harmonické kmitanie. Harmonické kmity a ich charakteristiky

Pohyb kyvadla v hodinách, zemetrasenie, striedavý prúd v elektrický obvod, procesy rádiového prenosu a rádiového príjmu sú úplne odlišné, nesúvisiace procesy. Každý z nich má svoje špeciálne dôvody, no spája ich jeden znak – znak spoločnej povahy zmeny. fyzikálnych veličínčasom. Tieto a mnohé ďalšie procesy rôzneho fyzikálneho charakteru sa v mnohých prípadoch ukazuje ako vhodné považovať za jeden špeciálny typ. fyzikálnych javov- kolísanie.

Spoločným znakom fyzikálnych javov, ktoré sa nazývajú kmity, je ich opakovanie v čase. S inou fyzikálnou povahou dochádza k mnohým osciláciám podľa rovnakých zákonov, čo umožňuje aplikovať bežné metódy na ich popis a analýzu.

Harmonické vibrácie. Od Vysoké číslo rôzne oscilácie v prírode a technike, časté sú najmä harmonické oscilácie. Harmonické oscilácie sú tie, ktoré sa vyskytujú podľa zákona kosínusu alebo sínusu:

kde je hodnota, ktorá zažíva výkyvy; - čas; je konštantná hodnota, ktorej význam bude objasnený neskôr.

Maximálna hodnota veličiny, ktorá sa mení podľa harmonického zákona, sa nazýva amplitúda kmitov. Argument kosínusu alebo sínusu pre harmonické kmity sa nazýva fáza kmitania

Fáza kmitania v počiatočnom časovom okamihu sa nazýva počiatočná fáza. Počiatočná fáza určuje hodnotu množstva v počiatočnom časovom okamihu

Hodnoty sínusovej alebo kosínusovej funkcie sa opakujú, keď sa argument funkcie zmení na, preto sa pri harmonických osciláciách hodnoty magnitúdy opakujú, keď sa fáza oscilácie zmení na . Na druhej strane pri harmonickej oscilácii musí veličina nadobudnúť rovnaké hodnoty v časovom intervale nazývanom perióda oscilácie T. Preto dôjde k zmene fázy

cez periódu oscilácie T. Pre prípad, keď dostaneme:

Z výrazu (1.2) vyplýva, že konštanta v rovnici harmonické vibrácie je počet kmitov, ktoré sa vyskytnú za sekundu. Hodnota sa nazýva frekvencia cyklických oscilácií. Pomocou výrazu (1.2) možno rovnicu (1.1) vyjadriť ako frekvenciu alebo periódu T kmitov:

Popri analytickej metóde popisu harmonických kmitov sú široko používané grafické metódy ich prezentácie.

Prvým spôsobom je nastavenie grafu oscilácií v karteziánskom súradnicovom systéme. Na vodorovnej osi je vynesený čas I a na zvislej osi je vynesená hodnota meniacej sa hodnoty Pre harmonické kmity je tento graf sínusová alebo kosínusová vlna (obr. 1).

Druhý spôsob znázornenia oscilačného procesu je spektrálny. Amplitúda sa meria pozdĺž osi y a frekvencia harmonických kmitov sa meria pozdĺž osi x. Harmonický oscilačný proces s frekvenciou a amplitúdou je v tomto prípade reprezentovaný vertikálnym segmentom s priamou dĺžkou vedenou z bodu so súradnicou na osi x (obr. 2).

Tretím spôsobom opisu harmonických kmitov je metóda vektorových diagramov. V tejto metóde sa na nájdenie hodnoty veličiny, ktorá sa mení podľa harmonického zákona, používa nasledujúca, čisto formálna technika:

Zvoľme si v rovine ľubovoľne smerovanú súradnicovú os, pozdĺž ktorej budeme počítať pre nás zaujímavú hodnotu.Z počiatku súradníc pozdĺž osi nakreslíme vektorový modul, ktorý sa rovná amplitúde harmonického kmitania xm. Ak si teraz predstavíme, že vektor rotuje okolo počiatku v rovine s konštantnou uhlovou rýchlosťou c proti smeru hodinových ručičiek, potom uhol a medzi rotujúcim vektorom a osou v ľubovoľnom čase je určený výrazom.

