvi l'equazione:

1 . 3x=81;

Rappresentiamo il lato destro dell'equazione nella forma 81 = 34 e scriviamo l'equazione equivalente all'originale 3 x = 34; x = 4. Risposta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> e vai all'equazione per gli esponenti 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Risposta: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Nota che i numeri 0.2, 0.04, √5 e 25 sono potenze di 5. Approfittiamo di questo e trasformiamo l'equazione originale come segue:

, donde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, da cui troviamo la soluzione x = -1. Risposta 1.

5. 3x = 5. Per definizione del logaritmo, x = log35. Risposta: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Riscriviamo l'equazione come 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e.png" width="181" height="49 src="> Quindi x - 4 =0, x = 4. Risposta: quattro.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando le proprietà delle potenze, scriviamo l'equazione nella forma e.x+1 = 2, x =1. Risposta 1.

Banca di compiti n. 1.

Risolvi l'equazione:

Prova numero 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) nessuna radice
	1) 7;1 2) nessuna radice 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Prova n. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nessuna radice 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metodo di valutazione.

Il teorema della radice: se la funzione f (x) aumenta (decrementa) sull'intervallo I, il numero a è un valore qualsiasi preso da f su questo intervallo, allora l'equazione f (x) = a ha una sola radice sull'intervallo I.

Quando si risolvono le equazioni con il metodo di stima, vengono utilizzati questo teorema e le proprietà di monotonicità della funzione.

Esempi. Risolvi equazioni: 1. 4x = 5 -x.

Soluzione. Riscriviamo l'equazione come 4x + x = 5.

1. se x \u003d 1, allora 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 è vero, allora 1 è la radice dell'equazione.

La funzione f(x) = 4x aumenta su R e g(x) = x aumenta su R => h(x)= f(x)+g(x) aumenta su R come somma di funzioni crescenti, quindi x = 1 è l'unica radice dell'equazione 4x = 5 – x. Risposta 1.

2.

Soluzione. Riscriviamo l'equazione nella forma .

1. se x = -1, allora , 3 = 3-vero, quindi x = -1 è la radice dell'equazione.

2. dimostrare che è unico.

3. La funzione f(x) = - diminuisce su R e g(x) = - x - diminuisce su R => h(x) = f(x) + g(x) - diminuisce su R, come somma di funzioni decrescenti. Quindi per il teorema della radice, x = -1 è l'unica radice dell'equazione. Risposta 1.

Banca di compiti n. 2. risolvere l'equazione

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 –x;

4. Metodo per l'introduzione di nuove variabili.

Il metodo è descritto nella sezione 2.1. L'introduzione di una nuova variabile (sostituzione) avviene solitamente dopo le trasformazioni (semplificazione) dei termini dell'equazione. Considera degli esempi.

Esempi. R mangiare equazione: 1. .

Riscriviamo l'equazione in modo diverso: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Soluzione. Riscriviamo l'equazione in modo diverso:

Denota https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - non adatto.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - equazione irrazionale. Notiamo che

La soluzione dell'equazione è x = 2,5 ≤ 4, quindi 2,5 è la radice dell'equazione. Risposta: 2.5.

Soluzione. Riscriviamo l'equazione nella forma e dividiamo entrambi i membri per 56x+6 ≠ 0. Otteniamo l'equazione

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, quindi..png" width="118" height="56">

Le radici dell'equazione quadratica - t1 = 1 e t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Soluzione . Riscriviamo l'equazione nella forma

e si noti che è un'equazione omogenea di secondo grado.

Dividi l'equazione per 42x, otteniamo

Sostituisci https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Risposta: 0; 0,5.

Banco attività n. 3. risolvere l'equazione

b)

G)

Prova n. 3 con una scelta di risposte. Livello minimo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) senza radici 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) senza radici 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prova n. 4 con una scelta di risposte. Livello generale.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) nessuna radice

5. Metodo di fattorizzazione.

1. Risolvi l'equazione: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , da dove

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Soluzione. Prendiamo 6x sul lato sinistro dell'equazione e 2x sul lato destro. Otteniamo l'equazione 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Poiché 2x >0 per ogni x, possiamo dividere entrambi i membri di questa equazione per 2x senza timore di perdere soluzioni. Otteniamo 3x = 1ó x = 0.

3.

Soluzione. Risolviamo l'equazione fattorizzando.

Selezioniamo il quadrato del binomio

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 è la radice dell'equazione.

Equazione x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Prova n. 6 Livello generale.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Esponenziale - equazioni di potenza.

