Bu derste, türev alma formüllerini ve kurallarını nasıl uygulayacağımızı öğreneceğiz.

Örnekler. Fonksiyonların türevlerini bulun.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Kuralı Uygulamak BEN, formüller 4, 2 ve 1. Biz:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Aynı formülleri ve formülü kullanarak benzer şekilde çözüyoruz 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Kuralı Uygulamak BEN, formüller 3, 5 Ve 6 Ve 1.

Kuralı Uygulamak IV, formüller 5 Ve 1 .

Beşinci örnekte, kurala göre BEN toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir ve az önce 1. terimin türevini bulduk (örnek 4 ), bu nedenle, türevleri bulacağız 2. Ve 3 üncüŞartlar ve 1. için terim, sonucu hemen yazabiliriz.

Farklılaşmak 2. Ve 3 üncü formüle göre terimler 4 . Bunu yapmak için, paydalardaki üçüncü ve dördüncü derecelerin köklerini negatif üslü kuvvetlere dönüştürüyoruz ve sonra 4 formül, kuvvetlerin türevlerini buluyoruz.

Bu örneğe ve sonuca bakın. Deseni yakaladın mı? İyi. Bu, yeni bir formülümüz olduğu ve onu türev tablomuza ekleyebileceğimiz anlamına gelir.

Altıncı örneği çözelim ve bir formül daha türetelim.

kuralı kullanıyoruz IV ve formül 4 . Ortaya çıkan kesirleri azaltıyoruz.

Bu fonksiyona ve onun türevine bakıyoruz. Elbette kalıbı anladınız ve formülü adlandırmaya hazırsınız:

Yeni formüller öğrenmek!

Örnekler.

1. Argüman artışını ve işlev artışını y= bulun x2 bağımsız değişkenin ilk değeri ise 4 ve yeni 4,01 .

Çözüm.

Yeni bağımsız değişken değeri x \u003d x 0 + Δx. Verileri değiştirin: 4.01=4+Δx, dolayısıyla bağımsız değişkenin artışı Δх=4.01-4=0.01. Bir fonksiyonun artışı, tanımı gereği, fonksiyonun yeni ve önceki değerleri arasındaki farka eşittir, yani. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). bir fonksiyonumuz olduğuna göre y=x2, O Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Cevap: bağımsız değişken artışı Δх=0.01; fonksiyon artışı Δу=0,0801.

Fonksiyon artışını başka bir şekilde bulmak mümkündü: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Fonksiyon grafiğine teğetin eğim açısını bulun y=f(x) noktada x 0, Eğer f "(x 0) \u003d 1.

Çözüm.

Temas noktasındaki türevin değeri x 0 ve teğetin eğiminin teğetinin değeridir ( geometrik anlamda türev). Sahibiz: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,Çünkü tg45°=1.

Cevap: bu fonksiyonun grafiğine teğet, Öküz ekseninin pozitif yönü ile şuna eşit bir açı oluşturur: 45°.

3. Bir fonksiyonun türevi için formülü türetme y=xn.

farklılaşma bir fonksiyonun türevini bulma eylemidir.

Türevleri bulurken, türev derecesi için formül türettiğimiz gibi, türevin tanımına göre türetilen formüller kullanılır: (x n)" = nx n-1.

İşte formüller.

türev tablosu sözlü formülasyonları telaffuz ederek ezberlemek daha kolay olacaktır:

1. Sabit bir değerin türevi sıfırdır.

2. X vuruşu bire eşittir.

3. Sabit çarpan, türevin işaretinden çıkarılabilir.

4. Bir derecenin türevi, bu derecenin üssünün aynı tabana sahip derece ile çarpımına eşittir, ancak üs bir eksiktir.

5. Kökün türevi, bir bölü aynı köklerin ikisine eşittir.

6. Birlik bölü x'in türevi, eksi bir bölü x karedir.

7. Sinüs'ün türevi kosinüs'e eşittir.

8. Kosinüsün türevi eksi sinüse eşittir.

9. Teğetin türevi, bir bölü kosinüsün karesine eşittir.

10. Kotanjantın türevi eksi bir bölü sinüsün karesidir.

Öğretiriz farklılaşma kuralları.

