☰

Rasyonel göstergeli A1 derecesi. Sayı derecesi: tanımlar, atama, örnekler

Video dersi "Derece ile rasyonel gösterge» görsel içerir Eğitim materyali Bu konuyu öğretmek için. Eğitim videosu, rasyonel üslü bir derece kavramı, bu tür derecelerin özellikleri ve pratik sorunları çözmek için eğitim materyalinin kullanımını açıklayan örnekler hakkında bilgiler içerir. Bu video dersinin görevi, eğitim materyalini görsel ve net bir şekilde sunmak, öğrenciler tarafından gelişimini ve ezberlenmesini kolaylaştırmak, öğrenilen kavramları kullanarak problem çözme yeteneğini oluşturmaktır.

Video dersinin başlıca avantajları, görsel dönüşümler ve hesaplamalar yapabilme, öğrenme verimliliğini artırmak için animasyon efektleri kullanabilme becerisidir. Ses eşliği, doğru matematiksel konuşmayı geliştirmeye yardımcı olur ve ayrıca öğretmenin açıklamasını değiştirerek onu bireysel çalışma için serbest bırakır.

Video eğitimi konuyu tanıtarak başlar. Yeni bir konunun çalışmasını daha önce çalışılan materyalle ilişkilendirerek, n ​​√a'nın doğal n ve pozitif a için 1/n ile gösterildiğini hatırlamanız önerilir. n-kökünün bu temsili ekranda görüntülenir. Ayrıca, a'nın pozitif bir sayı olduğu ve m / n'nin bir kesir olduğu a m / n ifadesinin ne anlama geldiğini düşünmeniz önerilir. Kutuda vurgulanan derecenin tanımı, rasyonel bir üs ile m/n = n √ a m olarak verilmiştir. n'nin bir doğal sayı olabileceği ve m'nin bir tam sayı olabileceği belirtilmektedir.

Dereceyi rasyonel bir üs ile belirledikten sonra anlamı örneklerle ortaya çıkar: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Bir ondalık sayı ile temsil edilen bir kuvvetin kök olarak temsil edilmek üzere ortak bir kesre dönüştürüldüğü bir örnek de gösterilmiştir: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ve örnek c olumsuz değer derece: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Ayrı olarak, belirli bir durumun özelliği, derecenin tabanı sıfır olduğunda belirtilir. Bu derecenin yalnızca pozitif bir kesirli üs ile anlamlı olduğu belirtilmektedir. Bu durumda değeri sıfıra eşittir: 0 m/n =0.

Rasyonel üslü derecenin bir başka özelliği de not edilir - kesirli üslü derecenin kesirli üs ile kabul edilemeyeceği. Derecenin yanlış notasyonuna örnekler verilmiştir: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Video dersinde ayrıca, rasyonel üslü bir derecenin özellikleri dikkate alınır. Üssü tamsayı olan bir derecenin özelliklerinin rasyonel üslü bir derece için de geçerli olacağına dikkat edilmelidir. Bu durumda da geçerli olan özelliklerin listesini hatırlamanız önerilir:

  1. Güçleri aynı tabanlarla çarparken, göstergeleri toplanır: a p a q \u003d a p + q.
  2. Aynı tabanlara sahip derecelerin bölünmesi, belirli bir tabana ve üslerdeki farka indirgenir: a p:a q =a p-q .
  3. Gücü belirli bir güce yükseltirsek, sonuç olarak verilen taban ve üslerin çarpımı ile gücü elde ederiz: (a p) q =a pq .

Tüm bu özellikler, rasyonel üsleri p, q ve pozitif tabanı a>0 olan kuvvetler için geçerlidir. Ayrıca, parantez açılırken derece dönüşümleri doğru kalır:

  1. (ab) p =a p b p - iki sayının çarpımını rasyonel bir üs ile belirli bir güce yükseltmek, her biri belirli bir güce yükseltilmiş sayıların çarpımına indirgenir.
  2. (a/b) p =a p /b p - bir kesrin rasyonel üssü ile üs alma, payı ve paydası verilen güce yükseltilmiş bir kesre indirgenir.

