Il materiale presentato di seguito è una logica continuazione della teoria dell'articolo sotto il titolo LCM - minimo comune multiplo, definizione, esempi, relazione tra LCM e MCD. Qui parleremo trovare il minimo comune multiplo (LCM) e prestare particolare attenzione alla risoluzione degli esempi. Mostriamo prima come viene calcolato il MCM di due numeri in termini di MCD di questi numeri. Successivamente, considera di trovare il minimo comune multiplo fattorizzando i numeri in fattori primi. Successivamente, ci concentreremo sulla ricerca dell'LCM di tre o più numeri e presteremo anche attenzione al calcolo dell'LCM dei numeri negativi.
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Calcolo del minimo comune multiplo (MCM) tramite MCD
Un modo per trovare il minimo comune multiplo si basa sulla relazione tra MCM e MCD. La relazione esistente tra MCM e MCD consente di calcolare il minimo comune multiplo di due numeri interi positivi attraverso il massimo comune divisore noto. La formula corrispondente ha la forma MCM(a, b)=a b: MCM(a, b) . Considera esempi di trovare l'LCM secondo la formula sopra.
Esempio.
Trova il minimo comune multiplo dei due numeri 126 e 70 .
Soluzione.
In questo esempio a=126 , b=70 . Usiamo la relazione tra MCM e MCD espressa dalla formula MCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Cioè, prima dobbiamo trovare il massimo comune divisore dei numeri 70 e 126, dopodiché possiamo calcolare il MCM di questi numeri secondo la formula scritta.
Trova MCD(126, 70) usando l'algoritmo di Euclide: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , quindi MCD(126, 70)=14 .
Ora troviamo il minimo comune multiplo richiesto: MCM(126, 70)=126 70: MCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Risposta:
CM(126, 70)=630 .
Esempio.
Cos'è MCM(68, 34) ?
Soluzione.
Perché 68 è divisibile uniformemente per 34 , quindi gcd(68, 34)=34 . Ora calcoliamo il minimo comune multiplo: MCM(68, 34)=68 34: MCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Risposta:
MCM(68, 34)=68 .
Si noti che l'esempio precedente soddisfa la seguente regola per trovare il MCM per gli interi positivi a e b : se il numero a è divisibile per b , allora il minimo comune multiplo di questi numeri è a .
Trovare l'LCM fattorizzando i numeri in fattori primi
Un altro modo per trovare il minimo comune multiplo si basa sulla fattorizzazione dei numeri in fattori primi. Se facciamo un prodotto di tutti i fattori primi di questi numeri, dopodiché escludiamo da questo prodotto tutti i fattori primi comuni che sono presenti nelle espansioni di questi numeri, allora il prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo di questi numeri.
La regola annunciata per trovare l'LCM deriva dall'uguaglianza MCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Infatti, il prodotto dei numeri a e b è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni dei numeri a e b. A sua volta, MCD(a, b) è uguale al prodotto di tutti i fattori primi che sono contemporaneamente presenti negli sviluppi dei numeri a e b (che è descritto nella sezione sulla ricerca del MCD utilizzando la scomposizione dei numeri in fattori primi ).
Facciamo un esempio. Sappiamo che 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componi il prodotto di tutti i fattori di queste espansioni: 2 3 3 5 5 5 7 . Ora escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono presenti sia nell'espansione del numero 75 che nell'espansione del numero 210 (tali fattori sono 3 e 5), quindi il prodotto assumerà la forma 2 3 5 5 7 . Il valore di questo prodotto è uguale al minimo comune multiplo dei numeri 75 e 210, cioè, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Esempio.
Dopo aver scomposto i numeri 441 e 700 in fattori primi, trova il minimo comune multiplo di questi numeri.
Soluzione.
Scomponiamo i numeri 441 e 700 in fattori primi:
Otteniamo 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .
Ora facciamo un prodotto di tutti i fattori coinvolti nelle espansioni di questi numeri: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono contemporaneamente presenti in entrambe le espansioni (c'è solo uno di questi fattori - questo è il numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Così, CM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Risposta:
MCM(441, 700)= 44 100 .
