Mechanické harmonické kmitanie- ide o priamočiary nerovnomerný pohyb, pri ktorom sa súradnice kmitajúceho telesa (hmotného bodu) menia podľa kosínusového alebo sínusového zákona v závislosti od času.
Podľa tejto definície má zákon zmeny súradníc v závislosti od času tvar:
kde wt je hodnota pod znamienkom kosínus alebo sínus; w- koeficient, ktorého fyzikálny význam prezradíme nižšie; A je amplitúda mechanických harmonických kmitov.
Rovnice (4.1) sú hlavné kinematické rovnice mechanických harmonických kmitov.
Zvážte nasledujúci príklad. Zoberme si os Ox (obr. 64). Z bodu 0 nakreslíme kružnicu s polomerom R = A. Nech sa bod M z polohy 1 začne pohybovať po kružnici konštantnou rýchlosťou v(alebo s konštantnou uhlovou rýchlosťou w, v = wA). Po určitom čase t sa polomer otočí o uhol f: f=hm.
Pri takomto pohybe po obvode bodu M sa jeho projekcia na os x M x bude pohybovať pozdĺž osi x, ktorej súradnica x sa bude rovnať x \u003d A cos f = = A cos hmotn. Ak sa teda hmotný bod pohybuje po kružnici s polomerom A, ktorej stred sa zhoduje s počiatkom, potom pri priemete tohto bodu na os x (a na os y) dôjde k harmonickým mechanickým vibráciám.
Ak je známa hodnota wt, ktorá je pod kosínusovým znamienkom, a amplitúda A, potom x možno určiť aj v rovnici (4.1).
Hodnota wt, ktorá je pod kosínusovým (alebo sínusovým) znamienkom, ktorý jednoznačne určuje súradnicu kmitajúceho bodu pri danej amplitúde, sa nazýva oscilačná fáza. Pre bod M pohybujúci sa po kružnici hodnota w znamená jeho uhlovú rýchlosť. Aký fyzikálny význam má hodnota w pre bod M x, ktorý vykonáva mechanické harmonické kmity? Súradnice kmitajúceho bodu M x sú v určitom čase t a (T +1) rovnaké (z definície periódy T), teda A cos hmotn.= A cos w (t + T), čo znamená, že w(t + T) - hmotn. = 2 PI(z vlastnosti periodicity kosínusovej funkcie). Z toho teda vyplýva
Preto pre hmotný bod, ktorý vykonáva harmonické mechanické kmity, možno hodnotu w interpretovať ako počet kmitov pre určitú cyklučas rovný 2l. Preto hodnota w volal cyklický(alebo kruhová) frekvencia.
Ak sa bod M nezačne pohybovať od bodu 1, ale od bodu 2, potom rovnica (4.1) bude mať tvar:
hodnota f 0 volal počiatočná fáza.
Rýchlosť bodu M x nájdeme ako deriváciu súradnice vzhľadom na čas:
Zrýchlenie bodu oscilujúceho podľa harmonického zákona definujeme ako deriváciu rýchlosti:
Zo vzorca (4.4) je zrejmé, že rýchlosť bodu vykonávajúceho harmonické kmitanie sa tiež mení podľa kosínusového zákona. Ale rýchlosť vo fáze je pred súradnicou PI/2. Zrýchlenie počas harmonickej oscilácie sa mení podľa kosínusového zákona, ale vo fáze je pred súradnicou o P. Rovnicu (4.5) je možné zapísať pomocou súradnice x:
Zrýchlenie pri harmonických kmitoch je úmerné posunutiu s opačným znamienkom. Pravú a ľavú časť rovnice (4.5) vynásobíme hmotnosťou kmitajúceho hmotného bodu m, dostaneme tieto vzťahy:
Podľa druhého Newtonovho zákona je fyzikálnym významom pravej strany výrazu (4.6) projekcia sily F x , ktorá zabezpečuje harmonický mechanický pohyb:
Hodnota F x je úmerná posunutiu x a smeruje opačne k nemu. Príkladom takejto sily je elastická sila, ktorej veľkosť je úmerná deformácii a smeruje opačne k nej (Hookeov zákon).
