deşifre metni
1 6-11. Sınıflardaki öğrencilerin eğitim ve araştırma çalışmalarının bölgesel bilimsel ve pratik konferansı "Matematiğin uygulamalı ve temel soruları" Matematik çalışmanın metodolojik yönleri Gabova Anzhela Yurievna, 10. sınıf, MOBU "Gymnasium 3 modülünü içeren fonksiyonların grafiklerinin oluşturulması " Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, matematik öğretmeni, MOBU "Gymnasium 3", Kudymkar, Perm, 2016
2 İçindekiler: Giriş...sayfa 3 I. Ana bölüm...sayfa 6 1.1 Tarihsel referans.. 6 sayfa 2.Fonksiyonların temel tanımları ve özellikleri sayfa 2.1 ikinci dereceden fonksiyon..7 sayfa 2.2 Lineer fonksiyon...8 sayfa 2.3 Kesirli-rasyonel fonksiyon sayfa 8 3. Modül ile grafik algoritmaları 9 sayfa 3.1 Modülün tanımı.. 9 sayfa. doğrusal fonksiyon with module...9 s.3.3 Formülde "iç içe geçmiş modüller" içeren fonksiyonların grafiği.10 s.3.5 Modüllü ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için algoritma 14 s.3.6 Kesirli rasyonel bir grafiğin grafiğini oluşturmak için algoritma modülü ile işlev. 15p. 4. Mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğindeki değişiklikler ..17str. II. Sonuç ... 26 s.III. Referanslar ve kaynaklar listesi...27 s.IV. Uygulama....28s. 2
3 Giriş Grafik fonksiyonları, okul matematiğindeki en ilginç konulardan biridir. Zamanımızın en büyük matematikçisi Israel Moiseevich Gelfand şöyle yazdı: “Çizim oluşturma süreci, formülleri ve tanımları geometrik görüntülere dönüştürmenin bir yoludur. Bu çizim, formülleri ve işlevleri görmenin ve bu işlevlerin nasıl değiştiğini görmenin bir yoludur. Örneğin, y \u003d x 2 yazılırsa, hemen bir parabol görürsünüz; y = x 2-4 ise, dört birim alçaltılmış bir parabol görürsünüz; y \u003d - (x 2 4) ise, önceki parabolün geri çevrildiğini görürsünüz. Formülü bir anda görme ve geometrik yorumlama yeteneği, yalnızca matematik çalışması için değil, diğer konular için de önemlidir. Bisiklete binmeyi, yazı yazmayı veya araba sürmeyi öğrenmek gibi, ömür boyu sizinle kalan bir beceri." Modüllerle denklem çözmenin temelleri 6. 7. sınıfta elde edildi. Bu özel konuyu seçtim çünkü daha derin ve kapsamlı bir çalışma gerektirdiğine inanıyorum. Bir sayının modülü, mutlak değerin işaretini içeren grafikleri çizmenin farklı yolları hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorum. Doğruların, parabollerin, hiperbollerin "standart" denklemleri, modülün işaretini içerdiğinde, grafikleri alışılmadık ve hatta güzel hale gelir. Bu tür grafiklerin nasıl oluşturulacağını öğrenmek için, temel şekilleri oluşturma tekniklerinde ustalaşmanız ve bir sayının modülünün tanımını kesin olarak bilmeniz ve anlamanız gerekir. Okul matematik dersinde modüllü grafikler yeterince derinlemesine ele alınmıyor, bu yüzden bu konudaki bilgimi genişletmek, kendi araştırmamı yapmak istedim. Modülün tanımını bilmeden mutlak değer içeren en basit grafiği bile oluşturmak imkansızdır. Karakteristik özellik modulo işaretli ifadeler içeren fonksiyon grafikleri, 3
4, modül işareti altındaki ifadenin işaret değiştirdiği noktalarda bükülmelerin varlığıdır. Çalışmanın amacı: modül işareti altında bir değişken içeren doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli rasyonel fonksiyonların bir grafiğinin oluşturulmasını düşünmek. Görevler: 1) Doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli-rasyonel fonksiyonların mutlak değerinin özellikleri hakkındaki literatürü incelemek. 2) Mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak fonksiyonların grafiklerindeki değişimleri inceler. 