La regola per trovare l'LCM utilizzando la scomposizione dei numeri in fattori primi può essere formulata in modo leggermente diverso. Se aggiungiamo i fattori mancanti dall'espansione del numero b ai fattori dall'espansione del numero a, allora il valore del prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri a e b.
Ad esempio, prendiamo tutti gli stessi numeri 75 e 210, le loro espansioni in fattori primi sono le seguenti: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Ai fattori 3, 5 e 5 dalla scomposizione del numero 75, aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dalla scomposizione del numero 210, otteniamo il prodotto 2 3 5 5 7 , il cui valore è MCM(75 , 210).
Esempio.
Trova il minimo comune multiplo di 84 e 648.
Soluzione.
Otteniamo prima la scomposizione dei numeri 84 e 648 in fattori primi. Sembrano 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 dalla scomposizione del numero 84 aggiungiamo i fattori mancanti 2 , 3 , 3 e 3 dalla scomposizione del numero 648 , otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 , che è pari a 4 536 . Pertanto, il minimo comune multiplo desiderato dei numeri 84 e 648 è 4.536.
Risposta:
MCM(84, 648)=4 536 .
Trovare il MCM di tre o più numeri
Il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere trovato trovando successivamente il MCM di due numeri. Richiama il teorema corrispondente, che fornisce un modo per trovare l'LCM di tre o più numeri.
Teorema.
Si diano gli interi numeri positivi a 1 , a 2 , …, a k , il minimo comune multiplo m k di questi numeri si trova con il calcolo sequenziale m 2 = MCM (a 1 , a 2) , m 3 = MCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , un k) .
Considera l'applicazione di questo teorema sull'esempio di trovare il minimo comune multiplo di quattro numeri.
Esempio.
Trova il MCM dei quattro numeri 140 , 9 , 54 e 250 .
Soluzione.
In questo esempio a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Prima troviamo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Per fare questo, usando l'algoritmo euclideo, determiniamo gcd(140, 9) , abbiamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , quindi, gcd( 140, 9)=1 , donde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Cioè, m 2 =1 260 .
Ora troviamo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Calcoliamolo tramite gcd(1 260, 54) , anch'esso determinato dall'algoritmo di Euclide: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Quindi MCD(1 260, 54)=18 , da cui MCM(1 260, 54)= 1 260 54: MCD(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Cioè, m 3 \u003d 3 780.
Lasciato da trovare m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Per fare ciò, troviamo MCD(3 780, 250) utilizzando l'algoritmo di Euclide: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Pertanto, MCD(3 780, 250)=10 , da cui MCD(3 780, 250)= 3 780 250:mcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Cioè, m 4 \u003d 94 500.
Quindi il minimo comune multiplo dei quattro numeri originali è 94.500.
Risposta:
MCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
In molti casi, il minimo comune multiplo di tre o più numeri si trova convenientemente utilizzando fattorizzazioni in fattori primi di determinati numeri. In questo caso, è necessario seguire la seguente regola. Il minimo comune multiplo di più numeri è uguale al prodotto, che si compone come segue: i fattori mancanti dell'espansione del secondo numero si sommano a tutti i fattori dell'espansione del primo numero, i fattori mancanti dell'espansione di il terzo numero viene aggiunto ai fattori ottenuti, e così via.
Considera un esempio di come trovare il minimo comune multiplo usando la scomposizione dei numeri in fattori primi.
Esempio.
Trova il minimo comune multiplo di cinque numeri 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Soluzione.
Innanzitutto, otteniamo le espansioni di questi numeri in fattori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 fattori primi) e 143=11 13 .
Per trovare il MCM di questi numeri, ai divisori del primo numero 84 (sono 2 , 2 , 3 e 7 ) bisogna sommare i fattori mancanti dell'espansione del secondo numero 6 . L'espansione del numero 6 non contiene fattori mancanti, poiché sia il 2 che il 3 sono già presenti nell'espansione del primo numero 84 . Oltre ai fattori 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del terzo numero 48 , otteniamo un insieme di fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 . Non è necessario aggiungere fattori a questo insieme nel passaggio successivo, poiché 7 è già contenuto in esso. Infine, ai fattori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 11 e 13 dall'espansione del numero 143 . Otteniamo il prodotto 2 2 2 2 3 7 11 13 , che è pari a 48 048 .
