Esempi con soluzione logaritmica. Definizione di logaritmo, identità logaritmica di base

Con lo sviluppo della società, la complessità della produzione, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dal consueto metodo contabile di addizione e sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, si arrivò al concetto di moltiplicazione e divisione. La riduzione dell'operazione ripetuta molte volte è diventata il concetto di esponenziazione. Le prime tabelle sulla dipendenza dei numeri dalla base e sul numero di elevazione a potenza furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro, puoi contare il tempo di occorrenza dei logaritmi.

Cenni storici

La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T richiedeva una grande quantità di calcolo associato alla moltiplicazione e alla divisione di numeri a più cifre. Le tavole antiche facevano un ottimo servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse a quelli più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare le tabelle non solo per i gradi nel modulo numeri primi, ma anche per razionali arbitrari.

Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per la prima volta il nuovo termine "logaritmo di un numero". Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché delle tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.

Cominciarono ad apparire nuovi tavoli, che furono usati con successo dagli scienziati per tre secoli. Passò molto tempo prima che la nuova operazione in algebra acquisisse la sua forma definitiva. Il logaritmo è stato definito e le sue proprietà sono state studiate.

Solo nel XX secolo, con l'avvento del calcolatore e del computer, l'uomo ha abbandonato le antiche tavole che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.

Oggi chiamiamo il logaritmo di b in base a il numero x, che è la potenza di a, per ottenere il numero b. Questo è scritto come una formula: x = log a(b).

Ad esempio, log 3(9) sarà uguale a 2. Questo è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.

Pertanto, la definizione formulata pone solo una restrizione, i numeri a e b devono essere reali.

Varietà di logaritmi

La definizione classica è chiamata logaritmo reale ed è in realtà una soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è al limite e non interessa. Nota: 1 a qualsiasi potenza è 1.

Valore reale del logaritmo definito solo se la base e l'argomento è maggiore di 0 e la base non deve essere uguale a 1.

Posto speciale nel campo della matematica riprodurre logaritmi, che saranno nominati in base al valore della loro base:

Regole e restrizioni

La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Come variante di questa affermazione, sarà: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.

È facile vedere dalle due regole precedenti che: log a(b p) = p * log a(b).

Altre proprietà includono:

Commento. Non commettere un errore comune: il logaritmo della somma non è uguale alla somma dei logaritmi.

Per molti secoli, l'operazione di ricerca del logaritmo è stata un compito piuttosto dispendioso in termini di tempo. I matematici hanno usato la ben nota formula della teoria logaritmica dell'espansione in un polinomio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina l'accuratezza del calcolo.

I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sul passaggio da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.

Poiché questo metodo è molto laborioso e quando si risolvono problemi pratici difficili da implementare, hanno utilizzato tabelle logaritmiche precompilate, che hanno notevolmente accelerato l'intero lavoro.

In alcuni casi sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno dato meno precisione, ma hanno notevolmente accelerato la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, permette di trovare con il solito righello i valori della funzione in qualsiasi altro punto. Ingegneri a lungo per questi scopi veniva utilizzata la cosiddetta carta millimetrata.

Nel 17 ° secolo apparvero le prime condizioni di calcolo analogico ausiliario, che a XIX secolo acquisito un aspetto finito. Il dispositivo di maggior successo è stato chiamato regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha notevolmente accelerato il processo di tutti i calcoli ingegneristici, e questo è difficile da sopravvalutare. Attualmente, poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.

L'avvento di calcolatrici e computer ha reso inutile l'utilizzo di qualsiasi altro dispositivo.

Equazioni e disuguaglianze

Le seguenti formule vengono utilizzate per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi:

Transizione da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Come conseguenza della versione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).

Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:

Il valore del logaritmo sarà positivo solo se sia la base che l'argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
Se la funzione logaritmica viene applicata ai lati destro e sinistro della disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.

Esempi di attività

Considera diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con risoluzione di equazioni:

Considera l'opzione di posizionare il logaritmo in gradi:

Compito 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema, la notazione è simile alla seguente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Scriviamolo diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.

