Üslü sayının (e üzeri x'in) türevi için formüllerin ispatı ve türetilmesi ve üstel fonksiyon(a üzeri x). e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yüksek dereceden türevler için formüller.

Üssün türevi üstelin kendisine eşittir (e üzeri x'in türevi eşittir e üzeri x'in):
(1) (e x )' = e x.

Tabanı a olan üstel bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisine eşittir ve a'nın doğal logaritması ile çarpılır:
(2) .

Üssü e üzeri x'in türevi için formülün türetilmesi

Üs, üs tabanı aşağıdaki sınır olan e sayısına eşit olan üstel bir fonksiyondur:
.
Burada doğal veya gerçek bir sayı olabilir. Daha sonra, üssün türevi için formül (1)'i türetiyoruz.

Üslü sayının türevi için formülün türetilmesi

e üssü x'in üssünü ele alalım:
y = e x .
Bu işlev, tümü için tanımlanmıştır. x'e göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3) .

Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgemek için dönüştürelim. Bunun için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
A)Üs özelliği:
(4) ;
B) Logaritma özelliği:
(5) ;
İÇİNDE) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(6) .
Burada, bir limiti olan ve bu limit pozitif olan bir fonksiyon var.
G)İkinci harika sınırın anlamı:
(7) .

Bu gerçekleri limitimize uyguluyoruz (3). Özelliği (4) kullanıyoruz:
;
.

Bir değişiklik yapalım. Daha sonra ; .
Üs sürekliliğinden dolayı,
.
Bu nedenle, , . Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
.

Bir değişiklik yapalım. Daha sonra . , . Ve bizde:
.

Logaritmanın (5) özelliğini uyguluyoruz:
. Daha sonra
.

(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğundan ve logaritma sürekli olduğundan, o zaman:
.
Burada da ikinci dikkate değer limiti (7) kullandık. Daha sonra
.

Böylece, üssün türevi için formül (1)'i elde etmiş oluyoruz.

Üstel fonksiyonun türevi için formülün türetilmesi

Şimdi üstel fonksiyonun a derecesi tabanlı türevi için formül (2)'yi türetiyoruz. Buna inanıyoruz ve . O zaman üstel fonksiyon
(8)
Herkes için tanımlanmış.

Formül (8)'i dönüştürelim. Bunun için kullanıyoruz üstel fonksiyonun özellikleri ve logaritma.
;
.
Böylece, formülü (8) aşağıdaki forma dönüştürdük:
.

e üzeri x'in yüksek dereceli türevleri

Şimdi yüksek mertebeden türevleri bulalım. Önce üsse bakalım:
(14) .
(1) .

(14) fonksiyonunun türevinin (14) fonksiyonunun kendisine eşit olduğunu görüyoruz. (1)'i farklılaştırarak, ikinci ve üçüncü dereceden türevler elde ederiz:
;
.

Bu, n'inci dereceden türevinin de orijinal fonksiyona eşit olduğunu gösterir:
.

Üstel fonksiyonun daha yüksek mertebeden türevleri

Şimdi tabanı a olan bir üstel fonksiyonu ele alalım:
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(15) .

(15)'i farklılaştırarak, ikinci ve üçüncü dereceden türevler elde ederiz:
;
.

Her farklılaşmanın, orijinal fonksiyonun ile çarpılmasına yol açtığını görüyoruz. Bu nedenle, n'inci türev aşağıdaki forma sahiptir:
.

karmaşık türevler. Logaritmik türev.
üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste, işlenen materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevleri ele alacağız ve ayrıca türevi, özellikle logaritmik türevi bulmak için yeni püf noktaları ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.

okuyanlar için düşük seviye hazırlık, makaleye bakın Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenizi sağlayacaktır. Ardından, sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, anlamak ve çözmek Tüm verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak üst üste üçüncü derstir ve bu derste ustalaştıktan sonra, oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede? Ve bu kadar yeter!", çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek kaynaklardan alınmıştır. kontrol işleri ve pratikte sıklıkla karşılaşılır.

Tekrarla başlayalım. Derste Karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrıntılı yorumlarla birkaç örneği inceledik. Diferansiyel hesabı ve matematiksel analizin diğer bölümlerini incelerken, çok sık türev alman gerekecek ve örnekleri ayrıntılı olarak çizmek her zaman uygun (ve her zaman gerekli değil) değildir. Bu nedenle, türevlerin sözlü bulmasında pratik yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar", en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralına göre :

Gelecekte diğer matan konularını incelerken, bu kadar ayrıntılı bir kayıt çoğu zaman gerekli değildir, öğrencinin benzer türevleri otomatik pilotta bulabileceği varsayılır. Farz edelim ki sabah saat 3'te bir telefon görüşmesi ve hoş bir ses sordu: "İki x'in tanjantının türevi nedir?" Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt izlemelidir: .

İlk örnek, hemen bağımsız bir çözüm için tasarlanacaktır.

örnek 1

Aşağıdaki türevleri sözlü olarak tek adımda bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türev tablosu(zaten hatırlamadıysa). Herhangi bir zorluk yaşarsanız, dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dersin sonunda cevaplar

karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlev ekli örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık gelebilir, ancak eğer anlaşılırlarsa (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel analizdeki hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir. Sağ YATIRIMLARI ANLAYIN. Şüpheli durumlarda hatırlatırım faydalı teknik: örneğin "x" deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde) bu değeri "korkunç ifade" ile değiştirmeye çalışırız.

1) İlk önce ifadeyi hesaplamamız gerekiyor, bu yüzden toplam en derin yuvalamadır.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Ardından kosinüsün küpünü alın:

5) Beşinci adımda fark:

6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon Kare kök:

Karmaşık Fonksiyon Farklılaşma Formülü en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru ters sırada uygulanır. karar veriyoruz:

Hata yok gibi...

(1) Karekökün türevini alıyoruz.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alıyoruz

(3) Üçlünün türevi sıfıra eşittir. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alıyoruz.

(5) Logaritmanın türevini alıyoruz.

(6) Son olarak en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir, ancak bu en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm çekiciliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Aşağıdaki örnek, bağımsız bir çözüm içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: Önce doğrusallık kurallarını ve çarpımın farklılaşma kuralını uyguluyoruz.

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Daha kompakt ve güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte iki değil, üç fonksiyonun çarpımının verildiği bir durum için alışılmadık bir durum değildir. türevi nasıl bulunur üçlü ürünlerçarpanlar?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Önce bakıyoruz ama üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü? Örneğin çarpımda iki polinomumuz olsaydı parantezleri açabilirdik. Ancak bu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Bu gibi durumlarda gerekli art ardaürün farklılaştırma kuralını uygula iki kere

İşin püf noktası, "y" için iki işlevin ürününü belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu - bu iki faktörün ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı ikinci kez uygulamak kalıyor parantez içine almak:

Yine de saptırabilir ve köşeli parantezlerden bir şey çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol etmesi daha kolay olacaktır.

Yukarıdaki örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülür.

Kesirler ile benzer örnekleri düşünün.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada birkaç yoldan gidebilirsiniz:

Veya bunun gibi:

Ancak, her şeyden önce, bölümün farklılaşma kuralını kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılabilir. , payın tamamını alarak:

Prensip olarak örnek çözülür ve bu şekilde bırakılırsa hata olmaz. Ancak zamanınız varsa, taslağı kontrol etmeniz her zaman tavsiye edilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün mü? Payın ifadesini ortak bir paydaya getiriyoruz ve üç katlı kesirden kurtulun:

Ek basitleştirmelerin dezavantajı, bir türev bulurken değil, banal okul dönüşümleri yaparken hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle görevi reddeder ve türevini “akla getirmeyi” ister.

Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türevi bulma tekniklerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi farklılaşma için "korkunç" bir logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sürükler - kesirli bir derecenin hoş olmayan bir türevini ve sonra da bir kesirden almanız gerekir.

Bu yüzden önce"süslü" logaritmanın türevi nasıl alınır, daha önce iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:

! Elinizin altında bir alıştırma defteriniz varsa, bu formülleri hemen oraya kopyalayın. Bir defteriniz yoksa, bunları bir kağıda çizin, çünkü dersin geri kalan örnekleri bu formüller etrafında dönecektir.

Çözümün kendisi şu şekilde formüle edilebilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevi buluyoruz:

Fonksiyonun kendisinin ön dönüşümü, çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman "onu parçalamak" tavsiye edilir.

Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tüm dönüşümler ve cevaplar.

logaritmik türev

Logaritmaların türevi bu kadar tatlı bir müzikse, o zaman şu soru ortaya çıkıyor: bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün müdür? Olabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Son zamanlarda düşündüğümüz benzer örnekler. Ne yapalım? Bölümün farklılaşma kuralı ve ardından ürünün farklılaşma kuralı art arda uygulanabilir. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemediğiniz üç katlı devasa bir kesir elde etmenizdir.

Ama teoride ve pratikte logaritmik türev diye harika bir şey var. Logaritmalar, her iki tarafa "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Şimdi sağ tarafın logaritmasını olabildiğince "kırmanız" gerekiyor (formüller gözünüzün önünde mi?). Bu süreci ayrıntılı olarak anlatacağım:

Farklılaşma ile başlayalım.
Her iki bölümü de bir vuruşla bitiriyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basit, onun hakkında yorum yapmayacağım çünkü bu metni okuyorsanız, güvenle halledebilmelisiniz.

Peki ya sol taraf?

sol tarafta bizde karmaşık fonksiyon. “Neden logaritmanın altında bir “y” harfi var?” Sorusunu öngörüyorum.

Gerçek şu ki, bu "bir harf y" - KENDİ BAŞINA BİR FONKSİYONDUR(çok net değilse, dolaylı olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi makalesine bakın). Bu nedenle, logaritma harici bir fonksiyondur ve "y" dahili bir fonksiyondur. Ve bileşik fonksiyon türev kuralını kullanıyoruz :

Sol tarafta, sanki sihir gibi, bir türevimiz var. Ayrıca, orantı kuralına göre, “y” yi sol tarafın paydasından sağ tarafın üstüne atıyoruz:

Ve şimdi ayırt ederken ne tür bir "oyun" işlevinden bahsettiğimizi hatırlıyoruz? Koşula bakalım:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir kendin yap örneğidir. Ders sonunda bu türden bir örneğin örnek tasarımı.

Logaritmik türevin yardımıyla 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkün oldu, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olması ve belki de logaritmik türevin kullanımının pek haklı olmaması.

üstel fonksiyonun türevi

Bu işlevi henüz ele almadık. Üstel bir fonksiyon, sahip bir fonksiyondur. ve derece ve taban "x" e bağlıdır. Herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste size verilecek klasik bir örnek:

Üstel bir fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce ele alınan tekniği - logaritmik türevi - kullanmak gereklidir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, derece sağ taraftaki logaritmanın altından alınır:

Sonuç olarak, sağ tarafta, standart formüle göre farklılaştırılacak iki işlevli bir çarpımımız var. .

Türevi buluyoruz, bunun için her iki parçayı da darbelerin altına alıyoruz:

Sonraki adımlar kolaydır:

Nihayet:

Bazı dönüşümler tamamen açık değilse, lütfen Örnek 11'deki açıklamaları dikkatlice yeniden okuyun.

Pratik görevlerde, üstel fonksiyon her zaman ele alınan ders örneğinden daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabitimiz ve iki faktörün ürünü var - "x" ve "x'in logaritmasının logaritması" (logaritmanın altına başka bir logaritma yerleştirilmiştir). Bir sabitin türevini alırken, hatırladığımız gibi, onu hemen türevin işaretinden çıkarmak daha iyidir, böylece yoluna girmez; ve tabii ki bilindik kuralı uygulayın :

Gördüğünüz gibi, logaritmik türevi uygulama algoritması herhangi bir özel hile veya püf noktası içermez ve üstel fonksiyonun türevini bulmak genellikle "eziyet" ile ilişkilendirilmez.

Tablonun ilk formülünü türetirken, bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımından hareket edeceğiz. nereye gidelim X- herhangi bir gerçek sayı, yani, X– fonksiyon tanımı alanından herhangi bir sayı. Fonksiyon artışının argüman artışına oranının sınırını şurada yazalım:

Limit işareti altında, sıfırın belirsizliğinin sıfıra bölünmesi olmayan bir ifadenin elde edildiğine dikkat edilmelidir, çünkü pay sonsuz küçük bir değer değil, tam olarak sıfır içerir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, sabit bir fonksiyonun türevitüm tanım alanında sıfıra eşittir.

Bir güç fonksiyonunun türevi.

Bir güç fonksiyonunun türevinin formülü şu şekildedir: üs nerede P herhangi bir gerçek sayıdır.

Önce doğal üs formülünü kanıtlayalım, yani p = 1, 2, 3, ...

Bir türevin tanımını kullanacağız. Kuvvet fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım:

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un iki terimli formülüne dönüyoruz:

Buradan,

Bu, doğal bir üs için bir güç fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlar.

Üstel fonksiyonun türevi.

Türev formülünü tanıma dayalı olarak türetiyoruz:

Belirsizliğe geldi. Genişletmek için yeni bir değişken tanıtıyoruz ve için . Daha sonra . Son geçişte, logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullandık.

Orijinal limitte bir ikame yapalım:

İkinci dikkate değer limiti hatırlarsak, üstel fonksiyonun türevi için formüle geliriz:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi.

