Giriiş……………………………………………………………. 3
I. Grafik ikinci dereceden fonksiyon, değişkeni içeren
mutlak değerin işareti altında
1.1. Temel tanımlar ve özellikler………………………… 4
1.2. Aşağıdakileri İçeren İkinci Dereceden Bir Fonksiyonu Çizmek
modül işareti altındaki değişken………………………… 5
II. Aşağıdakileri İçeren İkinci Dereceden Bir Fonksiyonu Çizmek
programda modül işaretinin altındaki değişken
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Çözüm…………………………………………………. …. onbeş
Kullanılan literatür listesi………………...…….. 16
giriiş
Zamanımı siyaset ve denklemler arasında bölmek zorunda kaldım. Bununla birlikte, bence denklemler çok daha önemlidir, çünkü siyaset yalnızca şu an ve denklemler sonsuza kadar var olacak.
Doğruların, parabollerin, hiperbollerin "standart" denklemleri, modülün işaretini içerdiğinde, grafikleri alışılmadık ve hatta güzel hale gelir. Bu tür grafiklerin nasıl oluşturulacağını öğrenmek için, temel şekilleri oluşturma tekniklerinde ustalaşmanız ve bir sayının modülünün tanımını kesin olarak bilmeniz ve anlamanız gerekir. Okul matematik dersinde modüllü grafikler yeterince derinlemesine ele alınmıyor, bu yüzden bu konudaki bilgimi genişletmek, kendi araştırmamı yapmak istedim.
Çalışmanın amacı, modül işareti altında bir değişken içeren ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin oluşturulmasını ele almaktır.
Çalışmanın amacı: ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği.
Çalışmanın konusu: Mutlak değer işaretinin konumuna bağlı olarak ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğindeki değişiklikler.
Görevler:
1) Mutlak değer ve ikinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ile ilgili literatürü inceleyin.
2) Mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğindeki değişiklikleri inceler.
3) Microsoft Excel de dahil olmak üzere çeşitli grafik programlarını kullanarak denklemleri çizmeyi öğrenin.
Araştırma Yöntemleri:
1) teorik (bilginin mantıksal aşaması);
2) ampirik (araştırma, deney);
3) modelleme.
Çalışmamın pratik önemi:
1) bu konuda edinilen bilgileri kullanmak, derinleştirmek ve diğer fonksiyonlara ve denklemlere uygulamak;
2) becerilerin kullanımında Araştırma çalışması gelecekte Öğrenme aktiviteleri.
I. Mutlak değer işareti altında bir değişken içeren ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği
1.1. Temel tanımlar ve özellikler.
Fonksiyon, en önemli matematiksel kavramlardan biridir. Bir fonksiyon, y değişkeninin x değişkenine öyle bir bağımlılığıdır ki burada x değişkeninin her değeri, y değişkeninin tek bir değerine karşılık gelir.
Bir işlevi ayarlamanın yolları:
1) analitik yöntem (fonksiyon, matematiksel bir formül kullanılarak ayarlanır);
2) tablo yöntemi (işlev tablo kullanılarak belirtilir);
3) tanımlayıcı yöntem (işlev, sözlü bir açıklama ile verilir);
4) grafik yöntem (işlev bir grafik kullanılarak ayarlanır).
Bir fonksiyonun grafiği, apsisleri argümanın değerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir ve ordinatlar, fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir.
x ve y'nin değişken olduğu ve a, b ve c parametrelerinin herhangi bir gerçek sayı olduğu ve a'nın 0 olduğu, y=ax2+in+c formülüyle tanımlanan fonksiyona ikinci dereceden fonksiyon denir.
y=ax2+in+c fonksiyonunun grafiği bir paraboldür; y \u003d ax2 + bx + c parabolünün simetri ekseni düz bir çizgidir, a> 0 için parabolün "dalları" yukarı doğru yönlendirilir, a için<0 – вниз.
İkinci dereceden bir işlevi çizmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
1) parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulun ve koordinat düzleminde işaretleyin;
2) parabole ait birkaç nokta daha oluşturun;
3) işaretli noktaları düz bir çizgi ile birleştirin.
Parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
, .
Pozitif bir sayının mutlak değeri pozitif sayının kendisidir, negatif bir sayının mutlak değeri ise karşısındaki pozitif sayıdır. Sıfırın mutlak değeri sıfıra eşit alınır, yani.
.
Özellikleri:
1) Sayıların toplamının mutlak değeri, terimlerinin mutlak değerlerinin toplamından büyük değildir, yani.
|a+b| |a|+|c|
2) İki sayı arasındaki farkın mutlak değeri, bu sayıların mutlak değerleri arasındaki farktan az değildir, yani
|a-c| |a|-|c| veya |a-c| |v|-|a|
3) Çarpımın mutlak değeri, faktörlerin mutlak değerlerinin çarpımına eşittir, yani.
|a in|=|a| |içinde|
4) Bölümün mutlak değeri, bölünen ve bölenin mutlak değerlerinin bölünmesinden elde edilen bölüme eşittir, yani.