Lancinova Aisa
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Compiti per GCD e LCM dei numeri Il lavoro di uno studente di 6a elementare del MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Supervisore Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, insegnante di matematica p. Kamyshovo, 2013
Un esempio per trovare il MCD dei numeri 50, 75 e 325. 1) Scomponiamo i numeri 50, 75 e 325 in fattori primi. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 dividi senza resto i numeri aeb sono chiamati il massimo comune divisore di questi numeri.
Un esempio per trovare il MCM dei numeri 72, 99 e 117. 1) Fattorizziamo i numeri 72, 99 e 117. Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 e aggiungi a questi i fattori mancanti dei numeri rimanenti. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Trova il prodotto dei fattori risultanti. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Risposta: MCM (72, 99 e 117) = 10296 Il minimo comune multiplo dei numeri naturali a e b è il più piccolo numero naturale multiplo di a e B.
Un foglio di cartone ha la forma di un rettangolo, la cui lunghezza è di 48 cm e la cui larghezza è di 40 cm, questo foglio deve essere tagliato senza sprechi in quadrati uguali. Quali sono i quadrati più grandi che si possono ricavare da questo foglio e quanti? Soluzione: 1) S = a ∙ b è l'area del rettangolo. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². è l'area del cartone. 2) a - il lato del quadrato 48: a - il numero di quadrati che possono essere posati lungo la lunghezza del cartone. 40: a - il numero di quadrati che possono essere posati sulla larghezza del cartone. 3) MCD (40 e 48) \u003d 8 (cm) - il lato del quadrato. 4) S \u003d a² - l'area di un quadrato. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - l'area di un quadrato. 5) 1960: 64 = 30 (numero di quadrati). Risposta: 30 quadrati con un lato di 8 cm ciascuno. Attività per GCD
Il camino nella stanza deve essere disposto con piastrelle di finitura a forma di quadrato. Quante piastrelle serviranno per un camino da 195 ͯ 156 cm e quali sono dimensioni maggiori piastrelle? Soluzione: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - S della superficie del focolare. 2) MCD (195 e 156) = 39 (cm) - lato della piastrella. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - area di 1 piastrella. 4) 30420: = 20 (pezzi). Risposta: 20 tessere da 39 ͯ 39 (cm). Attività per GCD
Un orto di 54 ͯ 48 m attorno al perimetro deve essere recintato, per questo i pilastri di cemento devono essere posizionati a intervalli regolari. Quanti pali devono essere portati per il sito ea quale distanza massima l'uno dall'altro staranno i pali? Soluzione: 1) P = 2(a + b) – perimetro del sito. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m 2) MCD (54 e 48) \u003d 6 (m) - la distanza tra i pilastri. 3) 204: 6 = 34 (pilastri). Risposta: 34 pilastri, a una distanza di 6 m Compiti per GCD
Su 210 bordeaux, 126 bianche, 294 rose rosse, sono stati raccolti bouquet e in ogni bouquet il numero di rose dello stesso colore è uguale. Quale il numero più grande bouquet realizzati con queste rose e quante rose di ogni colore ci sono in un bouquet? Soluzione: 1) MCD (210, 126 e 294) = 42 (bouquet). 2) 210: 42 = 5 (rose bordeaux). 3) 126: 42 = 3 (rose bianche). 4) 294: 42 = 7 (rose rosse). Risposta: 42 mazzi: 5 bordeaux, 3 bianche, 7 rosse in ogni mazzo. Attività per GCD
Tanya e Masha hanno acquistato lo stesso numero di cassette postali. Tanya ha pagato 90 rubli e Masha ha pagato 5 rubli. Di più. Quanto costa un set? Quanti set ha acquistato ciascuno? Soluzione: 1) Masha ha pagato 90 + 5 = 95 (rubli). 2) MCD (90 e 95) = 5 (rubli) - il prezzo di 1 set. 3) 980: 5 = 18 (set) - acquistato da Tanya. 4) 95: 5 = 19 (set) - Masha ha acquistato. Risposta: 5 rubli, 18 set, 19 set. Attività per GCD