Alle equazioni esponenziali si aggiungono le cosiddette equazioni a potenza esponenziale, cioè equazioni della forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Se è noto che f(x)>0 e f(x) ≠ 1, allora l'equazione, come quella esponenziale, viene risolta eguagliando gli esponenti g(x) = f(x).

Se la condizione non esclude la possibilità di f(x)=0 e f(x)=1, allora dobbiamo considerare questi casi quando si risolve l'equazione della potenza esponenziale.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Soluzione. x2 +2x-8 - ha senso per ogni x, perché un polinomio, quindi l'equazione è equivalente all'insieme

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Equazioni esponenziali con parametri.

1. Per quali valori del parametro p l'equazione 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) ha un'unica soluzione?

Soluzione. Introduciamo la modifica 2x = t, t > 0, quindi l'equazione (1) assumerà la forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Il discriminante dell'equazione (2) è D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'equazione (1) ha una soluzione unica se l'equazione (2) ha una radice positiva. Ciò è possibile nei seguenti casi.

1. Se D = 0, cioè p = 1, l'equazione (2) assumerà la forma t2 – 2t + 1 = 0, quindi t = 1, quindi l'equazione (1) ha una soluzione univoca x = 0.

2. Se p1, allora 9(p – 1)2 > 0, allora l'equazione (2) ha due radici differenti t1 = p, t2 = 4p – 3. L'insieme dei sistemi soddisfa la condizione del problema

Sostituendo t1 e t2 nei sistemi, abbiamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Soluzione. Permettere allora l'equazione (3) assumerà la forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Troviamo i valori del parametro a per il quale almeno una radice dell'equazione (4) soddisfa la condizione t > 0.

Introduciamo la funzione f(t) = t2 – 6t – a. Sono possibili i seguenti casi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinomio quadrato f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. L'equazione (4) ha un'unica soluzione positiva se

D = 0, se a = – 9, l'equazione (4) assumerà la forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Caso 3. L'equazione (4) ha due radici, ma una di esse non soddisfa la disuguaglianza t > 0. Ciò è possibile se

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Pertanto, a 0 l'equazione (4) ha un'unica radice positiva . Allora l'equazione (3) ha una soluzione unica

Per un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

se una< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
se a = – 9, allora x = – 1;

se a  0, allora

Confrontiamo i metodi per risolvere le equazioni (1) e (3). Si noti che quando si risolve l'equazione (1) è stata ridotta a un'equazione quadratica, il cui discriminante è un quadrato intero; quindi, le radici dell'equazione (2) sono state immediatamente calcolate dalla formula delle radici dell'equazione quadratica e quindi sono state tratte conclusioni su queste radici. L'equazione (3) è stata ridotta a un'equazione quadratica (4), il cui discriminante non è un quadrato perfetto, pertanto, quando si risolve l'equazione (3), è consigliabile utilizzare teoremi sulla posizione delle radici di un trinomio quadrato e un modello grafico. Si noti che l'equazione (4) può essere risolta usando il teorema di Vieta.

Risolviamo equazioni più complesse.

Compito 3. Risolvi l'equazione

Soluzione. ODZ: x1, x2.

Introduciamo un sostituto. Sia 2x = t, t > 0, quindi per trasformazioni l'equazione assumerà la forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Troviamo i valori di a per i quali almeno una radice di l'equazione (*) soddisfa la condizione t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Risposta: se a > - 13, a  11, a  5, allora se a - 13,

a = 11, a = 5, quindi non ci sono radici.

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26. Liimets lavora alla lezione. M. Conoscenza, 1975

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Per prima cosa, ricordiamo le formule di base dei gradi e le loro proprietà.

Prodotto di un numero un accade su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Equazioni di potenza o esponenziali- sono equazioni in cui le variabili sono in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

In questo esempio, il numero 6 è la base, è sempre in basso, e la variabile X grado o misura.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2x = 2 3

Un tale esempio può essere risolto anche nella mente. Si può notare che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Ora vediamo come dovrebbe essere presa questa decisione:

2x = 2 3
x = 3

Per risolvere questa equazione, abbiamo rimosso stessi motivi(cioè, due) e annota ciò che è rimasto, questi sono gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che stavamo cercando.

