Bir parabol nasıl inşa edilir? Grafiği çizmenin birkaç yolu vardır ikinci dereceden fonksiyon. Her birinin artıları ve eksileri vardır. İki yol düşünelim.
y=x²+bx+c ve y= -x²+bx+c gibi ikinci dereceden bir fonksiyonu çizerek başlayalım.
Örnek.
y=x²+2x-3 fonksiyonunu çizin.
Çözüm:
y=x²+2x-3 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, kolları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabol köşe koordinatları
Tepe noktasından (-1;-4) y=x² parabolünün bir grafiğini oluşturuyoruz (başlangıçtan itibaren. (0;0) yerine - tepe noktası (-1;-4). Başlangıç (-1;- 4) 1 birim sağa ve 1 birim yukarı, ardından 1 birim sola ve 1 birim yukarı gidiyoruz, ardından: 2 - sağa, 4 - yukarı, 2 - sola, 4 - yukarı, 3 - sağa, 9 - yukarı, 3 - sol, 9 - yukarı Bu 7 nokta yeterli değil, sonra - 4 sağa, 16 - yukarı vb.).
İkinci dereceden y= -x²+bx+c fonksiyonunun grafiği, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Bir grafik oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını arıyoruz ve buradan bir y= -x² parabolü oluşturuyoruz.
Örnek.
y= -x²+2x+8 fonksiyonunu çizin.
Çözüm:
y= -x²+2x+8 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı olan bir paraboldür. Parabol köşe koordinatları
Yukarıdan bir parabol y = -x² oluşturuyoruz (1 - sağ, 1 - aşağı; 1 - sol, 1 - aşağı; 2 - sağ, 4 - aşağı; 2 - sol, 4 - aşağı, vb.):
Bu yöntem, hızlı bir şekilde bir parabol oluşturmanıza olanak tanır ve y=x² ve y= -x² fonksiyonlarını nasıl çizeceğinizi biliyorsanız, zorluk çıkarmaz. Dezavantaj: Köşe koordinatları kesirli sayılarsa, çizmek pek uygun olmaz. Bilmen gerekiyorsa kesin değerler grafiğin Öküz ekseni ile kesişme noktalarında, bu noktalar doğrudan şekilden belirlenebilse bile, ayrıca x² + bx + c = 0 (veya -x² + bx + c = 0) denklemini çözmeniz gerekecektir.
Bir parabol oluşturmanın başka bir yolu noktalara göredir, yani grafikte birkaç nokta bulabilir ve bunların arasından bir parabol çizebilirsiniz (x=xₒ çizgisinin simetri ekseni olduğunu hesaba katarak). Genellikle bunun için parabolün tepesini, grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve 1-2 ek noktayı alırlar.
y=x²+5x+4 fonksiyonunu çizin.
Çözüm:
y=x²+5x+4 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, kolları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabol köşe koordinatları
yani parabolün tepe noktası (-2,5; -2,25) noktasıdır.
arıyoruz Öküz ekseni ile kesişme noktasında y=0: x²+5x+4=0. İkinci dereceden denklem x1 \u003d -1, x2 \u003d -4'ün kökleri, yani grafikte (-1; 0) ve (-4; 0) iki puan aldılar.
Grafiğin Oy ekseni x=0 ile kesiştiği noktada: y=0²+5∙0+4=4. Bir puan aldım (0; 4).
Grafiği hassaslaştırmak için ek bir nokta bulabilirsiniz. x=1 alalım, sonra y=1²+5∙1+4=10 yani grafiğin bir noktası daha - (1; 10). Bu noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz. Parabolün tepesinden geçen düz çizgiye göre simetrisini dikkate alarak iki nokta daha işaretliyoruz: (-5; 6) ve (-6; 10) ve bunların arasından bir parabol çiziyoruz:
y= -x²-3x fonksiyonunu çizin.
Çözüm:
y= -x²-3x ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı olan bir paraboldür. Parabol köşe koordinatları
Üst (-1.5; 2.25) parabolün ilk noktasıdır.