Nella città portuale iniziano tre gite in barca turistica, la prima delle quali dura 15 giorni, la seconda - 20 e la terza - 12 giorni. Tornando al porto, le navi lo stesso giorno intraprendono di nuovo un viaggio. Oggi le motonavi hanno lasciato il porto su tutte e tre le rotte. Tra quanti giorni salperanno insieme per la prima volta? Quanti viaggi effettuerà ciascuna nave? Soluzione: 1) NOC (15.20 e 12) = 60 (giorni) - tempo di incontro. 2) 60: 15 = 4 (viaggi) - 1 nave. 3) 60: 20 = 3 (viaggi) - 2 motonave. 4) 60: 12 = 5 (viaggi) - 3 motonave. Risposta: 60 giorni, 4 voli, 3 voli, 5 voli. Compiti per il NOC
Masha ha comprato le uova per l'orso nel negozio. Sulla strada per la foresta, si è accorta che il numero di uova è divisibile per 2,3,5,10 e 15. Quante uova ha comprato Masha? Soluzione: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (uova) Risposta: Masha ha comprato 30 uova. Compiti per il NOC
È necessario realizzare una scatola con fondo quadrato per impilare scatole di cm 16 ͯ 20. Quale deve essere il lato più corto del fondo quadrato per incastrare le scatole nella scatola? Soluzione: 1) NOC (16 e 20) = 80 (caselle). 2) S = a ∙ b è l'area di 1 scatola. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - l'area del fondo di 1 scatola. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - area inferiore quadrata. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - le dimensioni della scatola. Risposta: 160 cm è il lato del fondo quadrato. Compiti per il NOC
Lungo la strada dal punto K sono presenti pali della corrente ogni 45 m, si è deciso di sostituire questi pali con altri, ponendoli a una distanza di 60 m l'uno dall'altro. Quanti pali c'erano e quanti ne staranno? Soluzione: 1) NOK (45 e 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - c'erano dei pilastri. 3) 180: 60 = 3 - c'erano pilastri. Risposta: 4 pilastri, 3 pilastri. Compiti per il NOC
Quanti soldati stanno marciando sulla piazza d'armi se marciano in formazione di 12 persone in fila e si trasformano in una colonna di 18 persone in fila? Soluzione: 1) NOC (12 e 18) = 36 (persone) - in marcia. Risposta: 36 persone. Compiti per il NOC
Definizione. Si chiama il più grande numero naturale per il quale i numeri a e b sono divisibili senza resto massimo comune divisore (mcd) questi numeri.
Troviamo il massimo comune divisore dei numeri 24 e 35.
I divisori di 24 saranno i numeri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e i divisori di 35 saranno i numeri 1, 5, 7, 35.
Vediamo che i numeri 24 e 35 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati coprimo.
Definizione. Si chiamano i numeri naturali coprimo se il loro massimo comune divisore (mcd) è 1.
Massimo comune divisore (MCD) può essere trovato senza scrivere tutti i divisori dei numeri dati.
Fattorizzando i numeri 48 e 36, otteniamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dai fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri, eliminiamo quelli che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero (cioè due due).
Rimangono i fattori 2 * 2 * 3. Il loro prodotto è 12. Questo numero è il massimo comune divisore dei numeri 48 e 36. Si trova anche il massimo comune divisore di tre o più numeri.
Trovare massimo comun divisore
2) dai fattori inclusi nell'espansione di uno di questi numeri, cancella quelli che non sono inclusi nell'espansione di altri numeri;
3) trova il prodotto dei restanti fattori.
Se tutti i numeri dati sono divisibili per uno di essi, allora questo numero lo è massimo comun divisore numeri dati.
Ad esempio, il massimo comune divisore di 15, 45, 75 e 180 è 15, poiché divide tutti gli altri numeri: 45, 75 e 180.
Minimo comune multiplo (LCM)
Definizione. Minimo comune multiplo (LCM) i numeri naturali a e b sono i più piccoli numeri naturali multipli di a e b. Il minimo comune multiplo (LCM) dei numeri 75 e 60 può essere trovato senza scrivere multipli di questi numeri di seguito. Per fare ciò, scomponiamo 75 e 60 in semplici fattori: 75 \u003d 3 * 5 * 5 e 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri e ad essi aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del secondo numero (ovvero combiniamo i fattori).
Otteniamo cinque fattori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, il cui prodotto è 300. Questo numero è il minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.