Ora riassumiamo la nostra soluzione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. Necessità di controllare lo stesso se le basi dell'equazione a destra ea sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi sono le stesse, equiparare grado e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora risolviamo alcuni esempi:

Iniziamo in modo semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base e uguagliare i loro gradi.

x+2=4 L'equazione più semplice è risultata.
x=4 - 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente, puoi vedere che le basi sono diverse, queste sono 3 e 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Per cominciare, trasferiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi fare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2 . Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otteniamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ora puoi vederlo a sinistra e lato destro le basi sono le stesse e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle ed eguagliare i gradi.

3x=2x+16 ha ottenuto l'equazione più semplice
3x-2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, le basi sono due e quattro diverse. E dobbiamo essere gli stessi. Trasformiamo la quadrupla secondo la formula (a n) m = a nm .

4x = (2 2)x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per le stesse ragioni. Ma altri numeri 10 e 24 interferiscono con noi: cosa farne? Se guardi da vicino, puoi vedere che sul lato sinistro ripetiamo 2 2x, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 basi sono le stesse, scartale e identifica i gradi.
2x \u003d 2 si è rivelata l'equazione più semplice. Lo dividiamo per 2, otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x - 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Le nostre basi sono le stesse, pari a 3. In questo esempio è chiaro che la prima tripla ha un grado doppio (2x) rispetto alla seconda (solo x). In questo caso, puoi decidere metodo di sostituzione. Il numero con il grado più piccolo è sostituito da:

Quindi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo tutti i gradi con x nell'equazione con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Torna a Variabile X.

Prendiamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Questo è,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo, da t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Risposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sul sito puoi nella sezione AIUTARE A DECIDERE di porre domande di tuo interesse, ti risponderemo sicuramente.

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Le equazioni si dicono esponenziali se l'incognita è contenuta nell'esponente. L'equazione esponenziale più semplice ha la forma: a x \u003d a b, dove a> 0 e 1, x è un'incognita.

Le principali proprietà dei gradi, con l'aiuto delle quali si trasformano le equazioni esponenziali: a>0, b>0.

Quando si risolvono equazioni esponenziali, vengono utilizzate anche le seguenti proprietà della funzione esponenziale: y = a x , a > 0, a1:

Per rappresentare un numero come una potenza, usa la base identità logaritmica: b = , a > 0, a1, b > 0.

Compiti e test sull'argomento "Equazioni esponenziali"

• equazioni esponenziali

  Lezioni: 4 Compiti: 21 Prove: 1

• equazioni esponenziali - Argomenti importanti per la ripetizione dell'esame di matematica

  Compiti: 14

• Sistemi di equazioni esponenziali e logaritmiche - Funzioni esponenziali e logaritmiche Grado 11

  Lezioni: 1 Compiti: 15 Prove: 1

• §2.1. Soluzione di equazioni esponenziali

  Lezioni: 1 Compiti: 27

• §7 Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche - Sezione 5. Funzioni esponenziali e logaritmiche Grado 10

  Lezioni: 1 Compiti: 17

Per risolvere con successo le equazioni esponenziali, è necessario conoscere le proprietà di base delle potenze, le proprietà di una funzione esponenziale e l'identità logaritmica di base.

Quando si risolvono equazioni esponenziali, vengono utilizzati due metodi principali:

1. passaggio dall'equazione a f(x) = a g(x) all'equazione f(x) = g(x);
2. introduzione di nuove linee.

Esempi.

1. Equazioni che si riducono al più semplice. Si risolvono portando entrambi i membri dell'equazione a una potenza con la stessa base.

3x \u003d 9x - 2.

Soluzione:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Risposta: 4.

2. Equazioni risolte mettendo tra parentesi il fattore comune.

Soluzione:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Risposta: 3.

3. Equazioni risolte per cambio di variabile.

Soluzione:

2 2x + 2x - 12 = 0
Indichiamo 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. L'equazione non ha soluzioni, perché 2x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = registro 2 3.

Risposta: registro 2 3.

4. Equazioni contenenti potenze con due basi diverse (non riducibili tra loro).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2x - 2 × 23 = 5x - 2
×23
2x - 2 = 5x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Risposta: 2.

5. Equazioni omogenee rispetto a x e b x .

Forma generale: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Soluzione:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Denota (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Risposta: registro 3/2 2; - registro 3/2 2.

L'uso delle equazioni è molto diffuso nelle nostre vite. Sono usati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. Le equazioni sono state usate dall'uomo fin dall'antichità e da allora il loro uso è solo aumentato. Le equazioni di potenza o esponenziali sono dette equazioni in cui le variabili sono in potenze e la base è un numero. Per esempio:

Risolvere l'equazione esponenziale si riduce a 2 passaggi abbastanza semplici:

1. È necessario verificare se le basi dell'equazione a destra ea sinistra sono le stesse. Se le basi non sono le stesse, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.

2. Dopo che le basi sono diventate le stesse, uguagliamo i gradi e risolviamo la nuova equazione risultante.

Supponiamo di avere un'equazione esponenziale della seguente forma:

Vale la pena iniziare la soluzione di questa equazione con un'analisi della base. Le basi sono diverse - 2 e 4, e per la soluzione abbiamo bisogno che siano le stesse, quindi trasformiamo 4 secondo la seguente formula - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Aggiungi all'equazione originale:

Eliminiamo le parentesi \

espresso \

Poiché i gradi sono gli stessi, li scartiamo:

Risposta: \

Dove posso risolvere un'equazione esponenziale online con un risolutore?

Puoi risolvere l'equazione sul nostro sito Web https: // sito. Il risolutore online gratuito ti consentirà di risolvere un'equazione online di qualsiasi complessità in pochi secondi. Tutto quello che devi fare è inserire i tuoi dati nel risolutore. Puoi anche guardare le istruzioni video e imparare a risolvere l'equazione sul nostro sito web. E se hai domande, puoi farle nel nostro gruppo Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Unisciti al nostro gruppo, siamo sempre felici di aiutarti.

Soluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Che cosa equazione esponenziale? Questa è un'equazione in cui si trovano le incognite (x) e le espressioni con esse indicatori alcuni gradi. E solo lì! È importante.

Eccoti esempi di equazioni esponenziali:

3 x 2 x = 8 x + 3

Nota! Nelle basi dei gradi (sotto) - solo numeri. A indicatori gradi (sopra) - un'ampia varietà di espressioni con x. Se, all'improvviso, appare una x nell'equazione da qualche parte diversa dall'indicatore, ad esempio:

questa sarà l'equazione tipo misto. Tali equazioni non hanno regole chiare per la risoluzione. Non li considereremo per ora. Qui ci occuperemo soluzione di equazioni esponenziali nella sua forma più pura.

In effetti, anche le equazioni esponenziali pure non sono sempre risolte in modo chiaro. Ma ci sono alcuni tipi di equazioni esponenziali che possono e devono essere risolte. Questi sono i tipi che esamineremo.

Soluzione delle equazioni esponenziali più semplici.

Cominciamo con qualcosa di molto semplice. Per esempio:

Anche senza alcuna teoria, per semplice selezione è chiaro che x = 2. Niente di più, vero!? Nessun altro tiro di valore x. E ora diamo un'occhiata alla soluzione di questa complicata equazione esponenziale:

Cosa abbiamo fatto? Noi, infatti, abbiamo appena buttato fuori gli stessi fondi (triple). Completamente buttato fuori. E, che piacere, colpisci nel segno!

Infatti, se nell'equazione esponenziale a sinistra ea destra sono lo stesso numeri in qualsiasi grado, questi numeri possono essere rimossi e gli esponenti uguali. La matematica permette. Resta da risolvere un'equazione molto più semplice. va bene, vero?)

Tuttavia, ricordiamo ironicamente: puoi rimuovere le basi solo quando i numeri di base a sinistra e a destra sono in splendido isolamento! Senza vicini e coefficienti. Diciamo nelle equazioni:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , o

Non puoi rimuovere i doppi!

Bene, abbiamo imparato la cosa più importante. Come passare da espressioni esponenziali malvagie a equazioni più semplici.

"Ecco quei tempi!" - tu dici. "Chi darà un tale primitivo sul controllo e sugli esami!?"

Costretto ad accettare. Nessuno lo farà. Ma ora sai dove andare quando risolvi esempi confusi. È necessario ricordarlo, quando lo stesso numero di base è a sinistra - a destra. Allora tutto sarà più facile. In realtà, questi sono i classici della matematica. Prendiamo l'esempio originale e lo trasformiamo nel desiderato noi mente. Secondo le regole della matematica, ovviamente.

Considera esempi che richiedono uno sforzo aggiuntivo per portarli al più semplice. Chiamiamoli semplici equazioni esponenziali.

Soluzione di semplici equazioni esponenziali. Esempi.

Quando si risolvono equazioni esponenziali, le regole principali sono azioni con poteri. Senza la conoscenza di queste azioni, nulla funzionerà.

Alle azioni con gradi, bisogna aggiungere l'osservazione personale e l'ingegnosità. Abbiamo bisogno degli stessi numeri di base? Quindi li stiamo cercando nell'esempio in una forma esplicita o crittografata.