Zvažovali sme niekoľko fyzikálne úplne odlišných systémov a ubezpečili sme sa, že pohybové rovnice sú zredukované na rovnakú formu

Rozdiely medzi fyzikálnymi systémami sa prejavujú len v rôznych definíciách veličiny a v inom fyzickom zmysle premennej X: môže to byť súradnica, uhol, náboj, prúd atď. Všimnite si, že v tomto prípade, ako vyplýva zo samotnej štruktúry rovnice (1.18), má veličina vždy rozmer inverzného času.

Rovnica (1.18) popisuje tzv harmonické vibrácie.

Rovnica harmonických kmitov (1.18) je lineárna Diferenciálnej rovnice druhého rádu (pretože obsahuje druhú deriváciu premennej X). Linearita rovnice to znamená

ak nejakú funkciu x(t) je riešením tejto rovnice, potom funkcia Cx(t) bude tiež jeho riešením ( C je ľubovoľná konštanta);

ak funkcie x 1 (t) a x 2 (t) sú riešenia tejto rovnice, potom ich súčet x 1 (t) + x 2 (t) bude tiež riešením tej istej rovnice.

Je dokázaná aj matematická veta, podľa ktorej má rovnica druhého rádu dve nezávislé riešenia. Všetky ostatné riešenia podľa vlastností linearity možno získať ako ich lineárne kombinácie. Je ľahké priamou diferenciáciou skontrolovať, či nezávislé fungujú a spĺňajú rovnicu (1.18). Takže všeobecné riešenie tejto rovnice je:

kde C1,C2 sú ľubovoľné konštanty. Toto riešenie môže byť prezentované aj v inej forme. Predstavujeme množstvo

a definujte uhol ako:

Potom sa všeobecné riešenie (1.19) zapíše ako

Podľa trigonometrických vzorcov je výraz v zátvorkách

Konečne prichádzame na všeobecné riešenie rovnice harmonických kmitov ako:

Nezáporná hodnota A volal amplitúda oscilácie, - počiatočná fáza oscilácie. Celý kosínusový argument - kombinácia - sa nazýva oscilačná fáza.

Výrazy (1.19) a (1.23) sú dokonale ekvivalentné, takže z dôvodu jednoduchosti môžeme použiť ktorýkoľvek z nich. Obe riešenia sú periodickými funkciami času. V skutočnosti sú sínus a kosínus periodické s bodkou . Preto sa rôzne stavy systému, ktorý vykonáva harmonické kmity, po určitom čase opakujú t*, pre ktorú fáza kmitania dostáva prírastok, ktorý je násobkom :

Z toho teda vyplýva

Najmenej z týchto časov

volal perióda oscilácie (obr. 1.8), a - jeho kruhový (cyklický) frekvencia.

Ryža. 1.8.

Tiež používajú frekvencia váhanie

V súlade s tým sa kruhová frekvencia rovná počtu kmitov na sekúnd.

Ak teda systém v čase t charakterizované hodnotou premennej x(t), potom rovnakú hodnotu bude mať premenná po určitom čase (obr. 1.9), tj

Rovnaká hodnota sa samozrejme po chvíli zopakuje. 2T, ZT atď.

Ryža. 1.9. Doba oscilácie

Všeobecné riešenie obsahuje dve ľubovoľné konštanty ( C1, C2 alebo A, a), ktorých hodnoty by mali byť určené dvoma počiatočné podmienky. Zvyčajne (aj keď nie nevyhnutne) ich úlohu zohrávajú počiatočné hodnoty premennej x(0) a jeho derivát.