Grafiğin x ekseni y=0 ile kesiştiği noktalarda yani -x²-3x=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri x=0 ve x=-3 yani (0; 0) ve (-3; 0) grafikte iki nokta daha var. (o; 0) noktası aynı zamanda parabolün y ekseni ile kesişme noktasıdır.
x=1'de y=-1²-3∙1=-4, yani (1; -4) çizim için ek bir noktadır.
Noktalardan bir parabol oluşturmak, birincisine göre daha fazla zaman alan bir yöntemdir. Parabol x eksenini kesmiyorsa, ek puanlar daha fazlasına ihtiyaç duyulacak.
y=ax²+bx+c biçimindeki ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya devam etmeden önce, geometrik dönüşümleri kullanarak fonksiyonların grafiklerini oluşturmayı düşünün. y=x²+c biçimindeki fonksiyonların grafikleri de bu dönüşümlerden biri olan paralel ötelemeyi kullanarak oluşturmak için en uygundur.
Bölüm: |Önemli notlar!
1. Formüller yerine abrakadabra görüyorsanız, önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynakİçin
Burada ne yazılacağını anlamak için ikinci dereceden bir fonksiyonun ne olduğunu ve ne ile yendiğini iyi bilmeniz gerekir. Kendinizi ikinci dereceden fonksiyonlarda bir profesyonel olarak görüyorsanız, hoş geldiniz. Ancak değilse, konuyu okumalısınız.
Küçükten başlayalım çekler:
- İkinci dereceden bir işlev genel biçimde (formül) neye benziyor?
- İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin adı nedir?
- Önde gelen katsayı, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini nasıl etkiler?
Bu soruları hemen cevaplayabiliyorsanız, okumaya devam edin. En az bir soru zorluğa neden olduysa, adresine gidin.
Yani, ikinci dereceden bir işlevi nasıl ele alacağınızı, grafiğini nasıl analiz edeceğinizi ve noktalara göre bir grafik oluşturacağınızı zaten biliyorsunuz.
Peki, işte burada: .
Ne yaptıklarına hızlıca bir göz atalım. oranlar.
- Kıdemli katsayı, parabolün "dikliğinden" veya başka bir deyişle genişliğinden sorumludur: parabol ne kadar büyükse, o kadar dar (daha dik) ve daha küçük, daha geniş (daha düz) parabol.
- Serbest terim, parabolün y ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatıdır.
- Ve katsayı, parabolün koordinatların merkezinden yer değiştirmesinden bir şekilde sorumludur. İşte şimdi bununla ilgili daha fazlası.
Neden her zaman bir parabol oluşturmaya başlıyoruz? Onun ayırt edici noktası nedir?
Bu köşe. Ve tepe noktasının koordinatlarını nasıl bulacağınızı hatırladınız mı?
Apsis aşağıdaki formülle aranır:
Bunun gibi: ne Daha, konular Sola parabolün tepesi hareket eder.
Bir tepe noktasının ordinatı, fonksiyonda ikame edilerek bulunabilir:
Kendinizi değiştirin ve sayın. Ne oldu?
Her şeyi doğru yaparsanız ve ortaya çıkan ifadeyi olabildiğince basitleştirirseniz, şunları elde edersiniz:
Görünüşe göre daha fazla modulo, konular daha yüksek irade köşe paraboller.
Son olarak çizime geçelim.
En kolay yol, tepeden başlayarak bir parabol oluşturmaktır.
Örnek:
Fonksiyonu çizin.
Çözüm:
İlk olarak, katsayıları tanımlayalım: .
Şimdi köşe koordinatlarını hesaplayalım:
Ve şimdi unutmayın: aynı baş katsayıya sahip tüm paraboller aynı görünür. Dolayısıyla, bir parabol oluşturur ve tepe noktasını bir noktaya taşırsak, ihtiyacımız olan grafiği elde ederiz:
Basit, değil mi?
Geriye tek bir soru kaldı: hızlı bir şekilde bir parabol nasıl çizilir? Baş noktası orijinde olan bir parabol çizsek bile onu nokta nokta oluşturmak zorundayız ki bu uzun ve elverişsizdir. Ama tüm paraboller aynı görünüyor, belki çizimlerini hızlandırmanın bir yolu vardır?