Herkes için logaritmik fonksiyonun türevinin formülünü ispatlayalım. X kapsamdan ve tüm geçerli temel değerlerden A logaritma. Türevin tanımı gereği, elimizde:

Fark ettiğiniz gibi, ispatta dönüşümler logaritmanın özellikleri kullanılarak gerçekleştirilmiştir. eşitlik ikinci dikkate değer sınır nedeniyle geçerlidir.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri için formüller türetmek için, bazı trigonometri formüllerinin yanı sıra ilk dikkate değer limiti hatırlamamız gerekecek.

Sinüs fonksiyonu için türev tanımına göre, elimizdeki .

Sinüs farkı için formülü kullanıyoruz:

İlk dikkate değer sınıra dönmeye devam ediyor:

Yani fonksiyonun türevi günah x Orada çünkü x.

Kosinüs türevinin formülü tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Bu nedenle, fonksiyonun türevi çünkü x Orada –sin x.

Teğet ve kotanjant için türev tablosu için formüllerin türetilmesi, kanıtlanmış farklılaşma kuralları (bir kesrin türevi) kullanılarak gerçekleştirilecektir.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri.

Türev kuralları ve üstel fonksiyonun türev tablosundan türevi için formül, hiperbolik sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant türevleri için formüller türetmemizi sağlar.

Ters fonksiyonun türevi.

Sunumda karışıklık olmaması için alt dizinde türevin yapıldığı fonksiyonun argümanını, yani fonksiyonun türevi olduğunu gösterelim. f(x)İle X.

Şimdi formüle ediyoruz ters fonksiyonun türevini bulma kuralı.

Fonksiyonlara izin ver y = f(x) Ve x = g(y) karşılıklı olarak ters, aralıklar ve sırasıyla tanımlanır. Bir noktada fonksiyonun sıfırdan farklı sonlu bir türevi varsa f(x), o zaman noktada ters fonksiyonun sonlu bir türevi vardır gr(y), Ve . başka bir girişte .

Bu kural, herhangi bir X aralıktan, sonra elde ederiz .

Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.

Doğal logaritmanın ters fonksiyonunu bulalım. (Burada y bir fonksiyondur ve X- argüman). için bu denklemi çözme X, elde ederiz (burada X bir fonksiyondur ve y onun argümanı). Yani, ve karşılıklı ters fonksiyonlar.

Türev tablosundan şunu görüyoruz Ve .

Ters fonksiyonun türevlerini bulma formüllerinin bizi aynı sonuçlara götürdüğünden emin olalım:

İlk seviye

Fonksiyon türevi. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Dağlık bir alandan geçen düz bir yol hayal edin. Yani yukarı ve aşağı gider ama sağa veya sola dönmez. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir sıfır yükseklik seviyesidir, hayatta deniz seviyesini onun gibi kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken, aynı zamanda yukarı veya aşağı hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket ederek), fonksiyonun değeri değişir (ordinat ekseni boyunca hareket ederek). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim. Bu değer ne olabilir? Çok basit: Belli bir mesafe ilerlediğinde yükseklik ne kadar değişecek? Nitekim, yolun farklı bölümlerinde, bir kilometre boyunca (apis ekseni boyunca) ilerleyerek, yükselecek veya düşeceğiz. farklı miktar deniz seviyesine göre metre (y ekseni boyunca).

İlerlemeyi belirtiyoruz ("delta x" okuyun).

Yunanca harf (delta) matematikte yaygın olarak "değişim" anlamına gelen bir önek olarak kullanılır. Yani - bu, büyüklükteki bir değişikliktir, - bir değişikliktir; o zaman ne? Bu doğru, boyutta bir değişiklik.

Önemli: ifade tek bir varlık, bir değişkendir. "X" veya başka herhangi bir harften "delta"yı asla ayırmamalısınız! Yani, örneğin, .

Böylece, yatay olarak ilerledik. Yolun çizgisini bir fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak, yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani, ilerlerken daha da yükseliriz.

Değeri hesaplamak kolaydır: başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra yükseklikteysek, o zaman. Bitiş noktasının başlangıç ​​noktasından daha düşük olduğu ortaya çıkarsa, negatif olacaktır - bu, yükseldiğimiz değil, alçaldığımız anlamına gelir.

"Dikliğe" geri dön: bu, birim mesafe başına ileri doğru hareket ederken yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Yolun bir bölümünde km ile ilerlerken yolun km yükseldiğini varsayalım. O zaman bu yerdeki diklik eşittir. Ve eğer yol m ilerlerken km batarsa? O zaman eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin zirvesini düşünün. Bölümün başlangıcını yarım kilometre yukarıya ve bitişi - yarım kilometre sonra alırsanız, yüksekliğin neredeyse aynı olduğunu görebilirsiniz.

Yani mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu açıkça doğru değil. Sadece birkaç mil ötede çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir tahmini için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin, bir metre ilerlerken yükseklik değişimini ölçerseniz, sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta, yolun ortasında bir direk varsa, içinden kolayca geçebiliriz. O zaman hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha iyidir!

İÇİNDE gerçek hayat mesafeyi en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle, kavram şuydu: sonsuz küçük, yani modulo değeri adlandırabileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin, diyorsunuz ki: bir trilyonda bir! Ne kadar az? Ve bu sayıyı - ile bölersiniz ve daha da az olur. Ve benzeri. Değerin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra eğilimlidir” okuruz). anlamak çok önemli ki bu sayı sıfıra eşit değil! Ama ona çok yakın. Bu, bölünebileceği anlamına gelir.

Sonsuz küçüğün zıttı kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, modül olarak aklınıza gelebilecek tüm sayılardan daha büyüktür. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, sadece iki ile çarpın ve daha fazlasını elde edin. Ve sonsuzluk olandan bile daha fazlasıdır. Aslında, sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirme ile yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını unutmayın. Ama sonsuz küçüğün sıfıra eşit anlamına gelmediğini hatırlatmama izin verin. Örneğin sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz tamamen sıradan bir sayı elde edebilirsiniz. Yani, küçük bir değer diğerinden tam olarak iki kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar neden? Yol, yokuş... Bir ralliye gitmiyoruz ama matematik öğreniyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, sadece farklı şekilde adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun artışının bağımsız değişkenin sonsuz küçük artışındaki artışına oranıdır.

artış matematikte değişim denir. Eksen boyunca hareket ederken argümanın () ne kadar değiştiği denir. bağımsız değişken artışı ve ile gösterilir Eksen boyunca bir mesafe ileri hareket ederken fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiği denir fonksiyon artışı ve işaretlenir.

Yani, bir fonksiyonun türevi, ne zaman ile olan ilişkisidir. Türevi, işlevle aynı harfle, yalnızca sağ üstten bir vuruşla gösteririz: veya basitçe. Öyleyse, bu notasyonları kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada da fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir.

Ama türev sıfıra eşit mi? Kesinlikle. Örneğin düz bir yatay yolda ilerliyorsak diklik sıfırdır. Aslında, yükseklik hiç değişmez. Yani türev ile: sabit bir fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfırdır.

Tepe örneğini ele alalım. Segmentin uçlarını, uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani segment eksene paralel olacak şekilde tepe noktasının karşıt taraflarına yerleştirmenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler, yanlış ölçümün bir işaretidir. Segmentimizi kendisine paralel yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacaktır.

Sonunda, zirveye sonsuz yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuzca küçülecektir. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilmez, ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede dururken sağa veya sola küçük bir kayma, boyumuzu önemsiz ölçüde değiştirir.

Tamamen cebirsel bir açıklama da var: üst kısmın solunda fonksiyon artıyor ve sağında azalıyor. Daha önce öğrendiğimiz gibi, fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir. Ancak, atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol hiçbir yerde eğimini keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle, negatif ve pozitif değerler arasında olmalıdır. Tepe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynısı vadi için de geçerlidir (fonksiyonun solda azalıp sağda arttığı alan):

Artımlar hakkında biraz daha.

Böylece argümanı bir değere çeviriyoruz. Hangi değerden değişiriz? O (argüman) şimdi ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi ondan dans edeceğiz.

Koordinatlı bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse, işlev oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu, işlevin değiştirdiği miktardır:

Artımları bulma alıştırması yapın:

1. Argüman artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Bir noktada bir fonksiyon için aynı.

Çözümler:

İÇİNDE farklı noktalar bağımsız değişkenin aynı artışıyla, işlevin artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin kendine ait olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun farklı noktalardaki dikliği farklıdır). Bu nedenle, bir türev yazarken, hangi noktada belirtmeliyiz:

Güç işlevi.

Güç işlevi, argümanın bir dereceye kadar (mantıksal, değil mi?) olduğu bir işlev olarak adlandırılır.

Ve - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum, üssün şu olduğu durumdur:

Bir noktadaki türevini bulalım. Bir türevin tanımını hatırlayın:

Böylece bağımsız değişken ile arasında değişir. fonksiyon artışı nedir?

Artış Ancak herhangi bir noktada işlev, bağımsız değişkenine eşittir. Bu yüzden:

Türev:

türevi:

b) Şimdi düşünün ikinci dereceden fonksiyon (): .

Şimdi bunu hatırlayalım. Bu, sonsuz küçük olduğu ve bu nedenle başka bir terimin arka planına karşı önemsiz olduğu için artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir:

Yani, başka bir kuralımız var:

c) Mantıksal diziye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı için formülü kullanarak ilk parantezi açın veya küplerin farkı için formülü kullanarak tüm ifadeyi çarpanlara ayırın. Önerilen yollardan herhangi biriyle kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece, aşağıdakileri aldım:

Ve tekrar hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Biz: .

d) Büyük güçler için benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın bir kuvvet fonksiyonuna genelleştirilebileceği ortaya çıktı. keyfi gösterge, bir tamsayı bile değil:

(2)

Kuralı şu sözlerle formüle edebilirsiniz: "derece bir katsayı olarak öne alınır ve sonra azalır".

Bu kuralı daha sonra ispatlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türevin tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını sayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Nasıl? Ve derece nerede? ”,“ ”Konusunu hatırla!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, sadece kesirlidir:.
   Yani karekökümüz sadece üssü olan bir kuvvet:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada yine belirsizleşirse, "" konusunu tekrarlayın !!! (negatif göstergeli bir derece hakkında)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım yoluyla (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi, her zamanki gibi, aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir gerçeği kullanacağız:

Ne zaman ifade.

İspatı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için sınavı iyi geçmeniz gerekiyor). Şimdi grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon olmadığında - grafikteki noktanın delindiğini görüyoruz. Ancak değere ne kadar yakınsa, fonksiyon o kadar yakındır.Bu tam da “çabalar”.

Ek olarak, bu kuralı bir hesap makinesiyle de kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, çekinme, hesap makinesi al, henüz sınava girmedik.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinesini Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Oranın değeri ne kadar küçükse o kadar yakın olduğunu görüyoruz.

a) Bir fonksiyon düşünün. Her zamanki gibi, artışını buluyoruz:

Sinüs farkını bir çarpıma çevirelim. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz ("" konusunu hatırlayın):.

Şimdi türev:

Bir ikame yapalım: . O halde, sonsuz küçük için, aynı zamanda sonsuz küçüktür: . for ifadesi şu şekli alır:

Ve şimdi bunu ifade ile hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda ihmal edilebilecek kadar küçük bir değer varsa (yani at).

Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz: sinüsün türevi kosinüs'e eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. Önce türevi buluruz Genel görünüm, ve ardından onun değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada bir güç fonksiyonuna benzer bir şeyimiz var. onu getirmeye çalışalım
   normal görünüm:
   .
   Tamam, şimdi formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Bu nedir????

Tamam, haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı hala bilmiyoruz. Burada birkaç fonksiyon türünün bir kombinasyonuna sahibiz. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte öyle bir fonksiyon vardır ki, herhangi biri için türevi, kendisi için fonksiyonun kendisinin değerine eşittir. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu fonksiyonun tabanı bir sabittir - sonsuzdur ondalık, yani irrasyonel bir sayı (gibi). "Euler sayısı" olarak adlandırılır, bu nedenle bir harfle gösterilir.

Yani kural şudur:

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, uzağa gitmeyeceğiz, hemen ters işlevi ele alacağız. Üstel fonksiyonun tersi nedir? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanı olan bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: bunun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

türevi doğal logaritma ayrıca çok basit:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz şekilde basit olan işlevlerdir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Ne kuralları? Yine yeni bir terim mi?!...

farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Sadece ve her şey. Bu süreç için başka bir kelime nedir? Proizvodnovanie değil... Matematiğin diferansiyeli, işlevin çok artışı olarak adlandırılır. Bu terim Latin farklılığından gelir - fark. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken, iki işlev kullanacağız, örneğin ve. Artımları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplam 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırak ya da daha kolay.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev her noktada aynıdır, çünkü doğrusal fonksiyon, Unutma?);

Bir ürünün türevi

Burada her şey aynı: tanıtıyoruz yeni özellik ve artışını bulun:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterli (henüz ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki bir numara nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir tabana getirmeye çalışalım:

Bunun için kullanıyoruz basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi kaldı, sadece bir sayı olan ancak bir değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayacak bir sayı, yani daha fazlasını yazmanın bir yolu yok. basit biçim. Bu nedenle cevapta bu formda bırakılmıştır.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, logaritmadan farklı bir tabana sahip bir keyfi bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmemiz gerekiyor. Bir logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Paydanın sadece bir sabit olduğu ortaya çıktı (değişkensiz sabit bir sayı). Türev çok basit:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma veya bir yay teğeti değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor geliyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey yoluna girecek), ancak matematik açısından "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir konveyör hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, birincisi bir çikolatayı bir pakete sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir bileşik nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolata yemek için ters adımları ters sırayla uygulamanız gerekir.