Uso pratico

Essendo uno strumento puramente matematico, sembra tutt'altro vita reale che il logaritmo ha improvvisamente acquisito Grande importanza per descrivere oggetti mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non sia utilizzata. Ciò vale pienamente non solo per i campi della conoscenza naturale, ma anche per quelli umanistici.

Dipendenze logaritmiche

Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:

Meccanica e fisica

Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi matematici ricerca e allo stesso tempo serviva da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi della descrizione delle leggi fisiche usando il logaritmo.

È possibile risolvere il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo utilizzando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:

V = I * ln(M1/M2), dove

V è la velocità finale del velivolo.
I è l'impulso specifico del motore.
M 1 è la massa iniziale del razzo.
M 2 - massa finale.

Altro esempio importante- questo è l'uso nella formula di un altro grande scienziato, Max Planck, che serve per valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.

S = k * ln (Ω), dove

S è una proprietà termodinamica.
k è la costante di Boltzmann.
Ω è il peso statistico dei diversi stati.

Chimica

Meno ovvio sarebbe l'uso di formule in chimica contenenti il rapporto dei logaritmi. Ecco solo due esempi:

L'equazione di Nernst, la condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e la costante di equilibrio.
Anche il calcolo di costanti come l'indice di autoprolisi e l'acidità della soluzione non è completo senza la nostra funzione.

Psicologia e biologia

Ed è del tutto incomprensibile cosa c'entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso tra l'intensità dello stimolo e valore inferiore intensità.

Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato anche in biologia. Si possono scrivere interi volumi sulle forme biologiche corrispondenti alle spirali logaritmiche.

Altre aree

Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, e governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono collegate progressione geometrica. Vale la pena fare riferimento al sito Web MatProfi e ci sono molti di questi esempi nelle seguenti aree di attività:

L'elenco potrebbe essere infinito. Dopo aver padroneggiato le leggi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.

Il logaritmo di un numero N per ragione UN si chiama esponente X , a cui devi rilanciare UN per ottenere il numero N

Purché
,
,

Segue dalla definizione del logaritmo che
, cioè.
- questa uguaglianza è l'identità logaritmica di base.

I logaritmi in base 10 sono chiamati logaritmi decimali. Invece di
scrivere
.

logaritmi di base e sono detti naturali e denotati
.

Proprietà fondamentali dei logaritmi.

Il logaritmo dell'unità per qualsiasi base è zero

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

3) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi

Fattore
è chiamato il modulo di transizione dai logaritmi alla base UN ai logaritmi alla base B .

Utilizzando le proprietà 2-5, è spesso possibile ridurre il logaritmo di un'espressione complessa al risultato di semplici operazioni aritmetiche sui logaritmi.

Per esempio,

Tali trasformazioni del logaritmo sono chiamate logaritmi. Le trasformazioni reciproche dei logaritmi sono chiamate potenziamento.

Capitolo 2. Elementi di matematica superiore.

1. Limiti

limite di funzione
è un numero finito A se, quando ci si sforza xx 0 per ogni predeterminato
, c'è un numero
che non appena
, Quello
.

Una funzione che ha un limite differisce da esso per un importo infinitesimale:
, dove - b.m.w., i.e.
.

Esempio. Considera la funzione
.

Quando ci si sforza
, funzione si va a zero:

1.1. Teoremi di base sui limiti.

Il limite di un valore costante è uguale a questo valore costante

Il limite della somma (differenza) di un numero finito di funzioni è uguale alla somma (differenza) dei limiti di queste funzioni.

Il limite di un prodotto di un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni.

Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore non è uguale a zero.

Limiti notevoli

,
, Dove

1.2. Esempi di calcolo del limite

Tuttavia, non tutti i limiti sono calcolati in modo così semplice. Più spesso, il calcolo del limite si riduce alla divulgazione dell'incertezza del tipo: O .

2. Derivata di una funzione

Diamo una funzione
, continua sul segmento
.

Discussione ha avuto un po' di spinta
. Quindi la funzione verrà incrementata
.