Video öğretici, rasyonel bir üs ile derecelerin dikkate alınan özelliklerini kullanan örneklerin çözümünü tartışır. İlk örnekte, x üzeri değişkenleri içeren bir ifadenin değerinin bulunması önerilmiştir: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). İfadenin karmaşıklığına rağmen, derecelerin özelliklerini kullanarak oldukça basit bir şekilde çözülür. Görevin çözümü, rasyonel bir üs ile bir dereceyi bir kuvvete yükseltme kuralını kullanan ve aynı tabana sahip üsleri çarpma kuralını kullanan ifadenin basitleştirilmesiyle başlar. Verilen x=8 değerini basitleştirilmiş x 1/3 +48 ifadesinde değiştirdikten sonra, - 50 değerini elde etmek kolaydır.

İkinci örnekte, payı ve paydası rasyonel üslü kuvvetler içeren bir kesri azaltmak istenmektedir. Derecenin özelliklerini kullanarak, farktan x 1/3 faktörünü seçeriz, bu daha sonra pay ve paydada azalır ve kareler farkı formülünü kullanarak pay, pay ve paydadaki aynı faktörlerin daha fazla azalmasını sağlayan faktörlere ayrıştırılır. Bu tür dönüşümlerin sonucu kısa bir kesir x 1/4 +3'tür.

Öğretmenin dersin yeni konusunu açıklaması yerine "Rasyonel göstergeli derece" video dersi kullanılabilir. Ayrıca, bu kılavuz aşağıdakiler için yeterli bilgi içerir: bireysel çalışmaöğrenci. Materyal uzaktan eğitimde faydalı olabilir.

a sayısının tamsayı üslerinden, rasyonel bir üsse geçiş kendini gösterir. Aşağıda rasyonel üslü bir derece tanımlıyoruz ve bunu tamsayı üslü bir derecenin tüm özellikleri korunacak şekilde yapacağız. Bu gereklidir, çünkü tamsayılar rasyonel sayılar.

Rasyonel sayılar kümesinin tam sayılardan ve kesirli sayılardan oluştuğu ve her kesirli sayının pozitif veya negatif olarak gösterilebildiği bilinmektedir. ortak kesir. Dereceyi bir önceki paragrafta tamsayı üslü olarak tanımlamıştık, bu nedenle rasyonel üslü derece tanımını tamamlamak için sayının derecesine bir anlam vermemiz gerekir. A bir kesir ile m/n, Nerede M bir tamsayıdır ve N- doğal. Hadi yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir derece düşünün. Bir derecedeki derece özelliğinin geçerli olabilmesi için eşitliğin geçerli olması gerekir. . Ortaya çıkan eşitliği ve n'inci derecenin kökünü nasıl belirlediğimizi hesaba katarsak, verilerle olması koşuluyla kabul etmek mantıklıdır. M, N Ve A ifade mantıklı.

Tam sayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin as için geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin özellikleri bölümünde yapılır).

Yukarıdaki akıl yürütme, aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: verilirse M, N Ve A ifade mantıklıysa sayının kuvveti A bir kesir ile m/n kök denir N inci derece Aölçüde M.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Sadece neyin altında olduğunu açıklamak için kalır. M, N Ve A ifade mantıklı. Konulan kısıtlamalara bağlı olarak M, N Ve A iki temel yaklaşım vardır.

1. En kolay yol, kısıtlama getirmektir. A, kabul etmek a≥0 pozitif için M Ve bir>0 negatif için M(çünkü m≤0 derece 0 m belirlenmedi). Ardından, kesirli bir üs ile derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

pozitif bir sayının derecesi A bir kesir ile m/n , Nerede M bir bütündür ve N kök denilen bir doğal sayıdır N- inci arasından Aölçüde M, yani, .



Kesirli sıfır derecesi ayrıca, üssün pozitif olması gerektiğine dair tek uyarı ile tanımlanır.

Tanım.