3) Denklem grafiklerini çizmeyi öğrenin. Çalışmanın amacı: doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri. Çalışma konusu: mutlak değer işaretinin konumuna bağlı olarak doğrusal, ikinci dereceden ve kesirli rasyonel fonksiyonların grafiğindeki değişiklikler. Çalışmamın pratik önemi şunda yatmaktadır: 1) bu konuda edinilen bilgileri kullanmak, derinleştirmek ve diğer fonksiyonlara ve denklemlere uygulamak; 2) becerilerin kullanımında Araştırma çalışması gelecekte Öğrenme aktiviteleri. İlgililik: Grafik ödevleri geleneksel olarak matematiğin en zor konularından biridir. Mezunlarımız, GIA ve Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçme sorunu ile karşı karşıyadır. Araştırma problemi: GIA'nın ikinci kısmından modül işaretini içeren çizim fonksiyonları. Araştırma hipotezi: temelinde geliştirilen uygulama ortak yollar modülün işaretini içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmak, GIA'nın ikinci bölümündeki görevleri çözme yöntemleri, öğrencilerin bu görevleri çözmelerine izin verecektir 4
5 bilinçli olarak en akılcı çözüm yöntemini seçer, uygular farklı yöntemler karar verir ve GIA'yı başarıyla geçer. Çalışmada kullanılan araştırma yöntemleri: 1. Bu konuyla ilgili matematiksel literatürün ve İnternet kaynaklarının analizi. 2. Çalışılan materyalin üreme üremesi. 3. Bilişsel arama etkinliği. 4. Sorunlara çözüm arayışında verilerin analizi ve karşılaştırılması. 5. Hipotezlerin beyanı ve doğrulamaları. 6. Matematiksel gerçeklerin karşılaştırılması ve genelleştirilmesi. 7. Elde edilen sonuçların analizi. Bu eser yazılırken şu kaynaklar kullanıldı: İnternet kaynakları, OGE testleri, matematik literatürü. 5
6 I. Ana bölüm 1.1 Tarihsel arka plan. 17. yüzyılın ilk yarısında fonksiyon kavramı, bir değişkenin diğerine bağımlılığı olarak şekillenmeye başladı. Böylece, Fransız matematikçiler Pierre Fermat () ve Rene Descartes (), bir eğri noktasının ordinatının apsisine bağımlılığı olarak bir fonksiyon hayal ettiler. Ve İngiliz bilim adamı Isaac Newton (), işlevi zamana bağlı olarak değişen hareket eden bir noktanın koordinatı olarak anladı. "İşlev" terimi (Latince işlev performansından, komisyondan) ilk olarak Alman matematikçi Gottfried Leibniz () tarafından tanıtıldı. Bir işlevi geometrik bir görüntüyle (bir işlevin grafiği) ilişkilendirdi. Daha sonra İsviçreli matematikçi Johann Bernoulli () ve St. Petersburg Bilimler Akademisi üyesi, 18. yüzyılın ünlü matematikçisi Leonard Euler () fonksiyonu analitik bir ifade olarak ele aldı. Euler ayrıca bir değişkenin diğerine bağımlılığı olarak bir fonksiyon hakkında genel bir anlayışa sahiptir. "Modül" kelimesi, çeviride "ölçü" anlamına gelen Latince "modulus" kelimesinden gelir. Bu, birçok anlamı olan ve sadece matematikte değil, mimarlık, fizik, mühendislik, programlama ve diğer kesin bilimlerde de kullanılan çok değerli bir kelimedir (homonim). Mimaride bu, belirli bir mimari yapı için kurulan ve onu oluşturan unsurların çoklu oranlarını ifade etmek için kullanılan ilk ölçü birimidir. Mühendislikte bu, teknolojinin çeşitli alanlarında kullanılan, evrensel bir anlamı olmayan ve çeşitli katsayıları ve miktarları, örneğin, kavrama modülü, esneklik modülü, vb. ifade etmeye yarayan bir terimdir. 6