Vezmime si príklad. Nech riešenie (1.19) rovnice harmonických kmitov opisuje pohyb pružinového kyvadla. Hodnoty ľubovoľných konštánt závisia od spôsobu, akým sme kyvadlo vyviedli z rovnováhy. Prameň sme napríklad ťahali do diaľky a pustil loptu bez počiatočnej rýchlosti. V tomto prípade

Nahrádzanie t = 0 v (1.19) nájdeme hodnotu konštanty Od 2

Riešenie teda vyzerá takto:

Rýchlosť zaťaženia sa zistí diferenciáciou vzhľadom na čas

Nahrádzanie tu t = 0, nájdite konštantu Od 1:

Konečne

V porovnaní s (1.23) zistíme, že je amplitúda kmitania a jeho počiatočná fáza sa rovná nule: .

Teraz vyvedieme kyvadlo z rovnováhy iným spôsobom. Zasiahneme náklad tak, aby získal počiatočnú rýchlosť, ale počas nárazu sa prakticky nepohol. Potom máme ďalšie počiatočné podmienky:

naše riešenie vyzerá takto

Rýchlosť zaťaženia sa bude meniť podľa zákona:

Dajme to sem:

Najjednoduchší typ vibrácií je harmonické vibrácie- kolísanie, pri ktorom sa posunutie kmitajúceho bodu z rovnovážnej polohy v čase mení podľa sínusového alebo kosínusového zákona.

Takže pri rovnomernom otáčaní gule po obvode jej premietanie (tieň v rovnobežných lúčoch svetla) vykonáva harmonický kmitavý pohyb na zvislej obrazovke (obr. 1).

Posun z rovnovážnej polohy pri harmonických vibráciách je opísaný rovnicou (nazýva sa to kinematický zákon harmonického pohybu) v tvare:

kde x - posunutie - hodnota charakterizujúca polohu kmitajúceho bodu v čase t vzhľadom k rovnovážnej polohe a meraná vzdialenosťou od rovnovážnej polohy k polohe bodu v danom čase; A - amplitúda kmitania - maximálne posunutie telesa z rovnovážnej polohy; T - perióda kmitania - čas jedného úplného kmitu; tie. najmenšia doba, po ktorej sa hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich osciláciu opakujú; - počiatočná fáza;

Fáza kmitania v čase t. Argumentom je fáza oscilácie periodická funkcia, ktorý pri danej amplitúde kmitania určuje stav kmitavého systému (posun, rýchlosť, zrýchlenie) telesa v ľubovoľnom čase.

Ak sa v počiatočnom okamihu oscilujúci bod maximálne posunie z rovnovážnej polohy, potom sa posun bodu z rovnovážnej polohy zmení podľa zákona

Ak je kmitajúci bod v polohe stabilnej rovnováhy, potom sa posunutie bodu z rovnovážnej polohy mení podľa zákona

Hodnota V, prevrátená za obdobie a rovná sa číslu plné kmity uskutočnené za 1 s sa nazývajú frekvencia kmitov:

Ak v čase t telo urobí N úplných kmitov, potom

hodnota , ukazujúci, koľko kmitov teleso vykoná za s, sa nazýva cyklická (kruhová) frekvencia.

Kinematický zákon harmonického pohybu možno zapísať takto:

Graficky je závislosť posunu kmitajúceho bodu od času znázornená kosínusom (alebo sínusoidou).

Obrázok 2, a ukazuje časovú závislosť posunutia oscilujúceho bodu z rovnovážnej polohy pre prípad.

Poďme zistiť, ako sa mení rýchlosť oscilujúceho bodu s časom. Aby sme to dosiahli, nájdeme časovú deriváciu tohto výrazu:

kde je amplitúda projekcie rýchlosti na osi x.

Tento vzorec ukazuje, že počas harmonických kmitov sa mení aj priemet rýchlosti telesa na os x podľa harmonického zákona s rovnakou frekvenciou, s inou amplitúdou a je pred fázou miešania o (obr. 2, b) .