Valore dell'argomento corrisponde al valore della funzione
.

Valore dell'argomento
corrisponde al valore della funzione .

Quindi, .

Troviamo il limite di questa relazione a
. Se questo limite esiste, viene chiamato la derivata della funzione data.

Definizione della 3derivata di una data funzione
per argomento chiamato il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, quando l'incremento dell'argomento tende arbitrariamente a zero.

Derivata di funzioni
può essere indicato come segue:

; ; ; .

Definizione 4Viene chiamata l'operazione per trovare la derivata di una funzione differenziazione.

2.1. Il significato meccanico della derivata.

Consideriamo il moto rettilineo di un corpo rigido o di un punto materiale.

Lascia che a un certo punto nel tempo punto in movimento
era a distanza dalla posizione di partenza
.

Dopo un certo periodo di tempo
si è allontanata
. Atteggiamento =- velocità media di un punto materiale
. Troviamo il limite di questo rapporto, tenendo conto di ciò
.

Di conseguenza, la determinazione della velocità istantanea di un punto materiale si riduce a trovare la derivata del percorso rispetto al tempo.

2.2. Valore geometrico della derivata

Supponiamo di avere una funzione definita graficamente
.

Riso. 1. Il significato geometrico della derivata

Se
, poi il punto
, si sposterà lungo la curva, avvicinandosi al punto
.

Quindi
, cioè. il valore della derivata dato il valore dell'argomento è numericamente uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente in un dato punto con la direzione positiva dell'asse
.

2.3. Tabella delle formule di differenziazione di base.

Funzione di potenza

Funzione esponenziale

funzione logaritmica

funzione trigonometrica

Funzione trigonometrica inversa

2.4. Regole di differenziazione.

Derivato di

Derivata della somma (differenza) di funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

La derivata del quoziente di due funzioni

2.5. Derivata di una funzione complessa.

Lascia la funzione
tale da poter essere rappresentato come

E
, dove la variabile è un argomento intermedio, quindi

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all'argomento intermedio per la derivata dell'argomento intermedio rispetto a x.

Esempio 1.

Esempio2.

3. Differenziale di funzione.

Lascia che ci sia
, differenziabile su un certo intervallo
lasciarlo andare A questa funzione ha una derivata

allora puoi scrivere

(1),

Dove - una quantità infinitesima,

perché a

Moltiplicando tutti i termini di uguaglianza (1) per
abbiamo:

Dove
- b.m.v. ordine superiore.

Valore
si chiama differenziale della funzione
e denotato

3.1. Il valore geometrico del differenziale.

Lascia la funzione
.

Fig.2. Il significato geometrico del differenziale.

Ovviamente, il differenziale della funzione
è uguale all'incremento dell'ordinata della tangente nel punto dato.

3.2. Derivate e differenziali di vari ordini.

Se ci
, Poi
si chiama derivata prima.

La derivata della derivata prima si chiama derivata di secondo ordine e si scrive
.

Derivata dell'ennesimo ordine della funzione
si chiama derivata dell'ordine (n-1) e si scrive:

Il differenziale del differenziale di una funzione è chiamato secondo differenziale o differenziale di secondo ordine.

.

.

3.3 Risoluzione di problemi biologici mediante differenziazione.

Compito1. Gli studi hanno dimostrato che la crescita di una colonia di microrganismi obbedisce alla legge
, Dove N – numero di microrganismi (in migliaia), T – tempo (giorni).

b) La popolazione della colonia aumenterà o diminuirà durante questo periodo?

Risposta. La colonia crescerà di dimensioni.

Compito 2. L'acqua nel lago viene periodicamente testata per controllare il contenuto di batteri patogeni. Attraverso T giorni dopo il test, la concentrazione di batteri è determinata dal rapporto

Quando arriverà la concentrazione minima di batteri nel lago e sarà possibile nuotare al suo interno?

Soluzione Una funzione raggiunge il massimo o il minimo quando la sua derivata è zero.

Determiniamo il massimo o il minimo tra 6 giorni. Per fare ciò, prendiamo la derivata seconda.