7 Bulk modülü (fizikte), malzemedeki normal gerilimin bağıl uzamaya oranıdır. 2.Fonksiyonların temel tanımları ve özellikleri Fonksiyon, en önemli matematiksel kavramlardan biridir. Bir fonksiyon, y değişkeninin x değişkenine öyle bir bağımlılığıdır ki burada x değişkeninin her değeri, y değişkeninin tek bir değerine karşılık gelir. Bir fonksiyonu ayarlama yolları: 1) analitik yöntem (fonksiyon, Matematik formülü); 2) tablo yöntemi (işlev tablo kullanılarak belirtilir); 3) tanımlayıcı yöntem (işlev, sözlü bir açıklama ile verilir); 4) grafik yöntem (işlev bir grafik kullanılarak ayarlanır). Bir fonksiyonun grafiği, apsisleri argümanın değerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir ve ordinatlar, fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir. 2.1 İkinci dereceden fonksiyon y=ax 2 +in+c formülü ile tanımlanan, burada x ve y değişkendir ve a, b ve c parametreleri herhangi bir gerçek sayıdır ve a = 0, ikinci dereceden fonksiyon olarak adlandırılır. y \u003d ax 2 + in + c fonksiyonunun grafiği bir paraboldür; parabolün simetri ekseni y \u003d ax 2 + in + c düz bir çizgidir, a> 0 için parabolün "dalları" yukarı doğru yönlendirilir, a için<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7
8 (bir değişkenli fonksiyonlar için). Doğrusal fonksiyonların ana özelliği, fonksiyonun artışının bağımsız değişkenin artışıyla orantılı olmasıdır. Yani fonksiyon, doğru orantılılığın bir genellemesidir. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir, bu nedenle adı. Bu, bir gerçek değişkenin gerçek bir işlevi ile ilgilidir. 1) At, düz çizgi x ekseninin pozitif yönü ile dar bir açı oluşturur. 2) Doğru, x ekseninin pozitif yönü ile geniş bir açı oluşturduğunda. 3), çizginin y ekseni ile kesiştiği noktanın ordinatının bir göstergesidir. 4) Doğru orijinden geçtiğinde. , 2.3 Kesirli-rasyonel fonksiyon, payı ve paydası polinom olan bir kesirdir. Herhangi bir sayıda değişkende polinomların bulunduğu forma sahiptir. Bir değişkenin rasyonel fonksiyonları özel bir durumdur: burada ve polinomlardır. 1) Dört aritmetik işlem kullanılarak değişkenlerden elde edilebilen herhangi bir ifade rasyonel bir fonksiyondur. 8
9 2) Rasyonel fonksiyonlar kümesi aritmetik işlemler ve birleştirme işlemleri altında kapatılır. 3) Herhangi bir rasyonel fonksiyon, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir - bu, analitik entegrasyonda kullanılır .., 3. a negatifse, bir modülle grafikler oluşturmak için algoritmalar. a = 3.2 Modüllü doğrusal bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için algoritma y= x fonksiyonlarının grafiklerini çizmek için, pozitif x için x = x'e sahip olduğumuzu bilmeniz gerekir. Bu, argümanın pozitif değerleri için y=x grafiğinin y=x grafiğiyle çakıştığı, yani grafiğin bu kısmının orijinden x-'e 45 derecelik bir açıyla çıkan bir ışın olduğu anlamına gelir. eksen. x için< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9
10 Yapılandırma için (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) puanları alıyoruz. Şimdi bir y= x-1 grafiği oluşturalım. Eğer A, koordinatları (a; a) olan y= x grafik noktası ise, o zaman Y ordinatının aynı değerine sahip y= x-1 grafik noktası A1 noktası olacaktır. (bir+1; bir). İkinci grafiğin bu noktası, birinci grafiğin A(a; a) noktasından Öküz eksenine paralel olarak sağa kaydırılarak elde edilebilir. Bu, y= x-1 fonksiyonunun grafiğinin tamamının, y= x fonksiyonunun grafiğinden Öküz eksenine paralel 1 sağa kaydırılarak elde edildiği anlamına gelir. Grafikleri oluşturalım: y= x-1 İnşa etmek için, (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1) puan alıyoruz. 3.3 Formülde "iç içe geçmiş modüller" içeren fonksiyonların grafiklerinin oluşturulması Belirli bir örnek kullanarak oluşturma algoritmasını ele alalım.