Kesirli pozitif üs ile sıfırın gücü m/n , Nerede M pozitif bir tam sayıdır ve N olarak tanımlanan bir doğal sayıdır. .
Derece tanımlanmadığında, yani kesirli negatif üslü sıfır sayısının derecesi bir anlam ifade etmez.

Kesirli bir üs ile derecenin böyle bir tanımıyla, bir nüans olduğu belirtilmelidir: bazı negatifler için A ve bazı M Ve N ifade anlamlıdır ve koşulu getirerek bu vakaları bir kenara bıraktık a≥0. Örneğin, yazmak mantıklı veya , ve yukarıdaki tanım bizi derecelerin formun kesirli üssü olduğunu söylemeye zorlar. tabanı negatif olmadığı için anlamsızdır.

2. Kesirli bir üs ile dereceyi belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım m/n kökün çift ve tek üslerinin ayrı ayrı ele alınmasından oluşur. Bu yaklaşım gerektirir ek koşul: derecesi A göstergesi indirgenmiş sıradan bir kesir olan , bir sayının gücü olarak kabul edilir A, göstergesi karşılık gelen indirgenemez kesirdir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). yani, eğer m/n indirgenemez bir kesirdir, o zaman herhangi bir doğal sayı için k derece ön olarak ile değiştirilir.

Hatta için N ve pozitif M ifade, negatif olmayan herhangi bir şey için anlamlıdır A(hatta kökü negatif sayı mantıklı değil), olumsuz M sayı A yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde sıfıra bölme olacaktır). Ve garip için N ve pozitif M sayı A herhangi bir şey olabilir (tek derecenin kökü herhangi bir gerçek sayı için tanımlanır) ve negatif için M sayı A sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölme olmaz).

Yukarıdaki akıl yürütme, bizi kesirli bir üs ile derecenin böyle bir tanımına götürür.

Tanım.

İzin vermek m/n- indirgenemez kesir M bir bütündür ve N- doğal sayı. Herhangi bir indirgenebilir adi kesir için derece, ile değiştirilir. Derecesi A indirgenemez kesirli üs ile m/n- için

herhangi bir gerçek sayı A, bir tamsayı pozitif M ve garip doğal N, Örneğin, ;

o sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayı A, bir tamsayı negatif M ve garip N, Örneğin, ;

o negatif olmayan herhangi bir sayı A, bir tamsayı pozitif M ve hatta N, Örneğin, ;

herhangi bir pozitif A, bir tamsayı negatif M ve hatta N, Örneğin, ;

o diğer durumlarda, kesirli üslü derece tanımlanmamıştır, örneğin dereceler tanımlanmamıştır .a girişlerine herhangi bir anlam eklemiyoruz, pozitif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlıyoruz m/n Nasıl , negatif kesirli üsler için sıfır sayısının derecesi tanımlanmamıştır.

Bu bölümün sonunda kesirli üs şeklinde yazılabileceğine dikkat edelim. ondalık kesir veya karışık numara, Örneğin, . Bu tür ifadelerin değerlerini hesaplamak için, üssü sıradan bir kesir olarak yazmanız ve ardından kesirli bir üs ile derece tanımını kullanmanız gerekir. Bu örnekler için elimizde Ve

Rasyonel üslü derece

Hasyanova TG,

Matematik öğretmeni

Sunulan materyal, "Rasyonel göstergeli derece" konusunu incelerken matematik öğretmenleri için faydalı olacaktır.

Sunulan materyalin amacı: "Rasyonel göstergeli derece" konulu bir ders yürütme deneyimimin açıklanması çalışma programı disiplin "Matematik".

Dersin metodolojisi, türüne karşılık gelir - çalışmadaki bir ders ve yeni bilginin birincil pekiştirilmesi. Temel bilgi ve beceriler, daha önce kazanılan deneyim temelinde güncellendi; yeni bilgilerin birincil ezberlenmesi, pekiştirilmesi ve uygulanması. Yeni malzemenin birleştirilmesi ve uygulanması, test ettiğim çeşitli karmaşıklıktaki problemlerin çözülmesi şeklinde gerçekleşti. olumlu sonuç konuya hakim olmak.