1. Cebirsel toplamın türevi, türev terimlerinin cebirsel toplamına eşittir.

2. Çarpımın türevi, birinci faktörün türevinin ikinci ile çarpımı artı birinci faktörün ürünü ile ikincinin türevinin çarpımına eşittir.

3. "Y"nin "ve"ye bölünen türevi, payda "y'nin vuruş çarpı" ve "eksi" y, vuruşla çarpıldığı" ve paydada - "ve kare" olduğu bir kesre eşittir. ”.

4. Formülün özel bir durumu 3.

Birlikte öğrenelim!

1 sayfadan 1. sayfa 1

Tablonun ilk formülünü türetirken, bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımından hareket edeceğiz. nereye gidelim X- herhangi bir gerçek sayı, yani, X– fonksiyon tanımı alanından herhangi bir sayı. Fonksiyon artışının argüman artışına oranının sınırını şurada yazalım:

Limit işareti altında, sıfırın belirsizliğinin sıfıra bölünmesi olmayan bir ifadenin elde edildiğine dikkat edilmelidir, çünkü pay sonsuz küçük bir değer değil, tam olarak sıfır içerir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, sabit bir fonksiyonun türevitüm tanım alanında sıfıra eşittir.

Bir güç fonksiyonunun türevi.

Bir güç fonksiyonunun türevinin formülü şu şekildedir: üs nerede P herhangi bir gerçek sayıdır.

Önce doğal üs formülünü kanıtlayalım, yani p = 1, 2, 3, ...

Bir türevin tanımını kullanacağız. Kuvvet fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım:

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un iki terimli formülüne dönüyoruz:

Buradan,

Bu, doğal bir üs için bir güç fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlar.

Üstel fonksiyonun türevi.

Türev formülünü tanıma dayalı olarak türetiyoruz:

Belirsizliğe geldi. Genişletmek için yeni bir değişken tanıtıyoruz ve için . Daha sonra . Son geçişte, logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullandık.

Orijinal limitte bir ikame yapalım:

İkinci dikkate değer limiti hatırlarsak, üstel fonksiyonun türevi için formüle geliriz:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi.

Herkes için logaritmik fonksiyonun türevinin formülünü ispatlayalım. X kapsamdan ve tüm geçerli temel değerlerden A logaritma. Türevin tanımı gereği, elimizde:

Fark ettiğiniz gibi, ispatta dönüşümler logaritmanın özellikleri kullanılarak gerçekleştirilmiştir. eşitlik ikinci dikkate değer sınır nedeniyle geçerlidir.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri için formüller türetmek için, bazı trigonometri formüllerinin yanı sıra ilk dikkate değer limiti hatırlamamız gerekecek.

Sinüs fonksiyonu için türev tanımına göre, elimizdeki .

Sinüs farkı için formülü kullanıyoruz:

İlk dikkate değer sınıra dönmeye devam ediyor:

Yani fonksiyonun türevi günah x Orada çünkü x.

Kosinüs türevinin formülü tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Bu nedenle, fonksiyonun türevi çünkü x Orada –sin x.

Teğet ve kotanjant için türev tablosu için formüllerin türetilmesi, kanıtlanmış farklılaşma kuralları (bir kesrin türevi) kullanılarak gerçekleştirilecektir.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri.

Türev kuralları ve üstel fonksiyonun türev tablosundan türevi için formül, hiperbolik sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant türevleri için formüller türetmemizi sağlar.

Ters fonksiyonun türevi.

Sunumda karışıklık olmaması için türevin yapıldığı fonksiyonun argümanını alt indekste gösterelim, yani fonksiyonun türevidir. f(x)İle X.

Şimdi formüle ediyoruz ters fonksiyonun türevini bulma kuralı.

Fonksiyonlara izin ver y = f(x) Ve x = g(y) karşılıklı olarak ters, aralıklar ve sırasıyla tanımlanır. Bir noktada fonksiyonun sıfırdan farklı sonlu bir türevi varsa f(x), o zaman noktada ters fonksiyonun sonlu bir türevi vardır gr(y), Ve . başka bir girişte .