Trova anche il minimo comune multiplo di tre o più numeri.
A trovare il minimo comune multiplo più numeri naturali, è necessario:
1) scomporli in fattori primi;
2) scrivere i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri;
3) aggiungere ad essi i fattori mancanti dalle espansioni dei numeri rimanenti;
4) trova il prodotto dei fattori risultanti.
Nota che se uno di questi numeri è divisibile per tutti gli altri numeri, allora questo numero è il minimo comune multiplo di questi numeri.
Ad esempio, il minimo comune multiplo di 12, 15, 20 e 60 sarebbe 60, poiché è divisibile per tutti i numeri dati.
Pitagora (VI secolo aC) ei suoi allievi studiarono il problema della divisibilità dei numeri. Un numero uguale alla somma di tutti i suoi divisori (senza il numero stesso), hanno chiamato il numero perfetto. Ad esempio, i numeri 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sono perfetti. I prossimi numeri perfetti sono 496, 8128, 33550336. I pitagorici conoscevano solo i primi tre numeri perfetti. Il quarto - 8128 - divenne noto nel I secolo. N. e. Il quinto - 33 550 336 - fu ritrovato nel XV secolo. Nel 1983 erano già noti 27 numeri perfetti. Ma fino ad ora, gli scienziati non sanno se esistano numeri perfetti dispari, se esista il numero perfetto più grande.
L'interesse degli antichi matematici per i numeri primi è dovuto al fatto che qualsiasi numero o è primo o può essere rappresentato come un prodotto numeri primi, cioè, i numeri primi sono, per così dire, mattoni da cui è costruito il resto dei numeri naturali.
Probabilmente hai notato che i numeri primi nella serie di numeri naturali si verificano in modo non uniforme - in alcune parti della serie ce ne sono di più, in altre - di meno. Ma più andiamo avanti serie numerica, i numeri primi più rari sono. La domanda sorge spontanea: esiste l'ultimo (il più grande) numero primo? L'antico matematico greco Euclide (III secolo a.C.), nel suo libro "Beginnings", che per duemila anni è stato il principale libro di testo della matematica, ha dimostrato che ci sono infiniti numeri primi, cioè dietro ogni numero primo c'è un numero pari numero primo maggiore.
Per trovare i numeri primi, un altro matematico greco dello stesso tempo, Eratostene, ha escogitato un tale metodo. Ha annotato tutti i numeri da 1 a un certo numero, quindi ha cancellato l'unità, che non è né primo né numero composto, poi barrato con uno tutti i numeri dopo il 2 (numeri che sono multipli di 2, cioè 4, 6, 8, ecc.). Il primo numero rimasto dopo il 2 era 3. Quindi, dopo il due, tutti i numeri dopo il 3 sono stati cancellati (numeri che sono multipli di 3, cioè 6, 9, 12, ecc.). alla fine, solo i numeri primi sono rimasti non barrati.
Considera tre modi per trovare il minimo comune multiplo.
Trovare per fattorizzazione
Il primo modo è trovare il minimo comune multiplo fattorizzando i numeri dati in fattori primi.
Supponiamo di dover trovare il MCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, decomponiamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:
Perché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo portare tutti i fattori primi di questi numeri alla potenza più alta che si verifica e moltiplicarli insieme:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Quindi MCM (99, 30, 28) = 13860. Nessun altro numero inferiore a 13860 è divisibile uniformemente per 99, 30 o 28.
Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, devi scomporli in fattori primi, quindi prendere ogni fattore primo con l'indicatore più alto il grado con cui si verifica e moltiplicare questi fattori tra loro.
Poiché i numeri coprimi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono coprimi. Ecco perché
MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Lo stesso dovrebbe essere fatto quando si cerca il minimo comune multiplo di vari numeri primi. Ad esempio, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Ricerca per selezione
Il secondo modo è trovare il minimo comune multiplo adattandolo.
Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati è divisibile uniformemente per altri numeri dati, allora il MCM di questi numeri è uguale al più grande di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ciascuno di essi è divisibile per 60, quindi:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
In altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si usa la seguente procedura:
- Determina il numero più grande tra i numeri dati.
- Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli del numero più grande, moltiplicandolo per i numeri naturali in ordine crescente e controllando se i restanti numeri dati sono divisibili per il prodotto risultante.
Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determina il più grande di essi: questo è il numero 24. Successivamente, trova i multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e per 3:
24 1 = 24 è divisibile per 3 ma non divisibile per 18.
24 2 = 48 - divisibile per 3 ma non divisibile per 18.
24 3 \u003d 72 - divisibile per 3 e 18.
Quindi MCM(24, 3, 18) = 72.
Ricerca mediante ricerca sequenziale LCM
Il terzo modo è trovare il minimo comune multiplo trovando successivamente il MCM.
Il MCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comune divisore.
Esempio 1. Trova il MCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comune divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:
Dividiamo il prodotto nel loro MCD:
Quindi MCM(12, 8) = 24.
Per trovare il MCM di tre o più numeri, viene utilizzata la seguente procedura:
- Innanzitutto, viene trovato il MCM di due qualsiasi dei numeri dati.
- Quindi, il MCM del minimo comune multiplo trovato e il terzo numero dato.
- Quindi, il MCM del minimo comune multiplo risultante e il quarto numero, e così via.
- Quindi la ricerca LCM continua finché ci sono numeri.
Esempio 2. Troviamo il MCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato il MCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo di 24 e il terzo numero dato - 9. Determina il loro massimo comune divisore: MCD (24, 9) = 3. Moltiplica MCM con il numero 9:
Dividiamo il prodotto nel loro MCD:
Quindi MCM(12, 8, 9) = 72.
Per capire come calcolare l'LCM, dovresti prima determinare il significato del termine "multiplo".
Un multiplo di A è un numero naturale divisibile senza resto per A. Pertanto, 15, 20, 25 e così via possono essere considerati multipli di 5.
I divisori di un numero particolare possono essere quantità limitata, ma ci sono un numero infinito di multipli.
Un multiplo comune di numeri naturali è un numero divisibile per essi senza resto.
Come trovare il minimo comune multiplo di numeri
Il minimo comune multiplo (MCM) di numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale divisibile uniformemente per tutti questi numeri.
Per trovare il NOC, puoi utilizzare diversi metodi.
Per i numeri piccoli, è conveniente scrivere in una riga tutti i multipli di questi numeri fino a trovarne uno comune. I multipli sono indicati nel registro con la lettera maiuscola K.
Ad esempio, i multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Quindi, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa voce viene eseguita come segue:
MCM(4, 6) = 24
Se i numeri sono grandi, trova il multiplo comune di tre o più numeri, quindi è meglio usare un altro modo per calcolare l'LCM.
Per completare l'attività, è necessario scomporre i numeri proposti in fattori primi.
Per prima cosa devi scrivere l'espansione del più grande dei numeri in una riga, e sotto di essa - il resto.
Nell'espansione di ciascun numero, potrebbe esserci un numero diverso di fattori.
Ad esempio, scomponiamo i numeri 50 e 20 in fattori primi.
Nell'espansione del numero più piccolo, bisogna sottolineare i fattori che mancano nell'espansione del primo numero più grande, e poi aggiungerli ad esso. Nell'esempio presentato manca un due.
Ora possiamo calcolare il minimo comune multiplo di 20 e 50.
MCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Quindi, il prodotto di fattori primi Di più ei fattori del secondo numero, che non sono inclusi nello sviluppo del maggiore, saranno il minimo comune multiplo.
Per trovare il mcm di tre o più numeri occorre scomporli tutti in fattori primi, come nel caso precedente.
Ad esempio, puoi trovare il minimo comune multiplo dei numeri 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Pertanto, solo due due dalla scomposizione di sedici non sono stati inclusi nella fattorizzazione di un numero maggiore (uno è nella scomposizione di ventiquattro).
Pertanto, devono essere aggiunti alla decomposizione di un numero maggiore.
MCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Ci sono casi speciali di determinazione del minimo comune multiplo. Quindi, se uno dei numeri può essere diviso senza resto per un altro, allora il più grande di questi numeri sarà il minimo comune multiplo.
Ad esempio, i NOC di dodici e ventiquattro sarebbero ventiquattro.
Se è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri coprimi che non hanno gli stessi divisori, allora il loro MCM sarà uguale al loro prodotto.
Ad esempio, LCM(10, 11) = 110.