Dersin başında öğrenciler için şu hedefleri belirlerim: eğitici, geliştirici, eğitici. Derste çeşitli aktivite yöntemleri kullandım: önden, bireysel, buhar odası, bağımsız, test. Görevler farklılaştırıldı ve dersin her aşamasında bilginin özümsenme derecesini belirlemeyi mümkün kıldı. Görevlerin hacmi ve karmaşıklığı şuna karşılık gelir: yaş özellikleriöğrenciler. Deneyimlerime göre - Ev ödevi, sınıfta çözülen görevlere benzer şekilde, edinilen bilgi ve becerileri güvenli bir şekilde pekiştirmenizi sağlar. Dersin sonunda yansıtma gerçekleştirildi ve bireysel öğrencilerin çalışmaları değerlendirildi.

Hedeflere ulaşıldı. Öğrenciler rasyonel bir üs ile derece kavramını ve özelliklerini incelediler, bu özellikleri pratik problemlerin çözümünde nasıl kullanacaklarını öğrendiler. Bağımsız çalışma notları bir sonraki derste açıklanır.

Matematik derslerini yürütmek için kullandığım metodolojinin matematik öğretmenleri tarafından uygulanabileceğine inanıyorum.

Ders konusu: Rasyonel göstergeli derece

Dersin amacı:

Öğrenciler tarafından bir bilgi ve beceri kompleksinde ustalaşma düzeyinin belirlenmesi ve buna dayanarak, eğitim sürecini iyileştirmek için belirli çözümlerin uygulanması.

Dersin Hedefleri:

Öğreticiler: rasyonel bir gösterge ile dereceyi belirlemek için temel kavramlar, kurallar, yasalar, standart koşullarda, değişen ve standart olmayan koşullarda bilgiyi bağımsız olarak uygulama becerisi öğrencileri arasında yeni bilgiler oluşturmak;

gelişmekte olan: mantıklı düşünün ve yaratıcı yeteneklerin farkına varın;

eğitimciler: matematiğe ilgi oluşturmak, kelime dağarcığını yeni terimlerle doldurmak, Ek Bilgiler etrafındaki dünya hakkında. Sabır, azim, zorlukların üstesinden gelme yeteneği geliştirin.

    Organizasyon zamanı

    Temel bilgilerin güncellenmesi

    Aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken, üsler toplanır ve taban aynı kalır:

Örneğin,

2. Tabanları aynı olan kuvvetleri bölerken üsler çıkarılır ve taban aynı kalır:


Örneğin,

3. Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken, üsler çarpılır ve taban aynı kalır:


Örneğin,

4. Çarpımın derecesi, faktörlerin kuvvetlerinin çarpımına eşittir:

Örneğin,

5. Bölümün derecesi, bölenin ve bölenin kuvvetlerinin bölümüne eşittir:


Örneğin,

Çözüm Alıştırmaları

Bir ifadenin değerini bulun:

Çözüm:

Bu durumda, açık bir biçimde, c derecesinin özelliklerinden hiçbiri doğal gösterge uygulanamaz, çünkü tüm derecelerin farklı temelleri vardır. Bazı dereceleri farklı bir biçimde yazalım:

(çarpımın derecesi, faktörlerin derecelerinin ürününe eşittir);


(aynı tabana sahip kuvvetler çarpılırken üsler toplanır ve taban aynı kalır; bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır ancak taban aynı kalır).

Sonra şunu elde ederiz:

Bu örnekte, doğal üslü derecenin ilk dört özelliği kullanılmıştır.

aritmetik karekök
karesi olan negatif olmayan bir sayıdırA,
. -de
- ifade
tanımlanmamış, çünkü karesi negatif bir sayıya eşit olan hiçbir gerçek sayı yokturA.

matematiksel dikte(8-10 dk.)