Bu kural, herhangi bir X aralıktan, sonra elde ederiz .

Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.

Doğal logaritmanın ters fonksiyonunu bulalım. (Burada y bir fonksiyondur ve X- argüman). için bu denklemi çözme X, elde ederiz (burada X bir fonksiyondur ve y onun argümanı). Yani, ve karşılıklı ters fonksiyonlar.

Türev tablosundan şunu görüyoruz Ve .

Ters fonksiyonun türevlerini bulma formüllerinin bizi aynı sonuçlara götürdüğünden emin olalım:

İlk seviye

Fonksiyon türevi. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Dağlık bir alandan geçen düz bir yol hayal edin. Yani yukarı ve aşağı gider ama sağa veya sola dönmez. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir sıfır yükseklik seviyesidir, hayatta deniz seviyesini onun gibi kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken, aynı zamanda yukarı veya aşağı hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket ederek), fonksiyonun değeri değişir (ordinat ekseni boyunca hareket ederek). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim. Bu değer ne olabilir? Çok basit: Belli bir mesafe ilerlediğinde yükseklik ne kadar değişecek? Nitekim, yolun farklı bölümlerinde, bir kilometre boyunca (apis ekseni boyunca) ilerleyerek, yükselecek veya düşeceğiz. farklı miktar deniz seviyesine göre metre (y ekseni boyunca).

İlerlemeyi belirtiyoruz ("delta x" okuyun).

Yunanca harf (delta) matematikte yaygın olarak "değişim" anlamına gelen bir önek olarak kullanılır. Yani - bu, büyüklükteki bir değişikliktir, - bir değişikliktir; o zaman ne? Bu doğru, boyutta bir değişiklik.

Önemli: ifade tek bir varlık, bir değişkendir. "X" veya başka herhangi bir harften "delta"yı asla ayırmamalısınız! Yani, örneğin, .

Böylece, yatay olarak ilerledik. Yolun çizgisini bir fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak, yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani, ilerlerken daha da yükseliriz.

Değeri hesaplamak kolaydır: başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra yükseklikteysek, o zaman. Bitiş noktasının başlangıç ​​noktasından daha düşük olduğu ortaya çıkarsa, negatif olacaktır - bu, yükseldiğimiz değil, alçaldığımız anlamına gelir.

"Dikliğe" geri dön: bu, birim mesafe başına ileri doğru hareket ederken yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Yolun bir bölümünde km ile ilerlerken yolun km yükseldiğini varsayalım. O zaman bu yerdeki diklik eşittir. Ve eğer yol m ilerlerken km batarsa? O zaman eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin zirvesini düşünün. Bölümün başlangıcını yarım kilometre yukarıya ve bitişi - yarım kilometre sonra alırsanız, yüksekliğin neredeyse aynı olduğunu görebilirsiniz.

Yani mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu açıkça doğru değil. Sadece birkaç mil ötede çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir tahmini için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin, bir metre ilerlerken yükseklik değişimini ölçerseniz, sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta, yolun ortasında bir direk varsa, içinden kolayca geçebiliriz. O zaman hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha iyidir!

İÇİNDE gerçek hayat mesafeyi en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle, kavram şuydu: sonsuz küçük, yani modulo değeri adlandırabileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin, diyorsunuz ki: bir trilyonda bir! Ne kadar az? Ve bu sayıyı - ile bölersiniz ve daha da az olur. Ve benzeri. Değerin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra eğilimlidir” okuruz). anlamak çok önemli ki bu sayı sıfıra eşit değil! Ama ona çok yakın. Bu, bölünebileceği anlamına gelir.

Sonsuz küçüğün zıttı kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, modül olarak aklınıza gelebilecek tüm sayılardan daha büyüktür. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, sadece iki ile çarpın ve daha fazlasını elde edin. Ve sonsuzluk olandan bile daha fazlasıdır. Aslında, sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirme ile yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını unutmayın. Ama sonsuz küçüğün sıfıra eşit anlamına gelmediğini hatırlatmama izin verin. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz, oldukça ortak sayı, Örneğin, . Yani, küçük bir değer diğerinden tam olarak iki kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar neden? Yol, yokuş... Bir ralliye gitmiyoruz ama matematik öğreniyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, sadece farklı şekilde adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun artışının argümanın sonsuz küçük artışındaki argümanın artışına oranıdır.

artış matematikte değişim denir. Eksen boyunca hareket ederken argümanın () ne kadar değiştiği denir. bağımsız değişken artışı ve ile gösterilir Eksen boyunca bir mesafe ileri hareket ederken fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiği denir fonksiyon artışı ve işaretlenir.