5) Pozitif bir tamsayı ile derecenin mutlak değeri, tabanın mutlak değerinin aynı derecesine eşittir, yani.
|bir|=|bir|n.
1.2. Modulo işareti altında bir değişken içeren ikinci dereceden bir işlevi çizme.
…Matematiksel bilgi, ancak yaratıcı bir şekilde özümsendiğinde ustaca ve karlı bir şekilde uygulanabilir, böylece öğrenci ona bağımsız olarak ulaşmanın nasıl mümkün olacağını kendisi görür.
BİR. Kolmogorov.
Denklem çözmede olduğu gibi modülün işaretini içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için önce modülün işareti altındaki ifadelerin köklerini bulun. Sonuç olarak, x ekseni aralıklara bölünür. Aralık yöntemiyle bulduğumuz belirli bir işaretle her aralıktaki her ifadeyi alarak modülün işaretlerini kaldırıyoruz.
Her aralıkta, modülün işareti olmadan bir fonksiyon elde edilir. Her aralıktaki her fonksiyonun bir grafiğini oluşturuyoruz.
En basit durumda, katsayı işaretinin altında yalnızca bir ifade olduğunda ve katsayı işareti olmayan başka terim olmadığında, işlev grafiğini katsayı işaretini atlayarak çizebilir ve ardından grafiğin bölgesinde bulunan kısmını görüntüleyebilirsiniz. Öküz eksenine göre negatif y değerleri.
Modüllerle fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için bazı teknikleri örneklerle gösterelim.
örnek 1
İlk olarak, bir y \u003d x2 - 6x +5 parabolü oluşturuyoruz. Ondan y \u003d |x2 - 6x + 5| fonksiyonunun grafiğini elde etmek için, parabolün her noktasını negatif bir ordinat ile aynı apsise sahip, ancak zıt (pozitif) ordinat ile değiştirmeniz gerekir. Diğer bir deyişle, parabolün Ox ekseninin altında kalan kısmı, Ox eksenine göre ona simetrik olan bir çizgi ile değiştirilmelidir (Şekil 1).
Örnek 2
y = |x|2– 6x +5 fonksiyonunun grafiğini ele alalım.
|x| karesi ise x sayısının karesi alındıktan sonra işareti ne olursa olsun pozitif olacaktır. y = |x|2 - 6x +5 fonksiyonunun grafiği, y = x2 - 6x +5 fonksiyonunun grafiği ile aynı olacaktır, yani. mutlak değer işareti içermeyen bir fonksiyonun grafiği (Şekil 2). 
İncir. 2
Örnek 3
y = x2 – 6|x| fonksiyonunun grafiğini düşünün. +5.
Bir sayının modülünün tanımını kullanarak formülü değiştiririz
y = x2 – 6|x| +5
Şimdi iyi bilinen parçalı bağımlılık belirtimi ile uğraşıyoruz. Bunun gibi bir grafik oluşturacağız:
1) bir parabol y = x2 - 6x + 5 oluşturun ve x'in negatif olmayan değerlerine karşılık gelen kısmını daire içine alın, yani. y ekseninin sağındaki kısım.
2) aynı koordinat düzleminde, bir y = x2 + 6x + 5 parabolü oluştururuz ve x'in negatif değerlerine karşılık gelen kısmını daire içine alırız, yani. y ekseninin solundaki kısım. Parabollerin daire içine alınmış kısımları birlikte y = x2 - 6|x| fonksiyonunun grafiğini oluşturur. +5 (Şek.3).
y = |x|2 - 6|x|+5 fonksiyonunun grafiğini ele alalım.
Çünkü y \u003d |x|2 - 6x +5 denkleminin grafiği, modül işareti olmayan fonksiyonun grafiğiyle aynıdır (örnek 2'de ele alınmıştır), y \u003d |x| 2 - 6|x| +5, y = x2 – 6|x| fonksiyonunun grafiğiyle aynıdır. +5, örnek 3'te dikkate alınmıştır (Şekil 3).
Örnek 5
Bunu yapmak için, y \u003d x2 - 6x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz. Ondan y \u003d |x2 - 6x| fonksiyonunun grafiğini elde etmek için, parabolün her noktasını aynı apsise sahip, ancak zıt (pozitif) ordinata sahip bir negatif ordinat ile değiştirmeniz gerekir. Başka bir deyişle, parabolün x ekseninin altında bulunan kısmı, x eksenine göre simetrik olan bir doğru ile değiştirilmelidir. Çünkü y = |x2 - 6x| fonksiyonunu çizmemiz gerekiyor. +5, ardından y \u003d |x2 - 6x| olarak düşündüğümüz fonksiyonun grafiği y eksenini 5 birim yukarı kaldırmanız yeterlidir (Şekil 4). 