Aby sme zistili závislosť zrýchlenia, nájdeme časovú deriváciu projekcie rýchlosti:

kde je amplitúda projekcie zrýchlenia na osi x.

Pre harmonické kmity vedie projekcia zrýchlenia fázový posun o k (obr. 2, c).

Podobne môžete vytvárať grafy závislostí

Vzhľadom na to je možné napísať vzorec pre zrýchlenie

tie. pre harmonické kmity je projekcia zrýchlenia priamo úmerná výchylke a opačného znamienka, t.j. zrýchlenie je nasmerované v smere opačnom k ​​posunutiu.

Takže projekcia zrýchlenia je druhá derivácia posunu, potom výsledný pomer možno zapísať ako:

Posledná rovnosť je tzv rovnica harmonických kmitov.

Fyzikálny systém, v ktorom môžu existovať harmonické oscilácie, sa nazýva harmonický oscilátor a rovnica harmonických kmitov - rovnica harmonického oscilátora.

Zmeny v čase podľa sínusového zákona:

kde X- hodnota kolísajúcej veličiny v čase t, ALE- amplitúda, ω - kruhová frekvencia, φ je počiatočná fáza oscilácií, ( φt + φ ) je celková fáza kmitov . Zároveň aj hodnoty ALE, ω a φ - trvalý.

Pre mechanické vibrácie s oscilačnou hodnotou X sú najmä posuv a rýchlosť, pri elektrických kmitoch sila napätia a prúdu.

Harmonické kmity zaujímajú osobitné miesto medzi všetkými druhmi kmitov, keďže ide o jediný typ kmitania, ktorého tvar sa pri prechode cez akékoľvek homogénne prostredie neskresľuje, t.j. harmonické budú aj vlny šíriace sa zo zdroja harmonických kmitov. Akákoľvek neharmonická vibrácia môže byť reprezentovaná ako súčet (integrál) rôznych harmonických vibrácií (vo forme spektra harmonických vibrácií).

Premeny energie pri harmonických vibráciách.

V procese oscilácií dochádza k prechodu potenciálnej energie Wp do kinetiky Wk a naopak. V polohe maximálnej odchýlky od rovnovážnej polohy je potenciálna energia maximálna, kinetická nulová. S návratom do rovnovážnej polohy sa zvyšuje rýchlosť kmitajúceho telesa a s ňou rastie aj kinetická energia, ktorá v rovnovážnej polohe dosahuje maximum. Potenciálna energia potom klesne na nulu. Ďalší pohyb krku nastáva s poklesom rýchlosti, ktorá klesne na nulu, keď výchylka dosiahne svoje druhé maximum. Potenciálna energia sa tu zvyšuje na svoju počiatočnú (maximálnu) hodnotu (pri absencii trenia). Kmity kinetickej a potenciálnej energie sa teda vyskytujú s dvojnásobnou (v porovnaní s kmitmi samotného kyvadla) frekvenciou a sú v protifáze (t.j. medzi nimi je fázový posun rovný π ). Celková energia vibrácií W zostáva nezmenený. Pre teleso oscilujúce pôsobením elastickej sily sa rovná:

kde v m — maximálna rýchlosť telo (v rovnovážnej polohe), x m = ALE- amplitúda.

V dôsledku trenia a odporu média sa voľné oscilácie tlmia: ich energia a amplitúda sa časom znižujú. Preto sa v praxi častejšie používajú nie voľné, ale nútené kmity.

Ide o periodické kmitanie, pri ktorom sa súradnica, rýchlosť, zrýchlenie, charakterizujúce pohyb, menia podľa sínusového alebo kosínusového zákona. Rovnica harmonických kmitov určuje závislosť súradníc tela od času

Kosínusový graf má v počiatočnom okamihu maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulovú hodnotu. Ak začneme skúmať kmitanie z rovnovážnej polohy, potom kmitanie zopakuje sínusoidu. Ak začneme uvažovať kmitanie z polohy maximálnej výchylky, tak kmitanie bude opisovať kosínus. Alebo môže byť takáto oscilácia opísaná sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.