Ben okuldayken, matematik öğretmenim herkese kartondan parabol şeklinde bir şablon kesmelerini, böylece çabucak çizebilmelerini söyledi. Ama bir şablonla her yere yürüyemeyeceksiniz ve sınava girmelerine izin verilmeyecek. Yani yabancı cisimler kullanmayacağız ama bir model arayacağız.
En basit parabolü ele alalım. Puanlara göre oluşturalım:
Buradaki kural şudur. Yukarıdan sağa (eksen boyunca) ve yukarı doğru (eksen boyunca) hareket edersek, o zaman parabolün noktasına ulaşacağız. Ayrıca: bu noktadan sağa ve yukarı doğru hareket edersek, yine parabolün noktasına geleceğiz. Sonraki: hemen ve yukarı. Sıradaki ne? Hemen ve yukarı. Ve böyle devam eder: sağa ve bir sonraki tek sayı yukarıya doğru ilerleyin. Sonra sol dal için de aynısını yaparız (sonuçta parabol simetriktir, yani dalları aynı görünür):
Harika, bu, tepe noktasından en yüksek katsayıya eşit olan herhangi bir parabol oluşturmaya yardımcı olacaktır. Örneğin, bir parabolün tepe noktasının bir noktada olduğunu öğrendik. Bu parabolü (kendi başınıza, kağıt üzerinde) oluşturun.
İnşa edilmiş?
Bunun gibi çıkmalı:
Şimdi elde edilen noktaları birleştiriyoruz:
Bu kadar.
Tamam, peki, şimdi sadece parabollerle mi inşa edelim?
Tabii ki değil. Şimdi, eğer onlarla ne yapacağımızı bulalım.
Bazı tipik durumları ele alalım.
Harika, parabol çizmeyi öğrendik, şimdi gerçek fonksiyonlar üzerinde çalışalım.
Öyleyse, bu tür fonksiyonların grafiklerini çizin:
Yanıtlar:
3. Üst: .
Kıdemli katsayı daha azsa ne yapacağınızı hatırlıyor musunuz?
Kesrin paydasına bakıyoruz: eşittir. Yani şu şekilde hareket edeceğiz:
- sağa - yukarı
- sağa - yukarı
- sağa - yukarı
ve ayrıca sola:
4. Üst: .
Ah, bununla ne yapmalı? Tepe noktası çizgiler arasında bir yerdeyse hücreler nasıl ölçülür?..
Ve hile yapıyoruz. Önce bir parabol çizelim ve ancak ondan sonra tepe noktasını bir noktaya taşıyalım. Hatta değil, daha da kurnazca yapalım: Bir parabol çizelim ve sonra eksenleri hareket ettirin:- Açık aşağı, bir - açık Sağ:
Bu teknik, herhangi bir parabol durumunda çok uygundur, bunu unutmayın.
Fonksiyonu şu şekilde temsil edebileceğimizi hatırlatmama izin verin:
Örneğin: .
Bu bize ne veriyor?
Gerçek şu ki, parantez () içindeki çıkarılan sayı, parabolün tepe noktasının apsisidir ve parantez () dışındaki terim, tepe noktasının ordinatıdır.
Bu, bir parabol oluşturduktan sonra, sadece yapmanız gerektiği anlamına gelir. ekseni sola ve ekseni aşağı hareket ettirin.
Örnek: bir fonksiyon grafiği çizelim.
Tam bir kare seçelim:
Kaç numara çıkarılmış parantez içinde? Bu (ve düşünmeden nasıl karar verebileceğiniz değil).
Yani, bir parabol oluşturuyoruz:
Şimdi ekseni aşağı, yani yukarı kaydırıyoruz:
Ve şimdi - sola, yani sağa:
Bu kadar. Bu, tepe noktasıyla birlikte bir parabolü orijinden bir noktaya taşımakla aynıdır, yalnızca düz ekseni hareket ettirmek, eğri bir parabolü hareket ettirmekten çok daha kolaydır.
Şimdi, her zamanki gibi, kendim:
Ve eski aksları bir silgiyle silmeyi unutmayın!
ben Yanıtlar doğrulama için size bu parabollerin köşelerinin koordinatlarını yazacağım:
Her şey uydu mu?