Vediamo come si fa in pratica?

Facciamo un esempio:

2 2x - 8x+1 = 0

Primo sguardo a motivi. Loro... Sono diversi! Due e otto. Ma è troppo presto per scoraggiarsi. È tempo di ricordarlo

Due e otto sono parenti in grado.) È del tutto possibile scrivere:

8 x+1 = (2 3) x+1

Se ricordiamo la formula dalle azioni con poteri:

(un n) m = un nm ,

generalmente funziona benissimo:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'esempio originale si presenta così:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Trasferiamo 2 3 (x+1) a destra (nessuno ha cancellato le azioni elementari della matematica!), otteniamo:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Questo è praticamente tutto. Rimozione delle basi:

Risolviamo questo mostro e otteniamo

Questa è la risposta corretta.

In questo esempio, conoscere i poteri di due ci ha aiutato. Noi individuato negli otto, il criptato deuce. Questa tecnica (codifica di basi comuni con numeri diversi) è un trucco molto popolare nelle equazioni esponenziali! Sì, anche nei logaritmi. Bisogna essere in grado di riconoscere i poteri di altri numeri nei numeri. Questo è estremamente importante per risolvere equazioni esponenziali.

Il fatto è che elevare qualsiasi numero a qualsiasi potere non è un problema. Moltiplica, anche su un pezzo di carta, e questo è tutto. Ad esempio, tutti possono aumentare 3 alla quinta potenza. 243 risulterà se conosci la tabellina.) Ma nelle equazioni esponenziali, molto più spesso è necessario non elevare a potenza, ma viceversa ... quale numero in che misura si nasconde dietro il numero 243, o, diciamo, 343... Nessuna calcolatrice ti aiuterà qui.

Devi conoscere a vista i poteri di alcuni numeri, sì ... Facciamo pratica?

Determina quali potenze e quali numeri sono numeri:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Risposte (in un pasticcio, ovviamente!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se guardi da vicino, puoi vedere fatto strano. Ci sono più risposte che domande! Bene, succede... Ad esempio, 2 6 , 4 3 , 8 2 fa tutto 64.

Supponiamo che tu abbia preso nota delle informazioni sulla conoscenza dei numeri.) Lascia che ti ricordi che per risolvere le equazioni esponenziali, applichiamo il tutto riserva di conoscenze matematiche. Compreso dalle classi medio-basse. Non sei andato direttamente al liceo, vero?

Ad esempio, quando si risolvono equazioni esponenziali, molto spesso è utile mettere il fattore comune tra parentesi (buongiorno al grado 7!). Vediamo un esempio:

3 2x+4 -11 9x = 210

E ancora, il primo sguardo - sul terreno! Le basi dei gradi sono diverse... Tre e nove. E vogliamo che siano gli stessi. Bene, in questo caso, il desiderio è abbastanza fattibile!) Perché:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Secondo le stesse regole per le azioni con gradi:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

È fantastico, puoi scrivere:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Abbiamo fatto un esempio per le stesse ragioni. Allora, qual è il prossimo passo!? I tre non possono essere buttati fuori ... Vicolo cieco?

Affatto. Ricordando la regola decisionale più universale e potente tutto compiti di matematica:

Se non sai cosa fare, fai quello che puoi!

Guardi, tutto è formato).

Cosa c'è in questa equazione esponenziale Potere fare? Sì, il lato sinistro chiede direttamente le parentesi! Il fattore comune di 3 2x suggerisce chiaramente questo. Proviamo e poi vedremo:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L'esempio continua a migliorare sempre di più!

Ricordiamo che per eliminare le basi occorre un grado puro, senza coefficienti. Il numero 70 ci dà fastidio. Quindi dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 70, otteniamo:

Op-pa! Tutto è andato bene!

Questa è la risposta finale.

Succede, però, che si ottenga il rullaggio per gli stessi motivi, ma non la loro liquidazione. Ciò accade nelle equazioni esponenziali di un altro tipo. Prendiamo questo tipo.

Cambio di variabile nella risoluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Risolviamo l'equazione:

4x - 3 2x +2 = 0

Primo - come al solito. Passiamo alla base. Al diavolo.

4x = (2 2)x = 2 2x

Otteniamo l'equazione:

2 2x - 3 2x +2 = 0

E qui ci impiccheremo. I trucchi precedenti non funzioneranno, non importa come lo giri. Dovremo ottenere dall'arsenale di un altro modo potente e versatile. È chiamato sostituzione variabile.

L'essenza del metodo è sorprendentemente semplice. Invece di un'icona complessa (nel nostro caso, 2 x), ne scriviamo un'altra, più semplice (ad esempio, t). Una tale sostituzione apparentemente insignificante porta a risultati sorprendenti!) Tutto diventa semplicemente chiaro e comprensibile!

Quindi lascia

Quindi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo nella nostra equazione tutte le potenze con x con t:

Ebbene, albe?) Equazioni quadratiche non hai ancora dimenticato? Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:

Ecco, l'importante è non fermarsi, come succede ... Questa non è ancora la risposta, abbiamo bisogno di x, non di t. Torniamo a Xs, cioè facendo una sostituzione. Primo per t 1:

Questo è,

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo, da t 2:

Um... Sinistra 2 x, Destra 1... Un intoppo? Sì, per niente! Basta ricordare (da azioni con gradi, sì...) che un'unità è qualunque numero a zero. Qualunque. Qualunque cosa tu abbia bisogno, la metteremo noi. Abbiamo bisogno di un due. Significa:

Ora è tutto. Ha 2 radici:

Questa è la risposta.

In risoluzione di equazioni esponenziali alla fine, a volte si ottiene qualche espressione goffa. Tipo:

Dalle sette, dalle due fino a grado semplice non funziona. Non sono parenti... Come posso essere qui? Qualcuno potrebbe essere confuso ... Ma la persona che ha letto su questo sito l'argomento "Cos'è un logaritmo?" , sorridi solo con parsimonia e scrivi con mano ferma la risposta assolutamente corretta:

Non ci può essere una risposta del genere nei compiti "B" dell'esame. C'è un numero specifico richiesto. Ma nelle attività "C" - facilmente.

Questa lezione fornisce esempi di risoluzione delle equazioni esponenziali più comuni. Evidenziamo quello principale.

Consigli pratici:

1. Prima di tutto, guardiamo motivi gradi. Vediamo se non si possono fare lo stesso. Proviamo a farlo usando attivamente azioni con poteri. Non dimenticare che anche i numeri senza x possono essere trasformati in potenze!

2. Cerchiamo di portare l'equazione esponenziale nella forma in cui si trovano la sinistra e la destra lo stesso numeri a qualsiasi livello. Noi usiamo azioni con poteri e fattorizzazione. Cosa si può contare in numeri - contiamo.

3. Se il secondo consiglio non ha funzionato, proviamo ad applicare la sostituzione della variabile. Il risultato può essere un'equazione facilmente risolvibile. Molto spesso - quadrato. O frazionario, che si riduce anche a un quadrato.

4. Per risolvere con successo equazioni esponenziali, è necessario conoscere i gradi di alcuni numeri "a vista".

Come al solito, alla fine della lezione sei invitato a risolvere un po'.) Da solo. Dal semplice al complesso.

Risolvi equazioni esponenziali:

Più difficile:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Trova prodotto di radici:

2 3x + 2x = 9

Accaduto?

Bene allora l'esempio più difficile(deciso, però, nella mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Cosa c'è di più interessante? Allora ecco un cattivo esempio per te. Abbastanza tirando su una maggiore difficoltà. Suggerirò che in questo esempio, l'ingegno e la regola più universale per risolvere tutti i compiti matematici salvano.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Un esempio è più semplice, per il relax):

9 2 x - 4 3 x = 0

E per dessert. Trova la somma delle radici dell'equazione:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Si si! Questa è un'equazione di tipo misto! Che non abbiamo considerato in questa lezione. E cosa considerarli, devono essere risolti!) Questa lezione è abbastanza per risolvere l'equazione. Bene, l'ingegnosità è necessaria ... E sì, la seconda media ti aiuterà (questo è un suggerimento!).

Risposte (in disordine, separate da punto e virgola):

uno; 2; 3; quattro; non ci sono soluzioni; 2; -2; -5; quattro; 0.

Tutto ha successo? Eccellente.

C'è un problema? Nessun problema! Nella Sezione Speciale 555, tutte queste equazioni esponenziali vengono risolte con spiegazioni dettagliate. Cosa, perché e perché. E, naturalmente, ci sono ulteriori preziose informazioni su come lavorare con tutti i tipi di equazioni esponenziali. Non solo con questi.)

Un'ultima domanda divertente da considerare. In questa lezione abbiamo lavorato con le equazioni esponenziali. Perché non ho detto una parola su ODZ qui? Nelle equazioni, questa è una cosa molto importante, tra l'altro ...

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