    Seçenek

II. Seçenek

1. İfadenin değerini bulun

A)

B)

1. İfadenin değerini bulun

A)

B)

2. Hesapla

A)

B)

İÇİNDE)

2. Hesapla

A)

B)

v)

Kendi kendini test(yaka panosunda):

Tepki Matrisi:

№ seçenek/görev

Görev 1

Görev 2

seçenek 1

bir) 2

b) 2

bir) 0.5

B)

v)

seçenek 2

bir) 1.5

B)

A)

B)

4'te

II.Yeni bilginin oluşumu

İfadenin anlamını düşünün, nerede - pozitif sayı– kesirli sayı ve m-tamsayı, n-doğal (n>1)

Tanım: Rasyonel üslü a›0 sayısının derecesiR = , M-tüm, N- doğal ( N›1) bir numara aranır.

Bu yüzden:

Örneğin:

notlar:

1. Herhangi bir pozitif a ve herhangi bir rasyonel r için, sayı olumlu.

2. Ne zaman
bir sayının rasyonel gücüAtanımlanmamış.

gibi ifadeler
mantıklı değil

3.eğer kesirli pozitif sayı
.

Eğer kesirli negatif sayı, o zaman -mantıklı değil

Örneğin: - mantıklı değil.

Rasyonel bir üste sahip bir derecenin özelliklerini düşünün.

a>0, â>0 olsun; r, s - herhangi bir rasyonel sayı. O halde, herhangi bir rasyonel üssü olan bir derece aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1.
2.
3.
4.
5.

III. konsolidasyon Yeni beceri ve yeteneklerin oluşumu.

Görev kartları küçük gruplar halinde test şeklinde çalışır.


Bu yazıda neyin ne olduğunu anlayacağız. derecesi. Burada, doğal bir üs ile başlayıp irrasyonel bir üs ile biten, derecenin tüm olası üslerini ayrıntılı olarak ele alırken, bir sayının derecesinin tanımlarını vereceğiz. Malzemede, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfa gezintisi.

Doğal üslü derece, bir sayının karesi, bir sayının küpü

İle başlayalım . İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan a'nın derecesinin tanımının a için verildiğini varsayalım. derece tabanı, ve n arayacağız üs. Ayrıca, doğal göstergeli derecenin ürün aracılığıyla belirlendiğini unutmayın, bu nedenle aşağıdaki materyali anlamak için sayıların çarpımı hakkında bir fikriniz olması gerekir.

Tanım.

doğal üssü n olan a sayısının kuvveti değeri, her biri a'ya, yani n'ye eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan a n formunun bir ifadesidir.
Özellikle, a sayısının kendisine, üssü 1 olan a'nın derecesi, yani a 1 = a denir.

Hemen derece okuma kurallarından bahsetmeye değer. a n girdisini okumanın evrensel yolu şudur: "a üzeri n". Bazı durumlarda, bu tür seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a sayısının n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini alalım, bu "sekiz üzeri on iki" veya "sekiz üzeri on ikinci kuvvet" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra üçüncü kuvvetinin de kendi adları vardır. Bir sayının ikinci kuvveti denir bir sayının karesiörneğin 7 2 "yedinin karesi" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvveti denir küp numarası, örneğin 5 3 "beşin küpü" olarak okunabilir veya "5 sayısının küpü" diyebilir.

getirme zamanı fiziksel göstergeli derece örnekleri. 5 7'nin kuvvetiyle başlayalım, burada 5, kuvvetin tabanı ve 7 de üsdür. Başka bir örnek verelim: 4.32 taban, doğal sayı 9 ise üs (4.32) 9 .

Lütfen son örnekte, 4.32 derecesinin tabanının parantez içinde yazıldığını unutmayın: tutarsızlıkları önlemek için, derecenin doğal sayılardan farklı olan tüm tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal göstergelerle veriyoruz. , tabanları doğal sayı olmadığı için parantez içinde yazılır. Pekala, bu noktada tam bir açıklık için, (−2) 3 ve -2 3 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi, −2'nin doğal üssü 3 olan kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (-(2 3) olarak yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir.

a'nın derecesi için a^n biçiminde bir n üssü ile bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içinde alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvveti için başka bir gösterimdir. Ve burada "^" sembolünü kullanarak derece yazmanın daha fazla örneği var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda, esas olarak a n formunun derecesinin gösterimini kullanacağız.