Zákonitosť závislosti zrýchlenia od výchylky, ktorá vyplýva z rovnice (4.6), uvažovanej nami pre mechanické harmonické kmity, sa dá zovšeobecniť a aplikovať pri uvažovaní kmitov inej fyzikálnej povahy (napríklad zmena prúdu v kmitaní). obvod, zmena náboja, napätia, indukcie magnetické pole atď.). Preto sa rovnica (4.8) nazýva hlavná rovnica dynamika harmonických kmitov.
Zvážte pohyb pružiny a matematického kyvadla.
Vodorovne umiestnená pružina (obr. 63) upevnená v bode 0 má na jednom konci pripevnené teleso s hmotnosťou m, ktoré sa môže pohybovať po osi x bez trenia. Nech je konštanta pružiny rovná k. Vonkajšou silou vyvedieme teleso m z rovnováhy a pustíme ho. Potom po osi x bude na teleso pôsobiť len elastická sila, ktorá sa podľa Hookovho zákona bude rovnať: F ypr = -kx.
Pohybová rovnica tohto telesa bude vyzerať takto:
Porovnaním rovníc (4.6) a (4.9) vyvodíme dva závery:
Zo vzorcov (4.2) a (4.10) odvodíme vzorec pre periódu oscilácie zaťaženia pružiny:
Matematické kyvadlo je teleso s hmotnosťou m zavesené na dlhom neroztiahnuteľnom vlákne zanedbateľnej hmotnosti. V rovnovážnej polohe bude na toto teleso pôsobiť gravitačná sila a elastická sila závitu. Tieto sily sa budú navzájom vyrovnávať.
Ak je závit vychýlený pod uhlom A z rovnovážnej polohy potom na teleso pôsobia tie isté sily, ktoré sa však už navzájom nevyvažujú a teleso sa pôsobením gravitačnej zložky nasmerovanej pozdĺž dotyčnice k oblúku a rovnajúcej sa mg sin začne pohybovať po oblúku. a.
Pohybová rovnica kyvadla má tvar:
Znamienko mínus na pravej strane znamená, že sila F x = mg sin a smeruje proti posunutiu. harmonické kmitanie nastane pri malých uhloch vychýlenia, t.j 2* hriech a.
Nahradiť hriech a v rovnice (4.12), dostaneme nasledujúcu rovnicu.
Harmonické kmity - kmity vykonávané podľa zákonov sínusu a kosínusu. Nasledujúci obrázok ukazuje graf zmeny súradnice bodu v čase podľa kosínusového zákona.
obrázok
Amplitúda oscilácie
Amplitúda harmonického kmitania sa nazýva najvyššia hodnota posunutie telesa z rovnovážnej polohy. Amplitúda môže nadobúdať rôzne hodnoty. Bude záležať na tom, o koľko teleso v počiatočnom okamihu posunieme z rovnovážnej polohy.
Stanoví sa amplitúda počiatočné podmienky, to znamená energiu odovzdanú telu v počiatočnom okamihu. Keďže sínus a kosínus môžu nadobúdať hodnoty v rozsahu od -1 do 1, potom rovnica musí obsahovať faktor Xm, ktorý vyjadruje amplitúdu kmitov. Pohybová rovnica pre harmonické vibrácie:
x = Xm*cos(co0*t).
Doba oscilácie
Perióda oscilácie je čas potrebný na jednu úplnú osciláciu. Periódu oscilácie označujeme písmenom T. Jednotky periódy zodpovedajú jednotkám času. To znamená, že v SI sú to sekundy.
Frekvencia kmitov - počet kmitov za jednotku času. Frekvencia kmitania sa označuje písmenom ν. Frekvencia oscilácií môže byť vyjadrená ako perióda oscilácie.
v = 1/T.
Jednotky frekvencie v SI 1/sec. Táto jednotka merania sa nazýva Hertz. Počet kmitov za čas 2 * pi sekundy sa bude rovnať:
ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.