Cevabınız evet ise, o zaman harikasınız! Bir parabolün nasıl ele alınacağını bilmek çok önemli ve faydalıdır ve burada bunun hiç de zor olmadığını gördük.
KUADRATİK BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ. ANA KONU HAKKINDA KISACA
ikinci dereceden fonksiyon ve herhangi bir sayının (katsayı) olduğu formun bir fonksiyonudur, serbest bir üyedir.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür.
Parabolün tepesi:
, yani \displaystyle b ne kadar büyükse, parabolün üst kısmı o kadar sola hareket eder.
İşlevde değiştirin ve şunu elde edin:
, yani \displaystyle b modulo ne kadar büyükse, parabolün tepesi o kadar yüksek olur
Serbest terim, parabolün y ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatıdır.
neyse konu kapandı Bu satırları okuyorsanız, çok havalısınız demektir.
Çünkü insanların sadece %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, o zaman% 5'in içindesiniz!
Şimdi en önemli şey.
Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu ... bu sadece süper! Akranlarınızın büyük çoğunluğundan zaten daha iyisiniz.
Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...
Ne için?
İçin başarılı teslimat Birleşik Devlet Sınavı, bütçeyle enstitüye kabul için ve EN ÖNEMLİ Ömür boyu.
Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...
alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.
Ama asıl mesele bu değil.
Asıl mesele, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle araştırmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? bilmiyorum...
Ama kendin için düşün...
Sınavda diğerlerinden daha iyi olacağından ve nihayetinde ... daha mutlu olacağından emin olmak için ne gerekiyor?
ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONU İLE İLGİLİ SORUNLARI ÇÖZÜN.
Sınavda size teori sorulmayacaktır.
İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.
Ve onları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanında yapamayacaksınız.
Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.
İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun çözümlerle mutlaka detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!
Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değil) ve kesinlikle tavsiye ediyoruz.
Görevlerimizden yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.
Nasıl? İki seçenek vardır:
- Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
- Öğreticideki 99 makalenin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 ruble
Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere erişim ve bunlardaki tüm gizli metinler anında açılabilir.
Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm kullanım ömrü boyunca sağlanır.
Sonuç olarak...
Görevlerimizi beğenmediyseniz, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.
“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.
Sorunları bulun ve çözün!
İkinci dereceden bir işlev, formun bir işlevidir:
y=a*(x^2)+b*x+c,
a, bilinmeyen x'in en yüksek derecesindeki katsayıdır,
b - bilinmeyen x'teki katsayı,
ve c ücretsiz bir üyedir.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği, parabol adı verilen bir eğridir. Genel form parabol aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Şekil 1 Parabolün genel görünümü.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmenin birkaç farklı yolu vardır. Bunların ana ve en genelini ele alacağız.
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmek için algoritma y=a*(x^2)+b*x+c
1. Bir koordinat sistemi oluşturun, tek bir parçayı işaretleyin ve koordinat eksenlerini etiketleyin.
2. Parabolün dallarının yönünü belirleyin (yukarı veya aşağı).
Bunu yapmak için a katsayısının işaretine bakmanız gerekir. Artı - ise, dallar yukarı doğru, eksi ise - dallar aşağı doğru yönlendirilir.
3. Parabolün tepe noktasının x koordinatını belirleyin.
Bunu yapmak için Tops = -b / 2 * a formülünü kullanmanız gerekir.
4. Parabolün tepesindeki koordinatı belirleyin.
Bunu yapmak için, Top = a * (x ^ 2) + b * x + c denkleminde x yerine önceki adımda bulunan Top değerini değiştirin.
5. Ortaya çıkan noktayı grafiğe koyun ve içinden Oy koordinat eksenine paralel bir simetri ekseni çizin.
6. Grafiğin x ekseni ile kesişme noktalarını bulun.
Bu çözmeyi gerektirir ikinci dereceden denklem a*(x^2)+b*x+c = 0 bilinen yollardan biriyle. Denklemin gerçek kökleri yoksa, fonksiyonun grafiği x eksenini kesmez.
7. Oy ekseni ile grafiğin kesişme noktasının koordinatlarını bulun.
Bunu yapmak için x = 0 değerini denklemde yerine koyarız ve y'nin değerini hesaplarız. Bunu ve ona simetrik olan noktayı grafik üzerinde işaretliyoruz.
8. Rastgele bir A noktasının koordinatlarını bulun (x, y)
Bunu yapmak için, x koordinatından keyfi bir değer seçeriz ve onu denklemimizde yerine koyarız. Bu noktada y'nin değerini alıyoruz. Grafiğe bir nokta koyun. Ayrıca grafikte A (x, y) noktasına simetrik olan bir noktayı işaretleyin.
9. Tabloda elde edilen noktaları düzgün bir çizgi ile birleştirin ve tabloya 100 saniye devam edin. aşırı noktalar, koordinat ekseninin sonuna. Grafiği belirtme çizgisi üzerinde veya boşluk izin veriyorsa grafiğin kendisi boyunca imzalayın.
Grafik çizme örneği
Örnek olarak, y=x^2+4*x-1 denklemiyle verilen ikinci dereceden bir fonksiyonu çizelim.
1. Koordinat eksenlerini çizin, işaretleyin ve tek bir parçayı işaretleyin.
2. a=1, b=4, c= -1 katsayılarının değerleri. Sıfırdan büyük olan a \u003d 1 olduğundan, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir.
3. Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2 parabolünün tepe noktasının X koordinatını belirleyin.
4. Parabolün tepesindeki koordinatı belirleyin
Üstler = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Tepe noktasını işaretleyin ve bir simetri ekseni çizin.
6. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarını buluyoruz. x^2+4*x-1=0 ikinci dereceden denklemi çözüyoruz.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Elde edilen değerleri grafik üzerinde işaretliyoruz.
7. Oy ekseni ile grafiğin kesişme noktalarını bulun.
x=0; y=-1
8. Rasgele bir B noktası seçin. Koordinatı x=1 olsun.
O zaman y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Alınan noktaları birleştirip tabloyu imzalıyoruz.
Uygulamada görüldüğü gibi, ikinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafikleri üzerindeki görevler ciddi zorluklara neden olur. Bu oldukça garip çünkü ikinci dereceden fonksiyon 8. sınıfta geçiriliyor ve ardından 9. sınıfın ilk çeyreğinin tamamı parabolün özellikleri tarafından "eziyet ediliyor" ve çeşitli parametreler için grafikleri oluşturuluyor.
Bunun nedeni, öğrencileri parabol oluşturmaya zorlamaları, pratikte grafikleri "okumaya" zaman ayırmamaları, yani resimden alınan bilgileri anlama pratiği yapmamalarıdır. Görünüşe göre, iki düzine grafik oluşturduktan sonra, akıllı bir öğrencinin kendisinin formüldeki katsayılar arasındaki ilişkiyi keşfedeceği ve formüle edeceği varsayılmaktadır ve dış görünüş grafik Sanatları. Pratikte bu işe yaramaz. Böyle bir genelleme için, elbette çoğu dokuzuncu sınıf öğrencisinin sahip olmadığı matematiksel mini araştırma konusunda ciddi deneyim gereklidir. Bu arada, GIA'da katsayıların işaretlerini tam olarak programa göre belirlemeyi teklif ediyorlar.
Okul çocuklarından imkansızı talep etmeyeceğiz ve bu tür sorunları çözmek için algoritmalardan birini teklif etmeyeceğiz.
Yani, formun bir işlevi y=ax2+bx+c ikinci dereceden denir, grafiği bir paraboldür. Adından da anlaşılacağı gibi, ana bileşen balta 2. Yani A sıfıra eşit olmamalıdır, kalan katsayılar ( B Ve İle) sıfıra eşit olabilir.
Katsayılarının işaretlerinin parabolün görünümünü nasıl etkilediğini görelim.