Doğal bir üs ile üs almanın tersi problemlerden biri, derecenin tabanını şu şekilde bulma problemidir: bilinen değer derece ve bilinen üs. Bu görev yol açar.

Rasyonel sayılar kümesinin tam sayılardan ve kesirli sayılardan oluştuğu ve her kesirli sayının pozitif veya negatif bir adi kesir olarak gösterilebileceği bilinmektedir. Dereceyi bir önceki paragrafta tamsayı üs ile tanımlamıştık, bu nedenle, rasyonel üs ile derece tanımını tamamlamak için, m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu kesirli bir üslü m / n ile a sayısının derecesinin anlamını vermemiz gerekir. Hadi yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir derece düşünün. Bir derecedeki derece özelliğinin geçerli olabilmesi için eşitliğin geçerli olması gerekir. . Ortaya çıkan eşitliği ve tanımladığımız yolu hesaba katarsak , verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla kabul etmek mantıklıdır.

Tam sayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin as için geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin özellikleri bölümünde yapılır).

Yukarıdaki akıl yürütme, aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: verilen m, n ve a için ifade mantıklıysa, m / n kesirli üssü olan a sayısının kuvveti, a'nın m gücüne göre n'inci derecesinin köküdür.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye sadece ifadenin hangi m, n ve a için anlamlı olduğunu açıklamak kalır. m , n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

    a'yı sınırlamanın en kolay yolu, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 varsaymaktır (çünkü m≤0'ın 0 m'lik gücü yoktur). Ardından, kesirli bir üs ile derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

    Tanım.

    Kesirli üs m/n ile pozitif bir a sayısının kuvveti m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, a sayısının m'nin n'inci kuvvetinin kökü, yani , olarak adlandırılır.

    Kesirli sıfır derecesi ayrıca, üssün pozitif olması gerektiğine dair tek uyarı ile tanımlanır.

    Tanım.

    Kesirli pozitif üs m/n ile sıfırın gücü m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, şu şekilde tanımlanır: .
    Derece tanımlanmadığında, yani kesirli negatif üslü sıfır sayısının derecesi bir anlam ifade etmez.

    Kesirli üslü derecenin böyle bir tanımıyla, bir nüans olduğu belirtilmelidir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları bir kenara bıraktık. Örneğin, yazmak mantıklı veya , ve yukarıdaki tanım bizi derecelerin formun kesirli üssü olduğunu söylemeye zorlar. tabanı negatif olmadığı için anlamsızdır.

    Kesirli bir üs m / n ile dereceyi belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı ele almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: üssü olan a sayısının derecesi, üssü karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının derecesi olarak kabul edilir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece önce ile değiştirilir.

    Çift n ve pozitif m için ifade, negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayıdan çift derecenin kökü mantıklı değildir), negatif m için, a sayısı yine de sıfır olmamalıdır (aksi takdirde sıfıra bölme gerçekleşir). Ve tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir şey olabilir (tek derecenin kökü herhangi bir gerçek sayı için tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölünme olmaz).

    Yukarıdaki akıl yürütme, bizi kesirli bir üs ile derecenin böyle bir tanımına götürür.

    Tanım.

    m/n indirgenemez bir kesir, m bir tamsayı ve n bir doğal sayı olsun. Herhangi bir indirgenebilir adi kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üslü a'nın gücü m / n içindir

    İndirgenebilir kesirli üslü bir derecenin neden önce indirgenemez üslü bir derece ile değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe , olarak tanımlasaydık ve m / n kesrinin indirgenemezliği hakkında bir çekince koymasaydık, aşağıdakine benzer durumlarla karşılaşırdık: 6/10=3/5 olduğundan, o zaman eşitlik , Ancak , A .