Oscilačná frekvencia
Táto hodnota sa nazýva frekvencia cyklických oscilácií. V niektorej literatúre sa nachádza názov kruhová frekvencia. Vlastná frekvencia oscilačného systému je frekvencia voľných oscilácií.
Frekvencia vlastných kmitov sa vypočíta podľa vzorca:
Frekvencia vlastných kmitov závisí od vlastností materiálu a hmotnosti bremena. Čím väčšia je tuhosť pružiny, tým väčšia je frekvencia vlastných kmitov. Čím väčšia je hmotnosť bremena, tým nižšia je frekvencia vlastných kmitov.
Tieto dva závery sú zrejmé. Čím je pružina tuhšia, tým väčšie zrýchlenie udelí telu, keď je systém nevyvážený. Čím väčšia je hmotnosť telesa, tým pomalšie sa bude rýchlosť tohto telesa meniť.
Obdobie voľných kmitov:
T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)
Je pozoruhodné, že pri malých uhloch vychýlenia nebude perióda kmitania telesa na pružine a perióda kmitania kyvadla závisieť od amplitúdy kmitov.
Zapíšme si vzorce pre periódu a frekvenciu voľných kmitov pre matematické kyvadlo.
potom bude obdobie
T = 2*pi*√(l/g).
Tento vzorec bude platný len pre malé uhly vychýlenia. Zo vzorca vidíme, že perióda kmitania sa zvyšuje s dĺžkou závitu kyvadla. Čím dlhšia je dĺžka, tým pomalšie telo bude kolísať.
Doba kmitania nezávisí od hmotnosti bremena. Ale záleží na zrýchlení. voľný pád. Keď g klesá, perióda oscilácie sa bude zvyšovať. Táto vlastnosť je v praxi široko využívaná. Napríklad na meranie presná hodnota voľné zrýchlenie.
Harmonické vibrácie
Grafy funkcií f(X) = hriech( X) A g(X) = cos( X) na karteziánskej rovine.
harmonické kmitanie- kolísanie, pri ktorom sa fyzikálna (alebo akákoľvek iná) veličina mení v čase podľa sínusového alebo kosínusového zákona. Kinematická rovnica harmonických kmitov má tvar
,Kde X- posunutie (odchýlka) kmitajúceho bodu z rovnovážnej polohy v čase t; A- amplitúda kmitania, to je hodnota, ktorá určuje maximálnu odchýlku bodu kmitania od rovnovážnej polohy; ω - cyklická frekvencia, hodnota ukazujúca počet úplných kmitov vyskytujúcich sa v priebehu 2π sekúnd - úplná fáza kmitov, - počiatočná fáza kmitov.
Generalizovaná harmonická oscilácia v diferenciálnu formu
(Akékoľvek netriviálne riešenie tejto diferenciálnej rovnice je harmonické kmitanie s cyklickou frekvenciou)
Druhy vibrácií
Vývoj v čase posunu, rýchlosti a zrýchlenia v harmonickom pohybe
- Voľné vibrácie vznikajú pôsobením vnútorných síl systému po tom, čo sa systém dostal z rovnováhy. Aby boli voľné kmity harmonické, je potrebné, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a nemal by v ňom dochádzať k rozptylu energie (to by spôsobovalo tlmenie).
- Nútené vibrácie vykonávané pod vplyvom vonkajšej periodickej sily. Aby boli harmonické, stačí, aby bol oscilačný systém lineárny (popísaný lineárnymi pohybovými rovnicami) a samotná vonkajšia sila sa v čase mení ako harmonická oscilácia (to znamená, že časová závislosť tejto sily je sínusová) .
Aplikácia
Harmonické vibrácie sa odlišujú od všetkých ostatných typov vibrácií z nasledujúcich dôvodov:
pozri tiež
Poznámky
Literatúra
- fyzika. Elementárna učebnica Fyzika / Ed. G. S. Lansberg. - 3. vyd. - M., 1962. - T. 3.