Risposta: Dopo 6 giorni ci sarà una concentrazione minima di batteri.

proprietà fondamentali.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

stessi motivi

log6 4 + log6 9.

Ora complichiamo un po 'il compito.

Esempi di risoluzione di logaritmi

Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Passaggio a una nuova fondazione

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Guarda anche:

Proprietà fondamentali del logaritmo

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L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Tolstoy.

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Conoscendo questa regola saprai e valore esatto espositori e la data di nascita di Leo Tolstoy.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
UN). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Per le proprietà 3,5 calcoliamo

4. Dove .

Esempio 2 Trova x se

Esempio 3. Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere sommati, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono regole qui, che sono chiamate proprietà fondamentali.

Queste regole devono essere conosciute: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizione e sottrazione di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Si prega di notare: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non sono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Sulla base di questo fatto, molti carte di prova. Sì, controllo: durante l'esame vengono offerte espressioni simili in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche).

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, ad es. puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore.

Formule dei logaritmi. I logaritmi sono esempi di soluzioni.

Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarrà nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per l'addizione e la sottrazione dei logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora invertiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b viene elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si bloccano" su di esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo era un vero compito dell'Esame di Stato Unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità difficili da chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze della definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Guarda anche:

Il logaritmo del numero b in base a denota l'espressione. Calcolare il logaritmo significa trovare una tale potenza x () in cui l'uguaglianza è vera

Proprietà fondamentali del logaritmo

Le proprietà di cui sopra devono essere note, poiché, sulla base di esse, quasi tutti i problemi e gli esempi vengono risolti sulla base dei logaritmi. Le restanti proprietà esotiche possono essere derivate da manipolazioni matematiche con queste formule

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Quando si calcolano le formule per la somma e la differenza dei logaritmi (3.4) si incontrano abbastanza spesso. Il resto è alquanto complesso, ma in una serie di attività sono indispensabili per semplificare espressioni complesse e calcolarne i valori.

Casi comuni di logaritmi

Alcuni dei logaritmi comuni sono quelli in cui la base è anche dieci, esponenziale o due.
Il logaritmo in base dieci è solitamente chiamato logaritmo in base dieci ed è semplicemente indicato con lg(x).

Si può vedere dal verbale che le basi non sono scritte nel verbale. Per esempio

Il logaritmo naturale è il logaritmo la cui base è l'esponente (indicato con ln(x)).

L'esponente è 2,718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Tolstoy. Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leo Tolstoy.

E un altro importante logaritmo in base due è

La derivata del logaritmo della funzione è uguale a uno diviso per la variabile

Il logaritmo integrale o antiderivato è determinato dalla dipendenza

Il materiale di cui sopra è sufficiente per risolvere un'ampia classe di problemi relativi a logaritmi e logaritmi. Per motivi di comprensione del materiale, darò solo alcuni esempi comuni da curriculum scolastico e università.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
UN). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Per le proprietà 3,5 calcoliamo

2.
Per la proprietà differenza dei logaritmi, abbiamo

3.
Usando le proprietà 3.5 troviamo

4. Dove .

Un'espressione apparentemente complessa che utilizza una serie di regole viene semplificata nella forma

Trovare i valori logaritmici

Esempio 2 Trova x se

Soluzione. Per il calcolo applichiamo le proprietà 5 e 13 fino all'ultimo termine

Sostituisci nel registro e piangi

Poiché le basi sono uguali, uguagliamo le espressioni

Logaritmi. Primo livello.

Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Soluzione: Prendi il logaritmo della variabile per scrivere il logaritmo attraverso la somma dei termini

Questo è solo l'inizio della conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà. Esercitati con i calcoli, arricchisci le tue abilità pratiche: presto avrai bisogno delle conoscenze acquisite per risolvere equazioni logaritmiche. Dopo aver studiato i metodi di base per risolvere tali equazioni, amplieremo le tue conoscenze su un altro argomento altrettanto importante: le disuguaglianze logaritmiche ...