Yani, bir fonksiyonun türevi, ne zaman ile olan ilişkisidir. Türevi, işlevle aynı harfle, yalnızca sağ üstten bir vuruşla gösteririz: veya basitçe. Öyleyse, bu notasyonları kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada da fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir.

Ama türev sıfıra eşit mi? Kesinlikle. Örneğin düz bir yatay yolda ilerliyorsak diklik sıfırdır. Aslında, yükseklik hiç değişmez. Yani türev ile: sabit bir fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfırdır.

Tepe örneğini ele alalım. Segmentin uçlarını, uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani segment eksene paralel olacak şekilde tepe noktasının karşıt taraflarına yerleştirmenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler, yanlış ölçümün bir işaretidir. Segmentimizi kendisine paralel yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacaktır.

Sonunda, zirveye sonsuz yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuzca küçülecektir. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilmez, ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede dururken sağa veya sola küçük bir kayma, boyumuzu önemsiz ölçüde değiştirir.

Tamamen cebirsel bir açıklama da var: üst kısmın solunda fonksiyon artıyor ve sağında azalıyor. Daha önce öğrendiğimiz gibi, fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir. Ancak, atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol hiçbir yerde eğimini keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle, negatif ve pozitif değerler arasında olmalıdır. Tepe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynısı vadi için de geçerlidir (fonksiyonun solda azalıp sağda arttığı alan):

Artımlar hakkında biraz daha.

Böylece argümanı bir değere çeviriyoruz. Hangi değerden değişiriz? O (argüman) şimdi ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi ondan dans edeceğiz.

Koordinatlı bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse, işlev oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu, işlevin değiştirdiği miktardır:

Artımları bulma alıştırması yapın:

1. Argüman artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Bir noktada bir fonksiyon için aynı.

Çözümler:

İÇİNDE farklı noktalar bağımsız değişkenin aynı artışıyla, işlevin artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin kendine ait olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun farklı noktalardaki dikliği farklıdır). Bu nedenle, bir türev yazarken, hangi noktada belirtmeliyiz:

Güç işlevi.

Güç işlevi, argümanın bir dereceye kadar (mantıksal, değil mi?) olduğu bir işlev olarak adlandırılır.

Ve - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum, üssün şu olduğu durumdur:

Bir noktadaki türevini bulalım. Bir türevin tanımını hatırlayın:

Böylece bağımsız değişken ile arasında değişir. fonksiyon artışı nedir?

Artış Ancak herhangi bir noktada işlev, bağımsız değişkenine eşittir. Bu yüzden:

Türev:

türevi:

b) Şimdi düşünün ikinci dereceden fonksiyon (): .

Şimdi bunu hatırlayalım. Bu, sonsuz küçük olduğu ve bu nedenle başka bir terimin arka planına karşı önemsiz olduğu için artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir:

Yani, başka bir kuralımız var:

c) Mantıksal diziye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı için formülü kullanarak ilk parantezi açın veya küplerin farkı için formülü kullanarak tüm ifadeyi çarpanlara ayırın. Önerilen yollardan herhangi biriyle kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece, aşağıdakileri aldım:

Ve tekrar hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Biz: .

d) Büyük güçler için benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın bir kuvvet fonksiyonuna genelleştirilebileceği ortaya çıktı. keyfi gösterge, bir tamsayı bile değil:

(2)

Kuralı şu sözlerle formüle edebilirsiniz: "derece bir katsayı olarak öne alınır ve sonra azalır".