Katsayı için en basit bağımlılık A. Çoğu okul çocuğu kendinden emin bir şekilde cevap verir: "eğer A> 0 ise, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve eğer A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x2 - 3x + 1
Bu durumda A = 0,5
Ve şimdi için A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
Bu durumda A = - 0,5
katsayısının etkisi İle takip etmesi de yeterince kolay. Bir noktada bir fonksiyonun değerini bulmak istediğimizi düşünün. X= 0. Formülde sıfırı yerine koyun:
y = A 0 2 + B 0 + C = C. Şekline dönüştü y = ç. Yani İle parabolün y ekseni ile kesiştiği noktanın ordinatıdır. Kural olarak, bu noktayı çizelgede bulmak kolaydır. Ve sıfırın üstünde mi yoksa altında mı olduğunu belirleyin. Yani İle> 0 veya İle < 0.
İle > 0:
y=x2+4x+3
İle < 0
y = x2 + 4x - 3
Buna göre, eğer İle= 0, o zaman parabol mutlaka orijinden geçecektir:
y=x2+4x
parametre ile daha zor B. Onu bulacağımız nokta sadece B ama aynı zamanda A. Bu parabolün tepesi. Apsisi (eksen koordinatı X) formülle bulunur x inç \u003d - b / (2a). Böylece, b = - 2ax girişi. Yani şu şekilde hareket ediyoruz: grafikte parabolün tepesini buluyoruz, apsisinin işaretini belirliyoruz, yani sıfırın sağına bakıyoruz ( x inç> 0) veya sola ( x inç < 0) она лежит.
Ancak, hepsi bu değil. Katsayının işaretine de dikkat etmeliyiz. A. Yani parabolün dallarının nereye yöneldiğini görmek için. Ve ancak bundan sonra, formüle göre b = - 2ax girişi işareti belirlemek B.
Bir örnek düşünün:
Yukarı bakan dallar A> 0, parabol ekseni kesiyor de sıfırın altında demek İle < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x inç> 0. Yani b = - 2ax girişi = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, İle < 0.
Okuldaki matematik derslerinde, bir fonksiyonun en basit özelliklerini ve grafiğini zaten öğrendiniz. y=x2. Bilgimizi genişletelim ikinci dereceden fonksiyon.
1. Egzersiz.
Bir fonksiyon çiz y=x2. Ölçek: 1 = 2 cm Oy ekseninde bir nokta işaretleyin F(0; 1/4). Bir pusula veya kağıt şeridi kullanarak noktadan mesafeyi ölçün F bir noktaya kadar M paraboller. Ardından şeridi M noktasına sabitleyin ve dikey hale gelmesi için bu nokta etrafında döndürün. Şeridin ucu, x ekseninin biraz altına düşecek (Şek. 1). X ekseninin ne kadar ötesine geçtiğini şerit üzerinde işaretleyin. Şimdi parabol üzerinde başka bir nokta alın ve ölçümü tekrarlayın. Şeridin kenarı şimdi x ekseninin ötesine ne kadar düştü?
Sonuç: y \u003d x 2 parabolünde hangi noktayı alırsanız alın, bu noktadan F noktasına olan mesafe (0; 1/4), aynı noktadan x eksenine olan mesafeden her zaman aynı oranda daha büyük olacaktır. sayı - 1/4 ile.
Farklı bir şekilde söylenebilir: parabolün herhangi bir noktasından (0; 1/4) noktasına olan mesafe, parabolün aynı noktasından y = -1/4 doğrusuna olan mesafeye eşittir. Bu harika noktaya F(0; 1/4) denir. odak paraboller y \u003d x 2 ve düz çizgi y \u003d -1/4 - müdire bu parabol Her parabolün bir doğrultmanı ve bir odağı vardır.
Bir parabolün ilginç özellikleri:
1. Parabolün herhangi bir noktası, parabolün odağı olarak adlandırılan bir noktadan ve onun doğrultmanı olarak adlandırılan bir çizgiden eşit uzaklıktadır.
2. Bir parabolü simetri ekseni etrafında döndürürseniz (örneğin, Oy ekseni etrafında bir parabol y \u003d x 2), dönme paraboloidi adı verilen çok ilginç bir yüzey elde edersiniz.
Dönen bir kaptaki bir sıvının yüzeyi, dönme paraboloidi şeklindedir. Bu yüzeyi, tamamlanmamış bir çay bardağında kaşıkla kuvvetlice karıştırdıktan sonra kaşığı çıkarırsanız görebilirsiniz.
3. Boşluğa ufka belirli bir açıyla bir taş atarsanız, o zaman bir parabol boyunca uçacaktır. (İncir. 2).
4. Koninin yüzeyini üreteçlerinden herhangi birine paralel bir düzlemle kesiştirirseniz, o zaman bölümde bir parabol elde edersiniz. (Şek. 3).
5. Eğlence parklarında bazen Paraboloid of Wonders adlı komik bir cazibe merkezi düzenlerler. Dönen paraboloidin içinde duranların her birine, o yerde duruyormuş gibi görünüyor ve insanların geri kalanı bir mucize eseri duvarlarda duruyor.
6. içinde aynalı teleskoplar parabolik aynalar da kullanılır: uzaktaki bir yıldızın paralel bir ışında hareket eden ve teleskop aynasına düşen ışığı odakta toplanır.
7. Spot ışıkları için ayna genellikle paraboloid şeklinde yapılır. Bir paraboloidin odağına bir ışık kaynağı yerleştirirseniz, parabolik aynadan yansıyan ışınlar paralel bir ışın oluşturur.
İkinci Dereceden Bir Fonksiyonu Çizmek
Matematik derslerinde, y \u003d x 2 fonksiyonunun grafiğinden formun fonksiyonlarının grafiklerini nasıl alacağınızı incelediniz:
1) y=ax2– |a|'da Oy ekseni boyunca y = x 2 grafiğinin açılımı kez ( |a| için< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, pirinç. 4).
2) y=x2+n– Oy ekseni boyunca n birim grafik kayması ve n > 0 ise, kaydırma yukarıdır ve n ise< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m)2– Öküz ekseni boyunca m birim grafik kayması: m ise< 0, то вправо, а если m >0, sonra sola, (Şek. 5).
4) y=-x2- y = x 2 grafiğinin Öküz ekseni etrafında simetrik gösterimi.
Bir fonksiyon grafiği çizme üzerinde daha ayrıntılı duralım. y = a(x - m) 2 + n.
y = ax 2 + bx + c formunun ikinci dereceden bir fonksiyonu her zaman forma indirgenebilir
y \u003d a (x - m) 2 + n, burada m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).
Hadi kanıtlayalım.
Gerçekten mi,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).
Yeni gösterimi tanıtalım.
İzin vermek m = -b/(2a), A n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),
o zaman y = a(x - m) 2 + n veya y - n = a(x - m) 2 elde ederiz.
Biraz daha ikame yapalım: y - n = Y, x - m = X (*) olsun.
Sonra grafiği bir parabol olan Y = aX 2 fonksiyonunu elde ederiz.
Parabolün tepe noktası orijindedir. x=0; Y = 0.
Tepe noktasının koordinatlarını (*) ile değiştirerek, y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n grafiğinin tepe noktasının koordinatlarını elde ederiz.
Böylece, şu şekilde temsil edilen ikinci dereceden bir işlevi çizmek için
y = a(x - m) 2 + n
dönüştürerek, aşağıdaki gibi ilerleyebilirsiniz:
A) y = x 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun;
B)Öküz ekseni boyunca m birim ve Oy ekseni boyunca n birim paralel öteleme ile - parabolün tepesini orijinden koordinatlarla (m; n) noktaya aktarın (Şek. 6).
Dönüşümleri yaz:
y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.
Örnek.
Dönüşümleri kullanarak Kartezyen koordinat sisteminde y = 2(x - 3) 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun – 2.
Çözüm.
Dönüşüm zinciri:
y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .
Grafiğin yapısı şu şekilde gösterilmiştir: pirinç. 7.
İkinci dereceden fonksiyon çizimini kendiniz uygulayabilirsiniz. Örneğin, dönüşümleri kullanarak tek bir koordinat sisteminde y = 2(x + 3) 2 + 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Herhangi bir sorunuz varsa veya bir öğretmenden tavsiye almak istiyorsanız, o zaman şu fırsatınız vardır: çevrimiçi bir öğretmenle 25 dakikalık ücretsiz ders kayıttan sonra. Öğretmenle daha fazla çalışmak için size uygun tarife planını seçebilirsiniz.
Sormak istediğiniz bir şey var mı? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.
İlk ders ücretsiz!
site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.