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere sommati, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà fondamentali.

Queste regole devono essere conosciute: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizione e sottrazione di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non sono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log6 4 + log6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, controllo: durante l'esame vengono offerte espressioni simili in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche).

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po 'il compito. Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Passaggio a una nuova fondazione

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora invertiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo era un vero compito dell'Esame di Stato Unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Oggi parleremo di formule logaritmiche e dare dimostrazione esempi di soluzioni.

Di per sé, implicano modelli di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule logaritmiche alla soluzione, ricordiamo per te, prima tutte le proprietà:

Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostriamo esempi di risoluzione di logaritmi.

Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.

Logaritmo numero positivo b in base a (denotato log a b) è l'esponente a cui deve essere elevato a per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.

Secondo la definizione log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.

Logaritmi, esempi:

log 2 8 = 3, perché 2 3 = 8

log 7 49 = 2 perché 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimaleè un logaritmo ordinario, la cui base è 10. Indicato come lg.

log 10 100 = 2 perché 10 2 = 100

logaritmo naturale- anche il solito logaritmo logaritmo, ma con la base e (e \u003d 2,71828 ... - un numero irrazionale). Indicato come ln.

È desiderabile ricordare le formule o le proprietà dei logaritmi, poiché ne avremo bisogno in seguito per risolvere logaritmi, equazioni logaritmiche e disuguaglianze. Esaminiamo di nuovo ogni formula con esempi.

Identità logaritmica di base
un ceppo a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
log a (bc) = log a b + log a c
logaritmo 3 8.1 + logaritmo 3 10 = logaritmo 3 (8.1*10) = logaritmo 3 81 = 4
Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Proprietà del grado di un numero logaritmo e base del logaritmo
L'esponente di un numero logaritmo log a b m = mlog a b

Esponente della base del logaritmo log a n b =1/n*log a b

logaritmo a n b m = m/n*logaritmo a b,

se m = n, otteniamo log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Passaggio a una nuova fondazione
log a b = log c b / log c a,
se c = b, otteniamo log b b = 1

quindi log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Come puoi vedere, le formule logaritmiche non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver considerato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Non perdere!

Se hai ancora domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.

Nota: ho deciso di ottenere un'istruzione di un'altra classe di studio all'estero come opzione.

Continuiamo a studiare i logaritmi. In questo articolo parleremo di calcolo dei logaritmi, questo processo è chiamato logaritmo. In primo luogo, ci occuperemo del calcolo dei logaritmi per definizione. Successivamente, considera come vengono trovati i valori dei logaritmi usando le loro proprietà. Successivamente, ci soffermeremo sul calcolo dei logaritmi attraverso i valori inizialmente dati di altri logaritmi. Infine, impariamo come utilizzare le tabelle dei logaritmi. L'intera teoria è fornita di esempi con soluzioni dettagliate.

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Calcolo dei logaritmi per definizione

Nei casi più semplici, è possibile eseguire rapidamente e facilmente trovare il logaritmo per definizione. Diamo un'occhiata più da vicino a come avviene questo processo.

La sua essenza è rappresentare il numero b nella forma a c , da cui, per definizione del logaritmo, il numero c è il valore del logaritmo. Cioè, per definizione, trovare il logaritmo corrisponde alla seguente catena di uguaglianze: log a b=log a a c =c .

Quindi, il calcolo del logaritmo, per definizione, si riduce a trovare un numero c tale che a c \u003d b, e il numero c stesso è il valore desiderato del logaritmo.

Date le informazioni dei paragrafi precedenti, quando il numero sotto il segno del logaritmo è dato da un certo grado della base del logaritmo, allora puoi immediatamente indicare a cosa è uguale il logaritmo - è uguale all'esponente. Mostriamo esempi.

Esempio.

Trova log 2 2 −3 , e calcola anche il logaritmo naturale di e 5.3 .

Soluzione.

La definizione del logaritmo ci permette di dire subito che log 2 2 −3 = −3 . Infatti, il numero sotto il segno del logaritmo è uguale alla base 2 alla potenza di −3.

Allo stesso modo, troviamo il secondo logaritmo: lne 5.3 =5.3.

Risposta:

log 2 2 −3 = −3 e lne 5.3 =5.3 .

Se il numero b sotto il segno del logaritmo non è dato come potenza della base del logaritmo, è necessario considerare attentamente se è possibile trovare una rappresentazione del numero b nella forma a c . Spesso questa rappresentazione è abbastanza ovvia, soprattutto quando il numero sotto il segno del logaritmo è uguale alla base alla potenza di 1, o 2, o 3,...

Esempio.

Calcola i logaritmi log 5 25 , e .

Soluzione.

È facile vedere che 25=5 2 , questo permette di calcolare il primo logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Procediamo al calcolo del secondo logaritmo. Un numero può essere rappresentato come una potenza di 7: (vedi se necessario). Quindi, .

Riscriviamo il terzo logaritmo nella forma seguente. Ora puoi vederlo , da cui lo concludiamo . Pertanto, per definizione del logaritmo .

In breve, la soluzione potrebbe essere scritta come segue:

Risposta:

ceppo 5 25=2 , E .

Quando un numero naturale sufficientemente grande è sotto il segno del logaritmo, non fa male scomporlo in fattori primari. Spesso aiuta a rappresentare un numero come una potenza della base del logaritmo e, quindi, a calcolare questo logaritmo per definizione.

Esempio.

Trova il valore del logaritmo.

Soluzione.

Alcune proprietà dei logaritmi consentono di specificare immediatamente il valore dei logaritmi. Queste proprietà includono la proprietà del logaritmo di uno e la proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base: log 1 1=log a a 0 =0 e log a a=log a a 1 =1 . Cioè, quando il numero 1 o il numero a è sotto il segno del logaritmo, uguale alla base del logaritmo, allora in questi casi i logaritmi sono rispettivamente 0 e 1.

Esempio.

Cosa sono i logaritmi e lg10?

Soluzione.

Poiché , segue dalla definizione del logaritmo .

Nel secondo esempio, il numero 10 sotto il segno del logaritmo coincide con la sua base, quindi il logaritmo decimale di dieci è uguale a uno, cioè lg10=lg10 1 =1 .

Risposta:

E lg10=1 .

Si noti che il calcolo dei logaritmi per definizione (di cui abbiamo discusso nel paragrafo precedente) implica l'uso dell'uguaglianza log a a p =p , che è una delle proprietà dei logaritmi.

In pratica, quando il numero sotto il segno del logaritmo e la base del logaritmo sono facilmente rappresentabili come potenza di un certo numero, è molto conveniente utilizzare la formula , che corrisponde a una delle proprietà dei logaritmi. Considera un esempio di ricerca del logaritmo, che illustra l'uso di questa formula.

Esempio.

Calcola il logaritmo di .

Soluzione.

Risposta:

Nel calcolo vengono utilizzate anche le proprietà dei logaritmi non menzionate sopra, ma di questo parleremo nei paragrafi seguenti.

Trovare logaritmi in termini di altri logaritmi noti

Le informazioni in questo paragrafo continuano l'argomento dell'utilizzo delle proprietà dei logaritmi nel loro calcolo. Ma qui la differenza principale è che le proprietà dei logaritmi sono usate per esprimere il logaritmo originale in termini di un altro logaritmo, il cui valore è noto. Facciamo un esempio per chiarire. Diciamo che sappiamo che log 2 3≈1.584963 , allora possiamo trovare, per esempio, log 2 6 facendo una piccola trasformazione usando le proprietà del logaritmo: logaritmo 2 6=logaritmo 2 (2 3)=logaritmo 2 2+logaritmo 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Nell'esempio sopra, ci è bastato usare la proprietà del logaritmo del prodotto. Tuttavia, molto più spesso devi utilizzare un arsenale più ampio di proprietà dei logaritmi per calcolare il logaritmo originale in termini di quelli dati.

Esempio.

Calcola il logaritmo di 27 in base 60 se è noto che log 60 2=a e log 60 5=b .

Soluzione.

Quindi dobbiamo trovare il log 60 27 . È facile vedere che 27=3 3 , e il logaritmo originario, per la proprietà del logaritmo del grado, può essere riscritto come 3·log 60 3 .

Vediamo ora come si può esprimere log 60 3 in termini di logaritmi noti. La proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base permette di scrivere l'uguaglianza log 60 60=1 . D'altra parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Così, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Quindi, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Infine calcoliamo il logaritmo originale: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Risposta:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separatamente, vale la pena menzionare il significato della formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo della forma . Permette di passare da logaritmi con qualsiasi base a logaritmi con una base specifica, i cui valori sono noti o è possibile trovarli. Di solito, dal logaritmo originale, secondo la formula di transizione, si passa ai logaritmi in una delle basi 2, e o 10, poiché per queste basi esistono tabelle di logaritmi che ne consentono il calcolo con un certo grado di precisione. Nella prossima sezione, mostreremo come questo è fatto.

Tabelle dei logaritmi, loro uso

Per un calcolo approssimativo dei valori dei logaritmi, si può usare tavole logaritmiche. La tabella più comunemente usata dei logaritmi in base 2, la tabella logaritmi naturali e una tabella di logaritmi decimali. Quando si lavora nel sistema numerico decimale, è conveniente utilizzare una tabella di logaritmi in base dieci. Con il suo aiuto impareremo a trovare i valori dei logaritmi.

La tabella presentata consente, con una precisione di un decimillesimo, di trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri da 1.000 a 9.999 (con tre cifre decimali). Verrà analizzato il principio di trovare il valore del logaritmo utilizzando la tabella dei logaritmi decimali esempio specifico- molto più chiaro. Troviamo lg1,256 .

Nella colonna di sinistra della tabella dei logaritmi decimali troviamo le prime due cifre del numero 1.256, cioè troviamo 1.2 (questo numero è cerchiato in blu per chiarezza). La terza cifra del numero 1.256 (numero 5) si trova nella prima o nell'ultima riga a sinistra della doppia riga (questo numero è cerchiato in rosso). La quarta cifra del numero originale 1.256 (numero 6) si trova nella prima o nell'ultima riga a destra della doppia riga (questo numero è cerchiato in verde). Ora troviamo i numeri nelle celle della tabella dei logaritmi all'intersezione della riga contrassegnata e delle colonne contrassegnate (questi numeri sono evidenziati arancia). La somma dei numeri contrassegnati fornisce il valore desiderato del logaritmo decimale fino alla quarta cifra decimale, ovvero log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

È possibile, utilizzando la tabella sopra, trovare i valori dei logaritmi decimali di numeri che hanno più di tre cifre dopo la virgola, e andare anche oltre i limiti da 1 a 9,999? Si, puoi. Mostriamo come questo è fatto con un esempio.

Calcoliamo lg102.76332 . Per prima cosa devi scrivere numero in forma standard: 102.76332=1.0276332 10 2 . Dopodiché, la mantissa dovrebbe essere arrotondata alla terza cifra decimale, abbiamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mentre il logaritmo decimale originale è approssimativamente è uguale al logaritmo il numero risultante, cioè prendiamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Ora applichiamo le proprietà del logaritmo: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Infine troviamo il valore del logaritmo lg1.028 secondo la tabella dei logaritmi decimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Di conseguenza, l'intero processo di calcolo del logaritmo si presenta così: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

In conclusione, vale la pena notare che utilizzando la tabella dei logaritmi decimali è possibile calcolare il valore approssimativo di qualsiasi logaritmo. Per fare ciò, è sufficiente utilizzare la formula di transizione per andare ai logaritmi decimali, trovare i loro valori nella tabella ed eseguire i restanti calcoli.

Ad esempio, calcoliamo log 2 3 . Secondo la formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo, abbiamo . Dalla tabella dei logaritmi decimali troviamo lg3≈0.4771 e lg2≈0.3010. Così, .

Bibliografia.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per i gradi 10-11 delle istituzioni educative generali.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche).