x=2 değişkeninin çeşitli rasyonel değerleri için ifadenin değerini bulun; 0; -3; -
Dikkat, x değişkeninin yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım, bu ifadenin değerini her zaman bulabilirsiniz. Bu nedenle, kümede tanımlanan üstel bir işlevi (y eşittir üç x kuvveti) düşünüyoruz. rasyonel sayılar: .
Değerlerinin bir tablosunu yaparak bu fonksiyonun grafiğini oluşturalım.
Bu noktalardan geçen düz bir çizgi çizelim (Şek. 1)
Bu fonksiyonun grafiğini kullanarak özelliklerini göz önünde bulundurun:
3. Tanım alanının tamamında artar.
- sıfırdan artı sonsuza kadar değişir.
8. Fonksiyon aşağı dışbükeydir.
Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için tek bir koordinat sisteminde ise; y=(y eşittir iki x kuvveti, y eşittir beş x kuvveti, y eşittir yedi x kuvveti), y=(y eşittir üç x kuvveti) ile aynı özelliklere sahip olduklarını görebilirsiniz ( Şekil .2), yani, y = (y eşittir a üzeri x'in kuvveti, birden büyüktür) formundaki tüm fonksiyonlar bu tür özelliklere sahip olacaktır.
Fonksiyonu çizelim:
1. Değerlerinin bir tablosunu derlemek.
Elde edilen noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz.
Bu noktalardan geçen düz bir çizgi çizelim (Şek. 3).
Bu fonksiyonun grafiğini kullanarak özelliklerini belirtiyoruz:
1. Tanım alanı, tüm gerçek sayıların kümesidir.
2. Ne çift ne de tek.
3. Tanım alanının tamamında azalır.
4. Ne en büyük ne de en küçük değerlere sahiptir.
5. Aşağıdan sınırlı, ancak yukarıdan sınırlı değil.
6. Tüm tanım alanı boyunca sürekli.
7. değer aralığı sıfırdan artı sonsuza kadar.
8. Fonksiyon aşağı dışbükeydir.
Benzer şekilde, fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için bir koordinat sisteminde ise; y=(y eşittir bir saniye x kuvvetinin, y eşittir beşte biri x kuvvetinin, y eşittir yedide biri x kuvvetinin), y=(y eşittir üçte biri x kuvvetinin) ile aynı özelliklere sahip olduklarını görebilirsiniz. x'in gücü) x) (Şekil 4), yani, y \u003d (y eşittir bir bölü a üzeri x, sıfırdan büyük ama birden küçük) biçimindeki tüm işlevler bu tür özelliklere sahip olmak
Bir koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım.
bu, y=y= fonksiyonlarının grafiklerinin de simetrik olacağı anlamına gelir (y, a'nın x'in kuvvetine eşittir ve y bire eşit a'nın aynı değeri için a üzeri x)'e bölünür.
Üstel bir fonksiyonun tanımını vererek ve ana özelliklerini belirterek söylenenleri özetliyoruz:
Tanım:(y, a'nın x'in gücüne eşittir, burada a pozitiftir ve birden farklıdır) y \u003d biçimindeki bir işleve üstel işlev denir.
Üstel fonksiyon y= ile kuvvet fonksiyonu y=, a=2,3,4,… arasındaki farkları hatırlamak gerekir. hem işitsel hem de görsel olarak. üstel fonksiyon X bir derecedir ve güç fonksiyonu X temelidir.
Örnek 1: Denklemi çözün (üç üzeri x eşittir dokuz)
(y eşittir üç üzeri x ve y eşittir dokuz) şek.7
Bir ortak noktalarına sahip olduklarına dikkat edin M (2; 9) (koordinatları iki; dokuz olan em), bu, noktanın apsisinin bu denklemin kökü olacağı anlamına gelir. Yani, denklemin tek kökü x = 2'dir.
Örnek 2: Denklemi çözün
Bir koordinat sisteminde, y \u003d fonksiyonunun iki grafiğini oluşturacağız (y, x'in gücüne beşe eşittir ve y, yirmi beşte bire eşittir) Şekil 8. Grafikler bir noktada kesişir T (-2; (koordinatlarla te eksi iki; bir yirmi beşinci). Bu nedenle, denklemin kökü x \u003d -2'dir (sayı eksi iki).
Örnek 3: Eşitsizliği çözün
Bir koordinat sisteminde, y \u003d fonksiyonunun iki grafiğini oluştururuz.
(y eşittir üç üzeri x ve y eşittir yirmi yedi).
Şekil 9 Fonksiyonun grafiği, y=ne zaman fonksiyonunun grafiğinin üzerinde bulunur
x Bu nedenle, eşitsizliğin çözümü aralıktır (eksi sonsuzdan üçe kadar)
Örnek 4: Eşitsizliği çözün
Bir koordinat sisteminde, y \u003d fonksiyonunun iki grafiğini oluşturacağız (y, x'in dörtte birine eşittir ve y, on altıya eşittir). (Şek. 10). Grafikler K (-2;16) noktasında kesişir. Bu, eşitsizliğin çözümünün (-2; (eksi ikiden artı sonsuza) aralığı olduğu anlamına gelir, çünkü y \u003d fonksiyonunun grafiği, x'teki fonksiyonun grafiğinin altında bulunur.
Akıl yürütmemiz, aşağıdaki teoremlerin geçerliliğini doğrulamamızı sağlar:
Terem 1: If, ancak ve ancak m=n ise doğrudur.
Teorem 2: Eğer doğruysa ancak ve ancak ise, o zaman eşitsizlik ancak ve ancak doğruysa doğrudur (Şekil *)
Teorem 4: If ancak ve ancak doğru ise (Şekil**), eşitsizlik ancak ve ancak doğru ise Teorem 3: If ancak ve ancak m=n ise doğrudur.
Örnek 5: y= fonksiyonunu çizin
Derece özelliğini y= uygulayarak işlevi değiştiririz.
Ek bir koordinat sistemi oluşturalım ve yeni koordinat sisteminde y = (y eşittir iki üzeri x) fonksiyonunu çizelim Şekil 11.
Örnek 6: Denklemi çözün
Bir koordinat sisteminde, y \u003d fonksiyonunun iki grafiğini oluştururuz.
(Y eşittir yedi üzeri x ve Y eşittir sekiz eksi x) Şekil 12.
Grafikler bir noktada kesişir E (1; (e koordinatları bir; yedi). Dolayısıyla, denklemin kökü x = 1'dir (x eşittir bir).
Örnek 7: Eşitsizliği çözün
Bir koordinat sisteminde, y \u003d fonksiyonunun iki grafiğini oluştururuz.
(Y eşittir x'in dörtte biri ve Y eşittir x artı beş). y= fonksiyonunun grafiği y=x+5 fonksiyonunun grafiğinin altında bulunur, eşitsizliğin çözümü x aralığıdır (eksi birden artı sonsuza kadar).
İlk önce üstel bir fonksiyonun tanımını veriyoruz.
üstel fonksiyon$f\left(x\right)=a^x$, burada $a >1$.
$a >1$ için üstel fonksiyonun özelliklerini tanıtalım.
\ \[kök yok\] \
Koordinat eksenleriyle kesişme. Fonksiyon $Ox$ eksenini kesmez, ancak $Oy$ eksenini $(0,1)$ noktasında keser.
$f""\left(x\sağ)=(\left(a^xlna\sağ))"=a^x(ln)^2a$
\ \[kök yok\] \
Grafik (Şek. 1).
Şekil 1. \ a >1$ için $f\left(x\right)=a^x,\ fonksiyonunun grafiği.
Üstel fonksiyon $f\left(x\right)=a^x$, burada $0
Üstel fonksiyonun özelliklerini tanıtalım, $0 için
Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- işlev ne çift ne de tektir.
$f(x)$, tanım alanının tamamında süreklidir.
Değer aralığı $(0,+\infty)$ aralığıdır.
$f"(x)=\left(a^x\sağ)"=a^xlna$
\ \[kök yok\] \ \[kök yok\] \
İşlev, tanım alanının tamamında dışbükeydir.
Kapsamın sonundaki davranış:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Grafik (Şek. 2).
Üstel bir fonksiyon oluşturmak için bir görev örneği
$y=2^x+3$ fonksiyonunu keşfedin ve çizin.
Çözüm.
Yukarıdaki şema örneği üzerinde bir çalışma yapalım:
Tanım alanı tüm gerçek sayılardır.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- işlev ne çift ne de tektir.
$f(x)$, tanım alanının tamamında süreklidir.
Değer aralığı $(3,+\infty)$ aralığıdır.
$f"\left(x\sağ)=(\left(2^x+3\sağ))"=2^xln2>0$
İşlev, tanım alanının tamamında artar.
$f(x)\ge 0$ tanım alanının tamamında.
Koordinat eksenleriyle kesişme. Fonksiyon $Ox$ eksenini kesmez, ancak $Oy$ eksenini ($0,4)$ noktasında keser
$f""\left(x\sağ)=(\left(2^xln2\sağ))"=2^x(ln)^22>0$
İşlev, tanım alanının tamamında dışbükeydir.
Kapsamın sonundaki davranış:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Grafik (Şek. 3).
Şekil 3. $f\left(x\right)=2^x+3$ fonksiyonunun grafiği
1. Üstel bir işlev, x üssüne bağlı olarak y(x) \u003d a x formunun, a derecesinin tabanının sabit bir değerine sahip bir işlevidir, burada a > 0, a ≠ 0, xϵR (R, gerçek sayılar kümesi).
Dikkate almak taban şu koşulu karşılamıyorsa fonksiyonun grafiği: a>0
bir) bir< 0
Eğer bir< 0 – возможно возведение в целую степень или в rasyonel derece garip bir skorla.
bir = -2
a = 0 ise - y = işlevi tanımlanır ve sabit bir 0 değerine sahiptir
c) bir \u003d 1
a = 1 ise - y = işlevi tanımlanır ve sabit bir 1 değerine sahiptir
İşlev alanı (OOF) İzin verilen fonksiyon değerleri alanı (ODZ) 3. Fonksiyonun sıfırları (y = 0) 4. Y ekseni ile kesişme noktaları (x = 0) 5. Artan, azalan fonksiyon Eğer , o zaman f(x) fonksiyonu artar 6. Çift, tek fonksiyonlar y = fonksiyonu 0y ekseni ve orijine göre simetrik değildir, dolayısıyla ne çift ne de tektir. (genel işlev) 7. y \u003d işlevinde uç nokta yoktur 8. Gerçek üslü bir derecenin özellikleri: a > 0 olsun; a≠1 O zaman xϵR için; yϵR: Derece monotonluk özellikleri: eğer , o zaman a> 0 ise, o zaman . 9. İşlevin göreli konumu a tabanı ne kadar büyükse, x ve y eksenlerine o kadar yakındır bir > 1, bir = 20 örnek 1
Ders #2
Konu: Üstel bir fonksiyon, özellikleri ve grafiği. Hedef:"Üstel fonksiyon" kavramının asimilasyon kalitesini kontrol edin; üstel bir fonksiyonu tanıma, özelliklerini ve grafiklerini kullanma becerilerini oluşturmak, öğrencilere bir üstel fonksiyonu kaydetmenin analitik ve grafik biçimlerini kullanmayı öğretmek; sınıfta çalışma ortamı sağlar. Teçhizat: pano, posterler Ders Formu: sınıf ders türü: pratik ders ders türü: beceri eğitimi dersi Ders planı 1. Organizasyon anı 2. Bağımsız çalışma ve doğrulama Ev ödevi 3. Problem çözme 4. Özetlemek 5. Ödev dersler sırasında. 1. Organizasyon anı
: Merhaba. Defterleri açın, bugünün tarihini ve "Üstel fonksiyon" dersinin konusunu yazın. Bugün üstel fonksiyonu, özelliklerini ve grafiğini incelemeye devam edeceğiz. 2. Bağımsız çalışma ve ödev kontrolü
.
Hedef:"üstel fonksiyon" kavramının asimilasyon kalitesini kontrol edin ve ödevin teorik kısmının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edin Yöntem: test görevi, ön anket Ödev olarak size problem kitabından sayılar ve ders kitabından bir paragraf verildi. Şimdi ders kitabından sayıların uygulanmasını kontrol etmeyeceğiz, ancak dersin sonunda defterlerinizi teslim edeceksiniz. Şimdi teori küçük bir test şeklinde test edilecek. Görev herkes için aynıdır: size bir işlevler listesi verilir, bunlardan hangilerinin belirleyici olduğunu bulmanız gerekir (altını çizin). Ve üstel fonksiyonun yanına artan mı yoksa azalan mı olduğunu yazmanız gerekiyor.
2. Üstel işlevi daha ayrıntılı olarak ele alın:
0
Eğer , o zaman f(x) fonksiyonu azalır
y= işlevi , 0'da
Bu, gerçek bir üste sahip bir derecenin monotonluk özelliklerinden kaynaklanmaktadır.
b > 0; b≠1
Örneğin:
Üstel fonksiyon herhangi bir ϵ R noktasında süreklidir.
a0 ise, üstel fonksiyon y = 0'a yakın bir form alır.
a1 ise, o zaman x ve y eksenlerinden uzakta ve grafik, y \u003d 1 işlevine yakın bir form alır.
y grafiği=
seçenek 1 Cevap B) D) - üstel, azalan | seçenek 2 Cevap D) - üstel, azalan D) - gösterge niteliğinde, artan |
Seçenek 3 Cevap A) - gösterge niteliğinde, artan B) - üstel, azalan | Seçenek 4 Cevap A) - üstel, azalan İÇİNDE) - gösterge niteliğinde, artan |
Şimdi hangi fonksiyona üstel denildiğini birlikte hatırlayalım?
ve şeklindeki bir fonksiyona üstel fonksiyon denir.
Bu işlevin kapsamı nedir?
Tüm gerçek sayılar.
Üstel fonksiyonun aralığı nedir?
Tüm pozitif gerçek sayılar.
Taban sıfırdan büyük ancak birden küçükse azalır.
Bir üstel fonksiyon, etki alanında ne zaman azalır?
Taban birden büyükse artar.
3. Problem çözme
Hedef: üstel bir fonksiyonu tanıma, özelliklerini ve grafiklerini kullanma becerilerini oluşturmak, öğrencilere bir üstel fonksiyonu kaydetmenin analitik ve grafik biçimlerini kullanmayı öğretmek
Yöntem: öğretmen tarafından tipik problemleri çözme gösterisi, sözlü çalışma, tahtada çalışma, defterde çalışma, öğretmenin öğrencilerle konuşması.
Üstel fonksiyonun özellikleri, 2 veya daha fazla sayıyı karşılaştırırken kullanılabilir. Örneğin: No. 000. Değerleri karşılaştırın ve eğer a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, o zaman bu oldukça zor bir iş: 3 ve 9'un küp kökünü alıp karşılaştırmamız gerekir. Ama bunun arttığını biliyoruz, bu kendi kuyruğunda olması demek argüman arttığında fonksiyonun değerinin artması yani argümanın değerlerini birbiri ile karşılaştırmamız yeterli oluyor ve açıkçası 
(artan üstel fonksiyona sahip bir posterde gösterilebilir). Ve her zaman bu tür örnekleri çözerken, önce üstel fonksiyonun tabanını belirleyin, 1 ile karşılaştırın, monotonluğu belirleyin ve argümanları karşılaştırmaya devam edin. Azalan bir fonksiyon durumunda: argüman arttıkça fonksiyonun değeri azalır, bu nedenle argümanların eşitsizliğinden fonksiyonların eşitsizliğine geçerken eşitsizlik işareti değişir. Sonra sözlü olarak çözeriz: b) 
- 
İÇİNDE) 
- 
G) 
- 
- Hayır. 000. Numaraları karşılaştırın: a) ve
Bu nedenle, fonksiyon artıyor, o zaman
Neden ?
Artan fonksiyon ve 
Bu nedenle, fonksiyon azalıyor, o zaman 
Birden büyük bir tabanla üstel olduklarından, her iki işlev de tanım alanlarının tamamında artar.
Bunun anlamı nedir?
Grafikler oluşturuyoruz:
Çalışırken hangi işlev daha hızlı büyür https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Çalışırken hangi işlev daha hızlı azalır https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Aralıkta, hangi fonksiyon belirli bir noktada en büyük değere sahiptir?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Öncelikle bu fonksiyonların kapsamını öğrenelim. çakışıyor mu?
Evet, bu fonksiyonların tanım kümesi gerçek sayılardır.
Bu işlevlerin her birinin kapsamını adlandırın.
Bu fonksiyonların aralıkları çakışıyor: tüm pozitif gerçek sayılar.
Her bir fonksiyonun monotonluk tipini belirleyin.
Üç işlevin tümü, birden küçük ve sıfırdan büyük bir tabanla üstel olduklarından, tüm tanım alanlarında azalırlar.
Üstel bir fonksiyonun grafiğinin tekil noktası nedir?
Bunun anlamı nedir?
Bir üstel fonksiyonun derecesinin tabanı ne olursa olsun, eğer üs 0 ise bu fonksiyonun değeri 1'dir.
Grafikler oluşturuyoruz:
Grafikleri analiz edelim. Fonksiyon grafiklerinin kaç tane kesişme noktası vardır?
Çabalarken hangi işlev daha hızlı azalır? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Çabalarken hangi işlev daha hızlı büyür? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Aralıkta, hangi fonksiyon belirli bir noktada en büyük değere sahiptir?
Aralıkta, hangi fonksiyon belirli bir noktada en büyük değere sahiptir?
Neden farklı tabanlara sahip üstel fonksiyonların sadece bir kesişme noktası var?
Üstel fonksiyonlar, tüm tanım alanlarında kesinlikle tekdüzedir, bu nedenle yalnızca bir noktada kesişebilirler.
Bir sonraki görev, bu özelliğin kullanımına odaklanacaktır. № 000. Belirli bir a) aralığında belirli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun. Kesin olarak monoton bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini belirli bir aralığın sonunda aldığını hatırlayın. Ve eğer fonksiyon artıyorsa, o zaman en yüksek değer segmentin sağ ucunda ve en küçüğü segmentin sol ucunda olacaktır (örnek olarak üstel fonksiyonun kullanıldığı posterdeki gösterim). Fonksiyon azalıyorsa, en büyük değeri segmentin sol ucunda ve en küçüğü segmentin sağ ucunda olacaktır (örnek olarak üstel fonksiyonu kullanarak posterdeki gösterim). İşlev artıyor, çünkü bu nedenle işlevin en küçük değeri https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" noktasında olacaktır. >.Puanlar b ) 
, V) 
d) defterleri kendiniz çözün, sözlü olarak kontrol edeceğiz.
Öğrenciler problemi defterlerinde çözerler.
|
azalan fonksiyon
|
azalan fonksiyon
|
Artan işlev
|
segmentteki fonksiyonun en büyük değeri
segmentteki fonksiyonun en küçük değeri
segmentteki fonksiyonun en küçük değeri
segmentteki fonksiyonun en büyük değeri- № 000. Belirli bir aralıktaki belirli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun a) 
. Bu görev neredeyse bir öncekiyle aynı. Ancak burada bir segment değil, bir ışın verilmiştir. Fonksiyonun artan olduğunu biliyoruz ve tüm sayı satırında ne en büyük ne de en küçük değere sahip değil https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> ve olma eğilimindedir, yani ışın üzerinde, at işlevi 0'a eğilim gösterir, ancak kendi fonksiyonuna sahip değildir. en küçük değer, ancak noktada en büyük değere sahiptir 
. Puan b) 
, V) 
, G) 
Defterlerinizi kendiniz çözün, sözlü olarak kontrol edelim.