Örnek 6
y = x2 - |6x+5| fonksiyonunu çizelim. Bunu yapmak için iyi bilinen parçalı işlevi kullanıyoruz. Fonksiyonun sıfırlarını bulalım
y = 6x +5
6x + 5 = 0 da.
İki durumu ele alalım:
1) Eğer, o zaman denklem y \u003d x2 - 6x -5 şeklini alacaktır. Bu parabolü oluşturalım ve o kısmını yuvarlak içine alalım.
2) Eğer, o zaman denklem y \u003d x2 + 6x +5 şeklini alır. Bu parabolü oluşturalım ve noktanın solunda bulunan kısmını koordinatlarla daire içine alalım (Şek. 5).
Bunu yapmak için, y \u003d x2 - 6 | x | fonksiyonunun bir grafiğini oluşturacağız. +5. Bu grafiği Örnek 3'te çizmiştik. Fonksiyonumuz tamamen modül işaretinin altında olduğundan fonksiyon grafiğini çizmek için y = |x2 - 6|x| +5|, y = x2 - 6|x|+5 fonksiyonunun grafiğinin her noktasını, aynı apsise sahip bir noktayla, ancak zıt (pozitif) ordinatla, yani negatif bir ordinatla değiştirmeniz gerekir. parabolün Öküz ekseninin altında kalan kısmı Öküz eksenine göre simetrik olan bir çizgi ile değiştirilmelidir (Şekil 6).
Şekil 6
Örnek 8
= f (x) biçimindeki grafiklerin yapımını düşünün.
Formülde olduğu göz önüne alındığında = f (x), f (x) , ve modülün tanımına göre =
= f (x) formülünü y \u003d f (x) biçiminde yeniden yazalım, burada f (x) .
Buna dayanarak, bir kural algoritması formüle ediyoruz.
= f (x) formunun grafiklerini çizmek için, tanım alanından f (x) olan x'ler için y \u003d f (x) fonksiyonunu çizmek ve grafiğin ortaya çıkan kısmını yaklaşık olarak simetrik olarak yansıtmak yeterlidir. x ekseni.
Böylece, bağımlılık grafiği \u003d f (x) iki fonksiyonun grafiklerinden oluşur: y \u003d f (x) ve y \u003d - f (x).
Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım.
Şekillerin ve formüllerin daha fazla eklenmesi teknik olarak imkansızdır.
Şekil 7
Örnek 9
Formun grafiklerinin yapımını düşünün
Grafiklerin zaten bilinen dönüşümlerini gerçekleştirerek, önce y = │f (x)│ grafiğini ve ardından koordinatları koşulu sağlayan noktalar kümesini oluşturacağız.
İnşaat algoritması:
1) Fonksiyonun bir grafiğini oluşturuyoruz.
2) Grafiğin bir kısmı x ekseni etrafında simetrik olarak görüntülenir.
3) Ortaya çıkan grafik, Ox ekseni etrafında simetrik olarak görüntülenir (Şekil 8).
Şekil 8
Sonuçlar:
1. Y \u003d │f (x) │ fonksiyonunun grafiği, y \u003d f (x) grafiğinden elde edilebilir, bu kısmı f (x) olduğu yerde bırakır ve diğer kısmını simetrik olarak yansıtır. Öküz ekseni hakkında, burada f (x )< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. y = f (│x│) fonksiyonunun grafiği, bağımsız değişkenin negatif olmayan değerleri kümesinde y = f (x) fonksiyonunun grafiği ile çakışır ve Oy ekseni hakkında ona simetriktir argümanın negatif değerleri kümesinde.
3. \u003d f (x) fonksiyonunun grafiği, f (x) olan tanım alanından x olanlar için y \u003d f (x) fonksiyonunu çizerek ve grafiğin ortaya çıkan kısmını simetrik olarak yansıtarak elde edilebilir. x ekseni hakkında.
4. Bir fonksiyonun grafiği, fonksiyon grafiği çizilerek elde edilebilir.
y \u003d f (x) ve grafiğin Ox eksenine göre bir bölümünü simetrik olarak görüntüleme. Ortaya çıkan grafik, x ekseni etrafında simetrik olarak görüntülenir.
II. Microsoft Excel'de modül işareti altında bir değişken içeren ikinci dereceden bir işlevi çizme.
örnek 1
y = |x2 - 6x +5| fonksiyonunu çizelim.
Örnek 2
y = x2 – 6|x| fonksiyonunu çizelim. +5.
Örnek 3
y = |х2 – 6х| fonksiyonunu çizelim. +5.
Örnek 4
y = x2 - |6x+5| fonksiyonunu çizelim.
Örnek 5
y = |х2 – 6|х| fonksiyonunu çizelim. +5|.
Örnek 6
Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım.
Örnek 7
Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım.
Çözüm
Bilgi, hafızayla değil, yalnızca kişinin düşüncesinin çabalarıyla elde edildiğinde bilgidir.
L. N. Tolstoy.
Tüm görevler çözüldüğü için bu araştırma çalışmasında hedefe ulaşıldığına inanıyoruz.
Modülün işareti altında bir değişken içeren ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin oluşturulmasını ele aldık ve mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğindeki değişiklikleri inceledik. Formun fonksiyonlarının grafiklerini oluşturma tekniklerinde ustalaştı: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Bu araştırma makalesini yazmak için
1) mutlak değerin ve ikinci dereceden bir fonksiyonun özelliklerine ilişkin literatür incelenmiştir;
2) modülün işaretinin çeşitli değişkenler içerdiği ikinci dereceden bir fonksiyonun bir grafiğinin oluşturulmasındaki değişiklikleri araştırdı ve analiz etti;
3) denklem grafikleri, Graph Master v 1.1, Microsoft Excel ve diğerleri grafik programları kullanılarak oluşturulmuştur;
Çalışmayı yazarken eğitim literatürü, İnternet kaynakları kullandık, Microsoft Word, Paint, Formula Editor, Microsoft Excel gibi programlarda çalıştık.
Araştırma konusunun çok yönlü olduğu ortaya çıktı ve hem araştırma aşamasında hem de işi yazarken ve tasarlarken tamamen yeni beceriler gerektiriyordu.
Grafik çizmek, matematiksel formüller yazmak için programlarla ilgili bu pratik deneyim ve ayrıca edinilen araştırma becerileri, bu işlevleri çizerken modülle diğer işlevlerin ve denklemlerin incelenmesi de dahil olmak üzere daha sonraki eğitim faaliyetlerinde tarafımızdan kullanılacaktır.
Kullanılan literatür listesi
1. Matematik. Cebir. fonksiyonlar. Veri analizi. 9. Sınıf: M.: Proc. genel eğitim için kurumlar / G. V. Dorofeev, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich, L. V. Kuznetsova, S. S. Minaeva; Ed. G. V. Dorofeeva. – 5. baskı, basmakalıp. – M.: Bustard, 2004. – 352 s.: hasta.
2. Teknik okullar için yüksek matematik kursu. I. F. Suvorov, Moskova - 1967.
3. Matematik. Cebir ve temel fonksiyonlar. M. I. Abramoviç, M. T. Starodubtsev.
4. AG Öğretmen için Mordkovich Kitabı. Öğretmenlerle konuşmalar. Moskova - "Onyx 21. yüzyıl", "Dünya ve Eğitim", 2005
5. Seçmeli ders. Modül ile tanışın! Cebir. 8-9. Sınıflar Baukova T.T.-Volgograd: ITD "Coripheus" - 96 s.
internet kaynakları
http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 %BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
Modülün işaretini içeren fonksiyonların grafiklerinin oluşturulması.
Umarım 23. noktayı dikkatlice incelemişsinizdir ve bir görüntüleme işlevi ile bir . Şimdi grafik çizerken size yardımcı olacak birkaç örneğe daha göz atalım.
Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiğini çizin
Formun bir fonksiyonuna sahibiz, burada .
1. Önce bir alt modüler fonksiyonun, yani bir fonksiyonun grafiğini oluşturuyoruz. Bunu yapmak için, bu kesrin tamsayı kısmını seçin. Bunun iki şekilde yapılabileceğini hatırlatırım: payı "bir sütunda" paydaya bölerek veya payda paydanın katı olan bir ifade görünecek şekilde boyayarak. İkinci şekilde tüm parçayı seçelim.
Yani altında modüler fonksiyon forma sahip 
. Dolayısıyla grafiği 1 birim sağa ve 3 birim yukarı kaydırılmış formun bir hiperbolüdür.
Bu grafiği oluşturalım.
2. İstenen fonksiyonun grafiğini elde etmek için, fonksiyonun grafiğinin Ox ekseninin üzerinde kalan kısmını olduğu gibi bırakmak ve grafiğin Ox ekseninin altında kalan kısmını simetrik olarak üstte göstermek gerekir. yarım düzlem. Bu dönüşümleri yapalım.
Grafik oluşturuldu.
Grafiğin x ekseni ile kesişme noktasının apsisi, denklem çözülerek hesaplanabilir.
y = 0, yani . Bunu anladık.
Artık grafiğe göre fonksiyonun tüm özelliklerini belirleyebilir, fonksiyonun aralıktaki en küçük ve en büyük değerlerini bulabilir, bir parametre ile problem çözebilirsiniz.
Örneğin, bu soruyu cevaplayabilirsiniz. “Parametrenin hangi değerleri için a denklemin tam olarak bir çözümü var mı?
düz çizelim y=a parametrenin farklı değerleri için a. (aşağıdaki şekilde ince kırmızı çizgiler)
Görülüyor ki, eğer a<0 , o zaman oluşturulan fonksiyonun grafiği ve düz çizginin ortak noktaları yoktur, bu da denklemin tek bir çözümü olmadığı anlamına gelir.
Eğer bir 0< a<3 veya bir>3, ardından düz çizgi y=a ve oluşturulan grafiğin iki ortak noktası vardır, yani denklemin iki çözümü vardır.
Eğer bir = 0 veya bir = 3, o zaman denklemin tam olarak bir çözümü vardır, çünkü bu değerler için a Bir fonksiyonun doğrusu ve grafiğinin tam olarak bir ortak noktası vardır.
Örnek 2 Bir fonksiyon çiz
Çözüm
Önce x'in negatif olmayan değerleri için fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım. Eğer , o zaman bizim fonksiyonumuz da formu alır ve istenen fonksiyon formun bir fonksiyonudur .
Fonksiyonun grafiği, parabolün sola "yönlendirilmiş" dalıdır, 4 birim kaydırılmıştır Sağ. (Çünkü hayal edebiliyoruz 
).
Bu fonksiyonu çizelim
ve sadece Oy ekseninin sağında bulunan kısmını ele alacağız. Gerisini sileceğiz.
Lütfen y ekseni üzerinde uzanan grafik noktasının ordinat değerini hesapladığımıza dikkat edin. Bunun için x = 0'da fonksiyonun değerini hesaplamak yeterlidir. x = 0 var y=2.
Şimdi fonksiyonu çizelim X< 0 . Bunu yapmak için, Oy eksenine göre önceden oluşturduğumuza simetrik bir çizgi oluşturacağız.
Böylece, istenen fonksiyonun bir grafiğini oluşturduk.
Örnek 3. Bir fonksiyonun grafiğini çizin
Bu artık kolay bir iş değil. Burada bir modüle sahip her iki işlev türünün de bulunduğunu görüyoruz: ve , ve . Sırayla oluşturalım:
İlk olarak, fonksiyon grafiğini tüm modüller olmadan çizelim: Ardından, her argüman için modülü ekleyin. Formun bir fonksiyonunu elde ederiz, yani . Böyle bir grafik oluşturmak için Oy ekseni etrafında simetri uygulamanız gerekir. Harici bir modül ekleyelim. Son olarak, istenen işlevi elde ederiz. Bu fonksiyon bir öncekinden harici bir modül kullanılarak elde edildiğinden, formda bir fonksiyona sahibiz, bu da Öküz'e göre simetri uygulamanın gerekli olduğu anlamına gelir.
Şimdi Dahası.
Bu bir kesirli doğrusal fonksiyondur, bir grafik oluşturmak için tamsayı kısmını seçmeniz gerekir ki biz bunu yapacağız.
Bu, bu fonksiyonun grafiğinin 2 sağa ve 4 aşağı kaydırılmış formun bir hiperbol olduğu anlamına gelir.
Koordinat eksenleri ile kesişme noktalarının koordinatlarını hesaplayalım.
x = 0'da y = 0, yani grafik orijinden geçecektir.
2. Şimdi fonksiyonu çizelim.
Bunu yapmak için orijinal grafikte önce Oy ekseninin solunda bulunan kısmını silin:
ve ardından Oy ekseni etrafında simetrik olarak görüntüleyin. Lütfen asimptotların da simetrik olarak gösterildiğine dikkat edin!
Şimdi fonksiyonun son grafiğini oluşturalım: . Bunu yapmak için, önceki grafiğin Öküz ekseninin üzerinde kalan kısmını değiştirmeden bırakacağız ve Öküz ekseninin altında kalan kısmı simetrik olarak üst yarı düzlemde göstereceğiz. Yine, asimptotların grafikle birlikte gösterildiğini unutmayın!
Grafik oluşturuldu.
Örnek 4: Çeşitli grafik dönüşümlerini kullanarak bir fonksiyon çizin 
Tamamen çarpık ve karmaşık bir şey! Tonlarca modül! Ve x-karenin modülü yok!!! İnşa etmek imkansız!
Öyle ya da böyle, komplo tekniğine aşina olmayan ortalama bir 8. sınıf öğrencisi tartışabilir.
Ama biz değil! Çünkü fonksiyon grafiklerini dönüştürmenin FARKLI yollarını biliyoruz ve modülün farklı özelliklerini de biliyoruz.
Öyleyse sırayla başlayalım.
İlk sorun, x kare için bir modülün olmamasıdır. Sorun değil. Biz biliyoruz ki . İyi. Böylece fonksiyonumuz şu şekilde yazılabilir: 
. Bu zaten daha iyi, çünkü öyle görünüyor.
daha uzağa. İşlevin harici bir modülü vardır, bu nedenle bir işlevi çizmek için kuralları kullanmanız gerekecek gibi görünüyor. O zaman bir alt modül ifadesinin ne olduğunu görelim. Bu, formun bir işlevidir 
. -2 değilse, fonksiyon yine harici bir modül içerecektir ve biz fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğimizi biliyoruz. 
simetrileri kullanarak. Aha! Ama sonuçta, eğer onu inşa edersek, o zaman 2 birim aşağı kaydırırsak, aradığımızı elde ederiz!
Yani bir şeyler ortaya çıkmaya başlıyor. Bir grafiği çizmek için bir algoritma oluşturmaya çalışalım.
1. 
5.
Ve sonunda . Öküz ekseninin altında kalan her şey, üst yarım düzlemde simetrik olarak görüntülenecektir.
Yaşasın! Takvim hazır!
Çizelgeleme konusundaki sıkı çalışmanızda iyi şanslar!
Modulo işareti belki de matematikteki en ilginç olaylardan biridir. Bu bağlamda, birçok okul çocuğu, bir modül içeren fonksiyonların grafiklerinin nasıl oluşturulacağı sorusuna sahiptir. Bu konuyu ayrıntılı olarak inceleyelim.
1. Modül içeren çizim fonksiyonları
örnek 1
y = x 2 – 8|x| fonksiyonunu çizin. + 12.
Çözüm.
Fonksiyonun paritesini tanımlayalım. y(-x) değeri, y(x) değeri ile aynıdır, yani bu fonksiyon çifttir. O halde grafiği Oy eksenine göre simetriktir. x ≥ 0 için y \u003d x 2 - 8x + 12 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz ve eksi x için Oy'a göre grafiği simetrik olarak gösteriyoruz (Şekil 1).
Örnek 2
Bir sonraki grafik y = |x 2 – 8x + 12|'dir.
– Önerilen işlevin aralığı nedir? (y ≥ 0).
- Tablo nasıl? (X ekseninin üzerinde veya x eksenine dokunarak).
Bu, fonksiyonun grafiğinin şu şekilde elde edildiği anlamına gelir: y \u003d x 2 - 8x + 12 fonksiyonunu çizerler, grafiğin Öküz ekseninin üzerinde kalan kısmını ve grafiğin altında kalan kısmını değiştirmeden bırakırlar. apsis ekseni Öküz eksenine göre simetrik olarak görüntülenir (Şek. 2).
Örnek 3
y = |x 2 – 8|x| fonksiyonunu çizmek için + 12| dönüşümlerin bir kombinasyonunu gerçekleştirin:
y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Cevap: şekil 3.
Ele alınan dönüşümler tüm fonksiyon türleri için geçerlidir. Bir tablo yapalım:
2. Formülde "iç içe geçmiş modüller" içeren çizim işlevleri
Bir modül içeren ikinci dereceden bir fonksiyon örneklerinin yanı sıra y = f(|x|), y = |f(x)| ve y = |f(|x|)|. Bu dönüşümler, aşağıdaki örneği incelerken bize yardımcı olacaktır.
Örnek 4
y = |2 – |1 – |x||| biçiminde bir fonksiyon düşünün. İşlevi tanımlayan ifade "iç içe geçmiş modüller" içerir.
Çözüm.
Geometrik dönüşümler yöntemini kullanıyoruz.
Bir ardışık dönüşüm zincirini yazalım ve ilgili çizimi yapalım (Şekil 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Simetri ve paralel öteleme dönüşümlerinin çizim için ana teknik olmadığı durumları ele alalım.
Örnek 5
Y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 biçimindeki bir fonksiyonun grafiğini oluşturun.
Çözüm.
Bir grafik oluşturmadan önce, işlevi tanımlayan formülü dönüştürür ve işlevin başka bir analitik tanımını elde ederiz (Şekil 5). 
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Paydadaki modülü genişletelim:
x > -2 için, y = x - 2 ve x için< -2, y = -(x – 2).
Etki alanı D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Aralık E(y) = (-4; +∞).
Grafiğin koordinat ekseniyle kesiştiği noktalar: (0; -2) ve (2; 0).
Fonksiyon, (-∞; -2) aralığından tüm x'ler için azalır, x için -2'den +∞'a artar.
Burada modülün işaretini ortaya çıkarmak ve her durum için fonksiyonu çizmek zorundaydık.
Örnek 6
y = |x + 1| fonksiyonunu ele alalım. – |x – 2|.
Çözüm.
Modülün işaretini genişleterek, alt modül ifadelerinin tüm olası işaret kombinasyonlarını dikkate almak gerekir.
Dört olası durum vardır:
(x + 1 - x + 2 = 3, x ≥ -1 ve x ≥ 2 ile;
(-x - 1 + x - 2 = -3, x ile< -1 и x < 2;
(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x ≥ -1 ve x için< 2;
(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x ile< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Ardından, orijinal işlev şöyle görünecektir:
(3, x ≥ 2 için;
y = (-3, x'te< -1;
(2x – 1, -1 ≤ x ile< 2.
Grafiği Şekil 6'da gösterilen parçalı bir fonksiyon elde ettik.
3. Formun fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmak için algoritma
y = bir 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + bir n |x – x n | + balta + b.
Önceki örnekte, modül işaretlerini genişletmek yeterince kolaydı. Daha fazla modül toplamı varsa, alt modül ifadelerinin tüm olası işaret kombinasyonlarını dikkate almak sorunludur. Bu durumda fonksiyonun grafiğini nasıl çizebiliriz?
Grafiğin, -1 ve 2 apsisleri olan noktalarda köşeleri olan bir çoklu çizgi olduğuna dikkat edin. x = -1 ve x = 2 için, alt modül ifadeleri sıfıra eşittir. Pratik bir şekilde, bu tür grafikleri oluşturma kuralına yaklaştık:
y = a 1 |x – x 1 | biçimindeki bir fonksiyonun grafiği + a 2 |x – x 2 | + … + bir n |x – x n | + ax + b, sonsuz son bağlantılara sahip kırık bir çizgidir. Böyle bir sürekli çizgi oluşturmak için, tüm köşelerini (köşe apsisleri alt modül ifadelerinin sıfırlarıdır) ve sol ve sağ sonsuz bağlantılarda birer kontrol noktası bilmek yeterlidir. 
Bir görev.
y = |x| fonksiyonunu çizin. + |x – 1| + |x + 1| ve en küçük değerini bulun.
Çözüm:
Alt modül ifadelerinin sıfırları: 0; -bir; 1. Sürekli çizginin köşeleri (0; 2); (-13); (13). Kontrol noktası sağda (2; 6), solda (-2; 6). Bir grafik oluşturuyoruz (Şekil 7). min f(x) = 2.
Sormak istediğiniz bir şey var mı? Modüllü bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Modüllerle yaygın örnekler şunlardır: modülde denklem tipi modülü.Çift modül bir formül olarak yazılabilir.
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Eğer k=0 ise, o zaman modülü olan böyle bir denklemi grafik bir yöntem kullanarak çözmek daha kolaydır. Bu gibi durumlarda modüllerin klasik olarak açıklanması külfetlidir ve kontroller ve testler üzerinde istenen etkiyi (zamandan tasarruf) sağlamaz. Grafik yöntem, kısa sürede modüler fonksiyonlar oluşturmanıza ve denklemin kök sayısını bulmanıza olanak tanır.
İkili, üçlü bir modül oluşturma algoritması oldukça basittir ve birçoğu aşağıdaki örnekleri beğenecektir. Aşağıdaki metodolojiyi pekiştirmek için kendi kendine hesaplama örnekleri verilmiştir.
örnek 1 ||x-3|-5|=3 modülündeki denklem modülünü çözün.
Çözüm: Denklemi modüllerle klasik yöntemle ve grafiksel olarak çözüyoruz. Dahili modülün sıfırını bulun
x-3=0 x=3.
x=3 noktasında, modüllü denklem 2'ye bölünür. Ek olarak, iç modülün sıfırı, modül grafiğinin bir simetri noktasıdır ve denklemin sağ tarafı sabitse, kökler bu noktadan aynı uzaklıkta bulunur. Yani, iki denklemden birini çözebilir ve bu koşuldan kalan kökleri hesaplayabilirsiniz.
x>3 için iç modülü genişletelim
|x-3-5|=3; |x-8|=3 .
Modülü genişletirken ortaya çıkan denklem 2'ye bölünür
Alt modüler fonksiyon >0
x-8=3; x=3+8=11;
ve değerler için< 0
получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Denklemin her iki kökü de x>3 koşulunu sağlar, yani çözümdür.
Yukarıda yazılan modüllerle denklemin çözümlerinin simetri kuralı göz önüne alındığında, x için denklemin köklerini arayamayız.< 3,
которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3 ,
ve bunları hesaplayın.
x=11 için değer x=3'e göre simetriktir
x=3-(11-3)=6-11=-5.
Aynı formülü kullanarak ikinci çözümü buluyoruz.
x=3-(5-3)=6-5=1.
Modülde verilen modül denkleminin 4 çözümü vardır
x=-5; x=1; x=5; x=11.
Şimdi çözümler bulalım modül grafik yöntemi ile denklemler. Dahili modülden |x-3| Bundan, fonksiyonun standart modülünün grafiğinin Öküz ekseni boyunca sağa 3 kaydırıldığı sonucu çıkar.