Benzer bir matematiksel boru hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Böylece bize bir sayı (çikolata) veriyorlar, ben onun kosinüsünü (sarmalayıcı) buluyorum ve sonra sen elimdekinin karesini alıyorsun (bir kurdeleyle bağlıyorsun). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyon örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucunda olanlarla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.

Aynı işlemleri ters sırayla da yapabiliriz: önce karesini alırsın, sonra ben çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli özellik karmaşık işlevler: eylemlerin sırasını değiştirdiğinizde işlev değişir.

Başka bir deyişle, Karmaşık bir işlev, bağımsız değişkeni başka bir işlev olan bir işlevdir.: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı). .

Yaptığımız son eylem çağrılacak "dış" işlev ve sırasıyla ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonların ayrılması, değişen değişkenlere çok benzer: örneğin, fonksiyonda

1. İlk olarak hangi işlemi yapacağız? Önce sinüsü hesaplıyoruz ve ancak o zaman onu bir küp haline getiriyoruz. Yani bu dahili bir fonksiyondur, harici değil.
   Ve orijinal işlev, bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Pekala, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnek için şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde, nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(şimdiye kadar düşürmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmadı, unuttunuz mu?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Burada üç seviyeli karmaşık bir fonksiyon olduğu hemen anlaşılıyor: Sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir fonksiyon ve yine de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir paketleyiciye koyuyoruz) ve evrak çantasında bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: Her neyse, bu işlevi her zamanki sırayla "ambalajından çıkaracağız": sondan.

Yani önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "dışsal" olacaktır. İşlem sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Eylem rotasını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA KONU HAKKINDA KISACA

fonksiyon türevi- işlevin artışının, bağımsız değişkenin sonsuz küçük artışıyla bağımsız değişkenin artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaştırma kuralları:

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Türev ürün:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Doğal logaritma ve a tabanındaki logaritmanın türevi için formüllerin ispatı ve türetilmesi. ln 2x, ln 3x ve ln nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Matematiksel tümevarım yöntemiyle n'inci dereceden logaritmanın türevi için formülün kanıtı.

a tabanında doğal logaritma ve logaritmanın türevleri için formüllerin türetilmesi

x'in doğal logaritmasının türevi, bir bölü x'e eşittir:
(1) (lnx)' =.

a tabanına göre logaritmanın türevi, bir bölü x değişkeninin a'nın doğal logaritması ile çarpımına eşittir:
(2) (log x)' =.

Kanıt

biraz olsun pozitif sayı, Olumsuz bire eşit. Temel bir logaritma olan x değişkenine bağlı bir işlev düşünün:
.
Bu fonksiyon ile tanımlanır. x'e göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3) .

Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgemek için dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçekleri bilmemiz gerekir:
A) Logaritmanın özellikleri. Aşağıdaki formüllere ihtiyacımız var:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(7) .
Burada, bir limiti olan ve bu limit pozitif olan bir fonksiyon var.
İÇİNDE)İkinci harika sınırın anlamı:
(8) .

Bu gerçekleri sınırlarımıza kadar uyguluyoruz. Önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunu yapmak için (4) ve (5) özelliklerini uyguluyoruz.

.

Özelliği (7) ve ikinci dikkate değer limiti (8) kullanıyoruz:
.

Ve son olarak, (6) özelliğini uygulayın:
.
taban logaritması e isminde doğal logaritma. Bu şekilde işaretlenir:
.
Daha sonra ;
.

Böylece logaritmanın türevi için formül (2)'yi elde etmiş oluyoruz.

Doğal logaritmanın türevi

Bir kez daha logaritmanın a tabanındaki türevinin formülünü yazıyoruz:
.
Bu formül, doğal logaritma için en basit biçime sahiptir, bunun için , . Daha sonra
(1) .

Bu basitlik nedeniyle, doğal logaritma, analizde ve matematiğin diferansiyel hesapla ilgili diğer alanlarında çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Diğer tabanlı logaritmik fonksiyonlar, özellik (6) kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
.

Sabit türev işaretinden çıkarılırsa, logaritmanın temel türevi formül (1)'den bulunabilir:
.

Logaritmanın türevini kanıtlamanın diğer yolları

Burada, üssün türevinin formülünü bildiğimizi varsayıyoruz:
(9) .
Daha sonra, logaritmanın üssün tersi olduğu göz önüne alındığında, doğal logaritmanın türevi için formülü türetebiliriz.

Doğal logaritmanın türevinin formülünü kanıtlayalım, ters fonksiyonun türevi için formülü uygulama:
.
bizim durumumuzda . Doğal logaritmanın tersi üstür:
.
Türevi formül (9) ile belirlenir. Değişkenler herhangi bir harfle gösterilebilir. Formül (9)'da, x değişkenini y ile değiştiriyoruz:
.
O zamandan beri
.
Daha sonra
.
Formül kanıtlanmıştır.

Şimdi doğal logaritmanın türevinin formülünü kullanarak ispatlıyoruz. Bileşik bir fonksiyonu türevlendirmek için kurallar. ve fonksiyonları birbirine ters olduğundan, o zaman
.
Bu denklemi x değişkenine göre farklılaştırın:
(10) .
x'in türevi bire eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uyguluyoruz:
.
Burada . (10) yerine koy:
.
Buradan
.

Örnek

türevlerini bul 2x, ln 3x Ve ln nx.

Çözüm

Orijinal işlevler benzer bir forma sahiptir. Bu nedenle, fonksiyonun türevini bulacağız y = günlük nx. Sonra n = 2 ve n = 3 yerine koyarız. Ve böylece, türevler için formüller elde ederiz. ln 2x Ve ln 3x .

Yani, fonksiyonun türevini arıyoruz
y = günlük nx .
Bu fonksiyonu iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon olarak gösterelim:
1) Değişken bağımlı fonksiyonlar: ;
2) Değişken bağımlı fonksiyonlar: .
Ardından, orijinal işlev ve işlevlerinden oluşur:
.

Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulalım:
.
Fonksiyonun değişkene göre türevini bulalım:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz.
.
Burada yer değiştirdik.

Böylece şunları bulduk:
(11) .
Türevin n'ye bağlı olmadığını görüyoruz. Orijinal fonksiyonu, çarpım logaritma formülünü kullanarak dönüştürürsek, bu sonuç oldukça doğaldır:
.
- bir sabittir. Türevi sıfırdır. O zaman, toplamın farklılaşma kuralına göre, şunu elde ederiz:
.

Cevap

; ; .

Logaritma modulo x'in türevi

Başka bir çok türevi bulun önemli işlev- x modülünün doğal logaritması:
(12) .

Davayı ele alalım. Ardından işlev şöyle görünür:
.
Türevi formül (1) ile belirlenir:
.

Şimdi davayı düşünün. Ardından işlev şöyle görünür:
,
Nerede .
Ancak yukarıdaki örnekte bu fonksiyonun türevini de bulduk. n'ye bağlı değildir ve eşittir
.
Daha sonra
.

Bu iki durumu tek bir formülde birleştiriyoruz:
.

Buna göre, a tabanına göre logaritma için şunu elde ederiz:
.

Doğal logaritmanın daha yüksek mertebeden türevleri

işlevi göz önünde bulundurun
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(13) .

İkinci dereceden türevi bulalım:
.
Üçüncü mertebenin türevini bulalım:
.
Dördüncü mertebenin türevini bulalım:
.

Görüldüğü gibi n'inci türev şu şekildedir:
(14) .
Bunu matematiksel tümevarımla kanıtlayalım.

Kanıt

n = 1 değerini formül (14) ile değiştirelim:
.
beri, o zaman için n = 1 , formül (14) geçerlidir.

n = k için formül (14)'ün sağlandığını varsayalım. Bundan, formülün n = k için geçerli olduğunun sonucu olduğunu kanıtlayalım. + 1 .

Aslında, n = k için şuna sahibiz:
.
x'e göre farklılaştırın :

.
Yani elimizde:
.
Bu formül, n = k + için formül (14) ile örtüşmektedir. 1 . Böylece, formül (14)'ün n = k için geçerli olduğu varsayımından, formül (14)'ün n = k + için geçerli olduğu sonucu çıkar. 1 .

Bu nedenle, n'inci dereceden türev için formül (14), herhangi bir n için geçerlidir.

a tabanına göre logaritmanın yüksek mertebeden türevleri

a taban logaritmasının n'inci türevini bulmak için, onu doğal logaritma cinsinden ifade etmeniz gerekir:
.
Formül (14)'ü uygulayarak, n'inci türevi buluruz:
.