Dikkat konsantrasyonu:
Tanım. İşlev tür denir üstel fonksiyon .
Yorum. Temel hariç tutma A sayılar 0; 1 ve negatif değerler A aşağıdaki koşullarla açıklanır:
Analitik ifadenin kendisi bir x bu durumlarda anlamını korur ve sorunların çözümünde karşılaşılabilir. Örneğin, ifade için x y nokta x = 1; y = 1 kabul edilebilir değerler aralığına girer.
Fonksiyonların grafiklerini oluşturun: ve .
 |
 |
| Üstel bir fonksiyonun grafiği | |
| y= A X, bir > 1 | y= A X , 0< a < 1 |
 |
 |
üstel fonksiyonun özellikleri
| üstel fonksiyonun özellikleri | y= A X, bir > 1 | y= A X , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Fonksiyon değerleri aralığı | ||
| 3. Birimle karşılaştırma aralıkları | de X> 0, bir X > 1 | de X > 0, 0< a X < 1 |
| de X < 0, 0< a X < 1 | de X < 0, a X > 1 | |
| 4. Çift, tek. | İşlev ne çift ne de tektir (genel işlev). | |
| 5. Monotonluk. | tarafından monoton olarak artar R | tarafından monoton olarak azalır R |
| 6. Aşırılıklar. | Üstel fonksiyonun uç noktası yoktur. | |
| 7.Asimptot | Eksen O X yatay bir asimptottur. | |
| 8. Herhangi bir gerçek değer için X Ve y; |  |
|
Masa dolduğunda, görevler doldurmaya paralel olarak çözülür.
Görev numarası 1. (İşlevin etki alanını bulmak için).
İşlevler için hangi argüman değerleri geçerlidir:
Görev numarası 2. (İşlevin aralığını bulmak için).
Şekilde bir fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. İşlevin kapsamını ve kapsamını belirtin:
 |
 |
 |
 |
Görev numarası 3. (Birim ile karşılaştırma aralıklarını belirtmek için).
Aşağıdaki güçlerin her birini bir tane ile karşılaştırın:
Görev numarası 4. (Tekdüzelik işlevini incelemek için).
Gerçek sayıları büyüklüğe göre karşılaştırın M Ve N Eğer:
Görev numarası 5. (Tekdüzelik işlevini incelemek için).
Temel hakkında bir sonuca varın A, Eğer:
y(x) = 10x; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x
x > 0, x = 0, x için üstel fonksiyonların grafikleri birbirine göre nasıldır?< 0?
Bir koordinat düzleminde, fonksiyonların grafikleri çizilir:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x .
x > 0, x = 0, x için üstel fonksiyonların grafikleri birbirine göre nasıldır?< 0?
| Sayı
matematiğin en önemli sabitlerinden biridir. Tanım gereği, dizinin limitine eşit
ile sınırsız
artan n
. atama e tanıtıldı leonard euler
Bu sayının ilk 23 hanesini ondalık gösterimde hesapladı ve sayının kendisine Napier'den sonra "eş olmayan sayı" adı verildi.
Sayı e matematiksel analizde özel bir rol oynar. üstel fonksiyon taban ile e, üs denir ve belirtilen y = e x. İlk işaretler sayılar e hatırlaması kolay: iki, bir virgül, yedi, Leo Tolstoy'un doğum yılı - iki kez, kırk beş, doksan, kırk beş. |
 |
Ev ödevi:
Kolmogorov s.35; 445-447; 451; 453.
Modül işareti altında bir değişken içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı tekrarlayın.