Ayrıca - 5 çıkarmak, grafiğin Oy ekseni boyunca 5 hücre düşürülmesi gerektiği anlamına gelir. Ortaya çıkan fonksiyonun modülünü elde etmek için, Öküz ekseninin altındaki her şeyi simetrik olarak yansıtırız.
Ve son olarak, Ox eksenine paralel bir y=3 düz çizgisi çiziyoruz. Modüllerle denklemleri hesaplamak için kutudaki bir not defterini grafiksel olarak kullanmak en iyisidir, çünkü içinde grafikler oluşturmak uygundur.
Modül grafiğinin son şekli şuna benzer:
Fonksiyonun modülü ile y=3 doğrusunun kesişme noktaları ve istenen çözümler x=-5;x=1; x=5;x=11 .
Modül genişletmeye göre grafiksel yöntemin avantajı için basit denklemler açıkça. Ancak sağ taraf k*x+m gibi göründüğünde yani apsis eksenine açılı olarak eğimli düz bir çizgi olduğunda kök aramak grafiksel olarak sakıncalıdır.
Burada bu tür denklemleri ele almayacağız.
Örnek 2 ||2x-3|-2|=2 denkleminin kaç kökü vardır?
Çözüm: Sağ Taraf sabittir, bu nedenle grafiksel bir yöntem kullanarak bir çözüm bulma olasılığı daha yüksektir. İç modül sıfıra gider
|2x-3|=0 x=3/2=1,5
x=1.5 noktasında.
Böylece y=|2x| fonksiyonunun grafiğini bu noktaya kaydırıyoruz. İnşa etmek için birkaç noktayı değiştirin ve içlerinden düz çizgiler çizin. Ortaya çıkan fonksiyondan 2 çıkarırız, yani grafiği iki aşağı indiririz ve modülü elde etmek için aktarırız negatif değerler(y< 0)
симметрично относительно оси Ox
.
Verilen denklemin üç çözümü olduğunu görüyoruz.
Örnek 3 |||x+1|-2|-5|=a modüllü denklemin a parametresinin hangi değeri için 5 çözümü var?
Çözüm: İç içe geçmiş üç modülden oluşan bir denklemimiz var. ile cevabı bul grafik analiz. Her zamanki gibi dahili modülden başlayalım. sıfıra gider
|x+1|=0x=-1
x=-1 noktasında.
Fonksiyonun modülünü bu noktada çiziyoruz
Fonksiyonun modülünün grafiğini tekrar 5 aşağı kaydıralım ve fonksiyonun negatif değerlerini simetrik olarak aktaralım. Sonuç olarak, elde ederiz Sol Taraf modüllü denklemler
y=|||x+1|-2|-5| .
a parametresi, fonksiyonun modülünün grafiğini 5 noktada geçmesi gereken paralel çizginin değerine karşılık gelir. Önce böyle düz bir çizgi çiziyoruz, sonra Oy ekseni ile kesişme noktasını arıyoruz.
Bu düz bir çizgidir y=3 , yani gerekli parametre a=3'e eşittir.
Modül genişletme yöntemi bu görev Daha fazlasını değilse bile tüm dersi çözebilirsin. Burada her şey birkaç tabloya bağlı.
Cevap: a=3 .
Örnek 4 |||3x-3|-2|-7|=x+5 denkleminin kaç çözümü vardır?
Çözüm: Denklemin iç modülünü genişletin
|3x-3|=0<=>x=3/3=1.
y=|3x-3| fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz. Bunu yapmak için, bulunan noktadan x'in bir hücresinin değişmesi için, y'ye 3 hücre ekleyin. Denklemin köklerinin yapımını bir kutu içinde bir defterde gerçekleştirin, ben de bunun Maple ortamında nasıl yapılabileceğini anlatacağım.
Restart; with(plots): Tüm değişkenleri sıfıra eşitleyin ve grafiklerle çalışmak için modülü bağlayın.
> arsa(mutlak(3*x-3),x=-2..4):
Ardından, grafiği 2 hücre aşağı indiririz ve negatif değerleri simetrik olarak aktarırız (y<0)
.
İki dahili modülün grafiğini alalım Ortaya çıkan grafiği bir ikili indirip simetrik olarak yansıtıyoruz. grafik al
y=||3x-3|-2|.
Matematik paketinde akçaağaç bu, başka bir modül yazmaya eşdeğerdir
>arsa(mutlak(mutlak(3*x-3)-2),x=-2..4):
Grafiği yedi birim aşağı kaydırın ve simetrik olarak aktarın. Fonksiyonun grafiğini alın
y=|||3x-3|-2|-7|
Maple'da bu, aşağıdaki kod bandına eşdeğerdir
> arsa(mutlak(mutlak(mutlak(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):
İki noktadan y=x+5 doğrusunu çiziyoruz. Birincisi, düz bir çizginin apsis ekseni ile kesişmesidir.