- Khaykin S. E. Fyzikálne základy mechaniky. - M., 1963.
- A. M. Afonin. Fyzikálne základy mechaniky. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
- Gorelik G.S. Vibrácie a vlny. Úvod do akustiky, rádiofyziky a optiky. - M .: Fizmatlit, 1959. - 572 s.
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite si, čo sú „Harmonické vibrácie“ v iných slovníkoch:
Moderná encyklopédia
Harmonické vibrácie- HARMONICKÉ KMITY, periodické zmeny fyzikálnej veličiny, ku ktorým dochádza podľa sínusového zákona. Graficky sú harmonické kmity znázornené sínusoidnou krivkou. Harmonické vibrácie najjednoduchšia forma periodické pohyby charakterizované... Ilustrovaný encyklopedický slovník
Fluktuácie, pri ktorých sa fyzikálna veličina mení v čase podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Graficky sú G. až. znázornené sínusoidou alebo kosínusovou krivkou (pozri obr.); môžu byť zapísané v tvare: x = Asin (ωt + φ) alebo x ... Veľká sovietska encyklopédia
HARMONICKÉ KMITY, periodický pohyb, ako je pohyb kyvadla, atómové vibrácie alebo vibrácie v elektrický obvod. Teleso vykonáva netlmené harmonické kmity, keď kmitá pozdĺž priamky, pričom sa pohybuje o rovnakú ... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník
Oscilácie, pri k ryh fyzikálnych. (alebo iná) hodnota sa mení v čase podľa sínusového zákona: x=Asin(wt+j), kde x je hodnota oscilujúcej hodnoty v danom. časový moment t (pre mechanické G. až. napr. posun alebo rýchlosť, pre ... ... Fyzická encyklopédia
harmonické vibrácie- Mechanické vibrácie, pri ktorých sa zovšeobecnená súradnica a (alebo) zovšeobecnená rýchlosť menia úmerne sínusu s argumentom lineárne závislým od času. [Kolekcia odporúčaných výrazov. Vydanie 106. Mechanické vibrácie. Akadémia vied... Technická príručka prekladateľa
Oscilácie, pri k ryh fyzikálnych. (alebo iná) veličina sa mení v čase podľa sínusového zákona, kde x je hodnota kmitajúcej veličiny v čase t (pre mechanické G. až. napr. posuv a rýchlosť, pre elektrické napätie a prúd) .. . Fyzická encyklopédia
HARMONICKÉ KMITY- (pozri), v ktorom fyzickom. hodnota sa mení v čase podľa zákona sínusu alebo kosínusu (napríklad sa mení (pozri) a rýchlosť počas kmitania (pozri) alebo sa mení (pozri) a sila prúdu s elektrickým G. až.) ... Veľká polytechnická encyklopédia
Vyznačujú sa zmenou oscilačnej hodnoty x (napríklad odchýlka kyvadla z rovnovážnej polohy, napätie v obvode striedavého prúdu a pod.) v čase t podľa zákona: x = Asin (?t + ?), kde A je amplitúda harmonických kmitov, ? roh…… Veľký encyklopedický slovník
Harmonické vibrácie- 19. Harmonické kmity Oscilácie, pri ktorých sa hodnoty kmitajúcej veličiny menia v čase podľa zákona Zdroj ... Slovník-príručka termínov normatívnej a technickej dokumentácie
Pravidelné kolísanie, s krykh zmena v čase fyzik. magnitúda nastáva podľa zákona sínusu alebo kosínusu (pozri obr.): s = Asin (wt + f0), kde s je odchýlka kolísavej hodnoty od jej porov. (rovnovážna) hodnota, A=konšt. amplitúda, w= konštantná kruhová ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník
Zmeny množstva sú opísané pomocou zákonov sínusu alebo kosínusu, potom sa takéto oscilácie nazývajú harmonické. Uvažujme obvod vytvorený z kondenzátora (ktorý bol pred zaradením do obvodu nabitý) a tlmivky (obr. 1).
Obrázok 1.
Rovnicu harmonickej oscilácie možno zapísať takto:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
kde $t$-čas; $q$ poplatok, $q_0$-- maximálna odchýlka poplatku od jeho priemernej (nulovej) hodnoty počas zmien; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fáza oscilácie; $(\alpha )_0$ - počiatočná fáza; $(\omega )_0$ - cyklická frekvencia. Počas tohto obdobia sa fáza zmení o $2\pi $.
Typ rovnice:
rovnica harmonických kmitov v diferenciálnom tvare pre oscilačný obvod, ktorý nebude obsahovať aktívny odpor.
Akýkoľvek druh periodických kmitov možno presne znázorniť ako súčet harmonických kmitov, takzvaný harmonický rad.
Pre periódu oscilácie obvodu, ktorý pozostáva z cievky a kondenzátora, dostaneme Thomsonov vzorec:
Ak diferencujeme výraz (1) vzhľadom na čas, môžeme získať vzorec pre funkciu $I(t)$:
Napätie na kondenzátore možno nájsť ako:
Zo vzorcov (5) a (6) vyplýva, že sila prúdu je pred napätím na kondenzátore o $\frac(\pi )(2).$
Harmonické kmity môžu byť reprezentované vo forme rovníc, funkcií a vektorových diagramov.
Rovnica (1) predstavuje voľné netlmené kmitanie.
Rovnica tlmenej oscilácie
Zmena náboja ($q$) na doskách kondenzátora v obvode, berúc do úvahy odpor (obr. 2), bude opísaná diferenciálnou rovnicou v tvare:
Obrázok 2
Ak odpor, ktorý je súčasťou obvodu $R \
kde $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ je frekvencia cyklických oscilácií. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficient útlmu. Amplitúda tlmených kmitov je vyjadrená ako:
V prípade, že pri $t=0$ je náboj na kondenzátore rovný $q=q_0$, v obvode nie je žiadny prúd, potom pre $A_0$ môžeme napísať:
Fáza oscilácie v počiatočnom časovom okamihu ($(\alpha )_0$) sa rovná:
Pre $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ zmena náboja nie je oscilácia, vybíjanie kondenzátora sa nazýva aperiodické.
Príklad 1
Cvičenie: Maximálna hodnota poplatok sa rovná $q_0=10\ C$. Harmonicky sa mení s periódou $T= 5 c$. Určte maximálny možný prúd.
Riešenie:
Ako základ pre riešenie problému používame:
Ak chcete zistiť aktuálnu silu, výraz (1.1) musí byť diferencovaný s ohľadom na čas:
kde maximum (hodnota amplitúdy) sily prúdu je výraz:
Z podmienok úlohy poznáme hodnotu amplitúdy náboja ($q_0=10\ Kl$). Mali by ste nájsť prirodzenú frekvenciu kmitov. Vyjadrime to takto:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\vľavo(1,4\vpravo).\]
V tomto prípade sa požadovaná hodnota nájde pomocou rovníc (1.3) a (1.2) ako:
Keďže všetky veličiny v podmienkach úlohy sú prezentované v sústave SI, vykonáme výpočty:
odpoveď:$I_0=12,56\ A.$
Príklad 2
Cvičenie: Aká je perióda oscilácie v obvode, ktorý obsahuje tlmivku $L=1$H a kondenzátor, ak sa prúd v obvode mení podľa zákona: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ Aká je kapacita kondenzátora?
Riešenie:
Z rovnice prúdových kmitov, ktorá je uvedená v podmienkach úlohy:
vidíme, že $(\omega )_0=20\pi $, preto môžeme vypočítať periódu oscilácie pomocou vzorca:
\ \
Podľa Thomsonovho vzorca pre obvod, ktorý obsahuje induktor a kondenzátor, máme:
Vypočítajme kapacitu:
odpoveď:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
Spolu s translačnými a rotačnými pohybmi telies v mechanike sú veľmi zaujímavé aj oscilačné pohyby. Mechanické vibrácie nazývané pohyby telies, ktoré sa presne (alebo približne) opakujú v pravidelných intervaloch. Zákon pohybu kmitajúceho telesa je daný niekt periodická funkciačas X = f (t). Grafické znázornenie tejto funkcie dáva vizuálne znázornenie priebehu oscilačného procesu v čase.