11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Fonksiyonun bir grafiğini oluşturuyoruz. 2. Alt yarım düzlemin grafiğini OX eksenine göre yukarı doğru simetrik olarak gösterir ve fonksiyonun grafiğini elde ederiz. on bir
12 3. Fonksiyonun grafiğini OX eksenine göre aşağıya doğru simetrik olarak gösteriyoruz ve fonksiyonun grafiğini elde ediyoruz. 4. Fonksiyonun grafiğini OX eksenine göre aşağı doğru simetrik olarak ekrana getiriyoruz ve fonksiyonun grafiğini elde ediyoruz. 5. Fonksiyonun grafiğini OX eksenine göre gösterip grafiği elde ediyoruz. 12
13 6. Sonuç olarak fonksiyonun grafiği şuna benzer 3.4. y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b biçimindeki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için bir algoritma. Önceki örnekte, modül işaretlerini genişletmek yeterince kolaydı. Daha fazla modül toplamı varsa, alt modül ifadelerinin tüm olası işaret kombinasyonlarını dikkate almak sorunludur. Bu durumda fonksiyonun grafiğini nasıl çizebiliriz? Grafiğin, -1 ve 2 apsisleri olan noktalarda köşeleri olan bir çoklu çizgi olduğuna dikkat edin. x = -1 ve x = 2 için, alt modül ifadeleri sıfıra eşittir. Pratik bir şekilde, bu tür grafikleri oluşturma kuralına yaklaştık: y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b biçimindeki bir fonksiyonun grafiği, sonsuz uç bağlantılara sahip bir sürekli çizgidir. Böyle bir sürekli çizgi oluşturmak için, tüm köşelerini (köşe apsisleri alt modül ifadelerinin sıfırlarıdır) ve sol ve sağ sonsuz bağlantılarda birer kontrol noktası bilmek yeterlidir. 13
14 Görev. y = x + x 1 + x + 1 fonksiyonunu çizin ve en küçük değerini bulun. Çözüm: 1. Alt modül ifadelerinin sıfırları: 0; -1; Çoklu çizgi köşeleri (0; 2); (-13); (1; 3) (alt modül ifadelerinin sıfırları denklemde yerine konur) Bir grafik oluşturuyoruz (Şekil 7), fonksiyonun en küçük değeri, fonksiyon grafiklerini dönüştürmek için algoritmalar oluşturma modülüyle ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmek için Algoritmadır. 1. y= f(x) fonksiyonunun grafiğinin oluşturulması. Modülün tanımına göre, bu fonksiyon iki fonksiyondan oluşan bir kümeye ayrıştırılır. Bu nedenle, y= f(x) fonksiyonunun grafiği iki grafikten oluşur: y= f(x) sağ yarı düzlemde, y= f(-x) sol yarı düzlemde. Buna dayanarak, bir kural (algoritma) formüle edebiliriz. y= f(x) fonksiyonunun grafiği, y= f(x) fonksiyonunun grafiğinden şu şekilde elde edilir: x 0'da grafik korunur ve x'te< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14
15 3. y= f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için önce x> 0 için, sonra x için y= f(x) fonksiyonunun grafiğini çizmelisiniz.< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15
16 Bu grafiği elde etmek için önceden elde edilen grafiği üç birim sağa kaydırmak yeterlidir. Kesrin paydası x + 3 olsaydı grafiği sola kaydırırdık: Şimdi fonksiyonun grafiğini elde etmek için tüm koordinatları iki ile çarpmamız gerekiyor Son olarak grafiği iki birim yukarı kaydırıyoruz : Yapmamız gereken son şey, verilen işlevi modül işaretinin altına alınmışsa çizmektir. Bunu yapmak için, grafiğin ordinatları negatif olan tüm kısmını (x ekseninin altında kalan kısım) simetrik olarak yukarı doğru yansıtırız: Şekil 4 16
17 4. Mutlak değerin işaretinin konumuna bağlı olarak ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğindeki değişiklikler. y \u003d x 2 - x -3 1) fonksiyonunu çizin) x \u003d x, x 0'da olduğundan, gerekli grafik y \u003d 0,25 x 2 - x - 3 parabolü ile çakışır.<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) O halde x'i tamamlıyorum<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17