Bu kuralı daha sonra ispatlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türevin tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını sayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Nasıl? Ve derece nerede? ”,“ ”Konusunu hatırla!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, sadece kesirlidir:.
   Yani karekökümüz sadece üssü olan bir kuvvet:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada yine belirsizleşirse, "" konusunu tekrarlayın !!! (negatif göstergeli bir derece hakkında)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım yoluyla (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi, her zamanki gibi, aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir gerçeği kullanacağız:

Ne zaman ifade.

İspatı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için sınavı iyi geçmeniz gerekiyor). Şimdi grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon olmadığında - grafikteki noktanın delindiğini görüyoruz. Ancak değere ne kadar yakınsa, fonksiyon o kadar yakındır.Bu tam da “çabalar”.

Ek olarak, bu kuralı bir hesap makinesiyle de kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, çekinme, hesap makinesi al, henüz sınava girmedik.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinesini Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Oranın değeri ne kadar küçükse o kadar yakın olduğunu görüyoruz.

a) Bir fonksiyon düşünün. Her zamanki gibi, artışını buluyoruz:

Sinüs farkını bir çarpıma çevirelim. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz ("" konusunu hatırlayın):.

Şimdi türev:

Bir ikame yapalım: . O halde, sonsuz küçük için, aynı zamanda sonsuz küçüktür: . for ifadesi şu şekli alır:

Ve şimdi bunu ifade ile hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda ihmal edilebilecek kadar küçük bir değer varsa (yani at).

Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz: sinüsün türevi kosinüs'e eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. Önce türevi buluruz Genel görünüm, ve ardından onun değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada buna benzer bir şeyimiz var güç fonksiyonu. onu getirmeye çalışalım
   normal görünüm:
   .
   Tamam, şimdi formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Bu nedir????

Tamam, haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı hala bilmiyoruz. Burada birkaç fonksiyon türünün bir kombinasyonuna sahibiz. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte öyle bir fonksiyon vardır ki, herhangi biri için türevi, kendisi için fonksiyonun kendisinin değerine eşittir. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu işlevin temeli - bir sabit - sonsuz bir ondalık kesirdir, yani irrasyonel bir sayıdır (örneğin). "Euler sayısı" olarak adlandırılır, bu nedenle bir harfle gösterilir.

Yani kural şudur:

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, uzağa gitmeyeceğiz, hemen ters işlevi ele alacağız. Hangi fonksiyonun tersi üstel fonksiyon? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanı olan bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: bunun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz şekilde basit olan işlevlerdir. Herhangi bir başka tabanlı üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Ne kuralları? Yine yeni bir terim mi?!...

farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Sadece ve her şey. Bu süreç için başka bir kelime nedir? Proizvodnovanie değil... Matematiğin diferansiyeli, işlevin çok artışı olarak adlandırılır. Bu terim Latin farklılığından gelir - fark. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken, iki işlev kullanacağız, örneğin ve. Artımları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplam 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırak ya da daha kolay.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev her noktada aynıdır, çünkü doğrusal fonksiyon, Unutma?);

Bir ürünün türevi

Burada her şey aynı: tanıtıyoruz yeni özellik ve artışını bulun:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterli (henüz ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki bir numara nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir tabana getirmeye çalışalım:

Bunun için kullanıyoruz basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi kaldı, sadece bir sayı olan ancak bir değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayacak bir sayı, yani daha fazlasını yazmanın bir yolu yok. basit biçim. Bu nedenle cevapta bu formda bırakılmıştır.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, logaritmadan farklı bir tabana sahip bir keyfi bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmemiz gerekiyor. Bir logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Paydanın sadece bir sabit olduğu ortaya çıktı (değişkensiz sabit bir sayı). Türev çok basit:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma veya bir yay teğeti değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor geliyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey yoluna girecek), ancak matematik açısından "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir konveyör hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, birincisi bir çikolatayı bir pakete sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir bileşik nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolata yemek için ters adımları ters sırayla uygulamanız gerekir.

Benzer bir matematiksel boru hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Böylece bize bir sayı (çikolata) veriyorlar, ben onun kosinüsünü (sarmalayıcı) buluyorum ve sonra sen elimdekinin karesini alıyorsun (bir kurdeleyle bağlıyorsun). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyon örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucunda olanlarla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.