Matematické kyvadlo

Kmity matematického kyvadla.
Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na beztiažovej neroztiahnuteľnej nite (fyzikálny model).
Pohyb kyvadla budeme uvažovať pod podmienkou, že uhol vychýlenia je malý, potom, ak meriame uhol v radiánoch, platí tvrdenie: .
Na teleso pôsobí gravitačná sila a napätie nite. Výslednica týchto síl má dve zložky: tangenciálnu, ktorá mení veľkosť zrýchlenia, a normálovú, ktorá mení zrýchlenie v smere (centripetálne zrýchlenie, teleso sa pohybuje po oblúku).
Pretože uhol je malý, potom sa tangenciálna zložka rovná priemetu gravitácie na dotyčnicu k trajektórii: . Uhol v radiánoch sa rovná pomeru dĺžky oblúka k polomeru (dĺžka vlákna) a dĺžka oblúka sa približne rovná odsadeniu ( x ≈ s): .
Výslednú rovnicu porovnajme s rovnicou kmitavého pohybu. Je vidieť, že alebo ide o cyklickú frekvenciu počas kmitov matematického kyvadla.
Doba oscilácie alebo (Galileov vzorec).	Galileov vzorec
Najdôležitejší záver: doba kmitania matematického kyvadla nezávisí od hmotnosti telesa!
Podobné výpočty je možné vykonať pomocou zákona zachovania energie. Berieme do úvahy, že potenciálna energia telesa v gravitačnom poli sa rovná a celková mechanická energia sa rovná maximálnemu potenciálu alebo kinetickej energii:
Zapíšme si zákon zachovania energie a zoberme deriváciu ľavej a pravej časti rovnice: . Pretože derivácia konštantnej hodnoty sa rovná nule, potom . Derivácia súčtu sa rovná súčtu derivátov: a.
Preto: , čo znamená.

Stavová rovnica ideálneho plynu (Mendelejevova-Clapeyronova rovnica).
Stavová rovnica je rovnica, ktorá dáva do vzťahu parametre fyzikálneho systému a jednoznačne určuje jeho stav. V roku 1834 francúzsky fyzik B. Clapeyron, ktorý dlho pôsobil v Petrohrade, odvodil stavovú rovnicu pre ideálny plyn pre konštantnú hmotnosť plynu. V roku 1874 D. I. Mendelejev odvodil rovnicu pre ľubovoľný počet molekúl.
V MKT a ideálnej termodynamike plynov sú makroskopické parametre: p, V, T, m. My to vieme . V dôsledku toho,. Vzhľadom na to , dostaneme:.
Súčin konštantných hodnôt je konštantná hodnota, preto: - univerzálna plynová konštanta (univerzálna, pretože je rovnaká pre všetky plyny).
Máme teda: Stavová rovnica (Mendelejevova-Clapeyronova rovnica).
Iné formy zápisu stavovej rovnice ideálneho plynu.
1. Rovnica pre 1 mol látky. Ak n \u003d 1 mol, potom, označujúci objem jedného molu V m, dostaneme:. Pre normálnych podmienkach dostaneme:
2. Napíšte rovnicu z hľadiska hustoty: - Hustota závisí od teploty a tlaku!
3. Clapeyronova rovnica. Často je potrebné skúmať situáciu, keď sa skupenstvo plynu mení s jeho konštantným množstvom (m=konšt.) a pri absencii chemických reakcií (M=konšt.). To znamená, že látkové množstvo n=konšt. potom:
Tento záznam to znamená pre danú hmotnosť daného plynu rovnosť je pravda:
Pre konštantnú hmotnosť ideálneho plynu je pomer súčinu tlaku a objemu k absolútnej teplote v danom stave konštantná hodnota: .
plynové zákony.
1. Avogadrov zákon. V rovnakých objemoch rôznych plynov súčasne vonkajších podmienok existuje rovnaký počet molekúl (atómov). Podmienka: Vi =V2 =...=Vn; p 1 \u003d p 2 \u003d ... \u003d p n; T 1 \u003d T 2 \u003d ... \u003d T n
dôkaz: Preto za rovnakých podmienok (tlak, objem, teplota) počet molekúl nezávisí od charakteru plynu a je rovnaký.
2. Daltonov zákon. Tlak zmesi plynov sa rovná súčtu parciálnych (súkromných) tlakov každého plynu. Dokážte: p=p 1 +p 2 +…+p n dôkaz:
3. Pascalov zákon. Tlak vytvorený na kvapaline alebo plyne sa prenáša vo všetkých smeroch bez zmeny.

Stavová rovnica ideálneho plynu. plynové zákony.

Počty stupňov voľnosti: ide o počet nezávislých premenných (súradníc), ktoré úplne určujú polohu systému v priestore. V niektorých úlohách sa za hmotný bod považuje monoatomická molekula plynu (obr. 1, a), ktorá má tri stupne voľnosti translačného pohybu. Toto nezohľadňuje energiu rotačného pohybu. V mechanike sa dvojatómová molekula plynu v prvej aproximácii považuje za súbor dvoch hmotných bodov, ktoré sú pevne spojené nedeformovateľnou väzbou (obr. 1, b). Tento systém okrem troch stupňov voľnosti translačného pohybu má ešte dva stupne voľnosti rotačného pohybu. Rotácia okolo tretej osi prechádzajúcej oboma atómami je nezmyselná. To znamená, že dvojatómový plyn má päť stupňov voľnosti ( i= 5). Triatomická (obr. 1, c) a polyatomická nelineárna molekula má šesť stupňov voľnosti: tri translačné a tri rotačné. Je prirodzené predpokladať, že medzi atómami neexistuje pevná väzba. Preto je pri reálnych molekulách potrebné brať do úvahy aj stupne voľnosti vibračného pohybu.

Pre ľubovoľný počet stupňov voľnosti danej molekuly sú tri stupne voľnosti vždy translačné. Žiadny z translačných stupňov voľnosti nemá výhodu oproti ostatným, čo znamená, že každý z nich má v priemere rovnakú energiu rovnajúcu sa 1/3 hodnoty<ε 0 >(energia translačného pohybu molekúl): V štatistickej fyzike Boltzmannov zákon o rovnomernom rozdelení energie cez stupne voľnosti molekúl: pre štatistický systém, ktorý je v stave termodynamickej rovnováhy, má každý translačný a rotačný stupeň voľnosti priemernú kinetickú energiu rovnajúcu sa kT/2 a každý vibračný stupeň voľnosti má priemernú energiu rovnajúcu sa kT. Vibračný stupeň má dvakrát toľko energie, pretože zodpovedá za kinetickú energiu (ako v prípade translačných a rotačných pohybov) aj potenciálnu energiu a priemerné hodnoty potenciálnej a kinetickej energie sú rovnaké. Takže priemerná energia molekuly kde i- súčet počtu translačných, počtu rotačných v dvojnásobku počtu vibračných stupňov voľnosti molekuly: i=i príspevok + i rotácia +2 i vibrácie V klasickej teórii sa o molekulách uvažuje s pevnou väzbou medzi atómami; pre nich i sa zhoduje s počtom stupňov voľnosti molekuly. Keďže v ideálnom plyne je vzájomná potenciálna energia interakcie molekúl rovná nule (molekuly medzi sebou neinteragujú), potom sa vnútorná energia pre jeden mól plynu bude rovnať súčtu kinetických energií N A molekúl: (1) Vnútorná energia pre ľubovoľnú hmotnosť m plynu. kde M- molárna hmota, ν - množstvo hmoty.