18 Şek. 4 y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiği, argümanın negatif olmayan değerleri kümesinde y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiği ile çakışır ve y'ye göre simetriktir. -eksen argümanın negatif değerleri kümesinde. Kanıt: Eğer x 0 ise, f(x) = f(x), yani argümanın negatif olmayan değerleri kümesinde, y = f (x) ve y = f (x) fonksiyonlarının grafikleri çakışır. Y \u003d f (x) çift bir işlev olduğundan, grafiği işletim sistemine göre simetriktir. Böylece, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiği, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğinden şu şekilde elde edilebilir: 1. x>0 için y \u003d f (x) fonksiyonunu çizin; 2. x için<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. x için<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х
19 Eğer x 2 - x -6 ise<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 ve simetrik olarak yansıyan kısım y \u003d f (x) y'de<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, sonra f (x) \u003d f (x), yani bu kısımda y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiği, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğiyle çakışır. f(x) ise<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19
20 Şekil.5 Sonuç: y= f(x) fonksiyonunu çizmek için 1. y=f(x) fonksiyonunu çizin; 2. Grafiğin alt yarı düzlemde bulunduğu, yani f(x)'in olduğu alanlarda<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20
21 Fonksiyon grafiklerinin çizilmesi üzerine araştırma çalışması y = f (x) Mutlak değerin tanımını ve daha önce ele alınan örnekleri kullanarak, fonksiyon grafiklerini çiziyoruz: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \u003d x 2-2 ve sonuçlar çıkardı. y = f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için bu gereklidir: 1. x>0 için y = f(x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun. 2. Grafiğin ikinci bölümünü oluşturun, yani oluşturulan grafiği işletim sistemine göre simetrik olarak yansıtın, çünkü bu fonksiyon çifttir. 3. Ortaya çıkan grafiğin alt yarı düzlemde yer alan bölümleri, OX eksenine simetrik olarak üst yarı düzleme dönüştürülmelidir. y \u003d 2 x - 3 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun (modülü belirlemek için 1. yöntem) X< -1,5 и х>1.5 a) y = 2x - 3, x>0 için b) x için<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) x için<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) OS eksenine göre oluşturulmuş olana simetrik bir düz çizgi oluşturuyoruz. 3) Grafiğin alt yarım düzlemde bulunan bölümleri OX ekseni etrafında simetrik olarak görüntülenir. Her iki grafiği karşılaştırdığımızda aynı olduklarını görüyoruz. 21
22 Problem örnekleri Örnek 1. y = x 2 6x +5 fonksiyonunun grafiğini ele alalım. X'in karesi olduğu için, karesini aldıktan sonra x sayısının işareti ne olursa olsun pozitif olacaktır. Bundan, y \u003d x 2-6x +5 fonksiyonunun grafiğinin, y \u003d x 2-6x +5 fonksiyonunun grafiğiyle aynı olacağı sonucu çıkar, yani. mutlak değer işareti içermeyen bir fonksiyonun grafiği (Şekil 2). Şekil 2 Örnek 2. y \u003d x 2 6 x +5 fonksiyonunun grafiğini düşünün. Bir sayının modülünün tanımını kullanarak, y \u003d x 2 6 x +5 formülünü değiştiriyoruz Şimdi bizim için iyi bilinen parçalı bir bağımlılık atamasıyla uğraşıyoruz. Bunun gibi bir grafik oluşturacağız: 1) bir y \u003d x 2-6x +5 parabolü oluşturun ve 22 olan kısmını daire içine alın.