Príkladom jednoduchých oscilačných systémov je zaťaženie pružiny alebo matematického kyvadla (obr. 2.1.1).
Mechanické oscilácie, ako oscilačné procesy akejkoľvek inej fyzikálnej povahy, môžu byť zadarmo A nútený. Voľné vibrácie sú vyrobené pod vplyvom vnútorné sily systému po tom, čo sa systém dostal z rovnováhy. Kmity závažia na pružine alebo kmity kyvadla sú voľné kmity. vibrácie pod pôsobením externé nazývajú sa periodicky sa meniace sily nútený .
Najjednoduchší typ oscilačného procesu je jednoduchý harmonické vibrácie , ktoré sú opísané rovnicou
|
X = X m cos (ω t + φ 0). |
Tu X- posunutie tela z rovnovážnej polohy, X m - amplitúda kmitania, t.j. maximálne posunutie z rovnovážnej polohy, ω - cyklická alebo kruhová frekvencia váhanie, t- čas. Hodnota pod kosínusovým znamienkom φ = ω t+ φ 0 sa volá fáza harmonický proces. O t= 0 φ = φ 0, preto sa nazýva φ 0 počiatočná fáza. Minimálny časový interval, po ktorom sa pohyb telesa opakuje, sa nazýva perióda oscilácie T. Fyzikálne množstvo, prevrátená doba oscilácie, sa nazýva frekvencia oscilácií:
Oscilačná frekvencia f ukazuje, koľko vibrácií sa vytvorí za 1 s. Jednotka frekvencie - hertz(Hz). Oscilačná frekvencia f súvisí s cyklickou frekvenciou ω a periódou kmitania T pomery:
Na obr. 2.1.2 ukazuje polohy tela v pravidelných intervaloch s harmonickými vibráciami. Takýto obraz možno získať experimentálne osvetlením oscilujúceho telesa krátkymi periodickými zábleskami svetla ( stroboskopické osvetlenie). Šípky predstavujú vektory rýchlosti tela v rôznych časových bodoch.
Ryža. 2.1.3 znázorňuje zmeny, ktoré nastanú na grafe harmonického procesu, ak sa zmení buď amplitúda oscilácií X m alebo bodka T(alebo frekvencia f), alebo počiatočná fáza φ 0 .
Keď telo kmitá pozdĺž priamky (os VÔL) vektor rýchlosti je vždy nasmerovaný pozdĺž tejto priamky. Rýchlosť υ = υ X pohyb tela je určený výrazom
V matematike postup pri hľadaní limity pomeru pri Δ t→ 0 sa nazýva výpočet derivácie funkcie X (t) časom t a označené ako alebo ako X"(t) alebo nakoniec ako . Pre harmonický pohybový zákon Výpočet derivácie vedie k tomuto výsledku:
Výskyt termínu + π / 2 v kosínusovom argumente znamená zmenu v počiatočnej fáze. Maximálne modulové hodnoty rýchlosti υ = ω X m sa dosahujú v tých časových okamihoch, keď teleso prechádza rovnovážnymi polohami ( X= 0). Zrýchlenie je definované podobným spôsobom a = aX telesá s harmonickými vibráciami:
preto to zrýchlenie a sa rovná derivácii funkcie υ ( t) časom t, alebo druhá derivácia funkcie X (t). Výpočty dávajú:
Znamienko mínus v tomto výraze znamená, že zrýchlenie a (t) má vždy opačné znamienko odsadenia X (t), a preto podľa druhého Newtonovho zákona sila, ktorá spôsobuje, že teleso vykonáva harmonické kmity, smeruje vždy do rovnovážnej polohy ( X = 0).