Aynı işlemleri ters sırayla da yapabiliriz: önce karesini alırsın, sonra ben çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli özellik karmaşık işlevler: eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.

Başka bir deyişle, Karmaşık bir işlev, bağımsız değişkeni başka bir işlev olan bir işlevdir.: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı). .

Yaptığımız son eylem çağrılacak "dış" işlev ve sırasıyla ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonların ayrılması, değişen değişkenlere çok benzer: örneğin, fonksiyonda

1. İlk olarak hangi işlemi yapacağız? Önce sinüsü hesaplıyoruz ve ancak o zaman onu bir küp haline getiriyoruz. Yani bu dahili bir fonksiyondur, harici değil.
   Ve orijinal işlev, bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Pekala, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnek için şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde, nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(şimdiye kadar düşürmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmadı, unuttunuz mu?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Burada üç seviyeli karmaşık bir fonksiyon olduğu hemen anlaşılıyor: Sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir fonksiyon ve yine de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir paketleyiciye koyuyoruz) ve evrak çantasında bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: Her neyse, bu işlevi her zamanki sırayla "ambalajından çıkaracağız": sondan.

Yani önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "dışsal" olacaktır. İşlem sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Eylem rotasını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA KONU HAKKINDA KISACA

fonksiyon türevi- işlevin artışının, bağımsız değişkenin sonsuz küçük artışıyla bağımsız değişkenin artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaştırma kuralları:

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Türev ürün:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Türev bulma işlemine diferansiyel denir.

En basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin, türevi artışın argümanın artışına oranının sınırı olarak tanımlayarak çözmenin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış türev kuralları ortaya çıktı. . Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) türev bulma alanında ilk çalışan kişilerdi.

Bu nedenle, zamanımızda herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının yukarıda belirtilen limitini hesaplamak gerekli değildir, sadece tabloyu kullanmak yeterlidir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, kontur işaretinin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri parçala ve hangi eylemlerin belirlendiğini (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler ilişkilidir. Ayrıca, temel fonksiyonların türevlerini türevler tablosunda ve çarpım, toplam ve bölümün türevleri için formülleri - farklılaşma kurallarında buluyoruz. İlk iki örnekten sonra türev tablosu ve türev kuralları verilmiştir.

örnek 1 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Farklılaşma kurallarından, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz, yani.

Türev tablosundan "X" in türevinin bire eşit olduğunu ve sinüsün türevinin kosinüs olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamında yerine koyuyoruz ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluyoruz:

Örnek 2 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Sabit bir faktöre sahip ikinci terimin türevin işaretinden çıkarılabileceği toplamın bir türevi olarak farklılaştırın:

Hala bir şeyin nereden geldiğine dair sorular varsa, bunlar kural olarak türev tablosunu ve en basit türev kurallarını okuduktan sonra netleşir. Hemen onlara gidiyoruz.

Basit fonksiyonların türev tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. Fonksiyon ifadesinde bulunan herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfır. Çok sık gerekli olduğu için bunu hatırlamak çok önemlidir.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "x". Her zaman bire eşittir. Bu da hatırlamak önemlidir
3. Derecenin türevi. Problemleri çözerken, karekök olmayanları bir kuvvete dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1'in kuvvetine göre türevi
5. Türev kare kök
6. Sinüs türevi
7. Kosinüs türevi
8. Teğet türevi
9. Kotanjantın türevi
10. Arksinüsün türevi
11. Ark kosinüsünün türevi
12. Ark teğetinin türevi
13. Ters tanjantın türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üslü sayının türevi
17. Üstel fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Toplam veya farkın türevi
2. Bir ürünün türevi
2a. Sabit bir faktörle çarpılan bir ifadenin türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada fonksiyonlar

Ve

onlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyon bir sabitle farklılık gösteriyorsa, türevleri, yani

Kural 2eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilirlerse, çarpımları da aynı noktada türevlenebilir olur.