23, negatif olmayan x değerlerine karşılık gelir, yani y ekseninin sağındaki kısım. 2) aynı koordinat düzleminde, bir y \u003d x 2 +6x +5 parabolü oluştururuz ve x'in negatif değerlerine karşılık gelen kısmını daire içine alırız, yani. y ekseninin solundaki kısım. Parabollerin daire içine alınmış kısımları birlikte y \u003d x 2-6 x +5 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturur (Şekil 3). Şekil 3 Örnek 3. y \u003d x 2-6 x +5 fonksiyonunun grafiğini düşünün. Çünkü y \u003d x 2 6x +5 denkleminin grafiği, modül işareti olmayan fonksiyonun grafiğiyle aynıdır (örnek 2'de ele alınmıştır), y \u003d x 2 6 x +5 fonksiyonunun grafiği şu şekildedir: y \u003d x 2 6 x +5 , örnek 2'de ele alınan (Şekil 3) fonksiyonun grafiğiyle aynıdır. Örnek 4. y \u003d x 2 6x +5 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için, y \u003d x 2-6x fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz. Ondan y \u003d x 2-6x fonksiyonunun grafiğini elde etmek için, parabolün her noktasını negatif bir ordinat ile aynı apsise sahip, ancak zıt (pozitif) ordinat ile değiştirmeniz gerekir. Başka bir deyişle, parabolün x ekseninin altında bulunan kısmı, x eksenine göre simetrik olan bir doğru ile değiştirilmelidir. Çünkü y \u003d x 2-6x +5 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmamız gerekiyor, daha sonra y \u003d x 2-6x olarak düşündüğümüz fonksiyonun grafiğinin y ekseni boyunca 5 birim yukarı kaldırılması gerekiyor (Şek. 4). 23
24 Şekil 4 Örnek 5. y \u003d x 2-6x + 5 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için iyi bilinen parçalı işlevi kullanıyoruz. y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 işlevinin sıfırlarını bulun. İki durumu ele alalım: 1) Eğer, o zaman denklem y = x 2 6x -5 şeklini alır. Bu parabolü oluşturalım ve o kısmını yuvarlak içine alalım. 2) Eğer, o zaman denklem y \u003d x 2 + 6x +5 şeklini alır. Bu parabolü oluşturalım ve noktanın solunda bulunan kısmını koordinatlarla daire içine alalım (Şek. 5). 24
25 Şekil 5 Örnek6. y \u003d x 2 6 x +5 fonksiyonunu çizelim. Bunu yapmak için y \u003d x 2-6 x +5 işlevini çizeceğiz. Bu grafiği Örnek 3'te çizdik. Fonksiyonumuz tamamen modül işaretinin altında olduğundan, y \u003d x 2 6 x +5 fonksiyon grafiğini çizmek için, y \u003d x 2 fonksiyonunun grafiğinin her noktasına ihtiyacınız vardır. 6 x + 5 negatif ordinat ile, aynı apsise sahip bir nokta ile değiştirin, ancak zıt (pozitif) ordinat ile, yani. parabolün Öküz ekseninin altında kalan kısmı Öküz eksenine göre simetrik olan bir çizgi ile değiştirilmelidir (Şekil 6). Şekil.6 25
26 II.Sonuç "Matematiksel bilgi, ancak yaratıcı bir şekilde ustalaşılırsa ustaca ve faydalı bir şekilde kullanılabilir, böylece öğrenci ona bağımsız olarak ulaşmanın nasıl mümkün olacağını kendisi görür." BİR. Kolmogorov. Bu görevler, OGE testlerinde çok yaygın olduğu için dokuzuncu sınıf öğrencilerinin büyük ilgisini çekiyor. Bu fonksiyon grafiklerini oluşturma yeteneği, sınavı daha başarılı bir şekilde geçmenizi sağlayacaktır. Fransız matematikçiler Pierre Fermat () ve Rene Descartes (), bir eğri noktasının ordinatının apsisine bağımlılığı olarak bir fonksiyon hayal ettiler. Ve İngiliz bilim adamı Isaac Newton (), işlevi zamana bağlı olarak değişen hareket eden bir noktanın koordinatı olarak anladı. 26
27 III.Referanslar ve kaynaklar listesi 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. 8. sınıflar için cebir problemlerinin toplanması 9: Proc. okul öğrencileri için ödenek. ve derinleşen sınıflar. çalışmak Matematik 2. baskı. M .: Aydınlanma, Dorofeev G.V. Matematik. Cebir. fonksiyonlar. Veri analizi. 9. Sınıf: m34 Proc. genel eğitim çalışmaları için. yönetici 2. baskı, basmakalıp. M .: Bustard, Solomonik V.S. Matematikte soru ve problemlerin toplanması M .: "Yüksek okul", Yashchenko I.V. GİA. Matematik: tipik sınav seçenekleri: options.m hakkında.: "Milli Eğitim", s. 5. Yaşçenko I.V. OGE. Matematik: tipik sınav seçenekleri: options.m hakkında.: "Milli Eğitim", s. 6. Yaşçenko I.V. OGE. Matematik: tipik sınav seçenekleri: options.m hakkında.: "Milli Eğitim", s.
28 Ek 28
29 Örnek 1. y = x 2 8 x Çözüm fonksiyonunu çizin. Fonksiyonun paritesini tanımlayalım. y(-x) değeri, y(x) değeri ile aynıdır, yani bu fonksiyon çifttir. O halde grafiği Oy eksenine göre simetriktir. x 0 için y \u003d x 2 8x + 12 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturuyoruz ve grafiği negatif x için Oy'a göre simetrik olarak gösteriyoruz (Şekil 1). Örnek 2. y \u003d x 2 8x formunun aşağıdaki grafiği Bu, fonksiyonun grafiğinin şu şekilde elde edildiği anlamına gelir: y \u003d x 2 8x + 12 fonksiyonunun bir grafiğini oluştururlar, grafiğin bir kısmını bırakın grafiğin apsis ekseninin altında kalan kısmı Öküz eksenine göre simetrik olarak görüntülenir (Şekil 2). Örnek 3. y \u003d x 2 8 x + 12 işlevini çizmek için bir dönüşüm kombinasyonu gerçekleştirilir: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Yanıt : Şekil 3. Örnek 4 Modül işaretinin altında duran ifade x=2/3 noktasında işaret değiştirmektedir. x'te<2/3 функция запишется так: 29
30 x>2/3 için fonksiyon şu şekilde yazılacaktır: Yani x=2/3 noktası koordinat düzlemimizi iki bölgeye ayırır, bunlardan birinde (sağa) fonksiyonu oluştururuz ve diğer (solda) oluşturduğumuz fonksiyonun grafiği: Örnek 5 Sonraki grafik de bozuk, ancak modül işaretleri altında iki ifade içerdiğinden iki kesme noktası var:
31 Modülleri birinci aralıkta genişletin: İkinci aralıkta: Üçüncü aralıkta: Böylece (- ; 1.5] aralığında birinci denklemin yazdığı grafiği, aralıkta ikinci denklemin yazdığı grafiği elde ederiz, ve aralıkta)