Ve

onlar. iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ve diğerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit çarpan, türevin işaretinden çıkarılabilir:

Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, faktörlerin her birinin ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin, üç çarpan için:

Kural 3eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir Ve , o zaman bu noktada bölümleri de türevlenebilir.u/v ve

onlar. iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın ve payın türevi ile payın çarpımı arasındaki fark olan ve paydası önceki payın karesi olan bir kesre eşittir .

Diğer sayfalarda nereye bakmalı?

Çarpımın ve bölümün türevini gerçek problemlerde bulurken, her zaman birkaç türev kuralının aynı anda uygulanması gerekir, bu nedenle bu türevlerle ilgili daha fazla örnek makalede bulunmaktadır."Bir çarpım ve bölümün türevi".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir çarpan olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşittir ve sabit bir çarpan olması durumunda türevlerin işaretinden çıkarılır. Bu tipik hata, meydana gelen İlk aşama türevleri çalışmak, ancak birkaç bir-iki parçalı örneği çözerken ortalama öğrenci artık bu hatayı yapmıyor.

Ve eğer bir çarpımı veya bölümü farklılaştırırken, bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve bu nedenle tüm terim sıfıra eşit olacaktır (böyle bir durum örnek 10'da analiz edilmiştir) .

Diğer yaygın hata- karmaşık bir fonksiyonun türevinin basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik çözümü. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makaleye ayrılmıştır. Ama önce türevleri bulmayı öğreneceğiz basit fonksiyonlar.

Yol boyunca ifade dönüşümleri olmadan yapamazsınız. Bunu yapmak için, yeni Windows kılavuzlarında açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirli işlemler .

Kuvvetli ve köklü türevlere çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon göründüğünde , ardından "Küslü ve köklü kesirlerin toplamının türevi" dersini izleyin.

gibi bir göreviniz varsa , o zaman "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" dersindesiniz.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini belirliyoruz: ifadenin tamamı ürünü temsil ediyor ve çarpanları, terimlerinden birinin sabit bir faktör içerdiği toplamlardır. Çarpım farklılaştırma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ve diğerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir:

Daha sonra, toplamın farklılaşma kuralını uyguluyoruz: cebirsel fonksiyonlar toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamda, eksi işaretli ikinci terim. Her toplamda, türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken ve türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Böylece, "x" bire, eksi 5 - sıfıra dönüşür. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığı için "x"in türevi ile aynı birimle ikiyi çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:

Bulunan türevleri ürünlerin toplamında yerine koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Örnek 4 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız isteniyor. Bir bölümü farklılaştırmak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın çarpımı ile payın ve payın türevi ile paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesre eşittir ve payda, önceki payın karesidir. Biz:

Örnek 2'de paydaki çarpanların türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte paydaki ikinci çarpan olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve derece yığınının olduğu bu tür problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, o zaman sınıfa hoşgeldin "Küslü ve köklü kesirler toplamının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla şey öğrenmeniz gerekiyorsa trigonometrik fonksiyonlar, yani, işlev şuna benzediğinde , o zaman dersin var "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, çarpanlarından biri bağımsız değişkenin karekökü olan ve türevini türev tablosundan öğrendiğimiz bir çarpım görüyoruz. Çarpım farklılaştırma kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:

Örnek 6 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, böleni bağımsız değişkenin karekökü olan bölümü görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümün türev kuralına ve karekökün türevinin tablosal değerine göre şunu elde ederiz:

Paydaki kesri ortadan kaldırmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Tanımı takip edersek, o zaman bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun artış oranının limitidir Δ yΔ bağımsız değişkeninin artışına X:

Her şey açık görünüyor. Ancak bu formülle, diyelim ki fonksiyonun türevini hesaplamaya çalışın. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar var.

Başlamak için, sözde temel işlevlerin tüm çeşitli işlevlerden ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür fonksiyonlar, türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.

temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevleri ezbere bilinmelidir. Üstelik onları ezberlemek zor değil - bu yüzden basitler.

Yani, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	F(X) = C, C ∈ R	0 (evet, evet, sıfır!)
Rasyonel üslü derece	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinüs	F(X) = günah X	çünkü X
Kosinüs	F(X) = çünkü X	- günah X(eksi sinüs)
Teğet	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotanjant	F(X) = ctg X	- 1/sin2 X
doğal logaritma	F(X) = günlük X	1/X
keyfi logaritma	F(X) = günlük A X	1/(X ln A)
üstel fonksiyon	F(X) = e X	e X(hiçbirşey değişmedi)

Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolayca hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak, sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası olabilir. Artık çok temel olmayan, ancak belirli kurallara göre türevlenebilen yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

Fonksiyonlara izin ver F(X) Ve G(X), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Kesin olarak söylemek gerekirse, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı vardır. Bu nedenle, fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra geriye yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(X) = X 2 + sinx; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, yani:

F ’(X) = (X 2+ günah X)’ = (X 2)' + (günah X)’ = 2X+ kosx;

İşlev için benzer şekilde tartışıyoruz G(X). Yalnızca halihazırda üç terim vardır (cebir açısından):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Cevap:
F ’(X) = 2X+ kosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Bir ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, pek çok insan, toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda, çarpımın türevinin olduğuna inanır. çarpmak"\u003e türevlerin çarpımına eşittir. Ama sana incir! Çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basittir, ancak genellikle unutulur. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 kosx; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

İşlev F(X) iki temel işlevin bir ürünüdür, yani her şey basit:

F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (-günah X) = X 2 (3cos X − X günah X)

İşlev G(X) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bu değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk çarpanı G(X) bir polinomdur ve türevi, toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X- 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Son adımda türevin çarpanlarına ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bu gerekli değildir, ancak çoğu türev kendi başına değil, işlevi keşfetmek için hesaplanır. Bu, türevin daha sonra sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin bulunacağı vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrıştırılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.

İki işlev varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyon için türevi de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bunun gibi! Bu, en karmaşık formüllerden biridir - şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle, üzerinde çalışmak daha iyidir somut örnekler.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payında ve paydasında temel fonksiyonlar vardır, dolayısıyla tek ihtiyacımız olan bölümün türevi için formül:

Gelenek gereği, payı çarpanlara ayırırız - bu, yanıtı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir F(X) = günah X ve değişkeni değiştir X, söyle, üzerinde X 2+ln X. ortaya çıktı F(X) = günah ( X 2+ln X) karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama onu yukarıda tartışılan kurallara göre bulmak işe yaramayacak.

Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, bir değişkenin değiştirilmesi ve karmaşık bir fonksiyonun türevi için formül yardımcı olur:

F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer X ile değiştirilir T(X).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasıyla ilgili durum, bölümün türevinden bile daha üzücü. Bu nedenle, belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir. Detaylı Açıklama her adım.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2+ln X)

Fonksiyonda ise unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X, o zaman temel bir işlev elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin verin X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formüle göre karmaşık bir fonksiyonun türevini arıyoruz:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters ikame gerçekleştirme: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor. X 2+ln X = T. Sahibiz:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = X 2+ln X. Daha sonra:

G ’(X) = çünkü( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = çünkü ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

Bu kadar! Son ifadeden de görülebileceği gibi, tüm problem toplamın türevini hesaplamaya indirgenmiştir.

Cevap:
F ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2+ln X).

Derslerimde “türev” terimi yerine çok sık “inme” kelimesini kullanırım. Örneğin, toplamın vuruşu vuruşların toplamına eşittir. Bu daha net mi? Tamam bu harika.

Böylece, türevin hesaplanması, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya gelir. Son bir örnek olarak, rasyonel bir üs ile türev kuvvetine geri dönelim:

(X N)’ = N · X N − 1

Rolde bunu çok az kişi biliyor N kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök X 0,5 Ama ya kökünün altında aldatıcı bir şey varsa? Yine, karmaşık bir işlev ortaya çıkacak - bu tür yapıları vermeyi seviyorlar. kontrol işi ve sınavlar.

Görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:

Öncelikle kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Şimdi bir ikame yapıyoruz: let X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formüle göre buluruz:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T= 0,5 T-0,5 T ’.

Ters bir ikame yaparız: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X- 7) -0,5 ( X 2 + 8X- 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Son olarak, köklere geri dönelim: